Wykład 6

1
Numeryczne rozwiązywanie
dwuwymiarowych zagadnień
magnetostatycznych.
• Rozwiązywanie problemu magnetostatycznego w
aplikacjach korzystających z metody elementów
skończonych (FEM) na przykładzie pakietu QuickField.
2
Magnetostatyka jest przypadkiem szczególnym elektrodynamiki dla pól
stałych w czasie (B/t=0)
Przedmiotem rozwiązania są liniowe i nieliniowe, dwuwymiarowe
problemy magnetyczne.
Źródłem pola mogą być
•skoncentrowane lub rozłożone prądy,
•magnesy stałe
•pola zewnętrzne.
Problem jest formułowany jako równanie Poisson’a wektora potencjału
magnetycznego A:
 A  J
2
B  rot A
div A  0
Na płaszczyźnie x, y (r, j)
y
By
jz
Az
3
Bj
jz
Az
Br
j
Bx
r
x
r
Na płaszczyźnie r, z (, j)
Br
j
jj
Aj
Bz
z
4
Problem osiowo-symetryczny
r
Rozpatrywana płaszczyzna
r>0
z
Problem płasko-równoległy
5
Dla problemu płasko-równoległego
 H cy H cx 
  1 A    1 A 
   j  

 

x   y x  y   x y 
y 
 x
  1  rA    1 A 
 H cr H cz 

  
   j  


r  r z r  z   r z 
r 
 z
Dla problemu osiowo-symetrycznego
x,y,r,z – składowe tensora przenikalności magnetycznej,
Hc – składowe natężenia koercji (z charakterystyki pierwotnej)
Materiały izotropowe (x = y , r = z )
Własności magnetyczne opisuje charakterystyka
magnesowania B=B(H)
6
• Definiowanie problemu.
•
Warunki graniczne.
•
Źródła pola
•
prądy objętościowe
– prądy powierzchniowe
– prądy liniowe
– magnesy trwałe
– pola zewnętrzne
•
Definiowanie własności materiałowych.
• Generowanie siatki.
• Rozwiązywanie problemu.
• Interpretacja wyników
•
Rozkład pola – możliwości prezentacji.
•
Obliczanie wielkości całkowych (strumień, siły, indukcyjności, itp).
Warunki graniczne:
A0  a  bx  cy
Warunek Dirichleta
cr 2
rA0  a  bzr 
2
Parametry a, b, c są stałe dla każdej granicy, ale mogą się
zmieniać na granicach sąsiadujących. To pozwala
zamodelować jednorodne pole zewnętrzne o zadanej
niezerowej składowej normalnej indukcji na tej granicy.
Bn
Az
Bx 
y
Az
By  
x
1 Az
Br 
r j
Az
Bj  
r
Bn  c sin   b cos 
B
Bn=c
x (z)
90

Wybór a = const dla różnych krawędzi musi spełniać warunek ciągłości dla funkcji A0
na wszystkich połączonych krawędziach.
Zerowy warunek Dirichleta jest warunkiem domyślnym dla osi obrotu w problemach osiowo
symetrycznych.
7
8
A0  a  bx  cy
Az
Bx 
c
y
Az
By  
b
x
Bn  c sin   b cos 
Bt  c cos   b sin 
dla   0
Bn  b
Bt  c
dla   90
Bn  c
Bt  b
9
Warunek Neumanna
Ht  
na granicy zewnętrznej
H t  H t  
na granicy wewnętrznej
Ht - składowa styczna natężenia pola
Jeśli Ht = 0 to warunek brzegowy jest jednorodny. Używany jest do opisania
krawędzi obszarów antysymetrycznych tzn. obszarów sąsiadujących o
odwróconym obrazie pola.
Warunek jednorodny jest domyślny dla zewnętrznych krawędzi bez zdefiniowanego
warunku.
Warunek zerowego strumienia na granicy Bn=0
Opisuje materiał nadprzewodnikowy, który nie jest penetrowany przez pole
magnetyczne. Wewnątrz nadprzewodnika wektor A (lub rA) jest stały, nadprzewodnik
może więc być wyłączony z zagadnienia i zastąpiony stałą wartością potencjału na
granicy.
10
Warunek homogeniczny
Neumanna
Obszary antysymetryczne
Ht = 0
11
Bn=0
Warunek zerowego strumienia na granicy Bn=0
12
Warunek Dirichleta
Warunek Neumanna
Warunek zerowego strumienia na
granicy Bn=0
Okresowe warunki brzegowe
13
Specjalny typ warunków brzegowych (okresowe warunki
brzegowe) wprowadzono w QuickField 5.1, by zmniejszyć
wielkość modelu symulującego okresowe struktury, jak np.
bieguny w maszynach elektrycznych. Te warunki odnoszą się do
dwóch przeciwnych stron modelu i wymuszają taka samą wartość
pola na obu granicach (okresowość parzysta) albo wartość
przeciwną (okresowość nieparzysta). Warunek periodyczny jest
ogólniejszy niż warunek Dirichlet'a lub warunek Neumann'a,
ponieważ nie implikuje, że pole jest symetryczne (brak
składowej normalnej) albo antysymetryczne (brak składowej
stycznej) na danej granicy. Obie składowe mogą być obecne, ale
muszą być takie same lub przeciwnego znaku. QuickField (w
odróżnieniu od innych aplikacji np. Ansoft Maxwell) nie wymaga
by siatki na obu granicach były identyczne.
14
okresowość parzysta
okresowość nieparzysta
15
okresowość parzysta
Źródła pola mogą być zdefiniowane:
• w blokach
• na krawędziach
• w wierzchołkach modelu (punktach)
Źródłami pola mogą być :
• prądy przestrzenne
• prądy powierzchniowe
• prądy liniowe
• magnesy stałe
Źródło punktowe reprezentuje:
w układzie płaskim - prąd liniowy (I) w kierunku z,
w układzie osiowo-symetrycznym - prąd płynący w cienkim pierścieniu wokół osi
symetrii.
Źródło krawędziowe reprezentuje:
w układzie płaskim - prąd powierzchniowy ( gęstość liniowa) w kierunku z,
w układzie osiowo-symetrycznym - prąd płynący w cienkim cylindrze wokół osi symetrii.
Źródło blokowe reprezentuje:
w układzie płasko-równoległym – gęstość prądu przestrzennego (j) w kierunku z,
w układzie osiowo-symetrycznym - gęstość prądu przestrzennego płynącego w cylindrze
wokół osi symetrii.
16
17
Źródła w układzie płasko-równoległym
punktowe
krawędziowe
Źródła w układzie osiowo-symetrycznym
blokowe
Magnes stały.
Można opisać przez:
•natężenie koercji, kąt wektora i stałą przenikalność,
•natężenie koercji, kąt wektora i charakterystykę magnesowania,
•warunki Neumanna na jego powierzchniach bocznych.
przenikalność magnetyczna
stała
natężenie koercji i kierunek
18
19
Krok 2
charakterystyka magnesowania magnesu
Krok 1
natężenie koercji i kierunek
B   B H  H c 
B
 B  
H  Hc
20
Warunki brzegowe Neumanna na powierzchniach bocznych magnesu
y
Hc
B
-Hc
Ten sposób wygodniejszy dla układu
magnesów rozmieszczonych pod
różnymi kątami (raz definiowane
warunki na powierzchniach bocznych
magnesu).
 = const
x
21
W układzie cylindrycznym r, j kierunek magnesu określony jest
kątem liczonym względem promienia.
Pola zewnętrzne
22
Problem płasko-równoległy
Warunek Dirichleta
A0  a  bx  cy
a=2
b=0
c=0
Pole jednorodne
a=0
b=0
c=0
Problem płasko-równoległy
Warunek Dirichleta
a=0
b=1
c=0
a=0
b=0
c=1
Składowa normalna
Bn = By = const
Składowa normalna
Bn =Bx = const
A0  a  bx  cy
23
24
Problem płasko-równoległy
Warunek Dirichleta
A0  a  bx  cy
a=0
b=1
c=1
25
Problem osiowo-symetryczny
cr 2
rA0  a  bzr 
2
26
Materiały magnetyczne
•charakterystyka magnesowania
•stała przenikalność magnetyczna
Wszystkie obszary muszą mieć określone własności magnetyczne (powietrze  =1).
Co najmniej jeden warunek graniczny.
Generowanie siatki
27
Siatka generowana automatycznie. Jej
gęstość zależy od wielkości szczegółów
geometrycznych.
Możliwa ingerencja – określenie boku
elementu
siatki
w
dowolnym
wierzchołku układu.
28
Podczas rozwiązywania problemu następuje weryfikacja warunków brzegowych, definicji
regionów i siatki. Wykryte błędy są sygnalizowane.
Rozwiązany problem może być prezentowany przez:
-linie sił pola
-wektory indukcji lub natężenia pola
-kolorowe mapy
wektora potencjału lub funkcji strumienia
wektora indukcji lub jej składowych
wektora natężenia pola i jego składowych
przenikalności magnetycznej
gęstości energii
29
Wektor B
Wektor B
Przenikalność magnetyczna
30
Dla zaznaczonego konturu (krawędź, linia, blok)
Wielkości fizyczne
Siły
Sprzężenie na 1 zwój
Wielkości geometryczne
Siła magnetomotoryczna
Długość konturu
Strumień magnetyczny
Przekrój
Energia pola magnetycznego
Powierzchnia
Koenergia pola
magnetycznego
Objętość (bloku o długości 1m)
Indukcyjności
Ponadto inne wielkości całkowe
Siła działająca na uzwojenie
f = 143.85 N
j  180°
fz = -143.85 N
fr = 0 N
Sprzężenie na 1 zwój
Y  0,0056947 Wb
Siła magnetomotoryczna
Q  5400 A
Energia pola magnetycznego
W = 4.981 J
31
z = 2000 zwojów
Sprzężenie y  11,39 Wb
Prąd
I = 2,7 A
Indukcyjność L = 4,2236 H
Siła działająca na rdzeń
f = 382.67 N
j = 0°
fz = 382.67 N
fr = 0 N
Średnia wartość kwadratu indukcji
Ba2 = 0,13873 T2
32
Nazwa problemu
Katalog problemu
Kreowanie problemu
o nowej nazwie
na podstawie problemu
istniejącego
33
Po ustaleniu
nazwy
34
Typ problemu
Precyzja rozwiązania
Nazwa pliku geometrii
Nazwa pliku danych
Płasko-równoległy
czy
osiowo-symetryczny ?
Dołączana biblioteka danych
35
Układ współrzędnych
Jednostka długości
36
Typ problemu
Nazwa pliku geometrii
Nazwa pliku danych
Etykiety bloków
Etykiety krawędzi
Etykiety wierzchołków
Dołączana biblioteka danych
- gdyby była.
37
38
39
Krawędź nazwana i
zdefiniowana
Krawędź nazwana, ale nie
zdefiniowana
40
41
Problemy sprzężone
QuickField umożliwia import obciążenia (rozłożonych źródeł) obliczonego w jakimś
problemie do problemu innego typu.
Dostępne są sprzężenia problemów:
•cieplnego (Heat transfer) z polem przepływowym (current flow) lub harmonicznym
problemem elektromagnetycznym (time-harmonic),
•naprężeń termicznych z polem cieplnym,
•naprężeń mechanicznych z polem elektrostatycznym, magnetostatycznym lub
harmonicznym.
Warunki dla problemów sprzężonych:
Oba problemy muszą korzystać z tego samego pliku modelu geometrycznego.
Oba problemy muszą być tak samo sformułowane (plane lub axisymmetric).
Problem źródłowy musi być rozwiązany przed rozwiązaniem problemu docelowego.
42
Przykładowe rozwiązanie pola sprzężonego magneto-termicznego
Linie pola i gęstość prądu
Rozkład temperatury