Pojęcia podstawowe Informatyka dziedzina wiedzy i

Pojęcia podstawowe
Informatyka dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się gromadzeniem,
przetwarzaniem i wykorzystywaniem informacji z zastosowaniem
środków technicznych (komputerów).
Dane wartości określonego typu, opisujące wybrane własności
obiektów lub procesów
Informacje wyniki gromadzenia i przetwarzania danych, które prowadzą do
rozszerzenia wiedzy posiadanej przez odbiorcę
Wśród zagadnień składających się na dziedzinę informatyki można wyróżnić:
sprzęt służący do obliczeń [1], [2]
Literatura:
J.Lobur L.Null. The essentials of computer organization and
architecture. 3 Ed. Jones and Bartlett Publishers, 2010.
W.Stallings. Organizacja i architektura systemu komputerowego.
WNT, 2009.
metody przetwarzania danych (algorytmy)
implementacja tych metod (programowanie)
W literaturze zachodniej na określenie tej dziedziny używa się często terminu
Computer Science lub Information Technology.
1/40
Pojęcia podstawowe
Informatyka jako dziedzina - definicja Computer Science Curricula 2013
Informatyka jest dziedziną nauki i techniki złożoną z czternastu obszarów
wyodrębnionych w standardzie nauczania zwanym Computer Science Curricula 2013,
opracowanym wspólnie przez IEEE Computer Society i ACM.
2/40
Pojęcia podstawowe
Informatyka jako dziedzina - definicja Computer Science Curricula 2013
3/40
Przykładowe systemy
Mikrokontrolery z rodziny Arduino
4/40
Przykładowe systemy
Mini-komputery - Raspberry Pi i BeagleBone
5/40
Historia rozwoju
Generacja zero: mechaniczne maszyny kalkulacyjne (1642–1945)
Wilhelm Schickard (1592–1635) jest uważany za twórcę pierwszego
mechanicznego kalkulatora, nazwanego Calculating Clock. Mógł on dodawać i
odejmować liczby o maksymalnie 6 cyfrach.
W 1642 r. Blaise Pascal (1623–1662) zbudował mechaniczny kalkulator nazwany
Pascaline aby pomóc swemu ojcu w obliczeniach podatkowych. Pascaline mógł
realizować dodawanie z przeniesieniem i odejmowanie.
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716), znany matematyk, wynalazł
kalkulator o nazwie Stepped Reckoner, który mógł realizować dodawanie,
odejmowanie, mnożenie i dzielenie.
Charles Babbage (1791–1871) zbudował maszynę różnicową Difference Engine w
1822, która mechanizowała rozwiązywanie wielomianów i właściwie była
kalkulatorem, nie komputerem. Babbage zaprojektował też w 1833 r. uniwersalną
maszynę liczącą, nazwaną maszyną analityczną (Analytical Engine), która mogła
realizować dowolne operacje matematyczne. Analytical Engine posiadała wiele
cech wiązanych z nowoczesnymi komputerami: jednostkę arytmetyczno-logiczną
do wykonywania obliczeń (Babbage nazywał ją młynem - mill), pamięć (store) i
urządzenia wejścia-wyjścia. Babbage zaprojektował też możliwość warunkowego
rozgałęzienia programu. Ada Lovelace, córka poety Lorda Byrona, zasugerowała
aby Babbage napisał program (plan działania) dla tej maszyny w celu obliczeń
liczbowych. Ten fakt jest pierwszym znanym przykładem programu
komputerowego, a Ada jest uważana za pierwszego programistę komputerów.
Babbage zaprojektował użycie kart perforowanych jako nośnika danych we/wy i
programu. Użycie kart dla sterowania działaniem nie pochodziło od Babbage’a,
ale od Joseph-Marie Jacquard’a (1752–1834), konstruktora maszyn tkackich.
6/40
Historia rozwoju
Generacja 1: komputery lampowe (1945–1953)
W latach 1930-tych, Konrad Zuse (1910–1995) kontynuując prace Babbage’a,
zastosował układy elektryczne do budowy urządzenia wg projektu Babbage’a.
Komputer Zuse’go, nazwany Z1, był zbudowany na przekaźnikach
elektromechanicznych zamiast ręcznie napędzanych tarcz stosowanych przez
Babbage’a. Komputer Z1 był programowalny i posiadał pamięć, jednostkę
arytmetyczną i jednostkę sterującą. Z powodu braku funduszy w Niemczech
czasu II wojny światowej, Zuse używał taśmy filmowej w miejsce kart
perforowanych jako nośnika danych wejściowych.
John Mauchly (1907–1980) i J. Presper Eckert (1929–1995) byli głównymi
twórcami komputera ENIAC, wprowadzonego do użytku w 1946 r. ENIAC jest
uważany za pierwszy całkowicie elektroniczny, uniwersalny komputer cyfrowy.
Maszyna ta używała 17,468 lamp elektronowych, zajmowała 1,800 stóp kw.
powierzchni, ważyła 30 ton i zużywała 174 kilowatów mocy. ENIAC miał pamięć
o pojemności około 1000 bitów (około 20 10-cyfrowych liczb dziesiętnych) i
używał kart perforowanych do zapisu danych. ENIAC był przeznaczony do
przyspieszenia procesu obliczenia tablic balistycznych dla artylerii w końcu II
wojny światowej.
ENIAC był maszyną pracującą w systemie dziesiętnym, nie dwójkowym. To
znaczy, że liczby były reprezentowane w formie dziesiętnej i działania
arytmetyczne były wykonywane w systemie dziesiętnym. Pamięć składała się z 20
“akumulatorów”, z których każdy mógł przechowywać 10-cio cyfrową liczbę
dziesiętną.
Główną wadą ENIAC-a była konieczność programowania ręcznego poprzez
przełączniki i połączenia przewodami.
7/40
Historia rozwoju
ENIAC, 1946
8/40
Historia rozwoju
Główne kategorie sprzętu
obliczeniowego:
Proste maszyny liczące
(program sprzętowy), np.
maszyna szyfrująca Enigma,
używająca wirujących tarcz
kodujących, kalkulatory
elektroniczne)
Uniwersalne komputery,
(program ładowany do
pamięci). Proces
programowania jest
ułatwiony przez fakt, że
program jest reprezentowany
w formie pozwalającej na
przechowywanie go w
pamięci obok danych.
Komputer może pobierać
kolejne instrukcje programu z
pamięci do wykonania,
ponadto program może być
modyfikowany przez zmianę
wartości zawartych w
pamięci.
Figure: Sprzętowe i programowe podejście do
obliczeń [2]
9/40
Historia rozwoju
Architektura von Neumann’a
Koncepcja tej architektury (opublikowana przez von Neumann’a w 1945 r.), była
oparta na pracach Johna Mauchly i J. Presper Eckert, twórców ENIAC’a.
Komputer von Neumann’a składa
się z:
pamięci przechowującej dane
i instrukcje programu
jednostki sterującej, która
pobiera rozkazy z pamięci,
interpretuje je i powoduje ich
wykonanie w sposób zależny
od wartości danych
jednostki
arytmetyczno-logicznej
(ALU), która wykonuje
działania arytmetyczne i inne
(logiczne, przesunięcia, itd.)
na danych
układów wejścia-wyjścia,
działających pod kontrolą
jednostki sterującej
Figure: Architektura von Neumann’a [1]
Taki system przesyła wszystkie dane przez jednostkę arytmetyczno-logiczną (dokładnie
- przez akumulator, który jest częścią ALU), co jest powodem wąskiego gardła (von
Neumann bottleneck).
10/40
Historia rozwoju
Zmodyfikowana architektura von Neumann’a
Opisana architektura została zoptymalizowana przez wprowadzenie magistral (system
bus model).
Magistrala danych (data bus)
przesyła dane między pamięcią
główną a rejestrami procesora
(CPU).
Magistrala adresowa (address
bus) utrzymuje adres danej, która
jest przesyłana.
Magistrala sterująca (control bus)
rozprowadza sygnały sterujące
przepływem danych w systemie.
Inne ulepszenia podstawowej architektury von Neumann’a to: wykorzystanie rejestrów
indeksowych (index registers) do adresowania, obsługa danych zmiennoprzecinkowych
(floating point data), użycie przerwań (interrupts) i asynchronicznych operacji
wejścia/wyjścia (asynchronous I/O), wprowadzenie pamięci wirtualnej (virtual
memory ) i rejestrów ogólnego przeznaczenia (general registers).
11/40
Komputer IAS - pierwszy przykład architektury von Neumann’a
Zbudowany w Princeton Institute for
Advanced Studies, IAS działa
powtarzając wykonywanie cyklu
rozkazu. Każdy cykl rozkazu składa
się z dwu części:
Cyklu pobrania (fetch cycle), w
którym kod operacji następnej
instrukcji jest ładowany do
rejestru IR a pole adresu jest
ładowane do rejestru MAR.
Instrukcja może być pobrana z
rejestru IBR, lub z pamięci
poprzez załadowanie słowa do
rejestru MBR, a potem do IBR,
IR i MAR.
Cyklu wykonania, który zaczyna
się gdy kod operacji jest w
rejestrze IR. Jednostka sterująca
interpretuje kod operacji i
wykonuje instrukcję, wysyłając
odpowiednie sygnały sterujące
tak aby przesłać dane lub
wykonać działania arytmetyczne
w ALU.
12/40
Komputer IAS
Zbiór rejestrów
Jednostka sterująca i ALU zawierają specjalne komórki pamięci, nazywane rejestrami,
o następującym przeznaczeniu:
Rejestr buforowy pamięci (Memory buffer register ) (MBR): przechowuje słowo,
które ma być zapisane do pamięci lub układu wyjścia, lub słowo które ma być
odczytane z pamięci lub układu wejścia.
Rejestr adresowy pamięci (Memory address register ) (MAR): przechowuje adres
w pamięci słowa, które ma być zapisane z lub odczytane do rejestru MBR.
Rejestr rozkazu (Instruction register ) (IR): zawiera 8-bitowy kod operacji
instrukcji właśnie wykonywanej.
Rejestr buforowy rozkazu (Instruction buffer register ) (IBR): przechowuje
tymczasowo prawostronną instrukcję z bieżącego słowa pamięci.
Licznik programu (Program counter) (PC): zawiera adres następnej pary
instrukcji przeznaczonej do pobrania z pamięci.
Akumulator (Accumulator) (AC) i multiplier quotient (MQ): przechowuje
tymczasowo argumenty i rezultaty operacji ALU. Na przykład, rezultat mnożenia
dwu liczb 40-bitowych jest liczbą 80-bitową; najbardziej znaczące 40 bitów są
zapisywane we AC, a najmniej znaczące w MQ.
13/40
Komputer IAS
Organizacja pamięci
Pamięć komputera IAS składała się z 1000 komórek, zwanych słowami, każde o
długości 40 liczb binarnych (bitów). Zarówno program jak i dane były przechowywane
w tej pamięci. Liczby i instrukcje były reprezentowane w formie binarnej.
Liczby były reprezentowane z użyciem bitu znaku i 39-bitów kodujących wartość.
Słowo mogło też przechowywać dwie 20-bitowe instrukcje. Każda z nich składała się z
8-bitowego kodu operacji (opcode) określającego operację do wykonania i 12-bitowego
adresu określającego jedno ze słów w pamięci (numerowanych do 0 do 999).
Figure: Organizacja pamięci komputera IAS [2]
14/40
Komputer IAS
Zbiór instrukcji
Komputer IAS miał
21 instrukcji, w 5
grupach:
Przesyłanie danych:
między pamięcią a
rejestrami ALU lub
między dwoma
rejestrami ALU.
Skok bezwarunkowy:
Normalnie, jednostka
sterująca wykonuje
instrukcje kolejno. Aby
to zmienić, wykonuje się
skok bezwarunkowy
(realizacja pętli).
Skok warunkowy:
rozgałęzienie oparte o
warunek, pozwala
realizować decyzje.
Arytmetyczne: operacje
wykonywane przez ALU.
Modyfikacja adresu:
umożliwia obliczenie
nowego adresu i
wstawienie go do
instrukcji w pamięci.
15/40
Model warstwowy systemu komputerowego
Figure: Model warstwowy systemu komputerowego [1]
16/40
Arytmetyka komputerów
Dwójkowy system liczbowy - przedstawienie liczb naturalnych
System dwójkowy jest systemem pozycyjnym (tak jak dziesiętny), co oznacza,
że waga danej cyfry zależy od jej pozycji w liczbie.
Liczby naturalne
Dla liczby naturalnej A, jej reprezentacja (zwana inaczej rozwinięciem) dana
jest zależnością:
A = bn−1 ∗ 2n−1 + ... + b1 ∗ 21 + b0 ∗ 20
gdzie bi jest i-tym bitem (cyfrą binarną), a n jest ilością bitów rozwinięcia.
Na przykład:
liczba dwójkowa 110012
oznacza liczbę dziesiętną 25 = 24 + 23 + 20
17/40
Dwójkowy system liczbowy
Liczby całkowite ujemne - reprezentacja znak-moduł
Bit znaku poprzedza właściwe bity liczby - jest bitem najbardziej znaczącym.
Gdy najbardziej znaczący bit jest równy 0, to liczba jest dodatnia i jej wartość
oblicza się ze wzoru:
A = bn−2 ∗ 2n−2 + ... + b1 ∗ 21 + b0 ∗ 20
Gdy najbardziej znaczący bit jest równy 1, to liczba jest ujemna i jej wartość
oblicza się ze wzoru:
A = −(bn−2 ∗ 2n−2 + ... + b1 ∗ 21 + b0 ∗ 20 )
Na przykład:
010010112 = 1 ∗ 26 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 20 = 7510
110010112 = −(1 ∗ 26 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 20 ) = −7510
Wady tej reprezentacji:
Dodawanie i odejmowanie wymagają rozważania zarówno znaków jak i modułów
liczb
Istnieją dwie reprezentacje liczby 0 (000000002 i 100000002 )
18/40
Liczby całkowite ujemne
Reprezentacja U2 (uzupełnienia do dwóch, czyli podstawy systemu liczbowego)
Podobnie jak w reprezentacji znak-moduł, najbardziej znaczący bit jest bitem
znaku, tutaj jednak ma wagę 2n−1 i znak ujemny. Dla liczby całkowitej jej
przedstawienie w tym kodzie jest dane wzorem:
A = −bn−1 ∗ 2n−1 + bn−2 ∗ 2n−2 + ... + b1 ∗ 21 + b0 ∗ 20
Jeśli A jest dodatnie, to bit znaku bn−1 jest zerem. Pozostałe bity reprezentują
moduł liczby w identyczny sposób jak w reprezentacji znak-moduł
Zero jest traktowane jak wartość dodatnia i dlatego ma bit znaku 0 i moduł
złożony z samych zer. Stąd zakres dodatnich liczb całkowitych to [0, 2n−1 − 1] ,
czyli dla n=8 zakres ten to [0, 127] (z wartością maksymalną gdy wszystkie bity
modułu są 1). Większe liczby wymagają więcej bitów w słowie
Dla liczb ujemnych bit znaku bn−1 jest 1. Pozostałe n-1 bity określają dowolną z
2n−1 wartości, stąd zakres tych liczb to [−2n−1 , −1], czyli dla n=8 zakres ten to
[−128, −1]
Zalety reprezentacji U2:
zapewnia jednolitą realizację dodawania i odejmowania, dlatego jest powszechnie
używana jako reprezentacja liczb całkowitych w większości procesorów
brak podwójnej reprezentacji zera, stąd zwiększony o 1 zakres liczb możliwych do
przedstawienia
19/40
Liczby całkowite ujemne
U2 - przykład, Konwersja liczb binarnych dla różnych długości słów
Na przykład:
010010112 = 1 ∗ 26 + 1 ∗ 23 + 1 ∗ 21 + 1 ∗ 20 = 7510
101101012 = −1 ∗ 27 + 1 ∗ 25 + 1 ∗ 24 + 1 ∗ 22 + 1 ∗ 20 = −7510
Konwersja liczb binarnych dla różnych długości słów
Jeśli należy rozszerzyć ilość bitów liczby z n do m, (przy czym n < m) to:
Dla reprezentacji znak-moduł należy przesunąć bit znaku do najdalszej
lewej pozycji, a pozostałe wolne bity wypełnić zerami
Dla reprezentacji uzupełnienia do dwóch należy przesunąć bit znaku do
najdalszej lewej pozycji, a pozostałe wolne bity wypełnić kopiami bitu
znaku (dla liczb dodatnich wypełnia się zerami, dla liczb ujemnych –
jedynkami).
20/40
Konwersja między systemami dziesiętnym i binarnym
Konwersja dziesiętnej liczby całkowitej dodatniej
Konwersja z postaci binarnej na dziesiętną jest prosta i wynika bezpośrednio z
rozwinięcia
Konwersja liczby całkowitej dodatniej z postaci dziesiętnej na binarną jest
wykonywana metodą dzielenia przez 2. Jeśli mamy liczbę dziesiętną N to po
podzieleniu jej przez 2 otrzymujemy iloraz N1 oraz resztę r1 , zgodnie z
zależnością:
N = 2 ∗ N1 + r1 , gdzie r1 jest 0 lub 1
Następnie dzielimy iloraz N1 przez 2, otrzymując nowy iloraz N2 oraz resztę r2 :
N1 = 2 ∗ N2 + r2 , gdzie r2 jest 0 lub 1
Stąd:
N = 2 ∗ (2 ∗ N2 + r2 ) + r 1 = 22 ∗ N2 + 21 ∗ r2 + 20 ∗ r1
Ponieważ N > N1 > N2 ..., postępujemy tak dalej aż do otrzymania ilorazu
Nk = 1 i reszty rk równej 0 lub 1.
Algorytm konwersji z postaci dziesiętnej na binarną
Konwersja jest wykonywana metodą dzielenia przez 2. Kolejne reszty rk i ostatni iloraz
Nk = 1 dają cyfry binarne w kolejności rosnącego znaczenia.
Czy to znaczy, że zawsze MSB (najbardziej znaczący bit) jest równy 1?
NIE, to zależy od przyjętej długości słowa: kiedy jest dłuższe niż trzeba dla danej
liczby, pozostałe bity będą zerami.
21/40
Konwersja między systemami dziesiętnym i binarnym
Konwersja dziesiętnej liczby całkowitej dodatniej - przykłady
1310 = 11012
13 : 2 = 6 r 1
6: 2=3r0
3: 2=1r1
1610 = 100002
16 :
8:
4:
2:
2=8r0
2=4r0
2=2r0
2=1r0
22/40
Konwersja między systemami dziesiętnym i binarnym
Konwersja dziesiętnej liczby całkowitej ujemnej
Aby przekształcić liczbę całkowitą ujemną do postaci binarnej należy:
1 wykonać konwersję liczby dodatniej o tym samym module
2 zanegować ją (patrz poniżej):
Dla reprezentacji znak-moduł negowanie sprowadza się do odwrócenia bitu
znaku.
Dla reprezentacji uzupełnienia do dwóch należy wziąć uzupełnienie Boole’a
każdego bitu liczby (łącznie z bitem znaku) i traktując wynik jako liczbę
całkowitą bez znaku dodać 1.
UWAGA: występują tu dwa przypadki szczególne, które muszą być
odpowiednio traktowane:
1 A = 0. Wtedy A = 000000002 w reprezentacji U2. Uzupełnienie bitowe
111111112 . Po dodaniu do niego 1 otrzymujemy przeniesienie, które jest
ignorowane, tak więc w rezultacie otrzymujemy poprawny wynik negacji
zera równy zero.
2 Negowanie wzoru bitowego złożonego z 1 z następującymi n - 1 zerami
daje w wyniku tę samą liczbę. Na przykład:
−12810 = 100000002 . Uzupełnienie bitowe = 011111112 . Po dodaniu do
niego 1 otrzymujemy 100000002 = −12810 . Problem powstaje, ponieważ
12810 nie może być reprezentowane na 8 bitach.
23/40
Arytmetyka liczb całkowitych
Dodawanie
Przy przyjętej długości słowa, możemy otrzymać wynik większy niż
dopuszczalny – występuje wtedy tzw. przepełnienie. Taki przypadek jest
odpowiednio sygnalizowany przez ALU i wynik operacji jest odrzucany.
Reguła przepełnienia
Jeśli są dodawane dwie liczby dodatnie lub dwie ujemne, to przepełnienie
występuje wtedy i tylko wtedy, gdy wynik ma znak przeciwny
W pewnych warunkach może wystąpić tzw. przeniesienie - poza końcem słowa
pojawia się bit, który musi być ignorowany.
24/40
Dwójkowy system liczbowy
Dodawanie liczb całkowitych - przykłady
(-7) + (+5) = (-2)
1001
0101
——
1110 = -2
(-4) + (+4) = (0)
1100
0100
———
10000 przeniesienie, bit ignorowany
0000 = 0
(+4) + (+5) = (?)
0100
0101
———
1001 przepełnienie, zgodnie z
regułą: wynik jest ujemny,
a oba argumenty dodatnie
(-4) + (-1) = (-5)
1100
1111
———
11011 przeniesienie, bit ignorowany
1011 = -5
25/40
Arytmetyka liczb całkowitych
Odejmowanie
Reguła odejmowania
W celu realizacji odjęcia od jednej liczby (odjemnej) drugiej liczby (odjemnika)
należy dodać do odjemnej uzupełnienie do dwóch odjemnika.
26/40
Arytmetyka liczb całkowitych
Odejmowanie - przykłady
(5) - (2) = (3)
(2) - (7) = (-5)
M = 210 = 00102
S = 710 = 01112 -> −710 = 10012
0010
+1001
———
1011 = -5
M = 510 = 01012
S = 210 = 00102 -> −210 = 11102
0101
+1110
———
10011 przeniesienie, bit ignorowany
0011 = 3
(-6) - (4) = (?)
(-5) - (2) = (-7)
M = −610 = 10102
S = 410 = 01002 -> −410 = 11002
1010
+1100
———
10110 przeniesienie, bit ignorowany
0110 przepełnienie
M = −510 = 10112
S = 210 = 00102 -> −210 = 11102
1011
+1110
———
11001 przeniesienie, bit ignorowany
1001 = -7
27/40
Arytmetyka liczb całkowitych
Podsumowanie
Reprezentacje analizowane dotąd można nazwać stało-pozycyjnymi - położenie
przecinka pozycyjnego (binarnego) jest ustalone i z założenia znajduje się on na
prawo od cyfry położonej najdalej na prawo.
Można używać tej samej reprezentacji dla ułamków binarnych, posługując się
skalowaniem liczb, tak że przecinek binarny znajdzie się w innym, wybranym
położeniu.
28/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Wymagają one reprezentacji bardziej rozbudowanej. Istnieją dwie jej odmiany:
stałoprzecinkowa, gdzie ustala się położenie przecinka binarnego w
pewnym miejscu, a więc przeznacza się ustaloną liczbę bitów na część
całkowitą i ułamkową liczby. Np., jeśli na część całkowitą przeznaczy się
n+1 bitów, a na część ułamkową k bitów, to reprezentacja jest dana
zależnością:
A = (−2 ∗ bn + 1) ∗ (bn−1 ∗ 2n−1 + ... + b1 ∗ 21 + b0 ∗ 20 +
+b−1 ∗ 2−1 + ... + b−k ∗ 2−k )
Podejście to ma ograniczenia: nie mogą być reprezentowane ani bardzo
duże liczby, ani bardzo małe ułamki. Ponadto, ułamkowe składniki ilorazu
przy dzieleniu dużych liczb mogą być utracone.
zmiennoprzecinkowa, gdzie używa się notacji naukowej w formie:
±S ∗ B E
gdzie S jest mantysą, B jest podstawą systemu liczbowego (10 dla
dziesiętnego, 2 dla binarnego), a E jest wykładnikiem.
Na przykład, systemie dziesiętnym:
31415000000010 może być reprezentowane jako 0.31415 ∗ 1012
0.0000003141510 może być reprezentowane jako 0.31415 ∗ 10−6 .
W tym podejściu przesuwa się przecinek dziesiętny do zadanego położenia
i używa wykładnika do pamiętania położenia tego przecinka.
29/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Notacja zmiennoprzecinkowa
Takie samo podejście może być stosowane do liczb binarnych. Mogą one być
przechowywane w postaci słowa binarnego o trzech polach zawierających: znak (plus
lub minus), mantysę S i wykładnik E (podstawa jest ustalona i nie musi być
przechowywana).
Typowy 32-bitowy format zmiennoprzecinkowy:
Lewy bit reprezentuje znak liczby (0 – dodatnia, 1 – ujemna).
Wartość wykładnika jest przechowywana w bitach 23-30, w postaci
reprezentacji przesuniętej (ustalona wartość przesunięcia jest
odejmowana od pola w celu otrzymania prawdziwej wartości wykładnika).
Tu na 8 bitach przechowuje się liczby z zakresu 0-255; po odjęciu
przesunięcia równego 128, prawdziwe wartości wykładnika mieszczą się w
zakresie –128 do +127.
Mantysa jest zwykle tak obliczona, że cała liczba jest znormalizowana, co
upraszcza operacje. Liczba znormalizowana ma postać:
±0.1bbb...b ∗ 2E , gdzie b jest dowolną cyfrą binarną.
Wynika z tego, że lewy bit mantysy ma zawsze wartość 1, w związku z tym
nie trzeba go przechowywać, a mantysa ma wartość z przedziału [0.5, 1.0).
30/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Notacja zmiennoprzecinkowa
Opisany format pozwala na przedstawienie liczb z zakresów:
ujemnych (−(1 − 2−24 ) ∗ 2127 , −0.5 ∗ 2−128 )
(−1.7 ∗ 1038 , −1.47 ∗ 10−39 )
dodatnich (0.5 ∗ 2−128 , (1 − 2−24 ) ∗ 2127 )
(1.47 ∗ 10−39 , 1.7 ∗ 1038 )
Powyższe zakresy nie obejmują pięciu obszarów:
liczb ujemnych < −(1 − 2−24 ) ∗ 2127
(przepełnienie ujemne)
liczb ujemnych > −0.5 ∗ 2−128
liczb dodatnich < 0.5 ∗
2−128
liczb dodatnich > (1 − 2−24 ) ∗ 2127
(niedomiar ujemny)
(niedomiar dodatni)
(przepełnienie dodatnie)
zera, które jest opisywane specjalnym wzorem bitowym.
Przepełnienie pojawia się, gdy wynik operacji arytmetycznej przekracza co do modułu
wartość, która może być wyrażona przez wykładnik równy 127.
Niedomiar pojawia się, gdy moduł części ułamkowej jest za mały. Niedomiar jest
mniejszym problemem, ponieważ rezultat może być zwykle przybliżony zerem.
Dodatkowo, liczby zmiennoprzecinkowe nie są równomiernie rozłożone na osi liczbowej
(jak stałoprzecinkowe). Ich gęstość jest największa w okolicy początku osi, a dalej
maleje. Dlatego w wielu przypadkach obliczenia są obarczone błędami zaokrągleń.
31/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Standard IEEE dla liczb zmiennoprzecinkowych
Najważniejszy standard reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych - norma IEEE 754.
Została ona stworzona by:
Ułatwić przenoszenie programów między różnymi procesorami
Umożliwić rozwój oprogramowania wymagającego intensywnych obliczeń
numerycznych.
Standard ten definiuje format 32-bitowy (pojedyncza precyzja) i 64-bitowy (podwójna
precyzja), odpowiednio przy 8 i 11 bitowych wykładnikach.
Dodatkowo, standard definiuje 2 formaty rozszerzone (też pojedynczej i podwójnej
precyzji), których format jest zależny od implementacji. Formaty rozszerzone
wprowadzają dodatkowe bity dla wykładnika i mantysy (zwanej fraction).
UWAGA: nie wszystkie wzory bitowe są interpretowane w zwykły sposób – niektóre z
nich oznaczają specjalne wartości:
zerowy wykładnik wraz z zerowym ułamkiem oznacza dodatnie lub ujemne
zero, zależnie od bitu znaku
zerowy wykładnik wraz z niezerowym ułamkiem oznacza liczbę
nienormalizowaną
wykładnik o samych jedynkach wraz z zerowym ułamkiem oznacza
dodatnią lub ujemną nieskończoność, zależnie od bitu znaku
wykładnik o samych jedynkach wraz z niezerowym ułamkiem oznacza NaN
(not a number), wartość używaną do sygnalizacji różnych sytuacji
wyjątkowych napotkanych w obliczeniach.
32/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Konwersja z postaci dziesiętnej na binarną stałoprzecinkową
Dla reprezentacji stałoprzecinkowej konwersja jest wykonywana oddzielnie dla części
całkowitej i ułamkowej liczby:
1
Konwersja dla części całkowitej jest wykonywana jak dla liczby całkowitej w
reprezentacji znak-moduł
Konwersja dla części ułamkowej polega na wykonywaniu mnożenia przez 2. W
kolejnych krokach ułamkowa część liczby dziesiętnej jest mnożona przez 2 i cyfra
znajdująca się na lewo od przecinka w iloczynie (równa 0 lub 1) wchodzi w skład
reprezentacji binarnej począwszy od najbardziej znaczącego bitu. Część
ułamkowa iloczynu jest używana jako mnożna w następnym kroku.
Na przykład: 0, 2510 = 00, 012
2
Obliczanie:
1 0,25 * 2 = 0,5 -> .0
2
0,5 * 2 = 1,0 -> .01
UWAGA: Proces ten nie zawsze jest dokładny; ułamek dziesiętny o skończonej liczbie
cyfr może wymagać ułamka binarnego o nieskończonej lub większej niż dopuszczalna
liczbie cyfr.
33/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Konwersja z postaci dziesiętnej na binarną stałoprzecinkową
Na przykład: 0, 25510 = 00, 010000012
Obliczanie:
1
0,255 * 2 = 0,510 -> .0
2
0,510 * 2 = 1,020 -> .01
3
0,020 * 2 = 0,040 -> .010
4
0,040 * 2 = 0,080 -> .0100
5
0,080 * 2 = 0,160 -> .01000
6
0,160 * 2 = 0,320 -> .010000
7
0,320 * 2 = 0,640 -> .0100000
8
0,640 * 2 = 1,280 -> .01000001
Jaki jest błąd reprezentacji tej liczby ?
Wartość = 1 ∗ 2−2 + 1 ∗ 2−8 = 0, 25 + 0, 0039 = 0, 2539
Błąd = 0,255 - 0,2539 = 0,0011 = 0,43 %
34/40
Liczby ułamkowe i rzeczywiste
Konwersja z postaci dziesiętnej na 32-bitową zmiennoprzecinkową
Na przykład: 0, 25510 = 001111111000001010001111010111002
1
2
3
4
5
Ustawić wartość wykładnika E na 0.
Sprowadzić metodą dzielenia lub mnożenia przez 2, liczbę do zakresu [0.5, 1.0).
Po każdej operacji dzielenia zwiększać wartość E o 1, przy każdej operacji
mnożenia zmniejszać wartość E o 1. W wyniku tego otrzymuje się wartość
mantysy, którą należy zakodować bitami 0-22, pamiętając że bit na prawo od
przecinka binarnego nie jest zapisywany.
Dokonać konwersji mantysy obliczonej w kroku 2 z postaci dziesiętnej do binarnej
jak dla reprezentacji stałoprzecinkowej o zerowej liczbie cyfr binarnych przed
przecinkiem binarnym i 24 bitami po przecinku.
W celu otrzymania wykładnika w reprezentacji przesuniętej, dodać do jego
wartości obliczonej w kroku 2 wartość 128.
Jeśli wartość liczby jest ujemna, ustawić bit numer 31 na 1, w przeciwnym razie
na 0.
Obliczanie:
1 E = 0
2 0, 255 ∗ 2 = 0, 510 → E = E − 1
3 S = 1000001010001111010111002
4 E = E + 128 = 12710 = 011111112
5 b31 = 0
6 Wynik: 0 01111111 000 0010 1000 1111 0101 1100
35/40
Notacja szesnastkowa
Jest ona używana w celu bardziej wygodnej reprezentacji zewnętrznej liczb binarnych,
tzn. poza systemem komputerowym (wyświetlania lub drukowania zawartości pamięci,
plików, itp).
W tej notacji, liczby binarne są grupowane czwórkami. Dla każdej możliwej kombinacji
4 bitów istnieje symbol, począwszy od 0 do 9 i od A do F. Te 16 symboli to cyfry
szesnastkowe. Stąd ciąg cyfr szesnastkowych można traktować jako wartość całkowitą
przy podstawie równej 16. Ciąg ten jest zapisywany z literą ’H’ na końcu dla
zaznaczenia podstawy stosowanego systemu liczbowego.
Na przykład:
2F16 = 216 ∗ 161 + F16 ∗ 160 = 210 ∗ 161 + 1510 ∗ 160 = 47
Notacja szesnastkowa jest używana nie tylko do wygodnego przedstawiania liczb
całkowitych, ale również innych danych binarnych (tekstowych, liczbowych, itp.).
Powody jej stosowania:
Bardziej zwarta niż binarna
Większość komputerów używa słów o długości będącej wielokrotnością 4 bitów
Łatwość konwersji między systemem binarnym i szesnastkowym.
36/40
Inne reprezentacje danych dziesiętnych
BCD, Packed decimal
Pomimo że wewnątrz komputera operacje realizuje się w systemie binarnym, zwykli
użytkownicy preferują zapis dziesiętny. W związku z tym istnieje potrzeba
przekształcenia na wejściu z postaci dziesiętnej na binarną, a na wyjściu - odwrotnie.
Dla aplikacji wymagających dużego nakładu operacji we/wy i stosunkowo małego
udziału obliczeń, właściwe jest stosowanie systemu dziesiętnego dla zapisu, odczytu i
przetwarzania.
Podstawową reprezentacją jest BCD (binary-coded decimal), która jest klasą
binarnych sposobów kodowania danych dziesiętnych, w której każda cyfra dziesiętna
jest zapisana przy użyciu 4 bitów. Więc 0 = 0000, 1 = 0001, 8 = 1000, a 9 = 1001.
Specjalne ciągi bitów są stosowane dla zapisu znaku (używa się cyfry znaku równej
1100 dla dodatnich wartości i 1101 dla ujemnych). Zapis BCD jest dość rozrzutny,
ponieważ wykorzystuje tylko 10 z 16 możliwych wartości 4-bitowego słowa.
Typową reprezentacją jest packed decimal, w której dwie cyfry dziesiętne liczby
upakowuje się w bajcie. Aby zapisać liczby wielocyfrowe, łączy się odpowiednią ilość
bajtów. Tak więc, kod liczby 246 to 0000 0010 0100 0110.
Znacząco mniejsza gęstość zapisu niż osiągana w systemie binarnym jest
kompensowana przez brak konieczności konwersji i - co czasami ważniejsze - brak
zaokrągleń. Np. wartość 0.2 może być reprezentowana dokładnie w kodzie BCD (jako
0.0010), ale ma nieskończone rozwinięcie binarne (.001100110011...).
Wiele maszyn (starsze: VAX, microVAX, nowsze: Intel x86 (32-bit), IBM POWER7)
zapewnia specjalne instrukcje arytmetyczne wykonujące operacje bezpośrednio na
danych dziesiętnych upakowanych. Algorytmy są bardzo podobne do wcześniej
dyskutowanych, ale muszą obsługiwać przeniesienie dziesiętne.
Implementacje programowe: Intel Decimal Floating-Point Math Library (2011)
37/40
Reprezentacja znaków
ASCII
Dotąd dyskutowane reprezentacje stosowane są do działań na liczbach wewnątrz
komputera. W celu prezentacji ich w postaci zrozumiałej dla człowieka, należy
dokonać ich przekształcenia do postaci tekstowej lub graficznej. Stosuje się w tym
celu standardy takie jak: ASCII i UNICODE.
ISO opracowała 7-bitowy schemat kodowania zwany International Alphabet Number 5.
W 1967 r. wprowadzono standard pochodny, nazwany ASCII.
American Standard Code for Information Interchange
ASCII definiuje kody dla 32 znaków sterującyh, 10 liczb, 52 liter (małych i wielkich),
32 znaków specjalnych (jak np. @) i znaku odstępu.
Najstarszy (ósmy) bit był przeznaczony do kontroli parzystości. Parzystość jest
najprostszym ze sposobów detekcji błędów. Bit parzystości jest zerem lub jedynką w
zależności od tego czy wartość sumy pozostałych bitów jest parzysta/nieparzysta.
Na przykład, jeśli stosuje się kontrolę
parzystości (even parity ) przesyłając znak
ASCII A, najniższe 7 bitów to 100 0001.
Ponieważ ich suma jest parzysta, bit
parzystości będzie równy 0 i cały kod
ASCII będzie równy 0100 0001. Podobnie, przy transmisji znaku ASCII C, 100
0011, bit parzystości będzie równy 1, stąd
przesyłana wartość to 1100 0011. Parzystość może być używana tylko do detekcji
błędów pojedynczych bitów.
38/40
Reprezentacja znaków
ASCII
W miarę jak komputery stawały się
bardziej stabilne, potrzeba stosowania bitu
parzystości malała. W początkach lat
1980-tych, producenci mikrokomputerów
zaczęli używać bitu parzystości do rozszerzenia zakresu reprezentowanych znaków
(extended character set) przez kody z zakresu 12810 do 25510 . W zależności od
standardu, rozszerzone zestawy znaków
mogą reprezentować symbole matematyczne, znaki alfabetów narodowych lub inne
symbole.
ISO/IEC 8859-2, również znane jako
Latin-2, bądź "środkowo–" i "wschodnioeuropejskie", jest drugą częścią standardu kodowania znaków zdefiniowanego
przez organizację ISO.
Tablica kodów ISO/IEC 8859-2, zawierająca m.in. polskie znaki diakrytyczne.
39/40
Reprezentacja znaków
Unicode
Unicode jest 16-bitowym alfabetem, który jest zgodny wstecznie z ASCII i Latin-1.
Jest też zgodny z definicją międzynarodowego alfabetu ISO/IEC 10646-1. Ponieważ
podstawowe kodowanie w Unicode jest 16 bitowe, ma on wystarczającą pojemność dla
zapisu większości znaków spotykanych we wszystkich językach świata. Dodatkowo,
Unicode definiuje mechanizm rozszerzania, który pozwala zakodować milion innych
znaków. Jest to wystarczające do reprezentowania znaków wszystkich języków
używanych w historii cywilizacji.
Unicode jest domyślnym systemem kodowania w języku programowania Java, XML i
pochodnych.
Cytat ze strony internetowej Unicode Consortium:
Zasadniczo, komputery operują na liczbach. Przechowują one litery i inne znaki,
poprzez przypisaną do nich liczbę (kod znaku). Przed wprowadzeniem systemu
kodowania Unicode, istniały setki różnych systemów kodowania,
przyporządkowujących kod do znaku. Nie istniał system kodowania, wystarczająco
pojemny dla wszystkich potrzebnych znaków: na przykład, Unia Europejska potrzebuje
wielu różnych systemów kodowania do obsługi wszystkich oficjalnych języków. Nawet
dla samego języka angielskiego potrzebnych było kilku systemów kodowania dla zapisu
liter, interpunkcji i symboli technicznych będących w użyciu. Te systemy kodowania
często kolidowały ze sobą, tzn. dwa systemy używały tego samego kodu znaku dla
dwu różnych znaków, lub różnych kodów dla tego samego znaku. W tej sytuacji
komputery (w szczególności serwery) musiały obsługiwać wszystkie te systemy; a w
czasie przenoszenia danych dochodziło do ich przekłamania.
40/40