Model Hubbarda Teoria i symulacja dla przypadku 1D

Model Hubbarda
Teoria i symulacja dla przypadku 1D
Rafał Topolnicki
KNF ”Migacz” Uniwersytet Wrocławski
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
1 / 41
Plan
Plan
Idea modelu Hubbarda,
Wybrane twierdzenia na przypadku 1D,
Analityczne rozwiązanie dla ”kryształu” składającego się z dwóch elektronów
i dwóch węzłów,
Symulacja komputerowa:
Problemy numeryczne,
Operacje na macierzach rzadkich,
Schemat działania programu,
Wyniki
Literatura
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
2 / 41
Plan
O modelu
Model Hubbarda to ”skrajnie uproszczony model” uwzględniający oddziaływania
elektron-elektron w ciele stałym
Ashcroft Mermin Fizyka ciała stałego
Możliwości
Mimo swojej prostoty model jest niezwykle trudny do rozwiązania. Niemniej
jednak pozwala na opis takich zjawisk jak:
antyferromagnetyzm, ferromagnetyzm, ferrimagnetyzm,
nadprzewodnictwo,
przewidywanie metal/izolator
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
3 / 41
Plan
O potrzebie modelu Hubbarda
Model prawie swobodnych elektronów:
elektrony poruszają się w periodycznym U (r + R) = U (r) potencjalne rdzeni
jonowy (oddziaływanie jon-elektron),
istnienie słabego potencjału prowadzi do pasmowej struktury ciała stałego,
przybliżenie Hartree-Focka może prowadzić do błędnych wyników,
przykład: CoO ma nieparzystą liczbę elektronów w komórce elementarnej zgodnie z teorią pasmową powinien być przewodnikiem. Niestety jest
izolatorem.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
4 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Określenie modelu
Założenia modelu:
Sieć krystaliczna Λ składa się z węzłów Λ = {x, y, . . .}
Zakładamy, że atomy sieci znajdują się w
stanie podstawowym,
Elektrony wewnętrznych powłok pozostają
niezaburzone i związane z rdzeniem. Mogą
jednak z niezerowym prawdopodobieństwem
tunelować do sąsiednich węzłów.
Pomijamy elektrony wewnętrznych powłok
(za duża energia wzbudzenia)
Pomijamy całkowicie strukturę wewnętrzną
atomów. Elektrony ”żyją” na sieci.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
5 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Przeskoki (hopping) elektronów
Gdy pominiemy oddziaływania elektron-elektron
X
Ht = −
tij c†i cj
ij∈Λ
gdzie tij = tji odpowiada prawdopodobieństwu przejścia elektronu z węzła j do
węzła i
Z
tij ∝ hi|ji = d3 rφ(r − Ri )∗ φ(r − Rj )
φ(r − Ri ) - funkcja falowa elektronu na i-ty węźle. Uwzględniamy spin:
X X
Ht = −
tij c†iσ cjσ
ij∈Λ σ=↑,↓
Ht uwzględnia więc wszystkie możliwe przeskoki elektronów w układzie
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
6 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Przeskoki (hopping) elektronów
W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów
X
X †
Ht = −
tij c†iσ cjσ =1D −
ciσ c(i+1)σ + c†(i+1)σ ciσ
iσ
hijiσ
Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać
bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron
znajduje się orbitalu p- lub d- wtedy łatwiej
przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej.
Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki
do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
7 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Przeskoki (hopping) elektronów
W przybliżeniu ograniczamy się do najbliższych sąsiadów
X
X †
Ht = −
tij c†iσ cjσ =1D −
ciσ c(i+1)σ + c†(i+1)σ ciσ
iσ
hijiσ
Bliskość w sensie geometrycznym nie musi oznaczać
bliskości w sensie energetycznym. Gdy elektron
znajduje się orbitalu p- lub d- wtedy łatwiej
przeskoczyć mu do sąsiada po przekątnej.
Najlepsze wyniki uzyskuje się uwględniając przeskoki
do najbliższego i drugiego-najbliżeszego sąsiada.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
7 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Oddziaływanie elektronów ze sobą
Najogólniejsza postać:
Z
U=
d3 r1 d3 r2 |φ(r1 )|2 V (|r1 − r2 |)|φ(r2 )|2
Oddziaływanie Columbowskie jest długo zasięgowe. W ciele stałym jest ono
jednak ekranowane:
1
V (r) = e−rk
r
długość ekranowania k −1 jest wielkością rzędu promienia Bohra stąd największy
wkład mają dwukrotnie okupowane stany:
X
HU = U
ni↑ ni↓
i
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
8 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Hamiltonian Hubbarda
H = Ht + HU
=−
XX
ij∈Λ σ
= −t
X hi,ji,σ
tij c†iσ cjσ + U
XX
niσ
i∈Λ σ
X
c†iσ cjσ + c†jσ ciσ + U
niσ
iσ
. . . i jego podstawowe właściwości
fizyka układu zależy od U/t
U −→ ∞ podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy
N = |Λ| układ dąży stanu njσ = 1 ∀j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne
energetycznie - izolator.
dla U < ∞ człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą
dla U = 0 metal
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
9 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Hamiltonian Hubbarda
H = Ht + HU
=−
XX
ij∈Λ σ
= −t
X hi,ji,σ
tij c†iσ cjσ + U
XX
niσ
i∈Λ σ
X
c†iσ cjσ + c†jσ ciσ + U
niσ
iσ
. . . i jego podstawowe właściwości
fizyka układu zależy od U/t
U −→ ∞ podwójne obsadzanie węzłów jest energetycznie niekorzystne. Gdy
N = |Λ| układ dąży stanu njσ = 1 ∀j, σ. Fluktuacje ładunku są kosztowne
energetycznie - izolator.
dla U < ∞ człon kinetyczny i potencjalny konkurują ze sobą
dla U = 0 metal
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
9 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Użyteczne obserwable
Operator całkowitej liczby cząstek
N̂ =
X
ni,σ
i∈Λ,σ
Oczywiście 0 ¬ N ¬ 2|Λ|
Operator spinu w węźle i ∈ Λ
(α)
Ŝi
=
1 X † (α)
c (p )σ,τ ciσ
2 σ,τ iσ
gdzie α = 1, 2, 3 i p(α) to macierze Pauliego:
0 1
0 −i
1
p(1) =
, p(2) =
, p(3) =
1 0
i 0
0
0
−1
Operator całkowitego spinu
(α)
Ŝtot =
X
(α)
Si
i∈Λ
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
10 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
. . . i ich własności
[N̂ , H] = 0 - hamiltonian nie zmienia liczby cząstek w układzie,
(α)
(α)
[Ŝtot , Ht ] = [Ŝtot , HU ] = 0
(α)
operatory Ŝtot nie komutują ze sobą. Postępujemy podobnie jak w wypadku
momentu pędu. Operator kwadratu całkowitego spinu:
2
(Ŝtot ) =
3
X
(α)
(Ŝtot )2
α=1
(3)
(3)
Wartości własne Ŝtot i (Ŝtot )2 to odpowiednio Stot i Stot (Stot + 1).
Maksymalny spin
Smax =
Rafał Topolnicki
N/2
gdy 0 ¬ N ¬ |Λ|
|Λ| − N/2 gdy |Λ| ¬ N ¬ 2|Λ|
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
11 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Non-Hopping System
Wróćmy do najogólniejszej postaci HH. Załóżmy, że tij = 0. Wtedy macierz
hamiltonianu jest diagonalna. Niech Xσ ⊂ Λ to zbiór wszystkich węzłów sieci
zajętych przez elektrony o spinie σ. Stan własny
hamiltonianu:



Y †
Y †
Ψ=
ci↑  
cj↓  |∅i
i∈X↑
j∈X↓
Energia własna:
E=
X
Ux
x∈X↑ ∩X↓
Stan podstawowy dla danej liczby elektronów E można wybrać tak aby
minimalizował energię E. Jeżeli N = |X↑ | + |X↓ | ¬ |Λ| stan można wybrać tak
aby X↑ ∩ X↓ = ∅, wtedy E = 0. Brak uporządkowania. Paramagnetyk
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
12 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Non-Interacting System
Oddziaływanie między elektronami znosimy przyjmując Ui = 0 ∀i ∈ Λ.
Gdy widmo energii własnych jest niezdegenerowane a N parzyste
stan podstawowy jest zadany jednoznacznie


N/2
Y † †
aj↑ aj↓  |∅i
ΨGS = 
j=1
Całkowity spin tego stanu wynosi 0 a stan wykazuje właściwości
paramagnetyczne.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
13 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Najniższa energia
Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1, . . . , Smax . Określamy
Emin (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają N̂ Φ = N Φ
oraz (Sˆtot )2 Φ = S(S + 1)Φ
Magnetyczne właściwości układu
Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości sieci
|Λ| =⇒ ferrimagnetyzm
Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy Smax to mówimy
że system wykazuje ferromagnetyzm.
Zgodnie z poprzednią definicją możemy warunek na ferromagnetyzm możemy
zapisać jako:
Emin (S) > Emin (Smax ) ∀S < Smax
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
14 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Najniższa energia
Niech N jest ustaloną liczbą elektronów. Dla S = 0, 1, . . . , Smax . Określamy
Emin (S) jako najniższą możliwą energię własną stanów które spełniają N̂ Φ = N Φ
oraz (Sˆtot )2 Φ = S(S + 1)Φ
Magnetyczne właściwości układu
Jeżeli całkowity spin stanu podstawowego jest proporcjonalny do wielkości sieci
|Λ| =⇒ ferrimagnetyzm
Jeżeli dodatkowo całkowity spin stanu podstawowego jest równy Smax to mówimy
że system wykazuje ferromagnetyzm.
Zgodnie z poprzednią definicją możemy warunek na ferromagnetyzm możemy
zapisać jako:
Emin (S) > Emin (Smax ) ∀S < Smax
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
14 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Twierdzenie Lieba-Mattisa
Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2, . . . , N } z
otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że 0 < |txy | < ∞ gdy |x − y| = 1 i
|txy | = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo |Ux | < ∞, wtedy energia
minimalna Emin (S) spełnia nierówność:
Emin (S) < Emin (S + 1)
dla każdego S = 0, 1, . . . , Smax .
Wnioski
stan podstawowy układu ma całkowity spin Stot = 0,
brak ferromegnetyzmu,
twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych,
zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego
sąsiada,
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
15 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Twierdzenie Lieba-Mattisa
Rozważmy model Hubbarda na jednowymiarowej sieci Λ = {1, 2, . . . , N } z
otwartymi warunkami brzegowymi. Zakładamy, że 0 < |txy | < ∞ gdy |x − y| = 1 i
|txy | = 0 w przeciwnym przypadku. Niech dodatkowo |Ux | < ∞, wtedy energia
minimalna Emin (S) spełnia nierówność:
Emin (S) < Emin (S + 1)
dla każdego S = 0, 1, . . . , Smax .
Wnioski
stan podstawowy układu ma całkowity spin Stot = 0,
brak ferromegnetyzmu,
twierdzenie nie jest udowodnione dla periodycznych warunków brzegowych,
zupełnie inne zachowanie układu gdy dopuszczamy przeskoki do drugiego
sąsiada,
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
15 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Twierdzenie Koma-Tasakiego
Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami.
Istnieją wtedy stałe α, γ oraz
|x − y|−αf (β)
dla d = 2
† †
|hcc↑ cx↓ cy↑ cy↓ + h.ciβ | ¬
exp(−γf (β)|x − y|) dla d = 1
i
|hSx · Sy iβ | ¬
|x − y|−αf (β)
dla
exp(−γf (β)|x − y|) dla
d=2
d=1
dla odpowiednio dużego |x − y|, gdzie h. . .iβ to średnia kanoniczna w granicy
termodynamicznej β = 1/kT a f (β) to malejąca funkcja β która dla małych β
zachowuje się jak | ln β| a dla dużych jak β −1 .
Wnioski
Nie tworzą się pary elektronowe −→ nie ma nadprzewodnictwa.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
16 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Twierdzenie Koma-Tasakiego
Rozważmy model Hubbarda w 1 lub 2 wymiarach z skończonymi przeskokami.
Istnieją wtedy stałe α, γ oraz
|x − y|−αf (β)
dla d = 2
† †
|hcc↑ cx↓ cy↑ cy↓ + h.ciβ | ¬
exp(−γf (β)|x − y|) dla d = 1
i
|hSx · Sy iβ | ¬
|x − y|−αf (β)
dla
exp(−γf (β)|x − y|) dla
d=2
d=1
dla odpowiednio dużego |x − y|, gdzie h. . .iβ to średnia kanoniczna w granicy
termodynamicznej β = 1/kT a f (β) to malejąca funkcja β która dla małych β
zachowuje się jak | ln β| a dla dużych jak β −1 .
Wnioski
Nie tworzą się pary elektronowe −→ nie ma nadprzewodnictwa.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
16 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Half-Filled Systems
Half-Filled System - N = |Λ| - fizycznie najczęściej spotykana sytuacja.
Definicja: Dwudzielność
Rozważmy dowolny model Hubbarda na sieci Λ. Powiemy, że
układ jest dwudzielny, jeżeli Λ może być przedstawiony jako
rozłączna suma dwóch zbiorów A i B (tj. Λ = A ∪ B i
A ∩ B = ∅) oraz txy = 0 (∀x, y ∈ A lub x, y ∈ B)
Twierdzenie Lieba
Rozważmy dowolny dwudzielny model Hubbarda na dowolnej spójnej sieci Λ.
Zakładamy, że |Λ| jest parzyste oraz że Ux = U > 0 ∀x ∈ Λ. Wtedy stan
podstawowy jest niezdegenerowany i jego spin całkowity wynosi
Stot = ||A| − |B||/2
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
17 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Half-Filled Systems
Half-Filled System - N = |Λ| - fizycznie najczęściej spotykana sytuacja.
Definicja: Dwudzielność
Rozważmy dowolny model Hubbarda na sieci Λ. Powiemy, że
układ jest dwudzielny, jeżeli Λ może być przedstawiony jako
rozłączna suma dwóch zbiorów A i B (tj. Λ = A ∪ B i
A ∩ B = ∅) oraz txy = 0 (∀x, y ∈ A lub x, y ∈ B)
Twierdzenie Lieba
Rozważmy dowolny dwudzielny model Hubbarda na dowolnej spójnej sieci Λ.
Zakładamy, że |Λ| jest parzyste oraz że Ux = U > 0 ∀x ∈ Λ. Wtedy stan
podstawowy jest niezdegenerowany i jego spin całkowity wynosi
Stot = ||A| − |B||/2
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
17 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Twierdzenie o znaku korelacji spinowych
Przy założeniach poprzedniego twierdzenia zachodzi:
> 0 gdy x, y ∈ A albo x, y ∈ B
ˆ
ˆ
hΨGS Sx Sy ΨGS i =
< 0 gdy x ∈ A, y ∈ B albo x ∈ B, y ∈ A
Ferrimagnetyzm na przykładzie CuO
sieć możemy podzielić na dwie podsieci czarną i białą,
na czarnej sieci długości L znajduje się L2
czarnych i 2L2 białych węzłów,
zakładamy, że txy 6= 0 dla każdej krawędzi,
z tw. Lieba mamy Stot = ||A| − |B||/2 = L2 /2
ale całkowity spin ∝ 3L2
ferrimagnetyzm
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
18 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Prawdziwa sieć CuO
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
19 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Ferromagnetyzm w modelu Hubbarda
Ferromagnetyzm - wszystkie spiny w tą samą stronę,
Układy Half-Filled mają tendencję do antyferromagnetyzmu,
Twierdzenie - brak ferromagnetyzmu dla małych U
Niech {εj }j=1,...,N to energie własne stanów jednoelektronowych εj ¬ εj+1 .
Jeżeli 0 ¬ U ¬ εN − ε1 to
Emin (Smax − 1) < Emin (Smax )
i w stanie podstawowym nie zachodzi Stot = Smax
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
20 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Mielke’s Ferromanetism
Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu
”kagome”, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy
układu ma Stot = Smax i jest niezdegenerowany.
Ferromagnetyzm w prostym modelu
Λ = {1, 2, 3},
jeden elektron σ =↑, jeden σ =↓,
t12 = t23 = t0 , t13 = t
stany: Φxy = c†x↑ c†y↓ , x 6= y
U1 = U2 = U3 = U −→ ∞
stan podstawowy ma spin Stot = 1
ferromagnetyk
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
21 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Mielke’s Ferromanetism
Weźmy dowolny model Hubbarda na sieci typu
”kagome”, wtedy dla każdego U > 0, stan podstawowy
układu ma Stot = Smax i jest niezdegenerowany.
Ferromagnetyzm w prostym modelu
Λ = {1, 2, 3},
jeden elektron σ =↑, jeden σ =↓,
t12 = t23 = t0 , t13 = t
stany: Φxy = c†x↑ c†y↓ , x 6= y
U1 = U2 = U3 = U −→ ∞
stan podstawowy ma spin Stot = 1
ferromagnetyk
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
21 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Ferromagnetyzm w osobliwym krysztale 1D
Λ = {1, 2, . . . , N },
periodyczne warunki brzegowe,
0
Twierdzenie o ferromagnetyzmie w
osobliwym krysztale
tx,x+1 = tx+1,x = t
Jeżeli dwa bezwymiarowe parametry t/s i
t
x parzyste
U/t są wystaczająco duże, to stan
tx,x+2 =
−s x nieparzyste podstawowy jest niezdegenerowany i posiada
Stot = Smax
√
t0 = 2(t + s)
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
22 / 41
Model Hubbarda i jego właściwości
Ferromagnetyzm w osobliwym krysztale 1D
Λ = {1, 2, . . . , N },
periodyczne warunki brzegowe,
0
Twierdzenie o ferromagnetyzmie w
osobliwym krysztale
tx,x+1 = tx+1,x = t
Jeżeli dwa bezwymiarowe parametry t/s i
t
x parzyste
U/t są wystaczająco duże, to stan
tx,x+2 =
−s x nieparzyste podstawowy jest niezdegenerowany i posiada
Stot = Smax
√
t0 = 2(t + s)
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
22 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Model N=2, |Λ|=2
Weźmy skrajnie uproszczony przypadek - N=2 elektrony, |Λ|=2 węzły sieci
stan
|φ1 i
|φ2 i
|φ3 i
|φ4 i
|φ5 i
|φ6 i
•
↑
∅
↑
↓
↓↑
↓
•
↑
↑↓
↓
↑
∅
↓
wektory bazowe
c†1↑ c†0↑ |∅i
c†0↓ c†0↑ |∅i
c†0↓ c†1↑ |∅i
c†1↓ c†0↑ |∅i
c†1↓ c†1↑ |∅i
c†0↓ c†1↓ |∅i
binkod
|1010i
|0011i
|1001i
|0110i
|1100i
|0101i
Obserwacje:
Macierz dowolnego operatora w bazie {|φi i}i będzie macierzą 6x6,
Suma jedynek w binkodzie jest równa ilości elektronów,
Wektory bazowe nie są zadane jednoznacznie,
Stany c†iσ c†iσ nie są dozwolone,
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
23 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część potencjalna
Widać, że część potencjalna daje wkład jedynie gdy dany węzeł jest zajmowany
przez 2 elektrony. Jest to miara ich elektrostatycznego oddziaływania.
0|φi i i = {1, 3, 4, 6}
HU |φi i =
U |φi i i = {2, 5}
Stąd macierz potencjalnej składowej hamiltonianu ma postać:


0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0


0 0 0 0 0 0


HU = U 

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
24 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna
Aby znaleźć stan Ht |φi i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów:
{ar , a†s } = δrs ⇒ ar a†s = 1 − a†s ar
† †
ar as = −a†s a†r
{a†r , a†s } = {ar , as } = 0 ⇒
ar as = −as ar
Dla przykładu znajdziemy:
Ht |φ2 i = −t(c†1↑ c0↑ + c†1↓ c0↓ )c†0↓ c†0↑ |∅i
†
† †
†
† †
= −t(c
1↑ c0↑ c0↓ c0↑ + c1↓ c0↓ c0↓ c0↑ )|∅i
= −t −c†1↑ c†0↓ c0↑ c†0↑ + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i
= −t −c†1↑ c†0↓ (1 − c†0↑ c0↑ ) + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i




= −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↑ c†0↓ c†0↑ c0↑ +c†1↓ c†0↑ − c†1↓ c†0↓ c0↓ c†0↑  |∅i
{z
}
|
{z
}
|
=0
=0
= −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↓ c†0↑ |∅i = −t(|φ3 i + |φ4 i)
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
25 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna
Aby znaleźć stan Ht |φi i korzystamy z relacji antykomutacyjnych dla fermionów:
{ar , a†s } = δrs ⇒ ar a†s = 1 − a†s ar
† †
ar as = −a†s a†r
{a†r , a†s } = {ar , as } = 0 ⇒
ar as = −as ar
Dla przykładu znajdziemy:
Ht |φ2 i = −t(c†1↑ c0↑ + c†1↓ c0↓ )c†0↓ c†0↑ |∅i
†
† †
†
† †
= −t(c
1↑ c0↑ c0↓ c0↑ + c1↓ c0↓ c0↓ c0↑ )|∅i
= −t −c†1↑ c†0↓ c0↑ c†0↑ + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i
= −t −c†1↑ c†0↓ (1 − c†0↑ c0↑ ) + c†1↓ (1 − c†0↓ c0↓ )c†0↑ |∅i




= −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↑ c†0↓ c†0↑ c0↑ +c†1↓ c†0↑ − c†1↓ c†0↓ c0↓ c†0↑  |∅i
{z
}
|
{z
}
|
=0
=0
= −t −c†1↑ c†0↓ + c†1↓ c†0↑ |∅i = −t(|φ3 i + |φ4 i)
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
25 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Efektywniejsze sposoby znajdowania elementów macierzowych
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
26 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Efektywniejsze sposoby znajdowania elementów macierzowych
Metoda obrazkowa
Załóżmy, że mamy układa składający się z dwóch elektronów i trzech węzłów.
Element macierzowy Hij między stanem |ψi i i |ψj i
|ψi i = ↑
Rafał Topolnicki
↓
|ψj i =
↑
∅
↓
Hij = −t
przeskok
|ψk i =
↑
↑
∅
Hik = 0
obrót spinu
|ψl i =
∅
↓
↑
Hil = 0
podwójny przeskok
|ψn i =
↑↓
∅
∅
∅
Model Hubbarda
Hin = −t przeskok
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
27 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna
Podobnie znajdujemy pozostałe stany:
Ht |φ1 i
Ht |φ2 i
Ht |φ3 i
Ht |φ4 i
Ht |φ5 i
Ht |φ6 i
Rafał Topolnicki
=0
= −t(|φ3 i + |φ4 i)
= −t(|φ2 i + |φ5 i)
= −t(|φ2 i + |φ5 i)
= −t(|φ3 i + |φ4 i)
=0
Model Hubbarda
Stąd macierz Ht ma postać:

0 0 0 0 0
0 0 1 1 0

0 1 0 0 1
Ht = −t 
0 1 0 0 1

0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010

0
0

0

0

0
0
28 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Model N=2, |Λ|=2 - Hamiltonian. Część kinetyczna
Podobnie znajdujemy pozostałe stany:
Ht |φ1 i
Ht |φ2 i
Ht |φ3 i
Ht |φ4 i
Ht |φ5 i
Ht |φ6 i
Rafał Topolnicki
=0
= −t(|φ3 i + |φ4 i)
= −t(|φ2 i + |φ5 i)
= −t(|φ2 i + |φ5 i)
= −t(|φ3 i + |φ4 i)
=0
Model Hubbarda
Stąd macierz Ht ma postać:

0 0 0 0 0
0 0 1 1 0

0 1 0 0 1
Ht = −t 
0 1 0 0 1

0 0 1 1 0
0 0 0 0 0
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010

0
0

0

0

0
0
28 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Zmniejszenie wymiaru macierzy H
Zachowanie Sz pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, Sz ] = 0,
pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4
Operator odbicia lustrzanego
Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1}
M (0) = 1 ,
M (1) = 0
Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta
rozwiązań:
Mc†0σ c†1π |∅i = c†M (0)σ c†M (1)π |∅i = c†1σ c†0π |∅i
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
σ, π ∈ {↓, ↑}
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
29 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Zmniejszenie wymiaru macierzy H
Zachowanie Sz pod działaniem H, które wynika z ogólnego faktu [H, Sz ] = 0,
pozwala zredukować macierz 6x6 do dwóch macierzy 1x1 i jednej 4x4
Operator odbicia lustrzanego
Zdefiniujmy operator odbicia lustrzanego na sieci Λ = {0, 1}
M (0) = 1 ,
M (1) = 0
Z operatorem M można stowarzyszyć operator M w przestrzeni Hilberta
rozwiązań:
Mc†0σ c†1π |∅i = c†M (0)σ c†M (1)π |∅i = c†1σ c†0π |∅i
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
σ, π ∈ {↓, ↑}
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
29 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Wartości własne




H=



0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
−2t 0
−2t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
0
0
0
0
0
0
0
 Wartości własne macierzy H
E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu


(Sz = +1, 0, −1),


E = U wartość odpowiadająca


wektorowi |ψ5 i,

p
E± = U/2 ± (U/2)2 + 4t2
Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E− < 0 i jest singletem. Pierwszy
stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0.
Funkcja falowa stanu podstawowego
GGGGGGGGGGA
p
U t
|ψ3 i ∼ |φ3 i + |φ4 i
|E− i = 4|ψ2 i + U + U 2 + 16 |ψ3 i
Dla U t mamy: E− ≈ −
Rafał Topolnicki
4t2
,
U
E+ ≈ U
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
30 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Wartości własne




H=



0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
−2t 0
−2t
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
U
0
0
0
0
0
0
0
 Wartości własne macierzy H
E = 0 tryplet dla trzech wartości spinu


(Sz = +1, 0, −1),


E = U wartość odpowiadająca


wektorowi |ψ5 i,

p
E± = U/2 ± (U/2)2 + 4t2
Stan podstawowy ma energię odpowiada energii E− < 0 i jest singletem. Pierwszy
stan wzbudzony jest trypletem o energii E = 0.
Funkcja falowa stanu podstawowego
GGGGGGGGGGA
p
U t
|ψ3 i ∼ |φ3 i + |φ4 i
|E− i = 4|ψ2 i + U + U 2 + 16 |ψ3 i
Dla U t mamy: E− ≈ −
Rafał Topolnicki
4t2
,
U
E+ ≈ U
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
30 / 41
Toy-Model N=2, |Λ|=2
Zależność energii stanów od wartości U
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
31 / 41
Problemy numeryczne
Wartości własne
Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić
że:
2N
18
18
1
Macierze są bardzo duże np: 2N
M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620.
Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla
typu double 2,2GB; dla int 1,1GB)
2
Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe,
3
Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu,
podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U ,
4
Interesuje nas 10% wartości własnych
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
32 / 41
Problemy numeryczne
Wartości własne
Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić
że:
2N
18
18
1
Macierze są bardzo duże np: 2N
M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620.
Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla
typu double 2,2GB; dla int 1,1GB)
2
Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe,
3
Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu,
podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U ,
4
Interesuje nas 10% wartości własnych
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
32 / 41
Problemy numeryczne
Wartości własne
Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić
że:
2N
18
18
1
Macierze są bardzo duże np: 2N
M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620.
Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla
typu double 2,2GB; dla int 1,1GB)
2
Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe,
3
Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu,
podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U ,
4
Interesuje nas 10% wartości własnych
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
32 / 41
Problemy numeryczne
Wartości własne
Podstawowy problem to efektywne szukanie wartości własnych. Musimy uwględnić
że:
2N
18
18
1
Macierze są bardzo duże np: 2N
M × M = 9 × 9 = 48620 × 48620.
Tak dużych obiektów nie możemy przechowywać w pamięci komputera (dla
typu double 2,2GB; dla int 1,1GB)
2
Efektywne operowanie na takich macierzach jest niemożliwe,
3
Znalezienie macierzy operatora H zajmuje ok 30% czasu pracy programu,
podczas gdy jedynie kilka jej elementów zależy od U ,
4
Interesuje nas 10% wartości własnych
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
32 / 41
Problemy numeryczne
Jak szukać wartości własnych
Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych.
Skupimy się na dwóch:
GSL
ARPACK++
W stylu C,
Obiektowość,
Prosta w obsłudze,
Trudna i nieintuicyjna w obsłudze,
Nie obsługuje macierzy rzadkich,
Obsługa macierzy rzadkich,
Działa jedynie na double,
Nie narzuca typu danych,
Bardzo popularna.
Niewiele szybsza niż GSL.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
33 / 41
Problemy numeryczne
Jak szukać wartości własnych
Istnieje wiele bibliotek numeryczncyh umożliwiających szukanie wartości własnych.
Skupimy się na dwóch:
GSL
ARPACK++
W stylu C,
Obiektowość,
Prosta w obsłudze,
Trudna i nieintuicyjna w obsłudze,
Nie obsługuje macierzy rzadkich,
Obsługa macierzy rzadkich,
Działa jedynie na double,
Nie narzuca typu danych,
Bardzo popularna.
Niewiele szybsza niż GSL.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
33 / 41
Problemy numeryczne
Przykłady macierzy w modelu Hubbarda
Rysunek: Niezerowe elementy macierzy dla 7 elektronów i 7 węzłów, stanowią jedynie
≈ 0.2% wszystkich elementów
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
34 / 41
Problemy numeryczne
Przykłady macierzy w modelu Hubbarda
Rysunek: Zależność procentowej ilości niezerowych elementów od ilości elektronów dla
przypadku N = M . Prawo potęgowe!
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
35 / 41
Symulacja komputerowa
Schemat działania programu
1
Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = |Λ| węzłów można nanieść
0 ¬ N ¬ 2M elektronów na 22M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną
numerację stanów
węzeł
spin
nr
0
↑
0
1
↓
1
↑
2
2
↓
3
↑
4
↓
5
...
...
...
Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np:
węzeł
0
1
2
...
spin ∅ ↓ ↑ ↓ ∅ ∅ . . .
bin 0 1 1 1 0 0 . . .
Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną
liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N
X †
c0σ c1σ + h.c = c†0↑ c1↑ + c†0↓ c1↓ + h.c =⇒ c†0 c2 + c†1 c3 + h.c
σ
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
36 / 41
Symulacja komputerowa
Schemat działania programu
1
Znajdujemy przestrzeń Hilberta. Na sieć M = |Λ| węzłów można nanieść
0 ¬ N ¬ 2M elektronów na 22M sposobów. W tym celu wprowadzamy innną
numerację stanów
węzeł
spin
nr
0
↑
0
1
↓
1
↑
2
2
↓
3
↑
4
↓
5
...
...
...
Wtedy każdemu stanowi odpowiada liczba w systemie dwójkowym np:
węzeł
0
1
2
...
spin ∅ ↓ ↑ ↓ ∅ ∅ . . .
bin 0 1 1 1 0 0 . . .
Spośród wszystkich wszystkich możliwych stanów wybieramy te z ustaloną
liczbą elektronów N - ilość jedynek w binkodzie musi być równa N
X †
c0σ c1σ + h.c = c†0↑ c1↑ + c†0↓ c1↓ + h.c =⇒ c†0 c2 + c†1 c3 + h.c
σ
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
36 / 41
Symulacja komputerowa
Schemat działania programu
1
W takiej reprezentacji niezwykle łatwo jest zaprogramować
operatory kreacji i anihilacji:
a†j |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i =
aj |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i =
0
|b1 , b2 , . . . , bj−1 , 1, bj+1 , . . . , b2M i
gdy bj = 1
gdy bj = 0
0
|b1 , b2 , . . . , bj−1 , 0, bj+1 , . . . , b2M i
gdy bj = 0
gdy bj = 1
operator liczby cząstek
nj |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i = bj |b1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M i
iloczyn skalarny
hb1 , b2 , . . . , bj , . . . , b2M |b01 , b02 , . . . , b0j , . . . , b02M i = δbb01 · . . . · δbb02M
1
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
2M
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
36 / 41
Symulacja komputerowa
Schemat działania programu
1
Szukanie wartości własnych
Istnieją specjalne metody szukania wartości własnych macierzy rzadkich metoda Lanczosa, metoda Arnoldiego.
GSL nie potrafi obsługiwać macierzy rzadkich stąd szukanie wartości
własnych z jego użyciem jest niezwykle czasochłonne.
ARPACK++ potrafi w bardzo efektywny sposób szukać wartości własnych
macierzy rzadkich.
Przykład: N = 6, |Λ| = 6, U = {100, 101, . . . , 110}, t = 1
Elementy macierzowe
+ wartości własne GSL
Elementy macierzowe + wartości własne ARPACK ++
j.w z indeksowaniem
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
28,5s
200.9-28.5=172,4s
39.2s
25.5s
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
36 / 41
Wyniki symulacji
Energia stanu podstawowego
Energia stanu podstawowego w funkcji U . N = 2, |Λ| = 2, t = 1
Zgodność wyniku symulacji z teorią.
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
37 / 41
Wyniki symulacji
Energia stanu podstawowego
Wartości energii własnych są wielokrotnie zdegenerowane
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
38 / 41
Wyniki symulacji
Energia stanu podstawowego
Energia stanu podstawowego wyznaczona za pomocą rachunku zaburzeń dla
M = N = 40. Za [7].
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
39 / 41
Literatura
Literatura
1
Hal Tasaki, The Hubbard Model - Introduction and Selected Rigorous Results
arXiv:cond-mat/9512169v4, 19 Dec 1997
2
Samuel Bieri, Some Introductory Notes on the Hubbard Model
3
S. Akbar Jafari, Intoduction to Hubbard Model and Exact Diagonalization
4
Philippe A. Martin, Francois Rothen, Many-Body Problems and Quantum
Field Theory
5
A.L. Fetter, J.D. Walecka, Kwantowa teoria układów wielu cząstek
6
Witold Baryluk, Silnie skorelowany kwantowy układ wielu ciał - model
Bose-Hubbarda i metody numeryczne jego badania
7
Bogdan Damski, Jakub Zakrzewski, The mott insulator phase of the one
dimensional bose-hubbard model arXiv:cond-mat/0603030
8
ARPACK++ user’s guide,
http://www.ime.unicamp.br/~chico/arpack++/arpackpp.ps.gz
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
40 / 41
Literatura
Dziękuję za uwagę
Rafał Topolnicki
Model Hubbarda
IX OSKNF - Toruń, 13.11.2010
41 / 41