Fizyka atmosfer gwiazdowych
advertisement
Krzysztof Gęsicki Fizyka atmosfer gwiazdowych Wykład kursowy dla studentów astronomii 2 stopnia wykład 8. przybliżenie Eddingtona, przybliżenie atmosfery szarej granica Eddingtona Przybliżenie Eddingtona na dużych głębokościach w atmosferze Iν zbliża się do rozkładu izotropowego Iν (τ, µ) = aν (τ ) + bν (τ )µ 1 Z1 Jν = Iν dµ 2 −1 1 Z1 Hν = Iν µdµ 2 −1 1 Z1 Kν = Iν µ2dµ 2 −1 J =a H= b 3 K= a 3 J =a H= b 3 Rezultat znamy jako przybliżenie Eddingtona: 1 K= J 3 K= a 3 przypomnijmy równanie przepływu µ ∂I =I −S ∂τ Całkując to równanie od -1 do 1 po dµ otrzymamy: ∂H =J −S ∂τ a całkując od -1 do 1 względem µ dµ otrzymamy: ∂K 1 ∂J =H= ∂τ 3 ∂τ Wykorzystaliśmy w drugiej równości zależność K = 31 J podstawiamy ostatnie równanie do przedostatniego i otrzymamy 1 ∂ 2J =J −S 3 ∂τ 2 jeśli Sν = ǫBν (T ) + (1 − ǫ)Jν , to: 1 ∂ 2J = ǫ (Jν − Bν (T )) 3 ∂τ 2 otrzymaliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu dla zmiennej Jν zamiast równania różniczkowo-całkowego względem I(ν, ω ~) Warunek równowagi promienistej transport energii – promienisty bądź konwektywny dla promienistego: absorpcja : Z∞ dν I dω χν Iν = 4π emisja : dν I dω ην = 4π Z∞ χν Sν dν 0 0 bilans : χν Jν dν 0 0 Z∞ Z∞ 4π Z∞ 0 χν (Sν − Jν )dν = 0 Przypomnijmy sobie równanie przepływu w postaci: ~ ν = χν (Sν − Iν ) (~n · ∇)I całkując je po dω po pełnym kącie bryłowym otrzymamy: ~ · F~ν = 4πχν (Sν − Jν ) ∇ a następnie całkując po dν otrzymamy: ~ · F~ = 4π ∇ Z∞ χν (Sν − Jν )dν 0 Zatem warunek równowagi promienistej sprawia, że: ~ · F~ = 0 ∇ w jednym wymiarze: w sferycznej symetrii ∂F ∂z =0 czyli r2F = const F = const Przybliżenie atmosfery szarej założenie oznaczymy: χν ≡ χ I= R∞ 0 Iν dν w atmosferze płasko-równoległej otrzymamy µ dI =I −S dτ z równowagi promienistej 4π Z∞ χν (Sν − Jν )dν = 0 0 przy χν = χ otrzymamy S=J µ dI =I −J dτ gdybyśmy założyli LTE (zrobimy to później) byłoby Sν = Bν (T ) czyli w przypadku atmosfery szarej σ S = B(T ) = T 4 π Obliczmy momenty równania przepływu: µ całkowanie po dµ : całkowanie po µdµ : dH dτ dI =I −J dτ = J − J = 0, czyli H = const dK dτ =H To ostatnie równanie można całkować, bo H = const, ponieważ H = 1 4π F , więc: K(τ ) = Hτ + c = 1 Fτ + c 4π 1 Fτ + c 4π Głęboko powinno obowiązywać przybliżenie Eddingtona (K = 31 J) K(τ ) = Hτ + c = J(τ ) → 3F τ, dla τ ≫ 1 4π Założenie za Eddingtonem, że K = 13 J wszędzie, pozwala na dalszą analizę: JE (τ ) = 3F τ + c′ 4π Aby obliczyć stałą c′ obliczmy strumień na powierzchni. Z rozwiązania formalnego, przy τ2 = 0, τ1 = ∞ ∞ 1 Z − µt e S(t)dt I(0) = µ 0 oraz przy S = J w równowadze promienistej, otrzymamy: I F F (0) = dω µI = + πc′ 2 Ponieważ F = const, więc F (0) = F F 2π 3F 2 JE (τ ) = τ+ 4π 3 c′ = 2 3F τ+ JE (τ ) = 4π 3 Jeśli dodatkowo założymy LTE, to z powyższego otrzymamy: 4 σT 4 3 σTeff 2 τ + = π 4 π 3 3 4 2 T = Teff τ+ 4 3 Zatem otrzymaliśmy, że T = Teff przy τ = 32 4 w atmosferze szarej, równowadze promienistej, przybliżeniu Eddingtona i LTE głębokość optyczną τ = 23 wykorzystuje się do definicji fotosfery Zauważmy, że prawdopodobieństwo, że foton wysłany z τ = 2 jest równe e− 3 ≈ 0.5 2 3 dotrze do powierzchni, Podstawiając S(τ ) = JE (τ ) do rozwiązania formalnego możemy otrzymać pociemnienie brzegowe: 2 3F µ+ IE (0) = 4π 3 2 IE (0, µ) 3 µ+ = IE (0, 1) 5 3 Zadanie rachunkowe Dany jasny obiekt o masie M i jasności L, o niewielkich rozmiarach. 1. Pokazać, że warunkiem na to, by ten obiekt mógł odrzucić poprzez ciśnienie promieniowania optycznie cienki obłok materii, jest: κ M < L 4πGc gdzie κ to współczynnik absorpcji na jednostkę masy obłoku, niezależny od częstości Rozwiązanie strumień w odległości r wynosi F = L 4πr2 Rozwiązanie strumień w odległości r wynosi F = L 4πr2 1 cm3 obłoku zaabsorbuje ilość energii ρκF Rozwiązanie strumień w odległości r wynosi F = L 4πr2 1 cm3 obłoku zaabsorbuje ilość energii ρκF odpowiada to zmianie pędu, czyli sile wywieranej przez promieniowanie frad = κρL κρF = c 4πcr2 z kolei 1 cm3 obłoku jest przyciągany przez obiekt centralny siłą fgraw = ρGM r2 nasz warunek, to fgraw < frad nasz warunek, to fgraw < frad ponieważ obliczyliśmy ρGM r2 κρL κρF = = c 4πcr2 fgraw = frad więc M κ < L 4πGc 2. Obliczyć graniczną prędkość V nabytą przez obłok pod działaniem sił promieniowania i grawitacji, zakładając, że ruch obłoku zaczął się w odległości R od jasnego obiektu Rozwiązanie ponieważ zarówno siła grawitacji fgraw = jak i siła promieniowania frad = ρGM , r2 κρL 4πcr2 zależą od odległości r jak 1 r2 więc możemy przyjąć, że na 1g obłoku działa siła „efektywnej” grawitacji feff = Geff M r2 gdzie Geff = G − κL 4πM c dalej obliczamy efektywny potencjał V =− Geff M r dalej obliczamy efektywny potencjał V =− Geff M r i porównujemy energię potencjalną dla r = R z energią kinetyczną dla r = ∞ dla 1g obłoku dalej obliczamy efektywny potencjał V =− Geff M r i porównujemy energię potencjalną dla r = R z energią kinetyczną dla r = ∞ dla 1g obłoku − 1 Geff M = v2 R 2 2 κL v2 = − GM R 4πc 3. Szacujemy minimalną wartość κ jako pochodzącą od czystego wodoru, w pełni zjonizowanego, oddziałującego przez rozpraszanie (Thomsona) na swobodnych elektronach, σT = 6.65 · 10−25cm2 zatem κ> σT mH Oblicz maksymalne L, aby jasny obiekt nie odrzucił przez ciśnienie promieniowania swojej wodorowej otoczki Rozwiązanie z części 1 otrzymujemy κ M = L 4πGc a stąd LEdd 4πGcM mH M = erg s−1 = 1.25 · 1038 σT M⊙ Granica Eddingtona to Sir Arthur Stanley Eddington zauważył, że zarówno promieniowanie jak i grawitacja opisywane są zależnością 1/r2 zatem możliwe jest zaistnienie takich warunków, że obie te siły będą się równoważyły niezależnie od odległości dla gwiazdy o zadanej masie będzie istniała maksymalna jasność, tzw. jasność Eddingtona, przy której siła promieniowania w atmosferze będzie dokładnie równoważona przez siłę grawitacji LEdd 4πc GM M = erg s−1 = 1.25 · 1038 κe M⊙ masywne gwiazdy ciągu głównego spełniają prostą zależność L ∼ Mα przy mniejszych masach α ∼ 5 ale przy M → ∞ zachodzi α → 1 obliczano, że modele gwiazd ZAMS przy uwzględnieniu nieprzezroczystości pochodzącej wyłącznie z rozpraszania na elektronach osiągają granicę Eddingtona przy M ∼ 105M⊙ gwiazdy o masach większych od około 8 × 105 M⊙ mają tak silną grawitację, że reakcje jądrowe nie zdążą wyprodukować wystarczającej ilości energii by powstrzymać kolaps do czarnej dziury formuła Eddingtona w zasadzie opisuje zależność masa-jasność L∼M dla bardzo masywnych gwiazd, których atmosfery są zdominowane przez promieniowanie i świecą z jasnościami w pobliżu tej właśnie granicy obserwacyjnie wyznaczona, z przeglądów młodych, gęstych gromad, górna granica mas gwiazd to około 150–200M⊙ granica Eddingtona: rozpraszanie na swobodnych elektronach κe nieprzezroczystość zdominowana przez żelazo κFe w strefie rekombinacji wodoru κH żadne realistyczne masywne gwiazdy ZAMS nie osiągną LEdd faktyczna nieprzezroczystość może być większa od rozpraszania na elektronach we wnętrzach gwiazd – tzw. iron opacity peak może zmniejszyć LEdd około trzykrotnie linia ZAMS przecina taką LEdd przy ok. 100 M⊙ linia TAMS nawet przy ok. 30 M⊙ największe nieprzezroczystości występują w gwiazdach chłodnych w strefach rekombinacji wodoru chłodne olbrzymy mogą osiągnąć taką LEdd przy ok. 5 M⊙ kiedy lokalnie we wnęrzu gwiazdy przekraczana jest granica Eddingtona otoczka gwiazdy rozdyma się szczegóły modelu zależą od wersji teorii konwekcji ale przy zmniejszonej gęstości nieprzezroczystość żelaza maleje w konsekwencji LEdd rośnie by zatrzymać się dla gorących modeli które granicy Eddingtona już nie przekraczają ciekawe są poszukiwania obserwacyjne odpowiednich gwiazd gwiazdy takie jak η Car i inne typu LBV, wykazujące okresy silnej utraty masy, znajdują się w pobliżu górnej granicy jasności obserwowanych gwiazd epizody silnej utraty masy mogą być powodowane faktem, że gwiazda zbliża się, albo i przekracza granicę Eddingtona promieniowanie kontinuum powiązane ze zwykłym rozpraszaniem na elektronach wywiera siłę przewyższającą grawitację siły kontinuum widmowego mogą sięgać głęboko w atmosferę i otoczkę problemem pozostaje – jak głęboko sięgają takie siły, aby wnętrze gwiazdowe pozostawało grawitacyjnie związane, przy jednoczesnym zainicjowaniu znacznej utraty masy w pobliżu powierzchni gwiazdy lokalne przekroczenie granicy Eddingtona nie musi prowadzić do lawinowego wypływu masy we wnętrzach gwiazdowych dochodzi do głosu niestabilność konwektywna w głębokich warstwach (gęstych i gorących) konwekcja jest bardzo efektywna w przenoszeniu energii i redukuje strumień promienisty rozpędzany promieniowaniem wypływ może zostać zainicjowany dopiero na zewnątrz obszaru o wydajnej konwekcji inny jeszcze efekt stabilizuje atmosferę: tam, gdzie atmosfera zbliża się do granicy Eddingtona, uruchamia się któraś z możliwych niestabilności (np. Rayleigha-Taylora albo osobliwe mody pulsacyjne), co prowadzi do pojawienia się niejednorodności wystąpienie optycznie grubych niejednorodności, w przypadku rozpraszania Thomsona redukuje efektywną nieprzezroczystość i pozwala na zwiększenie strumienia bez wzrostu siły promienistej ten efekt „porowatości” atmosfery nie występuje oczywiście w obliczeniach jednowymiarowych brak jest jednak hydrodynamicznych obliczeń ab initio dla takich nieliniowych zachowań występuje także zjawisko określane zmęczeniem fotonów pod tą nazwą ukrywa się bilans energetyczny, kiedy to energii zawartej w polu promieniowania nie wystarcza na wyniesienie materii z pola grawitacyjnego podrzucona materia może zatrzymać się na pewnej wysokości albo i opaść z powrotem na gwiazdę zamiast stałego wypływu utworzy się tylko rozciągła otoczka albo z inwersją gęstości albo z cyrkulacją masy ogólny obraz gwiazdy, która przekracza granicę Eddingtona, a pomimo to pozostaje stabilna: • (A) głęboko we wnętrzu, przy odpowiednio dużej gęstości, nadwyżka strumienia ponad jasność Eddingtona jest unoszona przez konwekcję • (B) przy mniejszych gęstościach, gdy konwekcja jest niewydajna, niestabilności promieniste wymuszają na atmosferze powstanie niejednorodności; prowadzi to do redukcji nieprzezroczystości i warstwa pozostaje stabilna mimo większego strumienia • (C) przy jeszcze mniejszych gęstościach powstałe zgęstki rozpływają się, tracą nadmierną nieprzezroczystość i absorpcja powraca do wartości mikroskopowych a jasność do eddingtonowskiej • (D) przy znacznym tempie utraty masy wiatr jest optycznie gruby i fotosfera znajduje się w samym wietrze rysunek ilustruje wymienione obszary gwiazdy przykład symulacji numerycznych z uwględnieniem porowatości i zmęczenia fotonów, ale tylko w sferycznej symetrii a nie pełnym 3D pokazane są zmiany struktur w czasie z lewej strony ciemne obszary prezentują powrót, a jasne wypływ materii z prawej strony linie pokazują zmiany promienia wybranych warstw oba panele pokazują wypływ narastający stopniowo po serii stagnacji i opadań wypływ osiąga prędkość v∞ ≈ 50 km/s, co jest znacząco poniżej prędkości ucieczki vesc ≈ 600 km/s nie wiemy: – – – – dlaczego LBV wybuchają ile tracą masy przy wybuchach co determinuje częstość powtarzania wybuchów jak ewoluują bardzo masywne gwiazdy bez wnikania w szczegóły pewne wnioski się nasuwają: tempa utraty masy przez LBV są tak wielkie, że nie mogą trwać w ewolucyjnej skali czasowej kiedy gwiazda osiągnie granicę Eddingtona musi dalej ewoluować nie przekraczając tej granicy na dłużej utrata masy działa jak ujemne sprzężenie zwrotne i redukuje jasność gwiazdy gwiazda przy granicy Eddingtona jest zdominowana ciśnieniem promieniowania i jest konwektywna można ją przybliżyć politropą z indeksem n = 3 istnieje wówczas relacja wiążąca masę gwiazdy M , średnią masę molekularną µ i stosunek β ciśnienia gazu do ciśnienia całkowitego (1 − β)1/2 M = 18.3 M⊙ βµ w miarę ewolucji µ wzrasta jeśli tempo utraty masy jest małe i całkowita masa pozostaje stała, wzrost µ prowadzi do zmniejszenia β zmniejszanie β powoduje wzrost jasności gwiazdy, zbliżający się do granicy Eddingtona, ale jej nie przekraczający przy odpowiednio dużym wzroście ciśnienia promieniowania (czyli odpowiednio małym β) niestabilności czynią atmosferę porowatą i dopuszczają strumień ponad-eddingtonowski kiedy gwiazda już osiągnie granicę Eddingtona (β = βcrit) każde zmniejszenie β przez wzrost µ wyzwala utratę masy przez wiatr rozpędzany promieniowaniem kontinuum gwiazda jest zmuszana do tracenia masy dla utrzymywania się w pobliżu granicy Eddingtona, może to być proces ciągły, albo (z nieznanych na razie powodów) wybuchowy z okresami spokojnymi ewolucję ilustruje rysunek zagadnienia wymagane na egzaminie • warunek równowagi promienistej – bilans energii • przybliżenie Eddingtona: zależność między momentami K i J • przybliżenie Eddingtona: przekształcenie równania przepływu w równanie drugiego rzędu względem J [*] • atmosfera szara: wyprowadzenie zależności JE (τ ) [*] • atmosfera szara: przebieg temperatury w funkcji τ , kiedy T = Teff ? • pojęcie granicy Eddingtona —————– [*] oznacza zagadnienia trudniejsze, wyżej punktowane
