Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów
Agnieszka Nowak
14 czerwca 2008
1 Rachunek zdań
Do nauczenia :!
1. ((p → q) ∧ p) ⇒ q - reguła odrywania RO
2. reguła modus tollens MT:
• ((p → q) ∧ ¬q) ⇒ ¬p
• ((p → ¬q) ∧ q) ⇒ ¬p
• ((¬p → q) ∧ ¬q) ⇒ p
• ((¬p → q) ∧ q) ⇒ p
3. ((p ∨ ¬q) ∧ q) → p- reguła opuszczania alternatywy OA
4. (p ∧ ¬p) ⇒ q - prawo Dunsa Szkota
5. reguła odrywania koniunkcji OK:
• (p ∧ q) ⇒ p
• (p ∧ q) ⇒ q
6. p ∧ q ⇒ (p ∧ q) -reguła dołączania koniunkcji DK
7. (p → q) ≡ ¬p ∨ q - prawo zastępowania implikacji ZI
8. ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q prawo negowania koniunkcji NK
9. ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q prawo negowania alternatywy NA
1
2 Metody dowodzenia prawdziwości schematów
Wnioskowanie jest procesem myślowym, w którym na podstawie uznania pewnych zdań, zwanych przesłankami, dochodzimy do uznania innego zdania, zwanego wnioskiem . Wnioskowanie w systemach ekspertowych oparte jest na logice matematycznej, która bada, czy z założeń wynikają konkluzje, niezależnie
od ich prawdziwości lub fałszywości i niezależnie od tego, jakich spraw dotyczą.
Logika pozwala uznawać pewne sposoby wnioskowania stosowane w naukach za
poprawne, tworząc z nich systemy logiczne będące zbiorem praw i reguł, do których stosując się można uznawać te wszystkie wnioskowania, które spontanicznie
uznajemy za prawdziwe. Pod względem uznawania lub odrzucania pewnych sposobów wnioskowania istnieje w matematyce duża zgodność poglądów. Nie zdarza
się bowiem sytuacja, w której pewne reguły jedni uważają za prawdziwe, a inni
za całkowicie błędne. Można jedynie zaobserwować pewne różnice w rozumieniu pewnych reguł i w poglądzie na zakres ich stosowania. Zbiór, praktycznie
rzecz biorąc, wszystkich metod wnioskowania spotykanych w matematyce, daje tzw. klasyczny system logiki, na który składają się klasyczny rachunek zdań,
badający wartość logiczną zdań złożonych (alternatywa, koniunkcja, implikacja,
równoważność zdań) i klasyczny rachunek kwantyfikatorów. Do klasycznego rachunku zdań najłatwiej dojść przez wyjaśnienie pojęcia prawdy i fałszu, które
są powszechnie zrozumiałe. Klasyczne określenie prawdy głosi, ze prawdziwe
jest zdanie, które opisuje taki stan rzeczy, który istotnie ma miejsce - fałszywe
zaś jest zdanie opisujące nieistniejący stan rzeczy. Rozumowanie to opiera się
bowiem na tzw. zasadzie dwuwartościowości, która głosi, ze każde zdanie ma
jedną i tylko jedną z dwóch wartości logicznych: prawdy i fałszu. Oznacza to,
ze każde zdanie jest prawdziwe lub fałszywe i ze żadne zdanie nie jest zarazem
prawdziwe i fałszywe. Aby udowodnić prawdziwość jakiegoś stwierdzenia, które
nie jest aksjomatem (pewnikiem), wystarczy wykorzystać jedną z następujących
metod dowodzenia poprawności schematów logicznych:
1. metoda zero-jedynkowa,
2. skrócona metoda zero-jedynkowa,
3. metoda założeniowa.
2.1 Metoda zerojedynkowa
Metoda zerojedynkowa polega na wyznaczaniu wartości logicznej zdania przez
wartości logiczne jej składników. Aby rozstrzygnąć, czy dany schemat jest tautologią, nalezy rozważyć wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych zmiennych w niej występujących. Jeżeli w każdym przypadku wartość formuły (wyrażenia logiczne połączone funktorami) wynosi 1, to ta formuła jest tautologią.
W tym celu niezbędna jest znajomość tzw. tabel prawdy dla poszczególnych
operacji logicznych:
• sumy logicznej (alternatywy),
2
• iloczynu logicznego (koniunkcji),
• negacji,
• implikacji.
Przedstawione one zostały poniżej w tabeli. Zapamiętaj !!
1 = PRAWDA, 0 = FAŁSZ
x
0
0
1
1
y
0
1
0
1
x∨y
0
1
1
1
x∧y
0
0
0
1
x
1
1
0
0
x→y
1
1
0
1
Wówczas niezawodność schematu postaci:
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r),
będzie wykazana w następujący sposób:
p q r p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
0 0 0 1
1
1
1
1
0 0 1 1
1
1
1
1
0 1 0 1
0
0
1
1
0 1 1 1
1
1
1
1
1 0 0 0
1
0
0
1
1 0 1 0
1
0
1
1
1 1 0 1
0
0
0
1
1 1 1 1
1
1
1
1
Tablica 2: Tabela dowodu prawdziwości stwierdzenia.
Metoda ta pozwala na jednoznaczne stwierdzenie, czy schemat wnioskowania
jest poprawny czy nie, jednakże nie zawsze jest uznawana w pełni formalną i
wystarczającą metodę dowodzenia celu. Istnieje także pewnego rodzaju modyfikacja metody zerojedynkowej, noszącą nazwę skróconej metody zerojedynkowej.
2.2 Skrócona metoda zerojedynkowa
Pozwala ona wykazać, że wyrażenie rachunku zdań o postaci implikacji jest
prawem logicznym, w sytuacji, gdy wykluczone jest, by dla jakiegoś układu
wartości logicznych przyporządkowanego zmiennym, poprzednik tej implikacji
był prawdziwy a jej następnik fałszywy. Metoda ta jest często wykorzystywana,
gdyż pozwala na uzyskanie tego samego rezultatu co metoda zerojedynkowa, bez
konieczności sprawdzania wszystkich kombinacji zmiennych logicznych. Dzieje
się tak dlatego, iz jeśli wszystkie przesłanki mają wartość logiczną 1, to wniosek
musi mieć wartość 1, lub, ze jeśli wniosek ma wartość logiczną 0, to przynajmniej
jedna z przesłanek ma wartość 0.
3
2.2.1
Przykład dla metody skróconej zero-jedynkowej
Sprawdzenie niezawodności schematu:
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
((p
→
q)
∧
1
(q
1
→
r))
→
(p
→
0
r)
1
1
1
0
0
?
1
1
?
0
1!
1
1
1
1!
1!
krok
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
SPRZECZNOŚĆ: q = 1 i q = 0 oraz r = 0 i r = 1
2.2.2
Zastosowania metody zero-jedynkowej
Metoda zero-jedynkowa polega na budowie i analizie matrycy logicznej formuły;
może być stosowana do:
• weryfikacji tautologii (dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły
jest true)
• weryfikacji niespełnialności (dla każdej interpretacji wartość logiczna formuły jest false)
• badania równoważności formuł (dla każdej interpretacji wartości logiczne
są takie same)
• weryfikacji logicznej konsekwencji (dla każdej interpretacji prawdziwość
formuły musi pociągać prawdziwość jej konsekwencji)
• wyznaczania interpretacji przy których formuła jest prawdziwa lub fałszywa.
3 Zadania
3.1 Zadanie 1
Udowodnić metodą skróconą zerojedynkową następujące schematy logiczne:
4
1. p ∨ q → ¬(p ∧ q)
2. ¬(p ∧ q) → ¬p ∧ ¬q
3. [(p → q) ∧ (p → r) ∧ ¬(q ∧ r)] → ¬p
4. [(p ∨ q) → (¬s ∧ d)][p → (¬s ∧ d)]
5. [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (p ∨ q)] → r
6. (p → (q ∨ r)) ∧ (p → ¬q)] → (p → r)
7. (¬(p → q)) → (p ∧ ¬q)
8. (p ∧ q) → r] → [p → (q → r)]
9. (p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r]
10. (p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s)] → (¬p ∨ ¬r)
11. ¬(p → q) → ¬p ∧ ¬q
3.2 Zadanie 2
Udowodnić metodą założeniową następujące schematy logiczne:
1. p → ¬(p ∧ q)
2. [(p → q) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ r)
3. (p → q) ∧ r] → p → (q ∧ r)
4. (p → q) ∧ (q → ¬r) ∧ r] → ¬p
5. (p ∨ q) → (¬s ∧ d)] → p → (¬s ∧ d)
6. (p → q) ∧ (r → s)] → [(p ∧ r) → (q ∧ s)]
7. [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r]
3.3 Zadanie 3
Zapisz poniższy schemat wnioskowania za pomocą zmiennych logicznych. Określ
zmienne logiczne występujące w schemacie. Uzupełnij brakującą część schematu
wnioskowania. Oceń, czy uzupełniony przez Ciebie schemat wnioskowania jest
prawdziwy. Jeśli tak, udowodnij ten schemat stosując metodę założeniową.
1. Jeśli uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu, to zdałam(łem) egzamin w
pierwszym terminie
..........................................
Nie uczyłam(łem) się solidnie do egzaminu
5
2. .........................................
Nie mam wyobraźni
Nie lubię czytać książek
3. Jeżeli lubię oglądać telewizję, to nie lubię czytać książek
Lubię czytać książki
............................................
4. Jeżeli nie jestem człowiekiem, to nie umiem czytać
Umiem czytać
............................................
5. ............................................
Lubię się opalać
Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato i lubię się opalać
6. Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato
Jeżeli lubię lato to lubię się opalać
..............................................
7. Jeżeli lubię, gdy jest ciepło, to lubię lato
Jeżeli lubię się opalać, to wracam z wakacji opalony
..................................................
8. Jeżeli nie polecę samolotem to będę spóźniony
Nie będę spóźniony
.............................................
9. Jeżeli są zaspy śnieżne to temperatura nie podnosi się powyżej 0
Jeżeli autobus nie przejedzie to temperatura nie podnosi się powyżej 0
Są zaspy śnieżne i autobus nie przejedzie
......................................................................
10. Jeżeli są zaspy śnieżne to autobus nie przejedzie
Są zaspy śnieżne lub temperatura nie podniesie się powyżej 0
........................................................
11. Oglądam telewizję i słucham radia
Nie oglądam telewizji i słucham radia
.........................................
Czytam książkę
6