1 Z adanie 1 Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o

Z adanie 1
Niech , , … , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie normalnym z
wartością oczekiwaną 0 i wariancją 1. Wyznaczyć wariancję zmiennej losowej .
Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ,
ODP: 2
Zadanie 2
Niech , , … , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie , .
Niech ∑
oraz ∑ . Dobrać stałą a, aby statystyka
! "#
miała
rozkład t-Studenta z 9 stopniami swobody
ODP:
√20
Zadanie 3
Niech , , … , jest próbą losową z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej 5. Ile wynosi
liczba t, jeśli wiadomo, że &: ( ) 0.95.
ODP: t = 26.377
Zadanie 4
Niech , , … , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie - , .. Dobrać stałą c, tak
aby statystyka /: : była nieobciążonym estymatorem wyrażenia b – a.
ODP:
0
"
Zadanie 5
Mamy dwie niezależne obserwacje: ~, oraz ~2, 2 . Niech . . Dobrać stałe a i b aby było nieobciążonym estymatorem .
Wskazówka: wyznaczyć rozkłady i , 2 3 4 2
ODP:
5
,. 6
7
Zadanie 6
Niech , , … , będzie próbką z rozkładu o gęstości 89 9 ;" dla 9 < 0,1. Wyznaczyć
:
estymator parametru > Metodą Największej Wiarogodności oraz obliczyć jego wariancję.
Wskazówka: wyznaczyć rozkład – ln 1
:
ODP: >B C ∑CFG DE !F , 3 4H>BI Zadanie 7
Niech , , … , będzie próbą z rozkładu o gęstości:
 1 e − µ dla x ≥ c
f ( x) =  µ
dla x < c
0
x −c
gdzie / < J i K 0 są nieznanymi parametrami. Definiujemy estymator parametru postaci:
∑ .: . Dobrać tak stałe a i b aby otrzymać nieobciążony estymator.
̂ Wskazówka: zauważyć, iż / ma rozkład wykładniczy
ODP:
"
,. "
Zadanie 8
W urnie jest r czarnych kul (4 K 0). Powtarzamy 3 razy następujące czynności:
- losujemy jedną kulę z urny i odkładamy ją na bok,
- wrzucamy do urny 1 kulę białą.
W wyniku tego doświadczenia wylosowaliśmy po kolei kulę czarną, białą i czarną. Wyznaczyć
estymator największej wiarogodności nieznanej liczby r.
O"
Wskazówka: wiarygodność próby: M4 1 · O ·
ODP: 4̂ 2
O
Zadanie 9
Niech , , … , , … , 0P będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie
, . Bezpośrednio dostępne są tylko obserwacje , , … , , ale znamy średnią 0P 0P
∑0P
. Dobrać tak stałą a, aby estymator estymatorem .
∑ 0P był nieobciążonym
Wskazówka: wyznaczyć rozkład 0P
0P
ODP: · 0P"
Zadanie 10
Niech , , 5 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie , . Obliczyć
& ( , gdzie ∑5 .
Wskazówka: pokazać, że
Q
~29R 2
ODP: 0.63212
Zadanie 11
Niech , , … , jest próbą losową z rozkładu o dystrybuancie
1 − e− x dla x ≥ θ
F ( x) = 
dla x < θ
0
gdzie > K 0 jest nieznanym parametrem. Rozważamy estymator postaci >B : . Obliczyć funkcję
ryzyka tego estymatora J > 2H>B >I .
Wskazówka: X nie ma rozkładu ciągłego, bo dystrybuanta jest nieciągłą w punkcie >; 2H>B >I W
2H>B I 2>2H>BI > ; dla zmiennych losowych K 0 zachodzi: 2 T 1 U9V9 i
W
2 T 29 1 U9V9
ODP: J> X ":
Zadanie 12
Załóżmy, że , , … , jest próbą losową z rozkładu wykładniczego z nieznanym parametrem Y.
Niech Z będzie zmienną losową powstałą w wyniku zaokrąglenia w górę do najbliższej liczby
całkowitej. Wyznaczyć estymator największej wiarogodności dla parametrem Y na podstawie próby
Z , Z , … , Z .
C
∑
^
ODP: Y[ \ ]∑C FG F _
FG ^F "
Zadanie 13
Załóżmy, że , , … , jest próbą losową z rozkładu wykładniczego z nieznanym parametrem Y.
Dobrać stałą c, żeby / był nieobciążonym estymatorem wariancji pojedynczej zmiennej .
Wskazówka: pokazać, że ~Γ, Y
ODP: / 0
Zadanie 14
Niech X 1 , X 2 ,... X 15 będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym X 1 , X 2 ,... X 5 mają rozkład
wykładniczy z wartością oczekiwaną θ , a X 6 , X 7 ,... X 15 rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną
3θ . Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru θ w oparciu o próbę X 1 , X 2 ,... X15
i obliczyć jego wartość oczekiwaną.
3
Zadanie 15
Niech X 1 , X 2 ,... X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym
N (2, 4). Niech Fn (t ) oznacza dystrybuantę empiryczną wyznaczoną na podstawie zmiennych
X1 , X 2 ,... X n w punkcie t.
a) Do jakiego rozkładu zbiega zmienna losowa ( Fn (2) − 12 ) n ?
b) Oblicz lim P(( Fn (2) − 12 ) n > 12 )
n →∞
Zadanie 16
Zawartość białka w pewnym produkcie żywnościowym zmierzono 20-krotnie metodą I i 20-krotnie
metodą II. Wyniki metody I są niezależnymi zmiennymi losowymi X 1,1 , X 1,2 ,... X 1,20 z rozkładu
N ( m, 22 ), zaś wyniki metody II są niezależnymi zmiennymi losowymi X 2,1 , X 2,2 ,... X 2,20 z rozkładu
N ( m, 42 ). Pomiary dwiema metodami są niezależne. Rozpatrzmy następujące estymatory
parametru m:
mˆ 1 = 12 X 1 + 12 X 2
gdzie X i =
1
20
mˆ 2 = 0,8 X 1 + 0, 2 X 2
( X i ,1 + X i ,2 + ... + X i ,20 ), i = 1, 2
Wyznacz wartość oczekiwaną i błąd średniokwadratowy estymatorów.
Zadanie 17
Niech X1 , X 2 ,... X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości:
f ( x) = 12 θ 2 | x | exp( −θ | x |),
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczyć estymator największej wiarogodności
parametru θ w oparciu o próbę X 1 , X 2 ,... X n i obliczyć wariancję asymptotyczną tego estymatora.
Zadanie 18
Zmienne losowe X1 , X 2 ,... X n są to liczby wypadków drogowych w ciągu kolejnych n tygodni.
Zakładamy, że są to zmienne niezależne o jednakowym rozkładzie Poissona z parametrem λ.
Interesuje nas estymacja przeciętnej liczby wypadków λ. Wyniki wcześniejszych badań sugerują, że
nieznana wielkość λ może być bliska 6. Wobec tego używamy następującego estymatora:
λˆ = 2 + 23 X . Wyznacz obciążenie i błąd średniokwadratowy tego estymatora.
4
Zadanie 19
Niech X 1 , X 2 ,... X n będzie próbką losową z rozkładu jednostajnego na przedziale [0; 4]. Niech
Fˆn (t ) oznacza dystrybuantę empiryczną wyznaczoną na podstawie zmiennych X 1 , X 2 ,... X n w
punkcie t. Obliczyć E  Fˆn (1)  i Var  Fˆn (1)  .




Zadanie 20
Niech X1 , X 2 ,... X n będzie próbką losową z rozkładu o funkcji gęstości danej wzorem
 2x
dla x ∈ [ 0;θ ]

f ( x) =  θ 2
0
dla x ∉ [ 0;θ ]

gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Wyznaczyć estymator parametru θ metodą największej
wiarogodności oraz metodą momentów.
Zadanie 21
Niech X1 , X 2 ,... X n będzie próbką losową z rozkładu jednostajnego na przedziale [0;10]. Niech
Fˆn (t ) oznacza dystrybuantę empiryczną wyznaczoną na podstawie zmiennych X1 , X 2 ,... X n w
punkcie t.
a) Wyznaczyć do czego zbiega według prawdopodobieństwa zmienna losowa Fˆn (1).
b) Obliczyć lim P
n →∞
( n ( Fˆ (1) − ) < 0,3)
n
1
10
Zadanie 22
Niech X 1 ,..., X n będzie próbą losową z rozkładu o gęstości fθ ( x) =
θ
e −θ
2 x
x
dla x > 0. Wyznacz
estymator największej wiarogodności parametru θ oraz oblicz jego obciążenie, wariancję i ryzyko.
ODP: θˆ =
R(θ ) =
n
∑
n
i =1
xi
, Eθˆ =
n2
n
1
θ 2,
θ , b(θ ) =
θ , Var (θˆ) =
2
n −1
n −1
(n − 1) (n − 2)
n2
1
θ2 +
θ2
2
2
(n − 1) (n − 2)
(n − 1)
Zadanie 23
Niech X 1 ,..., X n będzie próbą losową z rozkładu o gęstości fθ ( x) =
θ
1+θ
( x + 1)
dla x > 0.
5
a) Wyznacz metodą kwantyli estymator parametru θ w oparciu o pierwszy kwartyl z próby
(przyjmujemy, że Q1/ 4 oznacza pierwszy kwartyl wyznaczony na podstawie próby
X 1 ,..., X n ).
b) Obliczyć E (min( X 1 ,..., X n )).
ODP: a) θˆ =
ln ( 4 / 3 )
, b)
ln ( Q1/ 4 + 1)
1
nθ −1
Zadanie 24
Niech X1 ,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z tego samego rozkładu o gęstości
f ( x ) = 12 θ −3 x 2 e − x / θ dla x > 0, gdzie θ > 0.
a) Dobierz stałą c tak, aby statystyka T = c
∑
n
i =1
X i była estymatorem nieobciążonym
parametru θ .
b) Sprawdź czy estymator uzyskany w punkcie a) jest ENMW
ODP: a) c = 3n1 b) Jest ENMW
Zadanie 25
Niech X 1 , X 2 ,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu o gęstości
f ( x) = θ x − (θ +1) dla x,θ > 1.
a) Wyznacz estymator parametru θ metodą kwantyli wykorzystując medianę z próby.
b) Wyznacz estymator parametru θ metodą momentów wykorzystując średnią z próby.
ODP: a) θˆ =
ln 2
ln mˆ
gdzie à oznacza medianę z próby, b) θˆ =
X
X −1
Zad 26
Zakładamy, że , , … , b jest próbą losową z rozkładu o gęstości 89 >9:" dla 9 < 0, 1,
gdzie > K 0. Chcemy skonstruować przedział ufności c>, >d dla parametru > na poziomie ufności 0,9
f
f
tak, żeby &H> e >I &(> K > 0,05. Dobrać stałe / i / , w taki sposób, żeby c , d było
szukanym przedziałem ufności, gdzie Wskazówka: pokazać, że 2>~g
∑b \ .
Odpowiedź: / 1,97; / 9,16
Zad 27
Niech , , … , będzie próbą losową z rozkładu jednostajnego na przedziale 0, >. W celu
przetestowania
hipotezy
j : > 1 przeciw
alternatywie
j : > K 1 wykorzystujemy test
następującej postaci: odrzucamy j , jeśli wartość statystyki : przekroczy stałą c. Niech będzie
6
najmniejszą liczebnością próbki taką, przy której test na poziomie istotności k 0,2 ma w punkcie
> √2 moc przekraczającą 0,95. Obliczyć .
l
Odpowiedź: 13
Zad 28
Każda ze zmiennych losowych , , … , ma rozkład normalny , z nieznaną wartością
oczekiwaną i znaną wariancją . Założono, że zmienne losowe są niezależne i zbudowano w
standardowy sposób przedział ufności na poziomie ufności 0,95 dla :
c ,nQ
, ,nQ
].
W rzeczywistości zmienne , , … , mają łączny rozkład normalny ale są skorelowane:
oH , p I 1/10 dla wszystkich r s t. Obliczyć faktyczny poziom ufności, czyli
& ] 1,96
1,96
( ( _
10
10
przy założeniu, że zmienne losowe są skorelowane.
Wskazówka: 3 4H∑
I ∑ 3 4 2 ∑xp uvw , p ;
uvwH , p I oH , p I · y3 4 · 3 4z ; ∑
~100, 1090 Odpowiedź: 0,45
Zad 29
Niech , , … , będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych, przy czym
~, 1/r dla r 1, 2, … , 10. Należy zbudować przedział ufności dla na poziomie ufności 0,95.
Przedział ma być postaci ĉ V, ̂ V d, gdzie ̂ jest estymatorem największej wiarygodności
parametru .
!
F
Wskazówka: ̂ ∑
bb ; ̂ ~ {, bb |
Odpowiedź: V 0,2643
Zad 30
Każde z 40 laboratoriów niezależnie przeprowadziło pomiar prędkości światła w próżni c i każde
podało przedział ufności dla c na poziomie ufności 0,95.
a) Jaka jest wartość oczekiwana liczby tych laboratoriów, które podały przedział zawierający
prawdziwą wielkość c?
b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że chociaż jeden z 40 przedziałów nie zawiera prawdziwej
wielkości c?
7
Zad 31
Niech X1 , X 2 ,... X n będzie próbką losową z rozkładu N ( µ ,32 ). Weryfikujemy hipotezę zerową
H0 : µ = 3
przy
alternatywie
H1 : µ = 2
testem
o
obszarze
krytycznym
K = {( x1 ,..., xn ) : ∑ i =1 xi < c}.
n
a) Wyznaczyć wartość c, dla której test ma rozmiar 0,01.
b) Wyznaczyć prawdopodobieństwo błędu drugiego rodzaju dla n = 9.
Zad 32
Zakładamy, że miesięczne wydatki na odbitki kserograficzne studenta WNE mają rozkład normalny
N ( µ , σ 2 ). Badanie 16 losowo wybranych studentów dostarczyło danych:
X = 161 ∑ i=1 X i = 10
16
2
S 2 = 151 ∑ i =1 ( X i − X ) = 9
16
a) Wyznacz przedział ufności dla wariancji zmiennej losowej opisującej wydatki studenta WNE
na ksero na poziomie ufności 0,9.
b) Wyznacz przedział ufności dla wartości oczekiwane zmiennej losowej opisującej wydatki
studenta WNE na ksero na poziomie ufności 0,95.
Odpowiedź: a) [5, 4;18,59] b) [8, 4;11, 6]
Zad 33
W grupie 210 losowych pasażerów metra 84 osoby stwierdziły, że metro jest dla nich jedynym
środkiem transportu. Wyznaczyć przedział ufności dla odsetka pasażerów metra, dla których jest to
jedyny środek transportu na poziomie ufności 0,98.
Odpowiedź: [ 0,32; 0, 49 ]
Zad 34
Niech X 1 , X 2 ,... X 10 będzie próbką losową z rozkładu o funkcji gęstości danej wzorem
2x
dla x ∈ [ 0;θ ]

f ( x) =  θ 2
0
dla x ∉ [ 0;θ ]

gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Weryfikujemy H 0 : θ = 1 wobec alternatywy H1 : θ > 1 za
pomocą testu o obszarze krytycznym W = {( X 1 , X 2 ,... X 10 ) : max( X 1 , X 2 ,... X 10 ) < c}. Wyznaczyć
stałą c, aby otrzymać test na poziomie istotności 0,05.
Odpowiedź: c = 0, 051/ 20
8
Zad 35
Niech X 1 ,..., X n będzie próbą losową z rozkładu o gęstości fθ ( x ) =
2x
θ2
dla x ∈ (0, θ ). Czy
2
statystyka ( X n:n ) jest zgodnym estymatorem dla θ 2 ?
Odpowiedź: Tak
Zad 36
Dysponujemy 20 elementową próbką losową z rozkładu normalnego N ( µ ,32 ). Średnia wyznaczona
na podstawie tej próby wynosi X = 4.
a) Wyznacz przedział ufności dla parametru µ na poziomie ufności 0,95.
b) Jak liczna powinna być próba, aby przy przyjętym poziomie ufności otrzymać przedział
ufności o długości nie większej od 0,1?
Odpowiedź: a) [ 2, 685;5,315] b) 13830 obserwacji
Zad 37
Na podstawie próby losowej , , … , testujemy hipotezę j : > 1 przy alternatywie j : > K 1
za pomocą testu o obszarze krytycznym ~∑
K ). Wyznaczyć wartość t, jeśli zmienne losowe mają rozkłady o gęstości 89 >|9|X ": dla 9 < J i błąd I rodzaju wynosi 0,05.
Wskazówka: ~29R>; 2> ∑
~g7
Odpowiedź: ) 27,8793
9