Klasa IV

XVI edycja
Międzynarodowego Konkursu Matematycznego
„PIKOMAT”
rok szkolny 2007/2008
Etap II
Klasa IV
Zadanie 1
Podczas ostatnich wakacji kolega Tomka przebył łącznie 486 km. Część drogi przejechał
koleją. Autobusem przejechał 5 razy tyle co koleją. Resztę drogi przebył promem. Droga
wodna była 2 razy krótsza od lądowej. Ile czasu kolega Tomka podróżował promem, jeżeli
wiadomo, że prom w ciągu każdej godziny pokonywał odległość 18 km?
Zadanie 2
Marta miała do dyspozycji jedenaście kwadratów o bokach długości: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 6, 6,
7 [cm]. Ze wszystkich ułożyła jeden kwadrat. Jak to zrobiła?
Zadanie 3
Zapisz liczby od 1 do 10 za pomocą czterech dwójek, znaków działań arytmetycznych oraz
być może nawiasów.
Zadanie 4
W puste pola należy wpisać liczby od 1 do 16 (niektóre liczby zostały już wpisane) tak, aby
suma liczb w każdym z zaznaczonych kwadratów 2 × 2 oraz w wierszach i kolumnach dużego
kwadratu 4 × 4 była równa 34.
3
13
9
15 14
Klasa V
Zadanie 1
Czterech chłopców: Mirek, Tomek, Piotrek i Sylwek wzięło udział w pierwszym etapie
konkursu „Pikomat”. Dwóch z nich zdobyło tę samą liczbę punktów. Mirek uzyskałby więcej
punktów od Tomka, gdyby nie uzyskał mniej punktów od Sylwka. Piotr uzyskałby mniej
punktów od Tomka, gdyby nie uzyskał więcej od Sylwka. Który z chłopców zdobył tyle samo
punktów co Tomek?
Zadanie 2
Plan mieszkania Jasia ma kształt sześciokąta, w którym każde dwa kolejne boki są
prostopadłe. Długości tych boków, uporządkowane malejąco, są równe 16, 10, 8, 6, 5, 3 [m].
Oblicz pole powierzchni mieszkania Jasia.
Zadanie 3
Na poniższej planszy 6 × 6 część kwadracików jest szarych, a część białych. Postaraj się
utworzyć kwadraty z pełnych kwadracików, w których liczba pól szarych i białych są równe.
Ile jest takich kwadratów? Przedstaw rozwiązanie na rysunkach.
Zadanie 4
Liczba czterocyfrowa AABB dzieli się przez 36. Jaka to liczba?
Klasa VI
Zadanie 1
Załóżmy, że przygotowując się do drugiego etapu konkursu „Pikomat” rozwiązałeś 26 zadań
w ciągu 4 dni, przy czym każdego dnia zwiększałeś liczbę rozwiązanych zadań. Ponadto
czwartego dnia rozwiązałeś trzy razy więcej zadań niż pierwszego dnia. Ile zadań rozwiązałeś
trzeciego dnia?
Zadanie 2
Kubuś sporządził sobie parę sześciennych kostek do gry i oznaczył ich ścianki oczkami.
Najmniejsza liczba oczek na jednej ściance to jedno oczko, największa – sześć. Wyniki
jednak, które można uzyskać rzucając kostkami Kubusia, znacznie różnią się od wyników
uzyskanych przy rzucie tradycyjnymi kostkami do gry. Przeanalizuj poniższe zestawienie
i określ, jakimi liczbami oczek oznaczył Kubuś ścianki swoich dwóch kostek?
Liczba oczek wyrzuconych
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Liczba sposobów wyrzucenia 0 1 4 5 6 8 3 6 1 2 0
Zadanie 3
Prostokąt ABCD został podzielony na 6 kwadratów, jak wskazuje rysunek.Wiedząc, że pole
zacieniowanego kwadratu równa się 1, oblicz pole prostokąta ABCD.
D
C
A
B
Zadanie 4
Wiedząc, że różnym literom odpowiadają różne cyfry, zastąp litery cyframi tak, aby tworzyły
poprawne działania.
ABAC –
DDB = ADEB
:
·
+
FA +
EB =
DDG
=
=
=
BDA + AGHC = ABAB
Klasa I
Zadanie 1
W klasie Marka w ciągu roku liczba uczniów(dziewcząt i chłopców) zmniejszyła się o 10 %,
zaś liczba uczennic zwiększyła się z 50 % do 55 % wszystkich uczniów. Czy liczba dziewcząt
zwiększyła się czy zmniejszyła w porównaniu do stanu początkowego i o ile %?
Zadanie 2
Poniższy kwadrat 6 × 6 złożony z 36 pól podziel wzdłuż linii kratek na 2 części jednakowej
wielkości i kształtu.
Zadanie 3
Marek ułożył na stole dziesięć jednakowych monet 10 groszowych (rys.). Zadaniem Janka –
najlepszego kolegi Marka – było usunąć jak najmniejszą liczbę monet, aby żadne trzy środki
pozostałych monet nie były wierzchołkami trójkąta równobocznego. Janek rozwiązał problem
oraz wyjaśnił strategię usuwania monet, aby spełnione były warunki zadania. Teraz kolej na
ciebie. Jaką najmniejszą liczbę monet należy usunąć? Zilustruj rozwiązanie problemu oraz
wyjaśnij strategię usuwania monet.
Zadanie 4
W poniższym kwadracie w pustych kratkach umieść symbole: ▲, ■, ○, □, ●w taki sposób,
aby wzdłuż żadnej linii pionowej, poziomej czy ukośnej żaden symbol się nie powtórzył. Jaki
symbol znajdzie się w kratce oznaczonej (×)?

× ▲
●
■
○
Klasa II
Zadanie 1
W układzie współrzędnych umieszczono ramki do bilarda w sposób pokazany na rysunku.
W każdym rogu umieszczono otwór. Kula bilardowa toczy się od punktu P(1; 3) prosto do
punktu A(0, 1) i dalej odbija się od ścian lub wpada do otworu. Gdyby przyjąć, że odbija się
od ramki w typowy sposób i nie traci prędkości, to przez który z podanych punktów: B(3; 2),
C(1; 3), D(1,5; 2), E(5; 4) by nie przeszła? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 2
Rysunek przedstawia prostokąt składający się z 16 jednakowych trójkątów prostokątnych.
Cztery takie trójkąty tworzą większy trójkąt prostokątny.
Marek wpisał w każdy mały trójkąt jedną z liczb naturalnych od 1 do 16, żadnej nie
powtarzając, w taki sposób, że suma liczb w każdym z większych trójkątów wynosiła 34. Jak
to zrobił?
Zadanie 3
Poniższą figurę rozetnij na 5 takich części, aby można było z nich wszystkich ułożyć kolejno:
kwadrat, prostokąt nie będący kwadratem oraz krzyż równoramienny.
Zadanie 4
Dawno temu mieszkańcy Wyspy Piko zajmowali się handlem wymiennym. I tak pewnego
razu jeden z mieszkańców na targu sprzedał, znaleziony w swojej kopalni, złoty samorodek
za pewną liczbę kur i kupił futro z lisów za połowę uzyskanych ze sprzedaży złota kur i pół
kury. Za żywność dał połowę pozostałych po zakupie futra kur, również z dodatkiem pół
kury. W ten sposób płacił kolejno za niezbędne do pracy w kopalni narzędzia, buty, naftę
i lampę. Po ostatnim zakupie pozostała mu jedna kura, z której po powrocie do swojej chaty
ugotował rosół. Ile kur dostał ów mieszkaniec Wyspy Piko za zloty samorodek ? Ile kur dał za
futro z lisów, ile za żywność, ile za narzędzia, ile za buty, naftę i lampę?
Klasa III
Zadanie 1
Wyznacz taką liczbę dwucyfrową, której
1
sumy jej cyfr równa jest ilorazowi tej liczby
3
przez sumę swoich cyfr.
Zadanie 2
Wiedząc, że jednakowym literom odpowiadają jednakowe cyfry, zastąp litery cyframi tak,
aby zachodziły wszystkie równości.
AB · AC = DCAD
+
–
+
DEFA : GH =
FDB
=
=
=
DJKD – GF =
DEJJ
Zadanie 3
Dwa jednakowe przenikajace się graniastosłupy prawidłowe czworokątne tworzą bryłę
w kształcie krzyża równoramiennego (rys.), której pole powierzchni równa się 294 dm².
Zaprojektuj wymiary tej bryły tak, aby wyrażały się one całkowitymi liczbami decymetrów,
a nastepnie oblicz jej objetość.
Zadanie 4
Motocyklowy rajd, po bardzo trudnych technicznie bezdrożach Pustyni Piko, podzielono na
etapy z punktami kontroli czasu. Na jeden z takich punktów kontroli czasu spóźnił się
zawodnik z numerem 16. Jego spóźnienie wynosiło tyle sekund, o ile wcześniej przyjechał na
ten punkt zawodnik z numerem 23, jadący ze średnią prędkością 90 km/h. O ile spóźnił się
zawodnik z numerem 2, jadący ze średnią prędkością 72 km/h, jeżeli wspomniany wyżej
zawodnik z numerem 16 przejechał kontrolny etap ze średnią prędkością 60 km/h?
Opracowanie: Jan Domaszewicz, Marek Kawałko, Marta Kądziołka, Katarzyna Sikora