Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. – wyd.
4, dodr. 3. – Warszawa, 2012
Spis treści
Przedmowa
5
Oznaczenia i konwencje
7
Rozdział I
Rozkład wykładniczy i rozkład jednostajny
§ 1. Wprowadzenie
§ 2. Gęstości i sploty
§ 3. Gęstość rozkładu wykładniczego
§ 4. Paradoksy czasu oczekiwania. Proces Poissona
§ 5. Prześladowanie przez pech
§ 6. Czasy oczekiwania i statystyki pozycyjne
§ 7. Rozkład jednostajny
§ 8. Rozbicia losowe
§ 9. Sploty i twierdzenia o pokryciu
§ 10. Kierunki losowe
§ 11. UŜycie miary Lebesgue'a
§ 12. Dystrybuanty empiryczne
§ 13. Zadania
9
11
15
17
21
23
26
30
31
34
38
41
43
Rozdział II
Pewne specjalne funkcje gęstości. Randomizacja
§ 1. Oznaczenia i konwencje
§ 2. Rozkłady gamma
§ 3*. Pewne pokrewne rozkłady występujące w statystyce
§ 4. Niektóre częściej uŜywane gęstości
§ 5. Randomizacja i rozkłady mieszane
§ 6. Rozkłady dyskretne
§ 7. Funkcje Bessela i błądzenie przypadkowe
§ 8. Rozkłady na okręgu
§ 9. Zadania
48
50
51
52
56
58
60
64
66
Rozdział III
Gęstości w przestrzeniach wielowymiarowych, Gęstości normalne
i procesy
§ 1. Gęstości
§ 2. Rozkłady warunkowe
§ 3. Powrót do rozkładu wykładniczego i jednostajnego
68
73
75
§
§
§
§
§
§
§
4*. Charakteryzacja rozkładu normalnego
5. Oznaczenia macierzowe. Macierz kowariancji
6. Rozkłady i gęstości normalne
6a. Dodatek: rotacje
7*. Stacjonarne procesy normalne
8. Gęstości normalne Markowa
9. Zadania
79
81
84
87
88
93
98
Rozdział IV
Miary prawdopodobieństwa i przestrzenie probabilistyczne
§ 1. Funkcje Baire'a
§ 2. Funkcje przedziału i całki w Rr
§ 3. Miary prawdopodobieństwa i przestrzenie probabilistyczne
§ 4. Zmienne losowe. Wartości oczekiwane
§ 5. Twierdzenie o rozszerzaniu
§ 6. Przestrzenie produktowe. Ciągi zmiennych niezaleŜnych
§ 7. Zbiory miary zero. Uzupełnienie
102
104
109
112
115
117
121
Rozdział V
Rozkłady prawdopodobieństwa w Rr
§ 1. Dystrybuanty i wartości oczekiwane
§ 2. Uwagi wstępne
§ 3. Gęstości
§ За*. Rozkłady osobliwe
§ 4. Sploty
§ 5. Symetryzacja
§ 6. Całkowanie przez części. Istnienie momentów
§ 7. Nierówność Czebyszewa
§ 8. Dalsze nierówności. Funkcje wypukłe
§ 9. Proste rozkłady warunkowe. Rozkłady mieszane
§ 10*. Rozkłady warunkowe
§ 10a*. Warunkowe wartości oczekiwane
§ 11. Zadania
124
131
133
135
137
142
144
145
146
149
152
154
156
Rozdział VI
Przegląd niektórych waŜnych rozkładów i procesów
§ 1. Rozkłady stabilne w R1
§ 2. Przykłady
§ 3. Rozkłady nieskończenie podzielne w R1
§ 4. Procesy o przyrostach niezaleŜnych
§ 5*. Zagadnienia ruiny w złoŜonym procesie Poissona
§ 6. Procesy odnowienia
§ 7. Przykłady i problemy
§ 8. Błądzenia przypadkowe
§ 9. Proces kolejek
160
164
167
170
173
174
177
181
185
§10. Powracające i chwilowe błądzenie przypadkowe
§11. Ogólne łańcuchy Markowa
§12*. Martyngały
§13. Zadania
190
155
200
204
Rozdział VII
Prawa wielkich liczb. Zastosowania do analizy
§ 1. Podstawowy lemat i oznaczenia
§ 2. Wielomiany Bernsteina. Funkcje absolutnie monofoniczne
§ 3. Zagadnienia momentów
§ 4*. Zastosowania do zmiennych symetrycznie zaleŜnych
§ 5*. Uogólniony wzór Taylora i półgrupy
§ 6. Wzory na odwrócenie dla transformacji Laplace'a
§ 7*. Prawa wielkich liczb dla zmiennych o jednakowym rozkładzie
§ 8*. Mocne prawa wielkich liczb dla martyngałów
§ 9. Zadania
207
209
211
213
215
217
219
222
226
Rozdział VIII
Podstawowe twierdzenia graniczne
§ 1. ZbieŜność miar
§ 2. Własności specjalne
§ 3. Rozkłady jako operatory
§ 4. Centralne twierdzenie graniczne
§ 5*. Nieskończone sploty
§ 6. Twierdzenia o wyborze
§ 7*. Twierdzenia ergodyczne dla łańcuchów Markowa
§ 8. Regularna zmienność
§ 9*. Asymptotyczne własności regularnie zmieniających się funkcji
§ 10. Zadania
228
232
235
238
244
245
248
252
255
259
Rozdział IX
Rozkłady nieskończenie podzielne i półgrupy
§ 1. Ogólna orientacja
§ 2. Półgrupy operatorów splotu
§ 3. Lematy wstępne
§ 4. Przypadek skończonych wariancji
§ Podstawowe twierdzenia
§ 5a. Półgrupy nieciągłe
§ 6. Przykład: półgrupy stabilne
§ 7. Układy trójkątne
§ 8. Obszary przyciągania
§ 9. Zmienne rozkłady. Twierdzenie o trzech szeregach
§10. Zadania
263
265
268
270
272
276
277
279
282
286
288
Rozdział X
Procesy Markowa i półgrupy
§ 1. Typ pseudopoissonowski
§ 2. Wariant: Przyrosty liniowe
§ 3. Procesy czysto nieciągłe
§ 4. Procesy dyfuzji w R1
§ 5. Równania prospektywne. Warunki brzegowe
§ 6. Dyfuzja w większej liczbie wymiarów
§ 7. Procesy podporządkowane
§ 8. Procesy Markowa i półgrupy
§ 9. „Wzór wykładniczy" w teorii półgrup
§ 10. Generatory. Równania retrospektywne
291
293
294
298
303
308
310
313
317
319
Rozdział XI
Teoria odnowienia
§ 1. Twierdzenie odnowienia
§ 2*. Równanie ζ = F*ζ
§ 3. Powracające procesy odnowienia
§ 4. Udoskonalenia
§ 5. Centralne twierdzenie graniczne
§ 6. Kończące się (chwilowe) procesy odnowienia
§ 7. Zastosowania
§ 8. Istnienie granic dla procesów stochastycznych
§ 9*. Teoria odnowienia na całej prostej
§ 10. Zadania
321
326
327
331
333
334
337
339
341
345
Rozdział XII
Błądzenia przypadkowe w R1
§ 1. Oznaczenia i konwencje
§ 2. Dualność
§ 3. Rozkład wysokości drabinowych. Faktoryzacja Wienera-Hopfa
§ За. Równanie całkowe Wienera-Hopfa
§ 4. Przykłady
§ 5. Zastosowania
§ 6. Lemat kombinatoryczny
§ 7. Rozkład momentów drabinowych
§ 8. Prawa arcusa sinusa
§ 9. RóŜne uzupełnienia
§10. Zadania
348
351
354
358
359
363
366
367
369
374
375
Rozdział XIII
Transformacje Laplace'a. Twierdzenia tauberowskie. Rezolwenty
§ 1. Definicje. Twierdzenie o ciągłości
§ 2. Elementarne własności
§ 3. Przykłady
§ 4. Funkcje całkowicie monotoniczne. Wzory na odwrócenie
379
382
384
387
S 5. Twierdzenia tauberowskie
§ 6*. Rozkłady stabilne
§ 7*. Rozkłady nieskończenie podzielne
§ 8*. Przypadek większej liczby wymiarów
§ 9. Transformacie Laplace'a dla półgrup
§10. Twierdzenie Hille'a-Yosidy
§11. Zadania
389
394
396
398
400
404
407
Rozdział XIV Zastosowania transformacji Laplace'a
§ 1. Równanie odnowienia: teoria
§ 2. Równanie typu równania odnowienia: przykłady
§ 3. Twierdzenia graniczne dotyczące rozkładu arcusa sinusa
§ 4. Okresy natęŜenia ruchu i związane г nimi procesy gałązkowe
§ 5. Procesy dyfuzji
§ 6. Procesy urodzin i śmierci i błądzenie przypadkowe
§ 7. Równania róŜniczkowe Kołmogorowa
§ 8. Przykład: czysty proces urodzin
§ 9. Obliczanie P(∝) i czasów pierwszego przejścia
§ 10. Zadania
411
413
415
417
419
423
426
431
434
437
Rozdział XV
Funkcje charakterystyczne
§ 1. Definicje i podstawowe własności
§ 2. Pewne szczególne gęstości. Kombinacje wypukłe rozkładów
§ 3. Jednoznaczność. Wzory na odwrócenie
§ 4. Własności regularności
§ 5. Centralne twierdzenie graniczne dla składników o jednakowych
rozkładach
§ 6. Warunki Lindeberga
§ 7. Funkcje charakterystyczne w większej liczbie wymiarów
§ 8*. Dwie charakteryzacje rozkładu normalnego
§ 9. Zadania
454
458
461
464
466
Rozdział XVI*
Rozwinięcia związane z centralnym twierdzeniem granicznym
§ 1. Oznaczenia
§ 2. Rozwinięcia dla gęstości
§ 3. Wygładzanie
§ 4. Rozwinięcia dla dystrybuant
§ 5. Twierdzenie Berrу'ego-Esséena
§ 6. Wielkie odchylenia
§ 7. Przypadek niejednakowych składników
§ 8. Zadania
470
471
474
477
480
481
485
488
Rozdział XVII
440
443
448
451
Rozkłady nieskończenie podzielne
§ 1. Twierdzenie o zbieŜności
§ 2. Rozkłady nieskończenie podzielne
§ 3. Przykłady i własności specjalne
§ 4. Funkcje charakterystyczne rozkładów stabilnych
§ 5. Obszary przyciągania
§ 6*. Gęstości stabilne
§ 7. Układy trójkątne
§ 8*. Klasa L
§ 9*. Obszary częściowego przyciągania. „Prawa uniwersalne"
§ 10*. Sploty nieskończone
§ 11. Przypadek większej liczby wymiarów
§ 12. Zadania
400
495
499
503
505
510
511
515
516
519
520
521
Rozdział XVIII
Zastosowanie metod analizy Fouriera do błądzenia przypadkowego
§ 1. Podstawowa toŜsamość
524
§ 2*. Przedziały skończone. PrzybliŜenie Walda
526
§ 3. Faktoryzacja Wienera-Hopfa
529
§ 4. Dyskusja i zastosowania
537
§ 5*. Udoskonalenia
534
§ 6. Powroty do początku układu
535
§ 7. Kryteria dla powracalności procesu
536
§ 8. Zadania
539
Rozdział XIX Analiza harmoniczna
§ 1. ToŜsamość Parsevala
§ 2. Funkcje dodatnio określone
§ 3. Procesy stacjonarne
§ 4. Szeregi Fouriera
§ 5*. Wzór sumacyjny Poissona
§ 6. Ciągi dodatnio określone
§ 7. Teoria L2
§ 8. Procesy stochastyczne i całki
§ 9. Zadania
541
542
544
547
550
553
555
560
564
Odpowiedzi da zadań
567
Niektóre ksiąŜki dotyczące zagadnień pokrewnych
575
Skorowidz
573
oprac. BPK