Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią

ODDZIAŁYWANIE PROMIENIOWANIA JĄDROWEGO Z MATERIĄ
WSTĘP
Oddziaływanie, jakiego doznaje materia od czynników zewnętrznych może być bardzo rozmaite.
Ze względów praktycznych oddziaływania takie dzielimy na pewne grupy w rozmaity sposób,
czasem bardziej merytoryczny a czasem tradycyjny. Oddziaływanie promieniowania jądrowego jest
przykładem istniejących problemów.
Źródło emitujące dużą liczbę określonych elementów nazywamy źródłem promieniowania. Zbiór
tych emitowanych elementów, które nazywamy promieniowaniem, tworzy wiązkę, rozchodzącą się
w pewnym obszarze przestrzeni. Dlatego też w opisie klasycznym możemy mówić np. o
promieniowaniu elektronowym, protonowym, neutronowym czy innym oprócz „prawdziwego”
promieniowania elektromagnetycznego. Uzasadnieniem jest hipoteza de Broglie’a, która
korpuskułom przypisuje cechy falowe a falom cechy korpuskuł.
Pierwotnie do promieniowania jądrowego zaliczano cząstki, które były bezpośrednio związane z
jądrem atomowym a więc promieniowanie , i . Po pewnym czasie trzeba było również dołączyć
neutrony, protony, mezony. Ze względów praktycznych dołączono również promieniowanie X,
produkty dzielenia ciężkich jąder, ciężkie jony oraz inne cząstki.
Zwykle energia przekazywana w akcie oddziaływania jest dostateczna do wzbudzenia lub
jonizacji napotykanych atomów, cząstek, makrocząstek itp.
Dzięki istnieniu rejestrowalnego wpływu tego promieniowania można z jednej strony
konstruować detektory promieniowania jądrowego, z drugiej, promieniowanie to działa
destrukcyjnie, szczególnie na materię organiczną. Ogólny opis oddziaływania promieniowania
jądrowego z materią jest skomplikowany ze względu na różnoraką możliwość takiego
oddziaływania, która zależy od wielu cech fizycznych zarówno samego promieniowania jak i materii,
na którą oddziałuje. Do opisu oddziaływania promieniowania jądrowego z materią wykorzystuje się
głównie kwantową i czasem klasyczną teorię zderzeń. Oprócz tego przy opisie oddziaływania
promieniowania jonizującego wystarczy w zasadzie uwzględnienie oddziaływań kulombowskich, do
opisu reakcji jądrowych trzeba również uwzględniać oddziaływania silne.
Promieniowanie jądrowe, ze względu na specyfikę zarówno oddziaływania jak i opisu można
podzielić na promieniowanie korpuskularne naładowane (np. promieniowanie , promieniowanie
), i promieniowanie korpuskularne nienaładowane (np. neutrony, neutrina) oraz promieniowanie
elektromagnetyczne wysokiej energii (promieniowanie  i promieniowanie X).
Niektóre rodzaje promieniowania były od dawna stosowane w innych dziedzinach, np.
promieniowanie X w medycynie. Tam na to promieniowanie przyjęła się nazwa promieniowanie
jonizujące, ale z fizycznego punktu widzenia, jonizacja następuje pod wpływem oddziaływania
kulombowskiego. Zjonizowana materia może natomiast powstać na skutek działania różnych
czynników, w tym też oddziaływania czysto mechanicznego (elektrony drapane).
Dopiero jednak w roku 1956 Międzynarodowa Komisja Jednostek Radiologicznych (ICRU)
podzieliła umownie promieniowanie jonizujące na promieniowanie jonizujące bezpośrednio i
jonizujące pośrednio.
Zgodnie z takim rozstrzygnięciem, promieniowanie, które tradycyjnie nazywamy jądrowym,
można podzielić nieco dokładniej, biorąc pod uwagę ich masę spoczynkową cząstek tego
promieniowania:
 promieniowanie jonizujące bezpośrednio
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 1
- lekkie (elektrony, pozytony, ...)
- ciężkie (protony, deuterony, cząstki , ciężkie jony ...)
 promieniowanie jonizujące pośrednio
- kwanty promieniowania elektromagnetycznego
- ciężkie (neutrony, ...).
Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią zależy nie tylko od rodzaju cząstek, ale
również od ich ładunku elektrycznego, energii, masy oraz nieraz od innych parametrów. Skutek
oddziaływania zależy również od rodzaju materii, z która promieniowanie oddziałuje. W akcie
oddziaływania cząstka, będąca elementem promieniowania, może przekazać napotkanemu
elementowi materii część lub całą swoją energię kinetyczną. Oddziaływanie to może zachodzić w
różnych procesach, których prawdopodobieństwo zależy od charakterystycznych cech zarówno
cząstek jak i materii. Może ono wywoływać zmiany w warstwie elektronowej atomu czy cząsteczki
w procesach jonizacji, wzbudzenia czy rozproszenia, ale również w jądrze atomowym, czyli
inicjować przemiany jądrowe.
Niektóre procesy oddziaływania promieniowania jądrowego z materią prowadzą do skutków
podobnych do skutków wywołanych inną przyczyną. Można np. otrzymać zjonizowany element
materii przez działanie mechaniczne, elektryczne, cieplne czy jeszcze w inny sposób. Ogólny
mechanizm zjawiska jest we wszystkich przypadkach podobny. Dlatego przy opisie niektórych
zjawisk oddziaływania promieniowania jądrowego z materią wykorzystuje się opis wynikający z
analizy klasycznego procesy jonizacji.
Promieniowanie jądrowe wywołuje również skutki, które można opisywać jedynie w sposób
przybliżony. Przykładem jest oddziaływanie z materią biologiczną, w którym mechanizm
oddziaływania jest tak złożony, a niektóre skutki są widoczne po dłuższym czasie i to na tle skutków
innych przyczyn. Opisanie analityczne jest wtedy bardzo trudne a czasem wręcz niemożliwe.
Tradycyjnie, oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią dzieli się na dwie części,
oddziaływanie promieniowania jonizującego (bezpośrednio czy pośrednio) z materią i przemiany
(reakcje) jądrowe. Oddziaływanie promieniowania jonizującego obejmuje procesy, w których
struktura jądra nie jest w zasadzie naruszona. Przemiany jądrowe obejmują bezpośrednie
oddziaływanie cząstek z jądrem.
Cząstce posiadającej energię kinetyczną E można przypisać długość fali de Broglie'a  i podobnie
kwantowi o energii  i masie spoczynkowej m = 0 można przypisać długości fali:
c
,

gdzie c oznacza prędkość światła, oraz określony pęd:

p
2 
.
( 1)
( 2)

Dlatego też w opisie wielu zjawisk można używać terminu cząstka, jeżeli wiadomo, czy w danym
przypadku jest mowa o cząstce o masie spoczynkowej m  0 czy o kwancie energii o masie spoczynkowej m = 0.
Jeżeli na drodze poruszającej się cząstki znajdzie się inna cząstka i dochodzi do określonego
oddziaływania, to takie oddziaływanie zwyczajowo nazywamy zderzeniem. Zderzenia dwu lub
więcej jednakowych lub różnych cząstek stanowią dużą i różnorodną grupę procesów zachodzących
zarówno w makro jak i mikroświecie.
Jeżeli jednakowe ciała A tworzą strumień cząstek, który oddziałuje z dużą liczbą ciał B tworzących
pewną objętość, zwaną tarczą, to taki proces nazywamy zwykle rozpraszaniem cząstek A na
cząstkach B. Ogólny opis rozpraszania cząstek jest skomplikowany, ale w wielu zagadnieniach
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 2
wystarczy przybliżenie rozpraszania sprężystego. Badanie rozpraszania sprężystego cząstek  na
cienkich foliach metalicznych doprowadziło do odkrycia przez Rutherforda jądra atomowego. Przy
opisie rozpraszania istotna jest również geometria pola sił rozpraszających. Stosunkowo prosto
opisuje się rozpraszanie w przypadku sił centralnych, np. grawitacyjnych czy kulombowskich.
ODDZIAŁYWANIE PROMIENIOWANIA JONIZUJĄCEGO BEZPOŚREDNIO
WSTĘP
Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią zależy zarówno od rodzaju cząstek, ich
ładunku elektrycznego oraz ich energii jak i rodzaju materii. W akcie oddziaływania cząstka może
przekazać materii część lub całą swoją energię kinetyczną.
Całkowitą drogę cząstki w materii nazywamy zasięgiem R, zależy on również od rodzaju cząstki,
jej ładunku i energii kinetycznej E oraz własności materii. Dla naładowanej cząstki ciężkiej, (np.
protonu, cząstki ) kolejne akty oddziaływania z materią niewiele wpływają na zmianę kierunku
cząstki i dlatego zasięg R, jest równy odległości R' od źródła do końca jej drogi wyznaczonej w
kierunku ruchu (rys.1.a).
R
R(E)
R
R(E)
S-0000
(a)
S-0000
(b)
Rys. 1. Zasięg w materii cząstki ciężkiej (a) lekkiej (b)
W przypadku naładowanej cząstki lekkiej (np. promieniowania ), kolejne zderzenia z atomami
ośrodka powodują jej rozpraszanie w różnych kierunkach i dlatego odległość R' wyznaczona
geometrycznie może się znacznie różnić od zasięgu R wyliczonego z początkowej energii kinetycznej
cząstki (rys.1.b).
Całkowita energia kinetyczna E strumienia cząstek przechodzących przez materię stopniowo
maleje. Stratę tę opisuje się w sposób, najbardziej charakterystyczny dla danego typu
promieniowania.
Dla promieniowania naładowanego do opisu straty energii wprowadza się tzw. zdolność
hamowania S, czyli stosunek energii dE traconej na drodze dx do wielkości drogi dx:
 dE 
S    [J m-1] ;
( 3)
 dx 
(w literaturze spotyka się jednostkę nie występującą w układzie SI: MeV/cm = 1.60210-11J/m).
Jeżeli wyrazimy drogę cząstki w materii w jednostkach jej gęstości powierzchniowej to wówczas
tzw. masową zdolność hamowania Sm określa zależność:
 1 dE 
 [J m2 kg-1]
S m  
  dx 
(spotyka się również jednostkę pozaukładową MeV cm2g-1 = 1,602 10-14J m2 kg-1).
Znając zdolność hamowania S materii można określić zasięg cząstki R(E) w tej materii:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
( 4)
OPM 3
E
1
R(E)  
 dE .
S
( 5)
0
Dla promieniowania nienaładowanego strata energii odbywa się głównie przez oddziaływania z
jądrami, które prowadzi zarówno do częściowego rozproszenia energii jak i do innych przemian.
Neutrony np. mogą wywołać przemianę jądrową. Parametrem charakteryzującym stratę energii dla
neutronów jest średnia droga swobodna  między kolejnymi zderzeniami. Stratę energii na samej
drodze swobodnej można całkowicie zaniedbać.
W dalszym ciągu będziemy zajmowali się głównie oddziaływaniem z materią niektórych tylko
cząstek naładowanych, a mianowicie cząstek  i cząstek . Opis oddziaływania promieniowania z
materią ograniczymy w zasadzie do przedziału tzw. energii średnich, czyli do energii cząstek
powstałych na skutek rozpadów promieniotwórczych.
Cząstka naładowana przechodząc przez materię może tracić swoją energię kinetyczną w kilku
procesach, takich jak jonizacja, wzbudzenie, rozproszenie, reakcje jądrowe. Dla omawianego
zakresu energii dominującym procesem oddziaływania naładowanych cząstek ciężkich (np. cząstek
) jest jonizacja, wywołana oddziaływaniami kulombowskimi. Jeżeli energia uzyskana przez jon w
tym procesie jest dostatecznie duża, to jon pierwotny może wywołać jonizację wtórną, a
emitowane elektrony nazywamy wówczas elektronami . Dla ciężkich cząstek naładowanych liczba
aktów jonizacji przypadająca na jednostkę drogi, czyli zdolność jonizacji, jest bardzo duża, nawet dla
stosunkowo niewielkich energii cząstek (ze względu na ich dużą masę cząstek, a więc małą
swojej drodze od 0.6·105 do 2.4·105 par jonów.
Strata energii cząstek naładowanych SJ związana z oddziaływaniami kulombowskimi z atomem
zależy od odległości toru cząstki od atomu, czyli od wielkości parametru zderzenia b w stosunku do
promienia atomu r (rys.1). Jeżeli mamy b » r to oddziaływanie kulombowskie jest słabe i występuje
między cząstką a elektronami atomowymi. Prowadzi to do straty energii, którą nazywamy
elektronową stratą energii Se. Gdy parametr zderzenia b < r, wówczas cząstka naładowana
oddziałuje z polem wytworzonym przez protony co prowadzi do jądrowej straty energii Sn.
Całkowita strata energii na jonizację cząstki naładowanej na skutek oddziaływań kulombowskich SJ
jest więc równa sumie strat energii na oddziaływanie z elektronami Se i nukleonami Sn.
M
b
r
S-0161
Rys. 2. Cząstka naładowana i atom
W wyniku oddziaływania cząstki naładowanej z materią prowadzącego do wzbudzenia atomu,
może powstać promieniowanie elektromagnetyczne, tzw. promieniowanie hamowania, a
odpowiednie straty energii nazywamy stratami energii na promieniowanie hamowania Sph. Przy
bardzo dużej prędkości cząstka naładowana przechodząc przez dielektryk może spowodować w nim
polaryzację elektronową, w wyniku której emitowane jest promieniowanie elektromagnetyczne z
zakresu widzialnego, tzw. promieniowanie Czerenkowa; występuje wtedy strata energii na
promieniowanie Czerenkowa Spc. Łączne straty energii na promieniowanie hamowania i na
promieniowanie Czerenkowa nazywamy stratami energii na promieniowanie SP.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 4
Cząstka naładowana, należąca do grupy hadronów (np. proton), lub jądro o odpowiedniej energii
(np. cząstka ), może na skutek oddziaływań silnych wywołać przemianę jądrową. Proces ten dla
przedziału średnich energii cząstek naładowanych jest jednak znacznie mniej prawdopodobny od
poprzednio wymienionych i dlatego można go pominąć.
Całkowita strata energii cząstki naładowanej na jednostkę drogi jest sumą wymienionych wyżej
procesów:
S  SJ  SP  Se  Sn  Sph  Spc .
( 6)
Maksymalne straty energii związane z tymi procesami leżą zwykle w różnych przedziałach energii
kinetycznej cząstek naładowanych i dlatego każdy proces można rozpatrywać oddzielnie.
STRATA ENERGII NA ODDZIAŁYWANIE KULOMBOWSKIE
Strata energii SC wynikająca z kulombowskiego oddziaływania poruszającej się cząstki A
posiadającej ładunek elektryczny oraz nieruchomej naładowanej cząstki B zależy nie tylko od energii
EA cząstki A, ale również od maksymalnej energii Emax która może zostać przekazana w akcie
oddziaływania, oraz od minimalnej energii Emin koniecznej do takiego oddziaływania. Oddziaływanie
to jest scharakteryzowane przez różniczkowy przekrój czynny '(Ep). Strata energii SC będzie więc
równa:
SC  B
Emax
 (E )dE
p
p
,
( 7)
Emin
gdzie B oznacza gęstość cząstek B w materii.
Jeżeli przez Eh oznaczymy pewną energię oddziaływań kulombowskich cząstki A z elektronami i
nukleonami, to straty energii na oddziaływania kulombowskie możemy opisać wyrażeniem:
Eh
Emax
Enin
Eh

SC   e  e (Ep ) d Ep   n
  (E )dE
n
p
p
,
( 8)
gdzie  e (E p ) i  n (E p ) oznaczają odpowiednio różniczkowe przekroje czynne na oddziaływanie
cząstki naładowanej z elektronami i nukleonami, a e i n - gęstości elektronów i nukleonów.
B
db
b
A
dx
b
v’
2b
(a)
(b)
S-0074
Rys. 3. Oddziaływanie poruszającej się cząstki A z nieruchomą cząstką B
Rozpatrzmy najpierw oddziaływanie ciężkiej cząstki naładowanej A o masie MA, ładunku ZAe i
prędkości v z cząstką swobodną w spoczynku o masie M « MA i ładunku Ze. Zakładamy przy tym,
że oddziaływanie to można traktować jako rozproszenie sprężyste o parametrze zderzenia b oraz,
że kąt rozproszenia  jest bardzo mały. Jeżeli dla uproszczenia przyjmiemy, że efektywne
oddziaływanie pomiędzy cząstkami zachodzi na drodze 2b (rys.3.a) to czas oddziaływania t jest
równy:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 5
2b
.
v
Przekaz pędu p dla niezaburzonej siły kulombowskiej, będzie równy:
t 
p  2
C
.
bv
( 9)
( 10)
Energia kinetyczna Ep przekazana przez cząstkę A cząstce B podczas pojedynczego zderzenia
wynosi:
p2
C2 1
.
2
2MB
MB v 2 b2
Energia kinetyczna cząstki B będzie więc wynosiła:
ΔE 
C 2 MA
.
E b2 MB
a odpowiedni przekrój czynny:
( 11)
EB 
( 12)
C 2 MA
 E  2π 2
d Ep .
E Ep MB
( 13)
Opisane oddziaływanie zachodzi np. pomiędzy cząstką  a elektronami atomów materii zawartej
w pewnej objętości dV, danej przez pierścień o grubości dx i szerokości db (rys.3.b). Liczba
elektronów biorąca udział w oddziaływaniu jest równa:
( 14)
dN  2πe b db d x ,
gdzie e oznacza gęstość elektronów. Energia dE tracona przez cząstkę A w wyniku oddziaływania ze
wszystkimi elektronami w objętości dV będzie:
Ze 
2 2
db
,
( 15)
m0v b
gdzie Se oznacza stratę energii na jednostkę objętości przy oddziaływaniu z elektronami materii, m0
- masę spoczynkową elektronu. Teoretycznie parametr zderzenia b może zmieniać się w granicach
(0,). W praktyce jednak będzie miał on wartości skończone od bmin do bmax. Elektronowa strata
energii Se na skutek oddziaływania z elektronami zawartymi w objętości V będzie równa:
Se (dV )  dE dN  4πe
Ze 
2
2
 d b  4π Ze   ln bmax ,
Se  4π e

e
m0v 2  b
m0v 2
bmin
bmax
2 2
2
( 16)
bmin
Parametr zderzenia b jest ściśle związany z energią. Za minimalną energię Emin można przyjąć
energię jonizacji Ej, natomiast energia maksymalna dla modelu kul sztywnych będzie wynosiła:
Emax  2mv 2 .
Straty energii na jednostkę drogi opisuje więc zależność:
Ze 
 4π
( 17)
 m0v 2 
.
( 18)

m0v 2
E
 j 
Obliczenia kwantowe Bethego i Blocha, wykorzystujące przybliżenie Borna, prowadzą do
dokładniejszego oszacowania granic całkowania oraz uwzględnienia efektów relatywistycznych. Dla
2 2
Se
 e ln
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 6
cząstek ciężkich o energii kinetycznej E (« (M/m)Mc2) maksymalna energia przekazywana Emax jest w
przybliżeniu równa:
 2 

Emax  2mc2 
2 
1  
a wzór na stratę energii ma wtedy postać:
( 19)
 


m0 c 2 Z 2   2mv 2 Eh 
2
2
( 20)




Se  2B
ln
 ln 1     ,

 2   E 2 
j

 

gdzie E j oznacza średnią energię jonizacji materii o liczbie porządkowej Z, w której porusza się


cząstka, Eh - umowną górną granicę energii oddziaływania kulombowskiego z elektronami; stała B
jest równa:
N Z 
B  πr02  A A   πr02  e
( 21)
 A 
gdzie r0 oznacza klasyczny promień elektronu (e2/m0c2), natomiast e- gęstość elektronów w
materii.
Dla cząstek naładowanych o dużych energiach, gdy spełniony jest warunek Eh « Emax, mamy
oddziaływania kulombowskie z jądrem. Straty energii związane z takim oddziaływaniem zgodnie z
przybliżeniem Bethego-Blocha są opisane wzorem:

m0 c 2Z 2   Emax 
2


ln



.
 2   Eh 

Całkowita strata energii na oddziaływanie kulombowskie dana jest wtedy wyrażeniem:
Sn  2B
 


m0 c 2 Z 2   2m0v 2 Emax 
2
2
SC  2B
ln
  ln(1   )    .
 2   E 2
j

 

Podstawiając wyrażenie na Emax do tej zależności otrzymamy ostatecznie:
SC  4 B


m0 c 2 Z2   2m0 v 2 
2
2
.
ln

ln(
1


)



 2   Ej 2 

 

m
( 22)
( 23)
( 24)
-3
Sc [MeV g cm ]
160
Al
powietrze
120
Cu
80
Pb
40
0
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
0,001
0,01
0,1
E [MeV]
1
S-0163
OPM 7
Rys. 4. Zależność masowego współczynnika strat energii SCm od energii cząstki dla różnych rodzajów materii
Wielkość straty energii SC na oddziaływania kulombowskie zależy od wielu czynników, z których
najważniejszymi są prędkość cząstki naładowanej i rodzaj materii, nie zależy ona natomiast od masy
cząstki. Straty energii SC maleją z prędkością cząstki proporcjonalnie do 1/v2. Ze wzrostem liczby
porządkowej Z maleje natomiast stosunek Z/A oraz rośnie przekazywana energia, co powoduje
również zmniejszenie wartości SC. Zmniejszenie wartości SC jest znacznie większe przy zmianie liczby
Z. Na rys.4 pokazana jest zależność masowego współczynnika strat energii na oddziaływania
kulombowskie SCm od energii cząstki dla różnych rodzajów materii.
Wzór (24) jest słuszny w przypadku, gdy prędkość poruszającej się cząstki jest znacznie większa
od prędkości orbitalnej elektronów, czyli dla warunku ( Z c/v)2 « 1. Dla prędkości mniejszych na
wielkość oddziaływania kulombowskiego wpływają również elektrony powłok atomowych K, L, ...,
działające ekranująco. Wzór Bischela (1968 r.) jest modyfikacją wzoru Bethego-Blocha, zawierającą
półempiryczną poprawkę (P/Z):


m0 c 2 Z2   2m0 v 2 Emax 
P
2
2
.
( 25)
SC  4 B
ln
 ln( 1   )   

 2   Ej 2
Z

 

Poprawka (P/Z) ma taką samą wartość dla cząstek naładowanych o tej samej prędkości.
Elektronowe straty energii dominują dla ciężkich cząstek (np. cząstek ) poruszających się z
prędkościami nierelatywistycznymi. Na rys.5 widzimy typową zależność strat energii Se od energii E
dla cząstek .
S-0075
Rys. 5. Zależność strat energii Se od energii cząstek  w suchym powietrzu ( = 1,226 mg/cm3, E j = 80,5 eV, Z = 7,22)
Gdy prędkość cząstki  jest porównywalna z prędkościami elektronów orbitalnych atomów
materii, następuje rekombinacja cząstki , w wyniku czego powstaje jon He+ lub obojętny atom He.
Proces ten połączony jest ze zwiększeniem straty energii i następnie z nagłym jej zmniejszeniem.
Zależność całkowitych strat energii SC na oddziaływanie kulombowskie od drogi cząstki  (rys.6)
nazywa się krzywą Bragga.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 8
S-0076
Rys. 6. Zależność strat energii Se od drogi cząstki  (krzywa Bragga) (R - zasięg ekstrapolowany)
Jeżeli przez materię przechodzi wiązka elektronów, to oddziaływanie z elektronami w
rozważaniach należy uwzględnić, że cząstki biorące udział w oddziaływaniu mają taką samą masę.
Należy zaznaczyć, że wzór Bethego-Blocha w postaci (25) może być stosowany jedynie do
elektronów o bardzo małych energiach. Dla prędkości relatywistycznych należy zastąpić go przez
wyrażenie:
m c 2   m c 2E
SC  2 B 0 2 ln  2 0 e2
   E j 1  




2
2

  2 1  2
2
 ln 2   2  1  c  1  




1
 

c2
8c 4
 

 
2


( 26)
gdzie Ee oznacza energię kinetyczną padającego elektronu. Dla małych energii (Ee« mc2) wzór (26)
ma postać:
m0 c 2  m0 v 2 e 
.
ln 
( 27)
 2  2E j 2 
Na rys.7 pokazana jest zależność straty energii elektronów w powietrzu, wyliczona ze wzoru (26).
SC  4 B
S-0077.doc
Rys. 7. Zależność straty energii SC dla elektronów powietrzu od energii Ee
Powyższe wzory oparte są na bardzo upraszczających założeniach. Dokładniejsze wyrażenia
wymagają wprowadzenia poprawek, związanych zarówno z ekranującym wpływem elektronów, jak
również z ich gęstością i polaryzacją. Wzór rozszerzający rozważania Bethego-Blocha (25) oraz
Mǿllera i Bhabha na całkowite straty energii związane z oddziaływaniami kulombowskimi, podali w
roku 1978 Kase i Nelson:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 9
  2

 (  2)m0 c 2 
P



( 28)
SC  2 B 2 Z ln
 F ( )    2 ,
2

 


Z
2E j

 

gdzie  oznacza energię elektronu w jednostkach (m0c2),  - czynnik korelacyjny związany z
polaryzacją i gęstością, natomiast funkcja F() dla negatonów i pozytonów ma postać:
m0 c 2
2
2
F ( )  1    8

 (2  1)ln 2
2
(  1) 2
.
( 29)
1 2
14
10
4 

  23 


2
12 
  2 (  2) (  2) 4 
Poprawka  zależy od energii cząstki i od gęstości materii (rys.8).
F  ( )  2ln 2 
S-0162
Rys. 8. Poprawka  (%) w zależności od energii dla różnych materiałów (gęstość materiału unormowana względem
gęstości w stanie gazowym)
WZORY MOTTA
W poprzednim paragrafie przedstawiono, dokonaną przez Rutherforda, analizę oddziaływania
cząstek naładowanych z jądrami dla przypadku m« M. Oddziaływania opisano w układzie
laboratoryjnym (L). Nie można więc tego opisu stosować gdy obie masy są porównywalne. Dla
porównywalnych mas cząstek oddziałujących, ze względu na dużą zmianę energii cząstki podczas
zderzenia, wygodniej jest prowadzić analizę w układzie środka mas (S). W układzie tym różniczkowy
przekrój czynny na rozproszenie ’() dla dwu identycznych mas, czyli wzór Rutherforda, będzie
miał postać:
2
 Z2e2 
1
 ( )  
,
2 
 m v  4 sin 4  2' 
( 30)
gdzie m wyraża masę zredukowaną. Przechodząc do układu laboratoryjnego otrzymamy
wyrażenie:
2
 Z 2 e 2  cos

 ()  
.
( 31)
4
 E  sin 
Wyrażenie to nie daje jednak eksperymentalnie wyznaczonej wartości różniczkowego przekroju
czynnego dla porównywalnych mas. Jedną z przyczyn jest identyczność cząstek, co prowadzi do
niemożności rozróżnienia, czy dana cząstka jest rozproszona pod kątem  czy pod kątem (/2)-.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 10
Uwzględnienie tego efektu wymaga wprowadzenia dodatkowo czynnika proporcjonalnego do
1/cos4:
2
 Z 2e 2 
1 
 1
 cos  4 
 ()  
( 32)
.
4
E
sin

cos





Jeszcze lepszą zgodność z eksperymentem daje zastosowanie wzorów Motta, które uwzględniają
wszystkie efekty kwantowe. Dla najprostszego przypadku, dla cząstek nierelatywistycznych o spinie
zerowym (np. rozpraszanie cząstek  na jądrach helu), wzór Motta ma postać:


 Z 2e 2
2 


2
cos
ln
tg

2

 

 Z 2e2   1
1

  cos  ,

 ()  


4
4
2
2


E
sin

cos

sin

cos







natomiast dla cząstek o spinie 1/2 (rozpraszanie protonów na jądrach wodoru) mamy:
( 33)


 Z 2e 2
2 


2
cos
ln
tg

2





 Z 2e 2   1
1


 cos  .

 ' ()  


4
4
2
2


E
sin

cos

sin

cos







( 34)
ELEKTRONY 
Elektron powstały w akcie jonizacji o energii większej od energii jonizacji, tzw. elektron  , może,
jak wiadomo, dalej jonizować atomy.
Różniczkowy przekrój czynny na tworzenie elektronów  w przedziale kątów (','+d') można
uzyskać ze wzoru Rutherforda (w układzie S):
2
 Ze 2  2 sin  
.
 ( )   2 
  v  4 sin 4  2' 
( 35)
Kąt wylotu  elektronów  w układzie L jest zawarty w przedziale (0,/2), stąd energia kinetyczna
elektronów , która wynosi
4mM
E cos 2  ,
( 36)
 (m  M )
gdzie E oznacza energię kinetyczną cząstki jonizującej, jest zawarta w przedziale od 0 do (4m/M) E.
Różniczkowy przekrój czynny przypadający na jednostkę energii jest dany wzorem:
E 
Ze 
 ( E )  2
2 2
1
.
mv E 2
Ze wzory tego można wyznaczyć liczbę elektronów  zawartych w przedziale energii (E1,E2):
2
Ze 
 2
2 2
N
mv
2
1 1
  ,
 E1 E2 
 e 
( 37)
( 38)
a stąd można oszacować również ładunek wytworzony przez elektrony .
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 11
STRATY ENERGII NA PROMIENIOWANIE HAMOWANIA
Przy omawianiu oddziaływań cząstek naładowanych z materią prowadzących do strat na
jonizację zakłada się, że przekaz pędu jest na tyle mały, iż kierunek lotu cząstki po oddziaływaniu nie
zmienia się. Jednak każde oddziaływanie, nawet przy bardzo małym przekazie pędu, prowadzi do
zmiany kierunku ruchu. Zmiana kierunku ruchu zależy zarówno od energii cząstki jak i od liczby
porządkowej Z materii.
Załóżmy, że cząstka o masie m1 i ładunku Z1e przechodzi w pobliżu jądra o ładunku Z2e. W
wyniku oddziaływania kulombowskiego pomiędzy cząstką a jądrem doznaje ona przyspieszenia -a,
tracąc przy tym część swojej energii. Energia ta zostaje przekazana polu atomu i jest następnie
wyemitowana w postaci kwantu promieniowania elektromagnetycznego, tzw. promieniowania
hamowania. Całkowita moc tego promieniowania jest dana wzorem Larmora dla ładunku
poruszającego się ruchem przyspieszonym:
2e 2 2
( 39)
a ,
3c 3
gdzie a oznacza przyspieszenie cząstki. Ponieważ dla cząstek o jednakowych ładunkach siła
oddziaływania jest proporcjonalna do (1/M)2, efekt ten będzie miał dużą wartość dla cząstek lekkich
(np. elektronów), albo cząstek ciężkich o dużych energiach. Dla cząstek naładowanych,
emitowanych przez źródła promieniotwórcze, straty energii na promieniowanie hamowania są
ważnym składnikiem całkowitej straty energii dla cząstek , natomiast całkowicie są do zaniedbania
dla cząstek . Przykładem promieniowania hamowania elektronów jest widmo ciągłe
promieniowania X, powstałe w lampie rentgenowskiej w wyniku bombardowania antykatody
szybkimi elektronami.
Przy oddziaływaniu cząstki naładowanej o energii E i pędzie p, w wyniku którego otrzymujemy
kwant promieniowania hamowania, są spełnione prawa zachowania energii i pędu:
P
E  E' E ,
( 40)
Δp | p  p  π |  | k  k   κ | ,
( 41)
gdzie E i p oznaczają energię i pęd cząstki po zderzeniu, E i  - energię i pęd kwantu hamowania, p
- przekazywany pęd. Dla nierelatywistycznych prędkości cząstek, pęd kwantu można zaniedbać.
Prawdopodobieństwo emisji kwantu promieniowania hamowania zależy od wzajemnej
odległości obu cząstek (klasycznie - parametru zderzenia), która jest rzędu /p, gdzie p jest pędem
odrzutu jądra. Jeżeli ta odległość jest mała w porównaniu z rozmiarami jądra, w rozważaniach
stosować można nieekranowany potencjał kulombowski.
Podstawą teorii promieniowania hamowania są założenia klasycznej elektrodynamiki; teorię
kwantową dla cząstek jądrowych opracowali w roku 1934 Bethe i Heitler stosując przybliżenie
Borna.
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
Rozpatrzmy przypadek, gdy elektron o pędzie p = k przelatuje w pobliżu atomu Ze. W wyniku
rozpraszania, elektron dalej poruszać się będzie z pędem p’ = k’. W wyniku energii przekazanej
atomowi Ze emitowany jest foton promieniowania hamowania, którego pęd jest równy  = 
Zachodzi więc oddziaływanie zgodne ze schematem:
e- + Ze  (e-)’ + Ze - 
Elektron e- oddziałuje z kulombowskim polem atomu:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
( 42)
OPM 12
Ze 2
1
exp( iκ r) ,
3 
L    2
oraz z polem wirtualnych fotonów
V  4π
( 43)
e
2π c
( 44)
(αa  ) exp( i c t  i κ r ) .

L 

Ponieważ oddziaływanie kulombowskie jest efektem drugiego rzędu (emisja fotonu wywołana przez
pewien ładunek i absorpcja przez inny), promieniowanie hamowania trzeba traktować jako efekt
rzędu trzeciego, czyli odpowiedni element macierzowy będzie proporcjonalny do e3.
Ruch elektronu w tych dwu polach opisany jest równaniem:
U 
3/ 2
Dˆ  ( N  1)  Wˆ  ( N ) ,
( 45)

gdzie Ŵ oznacza operator oddziaływania:
Wˆ   (U  Dˆ 1V  VDˆ 1U  ) .
( 46)
Rozwiązując powyższe równanie metodą rachunku zaburzeń, otrzymujemy odpowiednio
wyrażenie na początkową funkcję falową 0 i końcową funkcję falową ’:
0 
b
exp( i cKt  i kr) ( N ) ,
L3 / 2
( 47)
b
 c(t ) exp(i cK t  i kr) ( N  1) .
L3 / 2
Jeżeli spełnione są warunki:
 
( 48)
Ze
Ze
k
k
 1   
 1   c
  c

 
K;
K ,
;
;
( 49)
gdzie  i ’ oznaczają odpowiednio prędkości elektronu przed i po oddziaływaniu, można zaniedbać
wpływ oddziaływania kulombowskiego na funkcję falową.
Energia oddziaływania jest opisana zależnością:

W  0 
b
L3 / 2
W

κ,κ
(κ , κ ) exp[ i ct  i r (κ  κ )] 0 ,
( 50)
gdzie:
 2πe 2 

W (κ , κ )  
3 
 cL 
3/ 2
2Zc

( ) 2 
.
 K    [α (k  κ )]   3 k0
K  [α(k  κ )]   3 k0 

(αa  )  (αa  )

2
2
2
K 2  (k  κ ) 2  k02 
 ( K   )  (k  κ )  k0
Prawdopodobieństwo emisji promieniowania hamowania jest dane wzorem:
P
64π 2 Z 2 e 6
c 2  3 L9
S S
 ( )   (k   k   ) .
k ,
4
( 51)
( 52)
gdzie:
  2(ka )  i[σ(κa  )]   (αa  )  2(k a  )  i[σ(κa  )]   (αa  ) 
S  (b)  

b .
2[ K  (kκ )]
2[ K   (k κ )]


Liczba cząstek Ne padająca w jednostce czasu na jednostkę powierzchni jest równa:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
( 53)
OPM 13
ck
,
( 54)
KL3
czyli różniczkowy przekrój czynny na jednostkę powierzchni i jednostkę czasu na zjawisko
hamowania jest dany wzorem:
Ne 
P PL3 K
.
( 55)

Ne
ck
Dla przypadku nierelatywistycznego, czyli dla tzw. ciągłego widma rentgenowskiego, mamy:
 (t , S ) 
(k  k )a 
( 56)
b,
k 0κ
i wówczas różniczkowy przekrój czynny na emisję kwantu promieniowania hamowania o energii
E = c ma ostatecznie postać:
S  (b) 
3
 e 2   k  k   d
  ln 
.

 c   k  k   
Wprowadzając energie kinetyczne padającego i rozproszonego elektronu:
 (t , S ) 
16 Z 2
3k 2
T  E  E0  c
k2
,
2k 0
E0 = m0c2
(k ) 2
T'  E'E0  c
,
2k 0
oraz energię kwantu promieniowania hamowania:
E  T  T' ,
( 57)
( 58)
( 59)
mamy:


2


8 r02 Z 2 E0  T  T  E   E 
e2
e2
( 60)
 (t , S ) 
ln
d T  ; r0  m c 2 ;   c .
3k 2 E 
E


0


Dla bardzo małych prędkości elektronów nie można zaniedbywać oddziaływań kulombowskich i
wówczas trzeba różniczkowy przekrój czynny pomnożyć przez parametr Somerfelda:
4π 2 
.
[exp( 2π ) - 1][1  exp( 2π )]
W przypadku ultrarelatywistycznym, gdy mamy:
f ( ,  ) 
E  cK ; E'  cK   E0 ,
różniczkowy przekrój czynny wyraża się wzorem:
( 61)
( 62)

 E 2  E' 2 2 
2EE'

  2 ln
 1 dE .
( 63)
2

3 
E m0c
 EE'

W powyższych rozważaniach nie uwzględniano ekranującego wpływu pola elektronów
atomowych, czyli przyjęto założenie, że pole kulombowskie jądra atomu jest dokładnie centralne.
Można oszacować graniczny parametr zderzenia rmax, powyżej którego trzeba uwzględnić wpływ
ekranujący pola elektronów. Z wzoru na potencjał kulombowski oraz praw zachowania wynika
zależność:
 (t , S )  2 r02 Z 2
E'
EE
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 14
1
1

,

 min
k  k  
a w przypadku skrajnie relatywistycznym mamy:
rmax ~
( 64)
KK 
.
k o2
Przyjmując wielkość efektywnego promienia atomu z modelu Thomasa-Fermiego:
rmax 
( 65)
137 1/ 3
Z ,
( 66)
k0
gdzie a0 oznacza promień pierwszej orbity Bohra, ekranowanie można zaniedbać dla rmax < a, czyli
dla:
a ~ a0 Z 1/ 3 ~
EE'
 137 Z 1 / 3 ,
E m0c 2
natomiast dla:
( 67)
EE'
 137 Z 1 / 3
2
E m0c
należy przyjąć pełne ekranowanie. Różniczkowy przekrój czynny jest wówczas w postaci:
 (t , S )  2 r02 Z 2
E'  E 2  E' 2 2 
1
  ln( 183Z 1 / 3 )   dE .

E E  EE'
3
9
( 68)
( 69)
Klasyczna teoria promieniowania hamowania
Przy niewielkich kątach rozproszenia cząstki o masie m1 i ładunku Z1e w polu nieruchomego
ładunku punktowego Z2e o masie m2 do określenia przekazu pędu p można wykorzystać wzór
Rutherforda:
2
d  2 Z1Z 2 e 2 
1

 
( 70)
d  p c  (2 sin  2 ) 4
wynikający z teorii klasycznej. Z wzoru (70) można, dla zderzenia sprężystego, otrzymać wyrażenie
na różniczkowy przekrój czynny na jednostkowy przekaz pędu p:
2
 2Z Z e 2  1
d
 8π 1 2 
.
3
d(Δp)
  c  Δp
( 71)
Dla cząstek dla których p < 2m1c całkowite natężenie promieniowania (gdy częstość   0) jest
równe:
2
dI ( , Δp)
2  Z1e 

 Δp 2 ,

d
3π c  m1c 
( 72)
a różniczkowy przekrój czynny ”(,) na promieniowanie o częstości d z przedziału (,+d)
wysyłane w głąb kąta bryłowego d jest równy:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 15
d 2
dI ( , Δp) d
( 73)

Δp .
d d
d
d(Δp)
Różniczkowy przekrój czynny na jednostkowy przekaz pędu i na jednostkowy przedział częstości jest
dany wzorem:
 ( ,  ) 
2
 Z 22 e 2  1


,
( 74)
2 
 m1c  Δp
który jest słuszny dla małych częstości  i pędów p. Całkując względem pędu otrzymujemy
różniczkowy przekrój czynny d'() na emisję kwantu promieniowania hamowania:
16 Z12 e 2
 ( , Δp) 
3c  2
2
 Z 22 e 2   Δpmax 

 ln 
 .
( 75)
2 
m
c
Δ
p
 1   min 
Jeżeli poruszająca cząstka ma niewielką prędkość, stosunek maksymalnego i minimalnego przekazu
pędu, wynikający z zasad zachowania, jest równy:
16 Z12 e 2
 ( ) 
3c  2
2
Δpmax
p  p [ E  E - E ]
 0

,
Δpmin
p0  p
E
( 76)
a po podstawieniu do (76) uzyskujemy przekrój czynny d '() na emisję kwantu promieniowania
hamowania w postaci:
2
2
16 Z12e2  Z22e2   [ E  E - E ] 



,
( 77)
 ( ) 
ln

3 c  2  m1c 2  
E


podobną do wzoru (69) uzyskanego z rozważań kwantowych.
Dla cząstek poruszających się z prędkościami relatywistycznymi stosunek maksymalnego i
minimalnego przekazu pędu jest w przybliżeniu równy:
Δpmax
2m1c
4m E E

 2 1 20 .
Δpmin
p  p   m1 c E
( 78)
Dla energii kwantów E << E0, oraz gdy E0 >> m1c2 postać różniczkowego przekroju czynnego na
emisję kwantu hamowania jest następująca:
2
2
16 Z12e 2  Z22e 2   E 3 E    2E0E  1 



( 79)
 () 
 .
1  
 ln
3 c  m1c 2   E0 4 E02    m1c 2E  2 
Jeżeli mamy do czynienia z przypadkiem oddziaływania w warunkach całkowitego ekranowania
różniczkowy przekrój czynny d'() jest dany wyrażeniem:
 E 3 E2    A m1  1 
  
( 80)
ln 
1  
2    1/ 3
 E0 4 E0    Z m2  2 
gdzie stała A, według różnych autorów, ma wartości od 183 do 233.
Strata energii elektronów o energii E0 na promieniowanie hamowania w warstwie materii dx
będzie
16 Z12e2  Z22e2 


 (  ) 
3 c  m1c 2 
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
2
OPM 16


S ph   c  ( )d 
0
,
gdzie c oznacza gęstość cząstek naładowanych. Dla energii
ostatnie wyrażenia po scałkowaniu otrzymamy :
m1c2 «
E0 «
mc2/(
( 81)
Z1/3)
porównując
2E0 4 
2E
4


   c BZ(Z  1)E0  4 ln 02   ,
( 82)
2
mc 3 
mc 3 


gdzie  oznacza stałą struktury subtelnej, r02 - klasyczny promień elektronu, stała B jest równa
5,810-28 cm2. Dla oddziaływania zachodzącego w warunkach całkowitego ekranowania strata
energii jest dana wzorem:
S ph   c r02 Z(Z  1)E0  4 ln
A
2

 ,
( 83)
1/ 3
Z
9

gdzie stałe A i stała B mają takie same wartości jak we wzorze (82), wyraz poprawkowy  jest bliski
jedności (od 1,4 dla Z = 1 do 1,14 dla Z = 92).
Straty energii na promieniowanie hamowania dla elektronów, jak to widać na rys.9, są one
istotne od energii kilku MeV i dla ciężkich pierwiastków.
S ph   c BZ(Z   )E0  4 ln
125
10
-18
2
-1
Sph [MeV cm elektron ]
e
100
75
50
Pb
25
Fe
0
0,1
1
E [MeV]
10
Al
20
S-0622
Rys. 9. Zależność strat energii na promieniowanie hamowania eSph (na jeden elektron) dla elektronów od energii
Dla bardzo dużych energii E0 (dla których trzeba stosować całkowicie ekranowany potencjał
kulombowski) strata energii elektronów zależy logarytmicznie od energii. Wprowadza się wówczas
tzw. długość radiacyjną L(Z), która jest równa drodze, na której energia elektronu maleje e razy:
S ph 
1
E (1   ) ,
L ( Z) 0
( 84)
gdzie  jest małą poprawką (dla powietrza  = 0.012, dla ołowiu  = 0.015).
Przyjmując umownie określoną energię Eu traconą przez elektron  w wyniku straty energii na
promieniowanie hamowania Sph lub straty energii na jonizację Sj, można oszacować tzw. energię
krytyczną Ekr elektronu , przy której oba efekty prowadzą do tej samej straty energii Eu. Jak widać z
danych zawartych w tabeli 1, są to energie znacznie większe od energii pochodzących od typowych
źródeł promieniowania  stosowanych w laboratoriach.
Tabela 1
Długości radiacyjne L i energia krytyczna Ekr (Eu = 5 MeV)
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
Ciało
Z
L [g/cm2]
Ekr [MeV]
H
He
O
N
Al
1
2
6
7
13
58
85
42,5
38
23,9
340
220
103
87
47
OPM 17
Fe
Pb
powietrze
woda
26
82
13,8
5,8
36,5
35,9
24
6,9
83
93
ROZPROSZENIE WIELOKROTNE
Cząstka naładowana poruszająca się w materii gęstej może doznać na swojej drodze wielu
kolejnych zderzeń, wywołanych oddziaływaniami kulombowskimi, zwanych rozproszeniem
wielokrotnym.
Rozproszenie wielokrotne jest zależne zarówno od parametrów cząstki jak i ośrodka. Wywołuje
ono szereg efektów, jak np. zmianę kierunku ruchu cząstki, pozorne zakrzywienie toru cząstki,
rozrzut zasięgów itp. i dlatego ogólny opis tego zjawiska nie jest możliwy.
Charakterystyką ogólną jest średni kwadratowy kąt rozproszenia dla pojedynczego rozproszenia:
   ( )d 

  ( )d 
2

2
.
( 85)
Biorąc pod uwagę, że kąt rozproszenia cząstki  jest związany z parametrem zderzenia b
zależnością:
ZZ1e 2 1
,
pv b
liczba zderzeń N(b) na drodze x, które prowadzą do odchylenia o kąt (b) będzie:
 (b)  tg   2
N (b)  2π  xbd b ,
a po zastosowaniu definicji (85) ostatecznie otrzymamy:

( 87)
2
8π max  ZZ1e 2  d b

  x  pv  b .
n bmin
b
2
( 86)
( 88)
Średni kwadrat kąta rozproszenia wielokrotnego  2 będzie:
 2  N 2
.
( 89)
Dla dużej liczby N rozkład kątów rozproszenia można opisać wzorem:
 2 
( 90)
exp   2  .
2
  



Istnieje wiele zależności empirycznych stosowanych w różnych zagadnieniach, dających czasem
lepsze wyniki niż przytoczone wzory ogólne.
p  d  
2
PROMIENIOWANIE CZERENKOWA
Cząstka poruszająca się w dielektryku z prędkością relatywistyczną wywołuje zmianę polaryzacji
elektronowej. Odpowiedzią materii jest emisja promieniowania elektromagnetycznego (z przedziału
pasma widzialnego), zwanego promieniowaniem Czerenkowa (zaobserwowanego w roku 1934
przez P.Czerenkowa). Warunkiem powstania takiego promieniowania o częstości  jest, by cząstka
padająca miała prędkość v większą od prędkości fazowej fali elektromagnetycznej o tej częstości:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 18
c
,
 ( )
gdzie () oznacza przenikalność elektryczną materii dla częstości .
v
( 91)

v’t
v’t
vt
vt
(b)
(a)
S-0079
Rys. 10. Czoła fali elektromagnetycznej
Na rys.10.a pokazane są kolejne położenia czoła fali elektromagnetycznej, gdy prędkość cząstki
jest mniejsza od prędkości fazowej światła, na rys.10.b, gdy jest większa. W tym przypadku kąt, jaki
tworzy czoło fali z kierunkiem ruchu cząstki można wyliczyć z warunku spójności. Jak wynika z
rys.10.b jest określony wzorem:


1

 (v / c) n( ) 
  arccos(cos  )  arccos
80°
( 92)

n=2
60°
1,7
40°
1,5
20°
0°
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
v/c
S-0080
Rys. 11. Zależność kąta od prędkości cząstki (v/c)
 ( )
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60

70
S-0081
Rys. 12. Pasmo częstości zjawiska Czerenkowa
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 19
Ze wzoru (92) wynika, że dla określonej wartości n() istnieje minimalna wartość prędkości cząstek
(v/c)min. Zależność kąta  od prędkości cząstki dla kilku wartości współczynnika załamania światła
n =  ( ) pokazuje rys.11. Promieniowanie Czerenkowa jest zawarte w paśmie nieco poniżej
dyspersji anomalnej, dla której () > (v/c)-2 (rys.12). Dla ()  (v/c)-2 pasmo to jest dosyć szerokie.
Straty energii na promieniowanie Czerenkowa opisuje wzór podany przez Franka i Tamma:
Ze 2


1
1 
 d  .
( 93)
2
c ( v / c )2  1  (v / c)  ( ) 
Zależność strat energii na promieniowanie Czerenkowa od częstości jest wykorzystywana do
zwiększania czułości detektorów szybkich cząstek. Zmieniając współczynnik załamania materii (np.
gazowej przez zmianę ciśnienia) uzyskuje się bardzo selektywną rejestrację energii padających
cząstek.
S pC 

2
ODDZIAŁYWANIE PROMIENIOWANIA JONIZUJĄCEGO POŚREDNIO
WSTĘP
Strumień promieniowania  o energii
E  
( 94)
gdzie  - oznacza stałą Plancka,  - częstość kołową, przechodząc przez materię traci swoją energię
w wyniku kilku różnych procesów. Prawdopodobieństwo tych procesów zależy zarówno od energii
E kwantów  jak i od rodzaju materii (liczby porządkowej Z pierwiastka). Straty energii określają
odpowiednie przekroje czynne dla danego procesu. Energię promieniowania  w rozważaniach
teoretycznych podaje się często w postaci bezwymiarowej, jako stosunek energii kwantu E do
energii spoczynkowej elektronu E0; stosunek ten będziemy oznaczać przez  :

E


.
( 95)
E0 m0c 2
Kwanty promieniowania  o małych energiach E (rzędu kilku keV) oddziałują jedynie z
elektronami swobodnymi lub słabo związanymi. W przypadku energii średnich E, kwanty  mogą
wybijać elektrony silnie związane. Dla dużych energii E (rzędu 102 MeV) kwanty  mogą
oddziaływać już z polem jądra atomowego. Z grubsza biorąc można wydzielić kolejno następujące
procesy oddziaływania promieniowania  z materią: rozproszenie klasyczne, zjawisko
fotoelektryczne, zjawisko Comptona, zjawisko tworzenia par pozyton-negaton i dla energii
dostatecznie dużych - przemiany jądrowe, czyli reakcje fotojądrowe.
W wyniku niektórych procesów oddziaływania promieniowania  z materią zachodzą efekty
wtórne, dzięki którym przywrócony jest stan równowagi energetycznej wzbudzonego atomu.
Takimi procesami są: emisja promieniowania fluorescencyjnego (zwanego również
charakterystycznym promieniowaniem rentgenowskim) oraz emisja elektronów Augera.
Oddziaływanie promieniowania  z materią, jako typowe oddziaływanie elektromagnetyczne,
można opisać przy użyciu wykresów Feynmana. Na rys.13 pokazane są odpowiednie wykresy dla
zjawisk fotoelektrycznego, promieniowania hamowania i tworzenia pary negaton-pozyton. Przy
powstawaniu promieniowania hamowania elektron e- (lub inna cząstka naładowana) przechodząc w
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 20
pobliżu jądra Ze oddziałuje z nim za pośrednictwem wirtualnego fotonu, co jest wymagane przez
zasadę zachowania pędu). Podobną sytuację mamy w przypadku tworzenia pary pozyton-negaton.
e-
e-


e-
Ze

e-


wirtualny
foton
e-
e-

Ze
s-0611
Ze

s-0612
(a)

wirtualny
stan
s-0613
(b)
(c)
Rys. 13. Wykresy Feynmana oddziaływania elektromagnetycznego: (a) - zjawisko fotoelektryczne, (b) - promieniowanie
hamowania, (c) - powstawanie pary negaton-pozyton
Promieniowanie  ulega w materii zarówno pochłanianiu jak i rozpraszaniu. Całkowity przekrój
czynny t na stratę energii S kwantów  o energii E jest sumą przekrojów czynnych na wszystkie
zjawiska zachodzące dla danej energii.
ROZPROSZENIE KLASYCZNE
e


d
S-0286
Rys. 14. Propagacja promieniowania 
Fala elektromagnetyczna o częstości , padająca na elektron e, pobudza go do drgań. Drgający
elektron emituje następnie falę elektromagnetyczną o tej samej częstości  co fala pobudzająca.
Różniczkowy przekrój czynny na energię rozpraszaną przez elektron w głąb stożka o rozwartości d 
pod kątem  wyliczony klasycznie, dany jest wyrażeniem:
1 2
re 1  cos2 ,
( 96)
2
gdzie kąt  oznacza kąt pomiędzy kierunkiem ruchu elektronu a kierunkiem propagacji fali
elektromagnetycznej (rys.14); wielkość re oznacza tzw. klasyczny promień elektronu, równy:
e
  ( ) 


e2
,
( 97)
mc 2
gdzie m oznacza masę spoczynkową elektronu, e - ładunek elektronu, c - prędkość światła. Kątową
zależność różniczkowego przekroju czynnego e   ( ) wyliczoną ze wzoru ( 96) przedstawia krzywa
na rys.15.
Różniczkowy przekrój czynny na rozproszenie klasyczne przypadający na element kąta :
re 
e

 ( )   re2 sin 1  cos2
,
( 98)
określa część energii elektronu rozpraszaną w głąb stożka ograniczonego kątami  i +d.
Zależność tą przedstawia krzywa na rys.16; powierzchnia pod krzywą jest miarą całkowitej energii
rozproszonej przez elektron, równą:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 21
8
( 99)
3
która jest niezależna od energii kwantów . Wielkość e0 nazywa się współczynnikiem rozpraszania
Thomsona. W tym zjawisku elektron nie otrzymuje energii kinetycznej a energia promieniowania
elektromagnetycznego przekształca się w inny rodzaj energii.
e
 0   re2  6,654  10 25 cm 2  0,6654 barna ,
’() [b elek-1 rad-1], e’() [b elek-1 strad-1]
e
30
25
e
’()
20
15
10
e
’()
5
0
0
30
60
90
120 150 180

S-0101
Rys. 15. Zależność różniczkowego przekroju czynnego na rozpraszanie klasyczne e’() oraz e’() od kąta 
-23
log e’() [j.um.]
0,4 MeV
2,8 MeV
-25
-27
Pb
-29
Al
-31
-33
Pb
Al
0
90 180 270 360 0
90 180 270 360

S-0102
Rys. 16. Zależność różniczkowego przekroju czynnego na rozpraszanie klasyczne e’() od kąta 
dla energii E 0,41 MeV i 2,76 MeV w aluminium i ołowiu
Powyższy opis dotyczy jednego elektronu (atom wodoru) i nie jest słuszny dla atomów o większej
liczbie elektronów. Doświadczenie wykazuje, że dla atomów o wielu elektronach znacząca część
(około 75%) energii promieniowania rozproszonego przez kwanty o energii E skupiona jest stożku
o bardzo małej rozwartości , opisanym zależnością empiryczną:
 
2mc2 3
Z arcsin( 2,6.102 ) .
E
( 100)
Dla aluminium dla energii kwantów E = 3,8 MeV rozwartość stożka  wynosi 1,5, dla ołowiu przy
energii E = 0,411 MeV rozwartość ta jest 16. Na rys.16 pokazane są wyznaczone doświadczalne
różniczkowe przekroje czynne na rozpraszanie klasyczne e'().
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 22
ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE
Dla energii kwantu promieniowania typowego dla promieniowania , wybicie elektronu zachodzi
z orbity bliskiej jądru, zwykle z orbity K. Pozostały atom wzbudzony, dzięki efektom wtórnym przez
emisję promieniowania fluorescencyjnego lub elektronów Augera, powraca do stanu
podstawowego, co schematycznie pokazuje rys.17.
Ee
E
X
K
lub
L
elektron
Augera
S-0096
Rys. 17. Zjawisko fotoelektryczne
E’e = E  Ej  Ea
p’e = 0
-
E = 
p = /c
e

E’a= 0
p’a  p’
S-0097
Rys. 18. Wykres pędowy zjawiska fotoelektrycznego
Kinetyczny schemat zjawiska fotoelektrycznego pokazany jest na rys.18. Przyjmując, że kwant 
przekazuje całą swoją energię i pęd elektronowi, z praw zachowania energii i pędu otrzymujemy
następujące wyrażenia:


E
1
  .
 1 , p  m0c
 1  2

c
1  2


Równoczesne spełnienie obu praw prowadzi do zależności:
E  m0c 2 
1
( 101)
( 102)
(1   2 )  1   2 ,
spełnionej jedynie albo dla  = 0, czyli dla E = Ee = 0, albo dla  = 1, co w przypadku elektronu o
masie m  0 nie ma fizycznego sensu. Wynika stąd, że zjawisko fotoelektryczne może zachodzić
jedynie dla elektronu związanego z atomem, i wówczas:
E = Ee + Ew  Ea ,
( 103)
gdzie Ea oznacza energię uzyskaną przez atom, oraz:
p  p e  p a .
( 104)
Prędkość odrzutu jądra jest jednak bardzo mała w porównaniu z prędkością elektronu i dlatego
Ea  0 . Pęd elektronu pe jest również bardzo mały ze względu na różnicę mas elektron - atom, czyli
można przyjąć, że pe  0. Z powyższej analizy wynika również, że dla atomów o małej energii
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 23
wiązania elektronu, lub ze wzrostem energii kwantu , maleje prawdopodobieństwo przekazywania
atomowi odpowiedniego pędu a tym samym maleje prawdopodobieństwo efektu
fotoelektrycznego. Prawdopodobieństwo zjawiska fotoelektrycznego zależy więc od liczby
elektronów czyli liczby porządkowej Z atomu.
Kwantowa teoria zjawiska fotoelektrycznego
Teoretyczny opis zjawiska fotoelektrycznego komplikuje możliwość oddziaływania kwantu  z
różnymi poziomami elektronowymi w atomie. W ogólnym ujęciu zjawisko fotoelektryczne jest to
proces polegający na pochłonięciu kwantu promieniowania o energii:
E =  = c,
( 105)
gdzie  oznacza liczbę falową kwantu, w wyniku czego elektron z a-tej orbity, posiadający energię
Ea < 0 przechodzi do stanu widma ciągłego o energii E’a > 0, czyli zachodzi jonizacja atomu. Energia
kinetyczna wybitego elektronu jest równa:
( 106)
E  c  Ea
gdzie Ea oznacza energię jonizacji a-tej orbity atomu. Dla kwantów o energiach porównywalnych z
Ea emisja elektronu zachodzi z orbit zewnętrznych. Dla kwantów o energiach znacznie większych od
Ea, emisja zachodzi z orbit bliskich jądru, głównie z orbity K czasem z orbity L.
Rozpatrzmy emisję elektronu z orbity K. Elektron o masie spoczynkowej m0 i liczbie falowej k0
posiada wówczas energię kinetyczną równą:
p2
k2
mc
 c ; k0  0 .
2m0
k0

Początkowy stan układu ma energię równą energii jonizacji:
EK 
Ze 2 Z k0

c
2rK
2
gdzie rK oznacza promień K-tej orbity,  - stałą struktury subtelnej:
EK  Ea  
e2
1
2
1
rK 



2
 c 137 .
Zm0 e
Z k 0 ,
Funkcja falowa tego stanu jest dana wyrażeniem:
( 107)
( 108)
( 109)
3/ 2
 r  8 π (k0 ) 5 / 2
1 1
exp( ik r )
  exp    
K 
.
( 110)

3
2
2
L
π  rK 
k  ( k )  ( k 0 )
 rK 
Dla stanu końcowego Eb, ograniczając się do przybliżenia Borna, słusznym dla rmax<<rK, energia i
funkcja falowa dana jest wyrażeniem:
1
k2
;  b  3 / 2 exp( ikr) .
( 111)
2k0
L
Prawdopodobieństwo zjawiska fotoelektrycznego można oszacować dla przybliżenia
promieniowania dipolowego. Dla przypadku nierelatywistycznego prawdopodobieństwo wyrwania
elektronu z orbity K na skutek oddziaływania kwantu promieniowania można wyrazić zależnością:
Eb  EK  c
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 24
P  256π 3
 6 Z 5ck02
 L6
 8(κ
ba  κ )
k
 2 k 2  (κ k ) 2
 2k 8
.
( 112)
Biorąc pod uwagę wszystkie możliwe wartości liczb falowych k, czyli przechodząc do widma
ciągłego, mamy ostatecznie:
256π  6 Z 5ck03 1
k2
P
,  ba 
 .
( 113)
3  k 4 L3  ba
2k 0
k
Różniczkowy przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne ” jest równy stosunkowi
prawdopodobieństwa wyrwania elektronu, do liczby fotonów, które padają na jednostkę
powierzchni w jednostce czasu. W jednostce czasu na jednostkę powierzchni S padają fotony, które
znajdują się w objętości:
V0 = c S.
Prawdopodobieństwo znalezienia fotonu w objętości L3 jest równe
prawdopodobieństwo znalezienia fotonu w objętości V0 jest więc równe:
Sc
,
L3
stąd różniczkowy przekrój czynny będzie dany wzorem:
P
P 256 π  6 Z 5 k 03 1

,
 ba
N
3
4
k
k
a dla k 0  k  Z k 0 mamy
  
( 114)
jedności,
czyli
( 115)
( 116)
7/2
32 2π 2 6 5  k 0 
  
r0  Z   .
3
 
Podstawiając wyrażenie na energię jonizacji otrzymujemy ostatecznie:
512π 2 1  E j
  
r0 3 2
3
 Z  E
7/2

 , m0c 2  E  E j .


Dla energii ultrarelatywistycznych (  k  k 0 ) mamy:
   4π r02 4 Z 5
m0c 2
.
Ej
( 117)
( 118)
( 119)
Przekrój czynny na zjawisko fotoelektryczne maleje wraz z energią kwantów  i dla energii
kwantów E >> 10 m0c2 pochłanianie kwantów na skutek tego zjawiska można całkiem zaniedbać.
Jeżeli energia E padającego kwantu  jest większa od energii wiązania Ea elektronów na danej
orbicie, zwanej również krawędzią absorpcji (np. krawędź K), wyrażenie na przekrój czynny na
zjawisko fotoelektryczne dla jednego atomu aF można zapisać w postaci:
 F  C   Z5 f (E ) [cm2/atom]
( 120)
gdzie C oznacza stałą liczbową, 0 - współczynnik rozpraszania Thomsona, Z - liczbę porządkową
atomu, f(E) – wypadkową funkcję energii.
a
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 25
Dla kwantu  o energii większej od energii wiązania elektronów na danej orbicie Ea, jednak nie
nadającej elektronowi energii relatywistycznej, stała C i funkcja energii f(E) mają następujące
wartości:
C  4 2, E 
1
.
( 121)
7
Na rys.19 pokazana jest zależność przekroju czynnego na zjawisko fotoelektryczne na jeden atom
aF od energii E kwantu  obliczona ze wzoru ( 120), skoki wartości aF odpowiadają krawędziom
absorpcji. Jak widać, przekrój czynny aF gwałtownie maleje wraz ze wzrostem energii kwantów ,
co wynika z poprzednio przytoczonych przyczyn.
 [b atom-1]
 [b atom-1]
a F
a F
100000
100000
10000
10000
1000
1000
100
100
10
10
1
1
0,1
0,1
0,01
0,01
0,1
1
10
0,01
100
E (MeV)
0,01
0,1
1
10
(a)
100
E (MeV)
S-0619
S-0620
(b)
Rys. 19. Zależność przekroju czynnego na zjawisko fotoelektryczne dla jednego elektronu aF od energii kwantów  dla
ołowiu (a) i aluminium (b)
Dla energii kwantów E dla których elektrony uzyskują energie relatywistyczne, stosując również
przybliżenie Borna, otrzymujemy bardziej skomplikowaną zależność na funkcję energii:
f (E ) 
  23  4 (  1)(  3) 1 
   1 
ln 
2
2  1   1  1    1 
1
  12  1  

  12  1  
( 122)

3


2




natomiast stała C jest równa 3/2.
Dla energii kwantów E porównywalnych z energią wiązania elektronu nie można stosować
przybliżenia Borna. W tym przypadku można stosować tzw. przybliżenie przejścia dipolowego, w
którym przyjmuje się, że elektron może otrzymać moment pędu większy od . W tym przypadku,
we wzorze (122), opisującym zjawisko fotoelektryczne zachodzące na orbicie K, pojawi się czynnik
poprawkowy f() równy:
f ( )  2π
7

exp( 4 arctg  )
EK
Ze 2
, 

,
  EK
v
1   2 1  exp( 2π )
( 123)
gdzie EK oznacza energię jonizacji orbity K; wielkość  określa stosunek prędkości elektronu na
orbicie K do prędkości elektronu, emitowanego z tej orbity.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 26
=0
0,25
0,50
0,75
 S-0104
Rys. 20. Kątowy rozkład fotoelektronów w zależności od 
Rozkład kątowy elektronów, emitowanych w zjawisku fotoelektrycznym, zależy od ich energii
(rys.20). Dla energii bardzo małych rozkład ten może być w przybliżeniu opisany zależnością:
sin 2
,
( 124)
(1   cos) 2
gdzie kąt  jest kątem pomiędzy kierunkami ruchu kwantu  i fotoelektronu,  = v/c. Dla energii
dużych, rozkład staje się bardziej ostry i kąt  dąży do 2.
W praktycznych oszacowaniach stosuje się często uproszczone wyrażenie na przekrój czynny na
zjawisko fotoelektryczne F:
N () 
 F  const
Zn
Ek
,
( 125)
gdzie wykładniki potęgowe zmieniają się od wartości n = 4, k = 3,5 dla małych energii (E « mc2) do
n = 4,6, k = 1 dla energii bardzo dużych (E » mc2).
Dla ciężkich pierwiastków (np. ołowiu), zjawisko fotoelektryczne odgrywa rolę nawet przy
energiach rzędu 5 MeV, podczas gdy dla pierwiastków lekkich powyżej energii 0,5 MeV jego udział
można całkowicie zaniedbać.
WYCHWYT ELEKTRONÓW PRZEZ ZJONIZOWANY ATOM
Zjonizowany atom może wychwycić elektrony z tzw. widma ciągłego, czyli może zajść proces
odwrotny do efektu fotoelektrycznego. Przyjmijmy, że dziura znajduje się na powłoce K. Wówczas
energia i funkcja falowa atomu opisane są wyrażeniami Eb, b, natomiast stan końcowy, przez Ea,
a. Podstawiając do wzoru na prawdopodobieństwo emisji w jednostce czasu Pba liczbę kwantów
N=0, znajdziemy prawdopodobieństwo wychwytu elektronu, wyrażone przez różniczkowy przekrój
czynny:
5
  
L3 Pba 128π 2 4 5  v 
ck

r0  Z   ; v 
,
vS
3
k0
c 
( 126)
gdzie v jest prędkością początkową elektronu. Dla małych prędkości elektronów:
Ze2
 1,
( 127)
v
należy uwzględnić wpływ pola kulombowskiego jądra, mnożąc przekrój czynny przez wyraz
poprawkowy:
v  Z c ;  
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 27
2π exp(4 arcctg )
.
(1   2 )2 1 - exp(2π )
Dla v>>Z c ( << 1) funkcja f() dąży do jedności, natomiast dla v0 ( >> 1) mamy:
f ( ) 
2π 1
,
 3 e4
czyli wówczas przekrój czynny na wychwyt elektronu jest równy:
f ( ) 
( 128)
( 129)
2
v
256π 3 4 2
  
e r0  Z 2   ,
3
c 
natomiast dla elektronów o energii kinetycznej Ee dla ultrawysokich prędkości vc mamy:
m0 c 2
,
Ee
czyli wyrażenie podobne jak dla efektu fotoelektrycznego.
   4 π r02 4 Z 5
( 130)
( 131)
ZJAWISKO COMPTONA
Jeżeli energia kwantu  przewyższa znacznie energię wiązania danego elektronu w atomie, to
elektron taki można traktować jako swobodny. Padający kwant  o energii  i pędzie /c po
rozproszeniu na elektronie swobodnym będzie miał energię ' i pęd '/c (rys.21); kierunki obu
kwantów  są różne.
E = 
p = /c

E’ = ’
p’ = ’/c


e
E’e =  - '
p’e = /c - ’/c
S-0105
Rys. 21. Wykres pędowy zjawiska Comptona
Elektron o masie spoczynkowej m uzyskuje, zgodnie z zasadami zachowania, energię kinetyczną:
EC 
mc2
1 
2
 mc2    '   mc2   mc2 ,
( 132)
oraz pęd:
pe 
mc 2
1 
2
cos

  

cos   mc   mc cos ,
c
c
( 133)
gdzie  i ' oznaczają odpowiednio energie kwantów  przed i po rozproszeniu w jednostkach
bezwymiarowych [ / mc 2 ] .
W zjawisku Comptona część energii kwantu  otrzymuje rozpraszany foton, część energii zostaje
przekazana elektronowi. Stąd też, rozpatrując oddziaływanie promieniowania  z materią rozróżnia
się energię rozproszoną, czyli energię przekazaną kwantowi ' i energię pochłoniętą przez materię,
czyli przekazaną elektronowi odrzutu.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 28
ENERGIA ROZPROSZONA
Stosunek energii ' kwantu rozproszonego do energii kwantu padającego, można otrzymać
z równań (132) i (133):
  '
1
 
;
  1   (1  cos )
na rys.22 pokazany jest ten stosunek energii w zależności od energii kwantu padającego.
( 134)
 / ’
1 ,0
 = 0 ,1
0 ,8
0 ,6
0 ,5
0 ,4
1
5
0 ,2
0
0
45
90
135
 180
S-0378
Rys. 22. Stosunek energii kwantu padającego do energii kwantu rozproszonego ’ dla różnych energii kwantu
padającego  w zjawisku Comptona [w jednostkach  /mc2]
Dla niespolaryzowanej wiązki kwantów  różniczkowy przekrój czynny na jednostkę kąta
bryłowego d na liczbę kwantów rozproszonych pod kątem , przypadający na jeden elektron,
opisuje zależność którą podali Klein i Nishina stosując metody mechaniki kwantowej:
1
      


 sin2  ,


2      

która, biorąc pod uwagę zależność (134), ma postać:


re2 
e  SC ( ) 
2

1 2
1


re 
e  SC ( ) 
2  1   (1  cos ) 
( 135)
2

 2 (1  cos )2 
 1  cos 2 
.
( 136)
1   (1  cos ) 

Wzór ten dla małych energii (  0) przechodzi w klasyczny wzór Thomsona (6). Na rys.23 pokazany
jest kątowy rozkład rozproszonych kwantów . Dla małych energii rozproszonego kwantu jest on
symetryczny względem kierunku padania kwantu , który staje się coraz bardziej niesymetryczny w
miarę wzrostu energii rozproszonych kwantów. Dla energii ' powyżej 3,5 MeV rozproszenie
„wstecz” praktycznie nie istnieje.
=0
0,1
0,5
1
5

S-0108
Rys. 23. Rozkład kątowy rozproszonych kwantów  w zależności od ich energii  [w jednostkach  /mc2]
W przypadku rozpraszania klasycznego różniczkowy przekrój czynny na energię rozpraszaną na
jednostkę kąta bryłowego d jest taki sam jak różniczkowy przekrój czynny na liczbę rozpraszanych
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 29
fotonów, gdyż w tym przypadku elektron nie uzyskuje energii kinetycznej. W zjawisku Comptona
różniczkowy przekrój czynny na rozproszoną część energii kwantu  otrzymamy, mnożąc
różniczkowy przekrój czynny na jednostkę kąta bryłowego d na liczbę kwantów rozproszonych
pod kątem  (135) przez stosunek energii obu kwantów (134):

1 2
1

re 
e  'EC ( ) 
2  1   (1  cos  ) 
3

 2 (1  cos  )2 
 1  cos 2  
.
( 137)
1   (1  cos  ) 

Na rys.24 pokazane są zależności różniczkowego przekroju czynnego e'SC (krzywe a) oraz
różniczkowego przekroju czynnego e'EC (krzywe b) na zjawisko Comptona od kąta rozproszenia .
Widać, że różnica pomiędzy obu różniczkowymi przekrojami czynnymi uwidacznia się wyraźnie
dopiero dla dużych energii kwantu .
 [b elektron-1 sr-1]
e
8
 = 0,05
6
0,5
4
a
b
2
b
0
a
5
0
0
b
a
0
45
0
90
0
0
135  180
S-0377
Rys. 24. Zależność różniczkowego przekroju czynnego e'SC (krzywe a) oraz różniczkowego przekroju czynnego e'EC
(krzywe b) na zjawisko Comptona od kąta rozproszenia dla kilku energii kwantów  [w jednostkach  /mc2]
 [b elektron-1]
e
6
SC
4
2
e
EC
e
AC
e
0
0
5
10
15
E [MeV]
20
S-0379
Rys. 25. Zależność przekroju czynnego (na jeden elektron) na zjawisko Comptona: całkowity eSC, na rozpraszanie eEC i
na pochłanianie eAC od energii kwantów 
Całkowity przekrój czynny na liczbę rozpraszanych fotonów w zjawisku Comptona eSC
przypadającą na jeden elektron otrzymamy, całkując wyrażenie (137) w przedziale od  = 0 do  =
2:
1    21    ln1     ln1  2  1  3 
( 138)



.
2 
 
2
1  2 
   1  2
Całkując wyrażenie (136) otrzymamy całkowity przekrój czynny na energię przypadającą na jeden
elektron, rozproszoną przez kwant :
e
 SC  2 re2 
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 30
4 2
1
ln(1  2 ) 
.
 2
(1  2  2 2 ) 
3
2
2 2 
 3(1  2 )  (1  2 )

2
e  EC  2 re 

( 139)
Przebiegi przekrojów czynnych eSC, eEC i eAC w funkcji energii kwantu  widzimy na rys.25.
ENERGIA POCHŁONIĘTA
Z równań (135) i (136) można otrzymać zależność pomiędzy kątem  odrzutu elektronu a kątem
 rozpraszania kwantu :
  


ctg    1 
tg  1   tg .
( 140)
2 
2
 mc  2
Zależność tę dla kilku energii kwantu  widzimy na rys.26. Z rysunku tego widać wyraźnie, że w
miarę wzrostu energii kwantu rośnie prawdopodobieństwo rozpraszania elektronu pod kątem  
0.
90

=0
0,1
0,5
45
1
5
10
0
0
45
90
135

180
S-0106
Rys. 26. Zależność pomiędzy kątem  rozpraszania elektronu w zjawisku Comptona a kątem ' rozpraszania kwantu 
dla różnych energii  [w jednostkach  /mc2]
Stosunek energii rozproszonego elektronu EC do energii fotonu , można otrzymać również z
równań (135) i (136):
EC
1
1 

1   (1  cos )
.
( 141)
Na rys.26 pokazany jest stosunek energii padającego kwantu  do energii rozproszonego elektronu
/Ee w zależności od energii kwantu 
 /Ee
1,0
=5
0,8
1
0,6
0,5
0,4
0,1
0,2
0
0
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
45
90
135  180
S-0819
OPM 31
Rys. 27. Stosunek energii  kwantu padającego do energii Ee elektronu rozproszonego w zjawisku Comptona dla
różnych energii kwantu  [w jednostkach  /mc2]
Różnica pomiędzy różniczkowymi przekrojami czynnymi na zjawisko Comptona (przypadającymi
na jeden elektron), na energię całkowitą e'SC() i na energię rozproszoną e'EC() jest
różniczkowym przekrojem czynnym na zjawisko Comptona na energię kinetyczną elektronu, czyli na
energię traconą przez kwant  na pochłanianie e'AC(). Po scałkowaniu jej otrzymujemy całkowity
przekrój czynny na zjawisko Comptona na pochłanianie promieniowania :
 2(1   )2
1  3
(1   )(1  2  2 2 )
4 2




2
2
 2 (1  2 )2
3(1  2 )3
  (1  2 ) (1  2 )
2
e  AC  2 re 
( 142)
1 

1 1
  2   2  ln(1  2 )
2 2 
 

Przebieg całkowitego przekroju czynnego na pochłanianie w zjawisku Comptona na jeden elektron
eAC w funkcji energii kwantu  widzimy również na rys.27.
Atomowy przekrój czynny na zjawisko Comptona będzie Z razy większy od przekroju czynnego
dla jednego elektronu i zmieniać się będzie proporcjonalnie do Z/E (rys.28).
a
 [b atom-1]
10000

a SC
1000
100
Pb

a EC
10 
a EC
1

a SC
Al


a AC
a AC
0,1
0,01
0,01
0,1
1
E [MeV]
10 20
S-0112
Rys. 28. Zależność przekroju czynnego (na jeden atom) na zjawisko Comptona: całkowity eSC, na rozpraszanie eEC i na
pochłanianie eAC od energii kwantów  dla aluminium i ołowiu
W zagadnieniach praktycznych a w szczególności w spektrometrii promieniowania , ważna jest
znajomość różniczkowego przekroju czynnego '(E) na przekazanie elektronowi w zjawisku
Comptona energii, zawartej w przedziale energii (E, E+dE). Odpowiednie wyrażenie można
otrzymać ze wzoru (142) przez zróżniczkowanie względem energii:
 E   2
mc 2
 ( ) .

( 143)
Można je również napisać w funkcji energii padającego kwantu  i energii elektronu Ee:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 32
re2 mc2

 E  
  Ee 2
2
2
 mc2 Ee 
   Ee    Ee
Ee  mc2 2  m2c 4 
 
 2 2   2
3
 
  

   
( 144)
Na rys.29 widzimy różniczkowy przekrój czynny '(E) obliczony z równania (144) w zależności od Ee
dla kilku energii kwantu . Największą energię (Ee)max otrzymuje elektron przy rozpraszaniu pod
kątem  = 0; wówczas:
Ee max    'min 
2()2
.
2  mc 2
e'(E)
10
( 145)
-1
-1
[b elektron MeV ]
E = 0,2 MeV
0,3 MeV
0,4 MeV
0,5 MeV
1
0,6 MeV
0,8 MeV
1 MeV
0,1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Ee [ MeV]
S-0689
Rys. 29. Zależność różniczkowego przekroju czynnego (na jeden elektron) e'(E) na przekazanie elektronowi energii dE
w zjawisku Comptona od energii Ee dla kilku energii kwantów E
Zjawisko Comptona odgrywa istotną rolę przy energiach kwantów  leżących w przedziale od
około 0,5 MeV do 10 MeV, a więc dla przedziału energii najważniejszego z punktu widzenia
praktycznego zastosowania promieniowania .
ZJAWISKO POWSTAWANIA PAR NEGATON-POZYTON
Zjawisko powstawania pary negaton-pozyton (n-p), przewidziane teoretycznie przez Diraca w
roku 1928, zachodzi wtedy, gdy energia kwantu  przewyższa sumę dwu mas spoczynkowych
elektronu, czyli jest większa od 2m0c2. Ponieważ w układzie kwant  - para n-p nie mogą być
zachowane równocześnie prawa zachowania energii i pędu, para n-p powstaje jedynie w obecności
innej cząstki, która zapewnia zachowanie praw zachowania. Cząstką tą może to być jądro atomowe,
elektron czy kwant . Ostatni przypadek, ze względu na bardzo małe prawdopodobieństwo nie był
obserwowany w praktyce. Energię kwantu , potrzebną do wytworzenia pary n-p w obecności
cząstki i masie M, można wyliczyć z praw zachowania; jest ona równa:
m

( 146)
(E )p  2mc 2  1   .
M

Ze wzoru tego wynika, że gdy cząstką dodatkową jest elektron, energia progowa jest w przybliżeniu
dwa razy większa.
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 33
+
E = 
p = /c
E’a= 0
p’a  p’
e
-
e
S-0111
Rys. 30. Pędowy wykres powstawania pary negaton-pozyton
Na rys.30 pokazany jest wykres pędowy powstawania pary n-p. Przyjmując, że powstaje jedynie
para n-p, oraz, że ich masy i prędkości są identyczne, prawa zachowania energii i pędu mają postać:
  2
mc2
1  2
,
( 147)
p  pe  pe  ,
( 148)
czyli

mc
mv
mc 
2
,|pe  |

,
2
2
c
1 
1 
1 2
skąd wynika, że
|p |
( 149)
|p ||pe  ||pe  |,
( 150)
co jest sprzeczne z prawem zachowania pędu, czyli założenie, że powstaje jedynie para n-p nie jest
słuszne.
Elektrony pary otrzymują średnio energię kinetyczną E równą:
  2mc2 EC
 ,
2
2
gdzie EC oznacza całkowitą energię kinetyczną; średni kąt, pod którym wylatują jest równy:
E
( 151)
2mc 2
mc 2

.
( 152)
  2mc 2
E
Dla kwantu  o energii E= 5 MeV elektrony pary o średniej energii E = 1,989 MeV będą tworzyły z
kierunkiem toru kwantu kąt  = 15°.
Klasyczna teoria powstawania par n-p, opracowania przez Bethego i Heitlera, wykorzystuje
bezpośredni związek teorii promieniowania hamowania z procesem anihilacji pary n-p (proces
odwrotny do tworzenia pary n-p). Przyjmując, zgodnie z teorią Diraca, pozyton jako dziurę w
kontinuum stanów elektronowych, anihilację traktuje się jako przejście elektronu ze stanu o energii
dodatniej do stanu o energii ujemnej, przy czym różnica energii emitowana jest w postaci
promieniowania hamowania.
Różniczkowy przekrój czynny na powstanie pary elektron-pozyton w polu jądra, wynikający z
teorii Bethego i Heitlera, uwzględniająca różne energie i pędy obu elektronów pary, wyraża się
bardzo skomplikowaną zależnością. Przyjmując przybliżenie Borna oraz brak ekranowania,
różniczkowy przekrój czynny na powstanie pary n-p: pozytonu o energii E+ zawartej w przedziale
(E+, E++dE+) oraz negatonu o energii E- w polu kulombowskim jądra o ładunku Ze przez kwant  o
energii  można wyrazić wzorem:

Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 34
 P (E)  C
p p  4
p2  p2
EF
FF 
2 E F


2
E
E
 mc 2    3    3      
 
3 
2 2
( )  3
p p
p
p p 
 p
 ( )2
2 E E  
EE
8 E E (mc 2 )2  E E
 L  3 3 E2 E2  p2 p2  

F   3  F 

3 3
3
3 p p
2p p
p
p
p2 p2  
 p p
C  Z( Z -1) r02  Z( Z -1)  5,793  1028 cm2 ,
(153)
( 154)
gdzie  oznacza stałą struktury subtelnej a r0 - klasyczny promień elektronu, p+ i p- - pęd pozytonu i
negatonu pomnożony przez prędkość światła c (pęd ma wówczas wymiar energii); funkcje L, F+, Foznaczają odpowiednio wyrażenia:
E +p
E +p
E E  p p  (mc2 )2
, F  2 ln  2 + , F  2 ln - 2 ( 155)
2
mc
mc
 mc
Wyrażenie (153) zakłada symetryczny rozkład energii pomiędzy pozytonem a negatonem. Nie
jest to całkiem słuszne, gdyż negaton jest przyciągany a pozyton odpychany przez jądro atomowe.
Prowadzi to do nadmiaru pozytonów o większych energiach, co jest jednak widoczne albo dla
bardzo lekkich materiałów, albo dla bardzo małych energii promieniowania .
Wpływ ekranowania można zaniedbać przy niewielkiej energii kinetycznej powstałej pary n-p.
Odpowiedni przekrój czynny 'P(E) można wyrazić w postaci:
L  2ln
4(E2  E2  23 E E )  2E E 1 
 ln
( 156)
 P (E)  C
  .
2
()3


mc
2

Dla dużych energii E+ i E - trzeba uwzględnić ekranowanie, co wymaga wprowadzenie odpowiednich
czynników zależnych od stopnia ekranowania. Dla całkowitego ekranowania przekrój czynny 'P(E)
ma postać:
2
1
 2


2
1 / 3
( 157)
 E  E  E E  ln183 Z   E E 
() 
3
9


Rozkład energii składników pary n-p, obliczony z powyższych wzorów, dla różnych wartości energii
pary pokazany jest na rys.31. Jak widać, wpływ liczby Z jest widoczny przy dużych wartościach
energii kwantu.
 'P (E)  C
4
3
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 35
’P (E+) EC /C]
8
25 MeV
Al
Pb
6
15 MeV
10 MeV
4
7,5 MeV
V
5 MeV
2
3 MeV
2 MeV
1,5 MeV
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
E+-mc2 [EC-1]
S-0440
Rys. 31. Zależność różniczkowego przekroju czynnego na rozkład energii pomiędzy negaton i pozyton (w jednostkach
C/EC) od względnej energii pozytonu (E+-mc2)/EC dla kilku energii kwantu dla aluminium i ołowiu
Całkowity przekrój czynny P na tworzenie par negaton-pozyton w funkcji energii kwantów 
uzyskuje się po scałkowaniu przekroju różniczkowego ’P. Na rys.32 pokazana jest zależność
całkowitego przekrój czynnego P dla aluminium i ołowiu. Jak widać, wpływ masy jądra uwidacznia
się dopiero przy energiach powyżej 10 MeV.
p [b atom-1]
100
Pb
10
a
1
Al
a
0,1
Pb
b
0,01
Al
b
0,001
0,0001
1
10
100
E [MeV]
S-0110
Rys. 32. Zależność całkowitego przekroju czynnego P na tworzenie par od energii kwantu: (a)- w polu nukleonu, (b)- w
polu elektronów
Proces tworzenia par dominuje w całkowitej stracie energii promieniowania  przy energiach
większych od 5 MeV.
PROCESY WTÓRNE
PROMIENIOWANIE FLUORESCENCYJNE
Oddziaływanie kwantów o dużej energii z atomami prowadzi do wybicia elektronów z powłok
położonych najbliżej jądra (orbity K, L, M, ...). Oczywiście wtedy elektrony z wyższych poziomów
energetycznych przechodzą na puste miejsca wypromieniowując kwanty promieniowania
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 36
elektromagnetycznego. Gdy elektron wypełnia puste miejsca na poziomie K powstaje seria K
promieniowania fluorescencyjnego (rentgenowskie promieniowanie charakterystyczne). Podobnie,
wypełnienie miejsca po elektronach na poziomach L, M, N,..., prowadzi do powstania serii L, M, N,...
. (rys.33).
I
II
III
N
IV
V


I


M
II
III
IV
1 2 1
2 3 4 1

I
II
III
L
seria L
1 2 1
2
K
seria K
S-0374
Rys. 33. Serie widmowe promieniowania fluorescencyjnego K, L (schematycznie)
Przegrupowania te trwają aż do momentu osiągnięcia przez atom stanu równowagi (osiągnięcie
minimum energii potencjalnej dozwolonej przez zakaz Pauliego). Proces ten zachodzi zwykle w
czasie rzędu 10-8 s. Z zasady zachowania energii wynika, że:
ij  Ei  E j ,
( 158)
gdzie ij oznacza energię promieniowania powstałego przy przejściu elektronowym ij,
pomiędzy poziomami i-tym i j-tym.
Promieniowanie fluorescencyjne jest ściśle związane z liczbą porządkową Z atomów. Jak to
wynika z doświadczeń Moseley'a (1913) pomiędzy energią  a liczbą porządkową Z swobodnego
atomu istnieje zależność, którą można zapisać w postaci:
ij  a(Z  s)2 ,
( 159)
gdzie a oznacza współczynnik proporcjonalności natomiast s - stałą ekranowania. Zależność energii
promieniowania fluorescencyjnego (159) od liczby porządkowej Z atomów dla serii K i L pokazana
jest na rys.34.
E [keV]
100
K
10
L
1
0,1
0
20
40
60
80
Z
100
S-0375
Rys. 34. Zależność energii promieniowania linii K i L od liczby porządkowej Z dla promieniowania fluorescencyjnego
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 37
ELEKTRONY AUGERA
Energia pochłonięta przez atom może być przekazana bezpośrednio jednemu z elektronów,
wówczas przegrupowanie elektronów w atomie odbywa się na drodze bezpromienistej. Mechanizm
tego procesu pokazuje schematycznie rys.35. Puste miejsce na powłoce po emisji fotoelektronu
zostaje zapełnione przez elektron z następnej powłoki, a różnica energii wzbudzenia atomu oraz
energii wiązania elektronu wypełniającego puste miejsce jest przekazana kolejnemu elektronowi,
zwykle z najbliższej podpowłoki. Na rys.35 przedstawiony jest przypadek emisji z podpowłoki LII.
Elektron, który uzyskuje energię i opuszcza atom nazywamy elektronem Augera. W wyniku tego
procesu uzyskujemy podwójnie zjonizowany atom, który ma niezapełnione miejsca na wyższej
powłoce elektronowej.
LII
LI
K
S-0376
Rys. 35. Schemat emisji elektronów Augera K-LI LII
Energię elektronu Augera E0 można ocenić, biorąc pod uwagę energię wiązania elektronów na
odpowiednich orbitach. Dla procesu K-LI LII mamy:
EO  EK  (E'LI E'LII )
( 160)
gdzie EK i EL oznaczają energie wiązania elektronów na odpowiednich orbitach w atomie
neutralnym, natomiast E'L - energię orbity dla jonu.
Średnia energia jonizacji
Całkowita jonizacja jest sumą jonizacji pierwotnej i jonizacji wtórnej; efekty wywołane jonizacją
pierwotną i wtórną nie są jednak normalnie rozróżnialne. Przy opisie detekcji promieniowania,
zagadnień związanych z osłonami, procesami biologicznymi itp. istotne są procesy prowadzące w
rezultacie do jonizacji materii i dlatego określa się średnią energię jonizacji E j , czyli energię
potrzebną na wytworzenie jednej pary jonów, nie precyzując pochodzenia tej energii:
EC
,
( 161)
N
gdzie EC oznacza całkowitą energię promieniowania, N - całkowitą liczbę powstałych jonów.
Całkowita energia EC promieniowania rozpraszana w materii może być rozłożona na trzy
składowe:
Ej 
( 162)
EC  EJ  EP  ET ,
gdzie EJ oznacza całkowitą energię zużytą na jonizację, EP - całkowitą energię zużytą na wzbudzenie,
ET - całkowitą energię zużytą na efekty cieplne. Całkowita energia jonizacji jest równa:
EJ  N E
j
,
( 163)
gdzie Ej oznacza energię jonizacji atomu, N - liczbę atomów. Dzieląc energię całkowitą
promieniowania rozpraszaną w materii (163) przez całkowitą energię jonizacji EJ otrzymamy:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 38
 E E 
( 164)
E j  EJ  1  P  T  .
 EJ EJ 
Średnia energia jonizacji E j zawarta jest w granicach od 26 eV do 37 eV. Dla powietrza i innych
gazów E j prawie nie zależy od energii padającej cząstki (Tabela 2).
Tabela 2
Energia jonizacji gazów Ej i średnia energia jonizacji E j jednej pary jonów [eV]
Ej
cząstki 
protony
elektrony
Ej
powietrze
H
He
N
O
Ar
15,0
15.6
24.5
15.5
12.5
15.7
35.0
33.3
34.0
36.0
35.3
37.2
30,2
29.9
32.5
36.0
33.6
35.8
32.2
31.5
32.2
25.8
25.5
27.9
CH4
C 4H 4
29.0
27.0
27.3
26.1
W przypadku promieniowania  średnia energia jonizacji powietrza jest bliska 34 eV i zmienia się
w granicach kilku procent dla do energii rzędu 1 MeV (rys.36).
E [eV]
36
35
34
33
0,001
0,01
0,1
E [MeV]
1
S-0107
Rys. 36. Średnia energia jonizacji E j dla powietrza
Średnią energię E j można przedstawić za pomocą wyrażenia korzystając z półempirycznej teorii
Fano:
 w Ew   i 1Ei 1   i 2 Ei 2
,
( 165)
 i1   i2
gdzie Ew oznacza energię wzbudzenia atomu przez cząstkę jonizującą w wyniku którego powstaje
elektron wtórny, Ei1 i Ei2 - energie elektronów wybitych o energiach odpowiednio mniejszej i
większej od energii jonizacji Ej, i1 i i2 - odpowiednie przekroje czynne na dany proces. Stosunek
przekrojów czynnych e/i1 nie zmienia się dla różnych energii cząstki padającej, natomiast wartość
dla i2 jest mała. Nie zmieniają się również średnie energie Ew i Ei1. Tłumaczy to jakościowo
niezależność średniej energii jonizacji E j od energii E cząstki jonizującej.
Ej 
Średnia liczba par jonów N wytworzona przez cząstkę o energii E jest równa:
E
,
( 166)
Ej
jest wielkością przypadkową. Fluktuację liczby par jonów można opisać wyrażeniem podanym przez
Fano:
N
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 39
 E  
N  E 
( 167)
s  Pj  1  j   Pe  1  w   ,

 
P   E j 
E
j

 

gdzie Pi i Pw oznaczają prawdopodobieństwa jonizacji i wzbudzenia, P całkowite
prawdopodobieństwo jonizacji, Ei i Ew odpowiednio część energii straconą na jonizację i
wzbudzenie. Pierwszy wyraz wzoru obejmuje zderzenia prowadzące do jonizacji, drugi - do
wzbudzenia. Stosunek fluktuacji par jonów s do średniej liczby par jonów N :
2
2
s
,
N
nazywa się współczynnikiem Fano; jest on zwykle mniejszy od (1-P).
F
( 168)
POCHŁANIANIE PROMIENIOWANIA 
CAŁKOWITY WSPÓŁCZYNNIK POCHŁANIANIA PROMIENIOWANIA 
Całkowity współczynnik pochłaniania , charakteryzujący całkowite pochłanianie
promieniowania  w danym materiale, jest sumą współczynników pochłaniania w efekcie
fotoelektrycznym F, w zjawisku Comptona C i w efekcie tworzenia par P:
   F  C   P .
( 169)
Na rys.37 i rys.38 pokazane są całkowite współczynniki pochłaniania  oraz ich składowe dla
aluminium i ołowiu. Z rysunków tych widać wyraźnie, że udział poszczególnych składowych zależy
zarówno od rodzaju materiału jak i od energii promieniowania . Na rys.39 pokazane są obszary na
płaszczyźnie (Z,E) w których dominują poszczególne procesy oddziaływania. Krzywe łączą punktu, w
których współczynniki pochłaniania dla sąsiednich procesów mają taką samą wartość.
 [cm-1]
100
Al
10
1
C
0,1
F
0,01
P
0,001
0,0001
0,01
0,1
1
E [MeV]
10
S-0617
Rys. 37. Zależność całkowitego współczynnika pochłaniania  promieniowania  od energii kwantu E w aluminium (C składowa od zjawiska Comptona, F - od efektu fotoelektrycznego, P - od efektu par n-p)
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 40
 [cm-1]
10000
Pb
1000
100
10
1
C
0,1
F
0,01
0,001
P
0,01
0,1
1
10
E [MeV]
S-0618
Rys. 38. Zależność całkowitego współczynnika pochłaniania  promieniowania  od energii kwantu E w ołowiu (C składowa od zjawiska Comptona, F - od efektu fotoelektrycznego, P - od efektu par n-p)
Z
100
80
F
60
C
P
40
20
0
0,01
0,1
1
10
100
E [MeV]
S-0090
Rys. 39. Obszary na płaszczyźnie (Z,E) w których dominują procesy: F- fotoelektryczny, C-Comptona, P- tworzenia par
Całkowity współczynnik pochłaniania  można również przedstawić jako sumę współczynników
pochłaniania dla dwu różnych procesów:
( 170)
  1   2 ,
gdzie 1 oznacza współczynnik związany z procesami prowadzącymi do powstania wtórnych
elektronów (składowa „jonizująca”), 2- współczynnik związany z powstaniem promieniowania
elektromagnetycznego (składowa „niejonizująca”), czyli
1  re F  CA  P
,
( 171)
2  rs F  CE
gdzie współczynniki re i rs oznaczają odpowiednio część współczynnika pochłaniania F dla efektu
fotoelektrycznego, odpowiadającą powstaniu fotoelektronu i promieniowania hamowania,
natomiast CA oraz CE znaczą odpowiednio części współczynnika na zjawisko Comptona
odpowiadające pochłanianiu i rozpraszaniu. Składowa 1 w szerokich granicach energii
promieniowania  jest prawie stała (rys.40)
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 41
1,0
1 [cm-1]
0,5
0
0
1
2
3
E [MeV]
4
S-0621
Rys. 40. Zależność składowej 1 w spółczynnika pochłaniania promieniowania  od energii kwantów E w aluminium
Do omówienia zależności składowej „joniozującej” 1 od energii E wygodnie jest brać pod uwagę
elektronowy współczynnik pochłaniania e, związany z współczynnikiem pochłaniania  zależnością:
e  
A
,
( 172)
NZ
gdzie N oznacza liczbę Avogardro,  - gęstość ciała, Z i A jego liczby porządkową i masową.
Dla elektronowego współczynnika pochłaniania związanego z efektem fotoelektrycznym eF
najczęściej stosuje się empiryczną zależność, którą można stosować powyżej krawędzi
pochłaniania K:
eF  kF n Z n , [nm] 
123,4
E [keV]
( 173)
gdzie  jest długością fali promieniowania  o energii E, kF - stałą, n - wykładnikiem o wartościach
od 2,3 do 3; wykładnik ten prawie nie zależy od energii E .
Elektronowy współczynnik pochłaniania związany z zjawiskiem Comptona nie zależy od rodzaju
materii a jedynie od energii E:
eC  f E  .
( 174)
Elektronowy współczynnik pochłaniania, związany ze zjawiskiem tworzenia par jest wprost
proporcjonalny do liczby porządkowej Z materiału pochłaniającego:
eP  kP Z ,
( 175)
gdzie kP oznacza współczynnik proporcjonalności.
Składową 1 całkowitego współczynnika pochłaniania można więc zapisać w postaci:
N
kF n Z n1  eC  kP Z 2  .
( 176)
A
Jeżeli ciało pochłaniające składa się z r różnych atomów o liczbach atomowych A1 wówczas
wypadkowy współczynnik 1 będzie:
1 
Ni
kF n Zin1  eC Zi  kP Zi2 ,
Ai
i 1
gdzie wi oznacza skład procentowy r atomów składowych.
r
1  wi
( 177)
RÓWNOWAGA ELEKTRONOWA
Część 1 współczynnika pochłaniania określa energię przekazaną absorbentowi przez
promieniowanie . Dla absorbenta o grubości dl liniowy współczynnik pochłaniania 1 wynosi:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 42
1 dE1
,
( 178)
Z dl
gdzie dE1 jest energią kinetyczną wszystkich powstałych elektronów (ściślej - cząstek naładowanych)
w obszarze o grubości dl.
1 
dV

r
Vr
R
S-0099
Rys. 41. Schemat do określenia równowagi elektronowej
Jeżeli w objętości Vr energia przekazywana przez promieniowanie  jest równa energii
kinetycznej elektronów, to w objętości Vr istnieje równowaga elektronowa. Równowaga
elektronowa istnieje wówczas, gdy objętość Vr, mała w porównaniu z maksymalnym zasięgiem
elektronów, znajduje się w jednorodnym i stacjonarnym polu promieniowania .
Rozpatrzmy najprostszy model równowagi elektronowej. Objętość Vr w postaci kuli (rys.41),
znajduje się w polu o stałym natężeniu promieniowania  o energii kwantów E. Energia
promieniowania  potrzebna na to, aby każdy z elektronów znajdujących się w objętości Vr uzyskał
taką samą energię Ee będzie wynosiła:
4
E  Vr  e Ee   r 3  e Ee ,
( 179)
3
gdzie e oznacza gęstość elektronów powstałych w czasie t w objętości Vr. Stała energia Ee oznacza,
że wszystkie elektrony mają taki sam zasięg R.
Energię Ee może uzyskać również elektron powstały poza obszarem Vr pod warunkiem, że jego
droga będzie przebiegała przez obszar Vr. Liczba N takich elektronów wychodzących z elementu
objętości dV będzie określona zależnością:

edV  r 3 eR ,
( 180)
4
V
gdzie  oznacza kąt bryłowy, a całkowanie przeprowadzono po całej objętości kuli o promieniu R.
Średnia strata energii elektronu na jednostkę drogi jest równa Ee/R. Jeżeli przyjmiemy, że średnia
droga elektronu w objętości Vr jest równa średniej cięciwie (4r/3), to całkowita energia Er
pochłonięta w objętości Vr będzie wynosiła:
N
4
4
rNE e   r 3  e Ee .
( 181)
3
3
Energia ta jest przekazana do objętości Vr przez promieniowanie  o energii E (179), czyli w
objętości Vr istnieje równowaga elektronowa. Równość ta jest spełniona również i dla innych
małych objętości Vi, gdyż podobnie jak w tym przypadku, brakujące w tej objętości elektrony są
uzupełniane z obszaru o promieniu R.
E 
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 43
ŚREDNIA LICZBA PORZĄDKOWA
Do opisu oddziaływania promieniowania  z materią złożoną z różnych atomów należy stosować,
podobnie jak dla przypadku cząstek naładowanych, średnią liczbę porządkową Z , która uwzględnia
specyfikę oddziaływania promieniowania  z materią. Liczba Z jest równa liczbie porządkowej ciała
prostego (zbudowanego z jednego rodzaju atomów) który ma taki sam elektronowy współczynnik
pochłaniania 1e jak ciało zbudowane z kilku rodzajów atomów. Energia promieniowania 
przekazywana ciałom o jednakowych średnich liczbach porządkowych jest taka sama.
Składowa 1e elektronowego współczynnika pochłaniania jest równa:
1
 e1 
1 ,
e
gdzie e oznacza liczbę elektronów w jednostce objętości ciała złożonego:
r
Zi
i 1
Ai
e  wi Ni
.
( 182)
( 183)
N oznacza liczbę Avogardro, i- gęstość i-tego ciała, Zi i Ai jego liczby porządkową i masową.
Względna liczba i elektronów i-tego rodzaju atomów w ciele złożonym wynosi:
i Zi
.
( 184)
 e Ai
Jeżeli przez i oznaczymy liczbę atomów i-tego rodzaju w jednostce objętości ciała złożonego, to
wyrażenie na liczbę e elektronów w jednostce objętości ciała złożonego ma postać:
 i  wi N
r
e  i Zi ,
( 185)
i 1
czyli
i 
i Zi
.
r
 Z
i 1
i
( 186)
i
Biorąc pod uwagę zależność (184) otrzymujemy wyrażenie:
Ni
kF n Zin1  eC Zi  kP Zi2 ,
( 187)
e i 1
Ai
które może być użyte do określenia średniej liczby porządkowej dla trzech procesów oddziaływania
promieniowania  z materią.
Współczynnik pochłaniania dla efektu fotoelektrycznego jest określony zależnością:
 e1 
1
eF 
1
e
r
w
i
r
w
i 1
i
n 1
Ni
kF n Z in1  kF n Z .
Ai
( 188)
Jeżeli uwzględnimy współczynniki i (184) lub (186), to wyrażenie na średnią liczbę porządkową Z
dla efektu fotoelektrycznego (dla n=3) będzie określone wzorem:
Z 3
r
 Z
i 1
i
3
i
.
( 189)
Dla zjawiska Comptona współczynnik pochłaniania ma postać:
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 44
r
Ni
( 190)
 e1   wi
eC   i eC , .
e i 1
Ai
i 1
Ponieważ suma wszystkich współczynników i jest równa jedności, nie ma potrzeby określania
średniej liczby porządkowej dla zjawiska Comptona.
Dla zjawiska tworzenia par mamy współczynnik pochłaniania w postaci:
1
r
r
Ni
2
 e 1   wi
kF Zi   i Zi  kP Z ,
e i 1
Ai
i 1
czyli
1
r
( 191)
r
Z   i Zi .
( 192)
i 1
Z powyższych rozważań wynika, że średnia liczba porządkowa Z jest określona przez najbardziej
prawdopodobny proces oddziaływania promieniowania  o danej energii E z materią. Dla przedziału
energii promieniowania  dla której dominują proces fotoelektryczny i zjawisko Comptona średnią
liczbę porządkową Z
dominują procesy Comptona i tworzenia par - ze wzoru (192).
Obliczenie średniej liczby atomowej dla ciał złożonych z wielu pierwiastków ma szczególne
znaczenie dla materiałów biologicznych. W tabeli 3 podane są obliczone średnie liczby atomowe dla
energii promieniowania  równej 1 MeV, oraz odpowiednie gęstości elektronów.
Tabela 3
Średnie liczby atomowe dla promieniowania  dla materiałów biologicznych
ciało
powietrze
woda
mięśnie
kości
tłuszcz
gęstość
[g/cm3]
0,001293
1,00
1,00
1,85
0,91
gęstość
elektronów
[.1023 g/cm3]
0,00375
3,34
3,34
5,55
3,08
Zśrednie
(dla efektu
fotoelektrycznego)
7,64
7,42
7,42
13,8
5,92
Zśrednie
(dla zjawiska
Comptona)
7,36
6,60
6,60
10,0
5,2
Na rys.42 widzimy względny współczynnik pochłaniania promieniowania  dla podstawowych
materiałów biologicznych. Jak widać, dla energii promieniowania  powyżej 100 keV różnice są
bardzo małą. Dla energii mniejszych (z zakresu promieniowania X) różnice są bardzo duże,
szczególnie dla kości.
pow
6
5
kości
4
3
2
1
woda
tłuszcz
0
0,01
0,1
1
10
100
E [MeV]
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
S-0985
OPM 45
Rys. 42. Zależność względnego współczynnika pochłaniania promieniowania  od energii promieniowania dla
podstawowych materiałów biologicznych
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 46
Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią
1
Wstęp
1
Oddziaływanie promieniowania jonizującego bezpośrednio
3
Wstęp
3
Strata energii na oddziaływanie kulombowskie
5
Wzory Motta
10
Elektrony 
11
Straty energii na promieniowanie hamowania
12
Kwantowa teoria promieniowania hamowania
12
Klasyczna teoria promieniowania hamowania
15
Rozproszenie wielokrotne
18
Promieniowanie Czerenkowa
18
Oddziaływanie promieniowania jonizującego pośrednio
20
Wstęp
20
Rozproszenie klasyczne
21
Zjawisko fotoelektryczne
23
Kwantowa teoria zjawiska fotoelektrycznego
24
Wychwyt elektronów przez zjonizowany atom
27
Zjawisko Comptona
28
Energia rozproszona
29
Energia pochłonięta
31
Zjawisko powstawania par negaton-pozyton
33
Procesy wtórne
36
Promieniowanie fluorescencyjne
36
Elektrony Augera
38
Średnia energia jonizacji
Pochłanianie promieniowania 
38
40
Całkowity współczynnik pochłaniania promieniowania 
40
Równowaga elektronowa
42
Średnia liczba porządkowa
44
Tadeusz Hilczer, Notatki, tom II
OPM 47