Historia matematyki

Historia matematyki od
prehistorii do teraźniejszości.
Spis treści


•
•
•
•
•








Prehistoria
Starożytny Wschód
Chiny
Mezopotamia
Egipt
Indie
Grecja
Matematyka islamska i arabska
Matematyka w średniowieczu
XV i XVI wiek
XVII wiek
XVIII wiek
XIX wiek
XX wiek
Suwak logarytmiczny
•
•
•
•
•




•
•



Podstawowe skale
Dokładność obliczeń
Mnożenie
Dzielenie
Odczyt liczb, podnoszenie do
kwadratu, logarytmowanie
XXI wiek
Historia liczb
Historia funkcji trygonometrycznych
Wielcy matematycy
polscy
zagraniczni
Dylematy matematyczne
Bibliografia
Autorzy
Prehistoria


Należy przypuszczać, że proste obliczenia towarzyszyły człowiekowi od zawsze.
Wiadomo, że nawet zwierzęta potrafią oceniać liczebność zbiorów zawierających kilka
elementów. Najwcześniejsze ślady liczenia znaleźć można w gramatyce. Budowa i zasady
użycia liczebników pozwalają ocenić, że na początku umiano określić liczebność małych
zbiorów: jeden, dwa, trzy, zaś większe postrzegano po prostu jako więcej, wiele. Dzięki
badaniom etologicznym, neurofizjologii i socjobiologii wiemy, że uwarunkowania
gatunku ludzkiego skłaniają go do życia w grupach o liczebności 30-40 osobników co
zapewne sprawia, że w codziennej praktyce nie było potrzeby używania większych liczb.
Typowym sposobem liczenia stosowanym przez społeczności pierwotne jest
wykorzystanie części ciała, takich jak palce, czy paliki palców.
Na długo przed najwcześniejszymi źródłami pisanymi powstawały rysunki, mogące
wskazywać na znajomość podstaw matematyki. Na przykład paleontologowie odkryli
ochrowe skały w południowoafrykańskiej jaskini, ozdobione wydrapanymi motywami
geometrycznymi sprzed 70 tysięcy lat. Także prehistoryczne artefakty odkryte w Afryce
(sprzed 35 tysięcy lat) i we Francji (sprzed 20 tysięcy lat)wskazują na próby ilościowego
określania czasu.



Istnieją przesłanki, że niektóre pierwsze próby liczenia były związane ze
przewidywaniem kolejnej menstruacji. Znajdowano na przykład rządki 28, 29 lub
30 nacięć, po których następowało nacięcie różniące się od poprzednich. Starożytni
łowcy znali też koncepcję liczenia "nic, jeden, dwa, wiele" w odniesieniu do
złowionych zwierząt, liczenie było też zapewne istotne przy ocenianiu szans w
walkach plemiennych.
Najwcześniejsze ślady znajomości matematyki w starożytnych Indiach datują się na
ok. 3000-2600 p.n.e. i są pozostałością cywilizacji doliny Indusu z terenu
północnych Indii i dzisiejszego Pakistanu. Cywilizacja ta stworzyła dziesiętne
jednostki miary, technikę produkcji cegieł o ustalonych proporcjach boków, ulice
przecinające się dokładnie pod kątem prostym i sporo geometrycznych
przedstawień, w tym prostopadłościany, beczki, stożki, walce, i rysunki
koncentrycznych lub przecinających się okręgów i trójkątów.
Odkryto także ciekawe przyrządy, takie jak dokładna linijka z dwupoziomową
dziesiętną podziałką, instrument z muszli, działający jako kątomierz w zakresie od
40 do 360 stopni, inną muszlę, która pozwalała podzielić horyzont i niebo na 8-12
równych sekcji i przyrząd nawigacyjny do mierzenia pozycji gwiazd. Pismo
induskie nie zostało dotąd odczytane, niewiele wiadomo zatem o pracach
matematycznych z tego okresu. Niektórzy historycy interpretują pewne znaleziska
archeologiczne jako dowody znajomości ósemkowego systemu liczbowego i liczby
π.


Kość z Ishango, znaleziona w
źródłach Nilu (północno-wschodnie
Kongo) pochodzi sprzed 20 tysięcy
lat (górny paleolit). Jedna z typowych
interpretacji głosi, że jest to
najwcześniejsza znana demonstracja
liczb pierwszych. Przeddynastyczni
Egipcjanie z 5 tysiąclecia p.n.e.
graficznie przedstawiali
geometryczne konstrukcje
Przestrzenne, geometryczne
przedstawienia okręgu, elipsy, trójek
pitagorejskich można odnaleźć na
monumentach w Anglii i Szkocji z 3
millenium p.n.e.
Starożytny Wschód
~Chiny~



W 212 p.n.e. chiński cesarz Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) rozkazał spalić
wszystkie książki spoza państwa Qin. Rozkaz ten nie wszędzie został wykonany,
jednak w konsekwencji niewiele dziś wiadomo o starożytnej matematyce chińskiej.
Najwcześniejszy istniejący do dziś matematyczny artefakt z Chin to pochodząca z
epoki Shang (1600 p.n.e.–1046 p.n.e.) skorupa żółwia z zapisaną liczbą 123. Użyty
jest system dziesiętny, od góry do dołu wydrapane zostały: cyfra 1, symbol setki,
cyfra 2, symbol dziesiątki, cyfra 3. Wówczas był to najbardziej zaawansowany
system liczbowy na świecie. Późniejsi Chińczycy liczyli na przyrządach takich jak
suanpan i chiński abakus. Nie wiadomo dokładnie, kiedy suanpan został
wynaleziony, najwcześniejsza wzmianka znajduje się w Dodatku do sztuki figur Xu
Yue z roku 190 n.e..
Najstarsza chińska praca z odniesieniami do geometrii, która przetrwała palenie
ksiąg, Mo Jing, pochodzi z filozoficznego kanonu motizmu napisana ok. 330 p.n.e..
Skompilowana została przez zwolenników Mocjusza (470–390 p.n.e.). Opisywała
rozmaite aspekty fizyki, przy okazji omawiając też stosowane metody
matematyczne.
Chiny (ok. 500 p.n.e.–1300 n.e.)



Zhang Heng


Pomimo incydentu palenia ksiąg, dynastia Han (202 p.n.e.–220 n.e.) tworzyła później dzieła
matematyczne, opierające się na zaginionych pracach. Najważniejszym z nich było Dziewięć
rozdziałów o sztuce matematyki, dokonana ok. 179 kompilacja prac, z których część istniała
wcześniej pod innymi tytułami. Dzieło składało się z 246 opisanych słownie problemów,
dotyczących rolnictwa, handlu, zastosowania geometrii do obliczania proporcji chińskich
pagod, budowy wież, inżynierii, pomiarów geodezyjnych, i opisywało m.in. rozwiązywanie
trójkątów prostokątnych i obliczanie liczby π. Wykorzystywało także zasadę Cavalierego
ponad tysiąc lat przed odkryciem jej przez Cavalierego na Zachodzie. Dzieło zawiera
również dowód twierdzenia Pitagorasa i wzór na eliminację Gaussa. Praca była komentowana
przez Liu Hui w III wieku n.e..
Dodatkowo matematyczne prace Zhang Heng (78-139), astronoma i wynalazcy z epoki Han,
także zawierały obliczenie liczby π, różniące się jednak metodą od wyniku Liu Hui. Zhang
Heng używał wzoru na π do obliczania objętości kuli.
Powstała także praca matematyka i teoretyka muzyki Jing Fang (78–37 p.n.e.). Używając
komatu pitagorejskiego, Jing zauważył, że 53 kwinty odpowiadają w przybliżeniu 31
oktawom. Doprowadziło to później do odkrycia skali temperowanej, i zostało precyzyjnie
wyprowadzone dopiero w XVII wieku przez Nicholasa Mercatora.
Chińczycy stworzyli złożone kombinatoryczne diagramy zwane kwadratami magicznymi i
kołami magicznymi, opisane w czasach starożytnych, a następnie dopracowane przez Yang
Hui (1238–1398). Zu Chongzhi (V wiek, okres Dynastii Południowych i Północnych)
obliczył wartość π z dokładnością do siedmiu miejsc dziesiętnych, co pozostało przez prawie
tysiąc lat najlepszym oszacowaniem tej liczby. W tysiąc lat po upadku dynastii Han, w
okresie dynastii Tang i Song, chińska matematyka świetnie prosperowała, podczas gdy
europejska nie istniała. Dokonania Chińczyków, dużo później ponownie odkryte na
Zachodzie, obejmowały liczby ujemne, dwumian Newtona, macierze, metody rozwiązywania
układów równań liniowych, chińskie twierdzenie o resztach, trójkąt Pascala, i regułę trzech.
Oprócz Zu Chongzhi, istotny wkład do chińskiej matematyki tego okresu wnieśli m.in. Yi
Xing, Shen Kuo, Qin Jiushao, i Zhu Shijie. Uczony Shen Kuo stosował m.in. rachunek
różniczkowy, trygonometrię, metrologię, permutacje, obliczył także konieczny rozmiar
wolnej przestrzeni niezbędny do rozwinięcia określonych formacji bitewnych, oraz
najdłuższą możliwą kampanię militarną przy określonych zasobach żywności.
Nawet, gdy europejska nauka rozkwitła w dobie renesansu, chińska i europejska matematyka
pozostawały odrębnymi tradycjami, przy czym postępy Chińczyków były coraz wolniejsze.
Wzajemne odkrycie tych dwóch kultur naukowych nastąpiło za sprawą jezuickich
misjonarzy, takich jak Matteo Ricci, którzy przenosili idee matematyczne w obydwie strony
w okresie od XVI do XVIII wieku.
Starożytny Wschód
~Mezopotamia~






W Mezopotamii rolę ośrodka naukowego grał Babilon. Po nastaniu panowania Greków utrzymał tę funkcję, a
sumeryjska matematyka połączyła się z grecką.
W przeciwieństwie do rzadkości źródeł na temat matematyki Egiptu, w przypadku Mezopotamii od połowy XIX
wieku odnaleziono ponad 400 glinianych tabliczek zapisanych pismem klinowym, gdy glina była miękka i
następnie utwardzonych w piecu lub na słońcu. Niektóre z nich wyglądają na ocenione prace domowe z
matematyki.
Najstarsze pisane źródła matematyczne pochodzą od Sumerów, którzy zbudowali pierwszą cywilizację
Mezopotamii. Stworzyli oni 3000 lat przed naszą erą złożony system miar. Ok. 2500 p.n.e. zapisali pismem
klinowym tabliczkę mnożenia, zmagali się z zadaniami geometrycznymi, umieli dzielić, dodawać i odejmować.
Na ten okres datują się także najstarsze ślady babilońskiego systemu liczbowego.
Większość znalezionych glinianych tabliczek pochodzi z okresu między 1800 a 1600 p.n.e., i dotyczy tematów
takich jak ułamki, algebra, równania liniowe, kwadratowe, sześcienne, oraz trójki pitagorejskie. W glinie
wypisano także tablice trygonometryczne. Babilońska tabliczka oznaczona przez archeologów symbolem YBC
7289 podaje oszacowanie wartości \sqrt{2} z dokładnością do pięciu miejsc dziesiętnych.
Babilońscy matematycy używali systemu sześćdziesiątkowego. Jego ślady pozostały do dziś w podziale godziny
na 60 minut, minuty na 60 sekund i kąta pełnego na 360 (60 x 6) stopni, a następnie stopnia na 60 minut i
minuty na 60 sekund kątowych.
System sześćdziesiątkowy jest o tyle wygodny, że liczba 60 ma wiele dzielników
(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60). Ułatwia to dzielenie przez niewielkie liczby. Ponadto postępom matematyki
sprzyjał fakt, że w odróżnieniu od zapisów Egipcjan, Greków i Rzymian, system Babilończyków był
prawdziwym systemem pozycyjnym, w którym te same znaki (cyfry) z lewej strony reprezentowały większe
wartości, niż z prawej. Nie miał on zatem ograniczeń, jeśli chodzi o maksymalną możliwą do zapisania liczbę.
Nie posiadał jednak separatora dziesiętnego, którego trzeba było domyślać się z kontekstu.
Starożytny Wschód
~Egipt~









O odrębnej matematyce egipskiej można mówić do nastania panowania Greków, kiedy język egipski został
zastąpiony greckim i wraz z matematyką babilońską została ona wchłonięta przez myśl grecką. Niektóre
egipskie koncepcje były później rozwijane przez matematyków arabskich, kiedy Egipcjanie zaczęli pisać
ich alfabetem.
Najstarszym odkrytym egipskim tekstem matematycznym jest tzw. papirus moskiewski, pochodzący ze
starożytnego Egiptu z okresu Średniego Państwa, datowany 2000 p.n.e.–1800 p.n.e.. Jak wiele starożytnych
tekstów matematycznych skupia się na czymś, co dziś nazwalibyśmy "zadaniami z treścią" i miał zapewne
służyć rozrywce. Jedno z zadań ukazuje metodę obliczania objętości ściętego ostrosłupa o kwadratowej
podstawie:
„
Jeśli ci powiedzą: ścięta piramida o wysokości 6, z 4 w podstawie i 2 na szczycie. Powinieneś
podnieść to 4 do kwadratu, uzyskując 16. Masz podwoić 4, uzyskując 8. Podnieś 2 do kwadratu,
uzyskując 4. Dodaj 16, 8 i 4, uzyskując 28. Weź trzecią część 6, czyli 2. Weź dwukrotnie 28, dostaniesz
56. Zobacz, ma być 56. Prawidłowo.
”
Papirus Matematyczny Rhinda (ok. 1650 p.n.e.) to kolejny ważny egipski tekst matematyczny, podręcznik
arytmetyki i geometrii. Oprócz metod przeprowadzania mnożenia, dzielenia i działań na ułamkach, zawiera
również dowody posiadania przez Egipcjan szerszej wiedzy matematycznej, w szczególności znajomość
liczb pierwszych, liczb złożonych, średnich arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, uproszczonej
wersji sita Eratostenesa i liczb doskonałych (w szczególności dla liczby 6). Pokazuje również metodę
rozwiązywania równań liniowych oraz szeregów arytmetycznych i geometrycznych.
Papirus Rhinda sugeruje również znajomość pierwocin geometrii analitycznej. Znajdują się w nim bowiem:
* metoda obliczenia liczby π z dokładnością lepszą niż 1%,
* próba kwadratury koła
* najstarsze znane użycie kotangensa.
Z papirusu berlińskiego (ok. 1300 p.n.e.) wynika, że starożytni Egipcjanie potrafili rozwiązywać równania
kwadratowe.
Starożytny Wschód
~Indie~



Najstarsze ślady matematyki w Indiach to Shatapatha Brahmana (IX wiek p.n.e.), gdzie obliczono wartość
liczby π z dokładnością do dwóch miejsc dziesiętnych[22], oraz Sulba Sutras (ok. 800-500 p.n.e.) gdzie
użyto liczb niewymiernych, pierwszych, reguły trzech (rozwiązywanie proporcji), pierwiastka
sześciennego, pierwiastków kwadratowych obliczonych z dokładnością do 5 miejsc po przecinku,
przybliżonej kwadratury koła, trójek pitagorejskich, rozwiązywano równania liniowe i kwadratowe, oraz
udowodniono twierdzenie Pitagorasa.
Pāṇini (ok. V wieku p.n.e.) skodyfikował reguły gramatyczne sanskrytu. Jego notacja była zbliżona do
współczesnego zapisu matematycznego, z metaregułami, przekształceniami i rekursją. Rozwinął swój
formalizm do tego stopnia, że jego gramatyka może być dziś przetwarzana metodami komputerowymi.
Pingala (żył gdzieś w przedziale III–I wiek p.n.e.) w swoim traktacie o prozodii używał konstrukcji
zbliżonej do dwójkowego systemu liczbowego. Jego kombinatoryczna dyskusja metrum muzycznego,
przypomina dwumian Newtona. Praca Pingali zawiera też ideę liczb Fibonacciego (zwanych mātrāmeru).
Pomiędzy 400 p.n.e. a 200 n.e., matematycy dźinijscy zaczęli studiować matematykę dla samej
przyjemności badań. Odkryli nieskończone liczby kardynalne, teorię mnogości, logarytmy, prawa
potęgowania, równania sześcienne, czwartego stopnia, ciągi, szeregi, permutacje, kombinacje, oraz
pierwiastek kwadratowy. Manuskrypt z Bakhshali, napisany między 200 p.n.e. a 200 n.e. zawierał
rozwiązania układów równań liniowych z pięcioma niewiadomymi, rozwiązania równania kwadratowego,
szeregi arytmetyczny i geometryczny, kwadratowe równania nieoznaczone, układy równań, zastosowanie
zera oraz liczb ujemnych. Rozwinięcia liczb niewymiernych, w szczególności pierwiastków kwadratowych
liczb rzędu miliona, sięgały 11 miejsc dziesiętnych.
Klasyczna matematyka indyjska (ok. 400–1600)




W tekście Surja Siddhanta (ok. 400) podano funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus i cosecans,
wyprowadzono też wzory na pozycję ciał niebieskich. Kosmiczne cykle opisane w tekście,
skopiowane z wcześniejszych prac, odpowiadają średniemu roku gwiazdowemu równemu
365,2563627 dni, co stanowi oszacowanie tylko o 1,4 sekundy większe od przyjmowanej dziś
wartości 365,25636305 dni. Ta praca została przetłumaczona w średniowieczu na arabski i łacinę.
Aryabhata w 499 wprowadził funkcję trygonometryczną sinus versus (1-cos x), stworzył pierwsze
tablice trygonometryczne sinusów, rozwinął algebrę, wielkości nieskończenie małe, równania
różnicowe i uzyskiwał rozwiązania równań liniowych w liczbach całkowitych, używając metody
zbliżonej do dzisiejszej, dokonywał także obliczeń astronomicznych opartych o system
heliocentryczny. Arabskie tłumaczenie jego Aryabhatiya było dostępne od VIII wieku, a
tłumaczenie łacińskie od XIII wieku. Oszacował on także wartość liczby π jako 3,1416. Madhawa
później w XIV wieku obliczył π z dokładnością do 11 miejsc po przecinku: 3,14159265359.
W VII wieku Brahmagupta sformułował twierdzenie Brahmagupty, tożsamość Brahmagupty oraz
wzór Brahmagupty, i po raz pierwszy w historii w Brahma-sphuta-siddhanta, jasno wytłumaczył
użycie zera, jako cyfry dziesiętnej, objaśnił też cyfry arabskie. To z tłumaczenia tego tekstu (około
770 roku) arabscy matematycy przyjęli ideę systemu liczbowego, który później został
zaadaptowany jako cyfry arabskie. Arabowie zanieśli ten system do Europy w XII wieku, a obecnie
jest powszechnie używany na całym świecie. W X wieku komentarze Halayudhy do pracy Pingali
zawierały studium ciągu Fibonacciego i trójkąta Pascala, opisywały też podstawy rachunku
macierzy.
W XII wieku Bhaskara pierwszy rozważał rachunek różnicowy, a także ideę pochodnej funkcji.
Sformułował też twierdzenie Rolle'a (szczególny przypadek twierdzenia Lagrange'a), badał
równanie Pella, i pochodną funkcji sinus. W XIV wieku i później, Madhawa i inni matematycy ze
szkoły Kerala rozwinęli jego idee. Stworzyli koncepcje analizy matematycznej, liczby
zmiennoprzecinkowej, a także fundamentalne idee rachunku różniczkowego, włącznie z
twierdzeniem Lagrange'a, całkowaniem wyraz po wyrazie, związkiem pomiędzy polem
powierzchni pod wykresem funkcji a funkcją pierwotną ( podstawowe twierdzenie rachunku
całkowego), kryterium całkowym, oraz iteracyjne metody rozwiązywania równań nieliniowych,
szeregi nieskończone, szeregi potęgowe, szereg Taylora i szeregi trygonometryczne. W XVI wieku,
Jyeshtadeva zebrał wiele osiągnięć i twierdzeń Szkoły Kerala w Yuktibhasa, pierwszym w historii
opracowaniu rachunku różnicowego, w którym wprowadził także idee rachunku całkowego. Postęp
matematyczny w Indiach został skutecznie zahamowany w końcu XVI wieku w związku z
zawieruchami politycznymi.
Aryabhata
Starożytny Wschód
~Grecja~




Termin "matematyka grecka" odnosi się do tekstów napisanych po grecku w okresie od ok. 600 p.n.e. do
450 n.e. Matematycy greccy żyli w miastach rozsianych od półwyspu Apenińskiego po północną Afrykę,
lecz jednoczyła ich kultura i język. Matematyka grecka była bardziej wyrafinowana od osiągnięć
wcześniejszych kultur. Świadectwa, które przetrwały do naszych czasów, wskazują na umiejętność
rozumowania indukcyjnego, to znaczy konstruowania reguł na podstawie obserwacji. Grecy używali logiki
do wyprowadzania wniosków z definicji i aksjomatów. Uważa się, że podwaliny matematyki greckiej
położyli Tales z Miletu (ok. 624 p.n.e.–ok. 546 p.n.e.) i Pitagoras (ok. 582 p.n.e.–ok. 507 p.n.e.).
Jakkolwiek rozmiar wpływu jest dyskusyjny, byli oni zapewne zainspirowani ideami egipskimi,
babilońskimi i prawdopodobnie indyjskimi. Zgodnie z legendą Pitagoras podróżował do Egiptu, aby uczyć
się matematyki, geometrii i astronomii od kapłanów egipskich.
Tales używał geometrii, aby rozwiązywać problemy takie jak obliczanie wysokości piramid lub odległości
statków od brzegu. Pitagorasowi przypisywany jest pierwszy dowód twierdzenia nazwanego jego
imieniem, choć sformułowanie tego twierdzenia jest dużo starsze. W swoich komentarzach do Euklidesa,
Prokul twierdził jednak, że Pitagoras sformułował swoje twierdzenie i skonstruował trójki pitagorejskie.
Akademia Platońska miała motto Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii.
Pitagorejczycy odkryli istnienie liczb niewymiernych. Eudoksos z Knidos (408 p.n.e.–ok. 355 p.n.e.)
wymyślił metodę wyczerpywania, pierwowzór całkowania numerycznego. Arystoteles (384 p.n.e.–ok. 322
p.n.e.) jako pierwszy opisał prawa logiki. Euklides (ok. 300 p.n.e.) jako pierwszy użył schematu, do dziś
popularnego w pracach matematycznych: definicja, aksjomat, twierdzenie, dowód. Badał także krzywe
stożkowe. Jego dzieło, Elementy, jest jednym z najważniejszych tekstów naukowych w historii. Oprócz
podsumowania ówczesnej wiedzy geometrycznej, Elementy zawierają także dowód niewymierności
pierwiastka z dwóch i dowód, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Do znajdowania liczb
pierwszych używane było sito Eratostenesa (ok. 230 p.n.e.).
Jednym z największych greckich matematyków był Archimedes (287–212 p.n.e.) z Syrakuz. Według
Plutarcha zginął, gdy rozważając pewien problem geometryczny ośmielił się zwrócić uwagę rzymskiemu
żołnierzowi, który przeszedł po wykreślonych na piasku figurach.
Pitagoras z Samos
Tales z Miletu
Matematyka arabska i islamska




Kalifat, utworzony na terenach Bliskiego Wschodu, Azji Środkowej, Północnej Afryki,
Półwyspu Iberyjskiego i części Półwyspu Indyjskiego w VIII wieku dokonało znaczących
postępów w dziedzinie matematyki.
Chociaż większość matematycznych tekstów świata islamskiego było napisanych po arabsku,
jednak nie wszystkie były pisane przez Arabów, wielu ważnych islamskich matematyków
było Persami. Arabski wówczas służył jako wspólny język pisany uczonych islamskich, tak
jak w świecie hellenistycznym grecki, w średniowieczu łacina a obecnie język angielski.
Pierwszy znany dowód z użyciem indukcji matematycznej pojawił się w dziele autorstwa AlKaraji ok. roku 1000 n.e., gdzie została ona zastosowana do dwumianu Newtona, trójkąta
Pascala, i sumy sześcianów początkowych liczb naturalnych. Ibn al-Hajsam był pierwszym
matematykiem, który wyprowadził wzór na sumę czwartych potęg, a następnie używając
indukcji podał metodę uogólnienia tego wzoru na sumę dowolnych potęg naturalnych, co
miało fundamentalne znaczenie dla rozwoju rachunku całkowego.
Kolejnymi osiągnięciami islamskiej matematyki tego okresu było dodanie separatora
dziesiętnego do cyfr arabskich, wprowadzenie wszystkich używanych dzisiaj funkcji
trygonometrycznych, wprowadzenie przez al-Kindi elementów kryptoanalizy (w tym ataku
statystycznego), rozwój geometrii analitycznej, pierwszy ogólny wzór rachunku całkowego
autorstwa Ibn al-Hajsam, zapoczątkowanie geometrii algebraicznej przez Omara Chajjam,
pierwsze próby odrzucenia geometrii euklidesowej i postulatu równoległości przez Nasīr alDīn al-Tūsī, rozwój geometrii nieeuklidesowej przez Sadr al-Din, i wiele innych osiągnięć w
algebrze, arytmetyce, kryptografii, geometrii, teorii liczb i trygonometrii
Matematyka w średniowieczu







Zainteresowanie matematyką w średniowiecznej Europie miało inne przyczyny niż dziś. Wierzono, że
matematyka dostarcza klucza do zrozumienia porządku Stworzenia, zgodnie z platońskim dialogiem Timajos
i biblijnym wersetem głoszącym, iż Bóg "wszystko urządził według miary i liczby, i wagi" Boethius znalazł
miejsce dla matematyki wśród siedmiu sztuk wyzwolonych, gdzie tzw. "quadrivium" obejmowało
arytmetykę, geometrię, astronomię i muzykę. Napisał też De institutione arithmetica, wolne tłumaczenie
Wprowadzenia do arytmetyki Greka Nikomachusa, De institutione musica, także wyprowadzone z dzieł
greckich, oraz serię fragmentów Elementów Euklidesa. Jego prace były raczej teoretyczne niż praktyczne i
stanowiły bazę dla badań matematycznych aż do odkrycia oryginalnych dzieł Greków i ArabówW XII wieku
europejscy szkolarze podróżowali do Hiszpanii i na Sycylię poszukując naukowych tekstów arabskich.
Wśród nich były:
* dzieło al-Chuwarizmiego al-Jabr wa-al-Muqabilah przetłumaczone na łacinę przez Roberta z Chester,
* kompletny tekst Elementów Euklidesa, przetłumaczony w wielu wersjach przez Adelarda z Bath,
Herman z Karyntii, i Gerard z Cremony
Nowe źródła zapoczątkowały odnowę w matematyce. Fibonacci, pisząc Liber Abaci (1202, rozszerzona w
1254), dokonał pierwszych znaczących postępów matematyki europejskiej od wcześniejszych o ponad tysiąc
lat czasów Eratostenesa. Praca wprowadziła do Europy cyfry arabskie, i omawiała wiele innych problemów
matematycznych. Czternaste stulecie przyniosło rozwój nowych idei w wielu dziedzinach matematyki.
Fibonacci używał do oznaczania pierwiastka symbolu przypominającego literę R. Znak pierwiastka którego
dziś używamy pochodzi dopiero z XVI wieku. Po raz pierwszy zaczął go używać niemiecki matematyk
Christoff Rudolff.
Jednym z istotnych problemów, które stymulowały rozwój matematyki w średniowieczu, była analiza ruchu
ciała pod wpływem siły.
Thomas Bradwardine twierdził, że prędkość (v) rośnie liniowo, gdy stosunek siły do oporu rośnie
wykładniczo. Bradwardine wyraził to w formie serii przykładów, a logarytm nie był jeszcze wymyślony.
Dzisiaj jego (błędny) wniosek zapisalibyśmy:




Analiza Bradwardine'a, choć doprowadziła (jak wiemy dzisiaj) do błędnej konkluzji, jest
przykładem użycia techniki, którą al-Kindi i Arnold de Villanova stosowali do zupełnie
innego problemu fizycznego
Jeden z czternastowiecznych tzw. Rachmistrzów Oksfordzkich, William Heytesbury, z braku
rachunku różniczkowego i koncepcji granicy, zaproponował określenie prędkości chwilowej
jako drogi, którą przebyłoby ciało gdyby dalej poruszało się ruchem jednostajnym.
Heytesbury i inni obliczyli odległość pokonaną przez ciało poruszające się ruchem
jednostajnie przyspieszonym (co dziś rozwiązuje się przez całkowanie), zauważając, że "ciało
poruszające się, jednostajnie zwiększając lub zmniejszając swą prędkość pokona w ciągu
określonego czasu odległość dokładnie równą tej, którą pokonałoby poruszając się w tym
samym czasie ze stałą średnią prędkością."
Nicole Oresme z Uniwersytetu Paryskiego i Włoch Giovanni di Casali niezależnie
przedstawili graficzną demonstrację tej zależności, prawidłowo zakładając, że powierzchnia
pod wykresem prędkości reprezentuje całkowitą drogę. W późniejszym matematycznym
komentarzu do Euklidesa, Oresme zauważył, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym
prędkość ciała w kolejnych chwilach czasowych można opisać kolejnymi liczbami
nieparzystymi, a ponieważ już Euklides udowodnił, że suma n początkowych liczb
nieparzystych wynosi n2, więc całkowita droga pokonana przez ciało rośnie z kwadratem
czasu
Mikołaj z Oresme
XV i XVI wiek









W Europie w początkach renesansu matematyka ciągle ograniczona była przez rzymski system liczbowy i
użycie nieścisłego i przydługiego języka zamiast krótkich i ścisłych wzorów. Nie było znaku plus, minus
czy x na oznaczenie niewiadomej.
Powszechne używane symbole działań matematycznych, takie jak + i - pojawiły się w matematyce w XV
wieku. Po raz pierwszy zaczęto używać ich w handlu. Matematycy przyjęli je od handlarzy, aby tymi
znakami zastąpić używane wcześniej litery "p" i "m" dla oznaczenia dodawania i odejmowania.
W opublikowanej w 1489 roku książce, Johannes Widman po raz pierwszy używał znaków "+" i "-" do
oznaczania działań matematycznych. Widman nie używał jednak tych symboli systematycznie, znaku "+"
używał czasem jako symbolu dodawania, a czasem ogólnie w zdaniu zamiast litery "i". Systematycznie
znaków "+" i "-" do oznaczania dodawania i odejmowania zaczęto używać w XVI wieku.
Symbol mnożenia "×" wymyślił angielski matematyk William Oughtred na przełomie XVI i XVII wieku.
W 1557 roku Robert Recorde wprowadził symbol "=" jako znak równości.
W XVI wieku europejska matematyka poczyniła postępy bez precedensu w historii świata. Scipione del
Ferro znalazł ok. 1510 ogólne rozwiązanie równania sześciennego. Po raz pierwszy jego wynik
opublikował jednak Johannes Petreius w Norymberdze w Ars magna Gerolamo Cardano, wraz z
rozwiązaniem równania czwartego stopnia ucznia Cardano, Lodovico Ferrari.
Od tej chwili badania matematyczne nabrały rozpędu, stymulując i będąc stymulowane przez potrzeby nauk
przyrodniczych. Dodatkowo rozwój był wspomagany przez wynalazek druku. Pierwszą wydrukowaną
książką matematyczną była Theoricae nova planetarum austriaka Georga von Peurbacha (1472) a drugą
wydana w 1478 książka o arytmetyce w handlu Treviso Arithmetic. W 1482 Erhard Ratdolt wydrukował
Elementy Euklidesa.
Napędzana potrzebami nawigacji i kartografii, trygonometria stała się prężną gałęzią matematyki.
Bartholomaeus Pitiscus w 1595 użył tego słowa jako pierwszy, w tytule swego dzieła Trygonometrii.
Tablice sinusów i cosinusów Regiomontanusa zostały opublikowane w 1533.
Pod koniec wieku, dzięki m.in. Regiomontanusowi (1436–1476) i François Viète (1540–1603), matematyka
używała cyfr arabskich i zapisu w formie bliskiej dzisiejszej notacji.
XVII wiek







XVII wiek przyniósł niespotykaną eksplozję myśli naukowej w całej Europie. Włoch
Galileusz zaobserwował satelity Jowisza, używając teleskopu bazującego na zabawce
importowanej z Holandii. Duńczyk Tycho Brahe zebrał imponujący materiał obserwacji
pozycji planet na niebie. Jego uczeń, Niemiec Jan Kepler, na ich podstawie stworzył
matematyczną teorię ruchu planet (prawa Keplera).
Szkot John Napier (1550–1617) wprowadził do matematyki ułamki dziesiętne, dopracowane
później przez Simona Stevina. Za pomocą tych ułamków i koncepcji antycypujących granicę
ciągu, Napier badał także stałą, którą później Euler nazwał liczbą e. Napier odkrył logarytm
naturalny.
Geometria analityczna, zapoczątkowana przez Kartezjusza (1596-1650), francuskiego
matematyka i filozofa, wprowadziła rewolucyjne pojęcie kartezjańskiego układu
współrzędnych.
Dzięki pracom wcześniejszych badaczy, Anglik Isaac Newton odkrył podstawowe zasady
dynamiki, wyprowadził z nich prawa Keplera i stworzył przy tej okazji podstawy teorii, którą
dziś znamy jako rachunek różniczkowy. Niezależnie od niego, Niemiec Gottfried Wilhelm
Leibniz, stworzył rachunek różniczkowy wraz z zapisem stosowanym do dziś.
Nauka (w tym matematyka) stała się przedsięwzięciem międzynarodowym, które ostatecznie
ogarnęło cały cywilizowany świat .
Zaczęły też powstawać nowe dziedziny matematyki. Pierre de Fermat i Blaise Pascal
stworzyli podstawy rachunku prawdopodobieńśtwa i kombinatoryki, początkowo stosując je
do gier hazardowych.
Szwajcarski matematyk Johann Rahn w roku 1659 jako pierwszy zaczął używać znaku "÷" do
oznaczania dzielenia. Uproszczona forma tego znaku to po prostu ":".
XVIII wiek



Leonhard Euler (1707 – 1783) dokonał licznych odkryć w
tak różnych gałęziach matematyki jak rachunek różniczkowy
i całkowy i teoria grafów. Wniósł duży wkład do
terminologii i notacji matematycznej obowiązujących do
dzisiaj, szczególnie w dziedzinie analizy matematycznej. Na
przykład jako pierwszy w historii użył pojęcia i oznaczenia
funkcji. Znany jest z prac w dziedzinach mechaniki, optyki i
astronomii.
Euler jest uważany za czołowego matematyka XVIII wieku i
co więcej – jednego z najwybitniejszych w całej historii. Oto
przypisywane Laplace'owi zdanie wyrażające wpływ Eulera
na matematykę:Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest
mistrzem nas wszystkich. Uczony ten należy do grona
najbardziej twórczych – jego dzieła zapełniłyby 60-80
tomów kwarto.
Euler stworzył też tzw. wzór Eulera uważany niekiedy za
najpiękniejszą formułę matematyczną, łączącą pięć
najważniejszych matematycznych stałych:
Leonhard Euler
XIX wiek






W XIX stuleciu matematyka stawała się coraz bardziej abstrakcyjna. Jednym z najważniejszych przedstawicieli
tego okresu był Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Pomijając jego wkład w inne dziedziny nauki, jego prace
wniosły rewolucyjne idee do teorii funkcji zmiennych zespolonych, geometrii, zbieżności szeregów. Dał pierwsze
poprawne dowody podstawowego twierdzenia algebry i prawa wzajmności reszt kwadratowych. Położył
podwaliny pod późniejszy rozwój statystyki.
W XIX wieku rozwijano dwie formy geometrii nieeuklidesowej, w których postulat równoległości nie zachodzi.
Rosyjski matematyk Nikołaj Łobaczewski i jego rywal, węgierski matematyk Janos Bolyai, niezależnie odkryli
geometrię hiperboliczną. W tej geometrii do każdej prostej istnieje nieskończona liczba równoległych
przechodzących przez ten sam punkt, a suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest zawsze mniejsza od 180°.
Geometria eliptyczna została odkryta później w XIX wieku przez niemieckiego matematyka Bernhard Riemann.
Nie ma w niej prostych równoległych, a suma kątów wewnętrznych jest większa od 180°. Szczególnym jej
przypadkiem jest geometria powierzchni kuli, rozwijana na potrzeby żeglarzy i astronomów już w starożytności.
Riemann uogólnił też wszystkie trzy rodzaje geometrii (eliptyczną, hiperboliczną i euklidesową) w jedną
przestrzeń Riemanna i zdefiniował rozmaitość topologiczną, która uogólniła pojęcia krzywej i powierzchni.
Także w XIX wieku William Rowan Hamilton wprowadził algebrę nieprzemienną, w tym uogólnienie liczb
zespolonych – kwaterniony.
Oprócz otwarcia nowych dziedzin rozwoju matematyki, istniejące gałęzie uzyskały mocniejsze podstawy
logiczne, szczególnie rachunek różniczkowy, dzięki Cauchy'emu i Weierstrassowi.
Brytyjski matematyk George Boole stworzył nowy rodzaj algebry, zwany algebrą Boole'a. System ten zunifikował
rachunek zdań oraz algebrę zbiorów. Dziś jest podstawą pracy komputerów. Po raz pierwszy matematyka poznała
granice własnych możliwości. Norweg Niels Henrik Abel, i Francuz Évariste Galois, udowodnili, że nie ma
ogólnej metody algebraicznej rozwiązywania równań stopnia większego niż 4. Pozwoliło to przy okazji innym
dziewiętnastowiecznym matematykom udowodnić, że linijka i cyrkiel nie są wystarczające do przeprowadzenia
dokładnego:




* podziału kąta na trzy równe części (trysekcja kąta),
* konstrukcji boku sześcianu o dwa razy większej objętości (podwojenie sześcianu)
* konstrukcji kwadratu o powierzchni takiej, jak dane koło (kwadratura koła)



W ten sposób rozstrzygnięto trzy największe matematyczne problemy starożytności.
Badania Abela i Galois pozwoliły na dalszy rozwój teorii grup i zbliżonych działów algebry abstrakcyjnej. W XX
wieku fizycy i chemicy uznali teorię grup za idealną metodę badania symetrii.



W 1874 roku Georg Cantor (1845–1919) stworzył podstawy teorii mnogości, która stała się
wspólnym językiem różnych gałęzi matematyki.
W XIX wieku powstały także pierwsze towarzystwa matematyczne London Mathematical Society
w 1865, Société Mathématique de France w 1872, Edinburgh Mathematical Society w 1883,
Circolo Mathematico di Palermo w 1884, i Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne w 1888.
Przed XX wiekiem na całym świecie w tym samym czasie żyło tylko kilku kreatywnych
matematyków. Trudno było się utrzymać z tej profesji, więc matematycy albo byli bogaci z
urodzenia, jak Napier, albo wspomagani przez bogatych patronów, jak Gauss. Kilku udawało się
nędznie wyżyć nauczając na uniwersytecie (np. Fourier). Niels Henrik Abel, po utracie stanowiska
zmarł w biedzie z niedożywienia i gruźlicy w wieku 26 lat.
Zachowanie prostych równoległych w każdym z trzech
typów geometrii absolutnej
XX wiek






Zawód matematyka nabrał większego znaczenia w XX wieku. Co rok promowane są setki doktorów
matematyki, a w USA są dla nich oferty pracy zarówno w nauce, jak i w przemyśle. Matematyka rozwija
się w tempie wykładniczym, a liczba istotnych odkryć jest zbyt duża, aby wspomnieć o wszystkich, stąd
tylko kilka będzie wymienionych.
W 1900 David Hilbert zaprezentował listę 23 nierozwiązanych problemów matematyki na
Międzynarodowym Kongresie Matematyków. Problemy te, z wielu odległych dziedzin, nadały kierunek
większości działów dwudziestowiecznej matematyki. Dziś dziesięć z nich zostało rozwiązanych, siedem
rozwiązanych częściowo, dwa są ciągle otwarte. Pozostałe cztery były sformułowane zbyt ogólnie, aby
jednoznacznie ocenić, czy są rozwiązane.
Początkowo teoria mnogości Cantora nie była dostatecznie ściśle sformalizowana. Bertrand Russell (1872–
1970) odkrył jednak, że zbyt szerokie ich rozumienie prowadzi do wewnętrznej sprzeczności w podstawach
matematyki (antynomia Russella). Po okresie kryzysu w matematyce, powstały ścisłe aksjomatyczne
definicje teorii mnogości, nie prowadzące już do sprzeczności.
W latach drugim dziesięcioleciu XX wieku, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) stworzył ponad
3000 twierdzeń, dotyczących takich dziedzin, jak właściwości liczb wysoce złożonych (highly composite
numbers), czy funkcja theta Ramanujana. Dokonał także przełomów i odkryć w dziedzinie funkcji gamma,
form modularnych, zbieżności szeregów, szeregów hipergeometrycznych i teorii liczb pierwszych.
W 1931 Kurt Gödel opublikował dwa swoje twierdzenia o niezupełności, które pokazały granice logiki
matematycznej. Zakończyły one marzenie Davida Hilberta o kompletnym i spójnym systemie
matematycznym. Okazało się, że jeśli taki system obejmuje arytmetykę i ma skończoną liczbę aksjomatów,
to zawsze da się w nim pokazać twierdzenie prawdziwe, które nie daje się wyprowadzić z tych
aksjomatów.
W 1964 Paul Cohen dzięki nowatorskiej metodzie forsingu udowodnił niezależność hipotezy continuum od
standardowych aksjomatów teorii mnogości.




Wolfgang Haken i Kenneth Appel wykorzystali komputer do udowodnienia twierdzenia o
czterech barwach w 1976. Andrew Wiles, pracując samotnie przez wiele lat w swoim
gabinecie, udowodnił wielkie twierdzenie Fermata w 1995. Współpraca matematyków
osiągnęła skalę niespotykaną wcześniej. Klasyfikacja skończonych grup prostych (zwana też
"twierdzeniem olbrzymim", ang. enormous theorem) zajmuje dziesięć tysięcy stron
rozrzuconych po 500 artykułach z różnych pism naukowych z lat głównie 1955-1983,
autorstwa ponad 100 osób.
Nowe gałęzie matematyki, takie jak logika matematyczna, topologia, teoria złożoności, czy
teoria gier poszerzyły zakres pytań, na które można znaleźć odpowiedź metodami
matematycznymi.
Grupa francuskich matematyków próbowała zebrać całość matematyki w spójny ścisły
system, publikując pod pseudonimem Nicolas Bourbaki. Ich praca miała, obok niewątpliwych
walorów naukowych, także kontrowersyjny wpływ na nauczanie matematyki.
W XX wieku odkryto także obiekty zwane fraktalami, które wykazują własność
samopodobieństwa: cały fraktal jest często podobny do swojej części. Okazało się, że
geometria fraktalna pozwala często lepiej opisać złożoność kształtów spotykanych w
przyrodzie, takich jak skały, czy rośliny, od geometrii klasycznej. Fraktale pozwalają tworzyć
realistyczne krajobrazy, które można z dowolną dokładnością powiększać.
Mapa ilustrująca
zagadnienie
czterech barw
Suwak logarytmiczny



Suwak logarytmiczny (suwak rachunkowy) – prosty przyrząd ułatwiający obliczenia, powszechnie używany przez inżynierów
do końca lat 80. XX wieku. Wynaleziony w 1632 roku przez Williama Oughtreda, zainspirowany linijką logarytmiczną
Edmunda Guntera.
Suwak logarytmiczny działa na zasadzie dodawania logarytmów poprzez dodawanie różnej długości odcinków zaznaczonych
na skali. Jest to praktyczne wykorzystanie równości:
Tym samym mnożenie sprowadza się
do dodawania (w przypadku suwaka dodawania odcinków na skalach).
Suwak logarytmiczny umożliwia mnożenie, dzielenie i wiele innych działań np. logarytmowanie, potęgowanie,
pierwiastkowanie. Spełnia rolę tablic trygonometrycznych. Niekiedy posiada dodatkowe znaczniki lub skale pozwalające
szybko obliczać powierzchnię koła, ciężar i wytrzymałość prętów itp.



Suwak logarytmiczny z sumatorem (addatorem) do dodawania i odejmowania liczb 6-cyfrowych.
Najczęściej wykonany jest w postaci linijki o długości skali 25 lub 12,5 cm z przesuwką i okienkiem, ale bywają także suwaki
okrągłe. Wykonywane są także suwaki do specjalnych zadań np. na tej zasadzie działa tabela naświetlań w fotografii czy
"komputer samochodowy" z lat 60. Do wad należy brak możliwości dodawania i odejmowania w większości modeli (niektóre
suwaki mają wbudowany sumator do dodawania i odejmowania jak np. suwaki przedsiębiorstwa Castell), oraz ograniczona
dokładność (2–3 cyfry znaczące dla typowego suwaka). Wiele wzorów wymagających dodawania lub odejmowania można
przekształcić do postaci zawierającej tylko zwiększenie albo zmniejszenie zawartości o jeden. Dodanie 1 jest łatwe w pamięci.



Zegarek naręczny z obrotowym suwakiem logarytmicznym. Na zdjęciu pokazano przykład przeliczenia mil morskich
(znacznik NAUT) na kilometry (znacznik KM) - 10 mil morskich to ok. 18,5 km.
W Polsce suwaki produkowane były seryjnie przez przedsiębiorstwo Skala ze skalą o długości 25 i 12,5 cm.
Podstawowe skale














# na linijce
* log(x) (F)
* x³ (E)
* x² (D)
# na przesuwce
* x² (C)
* 1/x (G)
* x (B)
# na linijce
* x (A)
* sin(x) (S)
* tg(x) (T)
* s-t(x) – sinus i tangens małych kątów
(S,T)
# niektóre suwaki zawierały dodatkową
podziałkę funkcji
ułatwiającą np. rozwiązywanie trójkątów.
Zegarek naręczny z obrotowym
suwakiem logarytmicznym
Dokładność

Dokładność obliczeń wykonywanych przy pomocy suwaka jest zależna od precyzji wykonania suwaka i
umiejętności operatora. Zakładając poprawne wykonanie suwaka, oraz że operator potrafi odróżnić na
podziałce odległość 0,25mm, wówczas dokładność odczytu można wyliczyć ze wzoru:
gdzie l jest długością skali suwaka podaną w milimetrach. Stąd wniosek, że im dłuższa skala, tym większa
dokładność odczytu. Dla standardowego suwaka o długości 250mm, błąd wynosi 0,1% odczytywanej
liczby.
Suwaki precyzyjne
Istnieją także suwaki precyzyjne, gdzie podziałkę liczb naturalnych podzielono na dwie
części.
* Pierwszą, zawierającą liczby od 1 do \sqrt {10} umieszczono w miejscu podziałek (C) i
(D)
* Drugą, zawierającą liczby od \sqrt {10} do 10 umieszczono w miejscu podziałek (A) i (B)
Pozwala to uzyskać dokładność, jak na zwykłym suwaku, o dwukrotnie dłuższej skali.
Mnożenie



Na podziałce (A) znaleźć pierwszy czynnik iloczynu i ustawić nad nim "1" lub
"10" podziałki (B).
Na podziałce (B) odnaleźć drugi czynnik i ustawić na nim kresę okienka.
Kresa wskazuje na podziałce (A) wynik mnożenia (pamiętać o ustaleniu ilości
miejsc dziesiętnych).
Przykład: Mnożenie 2x3. Jedynka przesuwki ustawiona nad pierwszym czynnikiem .
Wynik odczytujemy pod drugim czynnikiem . Zauważmy, że w takim ustawieniu
możemy odczytać wszystkie inne mnożenia przez 2.
Dzielenie



* Na podziałce (A) ustawić kresę okienka na dzielnej.
* Podziałkę (B) ustawić tak, aby dzielnik znalazł się pod kresą okienka.
* Wynik ilorazu znajduje się pod "1" lub pod "10" przesuwki.
Przykład: Dzielenie 1/2. Dzielna na przesuwce ustawiona nad dzielnikiem.
Wynik odczytujemy nad jedynką dolnej skali. Przesuwka została
przesunięta w lewo, więc wynik należy podzielić przez 10 co daje 0,5.
Zauważmy, że równie dobrze mogłoby to być dzielenie 10/2.
Odczyt liczb, podnoszenie do kwadratu,
logarytmowanie



Odczyt liczby
Podstawowa skala suwaka (A),(B) zawiera liczby z zakresu od 1 do 10. Można
jednak na niej zaznaczyć dowolną liczbę, ponieważ podczas obliczeń liczby traktuje
się jako szereg cyfr bez przecinka i bez początkowych zer. Tak więc liczby 0,01234;
1234; 12,34; 1,234 itp. zajmują na podziałce A to samo miejsce. Podczas
wykonywania obliczeń położenie przecinka należy obliczać w pamięci.
Podnoszenie do kwadratu
Ustawić kresę okienka na skali (A) na podstawie potęgi.
Odczytać wynik potęgowania ze skali (D)
Analogicznie (przez wykorzystanie skali (E) wykonuje się podnoszenie do sześcianu.
Obliczanie odpowiednich pierwiastków wykonuje się w sposób odwrotny.
Logarytmowanie
Ustawić kresę okienka na liczbie logarytmowanej na podziałce (A)
Odczytać mantysę logarytmu z podziałki (F)
Historia liczb












Liczby naturalne
Uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu pochodzą kości i inne artefakty, na których znaleziono
ślady nacięć, uważane za próbę liczenia. Nie wiadomo, czy zliczano dobra, dni, czy może np. ludzi w konkurencyjnej grupie. Najstarszy znany
przykład malowidła z kreskami, sugerującymi liczenie, pochodzi z jaskini w południowej Afryce.
Taki system zapisu liczbnie nadaje się do zapisu dużych liczb. Pierwszy znany pozycyjny system zapisu liczb pochodzi ze starożytnej
Mezopotamii (ok. 3400 p.n.e.), i bazuje na liczbie 60. Najstarszy dziesiątkowy system pozycyjny pochodzi z Egiptu (ok. 3100 p.n.e.).
W XIX wieku Russell zdefiniował po raz pierwszy ściśle liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych. Peano w 1889 zaksjomatyzował
liczby naturalne . Na początku XX wieku von Neumann stworzył swoją konstrukcję liczb naturalnych.
Dzieje zera
Użycie zera jako liczby powinno zostać odróżnione od użycia jako cyfry. Wiele starożytnych indyjskich tekstów używało sanskryckiego słowa
shunya w znaczeniu pustki. W tekstach matematycznych używano go jako liczbę zero. W podobny sposób hinduski gramatyk Pāṇini (V wiek
p.n.e.) używał zera w dziele Ashtadhyayi, jego formalnej gramatyce sanskrytu.
Zapiski pokazują, że starożytni Grecy nie byli pewni co do statusu zera jako liczby: pytali się "jak nic może być czymś?", co doprowadziło do
interesujących filozoficznych argumentów na temat natury i istnienia zera i próżni. Paradoksy Zenona z Elei w części pochodzą z
dwuznacznej interpretacji zera. Starożytni Grecy kwestionowali zresztą także jedynkę jako liczbę.
Późni Olmekowie w południowo-centralnym Meksyku zaczęli używać prawdziwego zera (znak muszli) prawdopodobnie około IV wieku p.n.e.
a na pewno w 40 roku p.n.e., kiedy stały się integralną częścią zapisu liczb u Majów, ale nie miało to wpływu na matematykę europejską.
Około 130 roku Klaudiusz Ptolemeusz pod wpływem Hipparcha i Babilończyków używał symbolu zera (małego kółka z długą kreską powyżej)
w pozycyjnym systemie używającym alfabetu greckiego jako cyfr. Zero było u niego po raz pierwszy w historii Zachodu używane
samodzielnie, nie tylko jako cyfra, ale także jako liczba. W późnym bizantyjskim manuskrypcie jego Syntaxis Mathematica (Almagest), jego
znak zera przekształcił się w grecką literę omikron (oznaczającą oryginalnie 70).
Kolejne prawdziwe zero było używane na tablicach liczebników rzymskich ok. 525, ale jako słowo nulla oznaczające nic, a nie jako oddzielny
symbol. Kiedy dzielenie dawało resztę zero, używano słowa nihil, także oznaczającego nic. Te średniowieczne zera były potem używane przez
wszystkie średniowieczne algorytmy wyznaczania daty Wielkanocy. W 725 św. Beda Czcigodny używał litery N jako symbolu zera, w czym
jednak był osamotniony.
Wczesne udokumentowane użycie zera przez Brahmaguptę w tekście Brahmasphutasiddhanta datuje się na rok 628. Używał on zera jako
liczby i rozważał działania na nim, włącznie z dzieleniem przez nie. W tym czasie (VII wiek) idea zera dotarła do Kambodży, a później do
Chin i świata islamskiego.
Do Europy hinduski system zapisu liczb dotarł w XI wieku za pośrednictwem hiszpańskich Maurów, stąd jego cyfry zostały nazwane cyframi
arabskimi. Fibonacci używał w XIII wieku zera ale tylko jako cyfry. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba
w Europie.









Liczby ujemne
Abstrakcyjna koncepcja liczb ujemnych powstała w pierwszej połowie I wieku p.n.e.. Chińska praca Jiuzhang Suanshu (Dziewięć tekstów o sztuce matematyki) zawierała metody znajdowania powierzchni figur.
Czerwone znaki były używane do oznaczania dodatnich współczynników, a czarne - ujemnych. To
najwcześniejsza znana wzmianka o liczbach ujemnych na świecie. W kulturze zachodniej pierwsze użycie
liczb ujemnych pochodzi z III wieku, kiedy grek Diofantos rozważał zadanie, sprowadzające się do
równania 4x + 20 = 0 w dziele Arithmetica, twierdząc, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie.
Na początku VII wieku liczby ujemne były używane w Indiach w celu księgowania długów. Praca
Diofantesa była znana i rozważana przez indyjskiego matematyka Brahmaguptę, który w pracy BrahmaSphuta-Siddhanta 628 używał liczb ujemnych w celu stworzenia ogólnej postaci funkcji kwadratowej.
Jednak kiedy w XII wieku w Indiach Bhaskara uzyskał ujemne pierwiastki równania kwadratowego,
stwierdził że ujemne wartości "w tym przypadku nie powinny być brane, gdyż są nieadekwatne. Ludzie ich
nie aprobują."
Większość europejskich matematyków odrzucała koncepcję liczb ujemnych aż do XVII wieku, chociaż
Fibonacci akceptował ujemne rozwiązania w zagadnieniach finansowych, gdzie reprezentowały ujemne
salda (rozdział 13 Liber Abaci, rok 1202) oraz straty (w pracy Flos). W tym samym czasie, Chińczycy
oznaczali liczby ujemne przez przekreślenie ostatniej niezerowej cyfry liczby. W Europie liczb ujemnych
użył Chuquet w XV wieku. Używał ich jako wykładników, nazywając "liczbami absurdalnymi".
Aż do XVIII wieku powszechnie nie uznawano liczb ujemnych i odrzucano ujemne rozwiązania równań
jako nie posiadające interpretacji.
Liczby wymierne
Prawdopodobnie idea ułamków pojawiła się już w czasach prehistorycznych. Nawet starożytni Egipcjanie
pisali teksty matematyczne z użyciem ułamków.Klasyczni Grecy i matematycy indyjscy opracowali teorię
liczb wymiernych. Najbardziej znanym przykładem ich użycia są Elementy Euklidesa (ok. 300 p.n.e.). Z
tekstów indyjskich najbardziej godna wzmianki jest Sthananga Sutra.
Koncepcja ułamków jest blisko związana z ich zapisem dziesiętnym. Obydwie idee powstawały
równolegle. Na przykład w tekstach indyjskich stosowano zapis dziesiętny ułamków do przybliżonego
podawania wartości π, czy pierwiastka z dwóch. Podobnie babilońskie teksty matematyczne często
używały ułamków o mianowniku będącym potęgą sześćdziesiątki. Do dziś pozostały ślady tego w
przyjmowanym podziale jednego stopnia kątowego na 60 minut kątowych, a następnie 60 sekund oraz w
tzw. systemie kopowym, z którego pochodzą takie pojęcia jak kopa (60 jednostek), mendel (15 jednostek –
czwarta część kopy), czy tuzin (12 jednostek – piąta część kopy).
W Europie jednak zapis dziesiętny ułamków długo nie był popularny, dopiero XVII wieku upowszechnił
się wśród matematyków.








Historia liczb niewymiernych
Po raz pierwszy liczby niewymierne użyte zostały w indyjskich tekstach Shulba Sutras, napisanych między
800 a 500 rokiem p.n.e.. Pierwszy dowód istnienia liczb niewymiernych jest zwykle przypisywany
Hippasusowi z Mezopotamii, pitagorejczykowi, który udowodnił niewymierność pierwiastka z dwóch.
Związana jest z tym pewna opowieść, nie wiadomo czy prawdziwa: Pitagoras wierzył w absolutną naturę
liczb, i nie potrafił zaakceptować odkrycia swego ucznia. Intelektualnie nie potrafił wprawdzie obalić
dowodu, jednak podważało to fundamenty jego wiary, skazał więc Hippasusa na śmierć przez utopienie.
Liczby algebraiczne, przestępne i rzeczywiste
Ułamki łańcuchowe, blisko związane z liczbami niewymiernymi, wprowadził[9] Cataldi w 1613, następnie
zajmował się nimi Euler, a na początku XIX wieku ich teorię rozwinął Joseph Louis Lagrange.
W 1618 roku Napier w pracy o logarytmach wprowadził liczbę e (tzw. podstawa logarytmu naturalnego).
Pierwsze wyniki dotyczące liczb przestępnych uzyskał Lambert, dowodząc w 1761, że π nie jest liczbą
wymierną, oraz że ex, gdzie x jest niezerową liczbą wymierną jest niewymierne.
Legendre rozszerzył ten dowód, pokazując że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnej liczby
wymiernej. Poszukiwanie rozwiązań równań piątego stopnia doprowadziło do dalszego postępu, kiedy
okazało się, iż ogólna postać rozwiązania nie daje się zapisać w postaci wzoru z użyciem czterech działań
arytmetycznych i pierwiastkowania. (tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego, Ruffini 1799, Abel 1824). W ten
sposób wydzielono liczby algebraiczne, będące pierwiastkami wielomianów. Galois (1832) połączył teorię
tych równań z utworzoną przez siebie teorią grup.
Liouville (1844, 1851) odkrył, że istnieją liczby rzeczywiste nie będące algebraicznymi, tzw. liczby
przestępne. Hermite udowodnił w 1873 że e jest liczbą przestępną, a Lindemann wykazał w 1882, że π jest
przestępne. W końcu Cantor pokazał, że zbiór liczb rzeczywistych ma większą moc, niż zbiór liczb
algebraicznych, co potocznie oznacza, że liczb przestępnych jest nieskończenie razy więcej.
W XIX wieku ściśle zdefiniowano zbiór liczb rzeczywistych. Opublikowano prace Weierstrassa (1872),
Heinego, Cantora i Dedekinda. Metoda Weierstrassa została rozwinięta przez Pincherle (1880), a
Dedekinda przez jego własną pracę z 1888 oraz pracę Tannery'ego z 1894. Weierstrass, Cantor, i Heine
konstruując liczby rzeczywiste bazowali na szeregach nieskończonych, a Dedekind stworzył tzw. przekroje
nazwane jego nazwiskiem. Idea została rozwinięta przez Weierstrassa, Kroneckera, i Méray.













Liczby zespolone
Najwcześniejsze odniesienia do pierwiastków kwadratowych liczb ujemnych znalazły się w pracy Herona z Aleksandrii z I
wieku n.e.. Dopiero jednak w XVI wieku pierwiastki takie stały się naprawdę istotne, kiedy odkryto, że ogólne wzory na
rozwiązania równań trzeciego i czwartego stopnia dają się łatwo wyprowadzić, tylko jeśli po drodze dopuścimy pierwiastki
kwadratowe z liczb ujemnych, nawet jeśli jesteśmy zainteresowani jedynie wynikami w liczbach rzeczywistych. (Tartaglia,
Cardano).
Było to dosyć zaskakujące dla ówczesnych matematyków, szczególnie biorąc pod uwagę, że nie w pełni zaakceptowano
nawet liczby ujemne. Termin liczby urojone (łac. imaginaris) zawdzięczamy Kartezjuszowi (1637), który chciał w ten sposób
zaakcentować ich "nierzeczywistość" i absurdalność w odróżnieniu od dobrze znanych liczb „istniejących w rzeczywistości”
(rzeczywistych, łac. realis). Kolejne zamieszanie wprowadziło równanie \sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1, które zaprzecza
zależności \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}, prawdziwej dla dodatnich liczb rzeczywistych. Nieprawdziwość tego równania (i
związanego z nim {1 \over \sqrt a} = \sqrt\tfrac{1}{a}) w przypadku, gdy a i b są ujemne zaskoczyła nawet Eulera. W końcu
wprowadził on symbol i zamiast \sqrt{-1}, aby ustrzec się podobnych pomyłek.
XVIII wiek ujrzał prace de Moivre'a i Eulera. Temu pierwszemu zawdzięczamy wzór de Moivre'a:
(cosθ + isinθ)n = cosnθ + isinnθ,
a drugiemu wzór Eulera (1748):
cosθ + isinθ = eiθ
Istnienie liczb zespolonych nie zostało powszechnie zaakceptowane aż do powstania ich geometrycznej interpretacji jako
płaszczyzny zespolonej. Idea ta pojawiła się już w 1685, w De Algebra tractatus Wallisa, potem została zapomniana,
ponownie odkryta przez Wessela w 1799, i kolejny raz niezależnie odkryta i spopularyzowana przez Gaussa.
Także w 1799 Gauss przedstawił pierwszy ogólnie zaakceptowany dowód podstawowego twierdzenia algebry, pokazując że
każdy wielomian nad ciałem liczb zespolonych ma pełny zestaw rozwiązań w tym ciele. Do zaakceptowania liczb
zespolonych przyczyniły się też prace Cauchy'ego oraz Abela.
Liczby pierwsze
Liczby pierwsze były badane od czasów starożytnych. Euklides poświęcił im księgę w Elementach. Zaprezentował w nich
m.in. algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika oraz udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie
wiele.
W 240 p.n.e. Eratostenes użył algorytmu nazwanego sitem Eratostenesa do szybkiego znajdowania liczb pierwszych.
Dalszy postęp w dziedzinie teorii liczb nastąpił w epoce Renesansu. W 1796 Legendre podał wzór na gęstość rozmieszczenia
liczb pierwszych. Wzór został ostatecznie udowodniony przez Hadamarda i de la Vallée-Poussina w 1896. W 1859 Riemann
stworzył słynną hipotezę, do dziś nieudowodnioną, dotyczącą pierwiastków funkcji dzeta. Inną dotąd nieudowodnioną
hipotezą dotyczącą liczb pierwszych jest hipoteza Goldbacha mówiąca, że dowolną liczbę parzystą większą od 2 można
przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.
Historia funkcji trygonometrycznych









Funkcje trygonometryczne, choć wywodzą się z pojęć geometrycznych, są rozpatrywane także w oderwaniu
od geometrii. W analizie matematycznej są one definiowane m.in. za pomocą szeregów potęgowych lub jako
rozwiązania pewnych równań różniczkowych.
Do funkcji trygonometrycznych współcześnie zalicza się: sinus, cosinus (inna pisownia: kosinus), tangens,
cotangens (kotangens), secans (sekans), cosecans (kosekans), z czego dwóch ostatnich obecnie rzadko się
używa.
Funkcje trygonometryczne znajdują zastosowanie w wielu działach matematyki, innych naukach ścisłych i
technice; działem matematyki badającym te funkcje jest trygonometria, lub ściślej: goniometria.
sinus – stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ostrego i długości
przeciwprostokątnej ;
cosinus – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i
przeciwprostokątnej ;
tangens – stosunek długości przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego i przyprostokątnej
długości przyległej do kąta ostrego;
cotangens – stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta ostrego i długości
przyprostokątnej naprzeciw kąta ostrego;
secans – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej przyległej do
kąta ostrego ; odwrotność cosinusa;
cosecans – stosunek długości przeciwprostokątnej i długości przyprostokątnej naprzeciw
kąta ostrego ; odwrotność sinusa.
Wielcy matematycy
~polscy~









Stefan Banach
Ur. 1892r, zm. 1945r.
Matematyk, samouk, od 1924r profesor uniwersytetu
we Lwowie, członek Polskiej Akademii Umiejętności,
członej Akademii Nauk Ukrainy.
Współzałożyciel czasopisma "Studia Mathematica" i
jeden z inicjatorów "Monografii Matematycznych".
Banach był jednym z twórców analizy funkcjonalnej,
wraz ze swymi uczniami (S.Mazurem, W.Orliczem,
J.Schauderem) stworzył szkołę lwowską, która wraz ze
szkołą warszawską wydźwignęła matematykę polską
na jedno z czołowych miejsc w świecie.
Autor monografii "Theorie des operations lineaires"
(1932), pierwszej na świecie książki poświęconej
ogólnej teorii przestrzeni liniowo-metrycznych.
Nazwiskiem Banacha nazwano pewne przestrzenie i
algebry. Zasadnicze pojęcia i definicje analizy
funkcjonalnej rozwijały się stopniowo już wczesniej,
ale dopiero Banach zbudował jednolitą teorię, która
obejmowała, oprócz jego własnych, również wyniki
badań jego poprzedników i współpracowników.
Do spopularyzowania osiągnięć Banacha w zakresie
analizy funkcjonalnej przyczyniło się dzieło "Teorja
operacyj" t.1 "Operacje linjowe", przełożone na język
francuski.
Z nazwiskiem Banacha wiąże się paradoks BanachaTarskiego, wg którego kulę można rozbić na kilka
niemierzalnych części, z których daje się złożyć dwie


Kazimierz Kuratowski
Ur. 1896r, zm. 1980r.
Matematyk, od 1927r profesor Politechniki Lwowskiej,
a od 1934r Politechniki Warszawskiej.
Od 1945r członek Polskiej Akademii Umiejętności, od
1952r członek Polskiej Akademii Nauk (w latach 19571968 - wiceprezes).
Od 1948r dyrektor Instytutu Matematycznego (jeden z
jego założycieli), wieloletni prezes Polskiego
Towarzystwa Matematycznego oraz wiceprezes
Międzynarodowej Unii Matematycznej.
Doktor honoris causa wielu uniwersytetów,
Autor licznych prac z dziedziny topologii (m.in.
podstawowa monografia "Topologie" 1934), teorii
mnogości i logiki matematycznej.
W 1951r nagroda państwowa.
Stanisław Mazur
Ur. 1905r, zm. 1981r.
Matematyk, od 1939r profesor Uniwersytetu
Lwowskiego, w latach 1946-1948 Uniwersytetu
Łódzkiego, a od 1948r Uniwersytetu Warszawskiego.
Od 1947r członek Polskiej Akademii Umiejętności, a
od 1952r Polskiej Akademii Nauk.
Najbliższy współpracownik S.Banacha i jeden z
głównych współtwórców lwowskiej szkoły analizy
funkcjonalnej.
Wprowadził i rozwinął metody geometryczne w
analizie funkcjonalnej oraz w 1938r zapoczątkował
ogólną teorię przestrzeni liniowych topologicznych.
Jeden z czołowych specjalistów w zakresie teorii
sumowalności, autor "Computable Analysis" (1963).
Hugo Dionizy Steinhaus
Ur. 1887r, zm. 1972r.
Matematyk, w latach 1920-1941 profeosr Uniwersytetu Lwowskiego, od 1945r Uniwersytetu
Wrocławskiego, w latach 1961-1962 University of Notre Dame (Indiana USA), w 1966r
University of Susex.
Od 1945r członek Polskiej Akademii Umiejętności, a od 1952r Polskiej Akademii Nauk,
członek także wielu zagranicznych towarzystw i akademii naukowych.
Jeden z twórców tzw. lwowskiej szkoły matematycznej. Liczne prace (ponad 170 pozycji)
dotyczą szeregów Fouriera, rozwinięć ortogonalnych, operacji liniowych, teorii
prawdopodobieństwa, teorii gier, a także zastosowań matematyki do biologii, medycyny,
elektrotechniki, prawa, statystyki matematycznej.
Szczególne duże zasługi ma w dziedzinie zastosowań matematyki, jak też działalności
pisarskiej w zakresie popularyzacji matematyki ("Czym jest a czym nie jest matematyka"
1923, "Kalejdoskop matematyczny" 1938, "Sto zadań" 1958, "Orzeł czy reszka" 1961).
W 1929r wraz z S.Banachem założył czasopismo matematyczne "Studia Mathematica".
W 1953r zaincjował również wydawanie czasopisma "Zastosowania Matematyki".
W 1961r nagroda państwowa I stopnia.
Zygmunt Janiszewski
Ur. 1888r, zm. 1920r.
Matematyk, współtwórca warszawskiej szkoły matematycznej, inicjator i współzałożyciel
czasopisma "Fundamenta Mathematicae", poświęconego teorii mnogości, topologii i
podstawom matematyki, wybitny organizator matematyki w Polsce.
Janiszewski studiował w Zurychu i Getyndze oraz w Paryżu, gdzie otrzymał stopień doktora
nauk matematycznych.
Wykłdał na Kursach Naukowych (instytucja naukowa w latach 1906-1915 skupiająca polską
elitę intelektualną zaboru rosyjskiego), a także na uniwersytecie we Lwowie. W 1915r
powołany został na stanowisko wykłądowcy odradzającego się Uniwersytetu
Warszawskiego.
Zainteresowania naukowe Janiszewskiego dotyczyły głównie topologii. W pracach z tego
zakresu podał twierdzenia, które do dzisiaj zachowały podstawowe znaczenie i są znane w
literaturze matematycznej jako twierdzenia Janiszewskiego.
W 1915r opublikował "Poradnik samouków", zbiór artykułów wielu uczonych polskich,
będący ciekawą syntezą ówczesnej wiedzy matematycznej, w którym zamieścił własny cykl
rozpraw o matematyce.
W 1918r na Uniwersytecie Warszawskim pod kierunkiem Janiszewskiego oraz
Mazurkiewicza i Sieprińskiego pracowała grupa polskich matematyków, która
koncentrowała swą działalność w dziedzinie topologii, teorii mnogości i ich zastosowań.
Konsekwentna realizacja koncepcji Janiszewskiego doprowadziła do powstania liczącej się
w świecie warszawskiej szkoły matematycznej.
Imieniem Janiszewskiego nazwano jedną z nagród Polskiego Towarzystwa
Matematycznego.

Wielcy matematycy
~zagraniczni~


Archimedes
Ur. ok. 287r, zm. ok. 212r p.n.e.
Grecki fizyk i matematyk, wynalazca, jeden z
największych uczonych starożytności.
W czasie II wojny punickiej kierował obroną
Syrakuz, po zdobyciu miasta przez Rzymian zabity.
Uważany za twórcę statyki i hydrostatyki
(zasada dźwigni, prawo Archimedesa - "na
każde ciało zanurzone w płynie działa siła
skierowana pionowo do góry równa ciężarowi
płynu wypartego przez to ciało i przyłożona w
jego środku geometrycznym"), prekursora
rachunku całkowego (oblicznie powierzchni i
objętości metodą exhaustii).
Pierwszy podał przybliżoną wartość liczby ,
wynalazł wielokrążek, machiny obronne,
przenośnik ślimakowy, śrubę bez końca.
Przypisuje mu się również budowę planetarium,
zwierciadeł kulistych oraz konstrukcję zegara
wodnego i organów wodnych.




Diofantos
(2 poł. III w.?)
Matematyk grecki działający w
Aleksandrii.
W ocalałych 6 księgach jego dzieła
"Arithmetika" znajdują się zagadnienia
dotyczące równań algebraicznych,
głównie poświęcone problemowi
znajdowania dodatnich wymiernych
rozwiązań nieoznaczonych.
Euklides
Ur. ok. 365r, zm. ok. 300r p.n.e.
Grecki matematyk i fizyk.
W dziele "Stoicheia geometrias",
składającym się z 13 ksiąg,
usystematyzował całość ówczesnej wiedzy
matematycznej w postaci
aksjomatycznego wykładu. Dzieło to
wywarło olbrzymi wpływ na dalszy
rozwój matematyki. Napisał poza tym dwa
dzieła z zakresu optyki: "Catoptrica" i
"Optica" (w którym sformułował prawo
załamania światła oraz zasadę
prostoliniowego rozchodzenia się
promieni świetlnych), jedno z astronomii:
"Phanomena" i jedno z zakresu teorii
muzyki: "Sectio canonis".




Leonhard Euler
Ur. 1707r, zm. 1783r.
Szwajcarski matematyk, fizyk i astronom.
W latach 1730-1741 profesor uniwersytetu w
Petersburgu, w latach 1741-1766 profesor
akademii nauk w Berlinie.
Członek wielu akademii nauk i towarzystw
naukowych.
W 1766r powrócił do Petersburga, gdzie
przebywał do końca życia.
Opublikował blisko 900 prac naukowych, z
czego ponad 500 dotyczy prawie wszystkich
znanych wówczas dziedzin matematyki.
Dużo uwagi poświęcił zastosowaniom
matematyki.
Uważany za jednego z twórców nowoczesnej
matematyki.
Pierre de Fermat
Ur. 1601r, zm. 1665r.
Matematyk francuski, z zawodu prawnik,
długoletni radca parlamentu w Tuluzie,
prekursor rachunku prawdopodobieństwa teorii
liczb oraz rachunku różniczkowego (m.in. podał
regułę znajdowania ekstremów) i całkowego.
W geometrii zapoczątkował metodę
współrzędnych (m.in. wyprowadził równanie
stożkowych), w optyce sformułował słynną
zasadę Fermata - ruch �wiatła pomiędzy
dwoma punktami A i B odbywa się po linii, dla
której droga optyczna jest najkrótsza.
Twórca twierdzeń Fermata (patrz: Podstawowe
wiadomości-twierdzenia, twierdzenia nr 114 i
115).

Carl Friedrich Gauss

Ur. 1777r, zm. 1855r.
Matematyk niemiecki, zwany przez
współczesnym "księciem matematyków.
Zajmował się również astronomią, geodezją i
fizyką.
Od 1807r profesor uniwersytetu w Getyndze i
dyrektor obserwatorium astronomicznego w tym
mieście.
Jego prace badawcze dotyczą prawie wszystkich
dziedzin matematyki, a także jej zastosowań w
fizyce i astronomii.
Gauss jest jednym z twórców geometrii
nieeuklidesowej (z obawy przed krytyką nie
opublikował jednak swych prac na ten temat).
Gauss jest uważany za jednego z trzech, obok
Archimedesa i Newtona, największych
matematyków świata.

David Hilbert

Ur. 1862r, zm. 1943r.
Matematyk niemiecki, od 1859r profesor
uniwersytetu w Getyndze.
Jego badania nad podstawami geometrii (18981902) zapoczątkowały nowoczesną
aksjomatyczną budowę teorii matematycznych, a
badania w dziedzinie teorii równań całkowych
(1900-1910) doprowadziły w konsekwencji do
powstania pojęcia analizy funkcjonalnej.
Pracował też nad podstawami fizyki
matematycznej (1910-1922), podstawami
matematyki (1922-1930) oraz w dziedzinie
logiki.
Prace Hilberta wywarły ogromny wpływ na
rozwój nowoczesnej matematyki.

Rene Descartes, Kartezjusz

Ur. 1596r, zm. 1650r.
Francuski filozof i matematyk, czołowy
przedstawiciel francuskiego racjonalizmu
XVIIw, uważany za prekursora nowożytnej
kultury umysłowej, zwolennik sceptyzmu
metodologicznego, postulował metodę myślenia
opartą na wzorach rozumowania
matematycznego, jako uniwersalną i całkowicie
pewną.
Twórca koncepcji tzw. kogitacjonizmu ("cogito
ergo sum" - my�lę więc jestem), uznawał
pewność własnego myślenia człowieka za
podstawę wiedzy.
W teorii poznania głosił wiarę w rozum ludzki, a
poczucie oczywistości intelektualnej przyjmował
za główne kryterium prawdy, głosił
mechanistyczną i deterministyczną koncepcję
świata fizycznego oraz tezę o dualizmie
"substancji myślącej i cielesnej" (duszy i ciała).
W matematyce odkrył metodę geometrii
analitycznej, zajmował się badaniem krzywych i
stycznych, równań algebraicznych, wprowadził
pojęcie wielkości zmiennej i funkcji.
W badaniach fizycznych zajmował się głównie
optyką geometryczną, sformułował m.in. prawa
odbicia i załamania oraz zasadę zachowania
pędu.

Joseph Louis de Lagrange

Ur. 1736r, zm. 1813r.
Francuski matematyk i mechanik-teoretyk
(samouk).
Od 1754r profesor geometrii w szkole artylerii w
Turynie, jeden z inicjatorów powstania
Akademii Królewskiej tamże.
Od 1795r profesor Ecole Normale, a od 1797r
Ecole Polytechnique, od 1759r członek
Królewskiej Akademii Nauk w Berlinie i od
1772r francuskiej Akademii Nauk.
Najważniejsze prace Lagrange'a dotyczą
rachunku wariacyjnego i mechaniki teoretycznej.
W głównym swym dziele "Mecanique
analityque" (1788r) zawarł wszystkie
najważniejsze osiągnięcia swych poprzedników
w dziedzinie mechaniki teoretycznej,
wzbogacając ją nowymi pojęciami i metodami,
m.in. rozwiązał problem libracji Księżyca.
Istotne wyniki uzyskał także w algebrze, teorii
liczb, teorii równań różniczkowych, teorii
funkcji eliptycznych.
Jako przewodniczący francuskiej Akademii
Nauk brał udział w pracach komisji nad
wprowadzeniem systemu dziesiętnego.
W uznaniu jego zasług Napoleona nadał mu
tytuł "Comte de l'Empire".


Pierre Simon de Laplace
Ur. 1749r, zm. 1827r.
Francuski astronom, matematyk i fizyk.
Od 1817r markiz i par Francji, od 1785r członek
francuskiej Akademii Nauk, od 1799r minister
spraw wewnętrznych, od 1803r
wiceprzewodniczący senatu.
Prace Laplace'a w dziedzinie astronomii stały się
podstawą rozwoju nowożytnej mechaniki nieba.
W 1796r ogłosił pierwszą naukowš hipotezę
kosmogeniczną, wg której Układ Słoneczny miał
powstać z pierwotnej mgławicy.
Laplace jest autorem bogatej w nowe idee pracy
o teorii prawdopodobieństwa ("Theorie
analytique des probabilites" 1812), jak też
szeregu ważnych prac z innych dziedzin
matematyki, m.in. równań różniczkowych,
cząstkowych, teorii funkcji kulistych, teorii
wyznaczników.
W dziedzinie fizyki podał m.in. metodę
obliczania prędkości dźwięku w powietrzu.
W swych poglądach filozoficznych zbliżał się do
materializmu mechanistycznego.


Gottfried Wilhelm Leibnitz
Ur. 1646r, zm. 1716r.
Niemiecki filozof i matematyk, organizator życia
naukowego w Niemczech.
Założyciel w 1700r Akademii Nauk w Berlinie,
od 1673r członek Royal Society, a od 1700r
francuskiej Akademii Nauk.
Twórca idealistycznej koncepcji filozoficznej
tzw. monadologii, wg której rzeczywistość jest
zespołem monad, tj. elementarnych substancji o
charakterze niematerialnym i nieprzestrzennym,
indywidualnych, niepodzielnych i
niezniszczalnych, obdarzonych spontaniczną
aktywnoscią.
Monady są hierarchicznie uporządkowane, a ich
działanie jest zdeterminowane przez "harmonię
wprzód ustanowioną", założoną przez Stwórcę w
budowie świata.
W zakresie badań logicznych Leibnitz wysunął
pomysł matematyzacji logiki, pojmowanej
przezeń jako pewien rachunek i postulował
stworzenie uniwersalnego języka symbolicznego
(ideograficznego) oraz sformułował zasadę racji
dostatecznej.
W matematyce odkrył (niezależnie od Newtona)
rachunek całkowy i różniczkowy, zapoczątkował
teorię styczności krzywych i teorię obwiedni.
Sformułował wiele pojęć matematycznych.



Nikołaj Łobaczewski
Ur. 1792r, zm. 1856r.
Matematyk rosyjski, współtwórca geonmetrii
nieeuklidesowej.
Od 1816r profesor uniwersytetu w Kazaniu.
Autor prac z analizy matematycznej i metod
numerycznych.
Wskazywał na potrzebę doświadczalnego
potwierdzenia zgodności geometrii z realnymi
stosunkami w przestrzeni fizycznej.
Pitagoras
Ur. ok. 572r, zm. ok. 497r p.n.e.
Grecki matematyk i filozof z Samos,
półlegendarny założyciel słynnej szkoły
pitagorejczyków w Krotonie, twórca
pitagoreizmu - kierunku filozoficzno-religijnego
i teoretycznonaukowego, głoszącego, że
głównym celem filozofii jest doskonalenie
człowieka przez samoopanowanie i wiedzę, a
najlepszym sposobem poznania rzeczywistości i
wewnętrznego oczyszczenia jest uprawianie
matematyki.
Inicjator nurtu o orientacji mistycznej, a zarazem
racjonalistycznej, w filozofii greckiej, uważany
za twórcę początków teorii liczb, autora tzw.
Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Podstawowe
wiadomości-twierdzenia, twierdzenie nr 84),
koncepcji harmonijności kosmosu i innych.

Isaac Newton

Ur. 1643r, zm. 1727r.
Angielski fizyk, astronom i matematyk.
W latach 1669-1701 profesor uniwersytetu w
Cambridge, od 1672r członek Royal Society w
Londynie, od 1703r jego prezes, od 1699r
członek francuskiej Akademii Nauk,
jednocześnie dyrektor mennicy królewskiej.
W 1705r otrzymał szlachectwo.
Prace Newtona dotyczyły prawie wszystkich
działów fizyki.
W najważniejszym swoim dziele "Philosophiae
naturalis principia mathematica" (1687r)
rozwinął naukę o przestrzeni, czasie, masach i
siłach, podajšc ogólny schemat rozwiązywania
konkretnych problemów mechaniki, fizyki i
astronomii.
W dziele tym podał trzy zasady dynamiki oraz
sformułował prawo powszechnego ciążenia.
Na ich podstawie opracował m.in. teorię ruchu
planet, uzasadnił trzy prawa Keplera, wyjaśnił
zjawisko precesji oraz przypływu i odpływu.
W dziedzinie matematyki Newton, obok
G.W.Leibnitza, jest współodkrywcą rachunku
różniczkowego i całkowego.
W 1699r przedstawił metodę numerycznego
rozwiązywania równań, podał klasyfikację
krzywych 3-go stopnia na 72 rodzaje.

Blaise Pascal

Ur. 1623r, zm. 1662r.
Francuski matematyk, fizyk, filozof i pisarz.
Głosił autonomię racjonalnego myślenia w
granicach nauki i zasadę rozdziału między
rozumem i wiarš.
Sformułował zasadę indukcji matematycznej
oraz część podstaw rachunku
prawdopodobieństwa.
W 1642r skonstruował jedną z pierwszych
maszyn matematycznych, odkrył ogólne
kryterium podzielności dowolnej liczby
całkowitej przez dowolną inną liczbę całkowitą
oraz sposób obliczania współczynników w
rozwinięciu dwumianu (a+b)n.
Prekursor rachunku różniczkowego, badacz
zjawisk ci�nienia atmosferycznego i zjawisk z
zakresu hydrostatyki.
W 1653r podał jedno z podstawowych praw
hydrostatyki (tzw.Prawo Pascala) - jeżeli na
ciecz nieści�liwą działają tylko siły
powierzchniowe, to w każdym punkcie cieczy
panuje jednakowe ciśnienie równe ciśnieniu
zewnętrznemu.

Gerg Fridrich Bernhard Riemann

Ur. 1826r, zm. 1866r.
Niemiecki matematyk i fizyk.
Od 1857r profesor w Getyndze, od 1866r
członek Royal Society oraz francuskiej
Akademii Nauk.
Podstawowe prace z równań różniczkowych
cząstkowych i teorii funkcji.
Riemann jest twórcą wielowymiarowej
geometrii metrycznej, zwanej geometrią
Riemanna, która znalazła zastosowanie w fizyce
(min. Einstein zastosował geometrię Riemanna
w swej ogólnej teorii względności).
Zajmował się również szeregami
trygonometrycznymi i teorią całki (wprowadził
tzw. całkę Riemanna), jego prace wywarły
olbrzymi wpływ na rozwój matematyki, niemal
każda z nich dała początek jakiejś teorii
matematycznej.

Tales z Miletu

Ur. ok. 620r, zm. ok. 540r p.n.e.
Grecki filozof i matematyk, jeden z głównych
twórców jońskiej filozofii przyrody.
W matematyce zajmował się głównie geometrią,
w której sformułował m.in. twierdzenie o
prostych równoległych przecinających ramiona
kąta płaskiego, nazwane od jego imienia
twierdzeniem Talesa (patrz: Podstawowe
wiadomości-twierdzenia, twierdzenia nr 76, 77 i
78).
Dylematy matematyczne

Znajdź błędy w poniższych dowodach

Niech a = 1+2+4+8+16+...
Wtedy
2a = 2 (1+2+4+8+...) = 2+4+8+16+... = (1+2+4+8+...) - 1 =
a-1.
Zatem 2a = a - 1. Stąd a = -1.
Czyli -1 =1+2+4+8+...
Jeżeli a=b i b<>0
to ab=a2
ab-b2=a2-b2
b(a-b)=(a+b)(a-b)
b=a+b
b=2b
1=2

(-1)2=1
ln((-1)2)=ln1=0
2ln(-1)=0
ln(-1)=0
-1=e0
-1=1
Niech a>b zatem
dla c>0
a=b+c
a(a-b)=(b+c)(ab)
aa-ab=ab+acbb-bc
aa-ab-ac=abbb-bc
a(a-b-c)=b(a-bc)
a=b
Bibliografia

Internet: www.wikipedia.pl,

http://hjkgfg.fm.interia.pl/historia.htm


Anna Osipowicz, „Lingua latina lingua nostra”,
Warszawa: wydawnictwo MAG.
Marek Kordos, „Wykłady z historii matematyki”,
wydawnictwo SCRIPT.
Wykonały:
Marlena Stalica
Magdalena Łudzik, kl. 2 ”a”
"Matematyka jest alfabetem,
przy pomocy którego
Bóg opisał wszechświat".
(Galileusz)