5. Przekształcenie Fouriera - Instytut Mechatroniki i Systemów

5. Przekształcenie Fouriera
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Definicje przestrzeni liniowych
Przestrzeo Euklidesowa
DEFINICJA. Przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych R lub zespolonych C
nazywamy zbiór X elementów ,x1, x2, x3, ...} w którym wprowadzono działania
dodawania i mnożenia przez liczbę
C, takie że:
Ponadto istnieje dokładnie jeden element zerowy
DEFINICJA. Zbiór ,ek- liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy bazą przestrzeni,
jeżeli każdy element tej przestrzeni może byd przedstawiony w postaci kombinacji liniowej
elementów tego zbioru. Mówimy, że zbiór ,ek- generuje przestrzeo.
DEFINICJA. Wymiarem przestrzeni dim(X) nazywamy liczbę elementów bazy tej przestrzeni.
DEFINICJA. Przestrzeo liniową o skooczonym wymiarze nazywamy przestrzenią wektorową, a jej
elementy nazywamy wektorami.
DEFINICJA. Przestrzenią euklidesową EN nazywamy
N-wymiarową przestrzeo nad ciałem liczb rzeczywistych z normą
DEFINICJA. Euklidesowym (standardowym) iloczynem skalarnym
nazywamy operator przyporządkowujący dowolnym dwóm elementom
przestrzeni euklidesowej N-wymiarowej {x}{y- liczbę rzeczywistą
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Definicje przestrzeni liniowych
Przestrzeo Hilberta
DEFINICJA. Przestrzenią L2 funkcji ciągłych jednej zmiennej f(t) całkowalnych z
kwadratem w przedziale [a,b+ nazywamy przestrzeo Hilberta z normą
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Definicje przestrzeni liniowych
Analiza sygnałów dyskretnych
f
2
t
Otrzymaliśmy równoważnośd – z dokładnością do stałego czynnika,
normy funkcyjnej L2 i euklidesowej EN.
a
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
b
Definicje przestrzeni liniowych
Tożsamośd Parsevala
Tożsamośd Parsevala pozwala na zapisanie dowolnego elementu x
należącego do przestrzeni Hilberta za pomocą kombinacji liniowej
ortonormalnej bazy {e} tej przestrzeni
e2
Im
x
x
x
e1
I
R
en
Re
t
a
b
en=*0,0…,1,0…,0+
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Przekształcenie Fouriera
Im
e
j
Re
Funkcje ejn tworzą ortonormalną bazę funkcyjną
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Przekształcenie Fouriera
widmo amplitudowo-fazowe
Zauważamy, że częstotliwośd w wyniku ograniczenia dziedziny g(t)
do przedziału [-T/2,T/2] stała się zmienną dyskretną fn będącą
całkowitą krotnością tzw. rozdzielczości częstotliwościowej f
Dla rzeczywistych funkcji g(t) współczynniki Gn
spełniają zależnośd
Dwustronne i jednostronne widmo amplitudowo fazowe
sinusoidalnej rzeczywistej funkcji o częstotliwości k/T
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Dyskretna Transformata Fouriera
Oznaczmy przez {gk} wektor N danych wejściowych pewnej wielkości pobranych z krokiem t
w przedziale *0,T+. Numerację próbek ustala się jako k=0, 1, 2, ... N-1. Amplitudę n-tej harmonicznej
wyznaczamy stosując kwadraturę prostokątów
Gn jest liczbą zespoloną.
Transformata odwrotna wyraża się zależnością
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Dyskretna Transformata Fouriera
wpływ skooczonej długości okna akwizycji sygnału
Przy przetwarzaniu rzeczywistych sygnałów mamy
do czynienia z następującymi cechami ich akwizycji:
• Zakres analizowanego sygnału T
(czasowy lub przestrzenny) jest skooczony;
• Liczba próbek N sygnału jest skooczona.
T
Konsekwencją pierwszego uproszczenia jest „wymuszenie
” jego periodyczności z okresem T niezależnie od jego
rzeczywistego charakteru oraz dyskretna postad widma
częstotliwościowego.
T
T
T
Sygnał sinusoidalny ucięty oknem o dowolnej długości T
jest równoważny widmowo sygnałowi okresowemu
otrzymanemu poprzez powielenie zawartości okna.
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
T
Dyskretna Transformata Fouriera
wpływ skooczonej długości okna akwizycji sygnału
PRZYKŁAD 1. Dany jest sygnał y=cos (2 4t/T) dany w postaci
32 próbek pobranych ze stałym krokiem w czasie T. Przy danej
liczbie próbek N i czasu akwizycji T dyskretne częstotliwości
wynikające z DTF przebiegają zbiór liczb całkowitych k∊(-N/2, N/2)
podzielonych przez T. Zamieszczono zestawienie widma ciągłego
(otrzymanego dla wielokrotnie większej liczby próbek w czasie T)
oraz widma DTF. Otrzymano niezerowe amplitudy jedynie dla
kf=±4.
PRZYKŁAD 2. Dany jest sygnał y=cos (2 4.5t/T) dany w postaci
32 próbek pobranych ze stałym krokiem w czasie T.
Wszystkie składniki widma mają wartości niezerowe, a ich
maksymalne wartości są bliskie 1/ zamiast 0.5.
Wynika to z przesunięcia ciągłego widma przebiegu w stosunku
do niezmiennej siatki widma dyskretnego.
Moc sygnału, będąca kwadratem jego normy, nie uległa zmianie
zmienił się jedynie jej rozkład w widmie.
Zjawisko to nazywa się widmowym przeciekiem mocy sygnału.
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Dyskretna Transformata Fouriera
wpływ skooczonej liczby próbek sygnału
Dla próbkowanych sygnałów rzeczywistych mamy do czynienia z okresowością
widma częstotliwościowego i związanej z tym jego symetrii określonej przez
co oznacza dla każdej z N/2-1 par równośd amplitud i przeciwne znaki kątów fazowych.
Pamiętamy, że pierwsza składowa widma (indeksowana liczbą 0) jest wartością średnią
badanego przebiegu. Wynika z tego również, że N-punktowa DTF pozwala na wyznaczenie
co najwyżej N/2-1 składowych, co jest treścią twierdzenia Shannona.
Częstotliwością Nyquista-Shannona fNy nazywamy graniczną
częstotliwośd próbkowania, przy której sygnał ciągły jest
zamieniany na dyskretny bez straty informacji. Częstotliwośd
próbkowania fs musi byd ponad dwukrotnie większa od
największej częstotliwości składowej sygnału.
PRZYKŁAD 3. Dany jest sygnał y=0.3+cos (2 t/ )
w postaci N=8 próbek mierzonych co /4.
y=[1.3, 0.3, -0.7, 0.3, 1.3, 0.3, -0.7, 0.3]
PRZYKŁAD 4. Sygnał z=0.3+cos (2 t/ 1), 1=1.5 dany w
postaci N=8 próbek mierzonych jak poprzednio co /4.
Czas pomiaru T nie jest tu całkowitą krotnością okresu
z=[1.3, 0.68, -0.41, -0.62, 0.3, 1.22, 1.01, -0.08]
DTF
DTF
Y =[0.3, 0.0, 0.5, 0.0, 0.0, 0.0, 0.5, 0.0]
Z =[0.12, 0.30, 0.35, 0.15, 0.12, 0.15, 0.35, 0.30]
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Dyskretna Transformata Fouriera
zjawisko aliasingu
sygnał g(t)
Jeżeli analizowany sygnał g(t) ma częstotliwośd
większą od częstotliwości Nyquista fNy =1/2 t
to w widmie otrzymanym techniką DTF
pojawia się fikcyjna składowa nazywana (ang.)
alias o częstotliwości
t
alias a(g, t)
Jej usunięcie jest możliwe, jeśli:
wszystkie składowe sygnału mają częstotliwośd
mniejszą od fNy. W praktyce stosuje się na
wejściu filtr dolnoprzepustowy o paśmie
dobranym do częstotliwości próbkowania fs.
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Dyskretna Transformata Fouriera
centrowanie widma
Algorytm DTF zastosowany do sygnałów będących
ciągiem N liczb rzeczywistych {gm} generuje ciąg N
liczb zespolonych {Gn} takich że
Zależnośd ta jest zresztą formalnym
uzasadnieniem efektu aliasingu. Ponieważ
pierwsza liczba w ciągu {Gn} - o numerze 0, jest
zawsze wartością średnią sygnału, to wygodnie
jest operowad tzw. widmem centrowanym
otrzymanym poprzez przesunięcie prawej części
tego ciągu w lewo i przenumerowanie odejmując
od każdego indeksu liczbę N.
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Analiza widmowa
widmo mocy (ang. autospectrum)
Widmem mocy (autospectrum) SAA nazywamy uporządkowany
ciąg wartości kwadratów amplitud składowych widma
częstotliwościowego A(fn) danego sygnału a(tk), (k, n =0,1, ...N-1)
Zgodnie z twierdzeniem Parsevala suma składników SAA jest
równa kwadratowi wartości skutecznej a2RMS .
Widmo mocy z definicji składa się wyłącznie z liczb
rzeczywistych i jest symetryczne względem indeksu n
S (-n)=SAA(n). Dlatego też najczęściej stosuje się widmo
jednostronne GAA(fn) dla n>0.
Dla indeksu n=0 mamy GAA(0)= SAA(0)
Ze względu na skooczony czas trwania pomiaru stosuje się przy
wyznaczaniu autospectrum uśrednianie dla serii M bloków
pomiarowych
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Analiza widmowa
widmo wzajemne (ang. cross-spectrum)
Widmem wzajemnym (cross-spectrum) SAB nazywamy
uporządkowany ciąg wartości iloczynów amplitud składowych
widm częstotliwościowych A(fn), B(fn), danych sygnałów a(tk), b(tk)
(k, n =0,1, ...N-1)
Widmo wzajemne jest ciągiem liczb zespolonych
o amplitudzie równej iloczynowi amplitud składników
widm o danej częstotliwości i kącie fazowym równym
różnicy kątów fazowych składowych widm.
Podobnie jak w przypadku widma mocy operuje się najczęściej
widmami jednostronnymi wyznaczanymi z analogicznych
zależności oraz stosuje się procedurę uśredniania dla serii bloków
pomiarowych.
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
Analiza widmowa
korelacja
Dane są dwa sygnały {a}=a(tk) oraz {b}=b(tk), k=0,1,...N o zerowej
wartości średniej. Zakłada się również, że sygnały te otrzymano
poprzez uśrednianie dostatecznie dużej liczby M bloków danych.
Współczynnikiem korelacji wzajemnej
ab
nazywamy wyrażenie
Dla sygnałów liniowo zależnych np. ,b-= {a}+ współczynnik
korelacji ab = 1.
a
a
ab =
a
1
ab <
b
1
ab <<
b
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011
1
b
Analiza widmowa
koherencja
Dane są widma mocy dwóch sygnałów {GAA} {GBB} oraz ich widmo
wzajemne {GAB-. Zakłada się również, że sygnały te otrzymano
poprzez uśrednianie dostatecznie dużej liczby M bloków danych.
Widmową funkcją koherencji
AB(fn)
nazywamy wyrażenie
Dla sygnałów zawierających składowe widmowe liniowo zależne
funkcja koherencji AB = 1.
© Paweł Witczak , Instytut Mechatroniki i Systemów Informatycznych Politechniki Łódzkiej, 2011