Atom wodoru - biofizyka.p.lodz.pl

r. akad. 2012/2013
Atom wodoru
wykład 5-6
Podstawy Procesów i
Konstrukcji Inżynierskich
Atom wodoru
Zakład Biofizyki
1
Atom wodoru
Model atomu Thompsona
w 1903 J.J. Thompson zaproponował
model budowy atomu, zgodnie z
którym ujemnie naładowane elektrony
znajdują się wewnątrz pewnego
obszaru, w którym w sposób ciągły
rozłożony jest ładunek dodatni
Model atomu typu „ciastka z rodzynkami”
w wyniku wzajemnego odpychania
elektrony
są
jednorodnie
rozmieszczone
wewnątrz
kuli
utworzonej z ładunku dodatniego
sumaryczny ładunek dodatni kuli równy jest sumarycznemu
ładunkowi elektronów, tak więc atom jako całość jest obojętny
elektrycznie.
Zakład Biofizyki
2
Atom wodoru
Doświadczenie Rutherforda
E. Rutherford ze współpracownikami przeprowadził doświadczenie, które umożliwiało
określenie rozkładu dodatnich i ujemnych ładunków we wnętrzu atomu
w doświadczeniu użyto cząstek α; obserwowano zmianę kierunku ich lotu (rozproszenie) przy
przechodzeniu przez cienka warstwę materii. Okazało się, że pewna liczba cząstek α
rozpraszana jest pod bardzo dużymi kątami (prawie 180°)
Zakład Biofizyki
3
Atom wodoru
Model atomu Rutherforda
Rutherford w 1911 r. zaproponował jądrowy model atomu, który ma
postać układu ładunków - w środku znajduje się ciężkie dodatnio
naładowane jądro o ładunku Ze, a wokół jądra, w całej objętości
zajmowanej przez atom, rozmieszczone jest Z elektronów. Prawie
cała masa atomu skupiona jest w jądrze
10-10m
10-15m
Zakład Biofizyki
4
Atom wodoru
Problemy modelu Rutherforda
1. Utrata energii przez elektrony krążące po
okręgu – elektron spada na jądro.
Zakład Biofizyki
2. Pomiar promieniowania emitowanego przez
gazy pobudzone do świecenia – widma
atomowe nie są ciągłe .
5
Atom wodoru
Serie widmowe atomu wodoru
2. Seria Balmera – widmo widzialne
1. Seria Lymana – w dalekim nadfiolecie
Seria Paschena – w dalekim nadfiolecie, przejście na orbital n = 3 (inaczej seria M)
Seria Bracketta, w podczerwieni, przejście na orbital n = 4 (inaczej seria N)
Seria Pfunda, w podczerwieni, przejście na orbital n = 5 (inaczej seria O)
Seria Humphreysa, w podczrwieni, przejście na orbital n = 6 (inaczej seria P)
Zakład Biofizyki
6
Atom wodoru
Model Bohra atomu wodoru
model Bohra atomu wodoru opisuje atom wodoru jako
układ, w którym elektron krąży wokół jądra (protonu) po
orbitach kołowych,
dozwolone są tylko te orbity, na których elektron ma
moment pędu o wartości będącej wielokrotnością stałej ħ:
mrn vn = nh
Niels BOHR (1885-1962),
fizyk duński
gdzie n jest liczbą naturalną określającą numer
orbity.
n można utożsamiać z główną liczbą kwantową.
rn promień dozwolonej orbity kołowej
vn prędkość elektronu na n-tej orbicie
Zakład Biofizyki
7
Atom wodoru
Model Bohra atomu wodoru
2
h
Rn = n 2
k0 Zme 2
2
k
Ze
v2 = 0
nh
promień n-tej orbity
prędkość elektronu na n-tej orbicie
2
2
2


Z
me
1
Z
2
E n = −k0
= −13,6 ⋅  2 eV
2
2
2h n
n 
Model Bohra daje prawidłowe wartości energii i długości emitowanych
fal, jednak nic nie mówi o innych liczbach kwantowych, od których
zależy stan elektronu
Zakład Biofizyki
8
Atom wodoru
Trójwymiarowe równanie Schrödingera
Atom wodoru jest trójwymiarowy dlatego należy rozważyć cząstkę
znajdującą się w trójwymiarowym pudle potencjału
Funkcja falowa takiej cząstki ma postać:
Ψ = Asink x sink y sink z
Różniczkujemy dwukrotnie po x,y i z
∂ 2Ψ
2
2
=
−
k
A
sin
k
x
sin
k
y
sin
k
z
=
−
k
x
x
y
z
xΨ
2
∂x
W konsekwencji otrzymamy
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
2
+
+
=
−
k
Ψ
2
2
2
∂y
∂z
∂x
Zakład Biofizyki
9
Atom wodoru
Trójwymiarowe równanie Schrödingera
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
2
+
+
=
−
k
Ψ
2
2
2
∂x
∂y
∂z
2m
k = 2 ( E −U0 )
h
2
Korzystając z tego, że
Otrzymujemy niezależne od czasu równanie Schrödingera w trzech
wymiarach
∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ
2m
+ 2 + 2 = − 2 (E − U)Ψ
2
∂x
∂y
∂z
h
2
Zakład Biofizyki
2
2
10
Atom wodoru
Trójwymiarowe równanie Schrödingera
W przypadkach kiedy energia potencjalna zależy jedynie od odległości
r = x 2 + y 2 + z 2 wygodnie
jest
zapisać
równanie
Schrödingera
we
współrzędnych kulistych
x = r sinθ cos Φ
y = r sinθ sinΦ
z = r cos θ
1 ∂ 2 ∂Ψ
1
∂
∂Ψ
1
∂ 2Ψ
2m
(
r
)
+
(sin
)
+
=
−
( E − U )Ψ
θ
2
2
2
2
2
2
r ∂r
∂r
r sinθ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂Φ
h
Zakład Biofizyki
11
Atom wodoru
Orbitalny moment pędu
Liczba kwantowa l zwana orbitalną liczbą kwantową określa dozwolone
wartości momentu pędu
Ll = l ( l + 1 )h ,
l = 0 ,1 ,2 ,..., n − 1
Liczba m, nazywana magnetyczną liczbą kwantową, określa z kolei
dozwolone wartości rzutu wektora momentu pędu elektronu na kierunek
osi z układu współrzędnych. Są one równe wielokrotności stałej Plancka
Lz ,lm = mh
Zakład Biofizyki
m = − l ,− l + 1 ,...,−1 ,0 ,1 ,..., l − 1 , l
12
Atom wodoru
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru otrzymuje się wstawiając
U=-k0e2/r ; ∂Ψ/∂ θ =0 oraz ∂ Ψ /∂φ=0
Jako rozwiązanie przyjmujemy
Ψ = e−r / a
k0 e 2 − r/a
1 ∂ 2 ∂(e − r/a )
2m
(r
) = − 2 (E +
)e
2
r ∂r
∂r
h
r
Po zróżniczkowaniu
k0 e 2
1 r 2 2r
2m
( 2 − ) = − 2 (E +
)
2
r a
a
h
r
Zakład Biofizyki
13
Atom wodoru
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru
2
 1   2  1  2 mE   2 mk0 e  1
 a 2  −  a  r = − h 2  −  h 2  r
   

 

Porównujemy współczynniki przy 1/r i wyrazy stałe
2
 2   2mk0 e 

  = 
2
a  h

 1   2 mE 
 a 2  = − h 2 
  

h2
E = − k0
2 ma 2
h2
a=
k0 me 2
4
me
E = −k
2h 2
2
0
Zakład Biofizyki
E=-13,6 eV – jest to minimalna energia
potrzebna do oderwania elektronu od
atomu wodoru i jest nazywana
energią wiązania
14
Atom wodoru
Równanie Schrödingera dla atomu wodoru
h2
− 11
R=
= 5,3 ⋅ 10 m
2
k0 me
promień atomu wodoru
Funkcje falowe odpowiadające kolejnym poziomom energetycznym
mają postać:
2r 2r 2 − r 3 a
Ψ3 = ( 1 − +
)e
2
3a 27 a
r − r 2a
Ψ 2 = ( 1 − )e
2a
Spełniają one równanie Schrödingera pod warunkiem, że
1
E3 = E1
9
1
E2 = E1
4
4
1 2 me
E n = − 2 k0
n
2h 2
Zakład Biofizyki
poziomy energetyczne atomu wodoru
gdzie n, tzw. główna liczba kwantowa,
jest dowolną liczbą całkowitą
15
Atom wodoru
Orbitalny moment pędu
Paczka fal o liczbie falowej k porusza się po okręgu o promieniu R
Lz = Rp = R( hk )
s = RΦ
moment pędu paczki fal względem osi z
s – długość łuku
Ψ ≈ e i(ks−ωt) = e i(kRΦ −ωt)
Ponieważ
Ψ(φ=0) oraz
Ψ(φ=2π)
odnoszą się do tego samego punktu
przestrzeni więc
eikR( 0 ) = eikR( 2π ) → 1 = ei 2πkR
hkR = ml h
Zakład Biofizyki
⇔ kR = ml
gdzie ml jest liczbą całkowitą
Lz = m l h
16
Atom wodoru
Orbitalny moment pędu
Moment pędu jest wielkością wektorową. W mechanice
kwantowej możemy jednocześnie zmierzyć jego kwadrat
długości L2 i jedną ze składowych (rzut momentu pędu na
wyróżnioną oś) Lz.
L2 = l(l + 1)h 2
Lz = m h
Wektor orbitalnego momentu pędu jest opisywany przez
podanie dwóch liczb kwantowych l i m
Zakład Biofizyki
17
Atom wodoru
Orbitalny moment pędu
Wektor Ll może być więc skierowany tylko pod określonymi kątami
względem osi z. Zjawisko to nazywamy kwantowaniem przestrzennym
kierunku momentu pędu elektronu.
Ponieważ magnetyczna liczba kwantowa m może przybierać
wszystkie całkowite wartości od –l do l tj. 2l+1 różnych wartości,
wektor Ll może być skierowany pod 2l+1 kątami względem os z, czyli
dla elektronu, dla którego l=1, możliwe są trzy ustawienia wektora Ll.
Zakład Biofizyki
18
Atom wodoru
Emisja fotonu
w teorii kwantowej istnieje prawdopodobieństwo tego, że elektron, znajdujący
się w stanie energetycznym wyższym niż podstawowy, przejdzie do stanu
podstawowego jednocześnie emitując foton
zjawisko emisji fotonu nazywane jest emisją spontaniczną
foton emitowany podczas przejścia z poziomu energetycznego Em na poziom
En posiada energię hf=Em-En zaś częstotliwość takiego fotonu wynosi f=(EmEn)/h
Zakład Biofizyki
19
Atom wodoru
Emisja fotonu
W
atomie
posiadającym
cztery różne poziomy energetyczne
jest możliwe sześć różnych przejść z
wyższych
poziomów
na
niższe.
Emitowane
przez
taki
atom
promieniowanie powinno zawierać
sześć częstotliwości.
Normalnie atomy znajdują się w stanie podstawowym i nie
światła. Jeżeli jednak do atomu dostarczymy energii z zewnątrz
skutek zderzenia z innym atomem lub na skutek absorpcji kwantu
to elektron ze stanu podstawowego przejdzie na wyższy
energetyczny – atom zostanie wzbudzony.
Zakład Biofizyki
emitują
np.: na
światła,
poziom
20
Atom wodoru
Widmo wodoru
Korzystając ze wzoru na poziomy energetyczne wodoru, można
obliczyć całe widmo atomowe wodoru.
4
me
1
2
Em = − k o
2h 2 m 2
Em oznacza poziomy wzbudzone
me 4 1
En = − k 0 2 2
2h n
En oznacza poziomy niższe
Częstotliwości linii widmowych będą równe:
4
me
1 
 1
2
f = k0
− 2
3  2
4h π  n
m 
Zakład Biofizyki
21
Atom wodoru
Widmo wodoru
Zakład Biofizyki
22
Atom wodoru
Zakład Biofizyki
23
Atom wodoru
Absorpcja fotonu
światło o widmie ciągłym przechodząc przez chłodny gaz powoduje
wzbudzanie atomów gazu,
pochłaniane są te fotony, których energia dokładnie odpowiada różnicy
pomiędzy poziomami energetycznymi
światło po przejściu przez gaz jest pozbawione fotonów o energiach (E2-E1), (E3E1), (E4- E1) itd.
Proces wzbudzania atomów na wyższe poziomy
energetyczne przez ich oświetlanie nosi nazwę
pompowania optycznego
Zakład Biofizyki
24
Atom wodoru
Emisja wymuszona
Zjawisko
polegające
na
przyspieszeniu
przejść
atomowych wskutek oświetlenia wzbudzonych atomów
„światłem” nazywa się emisją wymuszoną
Foton wysyłany podczas emisji wymuszonej będzie miał taką
samą fazę oraz taki sam kierunek jak foton wymuszający.
Zakład Biofizyki
25
Atom wodoru
Emisja wymuszona
Jeśli atom znajduje się w stanie wzbudzonym Em to może emitować foton
o energii (Em-En). Umieszczając taki atom w polu promieniowania
zewnętrznego, które zawiera fotony o energii równej (Em-En), zwiększymy
prawdopodobieństwo wypromieniowania fotonu przez ten atom.
Zakład Biofizyki
26
Atom wodoru
Laser
Zakład Biofizyki
27
Atom wodoru
Laser
W laserze helowo-neonowym atomy neonu są wzbudzane na
poziom En’ w trakcie zderzeń ze wzbudzonymi atomami helu.
Przejście na poziom En zachodzi wskutek emisji wymuszonej.
Następnie atomy neonu szybko przechodzą do stanu
podstawowego oddając energię w zderzeniach ze ścianami
ośrodkami czynnymi w laserach mogą być
gazy, ciała stałe i ciecze
zakres promieniowania emitowanego przez
lasery jest bardzo szeroki, od podczerwieni,
przez obszar widzialny aż do nadfioletu
Zakład Biofizyki
28
Atom wodoru
Zastosowanie laserów
Technologia wojskowa
Dalmierze – pomiar odległości celu
Schemat działania laserowego działa
Tactical High Energy Laser (THEL)
Zakład Biofizyki
29
Atom wodoru
Zastosowanie laserów
Medycyna
Lasery są wykorzystywane w medycynie do takich celów jak:
diagnostyka (lasery diagnostyczne);
terapia schorzeń (lasery stymulacyjne i chirurgiczne);
oświetlanie pola operacji.
Laserów używa się przede wszystkim dla "twardej" obróbki tkanek:
• cięcia,
• koagulacji,
• odparowania (fotoablacji oraz ablacji stymulowanej plazmą)
• obróbki mechanicznej (rozrywania, fragmentacji czy kawitacji)
Zakład Biofizyki
30
Atom wodoru
Zastosowanie laserów
Telekomunikacja - zapis i odczyt
danych
Zakład Biofizyki
31
Atom wodoru
Zastosowanie laserów
Telekomunikacja - nadajniki laserowe
przy transmisji światłowodowej
Zakład Biofizyki
32
Atom wodoru
Zastosowanie laserów
Holografia
Zakład Biofizyki
33
Atom wodoru
Zastosowanie laserów
Przemysł
• poligrafia,
• cięcie metali,
• znakowanie produktów.
• spawanie metali.
• obróbka cieplna.
Koło zębate wykonane poprzez cięcie
laserowe
Spawarka laserowa
Zakład Biofizyki
Wycinarka laserowa
34