Mikroekonometria 3

Mikroekonometria
6
Mikołaj Czajkowski
Wiktor Budziński
Metody symulacyjne – Monte Carlo

Metoda Monte-Carlo



Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać
charakterystyki zmiennych losowych poprzez wielokrotne
próbkowanie (zamiast rozwiązań analitycznych)
Jak w kasynie – wielokrotnie gramy i obserwujemy nasze
wyniki, żeby ocenić np. jaka jest wartość oczekiwana jakiegoś
zagrania
Np. w celu szacowania wartości skomplikowanych całek
czaj.org
Całkowanie przy pomocy metody Monte Carlo

Załóżmy, że chcemy policzyć całkę
a
∫ f ( y ) dy
b

Jeżeli potrafimy zapisać f ( y ) = h ( y ) g ( y ) , gdzie g ( y )
to gęstość znanego ciągłego rozkładu, to możemy ją
przybliżyć jako:
a
∫
b
f ( y ) dy ≈
1 R
r
h
y
(
)
∑
r =1
R
r
y
 Gdzie jest wylosowane z rozkładu o gęstości g ( y )
czaj.org
Całkowanie przy pomocy metody Monte Carlo
czaj.org
Zadanie 1. Całkowanie przy pomocy metody Monte
Carlo
Oszacuj używając metody Monte Carlo:
1.
∞
1.
∫ exp ( − exp ( y ) )
−∞
1
2.
∫
0
1
exp ( − y 2 2 ) dy
2π
1
exp ( − y 2 2 ) dy
2π
czaj.org
Metody symulacyjne – symulowane dane

Wykorzystanie symulowanych danych


Zakładamy istnienie jakiegoś procesu generującego dane (DGP,
data generating process)
Takie dane pozwalają testować m.in.:

Czy model ekonometryczny działa prawidłowo?






Może programista się pomylił?
Konsekwencje odstępstw od przyjętych założeń (np. dla KMRL)
Zachowanie modelu dla małych prób
Zaletą jest to, że dokładnie wiemy, jaki jest DGP
Odpowiedź na powyższe pytania nie zawsze jest możliwa przy
pomocy narzędzi analitycznych
Proces może być zaimplementowany jako symulacja Monte
Carlo, aby obserwować wariancję oszacowań
czaj.org
Testowanie działania modeli ekonometrycznych

1.
2.
Algorytm symulacji Monte Carlo może wyglądać w następujący
sposób
Określ DGP (specyfikację, wartości parametrów)
Wygeneruj wartości zmiennych objaśniających i błędy
losowe

Wykorzystaj odpowiednie rozkłady
Wygeneruj wartości zmiennej objaśnianej
Dokonaj estymacji modeli
Zapisz wyniki
Powtórz punkty 2-5 dużą liczbę razy
Przeprowadź analizę zapisanych wyników
3.
4.
5.
6.
7.

Wartość oczekiwana, wariancja
czaj.org
Zadanie 2. Analiza modeli ekonometrycznych
1.
2.
3.
4.
5.
Sprawdź czy regresja liniowa jest prawidłowo
zaprogramowana w Stacie
Sprawdź jakie są konsekwencje pominięcia kwadratowej
zależności w modelu regresji liniowej
Sprawdź czy zależność „schodkowa” może zostać
przybliżona zależnością kwadratową? (Problem
analizowany na zajęciach 4.)
Sprawdź czy endogeniczność obciąża oszacowania
regresji liniowej
Sprawdź czy model 2MNK rozwiązuje problem
endogeniczności
czaj.org
Bootstrap


Bootstrap to metoda symulacyjna,
wykorzystująca podpróby posiadanej
próby, zamiast wielu prób z populacji
Może być wykorzystywana np. do
wnioskowania statystycznego – kiedy
nie znamy teoretycznych właściwości
danej statystyki/estymatora



Jeśli mielibyśmy 1000 prób z pewnej
populacji, to dla każdej z nich
moglibyśmy policzyć daną statystykę i w
efekcie otrzymać jej 1000 oszacowań
Średnią z tych 1000 oszacowań
moglibyśmy traktować jako jej najlepsze
oszacowanie, a wariancję jako miarę
niepewności
Wykorzystując te charakterystyki
moglibyśmy przeprowadzić
wnioskowanie statystyczne
czaj.org
Bootstrap

Z próby wielkości N losujemy ze zwracaniem B
„sztucznych” prób również o długości N.





Przykładowo, mamy próbę 5 obserwacji: X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5
„Sztuczne” próby wyglądałyby np. tak:
X1, X1, X 3 , X 4 , X 4
Albo
X1, X 2 , X 3 , X 3 , X 3
Dla każdej z wylosowanych prób „sztucznych” obliczamy
wartość interesującej nas statystyki/estymatora
Wnioskowanie statystyczne przeprowadzamy analizując
rozkład B oszacowań tej statystyki/estymatora.
czaj.org
Zadanie 3. Bootstrap i Jackknife

Jackknife


1.
2.
Podobna (wcześniejsza) metoda, polegająca na doborze
obserwacji opierającym się na pominięciu (jednej lub więcej)
obserwacji z próby
Np. przeprowadzamy regresję n razy, za każdym razem
pomijając kolejną z n obserwacji
Wygeneruj sztuczne dane dla regresji z
heteroskedastycznością
Porównaj błędy standardowe z KMRL, macierzy
White’a, bootstrapu oraz jackknife
czaj.org
Praca domowa ME.6
1.
Wykorzystując metodę Monte Carlo:
1.
2.

Zbadaj związek między heteroskedastycznością a regresją
kwantylową – czy w przypadku homoskedastyczności
parametry różnią się między kwantylami? Czy odpowiedź
zmienia się w przypadku heteroskedastyczności?
Zbadaj skutki występowania innego rozkładu błędu losowego
niż normalny (w DGP wykorzystaj inny rozkład, np.
lognormalny, jednostajny, Poissona, trójkątny). Czy powoduje
to obciążenie oszacowań? Czy rozkład oszacowań jest
normalny? Jakie są wyniki testów poprawności specyfikacji?
Do przygotowania w grupach dwuosobowych
czaj.org
20.06.2017 11:00:45