Grzegorz Kondrat

LIV Olimpiada Astronomiczna 2010 / 2011
Zawody III stopnia
1. Wskutek efektów relatywistycznych mierzony całkowity strumień promieniowania od
gwiazdy, która porusza się w kierunku obserwatora z prędkością radialną o wartości Vrad, zmienia
się o niewielką wartość
F  4
F0Vrad
,
c
gdzie F0 jest strumieniem dla gwiazdy nieporuszającej się względem obserwatora, a c 
prędkością światła w próżni, przy czym Vrad « c. ΔF jest dodatnie dla obiektu zbliżającego się do
obserwatora, a ujemne — dla oddalającego się. Dla pojedynczych gwiazd poprawka ΔF do
strumienia jest stała, sytuacja zmienia się jednak jeśli rozpatrujemy układ podwójny gwiazd. Z
powodu zmian prędkości radialnych składników podczas ruchu orbitalnego efekt ten, znany pod
nazwą ”Doppler beaming”, może powodować mierzalne zmiany jasności układu z okresem
równym okresowi orbitalnemu.
Ponieważ w typowych układach podwójnych efekt ten jest bardzo mały (poniżej 0,001
magnitudo), jego detekcja jest możliwa tylko jeśli pomiary są bardzo precyzyjne. Kilka układów,
które wyraźnie pokazują ten efekt, zostało niedawno odkrytych w obserwacjach prowadzonych
przez satelitę Kepler.
Załóżmy, że mamy układ podwójny gwiazd, którego główny składnik jest gwiazdą ciągu
głównego o masie M1 = 1 M ‫ סּ‬a składnik wtórny jest też gwiazdą ciągu głównego, ale o masie
M2 < M1. Składniki układu okrążają środek masy po orbitach kołowych, odległość między nimi
wynosi a, a środek masy układu nie porusza się względem obserwatora.
Dla rozpatrywanego układu pokaż, jak względne zmiany obserwowanego strumienia
F F1  F2

,
FS 0 F1,0  F2,0
(*)
zależą od wartości stosunku mas q = M2 / M1.
Wyznacz z dokładnością do 0,1 stosunek mas q, dla którego względne zmiany obserwowanego
strumienia pochodzącego od układu podwójnego a wywołane przez ”Doppler beaming” będą
największe. Dla prostoty załóż, że dla małomasywnych gwiazd ciągu głównego spełniona jest
następująca zależność między masą M a mocą promieniowania L: L  M4 (znak ”” oznacza
proporcjonalność).
Zauważ, że:
 w opisanej sytuacji stosunek prędkości radialnych składników gwiazdy podwójnej jest
proporcjonalny do stosunku ich prędkości orbitalnych;
 szukamy jedynie stosunku mas q, dla którego F jest największe, a nie samej wartości F.
____________________________________________________________________
(*) Indeksy 1 i 2 odnoszą się odpowiednio do składnika głównego i wtórnego, a FS,0 = F1,0 + F2,0 jest
strumieniem pochodzącym od całego układu w momencie gdy prędkości radialne obydwu
składników są równe zero.
2. Pływy oraz perturbacje powodują zmianę elementów orbit: Księżyca wokół Ziemi (ZK) oraz
Ziemi wokół Słońca (SZ). Ponadto, na skutek ewolucyjnych zmian Słońce zwiększa swój promień
o 5,2% na miliard lat. W wyniku tych zmian warunki obserwacji całkowitych zaćmień Słońca z
powierzchni Ziemi również ulegają modyfikacjom.
Przyjmując, że mimośrody orbit oscylują w zakresach podanych w tabelce, a wielkie półosie
orbit i promień Słońca zwiekszają się liniowo w czasie, oblicz kiedy nastąpi ostatnie całkowite
zaćmienie Słońca widoczne z powierzchni Ziemi.
zmiany mimośrodu orbity
tempo wzrostu wielkiej półosi
ZK
0,026  0,077
3,8 m/stulecie
SZ
0,005  0,058
7 m/stulecie
3. Załączone rysunki przedstawiają:
Rys. 1.  zestaw wzorcowych widm gwiazd ciągu głównego;
Rys. 2.  widma czterech gwiazd ciągu głównego (HD 23194, HD 23585, HD 27524, Beta
Comae), których jasności obserwowane wynoszą: 8,07; 8,38; 6,78; 4,26 magnitudo;
Rys. 3  rozkład energii w widmie gwiazdy HD 27524;
Rys. 4.  diagram Hertzsprunga- Russella.
1. Podaj typy widmowe gwiazd, których widma przedstawiono na Rys. 2.
2. Znajdź odległości gwiazd, których widma podano na Rys. 2. (przy założeniu braku ekstynkcji
międzygwiazdowej).
3. Przedyskutuj dokładność otrzymanego wyniku przyjmując, że błąd jasności obserwowanej
jest znikomy.
4. Znajdź temperaturę gwiazdy, której widmo przedstawiono na Rys. 3.
4. W odległości odpowiadającej przesunięciu ku czerwieni z = 0,1 zaobserwowano
galaktykę o średnicy kątowej  = 12". Udało się również zmierzyć przesunięcie ku czerwieni
zewnętrznych fragmentów tej galaktyki. Różniło się ono od przesunięcia średniego z o Δz = 710-3.
Przyjmując, że różnica ta jest spowodowana ruchem wokół centrum, a oś obrotu galaktyki jest
prostopadła do linii widzenia oblicz masę obserwowanej galaktyki. Zakładamy dodatkowo, że
rozkład materii jest w tej galaktyce sferycznie symetryczny, a ruch gwiazd jest kołowy z
prędkościami nierelatywistycznymi.
5. Aparatura planetarium odtworzy trzy kolejne doby w obrębie tzw. roku platońskiego, który
trwa około 25800 lat.
Na załączonej mapce nieba zaznacz położenia: północnego bieguna ekliptyki,
północnego bieguna niebieskiego (dla epoki odtwarzanej daty) i gwiazdy α Leo (Regulus).
Na podstawie przeprowadzonych obserwacji planetaryjnego nieba podaj w arkuszu
odpowiedzi:
a) szerokość geograficzną miejsca obserwacji,
b) wysokości na jakich górują α Leo i α Cen (Toliman),
c) wysokości na jakich dołują α Leo i α Cen,
d) deklinacje α Leo i α Cen (na epokę odtwarzanej daty),
e) deklinacje Słońca (na epokę odtwarzanej daty),
f) porę roku odtwarzaną przez aparaturę planetarium,
g) wyznacz epokę odtwarzanej sytuacji (odpowiedź uzasadnij).
Arkusz odpowiedzi do zadania 5
finału LIV Olimpiady Astronomicznej
a) szerokość geograficzna miejsca obserwacji . . . . . . . . . . . . ,
b) wysokości górowania α Leo . . . . . . . . . . . . i α Cen . . . . . . . . . . . . ,
c) wysokości dołowania α Leo . . . . . . . . . . . . i α Cen . . . . . . . . . . . . ,
d) deklinacje α Leo . . . . . . . . . . . . i α Cen . . . . . . . . . . . . ,
e) deklinacje Słońca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
f) pora roku odtwarzanej sytuacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
g) epoka odtwarzanej sytuacji . . . . . . . . . . , uzasadnienie tej odpowiedzi:
6. Rozważamy kuliste ciało doskonale czarne, które krąży wokół Słońca po okręgu
o promieniu r. Zakładamy, że temperatura bezwzględna tego ciała jest stała na całej jego
powierzchni i jest funkcją jedynie odległości od Słońca:
T = T(r),
przy czym r wyrażamy w jednostkach astronomicznych.
Znajdź tę funkcję i na jej podstawie oblicz temperatury bezwzględne ciała doskonale
czarnego umieszczonego kolejno w średnich odległościach od Słońca:
Merkurego (0,387 AU), Ziemi (1,00 AU), Marsa (1,52 AU) i Saturna (9,54 AU).
Stałe astronomiczne i fizyczne
Jednostka astronomiczna (AU)
Rok świetlny (ly)
Parsek (pc)
Rok gwiazdowy
Rok zwrotnikowy
Rok kalendarzowy
Doba gwiazdowa
Doba słoneczna
Średnia odległość Ziemia-Księżyc
Masa Ziemi (M♁ )
Średnia prędkość Ziemi na orbicie
Masa Księżyca (M)
Promień Księżyca (R)
Masa Słońca (M)
1,4960 × 10 11 m
9,4605 × 10 15 m = 63 240 j.a.
3,0860 × 10 16 m = 206 265 j.a
365,2564 doby słonecznej
365,2422 doby słonecznej
365,2425 doby słonecznej
23 h 56 m 04 s,091
24 h 03 m 56 s,555 jednostek czasu gwiazdowego
3,844 × 10 8 m
5,9736 × 10 24 kg
Promień równikowy Ziemi (R♁ )
29,783 km/s
7,3490 ×1022 kg
1,737 × 10 6 m
1,9891 × 10 30 kg
6,378 × 10 6 m
Promień Słońca (R)
Moc promieniowania Słońca (L)
Obserwowana jasność Słońca w filtrze V(m)
Jasność absolutna Słońca w filtrze V (M)
Absolutna bolometryczna jasność Słońca (Mbol)
Prędkość światła w próżni (c)
Stała powszechnej grawitacji (G)
Stała Boltzmanna (k)
Stała Stefana-Boltzmanna (σ)
Stała Plancka (h)
Stała Wiena (b)
Stała Hubble'a (H0)
Nachylenie ekliptyki do równika (ε)
6,96 × 10 8 m
3,96 × 10 26 J s -1
-26.8 m
4,75 m
4,72 m
2,9979 ×10 8 m/s
6,6726 × 10 -11 N m2 kg -2
1,381 × 10 -23 m kg s -2 K -1
5,6704 × 10 -8 kg s -3 K -4
6,6261 × 10 -34 J s
2,8978 × 10 -3 m K
70 km s -1 Mpc -1
23 O 26,3 '