rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008) 11. Estymacja punktowa – zadania do samodzielnego rozwiązania 1. Z partii kondensatorów wybrano losowo 12 sztuk i zmierzono ich pojemności otrzymując (w pF): 4,45 4,40 4,42 4,38 4,44 4,36 4,40 4,39 4,45 4,35 4,40 4,36. (a) Znajdź oszacowanie nieznanej wartości przeciętnej pojemności kondensatora pochodzącego z danej partii. (b) Znajdź nieobciążone oszacowanie wariancji pojemności tych kondensatorów. 2. Zmienne losowe X1 , . . . , Xn mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EXi = a, i = 1, . . . , n. Wykaż, że estymatory postaci T = a1 X1 + · · · + an Xn , a1 + · · · + an n X ai 6= 0, ai ∈ R, i=1 są nieobciążonymi estymatorami parametru a. 3. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości 1 f (x) = 2a sin xa 1(0,aπ) (x). Wykaż, że ân = 2 π x̄n jest zgodnym i nieobciążonym estymatorem parametru a. 4. Rozważmy estymator n 1X θ̂(x1 , . . . , xn ) = 1 − 1(0,1) (xi ) n i=1 parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie E(λ). (a) Czy θ̂ jest zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ? (b) Oblicz ryzyko estymatora θ̂ w punkcie θ. 5. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (x) = 2 p2 x1[0,p) (x). Dla próby n-elementowej 2 przyjęto, że θ̂ = X̄ + X̄ jest estymatorem parametru θ = estymator asymptotycznie nieobciążony? 6. Niech p̂n : R → R, 2 p( 23 p 3 + 1). Czy jest to n 1X p̂n (x1 , . . . , xn ) = 1{1} (xi ). n i=1 Pokaż, że {p̂n } jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru p rozkładu geometrycznego z parametrem p ∈ (0, 1). Oblicz ryzyko estymatora p̂n w punkcie p ∈ (0, 1). 7. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego z parametrem λ. Czy λ̂ : Rn → R, λ̂(x1 , . . . , xn ) = x̄ − x(1) , gdzie x(1) = min(x1 , . . . , xn ) jest asymptotycznie nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej? 8. Rozważmy estymator θ̂n : Rn → R, θ̂n (x1 , . . . , xn ) = exp(− x1 + · · · + xn ). n Uzasadnij, że {θ̂n }n∈N jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ = P (X = 0), gdzie X ∼ P (λ). 1 rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008) 9. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu normalnego N (a, σ 2 ). Dobierz stałą k tak, aby estymator n−1 X T =k (Xi+1 − Xi )2 i=1 był nieobciążonym estymatorem parametru σ 2 . 10. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (0, a). Czy estymatory T1 = n+1 X(n) , n T2 = n X(n) n−1 parametru a są (a) nieobciążone, (b) asymptotycznie nieobciążone? 11. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, λ) o gęstości f (x) = λα α−1 −λx x e 1(0,∞) (x), Γ(α) gdzie α jest znane, a λ nie znane. Udowodnij, że jeśli nα > 2, to statystyka T = nα − 1 nx̄ jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru λ. 2