VIII Podkarpacki konkurs Matematyczny

XIV Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Propozycje schematu punktowania:
Poziom II - etap rejonowy
Zadanie 1.
Zapisanie układu równań jaki muszą spełniać współczynniki a, b
1 pkt.
Doprowadzenie do równania z jedną niewiadomą:
2 pkt.
(z pierwszego równania)
, stąd wstawiając do drugiego:
.
Rozwiązanie równania:
Obliczenie b i podanie rozwiązania:
2 pkt.
1 pkt.
.
.
Zadanie 2.
Wyznaczenie dziedziny funkcji:
Przekształcenie funkcji do postaci:
.
Wyznaczenie x, dla których wyrażenie
rozwiązanie równań:
Stąd
.
Sprawdzenie dla jakich x wartość
(-2,2), (0,4), (4,4), (6,2).
będzie całkowite poprzez
jest całkowita i podanie odpowiedzi:
Zadanie 3.
Skorzystanie z nierówności o średnich:
;
;
Wyciągnięcie wniosku:
;
2 pkt.
1 pkt.
2 pkt.
.
1 pkt.
Przekształcenie wyrażenia:
Skorzystanie z nierówności:
1 pkt.
2 pkt.
.
(bo
Wyciągnięcie wniosku:
)
.
1
3 pkt.
Zadanie 4.
Oznaczmy szukany kąt przez α. Wystarczy, że rozpatrzymy dwa przypadki: α – kąt
ostry lub α – kąt rozwarty (α nie może być kątem prostym, bo wtedy punkty AOB są
współliniowe)
Za rozpatrzenie każdego przypadku 3 pkt.
rys. 1
rys. 2
I przypadek: α – kąt ostry (rys. 1)
(kąt środkowy i wpisany oparte na tym samym łuku)
(suma katów w czworokącie)
(kąty wpisane oparte na tym samym łuku)
Stąd
i α = 60°.
II przypadek: α – kąt rozwarty (rys. 2)
3 pkt.
3 pkt.
(suma katów w czworokącie)
(warunek opisania okręgu na czworokącie AOBH)
Stąd α = 120°.
Zadanie 5.
Ponieważ n i 6 są względnie pierwsze to n nie dzieli się przez 2 i przez 3.
Zapisanie liczby
Wyciągnięcie wniosku, że liczby: n-2, n-1, n, n+1, n+2 to pięć kolejnych liczb
całkowitych.
Ponieważ n nie dzieli się przez 2, to n-1 i n+1 to liczby parzyste i jedna z nich jest
podzielna przez 4, stąd iloczyn (n-1)(n+1) jest podzielny przez 8.
Ponieważ co trzecia liczba dzieli się przez 3 i n nie dzieli się przez 3, to (n-2) i (n+1)
albo (n-1) i (n+2) są podzielne przez 3. Stąd nasza liczba dzieli się przez 9.
Ponieważ
dzieli się przez 8 i przez 9 to dzieli się przez 72.
2
3 pkt.
3 pkt.