Ćwiczenie 8

Ćwiczenie 8
Pomiar właściwości ośrodków dwójłomnych
I Pomiar właściwości ośrodka dwójłomnego poprzez wyznaczenie elementów macierzy
Müllera-Ścierskiego.
Pojęcia podstawowe:
Wektor Stokesa; macierz Mullera-Ścierskiego ośrodka dwójłomnego; parametry ośrodka
dwójłomnego: kąt azymutu i kąt eliptyczności pierwszego wektora własnego, współczynniki
transmisji fali, różnica dróg optycznych.
1. Wstęp
Ośrodki anizotropowe zmieniają stan polaryzacji przechodzącego przez nie światła. Aby
przewidzieć te zmiany, należy znać podstawowe parametry takiego ośrodka. Dany ośrodek
dwójłomny można oczywiście w pełni scharakteryzować poprzez stałe materiałowe, a więc
tensor przenikalności dielektrycznej, albo jeszcze lepiej – przez podanie parametrów elipsoidy
Fresnela. Taki sposób jest jednak skomplikowany i często niepotrzebny. Element dwójłomny
wykonany z danego materiału anizotropowego ma bowiem określoną geometrię, w której jest
używany (na przykład płytka płasko-równoległa wycięta z kwarcu w ten sposób, że jego oś
optyczna jest równoległa do powierzchni płytki). Wystarczy wtedy podać parametry ośrodka
w postaci na przykład: kątów azymutu  i eliptyczności  obu fal własnych ośrodka, ich
amplitudowe współczynniki transmisji T f i Ts (f-fast, s-slow) oraz różnicę faz (dróg
optycznych)  między nimi. (Na przykład; bo, jak się łatwo zorientować, podajemy zestaw
parametrów używany w formalizmie Stokesa a możliwe są też przecież inne opisy).
Zagadnieniu, jak zmierzyć te parametry nieznanego ośrodka dwójłomnego – a ściślej: jednej z
realizacji metod pomiarowych – poświęcone jest niniejsze ćwiczenie.
A. Macierz Müllera-Ścierskiego
Aby wyznaczyć szukane parametry  f ,  f , T f , Ts oraz  ośrodka dwójłomnego
(indeksy f przy kątach azymutu i eliptyczności oznaczają, że są to parametry pierwszego –
1
szybkiego – wektora własnego) należy określić elementy macierzy Müllera-Ścierskiego tego
ośrodka [1]:
 m11
m
M    21
m31

m41

m12
m13
m22
m23
m32
m33
m42
m43

m14   T 
m24   MT 

m34   CT 
 
m44   ST 

MT 
CT 
M ZX
CMZ  YS
MCZ  YS
C 2Z  X
MSZ  YC
CSZ  YM
2


SMZ  YC 
SCZ  YM 

S 2Z  X 
ST 
(1)

gdzie: T   T f2  Ts2 2 , T   T f2  Ts2 2 , X  T f Ts cos  , Y  T f Ts sin  , Z  T   X a
M, C, S to parametry pierwszego wektora Stokesa ośrodka:
M  cos 2 f cos 2 f ,
C  cos 2 f sin 2 f i S  sin 2 f . Jak widać, parametrów, opisujących ośrodek dwójłomny
jest tak naprawdę pięć (  f ,  f , T f , Ts oraz  ) podczas gdy elementów macierzy jest aż 16.
Dzieje się tak dlatego, że elementy macierzy Müllera-Ścierskiego są kombinacjami
parametrów podstawowych. W pracy [1] podano kilka metod pomiaru elementów tej
macierzy jak również algorytm obliczenia parametrów ośrodka. Powstaje pytanie, ile
parametrów macierzy wystarczy znać (zmierzyć), aby wyznaczyć jednoznacznie szukane
parametry ośrodka? W pracy [2] wykazano, że musimy wyznaczyć elementy macierzy z
trzech kolumn (a w przypadku ośrodków dichroicznych, dla których T f  Ts , tylko dwóch
kolumn!) macierzy aby jednoznacznie określić szukane parametry ośrodka. Inna sprawa, że
czasami wyznaczenie wszystkich elementów macierzy może zwiększyć dokładność
pomiarów – macierz ośrodka musi być z definicji symetryczna, a pomiary, obarczone
błędami, dają wynik daleki od symetrii! Pomóc może wtedy obecność „nadmiarowych”
elementów, które mogą posłużyć na przykład do symetryzacji macierzy. Pozostawiając
zagadnienie dokładności pomiarów i dalszych optymalizacji studentom bądź naukowcom,
przedstawimy w niniejszej instrukcji metodę, opisaną dokładniej w pracy [2].
B. Pomiar elementów macierzy Müllera-Ścierskiego
Dokładniej: w rozdziale opiszemy zaproponowaną w ćwiczeniu metodę pomiaru
elementów naszej macierzy, znajdujących się w pierwszych trzech jej kolumnach. Ogólna
zasada pomiaru elementów macierzy Müllera-Ścierskiego badanego ośrodka dwójłomnego
polega na przepuszczaniu przez ten ośrodek świateł o znanej polaryzacji i pomiarze stanu
polaryzacji światła wychodzącego z ośrodka. Szczegóły metody tkwią natomiast w
odpowiednim doborze tych „świateł testowych” – tak, aby wyliczenie elementów macierzy
ośrodka było możliwie łatwe. W pracy [2] zaproponowano użycie trzech świateł o polaryzacji
2
liniowej (a więc kąt eliptyczności wszystkich trzech jest równy zeru: 1, 2,3  0 ) o azymutach
odpowiednio: 1  0 , 2  90 i  3  45 . Taki układ jest szczególnie atrakcyjny ze
względu na to, że nie wymaga używania trudniejszych w syntezie świateł o polaryzacji
eliptycznej. Daje on również możliwość szczególnie łatwego wyznaczenia parametrów
macierzy Müllera-Ścierskiego, jak to przedstawimy poniżej.
Jeżeli na badany ośrodek dwójłomny, reprezentowany przez macierz M, pada światło
spolaryzowane liniowo o kącie azymutu 1  0 i natężeniu I 1 , to po przejściu przez ośrodek
światło posiada najogólniej dowolny stan polaryzacji i natężenie. Związek między wektorem
Stokesa światła padającego i wychodzącego z ośrodka opisuje poniższe równanie:
 I 1' 
 I1 
 '
 
 M 1   M   I 1  .
 C1' 
0
 '
 
0
 S1 
(2a)
Elementy wektora Stokesa światła wychodzącego
I
'
1
M 1' C1'
S1'

określimy mierząc
następujące jego parametry: natężenie I 1' oraz kąty azymutu  1' i eliptyczności 1' (indeksy
„prim” przy odpowiednich wielkościach zostały wprowadzone dla oznaczenia wielkości na
„wyjściu” z układu). Powyższe równanie jest w rzeczywistości układem czterech równań
zawierających osiem nieznanych parametrów macierzy Müllera-Ścierskiego ośrodka
(dokładniej: elementów z dwóch pierwszych kolumn; pozostałe nie występują w równaniu ze
względu na obecność dwóch „zer” w wektorze wejściowym). Podobne układy równań
otrzymamy po zmierzeniu parametrów świateł na wyjściu układu po puszczeniu przezeń
drugiego „światła analizującego” (liniowe,  2  90 , natężenie I 2 ):
 I 2' 
 I2 
 '


 M 2   M     I 2 
 C2' 
 0 
 ' 


 0 
 S2 
(2b)
oraz trzeciego (liniowe,  3  45 , natężenie I 3 ):
 I 3' 
I3 
 '
 
 M 3   M   0  .
 C 3' 
I3 
 ' 
 
0
 S3 
(2c)
Rozwiązując układy równań, opisane przez (2a)-(2c) można otrzymać jawne wyrażenia
na elementy macierzy Müllera-Ścierskiego ośrodka:
3
1  C' C' 
1 I' I' 
1M' M' 
1  S' S' 
m11   1  2  , m21   1  2  , m31   1  2  , m41   1  2 
2  I1 I 2 
2  I1
I2 
2  I1 I 2 
2  I1 I 2 
(3a)
m12 
1  I1' I 2' 
1 M' M' 
1  S' S' 
1  C' C' 
   , m22   1  2  , m32   1  2  , m42   1  2 
2  I1 I 2 
2  I1
I2 
2  I1 I 2 
2  I1 I 2 
(3b)
m13 
I 3'
 m11 ,
I3
(3c)
m23 
M 3'
 m21 ,
I3
m33 
C3'
 m31 ,
C3
m43 
S 3'
 m41
S3
Znajomość tych dwunastu elementów macierzy Müllera-Ścierskiego pozwoli na wyznaczenie
parametrów M, C, S pierwszego bądź drugiego wektora własnego ośrodka. Schemat
pomiarów dla czytelności został zaprezentowany na Rys.1.
a)
Polaryzator
I1 - zmierzyć
Badany
obiekt
1’, 1’, I1’ zmierzyć
1=0 i 1=0
zadane
b)
Polaryzator
I2 - zmierzyć
2’, 2’, I2’ zmierzyć
Badany
obiekt
2=90 i 2=0
zadane
c)
Polaryzator
I3 - zmierzyć
3’, 3’, I3’ zmierzyć
Badany
obiekt
3=45 i 3=0
zadane
Rys.1 Schemat pomiaru właściwości ośrodka dwójłomnego metodą macierzy Mullera-Ścierskiego
4
C. Wyliczenie składowych wektora Stokesa i parametrów wektora własnego badanego
ośrodka dwójłomnego
Ostatecznymi wynikami, które chcemy otrzymać, są: parametry  f ,  f pierwszego
wektora własnego ośrodka, transmisje amplitudowe T f i Ts obu fal własnych oraz różnica
faz  między pierwszym i drugim wektorem własnym ośrodka wprowadzona przez badaną
próbkę. Etapem pośrednim obliczeń są wektory Stokesa pierwszego (bądź drugiego) wektora
własnego (fali
własnej) ośrodka. Algorytm
obliczeń, niezbędnych do uzyskania
poszukiwanych wielkości, przedstawiony został drobiazgowo w rozdziale 16 pracy [1] bądź
artykule [2]. Prezentowanie go w niniejszej pracy nie jest konieczne ze względu na to, że na
potrzeby Laboratorium opracowany został program komputerowy POLAR, który dokonuje
niezbędnych obliczeń i przedstawia gotowe wyniki w postaci zarówno składowych wektora
Stokesa, jak i parametrów  f ,  f , T f , Ts oraz  . Tym niemniej, zaleca się studentom
prześledzenie schematu rozwiązania choćby w tym celu, aby zrozumieć fakt istnienia dwóch
zestawów rozwiązań, prezentowanych przez program. Niestety - ze względu na to, że we
wzorach na poszczególne elementy macierzy Müllera-Ścierskiego ośrodka występują
kwadraty pewnych wielkości oraz na to, że w definicji parametrów wektora Stokesa pojawiają
się funkcje trygonometryczne – jako końcowy efekt obliczeń numerycznych otrzymuje się
zestaw dwóch rozwiązań, które opisują oba wektory własne ośrodka. Rozstrzygnięcie, które z
wyliczonych parametrów opisują pierwszą, a które drugą falę własną, trzeba zostawić
dodatkowemu pomiarowi, najlepiej z użyciem wycechowanego elementu dwójłomnego (na
przykład płytki fazowej bądź klina Wollastona).
2. Przebieg pomiarów
Pomiary realizujemy w układzie polarymetrycznym, opisanym w instrukcji roboczej
(przy stanowisku). Przed przystąpieniem do wykonania ćwiczenia należy zapoznać się z
instrukcją roboczą przy stanowisku pomiarowym – zwrócić szczególna uwagę na sposób
justowania układu oraz zalecenia dotyczące ustawień mocy. Badaną próbkę umieszczamy
w środkowym elemencie układu (4c). Polaryzator 4a służy do wytworzenia testowych wiązek
świetlnych spolaryzowanych liniowo o kątach azymutu kolejno: 1  0 , 2  90 i
 3  45 . Płytka ćwierćfalowa 4b jest w tym układzie pomiarowym nieużywana –
ewentualnie może stanowić obiekt pierwszego, kontrolnego pomiaru, gdyż znane są jej
parametry polaryzacyjne, które chcemy wyznaczyć w ćwiczeniu. Elementy 4e i 4f (płytka
5
ćwierćfalowa i analizator liniowy) służą do analizy stanu polaryzacji światła na wyjściu z
układu, zgodnie z tradycyjnym schematem, prezentowanym na przykład w pracy [1].
Detektor na końcu układu służy zarówno do pomiaru potrzebnych natężeń wiązki świetlnej
przed i po przejściu przez badany ośrodek jak i wyszukiwania minimów natężenia światła
podczas analizy stanu jego polaryzacji. Sugerowany przebieg pomiarów wygląda następująco:
1) ustawić polaryzator 4a na azymut 0; wyłączyć z biegu wiązki ćwierćfalówki 4b i 4e,
analizator 4f oraz próbkę (umieszczoną w oprawie 4c); zmierzyć natężenie światła I 1 bez
próbki;
2) włączyć do układu próbkę (4c) poprzez całkowite wsunięcie obrotowej oprawy z próbką
w bieg wiązki świetlnej, ustawiając skalę na jej oprawie na "zero"; zmierzyć natężenie światła
I 1' po przejściu przez próbkę;
3) włączyć do układu analizator 4f; obracając analizatorem znaleźć i zanotować takie jego
położenie  p , przy którym natężenie na wyjściu jest najmniejsze (w celu przedyskutowania
niepewności pomiarowych warto zanotować wartość tego natężenia); istnieją oczywiście dwa
takie położenia, różniące się o 180; szukany kąt azymutu światła na wyjściu różni się o 90
od azymutu analizatora  p , przy którym nastąpiło maksymalne wygaszenie – wyliczamy go
więc ze wzoru:  1   p  90 ; (znak w równaniu wybieramy tak, aby wartość obliczonego
kąta  1 mieściła się pomiędzy 0 i 180, tym niemniej program komputerowy "poradzi" sobie
z dowolną wartością, zamieniając ewentualnie miejscami dwa możliwe rozwiązania);
[W przypadku, gdy światło jest spolaryzowane dokładnie kołowo, natężenie na wyjściu
układu nie powinno zależeć od położenia analizatora - w tym przypadku możemy przyjąć
arbitralnie dowolną wartość  1 jako kąt azymutu. W praktyce, ze względu choćby na
niedoskonałość polaryzatorów, zawsze będzie istniało minimum natężenia - jakkolwiek jego
wartość będzie nieznacznie tylko mniejsza od wartości natężenia światła przy dowolnym
innym położeniu analizatora. W przypadku światła spolaryzowanego kołowo lub "prawie
kołowo" wartość wyznaczonego kąta azymutu  1 jest praktycznie ignorowana przez
procedury obliczeniowe - oba parametry M i C wektora Stokesa są bliskie zeru];
4) włączyć ćwierćfalówkę 4e i ustawić ją na kącie azymutu  c   1   a  90 (por. praca
[1]); obracać analizatorem do znalezienia położenia  k maksymalnego wygaszenia; obliczyć
kąt eliptyczności 1 badanego światła ze wzoru: 1   k   p (pamiętając, że kąt
eliptyczności winien się zawierać w przedziale <-45, +45>; można zastosować tu procedurę
6
ustalania właściwej wartości 1 opisaną w [1], jakkolwiek pozostaje w mocy uwaga
uczyniona w podpunkcie 3) dotycząca sposobu obliczeń przez program komputerowy);
5) powtórzyć procedurę według punktów 1)  4), zmieniając azymut stanu polaryzacji
światła na wejściu kolejno na 90 (otrzymujemy wyniki: I 2 , I 2' ,  2 i  2 ), a następnie na 45
(wyniki: I 3 , I 3' ,  3 i  3 ) – por. Rys.1.
Uwaga: w przypadku używania jako źródła światła lasera, który wytwarza światło
spolaryzowane
liniowo,
należy
przy
każdej
zmianie
ustawienia
wejściowego
polaryzatora zadbać o zapewnienie maksimum sygnału na detektorze – poprzez obrót
lasera w oprawie 1 – por. instrukcja robocza przy stanowisku.
6) pomiary można powtórzyć dla innych położeń próbki (inne ustawienie w podpunkcie
2)) w celu weryfikacji wyników;
7) wykonać pomiary dla innej próbki.
W podpunkcie 1) opisano oczywiście syntezę światła spolaryzowanego liniowo a w
podpunktach 3) i 4) analizę stanu polaryzacji światła w wersji skróconej dla przypadku
całkowitej polaryzacji. Można więc w razie niejasności posłużyć się opisem zawartym w
rozdziale 12.1 pracy [1].
3. Opracowanie wyników
Obliczamy parametry ośrodka dwójłomnego: kąt azymutu  i kąt eliptyczności 
pierwszego wektora własnego ośrodka, współczynniki transmisji amplitudowej fali szybkiej i
wolnej T f i Ts oraz wprowadzane przesunięcie fazowe  . Porównujemy wyniki uzyskane
podczas powtórnych pomiarów (po zmianie kąta orientacji próbki).
Uwaga: Do obliczeń można wykorzystać prosty program komputerowy "POLAR",
napisany na potrzeby naszego laboratorium przez W.A. Woźniaka. Można te obliczenia
również wykonać samemu, wykorzystując na przykład algorytm, podany w pracy [2].
Literatura:
[1] F. Ratajczyk, „Dwójłomność i polaryzacja optyczna”, Oficyna Wydawnicza Politechniki
Wrocławskiej, 2000
[2] W.A. Woźniak, P. Kurzynowski, „The Method of Measurement of Optical Properties of
Birefringent Media”, Optik, 96, 147 (1994)
7
II
Metoda
pomiaru
parametrów
polaryzacyjnych
niedichroicznego
ośrodków
dwójłomnych
Idea metody i wizualizacja na sferze Poincarego
Metoda polega na tym, że dokonuje się dwóch pomiarów:
a) pomiar pierwszy - na ośrodek dwójłomny pada fala świetlna o znanym kącie azymutu
1 i kącie eliptyczności 1 ; należy zmierzyć kąt azymutu  1' i kąt eliptyczności 1' fali
za ośrodkiem,
b) pomiar drugi – dla innego stanu polaryzacji 1 , 2 fali padającej; należy zmierzyć
inne (w ogólności) parametry polaryzacyjne  2' , 2' fali za ośrodkiem.
Znając parametry fal przed i za ośrodkiem w obu pomiarach, można obliczyć parametry
ośrodka, to znaczy kąt azymutu  f i kąt eliptyczności  f pierwszego wektora własnego
ośrodka oraz różnicę faz  wnoszoną przez ten ośrodek.
gdzie:
V f , s - punkt reprezentujący pierwszy (drugi) wektor własny Stokesa ośrodka,
V1, 2 - punkty reprezentujące stan polaryzacji fal padających w pierwszym i drugim pomiarze,
V1,, 2 - punkty reprezentujące stan polaryzacji fal za ośrodkiem w pierwszym i drugim
pomiarze.
8
Spostrzeżenie: ponieważ ośrodek jest niedichroiczny, to odległość kątowa punktu na
sferze Poincarego reprezentującego stan polaryzacji światła za ośrodkiem od punktu
reprezentującego właściwości polaryzacyjne ośrodka (kąt azymutu i kąt eliptyczności
pierwszego lub drugiego wektora własnego ośrodka) jest taka sama jak odległość
kątowa punktu reprezentującego na sferze Poincarego stan polaryzacji światła
padającego od punktu reprezentującego właściwości polaryzacyjne ośrodka.
Uwagi:
a) spostrzeżenie to jest słuszne dla każdej różnicy faz wnoszonej przez
niedichroiczny ośrodek dwójłomny ,
b) odległość kątowa, o której mowa w spostrzeżeniu, jest oczywiście inna dla innej
pary stanów polaryzacji światła padającego i światła za ośrodkiem.
Graficznie oznacza to, że gdy wizualizuje się transformację stanu polaryzacji światła przez
ośrodek niedichroiczny na sferze Poincarego (metoda cyrkla i ołówka), to rysowany łuk
wiążący punkt reprezentujący na tej sferze stan polaryzacji światła padającego z punktem
reprezentującym stan polaryzacji światła za obiektem (jak również wewnątrz niego) ma stałą
krzywiznę (rozwartość cyrkla jest stała).
Matematycznie (patrz rysunek):
 
 
 V1 ,V f  V1' ,V f
 
 
 V2 ,V f  V2' ,V f
oraz


 
 


Obliczenia
Z definicji iloczynu skalarnego dwóch wektorów wynika, że
M1 , C1 , S1  M f , C f , S f   M1' , C1' , S1'  M f , C f , S f 
M 2 , C2 , S2  M f , C f , S f   M 2' , C2' , S2'  M f , C f , S f 
gdzie
M 1, 2, f  cos 21, 2, f  cos 21, 2, f , C1, 2, f  sin 21, 2, f  cos 21, 2, f , S1, 2, f  sin 21, 2, f
M 1' , 2  cos 21' , 2  cos 21', 2 , C1' , 2  sin 21' , 2  cos 21', 2 , S1' , 2  sin 21', 2
9
Po przekształceniach
tg2 f
M  M S  S   M  M S  S 

C  C S  S   C  C S  S 
cos 2 M  M   sin 2 C  C 


'
1
'
1
1
1
tg 2 f

f
'
2
'
2
2
2
'
2
2
'
1
1
'
2
2
f
'
1
1
1
'
1
1
'
1
S1  S1'
cos 2 f M 2  M 2'   sin 2 f C2  C2' 
S 2  S 2'
 - z zależności trygonometrycznych (bardziej złożone wzory)
Przebieg ćwiczenia:
1. Uruchomić układ pomiarowy (włączyć zasilanie lasera, detektora, miernika).
2. Wstawić w bieg wiązki badany obiekt (jego położenie w układzie określa
prowadzący).
3. Za pomocą liniowego polaryzatora i ćwierćfalówki wytworzyć światło o określonym
stanie polaryzacji (zanotować kąt azymutu i kąt eliptyczności tego światła).
4. Za pomocą modułu analizy stanu polaryzacji światła (ćwierćfalówka i liniowy
analizator; to inny moduł niż moduł do wytwarzania światła o zadanym stanie
polaryzacji!) określić kąt azymutu i kąt eliptyczności światła za badanym obiektem
oraz zanotować te kąty.
5. Czynności 3. i 4. powtórzyć dla światła o innym stanie polaryzacji.
6. Korzystając z programu zainstalowanego na wskazanym przez prowadzącego
komputerze obliczyć kąt azymutu  f i kąt eliptyczności  f pierwszego wektora
własnego ośrodka oraz różnicę faz  wnoszoną przez ten ośrodek.
10