podstawy elektrotechniki i

PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
Zespół Szkół nr 2 w Wyszkowie
26 kwietnia 2013 r.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
⋆ ⋆ ⋆
Nauka jest dla tych, którzy chcą być mądrzejsi, którzy chcą
wykorzystywać swój umysł do poznawania otaczającego nas
świata.
Jeżeli ktoś chce w życiu pozostać ciemny i głupi, to na takiego
nie ma siły. Musimy mu pozwolić takim zostać.
⋆ ⋆ ⋆
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Obwody elektryczne
Obwodem elektrycznym nazywamy zespół elementów połączonych
ze sobą w taki sposób, że w rozpatrywanym obwodzie istnieje co
najmniej jedna droga zamknięta dla przepływu prądu
elektrycznego.
W skład obwodu elektrycznego wchodzą:
• elementy czynne (aktywne), zwane także elementami
źródłowymi,
• elementy bierne (pasywne), zwane także elementami
odbiorczymi,
• elementy pomocnicze, takie jak przewody łączące, łączniki,
bezpieczniki, przyrządy pomiarowe.
Schemat elektryczny jest odwzorowaniem graficznym obwodu
elektrycznego. Przedstawia on sposób połączenia elementów
obwodu, za pomocą znormalizowanych symboli graficznych.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Symbole graficzne elementów źródłowych (aktywnych)
+
+
E
I
_
_
E
_
c)
b)
a)
+
Rysunek: Symbole graficzne elementów aktywnych:
a) symbol ogólny źródła napięcia,
b) symbol źródła prądu,
c) symbol akumulatora i ogniwa elektrycznego.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Najważniejsze symbole graficzne elementów odbiorczych
(pasywnych)
D
R
- dioda (prostownik)
- rezystor
L
A
- amperomierz
- kondensator
V
- woltomierz
- rezystor nastawny
M
- silnik prądu
stałego
- cewka
C
R
W
- łącznik
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
- uziemienie
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Elementy aktywne (źródłowe)
Elementy źródłowe, napięciowe charakteryzują następujące
parametry:
• siła elektromotoryczna (napięcie źródłowe),
• rezystancja wewnętrzna źródła.
Przyjmuje się, że rezystancja wewnętrzna idealnego źródła napięcia
równa jest zero (Rw = 0).
Elementy źródłowe, prądowe charakteryzują następujące
parametry:
• prąd źródłowy,
• rezystancja wewnętrzna źródła.
Przyjmuje się, że rezystancja wewnętrzna idealnego źródła prądu
jest nieskończenie duża (Rw = ∞).
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Elementy pasywne
Rezystory są elementami odbiorczymi, w których podczas
przepływu prądu następuje przekształcanie energii elektrycznej
prądu w energię cieplną, wydalaną na zewnątrz rezystora.
Cewki i kondensatory są elementami gromadzącymi energię zawartą
w polu elektrycznym (kondensatory) lub magnetycznym (cewki).
Przetworniki przetwarzające energię elektryczną w inne rodzaje
energii użytecznej. Do tego rodzaju przetworników zaliczamy:
silniki elektryczne, przetwarzające energię elektryczną w energię
mechaniczną ruchu obrotowego lub postępowego, źródła światła
przetwarzające energię elektryczną w energię świetlną, akumulatory
przekształcające energię elektryczną w energię chemiczną (podczas
ładowania), itp.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Najprostszy obwód elektryczny
I
+
E
UR
R
_
I - prąd płynący w obwodzie
UR - spadek napięcia (napięcie) na odbiorniku
Najprostszy obwód elektryczny składa się ze źródła, odbiornika i
przewodów łączących odbiornik ze źródłem.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Obwód elektryczny złożony
UR1
I1
w1
I3
R1
I2
+
E
+
I
_
Iz
II
UR3
_
w2
Rysunek: Obwód elektryczny złożony, zawierający dwa rezystory, źródło
napięcia i źródło prądu.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
R3
W obwodach elektrycznych złożonych wyróżnia się:
• węzły,
• gałęzie,
• oczka.
Węzłem obwodu elektrycznego nazywamy taki punkt obwodu, w
którym łączą się co najmniej trzy końcówki różnych elementów
obwodu.
Gałąź obwodu utworzona jest przez jeden lub kilka elementów
obwodu połączonych ze sobą szeregowo. Gałąź jest połączeniem
dwóch sąsiednich węzłów.
Oczkiem obwodu elektrycznego jest zbiór połączonych ze sobą
elementów obwodu, tworzących zamkniętą drogę dla przepływu
prądu. Po usunięciu któregokolwiek z elementów oczka, pozostałe
elementy nie tworzą już zamkniętej drogi dla przepływu prądu.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Zasady strzałkowania siły elektromotorycznej, napięcia i
prądu
Zasady te przyjęto w celu uporządkowania opisu obwodów
elektrycznych. Można je wyrazić następująco:
• strzałka reprezentująca siłę elektromotoryczną (sem) źródła
ma zwrot od − do + (od minusa do plusa). Strzałka wskazuje
więc punkt obwodu o wyższym potencjale,
• strzałka prądu ma zwrot zgodny ze zwrotem sem wywołującą
jego przepływ.
• napięcie na odbiorniku (spadek napięcia) ma zwrot przeciwny
do prądu płynącego przez ten odbiornik.
W obwodach złożonych mogą być trudności związane z ustaleniem
zwrotu sem wywołującej przepływ prądu w danej gałęzi obwodu.
W takich przypadkach przyjmujemy zwrot prądu gałęziowego
dowolnie. Jeśli okaże się, że zwrot prądu wybrany został
niewłaściwie, otrzymany z obliczeń wynik będzie ujemny.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Prawo Ohma
I
Rw
U
R
E
Natężenie prądu I płynącego przez odbiornik o rezystancji R jest
wprost proporcjonalne do napięcia U przyłożonego do odbiornika i
odwrotnie proporcjonalne do rezystancji R tego odbiornika.
I=
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
U
R.
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Rezystancja przewodu
s
l
s - przekrój poprzeczny przewodu w m2 (lub mm2 )
l - długość przewodu w m
R = ρ sl
mm2 )
ρ - rezystywność materiału, z którego wykonano przewód w Ωm (lub Ω m
Odwrotnością rezystywności jest konduktywność przewodu γ:
γ=
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
1
.
ρ
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Zależność rezystancji przewodu od temperatury
RT = R20 [1 + α(T − 293)] ,
gdzie:
RT – rezystancja przewodu w temperaturze T ,
R20 – rezystancja przewodu w temperaturze 20◦ C,
α – temperaturowy współczynnik rezystancji α [ K1 ].
Znając rezystancję przewodu w temperaturze T1 możemy obliczyć
rezystancję tego przewodu w innej temperaturze T2 , stosując
następujący wzór:
RT2 = RT1 [1 + α(T2 − T1 )] .
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Rezystywność, konduktywność i współczynnik temperaturowy
rezystancji dla wybranych przewodników
Nazwa
przewodnika
Jedn. miary
srebro
miedź
aluminium
wolfram
żelazo
kanthal
nikielina
Rezystywność
ρ
µΩm
0,0162
0,0175
0,0287
0,055
0,1
1,45
0,43
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
Konduktywność
γ
S
Mm
61,8
58
35
18,2
10
0,69
2,33
Współczynnik
temperaturowy
rezystancji α
1
K
0,004
0,00393
0,004
0,0046
0,0059
6, 4 · 10−5
2, 3 · 10−4
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Obwody szeregowe
Połączenie szeregowe elementów obwodu elektrycznego występuje
wówczas, gdy przez każdy element obwodu płynie taki sam prąd.
Szeregowo można łączyć źródła napięcia i odbiorniki. Na
schematach obwodów prądu stałego, odbiorniki rzeczywiste
zastępowane są najczęściej rezystorami o rezystancji równoważnej
rezystancji tych odbiorników.
Szeregowe łączenie źródeł napięcia stosuje się wtedy, gdy napięcie
znamionowe pojedynczego źródła jest zbyt małe do zasilania
danego odbiornika.
Zaleca się łączenie źródeł napięcia o jednakowym prądzie
znamionowym.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Szeregowe łączenie źródeł napięcia
_
+
E1
_
+
Rw1
E2
_
+
Rw2
E3
Rw3
Powyższy układ zastępujemy układem równoważnym:
_
+
Ez
Ez = E1 + E2 + E3 ,
Ez =
i =n
X
Rwz
Rwz = Rw1 + Rw2 + Rw3 .
Ei = E1 + E2 + E3 + · · · + En ,
i =1
Rwz =
i =n
X
i =1
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Rwi .
Szeregowe łączenie rezystorów
R1
+
I
R2
U1
R3
_
U3
U2
Powyższy układ zastępujemy układem równoważnym:
Rz
+
I
_
U
U = U1 + U2 + U3 .
Rezystancja zastępcza
RZ = R1 + R2 + R3 .
Ogólnie:
Rz =
i =n
X
Ri = R1 + R2 + R3 + · · · + Rn .
i =1
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Obwody równoległe
Połączenie równoległe elementów obwodu elektrycznego występuje
wówczas gdy zarówno źródła jak i odbiorniki są pod tym samym
napięciem U.
Łączenie równoległe źródeł prądu stosuje się wówczas, gdy prąd
płynący przez elementy odbiorcze (odbiorniki) przekracza wartość
znamionową prądu pojedynczego źródła.
Źródła napięcia łączone równolegle powinny mieć takie same
wartości napięć znamionowych, czyli zarówno ich siły
elektromotoryczne jak i rezystancje wewnętrzne muszą być sobie
równe.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Równoległe łączenie źródeł napięcia
Rw
Rw
R
_
_
Rw
E
odbiornik
+
+
+
E
E
_
Powyższy układ zastępujemy układem równoważnym:
+
Rwz
_
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
Ez =E
odbiornik
Ez
R
Rwz=R3w
Ogólnie dla n źródeł:
Rwz=Rnw
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Równoległe łączenie rezystorów
R1
R2
R3
Powyższy układ zastępujemy układem równoważnym:
Rz
1
1
1
1
=
+
+
.
Rz
R1 R2 R3
Ogólnie, dla n rezystorów:
i =n
X
1
1
1
1
1
1
=
=
+
+
+ ··· +
.
Rz
R
R
R
R
R
i
1
2
3
n
i =1
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Rezystancja i konduktancja
Rezystancja i konduktancja to wielkości wzajemnie odwrotne.
Jednostką miary rezystancji w układzie SI jest 1 Ω. Jednostką
miary konduktancji jest odwrotność ohma, czyli 1 S (Siemens).
1
R
Rezystancja i konduktancja zastępcza dwóch oporników
połączonych:
a) szeregowo
G=
Rz = R1 + R2 ,
Gz =
G1 · G2
,
G1 + G2
b) równolegle
Rz =
R1 · R2
,
R1 + R2
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
Gz = G1 + G2 .
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Rezystancja i konduktancja
Odwrotność rezystancji zastępczej n rezystorów połączonych równolegle:
1
1
1
1
1
=
+
+
+ ···+
.
Rz
R1
R2
R3
Rn
Wzór ten można napisać w postaci jawnej:
Rz =
R1 · R2 · · · Rn
.
R2 · R3 · · · Rn + R1 · R3 · · · Rn + · · · + R1 · R2 · · · Rn−1
Stosując skróconą notację matematyczną dla sumy i iloczynu wielu
składników:(n–liczba rezystorów połączonych równolegle) mamy:
Rz =
- wzór Strzeszewskiego
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Wzór Strzeszewskiego – objaśnienia
Rz =
W liczniku tego wyrażenia mamy iloczyn n czynników R1 · R2 · R3 · · · Rn ,
z których każdy czynnik przedstawia wartość rezystancji i − tej gałęzi
połączenia równoległego. W matematyce i naukach fizycznych przyjęło
się oznaczenie takiego iloczynu za pomocą greckiej dużej litery Π (pi).
Mamy więc oznaczenie:
R1 · R2 · R3 · · · Rn =
i =n
Y
Ri ,
i =1
gdzie do znaku iloczynu dodano jeszcze tak zwane wskaźniki iloczynu.
Wskaźnik dolny i = 1 oznacza, że pierwszym elementem iloczynu jest
rezystor z pierwszej gałęzi równoległej, czyli R1 , ostatnim rezystor n − tej
gałęzi czyli Rn .
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Wzór Strzeszewskiego – objaśnienia cd
W mianowniku wzoru Strzeszewskiego mamy wyrażenie:
k=n Y
X
Rj .
k=1 j6=k
Jest to suma n składników, gdzie każdy ze składników sumy jest
iloczynem n − 1 czynników.
Każdy ze składników sumy jest postaci:
Y
Rj = R1 · R2 · · · Rk−1 · Rk+1 · · · · Rn .
{z
}
|
j6=k
brak Rk
Ostatecznie mamy:
k=n Y
X
k=1 j6=k
Rj = R2 · R3 · · · Rn + R1 · R3 · · · Rn + · · · + R1 · R2 · · · Rn−1 .
|
{z
} |
{z
}
{z
}
|
brak R1
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
brak R2
brak Rn
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Zestawienie wzorów na połączenie równoległe rezystorów
n – liczba gałęzi równoległych
Rz =
n = 2,
Rz =
n = 3,
n = 4,
Rz =
R1 · R2
;
R1 + R2
R1 · R2 · R3
;
R1 · R2 + R1 · R3 + R2 · R3
R1 · R2 · R3 · R4
.
R1 · R2 · R3 + R1 · R2 · R4 + R1 · R3 · R4 + R2 · R3 · R4
Podstawiając kolejne liczby n do wzoru Strzeszewskiego możemy
otrzymać wzory na rezystancję zastępczą Rz układu o dowolnej ilości
gałęzi równoległych.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład
Obliczy rezystancję zastępcz uk adu rezystorów, pokazanego na rysunku:
'
'
*
+
-
*
.
+
.
Rozwizanie
ę ęp
Re
a
Rz o, o cr Strzeszecwgo
i=5
i=1
Rz= k=5
Ri
iloczyn 5 sk/adników
=
Rj
R1•R2•R3•R4•R5
R2 •R3 •R4 •R5+R1 •R3 •R4 •R5+R1 •R2 •R4 •R5+R1 •R2 •R3 •R5+R1 •R2 •R3 •R4
brak R1
k=1 j=k
brak R3
brak R2
brak R5
brak R4
Po wstawieniu warto ci liczbowych na Ri, otrzymujemy:
z=
1, • 1, • 2, • 2, • 3, (1, • 2, • 2, • 3,
Rz =
5
+!"# • $"# • $"% • &"# +1, • 1, • 2, • 3, +1, •1, • 2, • 3, +!"# • !"% • $"# • $"%) 4
22,5 5
(22,5+15,0+11,25+9,0+7,5)
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
4
=
22,5
65,25
0,34
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Charakterystyka zewnętrzna źródła napięcia
+
I
E
U
R
E
I = R+
Rw
U = E-I.R w
UR w
Rw
_
Charakterystyka zewnętrzna źródła napięcia to zależność napięcia
U na zaciskach źródła rzeczywistego od prądu I obciążenia źródła.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Charakterystyka zewnętrzna źródła napięcia c. d.
V U
tg α = R
E
U
=
Iz =
E
-I
R
w
Uo
E
Rw
sta
pro a
R I żeni
U = bcią
o
I
α
Io
Iz
A
Rysunek: Charakterystyka zewnętrzna źródła napięcia.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Charakterystyki prądowo-napięciowe elementów biernych
Elementy bierne (pasywne) to takie elementy, które nie mają
zdolności wytwarzania energii elektrycznej. W elementach tych
następuje rozpraszanie lub gromadzenie energii elektrycznej.
Charakterystyka prądowo-napięciowa to graficzne
przedstawienie zależności między prądem płynącym przez dany
element i spadkiem napięcia na tym elemencie.
Ze względu na kształt charakterystyki prądowo-napięciowej,
wszystkie elementy układów elektrycznych można podzielić na dwie
grupy: liniowe i nieliniowe.
Przykłady elementów liniowych: rezystor, cewka (bezrdzeniowa),
kondensator.
Przykłady elementów nieliniowych: dioda, dławik (cewka z
rdzeniem ferromagnetycznym), termistor.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykłady charakterystyk prądowo-napięciowych elementów
biernych
a) Charakterystyka prądowo-napięciowa rezystora jako przykład
charakterystyki liniowej.
I
A
R
U
V
Opis matematyczny charakterystyki wynika z prawa Ohma:
U
I = .
R
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykłady charakterystyk prądowo-napięciowych elementów
biernych
b) Charakterystyka prądowo-napięciowa diody prostowniczej jako
przykład charakterystyki nieliniowej.
I
Charakterystyka diody jest nieliniowa i niesymetryczna.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Łączenie rezystorów w gwiazdę
Trzy rezystory R1 , R2 , R3 połączone są w gwiazdę, gdy jeden z
końców każdego rezystora połączony jest we wspólnym punkcie
węzłowym N, a pozostałe końce przyłączone są do węzłów 1, 2, 3.
1
R1
N
R3
3
R2
2
Rysunek: Łączenie rezystorów w gwiazdę.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Połączenie rezystorów w trójkąt
Trzy rezystory R12 , R23 , R31 połączone są w trójkąt, jeśli początek
pierwszego rezystora R12 połączymy z końcem rezystora trzeciego
R31 w węźle 1, początek rezystora R23 połączymy z końcem
rezystora pierwszego w węźle 2 a początek rezystora trzeciego R31
połączymy z końcem rezystora drugiego R23 w węźle 3.
1
R12
R31
3
2
R23
Rysunek: Połączenie rezystorów w trójkąt.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Zastępowanie układu trójkątowego równoważnym układem
gwiazdowym
Dwa układy są równoważne, gdy rezystancje między kolejnymi
parami węzłów (przy odłączonym zasilaniu trzeciego węzła), są
jednakowe.
Dane są rezystancje układu trójkątowego R12 , R23 , R31 , należy
wyznaczyć rezystancje układu gwiazdowego R1 , R2 , R3 :
R1 =
R12 · R31
,
R12 + R23 + R31
R2 =
R12 · R23
,
R12 + R23 + R31
R3 =
R23 · R31
.
R12 + R23 + R31
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Zastępowanie układu gwiazdowego równoważnym układem
trójkątowym
Dane są rezystancje układu gwiazdowego R1 , R2 , R3 , należy
wyznaczyć rezystancje układu trójkątowego R12 , R23 , R31 :
R12 = R1 + R2 +
R1 · R2
,
R3
R23 = R2 + R3 +
R2 · R3
,
R1
R31 = R3 + R1 +
R3 · R1
.
R2
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Pierwsze Prawo Kirchhoffa
Suma prądów wpływających do danego węzła obwodu
elektrycznego równa się sumie prądów z niego wypływających.
I2
I3
I1
I4
I5
I1 + I3 = I2 +I4 + I5
Rysunek: Wybrany węzeł obwodu elektrycznego.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Pierwsze Prawo Kirchhoffa c. d.
Jeśli przyjmiemy umownie, że prądy wpływające do węzła mają
znak dodatni (+), a prądy wypływające z węzła znak ujemny (-),
to pierwsze prawo Kirchhoffa można przepisać w postaci:
Suma algebraiczna prądów w każdym węźle obwodu elektrycznego
równa jest zeru.
I1 − I2 + I3 − I4 − I5 = 0.
Ogólnie, dla n gałęzi zbiegających się w danym węźle:
i =n
X
Ii = 0,
i =0
gdzie znak prądu przyjmujemy jako dodatni, jeśli prąd wpływa do
węzła i ujemny jeśli z niego wypływa.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Drugie Prawo Kirchhoffa
Drugie prawo Kirchhoffa dotyczy bilansu napięć w dowolnym oczku
obwodu elektrycznego. Oto jego treść:
Suma algebraiczna napięć w dowolnym oczku obwodu
elektrycznego równa jest zeru.
UR 4
I4
E4
I1
I3
R4
E3
E1
UR 1
UR 2
I2
E2
_
_
R3
UR 3
R1
R2
_
_
UR 1+ E1 UR 4+E4 E3 +UR 3 E2 + UR 2 = 0
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Rozwiązywanie obwodów elektrycznych
Rozwiązywanie obwodów elektrycznych polega na obliczaniu
prądów płynących we wszystkich gałęziach obwodu, przy założeniu
że znamy wartości wszystkich sił elektromotorycznych i wartości
rezystancji występujących w danym obwodzie.
W obwodzie elektrycznym prostym występuje jedno źródło
(prądowe lub napięciowe) oraz rezystancje. Rozwiązanie takiego
obwodu polega na obliczeniu rezystancji zastępczej obwodu i
skorzystaniu z prawa Ohma do wyznaczenia prądu gałęziowego.
Rozwiązując obwód złożony, należy znaleźć wszystkie prądy
gałęziowe w danym obwodzie. Musimy więc napisać tyle równań ile
jest gałęzi w tym obwodzie. Są to równania wynikające z
pierwszego lub drugiego prawa Kirchhoffa (lub modyfikacja tych
praw).
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Zasady rozwiązywania obwodów złożonych za pomocą praw
Kirchhoffa
• przed przystąpieniem do układania równań przyjmujemy
dowolnie strzałki prądów i obiegu oczek,
• liczba niewiadomych prądów równa jest liczbie gałęzi obwodu
– tyle należy ułożyć równań,
• liczba równań prądowych (równań wynikających z I prawa
Kirchhoffa) jest o jeden mniejsza niż liczba węzłów,
• pozostałą liczbę równań należy ułożyć wg II prawa Kirchhoffa
(równania napięciowe). Przy układaniu równań napięciowych
sem źródeł i spadkom napięć skierowanym zgodnie z przyjętym
obiegiem oczka przypisujemy znak +, pozostałym znak -.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład
Rozwiązać obwód:
Rw
R1
R2
E
Dane:
E = 22 V, Rw =1 Ω , R1 = 3 Ω, R2 = 2 Ω.
Rozwiązanie:
Pokazany na rysunku powyżej obwód zawiera tylko jedno źródło
napięcia, jest więc obwodem prostym.
Rezystancja zastępcza, całkowita równa jest:
Rz = Rw +
R1 · R2
6
3·2
=1+
= 1 + = 2, 2 Ω.
R1 + R2
3+2
5
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład (c.d.)
Oznaczamy prądy i spadki napięć na rezystancjach:
I
Rw
URw
I2
I1
UR1
R1 R2
UR2
E
I =
22 V
E
=
= 10 A.
Rz
2, 2 Ω
Rezystory R1 i R2 połączone są równolegle, więc
UR1 = UR2 = E − URw = E − I · Rw = 22 V − 10 A · 1 Ω = 12 V .
I1 =
12 V
U R1
=
= 4 A,
R1
3Ω
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
I2 =
U R2
12 V
=
= 6 A.
R2
2Ω
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład
Rozwiązać metodą praw Kirchhoffa obwód złożony, o schemacie
jak niżej.
Rw1
Rw2
R3
E1
E2
Dane:
E1 = 36 V, E2 = 24 V, Rw1= Rw2= 2 Ω, R3= 9 Ω.
Rozwiązanie:
W obwodzie tym możemy wyróżnić dwa węzły, trzy gałęzie i trzy oczka.
Aby rozwiązać obwód, należy ułożyć trzy równania na prądy gałęziowe, które
oznaczamy: I1 , I2 , I3 .
Można napisać tylko jedno równanie prądowe, wynikające z I prawa Kirchhoffa.
Pozostałe dwa równania musimy napisać na podstawie II prawa Kirchhoffa, dla oczek
oznaczonych na kolejnym rysunku jako I i II.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład (c. d.)
w1
I1
URw1
I2
I3
Rw1
I
Rw2
R3
UR3
URw2
II
E1
E2
w2
węzeł w1:
I1 + I2 = I3 ,
oczko I: E1 − URw1 − UR3 = 0,
oczko II: UR3 + URw2 − E2 = 0.
Z prawa Ohma wynika:
URw1 = I1 · Rw1 , URw2 = I2 · Rw2 , UR3 = I3 · R3 .
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład (c. d.)
Po wstawieniu ostatnich zależności, uporządkowaniu równań oraz
wstawieniu danych zadania otrzymujemy układ trzech równań z
trzema niewiadomymi I1 , I2 , I3 :





I1 + I2 − I3 = 0
2 · I1 + 9 · I3 = 36
2 · I2 + 9 · I3 = 24 .
Rozwiązanie tego układu równań (n. p. metodą wyznacznikową)
daje:
I1 = 4, 5 A, I2 = −1, 5 A, I3 = 3 A.
Obliczony prąd I2 ma wartość ujemną. Oznacza to, że rzeczywisty
kierunek prądu I2 ma zwrot przeciwny niż przyjęty na schemacie.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Metoda superpozycji
Metodę superpozycji (nakładania) stosujemy tylko do obwodów
liniowych, czyli takich w których występują elementy mające
charakterystyki prądowo-napięciowe liniowe.
• rozwiązywany obwód złożony (z n źródłami) zastępujemy n
obwodami z jednym źródłem,
• każdy z n obwodów jednoźródłowych rozwiązujemy
niezależnie,
• dowolny prąd gałęziowy obwodu pierwotnego jest sumą
algebraiczną n prądów gałęziowych płynących w obwodach
składowych.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład
Rozwiązać obwód metodą superpozycji:
R1
R2
R3
E1
E2
Dane:
E1=100 V, E2 = 50 V, R1 =15 Ω, R2 = 20 Ω, R3 = 10 Ω.
Rozwiązanie:
Stosując metodę superpozycji, zastępujemy pokazany wyżej obwód
dwoma obwodami z pojedynczym źródłem napięcia. W obwodach
zastępczych rezystancje pozostają bez zmian, nieuwzględnione
źródła napięcia zwieramy (źródła prądowe rozwieramy).
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład (c. d.)
I1
UR1
I2
R1
I3
R2
UR2
UR3
E1
a)
b)
I1'
U061
R3
E2
I2'
R1
U062
I3'
R2
U063
I2"
I1"
R3 UR"1
UR"2
R1
UR"3
E1
E2
R1 R3
= 20 + 15+10 = 26Ω
15 10
R 1+R 3
E2 50
=
=1,92 A
I2" =
R z 26
_
_
UR"1= UR"3 =E2 I2".R 2=50 1,92 20 = 11,54 V
R2 R3
= 15 + 20+10 = 21,67Ω
20 10
R 2+R 3
E1 100
=
=4,62 A
I1' =
R z 21,67
_
_
UR'2= UR'3 =E1 I1' R 1=100 4,6 15 = 30,76 V
R z =R 1 +
I2' =
I3"
R2
UR'
UR'2 = 30,76 =1,54
A I3' = 3 = 30,85 =3,08 A
R 3 10
R 2 20
_
R z =R 2 +
I1" =
_
UR"
UR"1 = 11,54 =0,77
A I3" = 3 = 11,54 =1,15 A
R 3 10
R 1 15
I1 = I1' I1" = 4,62 A 0,77 A= 3,85 A,
_
_
I2 = I2" I2' = 1,92 A 1,54 A= 0,38 A,
I3 = I3' + I3" = 3,08 A + 1,15 A = 4,23 A.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
R3
Moc w obwodach prądu stałego
Moc prądu elektrycznego P w obwodzie prądu stałego określamy
jako iloczyn napięcia na odbiorniku U i prądu płynącego przez
odbiornik I , czyli:
P =U ·I
Jednostką miary mocy w układzie SI jest 1 wat (1 W), jednostkami
pochodnymi są:
1 mW = 10−3 W = 0, 001 W ,
1 kW = 103 W = 1000 W ,
1 MW = 106 W = 1 000 000 W ,
1 GW = 109 W = 1 000 000 000 W .
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Moc w obwodach prądu stałego c. d.
Korzystając z prawa Ohma
I =
U
,
R
wzór na moc prądu możemy przekształcić następująco:
P = R · I 2 lub P =
U2
.
R
Prawo Joule’a-Lenza: Moc elektryczna przekształcana w
rezystorze na moc cieplną jest wprost proporcjonalna do iloczynu
kwadratu prądu płynącego przez rezystor i rezystancji rezystora.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Energia elektryczna
Energia elektryczna W , pobrana w czasie t przez odbiornik
zasilany napięciem U i pobierający prąd I może być wyrażona
następującym wzorem:
W =U ·I ·t
Jednostką miary energii elektrycznej jest 1 watosekunda, czyli 1
dżul. Jednostką stosowaną w praktyce jest 1 kilowatogodzina.
1 kWh = 3, 6 · 106 Ws.
Ponieważ W = P · t, energia elektryczna może być zapisana jako:
W = I 2 · R · t lub W =
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
U2
t.
R
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Przykład
Obliczyć ilość ciepła wydzielonego przez grzejnik o mocy
P = 5 kW w czasie t = 6 h.
Rozwiązanie:
Energia cieplna wydzielana przez grzejnik równa jest energii
elektrycznej dostarczanej do niego, więc
Qc = W = U
| {z· }I ·t = P · t.
=P
Podstawiając dane zadania mamy:
Qc = 5 kW · 6h = 30 kWh.
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I
Dziękuję za uwagę!
mgr inż. Grzegorz Strzeszewski
PODSTAWY ELEKTROTECHNIKI I