3 Arytmetyka.

3
Arytmetyka.
3.1
Zbiory liczbowe.
Bóg stworzył liczby naturalne, wszystko inne jest dziełem człowieka. Leopold Kronecker
Oznaczenia:
zbiór liczb naturalnych: N = {1, 2, . . .}
zbiór liczb całkowitych nieujemnych: N0 = {0, 1, 2, . . .}
zbiór liczb całkowitych: Z = {−n, n ∈ N} ∪ {0} ∪ {n ∈ N} = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
zbiór liczb wymiernych: Q = { pq , p ∈ Z, q ∈ N}
ułamek zwykły:
5
2
13
78
128
10
ułamek zwykły skrócony:
5
2
1
6
64
5
ułamek dziesiętny:
2, 5
12, 8
0, 166 . . .
ułamek dziesiętny skończony - gdy mianownik jest postaci 2p · 5q , p, q ∈ N
ułamek dziesiętny nieskończony - gdy mianownik w rozkładzie iloczynowym posiada inne
czynniki
Liczby niewymierne pojawiają się jako granice pewnych równań lub jako granice pewnych
ciągów. Każda liczba niewymierna rozdziela zbiór Q na dwie części: klasę dolną, tj. zbiór
wszystkich liczb wymiernych mniejszych od niej, oraz klasę górną, tj. zbiór wszystkich
liczb wymiernych większych od niej. Mówimy więc, że każda liczba niewymierna jest
przekrojem liczb wymiernych. Dzięki temu liczby niewymierne można przybliżać liczbami
wymiernymi.
Przykład.
Liczba π może być definiowana jako granica ciągu obwodów n-kątów foremnych wpisanych w koło o średnicy 1. Wykonać stosowne obliczenia.








liczby wymierne
należące do klasy dolnej 






3
3, 1
3, 14
3, 141
<
<
<
<
π
π
π
π
itd.
<
<
<
<
4
3, 2
3, 15
3, 142















liczby wymierne
należące do klasy górnej
zbiór liczb niewymiernych: IQ
zbiór liczb rzeczywistych: R = Q ∪ IQ
Przykład. √
Wykazać, że 2 nie jest liczbą wymierną.
Dowód. Można wykazać, że
Twierdzenie 3 Pierwiastek m-tego stopnia z liczby naturalnej niebędącej m-tą potęgą
liczby naturalnej, jest liczbą niewymierną.
Oznacza
że liczby
√ √postaci:
√
√ √ √to, √
2,
3,
5,
6,
7, √8, √10,√
...
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
3
3
3
2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, . . .
√
4
2, . . .
są niewymierne.
Wprowadza się też inny podział zbioru R na dwa podzbiory: liczb algebraicznych i liczb
przestępnych. Mówimy, że liczba jest algebraiczna, jeśli jest pierwiastkiem wielomianu
o współczynnikach całkowitych. Liczba, która nie jest algebraiczna, nazywana jest liczbą
przestępną. Wszystkie liczby wymierne oraz pierwiastki z liczb wymiernych dodatnich
są algebraiczne gdyż dla m, n ∈ N
m
n
W1 (x) = nx − m ma pierwiastek
p
W2 (x) = nx − m ma pierwiastek
r
p
m
n
oraz
, m, n > 0 .
Twierdzenie 4 Liczba π jest liczbą niewymierną.
Uwaga.
Niewymierność liczby π udowodnił w 1767 Johan Lambert. Wykazał on twierdzenie mówiące, że jeśli liczba x jest wymierna i różna od zera, to przynajmniej jedna z liczb cos x,
sin x jest niewymierna. Skoro cos π = −1 oraz sin π = 0, zatem π nie może być wymierna.
W 1882 Ferdynand Lindemann udowodnił podobnym sposobem, że π jest liczbą przestępną. Narzędziem do tego celu było twierdzenie mówiące, że jeśli liczba x jest algebraiczna i różna od zera, to przynajmniej jedna z liczb cos x, sin x jest niewymierna. Stosując
powyższe rozumowanie otrzymujemy przestępność liczby π.
Twierdzenie 5 Liczba e jest liczbą niewymierną.
Dowód. Zadanie.
Wyrazić liczbę 78, (1016) jako ułamek zwykły.
3.2
Kresy zbiorów.
Niech A będzie pewnym niepustym zbiorem liczbowym.
Definicja 1 Liczbę należącą do zbioru A, która jest większa od wszystkich pozostałych
liczb tego zbioru, nazywamy elementem największym zbioru A i oznaczamy max A.
Definicja 2 Liczbę należącą do zbioru A, która jest mniejsza od wszystkich pozostałych
liczb tego zbioru, nazywamy elementem najmniejszym zbioru A i oznaczamy min A.
W każdym skończonym zbiorze liczbowym istnieje element największy i element najmniejszy. W zbiorze nieskończonym takie elementy mogą nie istnieć.
Przykłady.
min{x ∈ R : x2 − 2x − 3 ¬ 0} = ,
min{x ∈ R : x2 − 2x − 3 < 0} = ,
,
min{x + x1 : x > 0} =
max{x ∈ R : x2 − 2x − 3 ¬ 0} =
max{x ∈ R : x2 − 2x − 3 < 0} =
max{x + x1 : x > 0} =
Definicja 3 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są niewiększe od niej, nazywamy
ograniczeniem górnym zbioru A.
Definicja 4 Liczbę taką, że wszystkie liczby zbioru A są niemniejsze od niej, nazywamy
ograniczeniem dolnym zbioru A.
Definicja 5 Zbiór A nazywamy ograniczonym od góry, jeśli istnieje ograniczenie
górne zbioru A.
Definicja 6 Zbiór A nazywamy ograniczonym od dołu, jeśli istnieje ograniczenie
dolne zbioru A.
Definicja 7 Zbiór A nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony zarówno z dołu,
jak i z góry.
Przykłady.
Zbiory {x ∈ R : x2 − 2x − 3 ¬ 0} = [−1, 3], {x ∈ R : x2 − 2x − 3 < 0} = (−1, 3) mają
ograniczenia zarówno dolne jak i górne. Zbiór {x + x1 : x > 0} = [2, ∞) posiada tylko
ograniczenie dolne.
Definicja 8 Najmniejszą liczbę spośród wszystkich ograniczeń górnych zbioru A nazywamy kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A.
Definicja 9 Największą liczbę spośród wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A nazywamy
kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A.
Powyższe definicje elementów największego i najmniejszego oraz kresów górnego i dolnego
w zadanym zbiorze A można wyrazić za pomocą kwantyfikatorów:
!
?
?
x = max A ⇔ x ∈ A ∧
^
x¬x
?
x∈A
!
x? = min A ⇔ x? ∈ A ∧
^
x­x
?
x∈A

x = sup A ⇔ 

^
x¬x∧
^ _
x∈A
ε>0 x0 ∈A
^
^ _

x = inf A ⇔ 
x0 > x − ε

x­x∧
x∈A
Przykłady.
min(−1, 3) = , max(−1, 3) =
inf(−1, 3) = , sup(−1, 3) =
inf{2−n , n ∈ N} = , min{2−n , n ∈ N} =
sup{2−n , n ∈ N} = , max{2−n , n ∈ N} =
ε>0 x0 ∈A
x0 < x + ε
3.3
Wartość bezwzględna.

a
|a| = 
, a­0
−a , a < 0
Własności wartości bezwzględnej.
1. |a| ¬ b ⇔ −b ¬ a ¬ b,
2. |a| = | − a|,
3. −|a| ¬ a ¬ |a|,
4. |a + b| ¬ |a| + |b|,
nierówność trójkąta
5. ||a| − |b|| ¬ |a − b| ¬ |a| + |b|,
6. |ab| = |a| · |b|,
7. jeśli |a| ¬ c i |b| ¬ d, to |a + b| ¬ c + d
Dowód własności 1. Dowód własności 4. Dowód własności 5. 3.4
O liczbach naturalnych i całkowitych.
Definicja 10 Liczba naturalna m dzieli n (n jest podzielne przez m) jeśli iloraz
liczbą całkowitą. Piszemy wtedy m|n.
n
m
jest
Zatem
m|n ⇔
_
n=m·k .
k∈Z
Definicja 11 Największą liczbę całkowitą, która dzieli dwie dane liczby całkowite m i n
nazywamy największym wspólnym dzielnikiem tych liczb i oznaczamy ją N W D(m, n)
lub (m, n).
Definicja 12 Najmniejszą liczbę naturalną, której dzielnikami są dwie dane liczby naturalne m i n nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb i oznaczamy
ją N W W (m, n) lub [m, n].
Zatem
dla m, n ∈ Z :
N W D(m, n) = max{k ∈ Z : k|m i k|n} ,
dla m, n ∈ N :
N W W (m, n) = min{l ∈ N : m|l i n|l} .
Przykład.
N W W (16, 12) = 48
N W D(16, 12) = 4
stąd np.
1
16
+
1
12
=
4
48
+
3
48
=
7
48
Metoda obliczania NWD → algorytm Euklidesa.
1. Weź dwie liczby naturalne m, n.
2. A := max{m, n} , a := min{m, n}.
3. Oblicz resztę r z dzielenia A przez a.
4. Jeśli r 6= 0, to
(A := a ,
5. N W D(m, n) = a.
a := r
,
przejdź do kroku 3.)
Przykład.
N W D(735, 126).
Twierdzenie 6 Dla m, n ∈ N mamy N W D(m, n) · N W W (m, n) = m · n.
3.5
Liczby pierwsze i złożone.
Definicja 13 Liczba naturalna p nazywa się liczbą pierwszą jeśli ma dokładnie dwa
dzielniki: 1 oraz p.
Definicja 14 Liczba naturalna, która nie jest liczbą pierwszą nazywa się liczbą złożoną.
Uwaga.
Przyjmuje się, że 1 nie jest liczbą pierwszą.
Kolejne liczby pierwsze:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . .
Podstawowe twierdzenie arytmetyki.
Każda liczba naturalna n może być jednoznacznie przedstawiona w postaci
n=
m
Y
pj nj
,
nj ­ 0 ,
j=1
gdzie pj są liczbami pierwszymi.
Na przykład
1452 = 22 · 31 · 50 · 70 · 112 = 22 · 31 · 112
11111 = . . . = 411 · 2711
Twierdzenie 7 (Euklides) Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Dowód. Nie znany jest żaden wzór generujący dowolnie duże liczby pierwsze.
Metoda elementarna wyznaczania liczb pierwszych
→
sito Eratostenesa
Twierdzenie 8 (Wilson) Liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy (p − 1)! + 1 jest
podzielna przez p.
Największe znane na przestrzeni ostatnich 2 wieków liczby pierwsze zawsze były tzw.
liczbami Mersenne’a postaci 2p − 1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Jednak nie każda liczba
tej postaci musi być pierwsza!
k
1
2
3
4
5
6
pk
Mk pierwsza/złożona
uwagi
2
3
p
3
7
p
5
31
p
7 127
p
11 2047
z
2047 = 23 · 89
13 8191
p
Największa znana obecnie (I 2013) liczba pierwsza M48 = 257885161 − 1 ma 17,5 miliona
cyfr. Dziesięć największych znanych dziś liczb pierwszych to liczby Mersenne’a. Instytucja
Electronic Frontier Foundation ustanowiła nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy
liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach cyfr oraz nagrodę 150 tysięcy dolarów dla
odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 100 milionach cyfr.
π(x) - funkcja Eulera, ilość liczb pierwszych mniejszych od x
π(x)
gęstość rozmieszczenia liczb pierwszych
π(100) = 25
1/4
π(1000) = 168
∼ 1/6
π(10000) = 1229
∼ 1/8
Znane są przybliżenia funkcji π(x) np.
π(x) ∼
lub
ln x − 3/2 <
x
ln x
x
< ln x − 1/2 dla x ­ 67 .
π(x)
Pierwszy ze wzorów oznacza, że biorąc duże x, np. x = 1016 i wybierając losowo liczby
bliskie x średnio po ln 1016 = 16 ln 10 = 36, 8 . . . próbach trafimy na liczbę pierwszą.
Zastosowanie dużych liczb pierwszych
3.6
→
algorytmy szyfrujące (np. RSA)
Dwumian Newtona.
Dla n, k ∈ N0 mamy
(
n! =
!
1,
n=0
1 · 2 · . . . · n, n ­ 1
oraz
n
n!
=
.
k
(n − k)!k!
Uwaga.
n
Dla n ∈ N0 mamy n0 = 1 = nn oraz n1 = n = n−1
.
Twierdzenie 9
!
!
n
n
n+1
+
=
k
k+1
k+1
!
,
n, k ∈ N0 , n > k .
Dowód. Zadania.
Wykazać, że
1.
2.
n
k
=
n
m
n+1 k+1
k+1 n+1
m
k
=
n
k
,
n−k
m−k
n, m, k ∈ N0 , n ­ m ­ k .
,
Z ww. twierdzenia wynika konstrukcja trójkąta Pascala
0
0 1
0
2
0
4
0
4
2
⇔
1
3
2
4
1
2
2
3
1
1
2
1
3
0
1
1
1
1
3
3
4
3
4
4
1
1
2
3
4
1
3
6
1
4
1
Twierdzenie 10 Dla dowolnego n ∈ N i dowolnych a, b ∈ R mamy
n
(a + b) =
n
X
k=0
!
!
!
!
n k n−k
n 0 n
n 1 n−1
n n 0
a b
=
ab +
ab
+ ... +
a b .
k
0
1
n
wzór dwumienny Newtona
W szczególności
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ,
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 .
Dowód. Ze wzoru dwumiennego Newtona można uzyskać wiele wzorów.
1.
Pn
2.
Pn
k=0
n
k
= 2n ,
k
k=0 (−1)
n
k
= 0,
3.
Pp
4.
Pn/2 n 5.
Pn/2−1 n 6.
P(n−1)/2 n 7.
P(n−1)/2 n k=0
k=0
k=0
k=0
k=0
n
k
2k
n−k
p−k
= 2p
n
p
,
n ­ p ­ 0,
= 2n−1 dla n ∈ P ar,
2k+1
2k
= 2n−1 dla n ∈ P ar,
= 2n−1 dla n ∈ N P ar,
2k+1
= 2n−1 dla n ∈ N P ar.