Mikroekonometria 14

Mikroekonometria
14
Mikołaj Czajkowski
Wiktor Budziński
Ocenzurowana zmienna zależna

O ocenzurowanej zmiennej zależnej mówimy kiedy obserwujemy jej
wartości jedynie w jakimś przedziale [ a, b ]
 Dla wartości poza tym przedziałem widzimy jedynie wartości brzegowe

W takim przypadku, oszacowania MNK oraz MNW niekorygujące
ocenzurowania są obciążone

Matematycznie można zapisać tę zależność używając funkcji wskaźnikowej
(analogicznie jak w modelach dla zmiennych binarnych)
*
 Zakładamy, że istnieje pewna ciągła zmienna y , której w pełni nie
obserwujemy
 To co obserwujemy to ocenzurowana zmienna y :
 y = y*

 y=a
 y=b

y * ∈ [ a, b ]
y* ≤ a
y* ≥ b
czaj.org
Przykład – zmienna ocenzurowana dwustronnie
czaj.org
Przykład – zmienna ocenzurowana jednostronnie
czaj.org
Zmienne ocenzurowane – kiedy się pojawiają

Zmienne ocenzurowane mogą pojawić się w danych
ankietowych kiedy pytania w ankiecie (np. o dochód)
mają skończoną liczbę możliwych odpowiedzi


Ocenzurowanie nie zawsze jest błędem. Utrudnia estymację
modeli, ale może prowadzić do bardziej wiarygodnych
oszacowań.
Pomimo, że formalnie nie są to zmienne ocenzurowane,
te same modele wykorzystuje się do danych, w których
występują pewne rozwiązania brzegowe jak np. wydatki
na leki. Histogram zmiennej zależnej często przypomina
wtedy ten z poprzedniego slajdu.
czaj.org
Model Tobitowy (Tobin, 1958)


Podstawowy model będący pewnym uogólnieniem regresji liniowej
Model funkcji wskaźnikowej:
 y = y*

 y=0

y* > 0
y* ≤ 0
,
y* = Xβ + ε , ε  N ( 0,1)
Estymacja metodą największej wiarygodności:
 1  yi − Xi β 

σ φ  σ



Li = 
 1 − Φ  Xi β 



 σ 


yi > 0
yi = 0
gdzie φ ( ⋅) , Φ ( ⋅) to gęstość i dystrybuanta standardowego rozkładu
normalnego
Analogiczny estymator można skonstruować dla dowolnego rozkładu
zmiennej i dowolnego punktu cenzurowania
czaj.org
Przykład – wydatki na leki
1.
2.
3.
Wczytaj zbiór danych me.medexp.lpj
Narysuj histogram zmiennej objaśnianej meddol oraz
policz jaki procent respondentów nie wydał nic na leki
Przeprowadź zwykłą regresję liniową, oraz regresję
tobitową, aby wyjaśnić co wpływa na wydatki na leki.
Czy wyniki się różnią? Jak należy je interpretować?
TOBIT
; lhs = ...
; rhs = ... $
Dodatkowe opcje:
; upper – jeśli chcemy cenzurowanie z góry
; limit = ... - definiujemy wartość limitu
; limits = lower, upper – jeśli mamy cenzurowanie z
dwóch stron
czaj.org
Obcięcie próby



Obcięciem próby nazywamy sytuację, w której nie posiadamy
obserwacji dla pewnych wartości zmiennej objaśnianej
Oszacowania MNK są obciążone
Jeżeli mamy rozkład obcięty dwustronnie to jego gęstość
można zapisać w następujący sposób:
f ( x)


f ( x | a < X < b) =  F (b) − F ( a )

0

dla a < x < b
dla
x ∉ [ a, b ]
czaj.org
Przykładowy kształt rozkładu obciętego
czaj.org
Obcięcie próby

Estymacja metodą największej wiarygodności:
Li = f ( yi | a < yi < b, Xi , β )

Np. dla rozkładu normalnego:
1  yi − Xi β 
φ

σ  σ

Li =
 b − Xi β 
 a − Xi β 
Φ
−
Φ



 σ 
 σ 


gdzie φ ( ⋅) , Φ ( ⋅) to gęstość i dystrybuanta standardowego
rozkładu normalnego
Analogiczny estymator można skonstruować dla dowolnego
rozkładu zmiennej i dowolnego punktu obcięcia
czaj.org
Przykład – indeks osiągnięć
1.
2.
Wczytaj zbiór danych me.achievement.lpj
Sprawdź jak znajomości języków i typ studiów wpływa
na indeks osiągnięć. Wykorzystaj regresję liniową oraz
model z obcięciem próby dla 40.
TRUNCATION
; lhs = ...
; rhs = ...
; limit = ... $
czaj.org
Selekcja próby

Selekcja próby jest problemem podobnym do ocenzurowania –
dla części obserwacji nie znamy wartości zmiennej objaśnianej



Tutaj zakładamy jednak, że to zjawisko zależy od decyzji badanych
podmiotów
Potrzebujemy wszystkich obserwacji dla zmiennych
objaśniających (nawet tych w których brakuje zmiennej
objaśnianej)
Model selekcji próby, nazywany czasem modelem Heckmana,
jest modelem dwuwymiarowym
czaj.org
Selekcja próby






Model składa się z dwóch równań: równania selekcji oraz
równania regresji
Szukamy związku między zmiennymi objaśniającymi X1 a
zmienną objaśnianą y1 , której wartości nie obserwujemy dla
niektórych jednostek
Zakładamy liniowy związek: y1 = X1β + ε
W równaniu selekcji zakładamy, że to czy obserwujemy
*
wartości zmiennej objaśnianej zależy od funkcji wskaźnikowej y2
Analogicznie jak w modelach dla zmiennej binarnej,
zakładamy, że jeżeli y2* > 0 to obserwujemy wartości y1 ,
w przeciwnym wypadku ich nie obserwujemy
Dodatkowo zakładamy: y2* = X 2α + ω
czaj.org
Selekcja próby



Problem selekcji próby pojawia się kiedy błędy losowe ε
i ω są skorelowane
Aby je modelować zakłada się, że pochodzą z
dwuwymiarowego rozkładu normalnego: (ε , ω ) ~ BN ( 0, Σ )
Z macierzą kowariancji:
σ 2 σρ 
Σ=

σρ
1



Estymacja modelu:


Dwustopniowa (Heckman)
Jednostopniowa (jednoczesna) – MNW
czaj.org
Selekcja próby – estymacja dwustopniowa

W pierwszym kroku liczymy model probitowy na zmiennej
y2 , zdefiniowanej jak w modelach binarnych:
1 dla y2* > 0
y2 = 
*
0
dla
y
2 ≤0


Mając wartości dopasowane dla takiego modelu liczymy
tzw. odwrotność ilorazu Millsa:
(
( )
) Φ X α
( )
λ X 2 α =

Następnie liczymy regresję:
φ X 2 α
2
(
)
y1 = X1β + σρλ X 2 α + ε
czaj.org
Selekcja próby – estymacja dwustopniowa


Testując hipotezę: ρσ = 0 , możemy sprawdzić czy problem
selekcji próby faktycznie występuje
W metodzie dwustopniowej, aby poprawnie
zidentyfikować model w wektorze X 2 powinna być chociaż
jedna zmienna spoza wektora X1
czaj.org
Przykład – płace kobiet
1.
2.
3.
4.
Wczytaj zbiór danych me.femlabour.lpj
Użyj modelu Heckamana, aby wyjaśnić co wpływa na płace
kobiet. Czy wszystkie parametry mają oczekiwane znaki?
Wypróbuj model wyjaśniający logarytm płac kobiet
Zinterpretuj wyniki
PROBIT ; lhs = ...
; rhs = ...
; hold $
SELECTION
; lhs = ...
; rhs = ... $
SELE
; mle ? dla estymacji jednostopniowej (MNW)
; ... $
czaj.org
Praca domowa ME.14 (grupy 2-3-osobowe)
1.
2.
3.
4.
Wykorzystując zbiór me.medexp.lpj przeanalizuj co
determinuje wydatki medyczne (zmienna meddol)
Wykorzystaj model selekcji próby, w którym zakładamy,
że w równaniu selekcji modelujemy czy ktoś ma
dodatnie wydatki na leki czy nie. Czy występuje problem
selekcji próby?
Zinterpretuj wyniki
Porównaj wyniki z modelem Tobitowym i zwykłą
regresją liniową
czaj.org
2016-02-05 15:58:16