Pole przepływowe prądu stałego

Podstawy elektromagnetyzmu
Wykład 5
Pole przepływowe
prądu stałego
Czym jest prąd elektryczny?
Prąd elektryczny: uporządkowany ruch ładunku.
-
-
I
-
-
-
Prąd elektryczny w metalach
Lity metalowy przewodnik zawiera swobodne elektrony.
Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego te swobodne elektrony zaczynają się poruszać (w zasadzie w
kierunku siły od zewnętrznego pola), tworząc uporządkowany ruch, który nazywamy prądem elektrycznym.
Prąd elektryczny w innych materiałach
Prądem elektrycznym nazywamy ruch dowolnego rodzaju ładunków:
●
jony dodatnie i ujemne
●
"dziury" w półprzewodnikach
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 2
Prędkość unoszenia
I
v=
nQ A
v
I
n
Q
A
-
-
-
- prędkość unoszenia
- natężenie prądu
- liczba ładunków (cząstek) w jednostce objętości
- wartość pojedynczego ładunku
- powierzchnia przekroju przewodnika
-
Przykład:
Prąd o natężeniu 3 A w miedzianym przewodzie o średnicy 1mm.
Prędkość unoszenia to: 0.28 [mm/s] czyli 1.0 [m/h].
Założenia: n=8.5e28[1/m3], Q=1.6e-19[C], A= 7.85e-7[m2]
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 3
Natężenie prądu
Natężenie pradu to wektor, ktorego moduł
określa intensywność ruchu ładunku w danym
punkcie
I
J=
A
I =∫ J⋅d A
A
A – powierzchnia przekroju
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 4
Analogia do przepływu cieczy
Przepływ ładunku przypomina przepływ wody
Ładunek
elektryczny
Cząsteczka
wody
Przewodnik
Rura/kanał
Potencjał
elektryczny
Ciśnienie /
Wys. słupa
czieczy
Napięcie
Różnica
ciśnień / wys.
Słupa cieczy
Prąd
Przepływ
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 5
Wodny rezystor
Wodny kondensator
Źródła prądu
Prąd (ruch ładunku) jest spowodowany polem
elektrycznym.
-
Gęstość prądu
Natężenie pola
J = E
Współczynnik materiałowy
(przewodność)
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 6
-
-
Źródła prądu
Strumień przez zamkniętą powierzchnię = 0.
Jest to prawdziwe dla większości ,,zwykłych” obwodów.
-
∫ J⋅d A=0
-
-
-
∇⋅J =0
-
-
Stała liczba ładunków w obszarze.
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 7
Źródła prądu
Ładunek może być ,,generowany” -wpompowywany do obszaru z x-wymiaru.
-
∫ J⋅d A=−
-
-
∇⋅J =−
-
-
Ładunek w obszarze się zmienia.
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 8
∂ρ
∂t
dQ
dt
Pole i ,,obwody elektryczne”
●
Pierwsze prawo Kirchoffa
Suma prądów w węźle jest równa zero.
Teoria obwodów:
Teoria pola:
n
I
=0
k
k =1
∑
∫ J⋅d A=0
∇⋅J =0
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 9
Pole i ,,obwody elektryczne”
●
Drugie prawo Kirchoffa
Suma napięć w oczku jest równa zero.
Teoria obwodów:
n
∑ V k =0
k =1
Teoria pola:
∮ E⋅d l =0
∇ × E=0
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 10
Prawo Ohma
●
Prawo Ohma
U
I=
R
Prąd w przewodniku jest wprost proporcjonalny do napięcia
i odwrotnie proporcjonalny do rezystancji.
Teoria obwodów:
Rezystancja to właściwość obiektu (rezystora).
Zależy od: wielkości, kształtu, struktury, materiałów.
Teoria pola:
Przewodność t właściwość materiału.
Jest związana z ,,punktem”, a nie obiektem.
Nie zależy od wielkość, kształtu, itp.
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 11
U
R=
I
J = E
E
J=
r
Przewodność
●
Można powiedzieć, że przewodność to
zdolność materiału do przewodzenia
prądu elektrycznego.
●
●
Przewodność zależy od:
●
Liczby swobodnych ładunków,
●
Liczby kolizji.
J = E
Oporność = 1 / Przewodność
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 12
Wartość przewodności
Przewodność wyrażamy w
[siemensach na metr] [S/m]
Przewodniki
Materiały słabo
przewodzące
Izolatory
Srebro = 6.3 • 107
Woda morska = 4.8
Woda destylowana = 5.5 • 10-6
Miedź = 5.7 • 107
Woda pitna = 0.005
Powietrze = 5 • 10-13
Aluminium = 3.5 • 107
Tkanki żywe = 1
Heksan = 1 • 10-14
Żelazo = 3.5 • 106
Kości = 0.01
SF6 = 1.5 • 10-13
Rezystywność
[ohm metr] [Ω m]
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 13
Opis matematyczny
Pole przepływowe i elektrostatyczne są fizycznie inne,
ale ich opis matematyczny jest bardzo podobny.
D= E
∇⋅D=
J = E
∇⋅J =−
∂ρ
∂t
E=−∇ 
∇⋅∇ =−


∇⋅∇ φ=
Równanie Poissone'a
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 14
1 ∂ρ
σ ∂t
Rezystor dwuwarstwowy
Natężenie
pola
Gęstość
prądu
Skalarny potencjał elektryczny
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 15
J n =const
Równoległe połączenie
materiałów o różnej przewodności
Natężenie
pola
Gęstość
prądu
Potencjał elektryczny
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 16
Przepływ prądu
Rozkład potencjału w otoczeniu
dwóch elektrod
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 17
Odpowiedni rozpływ prądu
Wyznaczanie rezystancji
Połączenie
szeregowe
1. Zadaj I
2. Wyznacz J
3. Oblicz E
4. Oblicz napięcie U
5.
U
R=
I
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 18
Połączenie
równoległe
1. Zadaj
U
2. Wyznacz E
3. Oblicz J
4. Oblicz prąd: I
5.
U
R=
I
Przykłady
Rezystor kulisty
Rezystor walcowy
R=?
σ=0.2
R=?
h1
σ=0.2
r1
σ=0.1
r2
σ=0.25
2
r1
U =1 V ⇔∫r E(r )dr=1 V
2
I =1 A → J (r)=1/(4 π r )→ E (r)=1/(4 π r σ )
0
r2
r1
0
0
r2
U =∫r E(r)dr=1/(4 π)∫r (10/r )dr+∫r (5 /r )dr
2
1
2
E(r)=a /r ⇒U =a ln (r 1 /r 0 )
h2
r0,r1
⇒ a=1/ln (r 1 /r 0 )
E(r)=1 /(r ln (r 1 /r 0))⇒ E(r 1)=1/(r 1 ln (r 1 /r 0))
U =5 /(4 π)(2(r 1−r0 )/(r 1 r 0)+(r 2−r1 )/(r 2 r1 ))
I 1 =2 π r 1 h1⋅0.2 /(r1 ln (r 1 /r 0 ))=(0.4 π h1)/(ln (r 1 / r 0))
R=U /1
I 2 =2 π r 1 h2⋅0.25 /(r1 ln (r 1 /r0 ))=(0.5 π h2 )/(ln (r 1 /r0 ))
R=1/(I 1 +I 2)
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 19
Gęstość mocy
●
Przepływ prądu wiąże się z zamianą energii
elektrycznej w ciepło
●
Gęstość strat mocy [W/m3]
●
Straty w objętości
●
Całkowita moc strat [W]
●
Straty w rezystancji:
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 20
p= E⋅J
P=∫V E⋅J dv=U I
 
U I
P=
l A=U I
l A
Uszkodzenie przewodu
Dlaczego może być przyczyną pożaru?
Gęstość mocy strat [W/m3]
Podstawy elektromagnetyzmu , Wykład 5, slajd 21