GimPlus

GimPlus
Przewodnik po zadaniach (356 zadań)
Klasa 1 gimnazjum (160 zadań)
Liczby i działania (45 zadań)
Liczby (9 zadań): 1.1.1
Ustalanie, czy liczba jest naturalna, całkowita, czy wymierna. 1.1.2
Umieszczanie punktów o podanych współrzędnych (wyrażonych ułamkiem lub liczbą mieszaną) na osi liczbowej.
1.1.3
Porównywanie dwóch liczb wymiernych dodatnich. 1.1.4
Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie. 1.1.5 Porównywanie liczb wymiernych dodatnich. 1.1.6 Rozpoznawanie własności liczb
naturalnych, całkowitych i wymiernych — przykłady typu: Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą
dodatnią. 1.1.7 Różne operacje na ułamkach zwykłych i dziesiętnych: zamiana ułamka niewłaściwego na
liczbę mieszaną i odwrotnie, zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły, skracanie i rozszerzanie
ułamków. 1.1.8 Zadanie typu „memory” — skracanie i rozszerzanie ułamków zwykłych. 1.1.9 Przykłady
1
?
2
1
?
1
?
1
typu: 6 < ? < 6 , 5 < ? < 4 , 0,19 < ? < 5 .
Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych (5 zadań): 1.2.1 Znajdowanie rozwinięcia dziesiętnego ułamka
zwykłego i zapisywanie go w skróconej postaci — przykłady typu: 79 = 0,7777 . . . = 0,(7). 1.2.2
Przykłady
typu: Jaka jest 12. cyfra po przecinku liczby 0,(2)? 1.2.3 Porównywanie dwóch liczb wymiernych — przykłady
typu: 8,151 ? 8,(15), 38 ? 0,(375). 1.2.4 Przykłady typu: 0,(4) < ? < 0,5, 0,7 < ? < 79 . 1.2.5 Przykłady typu:
Jaka jest 75. cyfra po przecinku rozwinięcia dziesiętnego ułamka
8
9
?
Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników (4 zadania): 1.3.1
Zaokrąglanie liczb do podanych rzędów.
1.3.2 Znajdowanie rozwinięcia dziesiętnego ułamka i zaokrąglanie otrzymanego wyniku. 1.3.3 Zaokrąglanie
ułamków okresowych do podanych rzędów. 1.3.4 Porównywanie wyników działań z liczbą naturalną —
przykłady typu: 1,599 + 7,303 ? 9; 3,347 − 2,224 ? 1; 346 : 1,32 ? 366, 206 · 4,18 ? 800.
Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich (10 zadań): 1.4.1 Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych
samych mianownikach. 1.4.2
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych — przykłady typu: 1,9 −
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych
− 0,3 = ?; ? − 3,2 = 1,4; 2,2 + ? = 4,6; 4,8 + 2,5 = ?. 1.4.3
o różnych mianownikach. 1.4.4 Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych. 1.4.5 Dodawanie ułamków
zwykłych i dziesiętnych. 1.4.6 Szukanie dwóch liczb wymiernych, których suma jest równa podanej
?
?
?
?
7
11
3
?
liczbie. 1.4.7
Przykłady typu: ? + ? = 1,2; 15 + 15 = 1,8; ? + ? = 1,9; ? + 4 = 1,5. 1.4.8
Obliczanie
wyników działań na liczbach naturalnych za pomocą kalkulatora, z którego usunięto przyciski z niektórymi
cyframi, np. obliczamy sumę 8160 + 8084, nie mając na klawiaturze kalkulatora przycisku z cyfrą 1.
1.4.9
Przedstawianie ułamków zwykłych w postaci sumy dwóch lub trzech różnych ułamków prostych.
1.4.10 Szukanie dwóch liczb wymiernych, których różnica jest równa podanej liczbie.
Mnożenie i dzielenie liczb dodatnich (10 zadań): 1.5.1 Kolorowanie figury zgodnie z podanym opisem,
1
5
5
np. 17
jednym kolorem, 17
drugim kolorem, 34
trzecim kolorem i 0,5 czwartym kolorem. 1.5.2 Mnożenie
i dzielenie ułamków dziesiętnych przez liczby naturalne i ułamki dziesiętne. 1.5.3
Przykłady typu: Wiedząc, że 59 · 46 = 2714, oblicz 590 · 460. 1.5.4 Mnożenie ułamków zwykłych i dziesiętnych. 1.5.5 Mnożenie
i dzielenie ułamków dziesiętnych przez zwykłe (przykłady dobrane są tak, aby działanie można było
uprościć, np. 1,2 : 65 ). 1.5.6 Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych. 1.5.7 Przekształcenia typu: 8,1
= 81
.
9,8
?
1.5.8 Uzupełnianie brakujących cyfr w pisemnym mnożeniu dwóch ułamków dziesiętnych. 1.5.9 Przykłady typu: Wiedząc, że 204435 : 885 = 231, oblicz 2044,35 : 88,5. 1.5.10 Obliczanie wyników działań na
liczbach naturalnych za pomocą kalkulatora, z którego usunięto przyciski z niektórymi cyframi i z przycisku
ze znakiem działania można skorzystać tylko raz, np. obliczamy wynik działania 105 · 63, nie mając na
klawiaturze kalkulatora przycisku z cyfrą 0.
Wyrażenia arytmetyczne (7 zadań): 1.6.1
Wskazywanie działania, które należy wykonać jako pierwsze
w przykładzie wielodziałaniowym. 1.6.2 Obliczanie przykładów kilkudziałaniowych na ułamkach zwykłych
i dziesiętnych z uwzględnieniem kolejności wykonywania działań. 1.6.3 Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych typu: 4 + (6 + 5 · (6 + 3) − 4) : 2 − 3. 1.6.4 Obliczanie przykładów kilkudziałaniowych na ułamkach
zwykłych i dziesiętnych z uwzględnieniem kolejności wykonywania działań. 1.6.5 Obliczanie współrzędnej
punktu zaznaczonego na osi liczbowej. 1.6.6
Zabawa z kalkulatorem — przykłady typu: Za pomocą
kalkulatora, na którym umieszczono jedynie przyciski z cyfrą 5 i znakami działań +, − i ×, spróbuj otrzymać
liczbę 280. Przycisków ze znakami działań możesz użyć co najwyżej 5 razy. 1.6.7
Uzupełnianie liczb
w przykładach z ułamkami łańcuchowymi.
Procenty (46 zadań)
Procenty i ułamki (10 zadań): 2.1.1 Ustalanie, jaki procent figury zamalowano na rysunku. 2.1.2 Kolorowanie podanego procentu figury. 2.1.3
Zamiana procentów na ułamki dziesiętne. 2.1.4
Zamiana
liczb naturalnych i ułamków dziesiętnych na procenty. 2.1.5 Zamiana ułamków o mianownikach 2, 4, 5,
8 i 10 na procenty. 2.1.6 Wskazywanie trzech liczb równych podanemu procentowi — przykłady typu: 10 %
1
10
to 0,1 i 10
i 100
. 2.1.7 Wskazywanie rysunku, na którym pokolorowano dany procent figury. 2.1.8 Zamiana
ułamków zwykłych i liczb mieszanych na procent — ułamki o mianownikach 2, 4, 5 i 10. 2.1.9 Zamiana
ułamków zwykłych i liczb mieszanych na procent — ułamki o mianownikach 5, 8, 10 i 20. 2.1.10 Zamiana
14 5
7
ułamków zwykłych na procent za pomocą kalkulatora — ułamki typu: 17 , 9 , 21 .
Jaki to procent? (7 zadań): 2.3.1 Ustalanie, jaki procent figur przedstawionych na rysunku został pokolorowany (zamiana na procent ułamków o mianownikach 2, 4, 5 i 10). 2.3.2 Przykłady typu: Liczba 7 stanowi
? % liczby 28. 2.3.3 Ustalanie, jaki procent figury pokolorowano. 2.3.4 Rozwiązywanie zadań tekstowych.
2.3.5 Szacowanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba. 2.3.6 Szacowanie, jakim procentem
powierzchni figury jest jej zamalowana część. 2.3.7 Szacowanie, jaki procent figury pokolorowano danym
kolorem.
Obliczanie procentu danej liczby (5 zadań): 2.4.1
Obliczanie 1 %, 10 %, 25 %, 50 % i 100 % danej liczby.
2.4.2 Przykłady typu: 10 % liczby 30 = ? i 5 % liczby 30 = ? i 15 % liczby 30 = ?. 2.4.3 Rozwiązywanie
zadań tekstowych, w których informacje potrzebne do rozwiązania przedstawione są za pomocą diagramu
kołowego, diagramu słupkowego lub wykresu. 2.4.4 Kolorowanie podanego procentu powierzchni figury.
2.4.5 Szacowanie i wskazywanie liczby, która jest najbliższa np. 27 % liczby 3424.
Zapisywanie zwrotów typu: liczba o 78 % mniejsza (większa) od x
Podwyżki i obniżki (6 zadań): 2.5.1
w postaci 0,22x (1,78x). 2.5.2 Obliczanie liczby większej lub mniejszej od danej liczby (kolejno o 10 %, 20 %,
50 % i 100 %). 2.5.3 Obniżanie podanych cen o 5 %, 10 %, 20 % itp. 2.5.4 Obniżanie i podwyższanie podanych
cen o dany procent. 2.5.5 Uzupełnianie diagramów procentowych, z których każdy dotyczy dwukrotnego
zmniejszania lub zwiększania liczby o taki sam procent. 2.5.6 Rozwiązywanie zadań tekstowych dotyczących
podwyżek i obniżek.
Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent (10 zadań): 2.6.1
Obliczanie liczby, gdy dane jest jej 1 %,
50 %, 10 %, 20 %, 25 %. 2.6.2 Zapisywanie zdań typu: Liczba o 40 % mniejsza od x jest równa 37 w postaci
równania. 2.6.3 Przykłady typu: 80 % liczby ? wynosi 32 (zawsze dana jest pewna wielokrotność 10 %
szukanej liczby). 2.6.4 Ustalanie ceny towaru przed obniżką (podwyżką), mając daną nową cenę i procent
obniżki (podwyżki). 2.6.5 Ustalanie ceny towaru przed obniżką (podwyżką) i po obniżce (podwyżce), mając
dany procent obniżki (podwyżki) i kwotę, o jaka obniżono (podwyższono) cenę. 2.6.6 Przykłady typu:
znajdź liczbę, której 26 % wynosi 704 — układanie odpowiedniego równania i jego rozwiązywanie z pomocą
kalkulatora. 2.6.7 Usuwanie z rysunku tylu figur, aby wśród pozostałych figury mające określoną cechę
stanowiły dany procent wszystkich figur. 2.6.8
Rozwiązywanie zadań tekstowych. 2.6.9
Szacowanie
i wskazywanie liczby, której np. 86 % wynosi 144. 2.6.10 Szacowanie wyniku w przykładach typu: 114 %
liczby ? wynosi 33.
O ile procent więcej, o ile mniej. Punkty procentowe (8 zadań): 2.7.1
Ustalanie, o ile procent większa
jest jedna liczba od drugiej. 2.7.2
Ustalanie, o ile procent mniejsza jest jedna liczba od drugiej.
2.7.3 Ustalanie, o ile procent jeden produkt jest droższy od drugiego, mając dane ceny tych produktów.
2.7.4
Ustalanie, o ile procent jeden produkt jest tańszy od drugiego, mając dane ceny tych produktów.
2.7.5 Uzupełnianie zdań typu: Gruszki są tańsze od jabłek o ? %. Jabłka są droższe od gruszek o ? %, mając
dane ceny obu produktów. 2.7.6 Rozwiązywanie zadań tekstowych — informacje potrzebne do rozwiązania
przedstawione są w tabelce lub za pomocą wykresu czy diagramu słupkowego. 2.7.7 Obliczanie, ile razy
więcej (mniej) i o ile więcej (mniej) procent elementów znajduje się w jednym zbiorze niż w drugim.
2.7.8 Ustalanie, o ile procent podrożał (staniał) dany produkt, mając dane ceny przed podwyżką (obniżką)
i po niej.
Figury geometryczne (38 zadań)
Trójkąty (10 zadań): 3.3.A Wstęp — własności różnych typów trójkątów. 3.3.B Wstęp — graficzna prezentacja nierówności trójkąta. 3.3.C Wstęp — graficzna prezentacja twierdzenia o sumie miar kątów
trójkąta. 3.3.1 , 3.3.2
Klasyfikowanie trójkątów względem boków i kątów. 3.3.3
Rysowanie na siatce
trójkątów o określonych cechach (ostrokątny, prostokątny, równoramienny, rozwartokątny równoramienny).
3.3.4 Zmiana kształtu (miar kątów i długości boków) trójkąta w celu otrzymania trójkąta o podanych
cechach (np. równoramienny prostokątny). 3.3.5 Wybieranie liczb, które mogą stanowić długość trzeciego
boku trójkąta o danych dwóch bokach (korzystanie z nierówności trójkąta). 3.3.6 Dobieranie długości
trzeciego boku trójkąta, mając dwa dane (korzystanie z nierówności trójkąta). 3.3.7 Ustalanie miar kątów
w trójkątach. 3.3.8 Rozpoznawanie na podstawie dwóch danych kątów trójkąta, czy trójkąt jest ostrokątny,
prostokątny, czy rozwartokątny. 3.3.9 Rozpoznawanie własności różnych trójkątów (określanie, czy zdanie
jest prawdziwe). 3.3.10 Dopasowywanie miar kątów do trójkątów przedstawionych na rysunku.
Pola wielokątów (18 zadań): 3.7.A Wstęp — geometryczne rozumowanie, skąd wzięły się wzory na pola
czworokątów. 3.7.B Wstęp — prezentacja różnych sposobów obliczania pól wielokątów. 3.7.1
Obliczanie
pola równoległoboku. 3.7.2 Obliczanie pola trapezu. 3.7.3 Obliczanie pola trójkąta. 3.7.4 Rozwiązywanie
zadań dotyczących pola równoległoboku (obliczanie wysokości lub boku na podstawie podanych parametrów). 3.7.5 Obliczanie pola rombu. 3.7.6 Obliczanie pola trapezu na podstawie różnych informacji (wszystkie
etapy dotyczą trapezów równoramiennych). 3.7.7 Obliczanie pola trójkąta prostokątnego równoramiennego
o podanej długości przyprostokątnej oraz trójkąta, którego jeden z kątów ma 45 stopni. 3.7.8 Obliczanie wysokości rombu (przekątnej rombu). 3.7.9
Obliczanie wysokości trójkąta z zastosowaniem wzoru
na pole trójkąta. 3.7.10
Obliczanie pola trójkąta i trapezu — zadanie problemowe. 3.7.11
Rysowanie
Dzielenie trójkąta, trapezu
równoległoboku, rombu i trójkąta prostokątnego o danych polach. 3.7.12
i równoległoboku na dwie figury o takim samym polu. 3.7.13 Rysowanie trójkąta nieprostokątnego i trójkąta
równoramiennego o danych polach. 3.7.14 Rysowanie trapezu, deltoidu, kwadratu i dowolnego czworokąta
o danych polach. 3.7.15, 3.7.16 Obliczanie pola wielokąta (przez podział na inne wielokąty, których pola
łatwo obliczyć lub przez odejmowanie pewnych pól od pola prostokąta, w którym zawiera się dany wielokąt).
3.7.17 Rysowanie pięciokąta o danym polu. 3.7.18 Dzielenie wielokąta (czworokąt zbudowany z dwóch
trójkątów o wspólnej podstawie i tej samej wysokości) na dwie figury o równych polach.
Układ współrzędnych (10 zadań): 3.8.A, 3.8.B Wstępy — prezentacje dotyczące układu współrzędnych
i jego elementów. 3.8.C Wstęp — modelowe rozwiązanie zadania, polegającego na obliczeniu pola trójkąta
o danych współrzędnych wierzchołków. 3.8.1
Wskazywanie punktów należących do podanych ćwiartek
układu współrzędnych. 3.8.2 Ustalanie współrzędnych punktów zaznaczonych w układzie współrzędnych.
3.8.3 Wskazywanie w układzie punktów o podanych współrzędnych. 3.8.4 Ustalanie współrzędnych punktów zaznaczonych w układzie współrzędnych o nietypowej jednostce osi. 3.8.5 Zaznaczanie w układzie
współrzędnych punktów o podanych współrzędnych będących ułamkami. 3.8.6 Ustalanie odległości między dwoma punktami w układzie współrzędnych (obliczanie długości odcinka poziomego lub pionowego).
3.8.7 Obliczanie pola trójkąta (równoległoboku) o danych współrzędnych wierzchołków. 3.8.8 Ustawianie
osi układu współrzędnych tak, aby zaznaczony na rysunku punkt miał podane współrzędne. 3.8.9
Zaznaczanie dwóch pozostałych wierzchołków równoległoboku, mając dane już dwa jego wierzchołki i pole.
3.8.10 Rysowanie w układzie współrzędnych trójkąta o podanym polu.
Symetrie (31 zadań)
Symetria względem prostej (2 zadania): 7.1.A Wstęp — obserwacja, jak zmienia się położenie punktów
symetrycznych względem prostej (można zmieniać zarówno położenie punktów jak i prostej). 7.1.1 Ustalanie, na którym rysunku przedstawiono punkty symetryczne względem prostej. 7.1.2
Ustalanie, który
z podanych punktów nie jest symetryczny do żadnego innego względem danej prostej.
Rysowanie figur symetrycznych względem prostej (3 zadania): 7.2.A Wstęp — obserwacja figur symetrycznych względem prostej (rysujemy figurę, a jednocześnie powstaje jej obraz w symetrii względem
danej prostej). 7.2.1 Umieszczanie na siatce punktu symetrycznego do danego względem podanej prostej.
7.2.2 Umieszczanie na siatce wierzchołków trójkąta symetrycznego do danego trójkąta względem podanej
prostej. 7.2.3 Rysowanie figury symetrycznej do danej względem podanej prostej (figurę trzeba rysować
zaznaczając jej kolejne wierzchołki).
Oś symetrii figury (5 zadań): 7.3.A Wstęp — prezentacja zmiany kształtu figury osiowosymetrycznej w zależności od położenia jej wierzchołków. 7.3.1 Wskazywanie liter, które mają oś symetrii. 7.3.2 Ustalanie,
ile osi symetrii ma figura przedstawiona na rysunku. 7.3.3 Znajomość własności symetrii osiowej (wskazywanie zdań prawdziwych). 7.3.4, 7.3.5 Uzupełnianie figury tak, aby była ona symetryczna względem podanej
prostej.
Symetria względem punktu (7 zadań): 7.6.A, 7.6.B, 7.6.C Wstępy — własności symetrii względem punktu.
7.6.1
Rysowanie punktu symetrycznego do punktu A względem punktu S. 7.6.2
Znajdowanie punktu,
względem którego punkt A jest symetryczny do punktu A . 7.6.3
Wskazywanie punktu, który nie
jest symetryczny do żadnego innego względem podanego punktu S. 7.6.4 Ustalanie, czy dane figury są
symetryczne względem podanego punktu S. 7.6.5 Znajdowanie punktu, względem którego figura F jest
symetryczna do figury F . 7.6.6 Rysowanie figury symetrycznej do danej względem podanego punktu S.
7.6.7
Rysowanie figury symetrycznej do danej względem podanego punktu S (figurę trzeba rysować
zaznaczając jej kolejne wierzchołki).
Środek symetrii figury (4 zadania): 7.7.A Wstęp — przykłady figur środkowosymetrycznych. 7.7.B Wstęp
— prezentacja zmiany kształtu figury środkowosymetrycznej w zależności od położenia jej wierzchołków.
7.7.1 Wskazywanie środka symetrii figury. 7.7.2 Ustalanie, które karty do gry są środkowosymetryczne.
7.7.3 Wskazywanie figur osiowosymetrycznych, środkowosymetrycznych i takich, które mają obie te cechy.
7.7.4 Znajomość własności symetrii środkowej (wskazywanie zdań prawdziwych).
Symetrie w układzie współrzędnych (10 zadań): 7.8.A, 7.8.B, 7.8.C Wstępy — obserwacja, jak zmieniają
się współrzędne punktu w symetrii względem os x, osi y i początku układu współrzędnych (położenie
punktu i jego obrazu można dowolnie zmieniać). 7.8.1 Rozpoznawanie par punktów symetrycznych względem osi lub początku układu współrzędnych. 7.8.2 Podawanie współrzędnych punktu symetrycznego do
punktu zaznaczonego w układzie współrzędnych (względem osi lub początku układu). 7.8.3 Umieszczanie
w układzie współrzędnych wierzchołków trójkąta symetrycznego do danego (względem osi lub początku
układu) i odczytywanie współrzędnych tych wierzchołków. 7.8.4
Podawanie współrzędnych punktów
symetrycznych względem osi x do punktów o podanych współrzędnych. 7.8.5
Podawanie współrzędnych punktów symetrycznych względem osi y do punktów o podanych współrzędnych. 7.8.6 Podawanie
współrzędnych punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych do punktów o podanych współrzędnych. 7.8.7 Wskazywanie współrzędnych punktów symetrycznych do punktów o podanych
współrzędnych w symetrii względem osi i początku układu współrzędnych. 7.8.8 Wskazywanie par punktów
symetrycznych w symetrii względem osi x, osi y lub początku układu. 7.8.9 Umieszczanie w układzie
współrzędnych trójkąta tak, aby był on symetryczny do narysowanego trójkąta w określonej symetrii.
7.8.10 Podawanie współrzędnych punktu symetrycznego względem danej prostej do punktu zaznaczonego
w układzie współrzędnych (rozważamy tylko proste typu x = a i y = b).
Klasa 2 gimnazjum (120 zadań)
Potęgi (40 zadań)
Potęga o wykładniku naturalnym (10 zadań): 1.1.1 Obliczanie w pamięci kwadratów liczb od 10 do 19.
Obliczanie w pamięci sześcianów liczb od 1 do 10. 1.1.3
Ustalanie, czy podane potęgi liczb
1.1.2
dodatnich i ujemnych są liczbami dodatnimi, czy ujemnymi. 1.1.4 Przykłady typu: 43 = ? i (−4)3 = ? i −43 = ?.
1.1.5 Wskazywanie potęg, których wartość wynosi 1. 1.1.6 Ustawianie potęg w kolejności
najmniejszej do
od
2 2
największej — przykłady typu: (7,7)2 < (7,7)3 < (7,7)7 < (7,7)12 . 1.1.7 Przykłady typu: 1 5
= ?. 1.1.8 Przykłady typu: 23 = ? i 0,23 = ? i 203 = ?. 1.1.9 Szacowanie wartości potęg — przykłady typu: Która z liczb jest
równa 612 : 2801, 2885, 4755, 4821, 3721 ? 1.1.10 Stosowanie różnych algorytmów obliczania niektórych
potęg.
Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach (5 zadań): 1.2.1
Przykłady typu: a5 · a3 = a ? , a10 :
8
17
14
8
a = ?, a · (a · a ) = ?. 1.2.2 Uzupełnianie równości typu: a : ? = ? lub a3 · ? = ?, mając do dyspozycji
wyrażenia: a, a2 , . . . , a9 . 1.2.3 Przykłady typu: Która z liczb: −312 , 312 , −36 , 36 jest wynikiem działania: 39 ·
(−3)3 ? 1.2.4 Przykłady typu: 3 · 37 = ?, 217 + 217 = ?, 2 · 512 + 3 · 512 = ?, 16 · 410 = ?. 1.2.5 Uzupełnianie
wykładników potęg w przykładach typu: (a · a ? )(a ? · a ? ) = a ? .
Przekształcenia typu: 220 = (24 )5 = (22 )10 . 1.3.2
Przykłady typu:
Potęgowanie potęgi (7 zadań): 1.3.1
3
8
?
6
3
(a ) = a . 1.3.3 Przykłady typu: 2 = ? , 816 = ?12 . 1.3.4 Porównywanie potęg o tych samych podstawach
(np. (73 )5 < (79 )2 ) i potęg o różnych podstawach, które można sprowadzi do wspólnej podstawy (np.
98 > 275 ). 1.3.5 Porządkowanie potęg w kolejności od najmniejszej do największej — przykłady typu:
165 < 222 < 414 < 812 . 1.3.6 Przykłady typu: 26 = (2 ? ) ? , (45 )2 = (2 ? ) ? = 16 ? . 1.3.7
Porządkowanie potęg
w kolejności od najmniejszej do największej — przykłady typu: 215 < 66 < 49 < 312 .
Potęgowanie iloczynu i ilorazu (6 zadań): 1.4.1
Przekształcenia typu: (5x)2 = 25x2 . 1.4.2
Przekształ-
cenia typu: (9b)2 = 81b2 , (3ab)3 = 27a3 b3 , (9ab3 )2 = 81a2 b6 , (6a3 b4 )2 = 36a6 b8 . 1.4.3 Przekształcenia
2
10
2
2
2 4
9k
9ab2
6
= 81k
= 81ac 2 b . 1.4.4 Przykłady typu: 48 · 58 = ?8 , 1210 : 410 = ?10 ,
· 4910 = ?10 ,
typu:
2 ,
n
n
c
7
4 4
24
5
· 6 = ?4 . 1.4.5 Przykłady typu: (−8)19 · (−5)19 = ?19 , (−9)21 ·?21 = 8121 , ?15 : (−7)15 = (−2)15 . 1.4.6 Prze5
kształcenia wyrażeń z zastosowaniem potęgowania iloczynu i ilorazu — podsumowanie.
Działania na potęgach (4 zadania): 1.5.1 Stosowanie własności działań na potęgach — ćwiczenie wstępne.
3
1.5.2 Upraszczanie wyrażeń zawierających potęgi — przykłady typu: (a8 )3 : aa16 . 1.5.3 Obliczanie wartości
wyrażeń zawierających potęgi. 1.5.4 Uzupełnianie wykładników potęg w przykładach typu: (a ? ) ? : a ? = a ? .
Potęga o wykładniku
całkowitym ujemnym (8 zadań): 1.6.1 Potęga o wykładniku −1 — przykłady typu:
−1
= ?. 1.6.2 Obliczanie potęg o podstawie będącej liczbą całkowitą i wykładniku równym −1
2−1 = ?, − 65
lub −2. 1.6.3 Obliczanie potęg o wykładniku równym −1, −2 lub −3 i podstawie będącej ułamkiem
o liczniku 1. 1.6.4 Obliczanie potęg o podstawie będącej ułamkiem i wykładniku równym −1, −2 lub −3.
1.6.5 Obliczanie potęg o podstawie będącej liczbą mieszaną i wykładniku równym −1 lub −2. 1.6.6 Obliczanie
potęg o podstawie będącej ułamkiem dziesiętnym i wykładniku równym −1, −2 lub −3. 1.6.7 Porównywanie
potęg o wykładnikach całkowitych ujemnych. 1.6.8 Działania na potęgach — różne przykłady.
Pierwiastki (18 zadań)
Pierwiastki (8 zadań): 2.1.A Wstęp — nauka pierwiastków, których liczbami podpierwiastkowymi są kwadraty liczb od 10 do 20. 2.1.B Wstęp — nauka pierwiastków, których liczbami podpierwiastkowymi są
sześciany liczb od 1 do 9. 2.1.1
Obliczanie pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia z liczb całkowi√
√
√
tych (dodatnich i ujemnych). 2.1.2 Przykłady typu:
4,
0,04 i
400. 2.1.3 Przykłady typu:
? = 15,
√
√
√
3
3
? = 0,7,
? = −6,
? = 0,4. 2.1.4 Obliczanie pierwiastków stopnia drugiego i trzeciego z liczb mieszanych.
2.1.5 Ustalanie, czy podany pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest liczbą wymierną. 2.1.6 Umieszczanie punktów o współrzędnej będącej pierwiastkiem drugiego lub trzeciego stopnia na osi liczbowej.
√
√
3
2.1.7 Dobieranie dwóch liczb naturalnych tak, aby spełniony był warunek typu: ? < 15 <?, ? < 3 <.
√
√
√
2.1.8 Przykłady typu: Która z liczb: 363, 322, 332 leży pomiędzy liczbami 18 i 19 na osi liczbowej ?
√
Działania na pierwiastkach
(10zadań): 2.2.1
Przykłady typu:
112 = ?, 3 (−17)3 . 2.2.2 Przekształcenia
√ 3 √ √
3
3
typu: 5 = 3 5 = 53 =
54 = 5 · 5 = 52 . 2.2.3 Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka stopnia
56 =
√
√
√
√
√
3
3 7
3
drugiego. 2.2.4 Przekształcenia typu: 712 = 76 , 521 = 57 , 77 = ? · 7,
6 = ? · 6. 2.2.5 Przekształcenia
√
√
√
√
√
√
3
3
3
7
9
3
15
10
14
typu: 2 = 2 , ( 3) = 3 , ( 7) = ? · 7, ( 6) = ? · 6. 2.2.6 Wyłączanie liczby przed znak pierwiastka
stopnia trzeciego. 2.2.7 Włączanie liczby pod znak pierwiastka stopnia drugiego. 2.2.8 Włączanie liczby pod
√
√
√
znak pierwiastka stopnia trzeciego. 2.2.9 Umieszczanie punktów o współrzędnych typu: 175, 6 5, 5 6,
√
√ √
√ √
√
√
√
√
√
9 2 na osi liczbowej. 2.2.10 Przekształcenia typu: 7 + 7 = ?, 24 + 6 = ?, 48 − 27 = ?.
Wyrażenia algebraiczne (27 zadań)
Jednomiany i sumy algebraiczne (6 zadań): 4.1.1
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych — pozbywanie się nawiasów. 4.1.2 Zapisywanie wyrażeń algebraicznych — przykłady typu: liczba o 2 większa od połowy
liczby x, liczba o 10 % mniejsza od liczby x, suma kwadratu liczby x i kwadratu liczby y. 4.1.3 Upraszczanie
zapisu jednomianów — przykłady typu: y · 3xy · (−2)x. 4.1.4 Zapisywanie wyrażeń algebraicznych dotyczących procentów na podstawie opisu słownego. 4.1.5 Umieszczanie w diagramie wyrażeń algebraicznych, tak
aby otrzymać kwadrat magiczny. 4.1.6 Wstawianie nawiasów, tak aby otrzymać równość prawdziwą.
Mnożenie jednomianów przez sumy (6 zadań): 4.2.1 Wyłączanie liczby przed nawias w wyrażeniu algebraicznym. 4.2.2 Uzupełnianie wyrażeń, tak aby uzyskać równość prawdziwą — przykłady typu: 18n2 + ? =
= ? + 5. 4.2.3 Uzupełnianie wyrażeń, tak aby uzyskać równość prawdziwą — przykłady typu: ?(8c + ?) =
= 40bc + 25b, 9xy(? − ?) = 81x2 y − 27xy 2 . 4.2.4 Sprytne rachunki — przykłady typu: 832 · 249 − 832 · 248.
4.2.5 Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomiany — różne przykłady. 4.2.6
Wstawianie
nawiasów, tak aby otrzymać równość prawdziwą.
Wzory skróconego mnożenia (15 zadań):
A. Kwadrat sumy i kwadrat różnicy: 4.4A.1
Korzystanie ze wzorów na kwadrat sumy i różnicy dwóch
wyrażeń — ćwiczenie wprowadzające. 4.4A.2
Przykłady typu: (b + 3)2 = ? + ? + ?, (3x − 4)2 = ? − ? + ?.
2
Przykłady typu: Spośród wyrażeń: k + 9 − 6k, −6k + k2 + 6, 6 − 6k + k2 , k2 − 9 + 6k, k2 − 6k + 9,
4.4A.3
2
9 + k − 3k wskaż wszystkie, które są równe (k − 3)2 . 4.4A.4 Przykłady typu: (x + 12 )2 = ?, (2x − 14 )2 = ?.
4.4A.5 Uzupełnianie przykładów typu: t 2 − ? + ? = (? − 7)2 . 4.4A.6 Szukanie wyrażeń równych. 4.4A.7 Wskazywanie przekształceń wykonanych bezbłędnie. 4.4A.8 Uzupełnianie przykładów typu: x2 + 25 = (x + 5)2 − ?.
B. Iloczyn sumy przez różnicę: 4.4B.1 Korzystanie ze wzoru na iloczyn sumy przez różnicę — ćwiczenie
wprowadzające. 4.4B.2 Wskazywanie sumy algebraicznej równej podanemu iloczynowi — przykłady typu:
Które z wyrażeń: x2 + 100, x2 + 20, x2 − 100, x2 − 20 jest równe iloczynowi (x − 10)(x + 10)?. 4.4B.3 Przykłady
√
√
√
√
typu: ( 11 + 4)( 11 − 4) = ?, (3 2 − 8)(3 2 + 8) = ?. 4.4B.4 Sprytne rachunki — przykłady typu: 642 − 362 = ?.
4.4B.5 Szukanie wyrażeń równych. 4.4B.6 Wskazywanie przekształceń wykonanych bezbłędnie. 4.4B.7 Uzupełnianie przykładów typu: b2 − ? = (? − ?)(? + 2).
Trójkąty prostokątne (17 zadań)
Twierdzenie Pitagorasa (5 zadań): 6.1.A Wstęp — geometryczny dowód twierdzenia. 6.1.B Wstęp — inne
ujęcie twierdzenia Pitagorasa. 6.1.1 Mając dane pola dwóch kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta
prostokątnego, ustalanie pola kwadratu zbudowanego na trzecim boku tego trójkąta. 6.1.2 Wskazywanie
równości wynikających z twierdzenia Pitagorasa. 6.1.3 Obliczanie pola kwadratu zbudowanego na jednym
z boków trójkąta prostokątnego, mając dane długości pozostałych boków tego trójkąta. 6.1.4 Ustalanie
długości boków trójkąta prostokątnego na podstawie opisu — równości wynikającej z twierdzenia Pitagorasa.
6.1.5 Obliczanie długości jednego z boków trójkąta prostokątnego na podstawie danych długości dwóch
pozostałych boków.
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa (3 zadania): 6.2.1 Ustalanie, czy trójkąt o podanych
długościach boków jest prostokątny. 6.2.2 Dzielenie danego odcinka na trzy odcinki, z których można zbudować trójkąt prostokątny. 6.2.3 Sprawdzanie, czy trójkąt o danych długościach boków jest prostokątny,
ostrokątny, czy rozwartokątny.
Twierdzenie Pitagorasa w układzie współrzędnych (4 zadania): 6.4.1 Obliczanie długości odcinka umieszczonego w układzie współrzędnych na siatce kwadratowej. 6.4.2 Obliczanie długości odcinka o podanych
współrzędnych jego końców. 6.4.3
Rysowanie w układzie współrzędnych odcinka o podanej długości,
√
Mając dane współrzędne punktu leżącego na okręgu o środku w początku układu
np. 6 2. 6.4.4
współrzędnych, ustalanie brakującej współrzędnej innego punktu leżącego na tym samym okręgu.
Trójkąty o kątach 90◦ , 45◦ , 45◦ oraz 90◦ , 30◦ , 60◦ (5 zadań): 6.6.1
Ustalanie długości przyprostokątnej (przeciwprostokątnej) trójkąta prostokątnego równoramiennego o danej długości przeciwprostokątnej
(przyprostokątnej). 6.6.2
Ustalanie długości przeciwprostokątnej (jednej z przyprostokątnych) trójkąta
◦
prostokątnego o kątach 30 , 60◦ , 90◦ i danej długości jednej z przyprostokątnych (przeciwprostokątnej lub
drugiej przyprostokątnej). 6.6.3 Obliczanie długości dwóch boków trójkąta prostokątnego równoramiennego
o danej długości przeciwprostokątnej (jednej z przyprostokątnych). 6.6.4 Obliczanie długości dwóch boków
trójkąta prostokątnego o kątach 30◦ , 60◦ , 90◦ i danej długości przeciwprostokątnej (jednej z przyprostokątnych). 6.6.5 Obliczanie długości boków trójkątów prostokątnych o kątach 90◦ , 45◦ , 45◦ oraz 90◦ , 30◦ , 60◦
— różne przykłady.
Graniastosłupy (18 zadań)
Przykłady graniastosłupów (5 zadań): 8.1.A Wstęp — nauka rysowania graniastosłupów. 8.1.1
Rozpoznawanie graniastosłupów. 8.1.2
Wskazywanie wielokąta, który jest podstawą graniastosłupa o podanej
nazwie, np. graniastosłupa prawidłowego czworokątnego. 8.1.3 Ustalanie, ile krawędzi, wierzchołków i ścian
na podany graniastosłup. 8.1.4 Ustalanie sumy długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego o danych długościach krawędzi. 8.1.5
Znajomość własności graniastosłupów (wskazywanie zdań
prawdziwych).
Siatki graniastosłupów. Pole powierzchni (3 zadania): 8.2.A Wstęp — prezentacja różnych siatek graniastosłupów. 8.2.1 Wskazywanie figury będącej podstawą graniastosłupa na podstawie siatki jego powierzchni
bocznej. 8.2.2 Wskazywanie na siatce graniastosłupa ścian, które po złożeniu graniastosłupa będą spełniały
podany warunek (będą sąsiadowały z zaznaczoną ścianą, będą równoległe do zaznaczonej ściany, będą
prostopadłe do zaznaczonej ściany). 8.2.3 Ustalanie, czy dany rysunek przedstawia siatkę graniastosłupa.
Odcinki w graniastosłupach (4 zadania): 8.5.A Wstęp — prezentacja różnych przekątnych graniastosłupów. 8.5.1
Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa przekątnych ścian bocznych. 8.5.2
Zaznaczanie na
rysunku graniastosłupa przekątnych podstawy. 8.5.3 Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa jego przekątnych. 8.5.4 Obliczanie, za pomocą twierdzenia Pitagorasa, długości boków trójkąta prostokątnego będącego
połową przekroju sześcianu (graniastosłupa), mając dane jego wymiary.
Kąty w graniastosłupach (6 zadań): 8.6.A, 8.6.B Wstęp — prezentacja różnych kątów graniastosłupów.
8.6.1
Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa kątów pomiędzy krawędzią boczną a przekątną ściany
bocznej. 8.6.2
Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa kątów pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian
bocznych. 8.6.3 Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa kątów pomiędzy przekątną graniastosłupa a krawędzią boczną. 8.6.4 Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa kątów nachylenia przekątnej graniastosłupa
do płaszczyzny podstawy. 8.6.5 Zaznaczanie na rysunku graniastosłupa kątów nachylenia przekątnej ściany
bocznej do płaszczyzny podstawy. 8.6.6 Obliczanie, z zastosowaniem własności trójkątów o kątach 45◦ ,
45◦ , 90◦ oraz 30◦ , 60◦ , 90◦ , długości krawędzi graniastosłupa, mając dane informacje na temat trójkąta
prostokątnego będącego połową przekroju tego graniastosłupa.
Klasa 3 gimnazjum (76 zadań)
Liczby i wyrażenia algebraiczne (33 zadania)
Różne sposoby zapisywania liczb (9 zadań): 1.1.1 Ustalanie, czy podana liczba jest naturalna, całkowita,
wymierna. 1.1.2 Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne. 1.1.3 Zaokrąglanie liczb. 1.1.4 Spośród różnych
potęg wybieranie tych, które są liczbą naturalną (całkowitą ujemną / wymierną, która nie jest całkowita).
1.1.5 Zapisywanie liczb w notacji wykładniczej. 1.1.6 Porównywanie liczb (liczb całkowitych, ułamków, potęg,
pierwiastków). 1.1.7 Szacowanie wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych. 1.1.8
Znajomość
pojęcia wartości bezwzględnej — przykłady typu: 18 + | − 4| = ?, |4 + (−18)| = ?, −| − 3| + 17 = ?, |12| + | − 2| =
?. 1.1.9
Porównywanie liczb zapisanych w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych, a także potęg
i pierwiastków.
Działania na liczbach (7 zadań): 1.2.1 Działania na ułamkach dziesiętnych. 1.2.2 Szacowanie wyników
działań na liczbach rzeczywistych. 1.2.3 Ustalanie ostatniej cyfry liczby będącej wynikiem działania (dodawania, odejmowania, mnożenia, potęgowania) na liczbach całkowitych. 1.2.4 Własności działań na potęgach.
1.2.5 Działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej. 1.2.6 Szacowanie wartości pierwiastków
kwadratowych. 1.2.7 Szacowanie wartości pierwiastków kwadratowych i sześciennych oraz wyrażeń zawierających te pierwiastki.
Obliczenia procentowe (7 zadań): 1.3.1
Obliczanie procentu danej liczby. 1.3.2 Zamiana ułamków na
procenty. 1.3.3 Obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu. 1.3.4 Rozwiązywanie zadań tekstowych
dotyczących ustalenia, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba. 1.3.5 Szacowanie wyników obliczeń
procentowych. 1.3.6 Ustalanie, jakim procentem długości jednego odcinka jest długość drugiego odcinka.
1.3.7 Umieszczanie na osi punktów A, B i C tak, aby odcinek AC był o określony procent dłuższy lub
krótszy od odcinka AB.
Przekształcenia algebraiczne (6 zadań): 1.4.1 Zapisywanie liczby o dany procent większej lub mniejszej
od podanej. 1.4.2
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych — opuszczanie nawiasów. 1.4.3 Umieszczanie
w diagramie wyrażeń algebraicznych, tak aby otrzymać kwadrat magiczny. 1.4.4 Przekształcanie wyrażeń
algebraicznych (włączanie w nawias i wyłączanie przed nawias) — różne przykłady. 1.4.5 Sprytne rachunki
— przykłady typu: 376 · 417 − 376 · 416 = ?. 1.4.6
Wstawianie nawiasów, tak aby otrzymać równość
prawdziwą.
Równania, nierówności, układy równań (4 zadania): 1.5.1 Układanie równania zgodnego z podaną treścią. 1.5.2 Przedstawianie rozwiązania nierówności liniowej na osi liczbowej. 1.5.3 Ustalanie, która z podanych
par liczb spełnia dany układ równań. 1.5.4
Uzupełnianie współczynników w układzie równań, tak aby
otrzymać układ nieoznaczony, sprzeczny lub oznaczony.
Funkcje (22 zadania)
Pojęcie funkcji. Zależności funkcyjne (15 zadań): 2.3.A, 2.3.B, 2.3.C, 2.3.D Wstępy — animacje dotyczące
podstawowych własności funkcji. 2.3.1
Rysowanie wykresu funkcji na podstawie tabelki. 2.3.2
Wskazywanie argumentów, dla których funkcja przedstawiona za pomocą grafu przyjmuje określoną wartość,
ustalanie wartości funkcji dla podanego argumentu i wskazywanie miejsc zerowych. 2.3.3 Ustalanie dziedziny
funkcji. 2.3.4 Ustalanie zbioru wartości funkcji. 2.3.5 Ustalanie wartości funkcji przedstawionej na wykresie
dla podanego argumentu. 2.3.6 Wskazywanie wszystkich argumentów, dla których funkcja przedstawiona na
wykresie przyjmuje podaną wartość. 2.3.7 Wskazywanie największej i najmniejszej wartości funkcji przedstawionej na wykresie. 2.3.8 Ustalanie współrzędnych punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układy
współrzędnych. 2.3.9 Ustalanie miejsc zerowych funkcji przedstawionej na wykresie. 2.3.10 Wskazywanie
argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne. 2.3.11 Wskazywanie nierówności,
którą spełniają argumenty, dla których funkcja przedstawiona na wykresie przyjmuje wartości dodatnie lub
ujemne. 2.3.12 Ustalanie zbioru argumentów, dla których funkcja przedstawiona na wykresie jest rosnąca,
malejąca lub stała. 2.3.13 Ustalanie, czy funkcja przedstawiona na wykresie w podanym zbiorze jest rosnąca,
malejąca, czy stała. 2.3.14 Wskazywanie nierówności, którą spełnia zbiór argumentów, w którym funkcja
przedstawiona na wykresie jest rosnąca, malejąca lub stała. 2.3.15 Wskazywanie zbioru argumentów, dla
których funkcja przedstawiona na wykresie spełnia podany warunek dotyczący wartości tej funkcji, np.
przyjmuje wartości większe lub równe −1.
Wzory i wykresy (7 zadań): 2.4.1
Ustalanie, które z punktów o podanych współrzędnych należą do
wykresu funkcji o podanym wzorze. 2.4.2
Ustalanie, czy dana liczba jest miejscem zerowym funkcji
przedstawionej za pomocą wzoru. 2.4.3 Ustalanie brakującej współrzędnej (odciętej lub rzędnej) punktu,
o którym wiadomo, że należy do wykresu funkcji o podanym wzorze. 2.4.4 Ustalanie, czy punkt o podanych
współrzędnych jest punktem przecięcia wykresu funkcji o podanym wzorze z osią x lub osią y układu
współrzędnych. 2.4.5 Ustalanie, który z podanych wzorów jest wzorem funkcji liniowej przedstawionej na
wykresie. 2.4.6 Obliczanie drugiej współrzędnej punktu leżącego na wykresie funkcji o podanym wzorze.
2.4.7 Dopasowywanie wzorów funkcji kwadratowych postaci y = ax2 + c do ich wykresów.
Figury podobne (21 zadań)
Twierdzenie Talesa (4 zadania): 4.1.1, 4.1.2 Uzupełnianie wyrazów proporcji wynikającej z twierdzenia
Talesa. 4.1.3 Obliczanie długości odcinka położonego na jednym z ramion kąta lub na jednej z prostych
równoległych przecinających ten kąt. 4.1.4 Wskazywanie wszystkich proporcji, które wynikają z twierdzenia
Talesa.
Podobieństwo figur (7 zadań): 4.3.A Wstęp — sprawdzanie, czy figury przedstawione na rysunku są
podobne. 4.3.B Wstęp — prezentacja sposobu powstawania figury podobnej do danej. 4.3.C Wstęp —
prezentacja cech figur podobnych. 4.3.1 Ustalanie, czy przedstawione na rysunku figury są podobne.
4.3.2 Ustalanie skali podobieństwa dwóch figur przedstawionych na rysunku. 4.3.3 Obliczanie długości boku
figury podobnej do danej w określonej skali. 4.3.4 Uzupełnianie wyrazów proporcji dotyczącej boków figur
podobnych. 4.3.5 Obliczanie długości odcinka występującego w figurze podobnej do danej, mając dane
długości odpowiadających sobie odcinków w obu figurach. 4.3.6 Wskazywanie prostokątów podobnych.
4.3.7 Znajomość własności podobieństwa figur (wskazywanie zdań prawdziwych).
Pola figur podobnych (4 zadania): 4.4.A Wstęp — zależność między skalą podobieństwa i stosunkiem pól
figur podobnych. 4.4.1 Ustalanie, ile razy pole jednej z figur przedstawionych na siatce kwadratowej jest
większe (mniejsze) od pola drugiej figury do niej podobnej. 4.4.2 Obliczanie pól i obwodów figur podobnych
w określonej skali. 4.4.3 Ustalanie, ile razy pole jednej z figur jest większe (mniejsze) od pola drugiej
figury podobnej do niej w podanej skali. 4.4.4
Znajomość własności dotyczących pól figur podobnych
(wskazywanie zdań prawdziwych).
Cechy podobieństwa trójkątów (6 zadań): 4.5.1 Wskazywanie par trójkątów podobnych (z podpowiedzią,
z której z cech podobieństwa należy skorzystać, żeby to ustalić). 4.5.2 Ustalanie, czy trójkąty przedstawione
na rysunku są podobne, a jeśli tak, to na podstawie której cechy podobieństwa. 4.5.3 Ustalanie miary
wskazanego kąta trójkąta o podanych długościach boków, wiedząc, że ten trójkąt jest podobny do
innego trójkąta o podanych wszystkich kątach i długościach boków. 4.5.4 Obliczanie długości boku
trójkąta podobnego do innego trójkąta z zastosowaniem cech podobieństwa. 4.5.5 Wskazywanie trójkątów
prostokątnych podobnych. 4.5.6 Ustalanie brakujących wyrazów proporcji wynikających z podobieństwa
trójkątów prostokątnych.