Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich

advertisement
Rozważania rozpoczniemy od ośrodków jednorodnych. W takich ośrodkach zależność między
indukcją pola elektrycznego
a natężeniem pola oraz między indukcją pola magnetycznego
natężeniem pola
opisana jest wyrażeniami:
a
Wielkości ϵ i μ są liczbami, które są niezależne od czasu i położenia. Noszą one nazwę
względnych przenikalności elektrycznej i magnetycznej. Równania Maxwella dla jednorodnych
ośrodków są następujące:
Wektor jest gęstością prądu, a gęstością ładunku. Z prawa Ohma wynika:
. Dla ośrodka
w którym nie ma ładunków swobodnych oraz prądów (podobnie jak dla próżni) spełnione jest
klasyczne równanie falowe, które ma postać:
.
Prędkość rozchodzenia się fali w ośrodku wynosi:
. Współczynnik n
nazywamy współczynnikiem załamania. Mówi on ile razy prędkość światła w ośrodku jest mniejsza
od prędkości światła w próżni. Wartości współczynników załamania dla wybranych substancji (dla
światła sodowego,
) zebrano poniżej:
Substancja
n
Powietrze
1.00026
Woda
1.33
Alkohol etylowy
1.36
Szkło kwarcowe
1.46
Olej rycynowy
1.48
Szkło crown
1.52
Balsam kanadyjski
1.54
Polistyren
1.59
Dwusiarczek węgla (ciekły) 1.63
Diament
2.42
Rutyl (TiO2)
2.62
Fala elektromagnetyczna o określonej częstotliwości ma inną długość fali w ośrodku niż w próżni.
Jako przykłady policzmy:
1. Ile wynosi prędkość i długość fali światła z lampy sodowej w diamencie?
Dane:
. Stąd wyliczamy:
2. Ile wynosi prędkość i długość fali radiowej o częstotliwości
w ferrycie (filtr
ferrytowy używany jest w kablach komputerowych, zapobiega interferencji z falami radiowymi
— patrz rysunek Figure 1)?
Zdjęcie kabla
komputerowego z filtrem
ferrytowym.
Dane:
Współczynnik załamania
kwarcu.
. Stąd:
Zmiana kształtu impulsu
po przejściu przez kwarc.
Na rysunku Figure 2 pokazano współczynnik załamania dla kwarcu w obszarze światła widzialnego.
Współczynnik ten zmienia się wraz z kolorem światła, a więc fale o różnych kolorach poruszają się z
różnymi prędkościami. Impuls (paczka falowa) zmienia kształt po przejściu przez taki ośrodek (patrz
rysunek Figure 3).
Fala elektromagnetyczna padając na granicę dwóch ośrodków ulega odbiciu i załamaniu. Kierunek
biegu promienia można wyznaczyć z pochodzącej z roku 1650 zasady Fermata: światło spośród
wszystkich możliwych torów łączących dwa punkty wybiera ten, którego przebycie wymaga
najkrótszego czasu. Zasadę tę zastosujmy najpierw do znalezienia kierunku promienia odbitego.
Światło pada pod kątem α do normalnej do granicy dwóch ośrodków i odbija się pod katem β (patrz
rysunek Figure 4).
Odbicie od granicy dwóch
ośrodków.
Czas jaki pokonuje promień
, a stąd droga
. Szukamy
ekstremum tej funkcji różniczkując ją po x. Otrzymujemy wówczas:
równoważne:
.
, co jest
Z zasady Fermaty wynika, że kąt padania jest równy kątowi odbicia.
W podobny sposób rozpatrujemy tor promienia świetlnego biegnącego z ośrodka o współczynniku
załamania
do punktu w drugim ośrodku o współczynniku załamania . Zgodnie z rysunkiem
Figure 5 czas potrzebny na przebycie drogi wynosi:
optyczna:
, gdzie droga
.
Różniczkując czas po x otrzymujemy prawo załamania:
, gdzie α i β są odpowiednio kątem padania i kątem odbicia.
, czyli:
Załamanie promienia
świetlnego na granicy
dwóch ośrodków.
Jeśli promień biegnie z ośrodka o większym współczynniku załamania i pada na granicę z ośrodkiem
o mniejszym współczynniku załamania to może ulec całkowitemu odbiciu co pokazano na rysunku
Figure 6 Zjawisko to nosi nazwę całkowitego wewnętrznego odbicia i jest wykorzystywane w
światłowodach.
Zjawisko całkowitego
wewnętrznego odbicia.
Zjawisko to jest również odpowiedzialne za powstawanie tęczy na niebie (patrz rysunek Figure 7 i
Figure 8). Promień światła padający na kroplę wody ulega najpierw załamaniu, następnie
całkowitemu wewnętrznemu odbiciu i ponownie załamaniu przy wychodzeniu z kropli. Kąt rozwarcia
dla koloru niebieskiego wynosi 40.8° a dla koloru czerwonego 42.5°. Światło białe ulega więc
rozszczepieniu na kropli wody. Dla obserwatora znajdującego się daleko od kropel wody dociera
kolor czerwony od kropel znajdujących się wyżej, natomiast od kropel znajdujących się niżej dociera
kolor niebieski. Stąd obserwator widzi tęczę. Czasami światło może tak padać na krople wody, że
ulega dwukrotnie zjawisku wewnętrznego odbicia w kropli. Wówczas kąt rozwarcia dla koloru
niebieskiego wynosi 53.2°, a dla koloru czerwonego 50.1°. Obserwator widzi w takim przypadku
druga tęczę o kolorach odwróconych w porównaniu z niżej położona tęczą.
Rozszczepienie światła na
kropli wody.
Powstawanie tęczy na
niebie.
Kolejnym zjawiskiem związanym ze współczynnikiem załamania jest zjawisko mirażu. Można je
zaobserwować na pustyni lub patrząc na rozgrzana jezdnię. Jeśli nadjeżdża z naprzeciwka samochód
na jezdni zaobserwujemy jego odbicie jak zwierciadle. Efekt związany jest z tym, ze powietrze tuż
przy jezdni (lub na pustyni przy piasku) jest najbardziej nagrzane i w tym miejscu ma najmniejszy
współczynnik załamania. Współczynnik ten zmienia się wraz z odległością od jezdni. Promień
świetlny porusza się więc w ośrodku o zmiennym współczynniku załamaniu ulega zakrzywieniu tak
jak pokazano na rysunku Figure 9 Podobny efekt można też zaobserwować wsypując sól do
szklanego naczynia, pozwalając soli niejednorodnie się rozpuścić. Jeśli poświecimy laserem na wodę
z solą zobaczymy zagięcie promienia świetlnego.
Zjawisko mirażu.
Powyżej wyprowadziliśmy prawo odbicia i załamania korzystając z zasady Fermata. Prawa te mówią
jedynie o kierunku rozchodzenia się promieni świetlnych. Informacje o amplitudach fali padającej i
przechodzącej zawarte są w tzw. wzorach Fresnela. Na początek załóżmy, że fala
elektromagnetyczna pada prostopadle na granicę dwóch ośrodków o współczynnikach załamania
i . Z równań Maxwella wynikają następujące warunki, jakie musza spełniać natężenia pola
elektrycznego i magnetycznego
na granicy ośrodków:
tj. składowe równoległe do powierzchni granicznej obu pól po obu stronach granicy muszą być takie
same. Zakładając kierunki obu pól takie jak pokazano na rysunku Figure 10 i przyjmując taką sama
przenikalność magnetyczną w obu ośrodkach oraz wzór:
otrzymujemy:
a stąd:
.
gdzie
,
ośrodka.
i
są amplitudami harmonicznej fali padającej, odbitej i przechodzącej do drugiego
Zjawisko odbicia i
załamania fali
elektromagnetycznej na
granicy dwóch ośrodków
dla fali padającej
prostopadle na granicę
ośrodków.
Otrzymane wzory są podobne do tych otrzymanych dla fal mechanicznych, oporem falowym dla fal
elektromagnetycznych jest współczynnik załamania.
Jeśli fala elektromagnetyczna pada na granicę ośrodków pod dowolnym kątem to warunki odbicia i
załamania zależą od polaryzacji fali. Dowolna fale możemy rozłożyć na:
1. Falę TM — pole magnetyczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.
2. Falę TE — pole elektryczne jest prostopadłe do płaszczyzny padania.
Dla fali TM (patrz rysunek Figure 11) wzory Fresnela są następujące (zakładając taką samą
przenikalność magnetyczna w obu ośrodkach):
a stąd amplitudowe współczynniki odbicia i transmisji:
Zjawisko odbicia i
załamania dla fali TM.
Dla fali TE analogicznie otrzymujemy (patrz rysunek Figure 12).
Zjawisko odbicia i
załamania dla fali TE.
Na rysunku Figure 13 pokazano zależność współczynników transmisji i odbicia od kata padania dla
obu polaryzacji fal dla granicy szkło powietrze.
Współczynniki odbicia i
transmisji w funkcji kata
padania dla granicy
powietrze – szkło.
Dla polaryzacji TM współczynnik odbicia zmienia się od wartości ujemnych do dodatnich
przechodząc przez zero. Kąt dla którego wartość tego współczynnika wynosi zero nazywamy kątem
Brewstera. Dla tego kąta fala odbita ma wyłącznie polaryzacją TE. Tak więc zjawisko odbicia można
użyć do polaryzacji niespolaryzowanej fali elektromagnetycznej. Ze wzoru Fresnela oraz z prawa
załamania łatwo można znaleźć, że dla kąta Brewstera spełniony jest warunek na kąt padania α i kąt
załamania β:
.
Stąd otrzymujemy
. Dla granicy szkło – powietrze:
, co daje wartość kąta Brewstera:
.
Dla fali elektromagnetycznej rozchodzącej sie w jednorodnym ośrodku zachodzi podobnie jak w
próżni związek między polem magnetycznym i elektrycznym:
.
Stąd wektor Poyntinga wynosi:
.
Składowa prostopadła do granicy ośrodków wyrażą się wzorem:
(kąt θ jest
odpowiednio katem padania, odbicia lub załamania), a wartość średnia dla fali harmonicznej, która
odpowiada natężeniu światła jest postaci:
Stąd znajdujemy natężeniowe współczynniki odbicia i transmisji:
.
Jeśli fala pada prostopadle do granicy ośrodków to współczynniki te są następujące:
Dla granicy szkło – powietrze (
) otrzymujemy:
przypadku tylko 4% energii odbija się od granicy szkło-powietrze.
. W tym
Download
Random flashcards
bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

Motywacja w zzl

3 Cards ypy

66+6+6+

2 Cards basiek49

słowka

2 Cards kksenia.kot1997

2-2=0

2 Cards jogaf85537

Create flashcards