Metadane scenariusza

1.
2. W poszukiwaniu liczb pierwszych
a) 1. Cele lekcji
Uporządkowanie i pogłębienie wiadomości dotyczących liczb pierwszych, a także wzbudzanie
aktywności i zainteresowań uczniów, wyrabianie postawy badawczej i twórczej, wyrabianie wśród
uczniów szeroko pojętej kultury informatycznej, wzbudzanie u ucznia satysfakcji z dobrze wykonanego
zadania, wdrożenie do współpracy, kształcenie postawy współodpowiedzialności, życzliwości,
wspierania działań w kierunku: „najpierw zrozum sam - potem bądź zrozumiany”.
a) Wiadomości
Uczeń powinien:
• znać definicję liczby pierwszej i liczby złożonej
•
wiedzieć, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele
b) Umiejętności
Uczeń powinien:
•
umieć uzasadnić, że każda liczba złożona a ma dzielnik p nie większy niż
•
umieć uzasadnić, że liczbę pierwszą da się przedstawić w postaci 6i + 1 lub 6i – 1 , i = 1,2,3...
•
ćwiczyć przeprowadzanie dowodów metodą nie wprost
•
umieć przeprowadzać operacje argumentowania i wnioskowania
•
samodzielnie wyszukiwać informacje, a także analizować ich przydatność do danego tematu
•
umieć skonstruować algorytm sprawdzający, czy liczba jest pierwsza oraz algorytm generujący
liczby pierwsze
•
umieć prezentować swoją pracę
•
umieć samodzielnie zdobywać wiedzę
a
b) 2. Metoda i forma pracy
Projektu, poszukująca , czynnościowa
c) 3. Środki dydaktyczne
Wideoprojektor, stanowiska komputerowe z zainstalowanym arkuszem kalkulacyjnym Excel,
prezentacje przygotowane przez uczniów
d) 4. Przebieg lekcji
a) Faza przygotowawcza
Na tydzień przed lekcją uczniowie są poinformowani o jej temacie oraz o sposobie i formie
przygotowania się do niej. Uczniowie są podzieleni na trzy grupy stosownie do swoich zainteresowań
i uzdolnień.
Pierwszą grupę tworzą uczniowie, wykazujący większe zainteresowanie matematyką. Mają opracować
treści, dające odpowiedzi na następujące pytania:
-
Ile jest liczb pierwszych?
-
W jaki sposób zbadać, czy liczba jest pierwsza?
-
Jakiej postaci liczby mogą być liczbami pierwszymi?
-
Czy znane są wzory generujące wiele liczb pierwszych?
Zadaniem uczniów drugiej grupy jest przedstawienie – metodą sita Eratostenesa – pozyskiwania liczb
pierwszych, mniejszych od zadanej liczby, a także uzasadnienie, dlaczego „sito” jest dobre, to znaczy,
dlaczego jesteśmy pewni, że sposobem Eratostenesa wyznaczymy wszystkie liczby pierwsze w danym
zakresie. Dodatkowo uczniowie mają odpowiedzieć na pytania:
-
Co to są liczby bliźniacze?
-
Co to są liczby pierwsze palindromiczne, odwracalne, izolowane?
-
Jaka jest wartość największej znanej liczby pierwszej?
Trzecią grupę tworzą uczniowie o większych zainteresowaniach informatycznych, którzy pod
kierunkiem nauczycieli matematyki i informatyki utworzą procedury do badania i wyznaczania liczb
pierwszych. Każda grupa ma przedstawić opracowane zagadnienia w postaci prezentacji
multimedialnej. Uczniowie danej grupy będą oceniani przez nauczyciela (nauczycieli: matematyki i
informatyki) oraz kolegów z innych grup wg poniższych kryteriów.
Kategoria
Zawartość
Poprawność
Czytelność
Kryteria oceny prac uczniów
5
3
1
Pełne
Dobre
Brak pełnego
zrozumienie
zrozumienie
zrozumienia tematu
tematu
części tematu
Zapis treści
Dopuszczalne
(twierdzeń,
dwa błędy
Więcej niż dwa
dowodów,
rzeczowe lub
błędy rzeczowe
algorytmów) jest
logiczne
poprawny
Niektóre
informacje nie są
Zapis treści jest
jasno
czytelny,
Wiele informacji
sformułowane.
informacje są
przedstawionych
lub nie są
ułożone
jest w zawiły
odpowiednio
w logicznej
sposób
ułożone, brakuje
kolejności
też podstawowych
informacji
Ocena
Wszystkie źródła Niektóre źródła Źródła i grafiki nie
i grafiki są
i grafiki są
są udokumentowane
Źródła
udokumentowane udokumentowane w wymaganym
w wymaganym w wymaganym formacie; za mało
formacie
formacie
źródeł
Mniej niż pięć
Więcej niż pięć
błędów
błędów
Brak błędów
Błędy pisowni
gramatycznych,
gramatycznych,
pisowni
pisowni lub
pisowni lub
wypunktowania
wypunktowania
Treści
Prezentacja
Bardzo dobra
Dobra
prezentowane są
niedbale
Ocena końcowa
Przez cały czas przygotowań do lekcji nauczyciele: matematyki i informatyki pozostają do dyspozycji
uczniów oraz służą im radą i pomocą.
b) Faza realizacyjna
Uczniowie przedstawiają za pomocą wideoprojektora przygotowane zagadnienia w postaci prezencji
multimedialnej. Nauczyciel koordynuje pracę uczniów, pomaga w wyjaśnianiu trudnych treści.
Pozostali uczniowie sporządzają notatki w zeszytach.
1. Prezentacja przez uczniów I grupy następujących treści:
a. dowód na istnienie dzielnika liczby złożonej a mniejszego niż
a
b. dowód Euklidesa na nieskończoność zbioru liczb pierwszych
c. dowód na to, że liczb pierwszych należy szukać wśród liczb postaci 6i + 1 lub 6i – 1,
i = 1,2,3...
d. wzory generujące liczby pierwsze (liczby Eulera, Euklidesa, Fermata, Mersenne’a)
2. Ile dzieleń należy wykonać, aby stwierdzić, że liczba 2003 jest liczbą pierwszą?
3. Prezentacja treści przygotowanych przez II grupę:
a. przykład wyszukiwania liczb pierwszych mniejszych od 100 metodą sita Eratostenesa
b. liczby pierwsze bliźniacze, palindromiczne, odwracalne, izolowane
4. Jak długo należy kontynuować sposób Eratostenesa, aby mieć pewność, że wyznaczyliśmy
wszystkie liczby pierwsze w danym zakresie?
5. Uczniowie z grupy III objaśniają algorytmy (zapisane w Visual Basic for Applications) do
sprawdzania i generowania liczb pierwszych przedstawione na slajdach.
6. Uczniowie pod kierunkiem uczniów grupy III wykonują następujące zadanie:
Otwórz plik „arkusz do ćwiczeń.xls”. Wykorzystaj wzory generujące dużo liczb pierwszych
funkcję Primetest do wypisania liczb pierwszych. Który wzór generuje najwięcej kolejnych
liczb pierwszych? Wybierz dwie liczby pierwsze i sprawdź, czy są postaci 6i + 1 lub 6i – 1,
gdzie i = 1, 2, 3...
i
7. Praca przy komputerach indywidualna (lub w parach) z kartą pracy (załącznik 1)
Podczas rozwiązywania zadań uczniowie grupy III pełnią rolę koordynatorów i konsultantów.
c) Faza podsumowująca
1. Ocena prac uczniów z danej grupy przez nauczyciela (nauczycieli matematyki i informatyki)
oraz uczniów z innych grup, według kryteriów zamieszczonych w tabelce.
2. Zadanie zróżnicowanej pracy domowej.
e) 5. Bibliografia
M. Sysło, Piramidy, szyszki i inne konstrukcje algorytmiczne, WSiP, Warszawa 1998.
f) 6. Załączniki
a) Karta pracy ucznia
załącznik 1
W następnym arkuszu pliku: „arkusz do ćwiczeń.xls”, nadaj komórce B4 wartość równą 1. Uaktywnij
ją, uruchom makro Prime number_generator i wygeneruj 70 liczb pierwszych
Wykorzystaj funkcję Primetest i odpowiedz na następujące pytania:
a. Jaką liczbą, pierwszą czy złożoną, jest iloczyn kolejnych, początkowych liczb pierwszych
powiększony o 1?
………………………………………………………………………………………….............
b. Żadna liczba n! z wyjątkiem 1 i 2 nie może być pierwsza - ma przecież bardzo dużo czynników.
Czy są liczby pierwsze postaci (n! + 1) lub (n! – 1)?
…………………………………………………………………………………………..............
c. Liczby tworzą ciąg arytmetyczny, jeśli różnica dwóch kolejnych liczb ciągu jest stała. Wypisz
cztery kolejne liczby pierwsze, które tworzą ciąg arytmetyczny (zaznacz je w arkuszu czerwoną
czcionką).
…………………………………………………………………………………………………….
d. Liczby bliźniacze, to liczby pierwsze różniące się o 2. Znajdź przykłady takich liczb.
……………………………………………………………………………………………………
e.
Liczby Mersenne’a to liczby postaci: 2 p – 1 , gdzie p jest liczbą pierwszą.
Ile początkowych liczb Mersenne’a jest pierwszych?
…………………………………………………………………………………………………….
Zapisz efekty swojej pracy w pliku „wyniki badań liczb pierwszych.xls.”
b) Zadanie domowe
Praca obowiązkowa:
Ile dzieleń należy wykonać, aby sprawdzić, że trzydziestocyfrowa liczba
200000000000000000000000000003 jest liczbą pierwszą? Jak długo będzie trwać sprawdzanie, jeśli
jedno dzielenie trwa 0,001sekundy?
Sprawdź w Excelu za pomocą poznanej na lekcji funkcji Primetest:
a) ile początkowych liczb Euklidesa jest pierwszych
b) ile początkowych liczb Fermata jest pierwszych.
Praca nieobowiązkowa:
Postaw i uzasadnij własne hipotezy dotyczące liczb pierwszych. Zweryfikuj je przy użyciu komputera.
g) 7. Czas trwania lekcji
2 x 45 minut
h) 8. Uwagi do scenariusza
brak