Wybrane zadania ze zbioru A. Kiełbasy zestaw 1, liczby rzeczywiste

Wybrane zadania ze zbioru A. Kiełbasy zestaw 1, liczby rzeczywiste, funkcje
1. Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych nieujemnych takich, że suma ich iloczynu i ilorazu jest
równa 185.
2. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, że ich największy wspólny dzielnik wynosi 6, a ich
najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 210.
3. Liczba naturalna ma dokładnie cztery dzielniki, a ich suma jest równa 56. Znajdź tę liczbę.
4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n2 – n jest podzielna przez 30.
5. Wykaż, ze jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p2 – 1 jest liczbą podzielną przez 24.
6. Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n też ma tę
własność.
7. Wykaż, że jeżeli
i
, to
8. Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami nieujemnymi, to
.
.
9. Wykaż, ze suma sześcianów dwóch różnych liczb dodatnich jest większa od iloczynu ich sumy
i ich iloczynu.
10. Wykaż, ze dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność
11. Wykaż, że jeśli x + y + z = 0, to xy + yz + zx ≤ 0.
12. Funkcja f każdej liczbie całkowitej przyporządkowuje resztę z dzielenia przez8 jej kwadratu.
a) Uzasadnij, że jeśli n jest liczbą nieparzystą, to f(n) = 1.
Wyznacz zbiór wartości funkcji f.
c) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
13. Wyznacz zbiór wartości funkcji
, określonej wzorem
14. Funkcja f określona jest wzorem
. Udowodnij, że zbiór wartości funkcji f zawiera
się w przedziale <-1;1>.
15. Funkcja h określona wzorem h(x) = x3 + 2x – 3. Wykaż, że jeśli a, b  R i a < b, to h(a) < h(b).
16. Funkcja f określona jest wzorem
. Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele par
różnych liczb rzeczywistych, dla których funkcja f przyjmuje tę samą wartość, a następnie
podaj wszystkie pary różnych liczb całkowitych o tej własności.
17. Funkcja f określona jest wzorem
. Wykaż, ze jeżeli dla dwóch ujemnych liczb a i b
zachodzi równość f(a) = f(b), to liczby a i b są równe.