Od twierdzenia o liczbach pierwszych do twierdzenia

Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu
Środowiskowe Studia Doktoranckie
z Nauk Matematycznych
Od twierdzenia o liczbach pierwszych do
twierdzenia Fermat.
Teoria liczb w XX wieku
Władysław Narkiewicz
Wrocław
Publikacja współfinansowana ze środków Uni Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Spis treści
Opis wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I. Prehistoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
II. Problemy Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
III. Pierwsze lata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
IV. Pierwsze lata: 1901–1920. Analityczna teoria liczb
99
. . . . . . . . .
V. 1920–1950. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
VI. 1920–1950. Pozostałe metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
VII. Druga połowa stulecia. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . . . 224
VIII. Druga połowa stulecia. Inne metody . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
IX. Algebraiczna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
X. Wielkie Twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Opis wykładu
O ile w XIX wieku spora grupa czołowych matematyków zajmowała się zagadnieniami
teorii liczb jedynie na marginesie swoich głównych zainteresowań, to początek wieku dwudziestego przyniósł ugruntowanie tego działu matematyki jako samodzielnej części tej nauki i jego
stosunkowo szybki rozwój. Wielka jest tutaj zasługa Edmunda Landau, który w 1909 roku
wydał obszerną monografię, poświęconą teorii liczb pierwszych. Hardy i Heilbronn napisali
o niej:
„W niej analityczna teoria liczb jest po raz pierwszy przedstawiona nie jako zbiór kilku
pięknych rozproszonych twierdzeń, ale jako systematyczna nauka. Książka ta przemieniła ten
przedmiot, będący dotąd miejscem polowań dla paru chętnych przygód bohaterów, w jedno
z najbardziej płodnych pól badawczych.”
Celem wykładu jest prześledzenie tego rozwoju. Zostaną w nim omówione zarówno klasyczne problemy teorii liczb, takie jak zagadnienia Goldbacha, Waringa, Catalana i Fermata
oraz starożytny problem liczb doskonałych, jak i szereg nowszych problemów, takich jak hipoteza Riemanna, czy też zagadnienie liczby klas form kwadratowych. Mam nadzieję, że wykład
będzie dostępny także i dla niespecjalistów, gdyż będę unikać spraw czysto technicznych.
Wykład rozpocznie się od krótkiej prehistorii rozważanej dziedziny (Gauss, Jacobi, Eisenstein, Dirichlet, Kummer, Dedekind, Hadamard, de la Vallée-Poussin, Hensel) a potem będą
omówione arytmetyczne problemy Hilberta, przedstawione na paryskim kongresie w roku 1900
i ich dalsze losy. Następnie zajmę się głównymi odkryciami w kolejnych okresach dwudziestego
stulecia, omawiając także nowe metody, posuwające naprzód badania nad starymi i nowymi
problemami. Wśród nich znajdą się między innymi metody sita, „circle method” Hardy’ego
i Littlewooda, uproszczona następnie przez Winogradowa zasada Hassego, odnowienie teorii form modułowych, dokonane w latach trzydziestych przez Heckego, metoda Bakera i jej
zastosowania w teorii równań diofantycznych.
Szczególna uwaga będzie poświęcona związkom teorii liczb z innymi działami matematyki,
przede wszystkim z analizą i algebrą.
Wykład będzie oparty zasadniczo na mojej nowej książce Rational Number Theory in the
20th Century, która ukazała się przed miesiącem.
I. Prehistoria
Stare i nowe
Prehistoria
Stare
Twierdzenie Fermata: jeśli p = 4k + 1, to p = a2 + b 2 .
Dowód Dirichleta: Niech p|1 + a2 .
√
Par (x, y ) z 0 ≤ x, y < p jest > p.
Zatem istnieja różne pary (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), spelniajace
‘
‘
x1 − ay1 ≡ x2 − ay2
(mod p),
x1 − x2 ≡ a(y1 − y2 )
(mod p)
wiȩc
i
A = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ≡ 0
(mod p),
ale 0 < A < 2p i A = p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Nowe
Dowód Don Zagiera:
S = {(x, y , z) : x 2 + 4yz = p, x, y , z ≥ 1}.

 (x + 2z, z, y − x − z) gdy x < y − z,
(x, y , z) 7→ (2y − x, y , x − y + z) gdy y − z < x < 2y ,

(x − 2y , x − y + z, y ) gdy x > 2y .
Ta inwolucja ma jeden fixpunkt (1, 1, (p − 1)/4), wiec 2 - #S.
‘
Zatem inwolucja
(x, y , z) 7→ (x, z, y )
ma też fixpunkt. Wtedy y = z i p = x 2 + (2y )2 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Gauss
Carl Friedrich Gauss (1777–1855)
1. Disquisitiones Arithmeticae, Gottingae, 1801.
a) Podstawy arytmetyki
b) Formy kwadratowe aX 2 + 2bXY + cY 2 ,
c) Prawo wzajemności reszt kwadratowych,
d) Cyklotomia: wyrażenie pierwiastków z jedności przez
pierwiastniki oraz konstrukcja n-kata foremnego.
‘
2. Theoria residuorum biquadraticorum, 1828.
a) Liczby calkowite Gaussa.
b) Prawo wzajemności reszt bikwadratowych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Dirichlet
Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805–1859)
Jako pierwszy stosuje analize do teorii liczb.
‘
a) 1837: L-funkcje mod p:
Lj (x) =
jγn
X ζp−1
p -n
nx
,
n ≡ g γn
(mod p), (j = 1, 2, . . . , p − 1)
gdzie g jest pierwiastkiem
pierwotnym mod p.
P
χ(n)
Ogólnie: L(x, χ) = ∞
n=1 nx , gdzie χ jest charakterem grupy
∗
(Z/NZ) .
b) 1837-1839: Twierdzenie o postepie arytmetycznym.
‘
Nieskończenie wiele liczb pierwszych p ≡ l mod k, gdy (k, l) = 1.
Ważny punkt dowodu: L(1, χ) 6= 0 dla χ 6= χ0 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Dirichlet, c.d.
c) 1838: Wzór na liczbe klas form kwadratowych o zadanym
‘
wyróżniku d:
√
 |d|
gdy d < 0,
π L(1, χd )
√
h(d) =
d

gdy d > 0,
2 log ε L(1, χd )
gdzie χd (n) = dn jest symbolem Kroneckera, a
√
ε = (T + U D)/2, przy czym
d
gdy d jest nieparzyste,
D=
d/4 gdy d jest parzyste,
a (T , U) to minimalne rozwiazanie równania |T 2 − DU 2 | = 4.
‘
d) 1846: Struktura jednostek w Z[θ].
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Jacobi
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851)
a) 1826: Sformulowanie prawa wzajemności reszt sześciennych.
Dowód podal Eisenstein w 1844 roku.
b) Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum,
Regiomonti, 1829.
Jako zastosowanie funkcji eliptycznych: wzór na r4 (n), ilość
przedstawień n na sume 4 kwadratów:
‘
8σ(n)
gdy 2 - n,
r4 (n) =
24σ(n) gdy 2|n,
gdzie σ(n) jest suma dzielników n.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Liouville
Joseph Liouville (1809–1882)
a) 1844: Pierwsze przyklady liczb przestepnych.
‘
b) 1851: Jeśli α jest liczba algebraiczna stopnia n, to istnieje stala
‘
‘
c(α) > 0 taka, że
α − p ≥ c(α)
q
qn
zachodzi dla wszystkich calkowitych p i naturalnych q.
Wniosek: Liczba
∞
X
1
10n!
n=1
jest przestepna.
‘
c) Liczba e nie jest pierwiastkiem ax 2 + bx + c ∈ Z[x].
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Kummer
Ernst Eduard Kummer (1810–1893)
a) 1847: Liczby idealne w cialach cyklotomicznych Q(ζn ).
b) 1850: Wielkie Twierdzenie Fermata dla wykladników
regularnych.
p jest regularna liczba pierwsza, gdy nie dzieli żadnego z liczników
‘
‘
‘
liczb Bernoulliego Bk przy k = 2, 4, . . . , p − 3 (p - hp ).
∞
X Bn
z
=
1
+
z n.
ez − 1
n!
n=1
c) 1859: Prawo wzajemności dla p-tych poteg w przypadku
‘
regularnych liczb pierwszych p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Czebyszew
Pafnutij Lwowicz Czebyszew (1821–1894)
P
P
1850: π(x) := p≤x 1, θ(x) := p≤x log p.
Dla dużych x
a1 x < θ(x) < a2 x,
b1
x
x
< π(x) < b2
,
log x
log x
z a1 , a2 , b1 , b2 bliskimi 1.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Riemann
Bernhard Riemann (1826–1866)
P
1
1860: a) ζ(s) = ∞
n=1 ns przedluża sie‘ do funkcji meromorficznej i
dla s 6= 0, 1 spelnia równanie
s 1−s
−s/2
π −(1−s)/2 ζ(1 − s).
Γ
π
ζ(s) = Γ
2
2
b) Hipoteza Riemanna: ”Es ist sehr wahrscheinlich, dass alle
Wurzeln [von ζ(s + 1/2)] reell sind. Hiervor wäre allerdings ein
strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung
desselben nach einigen flüchtigen Versuchen vorläufig bei Seite
gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung
entbehrlich schien.”
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Riemann, c.d.
Riemann sformulowal szereg twierdzeń bez dowodu:
c) Ilość N(T ) zer ζ(s) w pasie 0 < =s ≤ T jest asymptotycznie
równa
T
log
2π
T
2π
−
T
.
2π
To udowodnil von Mangoldt w 1895 r.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Riemann, c.d.
d) Dla x ≥ 2
π(x) =
∞
X
n=1
gdzie
µ(n) =
a ω(n) =
P
p|n
(−1)ω(n)
0
µ(n)
li(x 1/n )
,
n
gdy n bezkwadratowe,
w przeciwnym wypadku,
1.
Ten wzór jest falszywy. Wynika z niego π(x) < li(x) dla dużych x,
a tak nie jest (Littlewood, 1914).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Dedekind
Richard Dedekind (1831–1916)
a) 1871–1893. Zbudowanie podstaw teorii liczb algebraicznych
opartej na pojeciu idealu.
b) 1882. Wspólnie z Weberem: teoria cial funkcji algebraicznych 1
zmiennej.
b) 1893: Funkcja zeta Dedekinda:
ζK (s) =
X
I
gdzie N(I ) = #(ZK /I ).
Wladyslaw Narkiewicz
1
,
N(I )s
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Kronecker
Leopold Kronecker (1823–1891)
a) 1853, 1877: Twierdzenie Kroneckera-Webera: Cialo o abelowej
grupie Galois jest podcialem ciala cyklotomicznego.
Pierwszy dowód: Weber (1886). Pierwszy pelny dowód: Hilbert
(1896).
b) 1882: Oparcie teorii liczb algebraicznych na teorii form wielu
zmiennych. Także dla cial funkcyjnych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Hermite
Charles Hermite (1822–1901)
1842 (uczeń w Collège Louis-le-Grand): prosty dowód tw. Abela o
równaniach 5 stopnia.
1850: Istnieje c(n) takie, że jeśli θ1 , . . . , θn ∈ R sa różne, to dla
‘
nieskończenie wielu q oraz a1 , . . . , an mamy
θj − aj ≤ c(n) .
q q 1+1/n
√
Wykladnik jest optymalny (Borel 1903), c(1) = 5 (Hurwitz1891),
optymalne
p c(n) dla n ≥ 2 nie jest znane. Przypuszcza sie‘, że
c(2) = 2/7.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Hermite, c.d.
1854: Minimum rzeczywistej formy kwadratowej n zmiennych o
wyróżniku D w punktach z Zn jest ≤ ρn /D 1/n , gdzie
ρn = (4/3)(n−1)/2 .
1873: Liczba e jest przestepna.
‘
W 1882 r. Lindemann zastosowal metode Hermite’a do dowodu
‘
przestepności π. Ogólniej: jeśli a 6= 0 jest algebraiczne, to e a jest
‘
przestepna (tw. Hermite’a-Lindemanna).
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Minkowski
Hermann Minkowski (1864–1909)
1891: Metody geometryczne w badaniu form kwadratowych.
1896: Geometrie der Zahlen.
Tw. o ciele wypuklym: Jeśli zbiór X ⊂ Rn jest wypukly i
symetryczny wzgledem 0 o objetości > 2n , to zawiera niezerowy
‘
‘
punkt kraty Zn .
1907: Diophantische Approximationen (teoria liczb algebraicznych
w jezyku geometrycznym).
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Klein
Felix Klein (1849–1925)
1890-1892 (wspólnie z Fricke): ”Vorlesungen über die Theorie der
elliptischen Modulfunktionen”.
Klein o teorii grup:
Die Lehre von den Vertauschungsgruppen hat sich . . . zu einer
selbständigen Disziplin entwickelt. Wir begegnen da Namen wie
Cayley, Sylow, Dyck, Hölder, Frobenius, Burnside und in neuerer
Zeit vielfach auch Amerikanern. Für viele Gemüter ist es ein
besonderer Reiz, daß man auch hier wieder arbeiten kann, ohne
von sonstiger Mathematik viel zu wissen . . . .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Formy modulowe
Forma modulowa lub modularna wagi k dla grupy Γ = SL2 (Z), to
funkcja f określona i regularna w H = {z : =z > 0}, spelniajaca
‘
f (A · z) = (cz + d)k f (z),
gdzie
A=
a b
c d
∈ Γ, A · z =
az + b
.
cz + d
Jeśli jest to spelnione dla macierzy A z grupy Γ(N) ⊂ Γ
(zdefiniowanej przez warunek A ≡ E mod N), a dla A ∈ Γ mamy
f (A · z)(cz + d)−k = c0 (A) +
∞
X
cn (A) exp(2πinz/N),
n=1
to f jest forma modulowa wagi k i poziomu N.
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Formy modulowe, c.d.
Teoria takich funkcji zostala zbudowana w końcu XIX wieku przez
Hermite’a, Kleina i Poincarégo oraz ich uczniów.
Podsumowanie ówczesnej teorii dal Weber (”Elliptische Functionen
und algebraische Zahlen”, 1891; ”Lehrbuch der Algebra”, t.3,
1898).
Teoria ta okazala sie wielce przydatna w teorii liczb sto lat później.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Mertens
Franciszek Mertens (1840–1927)
1897: Hipoteza Mertensa:
|M(x)| = |
X
n≤x
µ(n)| ≤
√
x.
Mertens sprawdzil to dla x < 10 000, a von Sterneck (1898–1901)
dla x < 500 000.
Wcześniej Stieltjes twierdzil w liście do Hermite’a (11.07.1885), że
ma dowód tej nierówności.
√
Już z M(x) = O( x) wynika hipoteza Riemanna, bo
∞
X
µ(n)
n=1
ns
Wladyslaw Narkiewicz
=
1
.
ζ(s)
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Hipoteza Mertensa
Littlewood (1912): M(x) = O(x 1/2+ε ) dla wszystkich ε > 0 jest
równoważne z RH.
Ingham (1942): Z hipotezy Riemanna i liniowej niezależności
=ρn 6= 0 (ζ(ρn ) = 0), poza skończona ilościa wyjatków, wynika
‘
‘
‘
falszywość hipotezy Mertensa.
√
Knapowski (1962-1964): |M(x)| przyjmuje wartości bliskie x:
|M(x)| >
√
log x log log log x
x exp −
.
log log x
Odlyzko, te Riele (1985): Hipoteza Mertensa jest falszywa:
√
lim supx→∞ M(x)
> 1.
x
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
PNT
Jacques Hadamard (1865–1963)
de la Vallée-Poussin (1866–1962)
1896: ζ(1 + it) 6= 0. Jako wniosek:
θ(x) =
X
log p = (1 + o(1))x,
p≤x
θ(x; k, l) :=
X
ε(p) log p =
p≤x
gdzie
ε(p) =
1
0
gdy p ≡ l
gdy p ≡
6 l
Wladyslaw Narkiewicz
1
+ o(1) x,
ϕ(k)
(mod k),
(mod k).
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
PNT, c.d.
To daje
π(x) = (1 + o(1))
x
log x
oraz
π(x; k, l) := {p ≤ x : p ≡ l
(mod k)} =
Wladyslaw Narkiewicz
1
x
+ o(1)
.
ϕ(k)
log x
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Hensel
Kurt Hensel (1861–1941)
1897: Liczby p-adyczne.
Ugruntowanie teorii: Kűrschak (1913) – pojecie waluacji w
‘
dowolnym ciele:
v (a + b) ≤ v (a) + v (b), v (ab) = v (a)v (b), istnienie uzupelnienia,
uzupelnienie Ωp algebraicznego domkniecia Qp jest zupelne i
‘
algebraicznie domkniete.
‘
1934: Hasse, F.K.Schmidt: Opis cial zupelnych z dyskretna
‘
waluacja.
‘
Teoria waluacji: Deuring (1932), Krull (1932).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Max Deuring (1907-1984)
Stare i nowe
Prehistoria
Hilbert
David Hilbert (1862–1943)
1897: Zahlbericht.
1899. Teoria rozszerzeń kwadratowych.
1900. Odczyt na kongresie w Paryżu. 23 otwarte problemy.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
Stare i nowe
Prehistoria
Podsumowanie
1. Coraz wieksza precyzja i poprawność rozumowań (Gauss,
‘
Dirichlet, Weierstrass, Dedekind)
2. Zerwanie z zasada ”czystości” teorii; zastosowanie metod
‘
analitycznych w teorii liczb (Jacobi, Dirichlet)
3. Pojawienie sie struktur. Nowe pojecia: grupa, cialo, pierścień;
‘
‘
badanie grupy klas form (czy idealów) a nie tylko liczby klas.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA
II. Problemy Hilberta
Problem 7
Problem 7:
a) Dla niewymiernych liczb algebraicznych z, exp(iπz) jest
przestepne.
‘
b) Jeśli a 6= 0, 1 jest algebraiczne, a b algebraiczne
niewymierne, to ab jest liczba przeste
pna lub może tylko
‘ √2 ‘ ‘π
niewymierna. Chodzi tu np. o 2 , czy e = i −2i .
‘
W 1738 r. Euler przypuszczal, że jeśli a, b 6= 0, 1 algebraiczne, to
log a/ log b jest wymierne lub przestepne.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 7, pierwsze kroki
√
Gelfond (1929): Jeśli a 6= 1 algebraiczne, to a −n (n √
= 1, 2, . . . )
jest liczba przestepna. W szczególności e −π = i 2i = i −4 jest
‘
‘ ‘
przestepne.
‘
Kuźmin
(1930): Jeśli a 6= 1 algebraiczne, a n nie jest√kwadratem,
√
n
to a (n = 1, 2, . . . ) przestepne. W szczególności 2 2 .
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Gelfond, Schneider
Gelfond i Schneider, niezależnie (1934): Jesli a 6= 0, 1 jest
algebraiczne, a b algebraiczne niewymierne, to ab jest liczba
‘
przestepna.
‘
Oba dowody wykorzystuja algebraiczna niezależność funkcji e z i
‘
‘
e az przy algebraicznym a.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
A.O.Gelfond (1906-1968) i L.J.Mordell (1888-1972)
Hipotezy
1. Hipoteza Schanuela (1960): Jeśli a1 , . . . , an liniowo niezależne
nad Q, to
dim .tr Q(a1 , . . . , an ; exp(a1 ), . . . , exp(an )) ≥ n.
Z tego wyniknelaby algebraiczna niezależność e i π
‘
(a1 = 1, a2 = iπ).
2. Lang (1966) (4-exponentials conjecture): Jeśli x2 /x1 oraz y2 /y1
sa niewymierne, to przynajmniej jedna z liczb exp(xi yj ) jest
‘
przestepna.
‘
6-exponentials theorem (Lang, 1966): Jeśli x2 /x1 6∈ Q, a y1 , y2 , y3
sa liniowo niezależne nad Q, to przynajmniej jedna z liczb exp(xi yj )
‘
jest przestepna.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 8
Problem 8:
a) Hipoteza Riemanna: Jesli ζ(x + iy ) = 0 i x > 0, to x = 1/2.
b) Oszacowanie różnicy π(x) − li(x). Czy jest ona rzedu
√
‘
niewiekszego niż rzad x?
‘
‘
√
Nie jest jasne, czy chodzi tu o oszacowanie O( x), czy O(x 1/2+ε )
dla każdego ε > 0. To ostatnie jest równoważne hipotezie
Riemanna (von Koch 1901).
c) Binarna hipoteza Goldbacha (1742): Każda liczba parzysta
n ≥ 6 jest suma 2 liczb pierwszych.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 8, c.d.
d) Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych bliżniaczych
p − p 0 = 2.
e) Ogólniej: jeśli (a, b, c) = 1 i 2|a + b + c, to równanie
ax + by + c = 0 ma rozwiazanie w liczbach pierwszych x, y .
‘
f) Przeniesienie twierdzeń o rozmieszczeniu liczb pierwszych
na przypadek idealów pierwszych w algebraicznych cialach
liczbowych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Postep w Problemie 8a
‘
1915. Hardy: Na prostej <s = 1/2 leży nieskończenie wiele zer
ζ(s).
1942. A.Selberg: Dodatnia proporcja zer leży na <s = 1/2.
1958. Winogradow, Korobow: ζ(s) 6= 0 w obszarze
a
dla |t| ≥ t0 ( 1958).
<s > 1 − 2/3
1/3
log
(|t|)(log log(|t|))
Można przyjać a = 1/57.54 = 0.017 . . . , t0 = 3 (Ford, 2000).
‘
1974. Levinson: Ponad 34.74% zer leży na <s = 1/2.
1989. Conrey: Ponad 40.88% zer leży na <s = 1/2.
2004. Gourdon: Pierwszych 1011 zer funkcji ζ(s) leży na <s = 1/2
(Gourdon, 2004).
2011. Bui, Conrey, Young: Ponad 41.05% zer leży na <s = 1/2.
2011. Feng (ArXiv): Ponad 41.28% zer leży na <s = 1/2.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Hipoteza Riemanna inaczej
Twierdzenia równoważne RH:
1912. Littlewood: Jeśli a1 < a2 < · · · < ak jest ciagiem wszystkich
‘
wlaściwych ulamków o mianownikach ≤ n, to dla ε > 0
k
X
j=1
cos(2πaj ) = O n1/2+ε .
1924. Franel: Dla ε > 0
Pk
j=1
aj −
1916. M.Riesz: Dla ε > 0 i dużych x
j
n
= O(1/n1−ε ).
∞
X
(−1)k+1 k
x = O x 1/4+ε .
Γ(k)ζ(2k)
k=1
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Hipoteza Riemanna inaczej, c.d.
1950–1954. Nymann, Beurling: Jeśli ρa (t) = {a/t}, to rodzina
{aρa (t) − ρ1 (t) : a > 0} jest gesta w L2 ((0, ∞)).
‘
1984. Robin: Dla n ≥ 5041 σ(n) ≤ e γ n log log n.
To zachodzi dla bezkwadratowych n (Choie i in., 2007) oraz dla
prawie wszystkich n (Wójtowicz, 2007).
2002. Lagarias: Jeśli Hn = 1 + 1/2 + · · · + 1/n, to dla n ≥ 2
σ(n) < Hn + exp(Hn ) log(Hn ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Postep w problemie 8b)
‘
b) (∆(x) = π(x) − li(x))
∆(x) = O x exp(−c log1/2 x) (de la Vallée-Poussin, 1899)
3/5
(Korobow, 1958).
∆(x) = O x exp −c (logloglog x)x1/5
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Ingham
Ingham (1932): Jeśli ζ(σ + it) 6= 0 dla σ > 1 − c log−α |t|, to
π(x) = li(x) + O x exp(−c1 logβ x) ,
z β = 1/(1 + α).
Turán (1950) udowodnil twierdzenie odwrotne.
Podobny wynik dla liczb pierwszych w postepach udowodnil
‘
Wiertelak (1971-1972).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Postep w problemie 8f
‘
Twierdzenie o idealach pierwszych:
1903: Landau
πK (x) = #{p : N(p) ≤ x} = (1 + o(1))
x
log x
= li(x) + O(x exp(− log1/13 x)).
1968: Mitsui i Sokolowski (niezależnie):
πK (x) = li(x) + O
log3/5 x
x exp −c
(log log x)1/5
!!
.
Podobne twierdzenia dla idealów w klasach : Landau (1907).
W klasach mod f: Hecke (1917), Landau (1918).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 9
Problem 9:
Prawa wzajemności reszt dla dowolnych wykladników w
cialach liczbowych.
Jeśli Q(ζk ) ⊂ K i k 6∈ p, to N(p) ≡ 1 mod k.
Dla a 6∈ p mamy aN(p)−1 ≡ 1 (mod )p (male tw. Fermata dla cial).
Stad przy pewnym i
‘
a
a(N(p)−1)/k ≡ ζki (mod p) =
.
p
Przez multyplikatywność rozszerza sie ten symbol do
‘
(a, b) = 1, (k, ab) = 1.
Problem: Wyznaczyć ba ba .
Wladyslaw Narkiewicz
a
b
dla
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Prawa wzajemności
k = 2: Euler (1783) – Gauss (1801),
k = 3: Jacobi (1826) – Eisenstein (1844),
k = 4: Gauss (1832),
k = p pierwsze: Eisenstein (1850) i Kummer (1850–1861) dla p
regularnych, tj. gdy p nie dzieli mianownika liczb Bernoulliego B2j
przy j ≤ (p − 3)/2,
k = p, pierwsze dowolne: Furtwängler (1909–1913).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Artin-Hasse-Szafarewicz
Ogólne prawo wzajemności Artina (1927): Hf∗ (K ) −→ Gal(L/K )
prowadzi do praw wzajemności dla wszystkich k (Hasse, Bericht).
Jawna forma: Szafarewicz (1950).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 10
Problem 10:
”Man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelst
einer endlichen Anzahl von Operationen entscheiden läßt, ob
die Gleichung in ganzen rationalen Zahlen lösbar ist.”
1960. Putnam: Nie istnieje algorytm dla sprawdzenia, czy dany
wielomian przedstawia wszystkie (lub wszystkie duże) liczby
naturalne.
1961. Davis, Putnam, Robinson: Nie istnieje algorytm dla równań
wykladniczych.
1963. Davis, Putnam: Nie istnieje algorytm dla równań
wielomianowych w pierścieniu Z[X ].
1970. Matijasewicz: Nie istnieje algorytm dla równań
wielomianowych w Z.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 10, c.d.
1980. Denef: Nie istnieje algorytm dla równań wielomianowych w
ZK dla cial K w pelni rzeczywistych.
1986. Rumely: Istnieje algorytm dla równań wielomianowych w
pierścieniu wszystkich liczb algebraicznych calkowitych.
1988. Pheidas: Nie istnieje algorytm dla równań wielomianowych
w ZK dla cial K stopnia ≥ 3, majacych jedna pare
‘
‘
‘
nierzeczywistych wlożeń w C.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 11
Problem 11:
” . . . eine quadratische Gleichung beliebig vieler Variabeln
mit algebraischen Zahlencoeffizienten in solchen ganzen oder
gebrochenen Zahlen zu lösen, die in dem durch die
Coefficienten bestimmten algebraischen
Rationalitätsbereiche gelegen sind.”
1924. Hasse: Jeśli f (x1 , . . . , xn ) jest forma kwadratowa nad cialem
‘
‘
K , to równanie f = 0 ma rozwiazanie w K wtedy i tylko wtedy,
‘
gdy ma rozwiazanie w każdym uzupelnieniu K .”
‘
Zasada Hassego: Zdanie P jest prawdziwe w K , gdy jest
prawdziwe w każdym uzupelnieniu K .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Zasada Hassego
Pierwszy przyklad (Rados 1922): P = {Wielomian
f (X ) = X n + · · · ∈ Q[X ] rozklada sie na czynniki liniowe nad Q}.
‘
1923–1924. Hasse: P={Formy kwadratowe f , g sa nad K
‘
równoważne}.
1931. Hasse: Dla cyklicznych L/K : P = {a ∈ K jest norma w
‘
L/K }.
Q
x
1970. Schinzel: P: Istnieje rozwiazanie m
aj j = b w danym
j=1
‘
ciele K ([K : Q] < ∞).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Andrzej Schinzel
Zasada Hassego
Zasada Hassego nie zawsze zachodzi:
1897. Hilbert: Wielomian x 4 + 13x 2 + 81 jest nieprzywiedlny nad
Q, ale jest przywiedlny we wszystkich uzupelnieniach.
1935. Witt: x 2 + y 2 = a w cialach funkcyjnych.
1940. Reichardt: x 4 − y 2 = 2 w Q.
1951. Selmer: 3x 3 + 4y 3 + 5z 3 = 0 w Q.
Nie zachodzi też dla form stopnia 5 nad Q (Fujiwara, 1972), oraz
dla form stopni 15, 25, . . . (Fujiwara, Sudo, 1976).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 12
Problem 12:
”Von der höchsten Bedeutung endlich erscheint mir die
Ausdehnung des Kroneckerschen Satzes auf den Fall, daß an
Stelle des Bereichs der rationalen Zahlen oder des
imaginären quadratischen Zahlenbereiches ein beliebiger
algebraischer Zahlkörper als Rationalitätsbereich zu Grunde
gelegt wird; ich halte dies Problem für eines der
tiefgehendsten und weittragendsten Probleme der Zahlenund Functionentheorie.”
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 12, c.d.
Abelowe rozszerzenia ciala liczb wymiernych sa generowane przez
‘
kombinacje liniowe pierwiastków z jedności (twierdzenie
Kroneckera-Webera).
Kronecker przypuszczal, że abelowe rozszerzenia urojonych ciala
kwadratowego K jest generowana przez wartości funkcji j(z) przy
z ∈ k.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Funkcja j
P
(1 + 240 ∞
σ (k)q k )3
Q∞ k=1 3k 24
j(z) =
q k=1 (1 − q )
= q −1 + 744 + aq + bq 2 + cq 3 · · · ,
(q = exp(2πiz))
gdzie a = 196 884, b = 21 493 760, c = 864 299 970.
”Monster”, M, to najwieksza sporadyczna grupa prosta o
‘
∼ 8 · 1053 elementach (przypuszczenie: Fischer–Griess (1973);
konstrukcja: Griess (1980), jako grupa automorfizmów pewnej
algebry o wymiarze 196883).
Wymiary jej reprezentacji nieprzywiedlnych, to
1, φ = 196 883, ψ = 21 296 876, τ = 842 609 326, . . . .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Monster
Dziwne zwiazki: a = 1 + φ, b = ψ + φ + 1, c = τ + ψ + 2φ + 2 · 1.
‘
1984: Frenkel, Lipowsky, Meurman: konstrukcja algebry z gradacja
‘
∞
M
V\ =
Vn ,
k=0
z Aut(V \ ) = M oraz
n
X
k=0
q n dim Vn = q(j(z) − 744).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Funkcja j a krzywe eliptyczne
Zwiazek j(z) z krzywymi eliptycznymi:
‘
Dla z ∈ C \ R niech Λ oznacza krate {a + bz : a, b ∈ Z}.
‘
X
1
1
1
z 7→ C/Λ 7→ ℘(z) = 2 +
−
,
z
(z + w )2 w 2
w ∈Λ,w 6=0
gdzie ℘ to funkcja Weierstrassa dla okresów 1, z.
Spelnia ona równanie postaci
(℘0 )2 = 4℘3 − a℘ − b,
stad ℘ 7→ E , gdzie E : y 2 = 4x 3 − ax − b jest krzywa eliptyczna.
‘
‘
‘
Z kolei niezmiennik, klasyfikujacy krzywe eliptyczne, to
3
‘
j(E ) = a1728a
3 −27b 2 . Wreszcie j(z) := j(E ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Fueter - Hasse
Fueter (1914) i Hasse (1927–1931)
opisali elementy generujace dla
√
‘
abelowych rozszerzeń cial Q( d) (d < 0) (teoria mnożenia
zespolonego).
Przypuszczenie
Kroneckera okazalo sie niesluszne dla rozszerzenia
√
‘
Q( 4 1 + 2i)/Q(i) (Fueter, 1914).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem 18
Problem 18:
W tym problemie wspomina sie o najgestszym upakowaniu sfer i
‘
‘
czworościanów w R3 .
Przypadek regularny: Dla danej kraty Λ ⊂ Rn rozpatruje sie
‘
rodzine jednakowych kul o środkach w punktach Λ. Jeśli In jest
‘
kostka jednostkowa, to ρn (Λ) oznacza granice stosunku objetości
‘
‘
‘
‘
zajetej przez te kule w xIn do x n , a ρn = supΛ ρn (Λ).
‘
To sie wiaże z minimum m(f ) na kracie Zn dla dodatnio
‘
‘
określonych form kwadratowych f o n zmiennych. Jeśli
)
γn = maxf Discm(f
1/n (f ) , to ρn wyraża sie przez γn .
‘√
ρ2 = π/12 (Lagrange, 1773), ρ3 = π/ 18 (Gauss, 1831),
ρ4 = π 2 /16 i√ρ5 = π 2 /450 (Korkin, Zolotariew, 1872),
ρ6 = π 3 /(48 3), ρ7 = π 3 /105 i ρ8 = π 4 /384 (Blichfeldt,
1925–1935). Dla n ≥ 9 znamy jedynie oszacowania.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Problem Keplera
Przypadek nieregularny: Nie zaklada sie, że środki sfer leża w
‘
‘
kracie.
√
Hipoteza Keplera: W R 3 optymalna gestość, to π/ 18.
‘
Dowód podal Hales (1997–2006).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
Literatura
1. ”Mathematical Developments Arising from Hilbert’s Problems”,
AMS, 1976.
2. I.Kaplansky, ”Hilbert’s problems”, University of Chicago Press,
1977.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta
III. Pierwsze lata
Liczby doskonale
Liczba n jest doskonala, gdy σ(n) = 2n.
Euklides–Euler: Parzysta liczba n jest doskonala, gdy n = 2p−1 Mp ,
a Mp = 2p − 1 jest liczba pierwsza (tzw. liczba Mersenne’a).
‘
‘
‘
Najwieksza znana liczba Mersenne’a jest Mp z p = 43 112 609 (ma
‘
‘
‘
ona prawie 13 · 106 cyfr).
Przypuszcza sie, że nieparzystych liczb doskonalych (OPN) nie ma.
‘
Jeśli n jest taka, to n > 10300 (Brent i in., 1991).
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Test Lucasa
Édouard Lucas (1842–1891)
Niech S1 = 4, Sk+1 = Sk2 − 2. Jeśli p ≥ 3, to Mp = 2p − 1 jest
liczba pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy Mp dzieli Sp−1 .
‘
‘
W sieci dziala grupa GIMP (Great Internet Mersenne Search)
stosujaca ten test dla wielkich liczb pierwszych.
‘
Adres: http://www.mersenne.org
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Dickson
Leonard Dickson (1874–1954)
1913: Dla każdego k liczb OPN majacych k dzielników pierwszych
‘
jest skończenie wiele.
k
Każda taka liczba jest mniejsza od 24 (Nielsen, 2003).
1919: History of the Theory of Numbers.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Hipoteza Dicksona
1908. Hipoteza Dicksona: Jeśli fi (X ∈ Z[X ] (i = 1, 2, . . . , n) sa
‘
liniowe, a ich iloczyn nie ma stalego dzielnika > 1, to dla
nieskończenie wielu n liczby fi (n) sa pierwsze.
‘
1972. Hensley i Richards: Z hipotezy Dicksona wynika istnienie
x, y z π(x + y ) > π(x) + π(y ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem Waringa
Waring (1770): ”Every integer is a sum of two, three, . . . , nine
cubes; every integer is also the square of a square, or the sum of
up to nineteen such; and so forth. Similar laws may be affirmed for
the correspondingly defined numbers or quantities of any degree,”
Minimalna
liczba s taka, że dla wszystkich naturalnych n mamy
P
n = sj=1 xjs z xj ≥ 0, oznaczana jest przez g (k), zaś G (k), to
minimalna liczba s, dla której to zachodzi dla dużych n.
Przypuszczenie Waringa: g (k) < ∞.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem Waringa w XIX wieku
Lagrange (1770): g (2) = G (2) = 4.
Liouville (1859): g (4) ≤ 53.
Maillet (1895, 1896): g (3) ≤ 21, g (5) < ∞.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Waring dla bikwadratów
Dowód Liouville’a:
6(x12 + x22 + x32 + x42 )2 =
X
(xi + xj )4 +
1≤i<j≤4
X
(xi − xj )4 ,
1≤i<j≤4
zatem 6n2 jest suma 12 bikwadratów, a stad 6m jest suma 48.
‘
‘
‘
Ostatecznie g (4) ≤ 48 + 5 = 53.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Waring, rok 1909
a) g (3) = 9 (Wieferich)
b) G (3) ≤ 8 (Landau)
Dziś wiemy, że 4 ≤ G (3) ≤ 7 (Linnik, 1943).
c) g (k) < ∞ (Hilbert)
Dowody opieraly sie na mniej lub bardziej zawilych tożsamościach.
‘
Pierwszy dowód Hilberta używal calki w R 25 . Prowadzil do
log log log g (k) = O(k log k) (Rieger, 1953).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Twierdzenie Thue
Axel Thue (1863–1922)
Jeśli α jest liczba algebraiczna stopnia d > 1, to dla ε > 0
‘
‘
α − p ≥ c(α)
q q d/2+1+ε
zachodzi dla wszystkich calkowitych p i naturalnych q.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Wnioski
a) Thue 1909: Jeśli f ∈ Z[x, y ] jest forma nieprzywiedlna stopnia
‘
‘
≥ 3, to dla c 6= 0 równanie
f (x, y ) = c
ma skończenie wiele rozwiazań w Z.
‘
b) Thue 1917: Jeśli a 6= 0, b 2 6= 4ac to przy ustalonym n
równanie y n = ax 2 + bx + c ma skończenie wiele rozwiazań w Z.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Siegel
Carl Ludwig Siegel (1896–1981)
1921 (praca doktorska): Jeśli α jest stopnia d > 1, to
α − p ≥ c(α)
√
q q2 d
zachodzi dla wszystkich calkowitych p i naturalnych q.
√
W 1947 r. Dyson zastapil wspólczynnik 2 przez 2.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Roth
Klaus F.Roth, ur. 1925
1955 (Medal Fieldsa 1958): Jeśli α 6∈ Q jest algebraiczna, to dla
ε>0
α − p ≥ c(α)
q q 2+ε
zachodzi dla wszystkich calkowitych p i naturalnych q.
Stala c(α) nie jest efektywna.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Efektywizacja
Efektywizacja:
√
Dla α = 3 2 mamy
α −
p c
≥
,
q qλ
λ = 2.955, c = 10−3 (A.Baker, 1964),
λ = 2.45, c = 0.25 (Bennett, 1997),
λ = 2.4325, c = 0.25 (Voutier, 2007).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Efektywizacja,c.d.
1971. Feldman: Jeśli deg α = n ≥ 3, to dla wszystkich calkowitych
p i naturalnych q
α − p ≥ c(α)
q q n−δ(a)
z efektywnymi c(α) i δ(a) > 0.
1996. Bombieri, van der Poorten, Vaaler: Jeśli ε > 0,
α3 + mα + 1 = 0 i m > m(ε), to
α − p ≥ c
q q 2+ε
z efektywnym c.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Geste podzbiory [0, 1]
‘
1914. Hardy, Littlewood: a) Jeśli λn → ∞, to dla prawie
wszystkich θ ∈ R ciag {λn θ} leży gesto w I = [0, 1].
‘
‘
b) Istnieja niewymierne liczby θ, dla których ciag {2n θ} nie leży
‘
‘
gesto w I .
‘
c) Pytanie: Czy istnieje θ takie, że dla pewnego 2 ≤ q ∈ Z ciag
‘
{q n θ} daży do zera?
‘
d) 1919. Hardy: Liczba algebraiczna θ ma te wlasność ⇔ θ > 1, a
‘
jej sprzeżone leża we wnetrzu kola jednostkowego. [Wcześniej:
‘
‘
‘
Thue, 1912. Póżniej: Pisot (1936) i Vijayaraghavan (1940), tzw.
liczby PV .]
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Liczby P-V
Pisot, Vijayaraghavan: a > 1 jest liczba PV ⇔ Istnieje λ > 1
‘
takie, że
∞
X
k λan k2 < ∞.
n=1
1944. Salem: Zbiór liczb PV jest domkniety i nigdzie gesty.
‘
‘
1944. Siegel: Najmniejsze liczby PV to rzeczywiste pierwiastki
x 3 − x − 1 i x 4 − x 3 − 1.
1953.√Dufresnoy, Pisot: Najmniejszy punkt skupienia liczb PV to
(1 + 5)/2.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Charles Pisot (1910-1984)
Weyl
Hermann Weyl (1885–1955)
Ciag r1 , r2 , . . . liczb z [0, 1) ma ekwipartycje mod 1, gdy dla
‘
‘
0≤a<b<1
1
#{k ≤ n : a ≤ rk < b} = b − a.
n→∞ n
lim
Bohl (1909), Weyl (1910), Sierpiński (1910): Dla α ∈ R \ Q ciag
‘
{nα} ma ekwipartycje mod 1.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Przypuszczenie Chinczyna
1923. Chinczyn przypuszczal, że jeśli zbiór A ⊂ [0, 1] jest
mierzalny, oraz m1 < m2 < . . . , to dla prawie wszystkich θ
1
#{k ≤ n : {mj θ} ∈ A} = µ(A).
n→∞ n
lim
Kontrprzyklad: Marstrand (1970).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Kryterium Weyla
Weyl (1914): Ciag r1 , r2 , · · · ⊂ [0, 1) ma ekwipartycje mod 1 wtedy
‘
‘
i tylko wtedy, gdy dla każdej funkcji F R-calkowalnej w [0, 1] mamy
Z 1
1 X
lim
F (rn ) =
F (t)dt.
N→∞ N
0
n≤N
Jest to rówoważne z
N
1 X
lim
exp(2πimrk ) = 0
N→∞ N
k=1
Wladyslaw Narkiewicz
(m ∈ Z, m 6= 0).
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Ekwipartycja wartoći wielomianów
Weyl i niezależnie
Hardy i Littlewood (1914): Jeśli dla
P
f (x) = dj=0 aj X j ∈ R[x] przynajmniej jeden ze wspólczynników
a1 , . . . , ad jest niewymierny, to ciag {f (n)} ma ekwipartycje mod
‘
‘
1.
Weyl
PN to udowodnil poprzez oszacowania sum postaci
n=1 exp(2πif (n)) (sumy Weyla).
Później elementarny dowód znalazl van der Corput (1931).
Sumy Weyla znalazly zastosowanie w problemie Waringa, teorii
funkcji ζ(s), teorii liczb pierwszych oraz teorii aproksymacji
diofantycznych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Twierdzenie Gaussa
Ω – obszar na plaszczyźnie o polu V , a N(Ω) – liczba punktów
kratowych w Ω.
Gauss: Jeśli Ω jest zbiorem wypuklym, to N(xΩ) = x 2 V + O(x).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Wzór Picka
1886. Pick: Jeśli P ⊂ R2 jest wielokatem o wierzcholkach w Z2 , to
‘
vol(P) = I + B/2 − 1, gdzie I , B, to liczby punktów kratowych
wewnatrz wzgl. na brzegu P.
‘
1993. Morelli: Uogólnienie na wielościany w Rn .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Punkty kratowe w wielościanach
1923. Chinczyn: Dla prawie wszystkich wielokatów P ⊂ R2
‘
2
2
1+ε
#{tP ∩ Z } = t vol(P) + O log
t (ε > 0).
1962. Ehrhart: Jeśli P ⊂ R n jest wielościanem wypuklym o
wierzcholkach w Zn , to #{tP ∩ Zn } jest wielomianem w t
(wielomian Ehrharta).
To sie wiaże z charakterystyka Eulera rozmaitości algebraicznych
‘
‘
‘
(Cappel, Shaneson, 1994).
1994. Barvinok: Istnieje wielomianowy algorytm dla znalezienia
liczby punktów kratowych w wielościanie ustalonego wymiaru
(przedtem bylo to znane dla dim ≤ 4).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem dzielników
T (t), to liczba punktów kraty Z2 w obszarze x ≥ 1, 1 ≤ y ≤ t/x.
Jeśli d(n) jest suma dzielników n, to
‘
X
XX
Xht i
d(n) =
1=
= T (t).
d
n≤t
n≤t d|n
d≤t
√
Dirichlet: T (t) = t log t + (2γ − 1)t + O( t), gdzie
!
n
X
1
γ = lim
− log n = 0.577 . . .
n→∞
k
k=1
jest stala Eulera.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Woronoj
Georgij Feodosewicz Woronoj (1868–1908) nauczyciel
Waclawa Sierpińskiego
1903: T (t) = t log t+ (2γ − 1)t + R(t), gdzie
R(t) = O t 1/3 log t .
Metoda: Podzial obszaru pod hiperbola na odpowiednio dobrane
‘
cześci.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem dzielników, c.d.
R(t) = −2
X n t o 1 −
+ O(1).
n
2
√
n≤ t
Ponieważ
{x} − 1/2 =
1
2π
X
n∈Z,n6=0
exp(2πnti)
,
n
badanie reszty R(t) sprowadza sie do oszacowania sum
‘
trygonometrycznych. Metody oszacowań takich sum stworzyli van
der Corput (1919) i I.M.Winogradow (1917).
Obecny rekord: R(t) = O(t c ) z c > 131/416 = 0.3149 . . .
(Huxley, 2003).
R(t) 6= O(t 1/4 ) (Hardy, 1915).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Problem kola
Jeśli Ω jest kolem jednostkowym, to V = π, wiec
‘
X
√
1 = πx + r (x),
F (x) = N( xΩ) =
√
gdzie r (x) = O( x).
a2 +b 2 ≤x
1906 Sierpiński: r (x) = O(x c ), z c = 1/3.
W 1922 r. van der Corput uzyskal c = 0.33. Obecny rekord to
dowolne c > 131/416 = 0.3149 . . . (Huxley, 2003).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Krzywe eliptyczne
Krzywa eliptyczna E nad cialem charakterystyki 6= 2, 3 da sie
‘
sprowadzić do postaci
y 2 = f (x),
deg f = 3,
(f , f 0 ) = 1.
Po dodaniu punktu ∞ ma strukture grupy abelowej (to jest ukryte
‘
w pracy Poincaré o krzywych algebraicznych z 1901 r.)
Z twierdzenia Thue wynika, że na krzywej eliptycznej E (Q) leży
jedynie skończenie wiele punktów (x, y ) ∈ Z2 (Mordell, 1922).
1922. Mordell: E (Q) jest skończenie generowalna.
To jest też prawda dla krzywych E (K ), gdzie [K : Q]∞ (Weil,
‘
1928) i rozmaitości abelowych nad cialem skończenie
generowalnym (Néron, 1952).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Krzywe eliptyczne, c.d.
Twierdzenie Mordella daje: : E (Q) = Zr ⊕ A, gdzie A = Etor (Q)
skończona.
Efektywne wyznaczanie punktów torsyjnych:
Twierdzenie Nagell (1935) – Lutz (1937): Jeśli
E : y 2 = x 3 + ax + b (a, b ∈ Z) i P = (x, y ) ∈ Etor (Q), to P = ∞
lub x, y ∈ Z oraz y 2 |4a3 + 27b 2 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Levi – Mazur – Merel
Levi (1908) znalazl ∞ krzywych E , dla których Etor (Q) to Cn
(n ≤ 10), C12 oraz A = C2n ⊕ C2 (n ≤ 4) i przypuszczal, że inne
grupy nie sa możliwe. Udowodnil to B.Mazur w 1977 r.
‘
Merel (1996): #Etor (K ) ≤ c(N) (N = [K : Q]). Dokladniej: jeśli
2
p n |#Etor (K ), to p ≤ N 3N (Merel), a p k < 105 5N N 6 (Parent,
1999).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
Krzywe eliptyczne nad cialami skończonymi
1941: Deuring: Opis rzedów krzywych eliptycznych nad Fp .
‘
1969: Waterhouse: Taki opis dla krzywych nad Fpn .
1987. Rück: Opis struktury grupowej krzywych nad Fpn .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata
IV. Pierwsze lata: 1901–1920. Analityczna teoria liczb
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Omówienie
Szybki rozwój analizy zespolonej w XIX wieku — zastosowania jej
metod w teorii liczb.
Calkowanie zespolone stosowal do tych celów już Riemann, a teorie
‘
szeregów Dirichleta
∞
X
an
ns
n=1
próbowal zbudować Cahen (1894).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Landau o Cahenie
O pracy Cahena Landau napisal w 1909 roku:
”Alsdann enthält aber der auf die allgemeine Theorie der
Dirichletschen Reihen bezüglicher Teil seiner Arbeit eine Reihe von
Fehlschlüssen verschiedenster Art und mit ihrer Hilfe eine so große
Zahl tiefliegender und merkwürdiger Gesetze, daß vierzehn Jahre
erforderlich waren, bis es möglich wurde bei jedem einzelnen der
Cahenscher Resultate festzustellen, ob es richtig oder falsch ist.”
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Metody analityczne
Wzór Perrona
Najczestszy sposób stosowania analizy do teorii liczb, to warianty
‘
wzoru (Riemann, Cahen, Perron)
X
m≤x
am =
1
2πi
Z
dla
f (s) =
c+i∞
f (s)
c−i∞
∞
X
an
n=1
Zaklada sie tu zbieżność szeregu
‘
a x nie jest liczba calkowita.
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
P∞
ns
xs
ds
s
.
an
n=1 ns
dla <s > σ, zaś c > σ,
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Wzór Perrona, c.d.
Wzór ten wynika z tożsamości
1
2πi
Z
c+i∞
c−i∞

1
ds = 1/2

s
0
ys
Wladyslaw Narkiewicz
gdy y > 1,
gdy y = 1,
gdy 0 < y < 1.
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Landau
Edmund Landau (1877–1938) Jako pierwszy systematycznie
stosowal metody analityczne w teorii liczb.
P
µ(n)
1899: Nowy dowód równości ∞
n=1 n = 0.
1902. Pierwsze kroki w problemie 8 (cz. f) Hilberta —
przeniesienie teorii Czebyszewa na idealy pierwsze:
a
x
x
≤ #{p : N(p) ≤ x} ≤ b
.
log x
log x
1903. Twierdzenie o idealach pierwszych:
πK (x) := #{p : N(p) ≤ x} = (1 + o(1))
Wladyslaw Narkiewicz
x
.
log x
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Landau, c.d.
1909. ”Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen”.
Hardy i Heilbronn napisali w nekrologu Landau’a o tej ksiażce:
‘
”In it the analytic theory of numbers is presented for the first time,
not as a collection of few beautiful scattered theorems, but as a
systematic science. The book transformed the subject, hitherto the
hunting ground of a few adventurous heroes, into one of the most
fruitful fields of research . . . ”.
Gronwall napisal w recenzji w Biuletynie AMS: ”the exposition in it
is a model of clearness and rigor ”.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Problemy Landau
Jeszcze w 1911 pisano o teorii liczb: “Quoique méthodes de la
théorie des nombres paraissant encore bien vague et imprécises, on
peut néanmoins signaler dans cette partie de la Science l’existence
d’un petit nombre d’idées générales . . . ” (Châtelet, Thése).
1912: Trzeci ICM w Cambridge, pierwszy odczyt z teorii liczb na
Kongresie wyglosil Landau o problemach.
M.in.: Czy wielomian x 2 + 1 przedstawia nieskończenie wiele liczb
pierwszych? (To jest szczególny przypadek przypuszczenia
Buniakowskiego z polowy XIX wieku).
To jest równoważne z istnieniem ∞ wielu liczb pierwszych p z
√
{ p} < p1c z c = 1/2. Dziś wiemy, że można przyjać tu dowolne
‘
c < 1/4 (Balog (1983), Harman (1983)). RH ⇒ (c < 1/2 jest
dobre) (Kaufman, 1979).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Twierdzenie Littlewooda
Przypuszczenie (sprawdzone wówczas dla x ≤ 109 , a obecnie do
1014 ), że dla x ≥ 2 zachodzi π(x) < li(x) obalil Littlewood (1914):
√ log log log xn
π(xn ) > li(xn ) + c x n
log xn
(xn → ∞).
a
1933. Skewes: RH ⇒ π(x) > li(x) dla pewnego x < 1010 z
a = 1034 .
b
1955. Skewes: π(x) > li(x) dla pewnego x < 1010 z b = 101000 .
2010. Saouter, Demichel: Już dla pewnego x < 1.38 · 10316 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Zmiany znaku
ν(T ) – ilość zmian znaku π(x) − li(x) w przedziale [2, T ].
1935. Ingham: RH ⇒ ν(T ) > c log T .
1961. Knapowski: ν(T ) > a log log T . Efektywnie:
ν(T ) ≥ e −35 log log log log T .
1985. Kaczorowski: ν(T ) > b log T dla dużych T .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Jerzy Kaczorowski
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Eratostenes
Sito Eratostenesa-Legendre’a:
k
X
√
π(N) = π( N) +
(−1)i
i=1
wiec
‘
√
π(N) = π N +
X
√
pj1 <···<pji < N
X
d|D
gdzie D =
Q
√
p≤ N
N
,
pj1 · · · pji
N
µ(d)
,
d
p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Sito Bruna
Viggo Brun (1885–1978)
Brun (1915–1920) zauważyl, że przerywajac procedure Legendre’a
‘
‘
na parzystym kroku otrzymamy oszacowanie dolne, a przerywajac
‘
na kroku nieparzystym otrzymamy oszacowanie dolne. To dalo:
a) Ilość liczb pierwszych p ≤ x, dla których p + 2 jest pierwsze jest
100x
< log
dla dużych x.
2
x
b) Dla dużych
P n mamy 2n = a + b, przy czym ω(a), ω(b) ≤ 9
(ω(n) = p|n 1).
√
c) Dla x > x0 w przedziale [x, x + x] leży liczba a z ω(a) ≤ 11.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Twierdzenie Bruna-Titchmarsha
d) Istnieje stala C taka, że
π(x; k, l) ≤
Wladyslaw Narkiewicz
C
x
.
ϕ(k) log(x/k)
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Sito Bruna, c.d.
Dalsze zastosowania:
Nagell 1922: Dla 1 ≤ n ≤ x wielomian może przedstawiać
conajwyżej o(x) liczb pierwszych.
(Dopiero w 1932 Heilbronn uzyskal tu O(x/ log x).
Rademacher 1923: Jeśli f ∈ Z[X ] stopnia d jest nieprzywiedlny i
nie ma stalego dzielnika, to Ω(f (n)) ≤ 4d − 1 dla ∞ n.
Znacznie silniejsze sita doprowadzily do Ω(f (n)) ≤ d + 1
(Buchsztab, 1965 i Richert, 1969), a dla wielomianów
kwadratowych mamy Ω(f (n)) ≤ 2 dla ∞ n (Iwaniec, 1978).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Henryk Iwaniec
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Pólya-Winogradow
1918. Pólya, Winogradow: Jeśli χ 6= 1 jest charakterem mod k, to
X
√
χ(n) ≤ k log k.
S(χ) = n≤x
√
Można przyjać c = 1/(π 2) = 0.225 . . . (Landau, 1918).
‘
√
1977. Montgomery, Vaughan: GRH ⇒ S(χ) = O( k log log k).
To jest optymalne,
bo istnieje ciag χj mod kj z
p
‘
S(χj ) > 17 kj log log kj (Paley, 1932).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Hugh Montgomery
Robert Vaughan
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Pierwiastki pierwotne
Zastosowania: g (p) – minimalny pierwiastek pierwotny mod p.
√
1918. Winogradow: g (p) ≤ 4ω(p−1) p log p.
√
1930. Winogradow: g (p) ≤ 2ω(p−1) p log log p.
√
1942. Hua: g (p) ≤ 2 · 2ω(p−1) p.
√
1945. Erdős: g (p) < p log17 p dla dużych p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Male niereszty kwadratowe
n(p) – minimalna niereszta kwadratowa mod p.
1927. Winogradow: n(p) < p c log2 p dla
c = exp(−1/2)/2 = 0.303 . . . .
1957. Burgess: n(p) = O(p c ) dla c = exp(−1/2)/4 = 0.1516 . . . .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Burgess
1962. Burgess: Dla χ mod p mamy
N+h
X
m=N+1
χ(m) h1/2 p 1/4 log p.
Wniosek: g (p) = O(p c ) dla wszystkich c > 1/4,
1990. Bach: GRH ⇒ g (p) < 3 log2 p.
1984. Gupta, Murty: g (p) < 2250 dla nieskończenie wielu p.
1986: Heath-Brown zastapil 2250 przez 5.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Artin o pierwiastkach pierwotnych
1927. Hipoteza Artina: (a) Jeśli a 6= −1, n2 , to a jest
pierwiastkiem pierwotnym dla ∞ p.
(b) Ilość Na (x) takich p spelnia
Na (x) = (c(a) + o(1))
x
log x
(c(a) > 0).
1967. Hooley: (a) i (b) wynikaja z GRH.
‘
1986. Heath-Brown: (a) jest prawdziwe dla wszystkich liczb
pierwszych a, z wyjatkiem conajwyżej dwóch.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Dane
Godfrey Harold Hardy (1877–1947)
John Edensor Littlewood (1885–1977)
Srinivasa Ramanujan (1887–1920)
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Ramanujan
1916: Funkcja τ Ramanujana:
∆(x) = x
∞
Y
(1 − x k )24 =
k=1
∞
X
τ (n)x n .
n=1
∆(exp(2πiz)), to wyróżnik w teorii funkcji eliptycznych, forma
modularna wagi 12.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Hipotezy Ramanujana
a) τ (mn) = τ (m)τ (n), gdy (m, n) = 1,
b) Dla liczb pierwszych i n ≥ 1:
τ (p n ) = τ (p)τ (p n−1 ) − p 11 τ (p n−2 ).
c) Dla liczb pierwszych |τ (p)| ≤ 2p 11/2 .
d) Dla nieskończenie wielu n mamy |τ (n)| ≥ n11/2 .
a) i b) udowodnil Mordell w 1917 r., a c) dopiero Deligne (1974).
Hardy (1927) udowodnil |τ (n)| ≥ cn11/2 z c > 0.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Hardy i Ramanujan, funkcja omega
Poczatek probabilistycznej teorii liczb.
‘
Hardy i Ramanujan (1917): Jeśli ε(n) → ∞, to dla prawie
wszystkich liczb naturalnych n mamy
|ω(n) − log log n|
√
< ε(n).
log log n
1940. Erdős, Kac: Jeśli
ω(n) − log log n
√
≤ a}, to
log log n
Z a
1
1
lim N(x, a) = √
exp(−t 2 /2)dt.
x→∞ x
2π −∞
N(x; a) = #{n ≤ x :
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Paul Erdős (1913–1996)
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Oszacowanie reszty
R(x, a) =
N(x, a)
1
−√
x
2π
Z
a
exp(−t 2 /2)dt.
−∞
1948: LeVeque: R(x, a) = O log log log x/(log log x)1/4 .
1956: Kubilius: R(x, a) = O log log log x/(log log x)1/2 .
1958. Rényi, Turán: R(x, a) = O (log log x)−1/2 , jednostajnie
wzgl. a.
1962. Delange: przy pewnych oganiczonych fj (x, a) i N = 1, 2, . . .
R(x, a) =
N
X
j=1
fj (x, a)
+O
(log log x)j/2
Wladyslaw Narkiewicz
1
(log log x)(N+1)/2
.
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Jonas Kubilius (1921–2011)
Hubert Delange (1913–2003)
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Partycje
Twierdzenie tauberowskie:
P
−x
Hardy i Ramanujan (1916): Jeśli an ≥ 0, f (x) = ∞
n=1 an n
(x > 0) i przy x → 0
log f (x) = (A + o(1))x −α (log(1/x))−β ,
to
log
X
an = (B(A, α, β) + o(1))x(log log x)γ ,
n≤x
(γ = −β/(1 + α)).
p(n) to ilość partycji n. Euler:
Φ(x) := 1 +
∞
X
p(n)x n =
n=1
p
To prowadzi do log p(n) ∼ π 2n/3.
Wladyslaw Narkiewicz
∞
Y
(1 − x k )−1 .
k=1
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Partycje, c.d.
Hardy i Ramanujan (1917):
p
exp(π 2n/3)
1
√ + o(1)
p(n) =
.
n
4 3
Wzór Cauchy’ego daje dla 0 < r < 1:
I
1
Φ(z)
p(n) =
dz,
2πi Γr z n+1
gdzie Γr = {z : |z| < r }.
Rademacher (1937) zmodyfikowal dowod i otrzymal wzór na p(n)
z bledem mniejszym od 0.5.
‘
Bringmann i Ono (2007) oraz Bruinier i Ono (2011) użyli pewnych
rodzin form modularnych do ”prostych” wzorów na p(n).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum, Waring
Cykl prac ”Partitio Numerorum” Hardy’ego i Littlewooda
(1920–1928):
a) Nowy dowód twierdzenia Waringa-Hilberta (PN I) oparty na
calkowaniu zespolonym.
P
an
Jeśli 0 ≤ a1 < a2 < . . . i f (z) = ∞
n=1 z , a rs (N) oznacza ilość
przedstawień
N = ai1 + · · · + ais ,
to
f s (z) =
∞
X
rs (N)z N .
N=1
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Metody analityczne
Waring, c.d.
Dla s > 2k
rk,s (n) = #{n =
gdzie
x1k +· · ·+xsk }
=
Γ(1 + 1/k)k
+ o(1) S(n)ns/k−1 ,
Γ(s/k)
∞ X X
Sa,b s
S(n) =
exp(−2πna/b),
b
b=1
1≤a<b
(a,b)=1
Sa,b =
b−1
X
exp(2πihk a/b).
h=0
S(n) 6= 0 gdy n = y1k + · · · + ysk (yj ∈ Zp ) dla wszystkich p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum, G(k)
b) Oszacowania G (k) – stalej Waringa dla dostatecznie dużych
liczb.
G (k) ≤ (k − 2)2k−1 + 5 (PN IV, 1922)
G (4) ≤ 19 (PN VI,1925). Dziś wiemy, że G (4) = 16 (Davenport,
1939).
Wiadomo, że G (k) ≥ k + 1 (Hurwitz, Maillet, 1908).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum, Goldbach
c) Z ERH wynika ternarna hipoteza Goldbacha dla dużych n
nieparzystych, a ilość przedstawień, to
(c + o(1))
Y (p − 1)(p − 2)
n2
.
log3 n p|n,p6=2 p 2 − 3p + 3
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
Metody analityczne
Landau
Liczby pierwsze
Pierwsze sita
Sumy P-W
Hardy, Littlewood, Ramanujan
Partitio Numerorum. Problemy
Dluga lista problemów o liczbach pierwszych.
a) Duża liczba n 6= x 2 jest postaci n = p + a2 . Wiemy, że tak jest
dla prawie wszystkich n (Romanow, 1934).
b) Duża liczba n jest postaci p + x 2 + y 2 . Udowodnil to Linnik w
1960 r.
c) x 3 + y 3 + z 3 przedstawia nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Mocniejszy wynik dowodnil Heath-Brown (2001):
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci x 3 + 2y 3 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 An
V. 1920–1950. Analityczna teoria liczb
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Phragmén
ψ(x) =
P
p n ≤x
log p.
1891. Phragmén: ∆(x) = ψ(x) − x zmienia znak nieskończenie
wiele razy.
ω(T ) – liczba zmian znaku w przedziale [2, T ].
1930. Pólya: lim supT →∞ ω(T )/logT ≥ γ0 /π, gdzie
γ0 = 14.13 . . . jest cześcia urojona najmniejszego co do modulu
‘ ‘
‘
nietrywialnego zera funkcji ζ(s) .
1961. Knapowski: ω(T ) ≥ (log log T )/3 + O(1).
1984. Kaczorowski: ω(T ) ≥ γ0 /(4π) log T dla T ≥ T0 .
1989. Szydlo: ω(T ) ≥ (0.99999997γ0 /π) log T dla
T > exp(9 · 1014 ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Hipoteza Lindelöfa
Ernst Leonard Lindelöf (1870–1946)
Hipoteza Lindelöfa (1908): Jeśli
µ(σ) = inf{a : |ζ(σ + it)| = O(t a )}, to
1/2 − σ gdy 0 < σ < 1/2,
µ(σ) =
0
gdy σ ≥ 1/2.
Jest ona konsekwencja RH (Backlund 1918-1919) i jest
‘
równoważna z |ζ(1/2 + it)| = O(t ε ) dla ε > 0 (Hardy, Littlewood,
1923). Wynika z niej hipoteza gestościowa
‘
N(α, T ) = #{σ + it : ζ(σ + it) = 0, 0 < t ≤ T , σ ≥ α}
= O T 2(1−α)+ε
(ε > 0),
1/2+ε
oraz dn = pn+1 − pn = O(pn
Wladyslaw Narkiewicz
) (Ingham).
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Hipoteza gestościowa
‘
Hipoteza gestościowa jest prawdziwa dla σ ≥ C .
‘
1965: Turán: C = 1 − η przy pewnym η > 0.
1969. Montgomery: C = 0.9
......
2000: Bourgain: C = 25/32 = 0.78125.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Hipoteza gestościowa dla L-funkcji
‘
N(σ, T , χ) = #{ρ = x + iy : x ≥ σ, |y | ≤ T , L(ρ, χ) = 0}.
N1 (σ, T , k) =
X
N(σ, T , χ).
χ mod k
1946. Przypuszczenie Linnika: N1 (σ, T , k) = O (kT )2(1−σ)+ε .
1971. Montgomery: Dowód dla σ ≥ 0.9.
1979. Heath-Brown: Dowód dla σ ≥ 15/19 = 0.7894 . . . .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Konsekwencje
Wniosek z hipotezy gestościowej:
‘
1/6
Gao (1985): Dla prawie wszystkich n: dn = O(pn log22 n).
Wniosek z hipotezy gestościowej dla L-funkcji:
‘
p(k, l), najmniejsza liczba pierwsza p ≡ l mod k jest mniejsza od
c(ε)k 1/2+ε .
Jeśli
to
N1 (σ, T , k) = O (kT )B(1−σ)+ε ,
p(k, l) = O(k B+ε ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Ikehara
Twierdzenie tauberowskie Ikehary (1931):
P
−s = c + g (s), gdzie g jest
Jeśli an ≥ 0, f (s) = ∞
n=1 an n
s−1
regularna w <s ≥ 1, to
X
an = (c + o(1))x.
n≤x
Daje ono natychmiastowy dowód twierdzenia o liczbach pierwszych
przez zastosowanie do
−
gdzie
Λ(n) =
∞
ζ 0 (s) X Λ(n)
=
,
ζ(s)
ns
log p
0
Wladyslaw Narkiewicz
n=1
gdy n = p k , k ≥ 1,
w innym przypadku.
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Dowód PNT
Ponieważ
1
+ g (s),
s −1
gdzie g jest regularna w <s ≥ 1, zatem
1
−ζ 0 (s)/ζ(s) =
+ h(s),
s −1
z funkcja h regularna w <s ≥ 1. Tw. Ikehary daje
‘
‘
X
ψ(x) =
Λ(n) = (1 + o(1))x,
ζ(s) =
n≤x
ale
ψ(x) − θ(x) =
wiec θ(x) = (1 + o(1)x).
‘
X
√
log p = O( x log x),
p n ≤x,n≥2
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
L(1) i zera Siegela
Gronwall (1913), Titchmarsh (1930), Page (1935): Istnieje c > 0
takie, że dla wszystkich pierwotnych charakterów χ mod k z k ≤ x
z conajwyżej jednym wyjatkiem i dla σ > 1 − c/log(x(|t| + 2))
‘
mamy L(σ + it, χ) 6= 0 . Jeśli wyjatek s = ρ istnieje (tzw. zero
‘
Siegela), to charakter χ jest rzeczywisty oraz ρ ∈ R.
Wniosek. (Titchmarsh, 1930):
p
li(x)
+ O(x exp(−c log x))
π(x; k, l) =
ϕ(k)
√
jednostajnie dla k ≤ exp( log x) z conajwyżej jednym wyjatkiem.
‘
Z GRH wynika
√
li(x)
π(x; k, l) =
+ O( x log x).
ϕ(k)
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Twierdzenie Siegela
Siegel (1935): Dla rzeczywistych χ mod k i ε > 0 mamy
L(1, χ) > c(ε)k −ε z nieefektywnym c(ε) > 0.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Siegel-Walfisz
Arnold Walfisz (1892–1962)
1936: Z twierdzenia Siegela wynika
ρ < 1 − B(ε)/k ε
i
π(x; k, l) =
li(x)
+ O(x exp(−c log1/2 x)),
ϕ(k)
jednostajnie dla k ≤ logq x.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
L(1)
χ rzeczywiste:
1951. Tatuzawa: Dla k > exp(1/ε) mamy L(1, χ) > 0.655εk −ε z
conajwyżej jednym wyjatkiem.
‘
2007. Y.G.Chen: Dla ε < 1/6 log 10 i k > exp(1/ε) mamy
L(1, χ) > 15 · 105 εk −ε z conajwyżej jednym wyjatkiem.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Zera Siegela
1966. Davenport:
√
c/( k log
√log k)
1−ρ>
c log k/( k log log k)
1975. Goldfeld, Schinzel:
√
c/ k √
1−ρ>
c log k/ k
Wladyslaw Narkiewicz
gdy χ(−1) = −1,
gdy χ(−1) = 1.
gdy χ(−1) = −1,
gdy χ(−1) = 1.
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Konsekwencje
Jeśli istnieja zera Siegela, to
‘
a) w twierdzeniu Bruna-Titchmarsha
π(x; k, l) ≤
x
c
ϕ(k) log(x/k)
mamy c ≥ 2 (Motohashi, 1979),
b) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych bliźniaczych
(Heath-Brown, 1983).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Yoichi Motohashi
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Różnice kolejnych liczb pierwszych
√
1920. Cramér: Z RH wynika dn = pn+1 − pn = O( pn log pn ).
Hipoteza Craméra (1936): dn = O(log2 pn ).
Schinzel (1961) przypuszczal, że dla pn ≥ 11 mamy dn < log2 pn .
Wiemy jedynie, że dn = O(pna ) dla a > 107/200 = 0.535
(R.C.Baker, Harman, 1996).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Liczby pierwsze w krótkich przedzialach
1937. Ingham: Jeśli ζ(1/2 + it) = O(t c ), to
xA
π(x + x A ) − π(x) = (1 + o(1)) log
x zachodzi dla
A > (1 + 4c)/(2 + 4c).
Hardy, Littlewood: c ≤ 1/6, wiec
‘
(1 + 4c)/(2 + 4c) = 5/8 = 0.625, a zatem dla x > x0 sa liczby
‘
pierwsze pomiedzy x 3 a (x + 1)3 .
‘
Dziś wiemy, że za A można przyjać 0.6189 . . . (Maier, 1985).
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Male różnice liczb pierwszych
E = lim inf
dn
log pn .
Z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika E ≤ 1.
Hardy, Littlewood: Z RH wynika E ≤ 2/3.
1940. Rankin: Z GRH wynika E ≤ 3/5.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Robert Rankin (1915–2001)
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Male różnice liczb pierwszych, c.d.
1940. Erdős: E < 1.
1950. Rankin: E ≤ 42/43 = 0.9767 . . . .
1965. Wang, Xie, Yu: E ≤ 29/32 = 0.9062 . . . .
1966. Bombieri, Davenport: E ≤ 0.4665 . . . .
1988. Maier: E ≤ 0.2484 . . . .
2009. Goldston, Pintz, Yildirim: E = 0.
2010. Goldston, Pintz, Yildirim:
lim inf √
n→∞
dn
< ∞.
log pn (log log pn )2
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
János Pintz
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Male liczby pierwsze w postepach
‘
p(k, l) – najmniejsza liczba pierwsza p ≡ l mod k.
1930. Titchmarsh: GRH ⇒ p(k, l) = O(k 2+ε ) dla ε > 0.
1934. Chowla: p(k, l) < exp(ck 3/2 log6 k).
1944. Linnik: p(k, l) = O(k C ) z pewnym C (stala Linnika).
1957. Pan: C ≤ 5448.
... ...
1991. Heath-Brown: C ≤ 5.5.
2011: Xylouris: C ≤ 5.18.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Male liczby pierwsze w postepach, c.d.
‘
1961. Prachar: C ≥ 1, dokladniej, dla każdego l i nieskończenie
wielu k:
p(k, l) ≥ B
k log k log log k log log log log k
.
(log log log k)2
1964. Barban, Czudakow, Linnik: Dla k = p n mamy
p(k, l) ≤ c(p)k a dla a > 8/3 = 2.66 . . . .
1974. Iwaniec: Można tu przyjać każde a > 2.4601 . . . .
‘
1996: Bach, Sorenson: GRH ⇒ p(k, l) ≤ 2k 2 log2 k.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Liczby pierwsze w postepach
‘
1939. van der Corput: Istnieje nieskończenie wiele 3-elementowych
postepów arytmetycznych zlożonych z liczb pierwszych.
‘
1982. Grosswald: Istnieje (c + o(1)x 2 /log3 x takich trójek ≤ x.
1992. Balog: Dla każdego m ≥ 2 istnieje nieskończenie ciagów
‘
p1 , p2 , . . . , pm liczb pierwszych takich, że (pi + pj )/2 jest też liczba
‘
pierwsza.
‘
2004. Green, Tao (Medal Fieldsa 2006): Dla każdego k istnieje
nieskończenie wiele k-wyrazowych postepów arytmetycznych
‘
zlożonych z liczb pierwszych.
2008. Tao, Ziegler: Jeśli P1 , . . . , Pk ∈ Z[X ] i
P1 (0) = · · · = Pk (0) = 0, to istnieje nieskończenie wiele n i m dla
których P1 (n) + m, P2 (n) + m, . . . , Pk (n) + m sa liczbami
‘
pierwszymi.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Elementarne dowody
1948. Erdős i Selberg podali elementarny dowód PNT:
π(x) ∼ x/logx.
Tożsamość Selberga:
X
X
log2 p +
log p log q = 2x log x + O(x)
P≤x
(p, q pierwsze).
pq≤x
Elementarne dowody PNT niezwiazane z metodami
‘
Erdősa-Selberga podali Daboussi (1984) i Hildebrand (1986).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Oszacowanie reszty
Reszta w elementarnym dowodzie PNT :
1955. Kuhn: π(x) − x/ log x = O(x/ loga x) z a = 0.1.
1962. Bombieri oraz Wirsing: a dowolne.
......
1999. Lu: π(x) − li(x) = O(x exp(−c logb x)) z b = 1/2 − ε.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Eduard Wirsing
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Elementarne dowody, c.d.
Elementarne dowody:
1949. Selberg oraz Zassenhaus: π(x; k, l) ∼
x
1
ϕ(k) log x .
1949. Shapiro: Twierdzenie o idealach pierwszych.
1954. Briggs: Twierdzenie Dirichleta-Webera o liczbach
pierwszych przedstawialnych przez forme kwadratowa.
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Ksia̧żki
1927. Landau: ”Vorlesungen über Zahlentheorie”, I–III.
1930. Titchmarsh: ”The Zeta-Function of Riemann”.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Metoda Winogradowa
I.M.Winogradow (1891–1983)
1924–1928.
method” aby znaleźć n-ty wspólczynnik w
P∞ W ”circle
k
f (z) = k=0 ak z wystarczy
stosować wzór Cauchy’ego do
P
wielomianu Wn (z) = nk=0 ak z k .
To pozwala calkować po okregu |z| = 1 zamiast po |z| = r → 1 i
‘
problem sprowadza sie
do oszacowań sum trygonometrycznych z
P
‘
uwagi na Wn (e it ) = nk=0 ak exp(kit).
Oszacowanie G (k) otrzymuje sie rzedu ck2k , podobnie jak u
‘ ‘
Hardy’ego i Littlewooda.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Metoda Winogradowa
1934. Zamiast szacować ilość przedstawień n = x1k + · · · + xsk
Winogradow szacowal liczbe przedstawień
‘
n=
4m−2
X
xjk + u1 + u2 + y k u3 ,
j=1
gdzie m jest rzedu 2k log k, zaś liczby ui sa sumami O(k log k)
‘
‘
k-tych poteg, leżacych w odpowiednio dobranych przedzialach. To
‘
‘
doprowadzilo do
G (k) ≤ 6k log k + 10k.
1947. G (k) ≤ 3k log k + 11k
(k ≥ 3).
Wooley (1992): G (k) ≤ k log k + k log log k + C .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Idealny Waring
J.A.Euler:
" #
3 k
g (k) ≥ I (k) :=
+ 2k − 2,
2
gdyż 2k [(3/2)k ] − 1 wymaga I (k) k-tych poteg.
‘
1853. Bretschneider przypuszczal, że g (k) = I (k). Tak jest dla
k = 2 (Lagrange) i k = 3 (Wieferich).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
”Ascent” Dicksona
1927–1936. ”Metoda wstepowania” (method of ascent) Dicksona:
‘
Podstawowy lemat: Jeśli n > m, to istnieje x takie, że
n − x k ∈ [m, m + kn1−1/k ].
q = [(3/2)k ], r = 3k − 2k q, s = [(4/3)k ].

 I (k)
g (k) = I (k) + s

I (k) + s − 1
gdy r ≤ 2k − q − 3,
gdy r > 2k − q − 1, qs + q + s = 2k ,
gdy r > 2k − q − 1, qs + q + s 6= 2k .
Przypadki r = 2k − q, r = 2k − q − 1 nie wystepuja, a w przypadku
‘
‘
r = 2k − q − 2 równość I (k) = g (k) udowodnil Niven (1944).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Stala Waringa
1940. Pillai: g (6) = I (6) = 73.
1964. Chen: g (5) = I (5) = 37.
1957. Mahler: Dla k ≥ k0 zachodzi g (k) = I (k) z nieefektywnym
k0 . Bedzie to efektywne, jeśli dla k ≥ K z efektywnym K zachodzi
‘
k
3 k
3
,
≥2
2 4
gdzie k a k oznacza odleglość a od najbliższej liczby calkowitej.
Tak jest po zamianie 3/4 na 0.5803 (Zudilin, 2007.)
1986. Balasubramanian, Deshouillers, Dress: g (4) = 19.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Jean-Marc Deshouilliers
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Sznirelman
Lev Genrikowicz Sznirelman (1905–1938)
Istnieje stala C (stala Sznirelmana) taka, że każda liczba ≥ 4 jest
suma conajwyżej C liczb pierwszych.
‘
Gestość Sznirelmana:
‘
1 X
δ(A) = inf
1.
x≥1 x
a∈A
1≤a≤x
Jeśli A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} oraz 1 ∈ A, 0 ∈ B, to
δ(A + B) ≥ δ(A) + δ(B) − δ(A)δ(B).
Wniosek: Jeśli δ(A) > 0 i 0 ∈ A, to A jest baza, tj. istnieje k take,
‘
że każde n > 0 jest suma ≤ k skladników z A.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Twierdzenie Sznirelmana
P – zbiór liczb pierwszych. Sito Bruna prowadzi do δ(P + P) > 0,
a wniosek daje tw. Sznirelmana.
1942. Mann: δ(A + B) ≥ min{1, δ(A) + δ(B)}.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Stala Sznirelmana
1936. Heilbronn, Landau, Scherk: Dla dużych n, C ≤ 73.
Dla n ≥ 4:
C < 2 · 104 (Szanin, 1964), . . . , C ≤ 7 Ramaré (1995).
RH ⇒ C ≤ 5 (Kaniecki, 1995).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Winogradow
1937. I.M.Winogradow (metoda Hardy’ego-Littlewooda): Każde
‘
nieparzyste n ≥ n0 jest suma 3 liczb pierwszych.
‘
Znacznie prostszy dowód znalazl Vaughan (1977).
1956. Borozdkin: n0 ≤ exp exp(16.038) ∼ 8 · 104 008 659 .
1997. Zinoviev: GRH ⇒ n0 < 1020 .
1998. Saouter: Każde nieparzyste n ≤ 1020 jest suma 3 liczb
‘
pierwszych.
Wniosek: Z GRH wynika ternarna hipoteza Goldbacha.
2002. Liu, Wang: n0 ≤ exp(3100) ∼ 2 · 101346 .
2003. Ramaré, Saouter: Każde nieparzyste n ≤ 1.13 · 1022 jest
suma 3 liczb pierwszych.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Binarna hipoteza Goldbacha
E (x) = #{n ≤ x : 2|n 6= p1 + p2 }.
1937. Czudakow i van der Corput (niezależnie):
E (x) = O(x/ logm x) dla wszystkich m.
√
1972. Vaughan: E (x) = O(x exp(−c log x)).
1975. Montgomery, Vaughan: E (x) = O(x c ) z pewnym c < 1.
Najlepsze znane oszacowanie c, to c ≤ 0.879 (Liu, 2010).
Numerycznie sprawdzono binarna hipoteze Goldbacha aż do
‘
‘
1.6 · 1018 (Oliveira e Silva).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Aproksymacja binarnej hipotezy
1932. Estermann: Dla dużych n mamy 2n = P6 + P6 , gdzie Pk
oznacza liczbe o ≤ k czynnikach pierwszych.
‘
1956. I.M.Winogradow: 2n = P3 + P3 dla dużych n.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Aproksymacja binarnej hipotezy, c.d.
1932. Estermann: GRH ⇒ 2n = p + P6 dla dużych n.
1948. Rényi (używajac wielkiego sita Linnika): Istnieje stala k
‘
taka, że dla dużych n mamy 2n = p + Pk .
1962. Pan: k = 5.
1963. Barban i inni (niezależnie): k = 4.
1965. A.I.Winogradow i Buchsztab (niezależnie): k = 3.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Chen
1973. Chen Jing Run: Dla dużych n mamy 2n = p + P2 .
Ilość takich przedstawień jest
Y p−1 Y
1
≥c
1−
p−2
(p − 1)2
p|n
p6=2
p6=2
z c ≥ 0.67. Teraz wiemy, że c ≥ 0.899 (Wu, 2008).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Linnik
Selberg
Sito Linnika
1941. Linnik: Jeśli p1 , . . . , pm ≤ N, A ⊂ [1, N], a dla
i = 1, 2, . . . , m zbiór A mod pi nie zawiera 0 < f (pi ) < pi reszt, to
#A ≤
20πN
,
τ 2m
gdzie
τ = min
i
f (pi )
.
pi
Zastosowanie:
n(p) – minimalna niereszta kwadratowa mod p.
Wniosek: n(p) > p ε zachodzi dla conajwyżej O(x ε ) liczb
pierwszych p ≤ x.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Linnik
Selberg
Rényi
A ⊂ [1, N], #A = Z , Z (p, h) = #{a ∈ A : a ≡ h (mod p)}.
Wariancja:
p−1 X
Z 2
D(p) =
Z (p, h) −
.
p
h=0
1948. Rényi: Dla x ≤ N 3/5 :
P
p≤x
pD(p) Z 2/3 N 4/3 x 1/3 .
Wniosek: p + 2 = Pk dla nieskończenie wielu p i to samo dla
p + 2r .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Linnik
Selberg
Twins
1964. Ankeny, Onishi: GRH ⇒ p + 2 = P3 dla nieskończenie wielu
p.
1967. Buchsztab oraz Halberstam, Jurkat, Richert: to samo bez
GRH.
1973. Chen: p + 2 = P2 dla nieskończenie wielu p.
Ilość takich p ≤ x jest wieksza od
‘
Y
c
1−
p6=2
1
(p − 1)2
z c ≥ 0.67. Teraz wiemy, że c ≥ 2.26 (Cai, 2008).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Heini Halberstam
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Linnik
Selberg
Sito Selberga
Atle Selberg (1917–2007). (Medal Fieldsa 1950.)
Dla danych n1 , n2 , . . . , nN niech S(z) oznacza ilość liczb ni bez
dzielników pierwszych ≤ z, a Sd = #{ni : d|ni }. Sito Legendra
daje
X
Y
S(z) =
µ(d)Sd , (D =
p).
p≤z
d|D
P
P
1947. Selberg: Jeśli ciag ρd spelnia d|n ρd ≥ d|n µd , to
‘
X
S(z) ≤
ρd Sd .
d|D
Jeśli wiele ρd znika, to można otrzymać nietrywialne oszacowanie.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Linnik
Selberg
Sito Selberga, c.d.
Metoda Selberga: Jeśli Sd = f (d)N + Rd , gdzie f jest
multyplikatywna, a Rd jest niewielka reszta, to wybiera sie ciag λd
‘
‘
‘ ‘
z λ1 = 1 i kladzie
X
ρd =
λa λb .
[a,b]=d
Wybór λd zależy od f i sprowadza sie do znalezienia minimum
‘
pewnej formy kwadratowej z jednym warunkiem dodatkowym.
Wnioski: a) Prosty dowód twierdzenia Bruna-Titchmarsha:
π(x; k, l) ≤ c
x
.
ϕ(k) log(x/k)
b) #{p ≤ x : 2p + 1 pierwsze} = O(x/log2 x) (Erdős, 1935).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Linnik
Selberg
Sito Selberga, c.d.
c) Ankeny, Onishi (1964): Dla nieskończenie wielu n zachodzi:
n = P2 , n + 2 = P3 .
d) Bombieri, Davenport (1966):
#{p ≤ x : p + 2 pierwsze}
Y
1
x
log log x
≤8
1−
+
O
.
(p − 1)2 log2 x
log x
p6=2
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Formy modulowe
Γ = SL(2, Z), Γ(N) = {A ∈ Γ : A ≡ E (mod N)}.
Jeśli
a b
A=
∈ Γ,
c d
to
az + b
.
A·z =
cz + d
Funkcja f (z), regularna w H = {z : =z > 0} jest forma
‘
modularna wagi k, gdy
‘
f (A · z) = (cz + d)k f (z). (∗)
P
Wtedy f (z) = c0 + ∞
n=1 cn exp(2πinz), bo f (z + 1) = f (z). Gdy
c0 = 0, to f jest forma paraboliczna (”cusp form”).
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Formy poziomu N
Jeśli (*) zachodzi dla A ∈ Γ(N), a dla A ∈ Γ mamy
f (A · z)(cz + d)
−k
= c0 (A) +
∞
X
n=1
cn (A) exp
2πinz
N
,
to f jest forma modularna wagi k i poziomu N. Jeśli c0 (A) = 0 dla
‘
‘
wszystkich A, to f jest forma paraboliczna.
‘
‘
Formy wagi k i poziomu N tworza przestrzeń liniowa M(k, N), a
‘
‘
formy paraboliczne tworza jej podprzestrzeń M0 (k, N).
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Hecke 1937
Szereg Dirichleta formy modularnej:
P
1937. Hecke: Jeśli f (z) = ∞
n=0 an exp(2πinz) ∈ M(k, 1), to
Φf (s) =
∞
X
an
n=1
ns
,
Res > k
jest funkcja meromorficzna z równaniem funkcyjnym
‘
‘
R(s) = ε(f )R(k − s),
gdzie R(s) = (2π)−s Γ(s)Φf (s), a ε(f ) = (−1)k/2 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Operatory Hecke
Operatory Hecke:
Tn (f )(z) = n
k−1
X 1 d−1
X n
b
z+
.
f
d2
d
dk
d|n
a=0
Tworza one pierścień przemienny i spelniaja Tmn = Tm Tn , gdy
‘
‘
(m, n) = 1.
Jeśli f jest funkcja wlasna dla tych operatorów, to ma iloczyn
‘
‘
eulerowski.
1967. Rademacher: Operator Tpn jest postaci V (Tp ), gdzie V jest
jednym z wielomianów Uk (x) Czebyszewa:
∞
X
Uk (x)t k =
k=0
Wladyslaw Narkiewicz
1
.
1 − 2tx + t 2
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
Funkcja zeta i liczby pierwsze
Problem Waringa
Problem Goldbacha
Sita
Formy modulowe
Petersson
Dla kilku wartości k Hecke znalazl bazy M0 (k, 1) zlożone z funkcji
wlasnych. (dla k = 12: baza jednoelementowa: ∆(z)).
1939. Petersson: M0 (k, 1) jest przestrzenia Hilberta z iloczynem
‘
skalarnym
Z Z
(f , g ) =
f (x + iy )g (x + iy )y k−2 dxdy ,
D
gdzie D jest obszarem fundamentalnym dla Γ.
Operatory Hecke sa hermitowskie i komutuja, wiec istnieje baza
‘
‘
‘
M0 (k, 1) zlożona z funkcji wlasnych.
Podobnie jest dla poziomów N > 1.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria
VI. 1920–1950. Pozostałe metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Chinczyn
Aleksandr Jakowlewicz Chinczyn (1894–1959)
1924: Jeśli f (t) > 0 jest ciagla, a tf (t) maleje, to
‘
α − p < f (q)
q
q
ma dla prawie wszystkich α ∈ R ∞ rozwiazań p, q ∈ Z (p, q) = 1
‘
wtedy i tylko wtedy, gdy
Z ∞
f (t)dt = ∞.
1
Przypuszczenie Duffina-Schaeffera (1941): Wystarczy zakladać
rozbieżność szeregu
∞
X
f (m)ϕ(m)
.
m
m=1
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Chinczyn, c.d.
1924: Jeśli [a0 ; a1 , . . . ] jest ulamkiem lańcuchowym dla α ∈ R, to
dla prawie wszystkich α
p
√
lim sup n a1 a2 · · · an ≤ exp( 2 log 2) = 3.2459 . . . .
n→∞
1935: Mocniej: Dla prawie wszystkich α
√
lim n a1 a2 · · · an = C > 0.
n→∞
Ogólniej: Jeśli f (t) = O(t c ) (c < 1), to dla prawie wszystkich α
n
∞
X
(r + 1)2
1X
f (r ) log2
lim
f (aj ) =
.
n→∞ n
r (r + 2)
j=1
r =1
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Kuzmin
Rodion Osijewicz Kuzmin (1891–1949)
1928: Przypuszczenie Gaussa (1812):
α = [a0 ; a1 , a2 , . . . ], ξn (α) = [an ; an+1 , an+2 , . . . ].
lim µ{α ∈ [0, 1] : ξn (α) < t} = log2 (1 + t).
n→∞
1951. Ryll-Nardzewski: Prosty dowód przy pomocy teorii
ergodycznej.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Czeslaw Ryll-Nardzewski
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Lévy
Paul Lévy (1886–1971)
1951: Mianownik qn (α) n-tego reduktu α spelnia
π2
1
log qn (α) =
n→∞ n
12 log 2
lim
dla p.w. α.
Granica ta, gdy istnieje, nazywa sie stala Lévy’ego dla α. Istnieje
‘
‘
ona dla α stopnia 2 (Jager, Liardet, 1988), a nie istnieje dla√
nieprzeliczalnie wielu α (Baxa, 1999). Każda liczba ≥ (1 + 5)/2
jest stala Lévy’ego dla pewnej liczby przestepnej (Baxa, 2009).
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Hipoteza Oppenheima
1929. Hipoteza Oppenheima: Jeśli f (x, y ) jest nieokreślona forma
‘
‘
kwadratowa o niewspólmiernych wspólczynnikach, to na Z2
‘
przymuje wartości dowolnie bliskie zeru.
1986. Margulis podal dowód używajac teorii przeplywów w
‘
przestrzeniach jednorodnych. Medal Fieldsa (ICM Helsinki 1978)
za rezultaty w teorii grup Liego.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Definicja
Dla nieskończonego ciagu A : an ∈ [0, 1) jego dyskrepancja, to
‘
dA (N) = sup |#{n ≤ N : an ∈ I } − n|I || .
I ⊂[0,1)
van der Corput (1935) przypuszczal,że dla każdego ciagu A
‘
dyskrepancja nie jest ograniczona.
1945. van Aaardenne-Ehrenfest:
lim sup
N→∞
dA (N) log log log N
> 0.
log log N
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Roth, Schmidt
1954. Roth: lim supN→∞
d (N)
√A
log N
> 0.
1972. W.M.Schmidt: lim supN→∞
dA (N)
log N
≥ 0.01.
1982. Béjian (1982) zastapil 0.01 przez 0.12. Napewno nie można
‘
tu mieć 0.3751 (Faure, 1981).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Siegel
Siegel:
1929. Przestepność wartości dużej klasy funkcji (tzw. E -funkcji),
‘
spelniajacych liniowe równania różniczkowe, w punktach
‘
algebraicznych, w szczególności dla funkcji J0 (z) Bessela.
J0 (z) =
∞
X
k=0
(−1)k z 2k
.
Γ2 (k + 1) 2
1932. a) Jeśli w równaniu (℘0 )2 = 4℘3 − a℘ − b liczby a, b sa
‘
algebraiczne, to jeden z okresów ℘(z) jest przestepny.
‘
R1
dx
b). Calki In = −1 √1−x
n przy n = 4, 6 sa przestepne (I2 = 2π).
‘
‘
c) Conajmniej jedna z liczb Γ(m/n)π −m/n
(m = 1, 2, . . . , [(n − 1)/2]) jest przestepna.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
1996
Przypuszczenie Mahlera (1969): Jeśli w równaniu
(℘0 )2 = 4℘3 − a℘ − b liczby a, b sa algebraiczne, a ω1 , ω2 , to
‘
okresy ℘(z), to exp(2πiω1 /ω2 ) jest liczba przestepna.
‘
‘ ‘
1996: Barré-Sirieix, Diaz, Gramain, Philibert podali dowód.
Nesterenko (1996) udowodni√
l niezależność algebraiczna
‘
π, e π , Γ(1/4) a także π, exp( d) przy d naturalnym.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Apéry
1978. Apéry: Liczba ζ(3) jest niewymierna. Pelne dowody: Cohen
oraz Reyssat.
2001. Ball, Rivoal: a) Dla nieskończenie wielu k liczba ζ(2k + 1)
jest niewymierna,
b) dimQ LinSp{1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1)} ≥ c log n
2001. Zudilin: Jedna z liczb ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) jest
niewymierna.
2004. Zudilin: Dla m ≥ 1 przynajmniej jedna z liczb
ζ(2m + 1), ζ(2m + 3), . . . , ζ(16m − 9) jest niewymierna.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Gelfond
1939. Gelfond: Jeśli α1 , α2 6= 0, 1 sa algebraiczne o liniowo
‘
niezależnych (nad Q) logarytmach, to dla algebraicznych
β1 , β2 6= 0 można efektywnie oszacować od dolu
|β1 log(α1 ) + β2 log(α2 )|.
Gelfond przypuszczal, że istnieje podobne twierdzenie dla n liczb
algebraicznych.
Zastosowanie:
1967. Schinzel: Jeśli f (x) = ax 2 + bx + c ∈ Z[x] ma różne
pierwiastki, to maksymalny dzielnik pierwszy f (x) jest
≥ c log log x.
1973. Kotov: To samo zachodzi dla wszystkich nieprzywiedlnych
wielomianów nieliniowych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Alan Baker
Wysokość H(z) liczby algebraicznej z, to maksimum modulu
wspólczynników wielomianu minimalnego dla z.
1966. A.Baker (Medal Fieldsa, 1970): Jeśli αi , βi (i = 1, 2, . . . , n)
sa algebraiczne, αi 6= 0, 1, deg βi ≤ d, H = maxi H(βi ) oraz
‘
n
X
Λ=
βi log(αi ) 6= 0,
i=1
to dla 0 < δ < 1
|Λ| > C exp(−δH),
gdzie C efektywnie zależy od αi , d, δ.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Zastosowania
1966. Baker: a) Jeśli βi sa algebraiczne, 1, β1 , . . . , βn sa niezależne
‘
‘
liniowo, a α1 , . . . , αn sa algebraiczne 6= 0, 1, to liczba
‘
n
Y
αiβi
i=1
jest przestepna.
‘
b) Dla niezerowych algebraicznych α, β liczby π + log α i
exp(απ + β) sa przestepne.
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Metryczna teoria aproksymacji
Dyskrepancja
Przestȩpność i niewymierność
Metoda Bakera
Zastosowania do równań
1967. Baker: Efektywizacja rozwiazania równania Thuego
‘
f (x, y ) = m (f – nieprzywiedlna forma stopnia ≥ 3)
1968. Baker: Efektywizacja rozwiazania równania y n = f (x) (gdy
‘
f ma conajmniej 3 pojedyńcze zera).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ciala gwiaździste
X ⊂ R n jest cialem gwiaździstym (star body), gdy zawiera 0 i
każda pólprosta wychodzaca z tego punktu przecina brzeg X w
‘
jednym punkcie.
1890. Minkowski: Jeśli X jest gwiaździsty i ograniczony o objetości
‘
V < ζ(n), to istnieje krata o wyróżniku 1 nie zawierajaca
‘
niezerowych punktów X . Jeśli X jest symetryczny wzgledem 0, to
‘
wystarczy zalożenie V < 2ζ(n). (Bez dowodu).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Hlawka
1943. Hlawka podal dowód (tw. Minkowskiego-Hlawki).
1946. Mahler: Jeśli nadto X jest ograniczony i wypuk√
ly, to dla
n ≥ 3 wystarczy V < 2ζ(n) + 1/6, a dla n = 2, V < 12.
1947. Davenport, Rogers: Dla dużych n wystarczy V < 4.921.
1970. Tammela: Dla n = 2 wystarczy V < 3.5706 . . . . Wiadomo,
że V < 3.6096 nie wystarcza (Reinhardt, 1934).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Edmund Hlawka (1916–2009)
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Siegel
1926. Siegel (w J. London Math. Soc. pod pseudonimem ”X”):
Równanie y 2 = f (X ), gdzie f ∈ Z[X ], bez pierwiastków
wielokrotnych, deg f ≥ 4, ma skończenie wiele rozwiazań.
‘
1929. Siegel: Jeśli f ∈ Z[X , Y ] jest nieprzywiedlny, to równanie
f (x, y ) = 0 ma ∞ rozwiazań w Q z ograniczonymi mianownikami
‘
wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa f (X , Y ) = 0 ma parametryzacje
‘
m
n
X
X
x=
aj t j , y =
bj t j (aj , bj ∈ Z).
j=−m
j=−n
Dostateczność tego warunku udowodnil wcześniej Maillet
(1919–1920).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Siegel, c.d.
Wniosek: Jeśli krzywa F (x, y ) = 0 ma rodzaj ≥ 1, to leży na niej
conajwyżej skończenie wiele punktów kraty Zn .
Rodzaj (genus) krzywej Γ : f (x, y ) = 0:
Jeśli Γ jest nieosobliwa (f = fx0 = fy0 = 0 nie ma rozwiazań), to
‘
g (Γ) = (d − 1)(d − 2)/2,
gdzie d = deg f .
1934. Mahler: Wniosek Siegela jest sluszny także dla rozwiazań
‘
wymiernych, których mianowniki maja dzielniki pierwsze w
‘
zadanym skończonym zbiorze.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Kurt Mahler (1903–1988)
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Leveque, Schinzel, Tijdeman
1964: Leveque opisal, kiedy równanie y n = f (x) (gdzie f ∈ Z[X ])
ma nieskończenie wiele rozwiazań calkowitych. Uzyskal także
‘
analogiczny wynik dla pierścieni liczb calkowitych cial K z
[K : Q] < ∞.
1976: Schinzel, Tijdeman: Jeśli f ∈ Z[X ] ma conajmniej dwa
różne pierwiastki, to równanie y n = f (x) nie ma rozwiazań dla
‘
n ≥ n0 (f ). n0 jest efektywne.
Przypuszczenie (Schinzel, Tijdeman): Jeśli f ∈ Z[X ] ma
conajmniej dwa różne pierwiastki, to przedstawia conajwyżej
skończenie wiele liczb n nie majacych dzielnika pierwszego w
‘
pierwszej potedze (jeśli p|n, to p 2 |n).
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Robert Tijdeman
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Hipoteza Mordella
Hipoteza Mordella (Mordell, 1922): Jeśli krzywa Γ : f (x, y ) = 0
ma g (Γ) ≥ 2, to leży na niej conajwyżej skończenie wiele punktów
wymiernych.
Także Siegel pisal w 1929 r.:
”Doch dürfte wohl der Beweis der Vermutung, daß jede solche
Gleichung, wenn ihr Geschlecht größer als 1 ist, nur endlich viele
Lösungen in rationalen Zahlen besitzt, noch die Überwindung
erheblicher Schwierigkeiten erfordern.”
1983. Faltings udowodnil hipoteze Mordella. Medal Fieldsa 1986.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Sformulowanie
1923. Hasse: Forma kwadratowa o n ≥ 5 zmiennych przedstawia
nietrywialnie zero w każdym ciele p-adycznym Qp .
Hipoteza Artina: Forma stopnia d o n ≥ 1 + d 2 zmiennych
przedstawia nietrywialnie zero w Qp .
1945. R.Brauer: Do każdej liczby d istnieje vd takie, że każda
forma stopnia d majaca ≥ vd zmiennych przedstawia nietrywialnie
‘
zero w Qp .
d
1998. Wooley: vd < d 2 .
2010. Heath-Brown: v4 ≤ 4221.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Specjalne przypadki
1950. Demjanow: Dowód hipotezy Artina dla d = 3, p 6= 3.
1952. Lewis: Dowód dla d = 3.
1960. Birch i Lewis: Dowód dla d = 5, p dostatecznie duże.
1965. Laxton i Lewis: Dowód dla d = 7, 11, p dostatecznie duże.
1963. Davenport i Lewis: Dowód dla form diagonalnych przy
d ≥ 18. Vaughan (1977): dla d ≥ 11.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Ax i Kochen
1965. Ax i Kochen: Dowód dla p ≥ p0 (d) metodami teorii modeli.
p0 (5) ≤ 17 (Heath-Brown, 2010).
1978. Brown:
p0 (d) < 2
Wladyslaw Narkiewicz
d
22
22
114d
.
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Obalenie hipotezy
1966. Terjanian: Przyklad formy z d = 4, n = 18 bez
nietrywialnego zera w Q2 :
g (x1 , x2 , x3 ) =
3
X
j=1
xj4 −(x1 x2 )2 −(x2 x3 )2 −(x1 x3 )2 −(x1 x2 x3 )(x1 +x2 +x3 ),
f (x1 , . . . , x18 ) = g (x1 , x2 , x3 ) + g (x4 , x5 , x6 ) + g (x7 , x8 , x9 )
+4(g (x10 , x11 , x12 ) + g (x13 , x14 , x15 ) + g (x16 , x17 , x18 )).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Guy Terjanian
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Kontrprzyklady
1966. Browkin: Kontrprzyklady dla każdego ciala Qp .
1981. Archipow, Karacuba: Przyklady z n > d m dla dowolnego m.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
Aproksymacje diofantyczne
Geometria liczb
Równania diofantyczne
Ogólne rezultaty
Hipoteza Artina o formach
Otwarte pytania
Pytania:
1. Czy hipoteza Artina jest sluszna dla d = 5? A może dla
wszystkich d nieparzystych?
2. Terjanian (1980): Czy w każdym kontrprzykladzie p(p − 1)
dzieli d?
3. Heath-Brown (2010): Czy hipoteza Artina jest sluszna dla
d = 4, p 6= 2?
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozostale metody
VII. Druga połowa stulecia. Analityczna teoria liczb
Przypomnienie
A ⊂ [1, N], #A = Z , Z (p, h) = #{a ∈ A : a ≡ h (mod p).
Wariancja:
p−1 X
Z 2
.
D(p) =
Z (p, h) −
p
h=0
1948. Rényi: Dla x ≤ N 3/5
P
p≤x
Wladyslaw Narkiewicz
pD(p) Z 2/3 N 4/3 x 1/3 .
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Roth
1964. Roth: Dla x ≤ (N/logN)1/2
X
pD(p) Zx 2 log x.
p≤x
1965. Bombieri:
X
p≤x
pD(p) ≤ 7Z max{N, x 2 }.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Bombieri
Jeśli S(α) =
P
n≤N
an exp(2πinα), to
X
X X a 2
≤ 7 max{N, x 2 }
S
|an |2 .
q
q≤x (a,q)=1
n≤N
oraz podobny wynik dla sum z charakterami:
X
2
M+N
X M+N
X
X
2
an χ(n) ≤ (N + Q )
|an |2 .
q≤Q χ mod q n=M+1
Wladyslaw Narkiewicz
n=M+1
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Zastosowania
Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa: Jeśli
X
Λ(n),
ψ(y ; k, l) =
n≤x
n≡l mod k
to
X
√
k≤ x/logB x
x
y max max ψ(y ; k, l) −
,
y ≤x (k,l)=1
ϕ(k)
logA x
przy czym A zależy od B. Bombieri: B = 3A + 23.
To prowadzi do
X
√
k≤ x/logB x
π(y ) x
max max π(y ; k, l) −
.
y ≤x (k,l)=1
ϕ(k)
logA x
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Elliott-Halberstam
Hipoteza Elliotta i Halberstama: Sumy te można rozszerzyć do
k ≤ x 1−ε . Wtedy istnialaby liczba pierwsza w prawie każdym
przedziale (N, N + N δ ) (Heath-Brown, 1982).
1989. Friedlander, Granville: Nie można w tej sumie dojść do
k ≤ x/logc x.
1991. Friedlander, Granville, Hildebrand, Maier: Nawet
k ≤ x exp(− logc x) z c < 1/2 nie jest możliwe.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Montgomery
Wielkie sito Montgomery’ego:
A ⊂ [M, M + N]. Dla p ≤ Q zbiór A mod p nie zawiera f (p) klas
reszt mod p (0 ≤ f (p) < p). Wtedy
#A ≤
gdzie
L=
X
Q 2 + πN
,
L
µ2 (q)
q≤Q
Y
p|q
f (p)
.
p − f (p)
Wspólczynnik π można zastapić przez 1 (Montgomery, Vaughan,
‘
1973).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Zastosowania. I
a) 1970. Vaughan: Dla prawie wszystkich n mamy
4
1
1 1
= + + .
n
x
y
z
Hipoteza Erdősa-Strausa: Jest tak dla wszystkich n ≥ 2.
Sprawdzono to aż do 1014 .
Hipoteza Schinzla: Dla n ≥ n0 (a) mamy
1
1 1
a
= + + .
n
x
y
z
1973. Viola: Tak jest dla prawie wszystkich n.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Zastosowania. II
b) 1967. Gallagher: Prawie każda liczba naturalna jest
pierwiastkiem pierwotnym dla pewnej liczby pierwszej.
c) 1986. Hildebrand: nowy dowód PNT .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Korelacja par zer
1973. Montgomery: Hipoteza PCC (Pair Correlation Conjecture)
Jeśli 0 < γ1 < . . . sa cześciami urojonymi zer ζ(s) na krytycznej
‘ ‘
prostej, oraz
F (x, T ) = 4
X
γi ,γj ≤T
x i(γ1 −γ2 )
,
4 + (γ1 − γ2 )2
to dla każdego M i T ≤ x ≤ T M mamy
1
F (x, T ) =
+ o(1) T log T .
2π
√
Z PCC i RH wynika pn+1 − pn = O( pn log3/4 pn ) (Mueller,
1981),
√
ψ(x) = x + O( x log2 x)
i prostota prawie wszystkich zer ζ(s) (Gallagher, Mueller, 1978).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Woronin
1929. Birkhoff: Istnieje funkcja calkowita F (s) taka, że dla każdej
funkcji calkowitej f (s) istnieje ciag sn , taki, że
‘
lim F (s + sn ) = f (s).
n→∞
1975. Woronin: Jeśli f (s) jest ciagla i nieznikajaca w |s| ≤ r < 1,
‘
‘
to dla każdego ε > 0 istnieje τ > 0 takie, że dla s| ≤ r
|f (s) − ζ(s + 3/4 + iτ )| < ε.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Prime race
1962–1972. Cykl prac Knapowskiego i Turána o porównywaniu
π(x; k, l) z π(x; r , s). 60 problemów.
Problem Shanksa-Rényi’ego (The race problem): Dla k ≥ 4
niech l1 , l2 , . . . , lr bedzie dowolna permutacja reszt mod k
‘
‘
‘
wzglednie pierwszych z k. Pokazać, że dla ∞ wielu n zachodzi
‘
π(n; k, l1 ) > π(n; k, l2 ) > · · · > π(n; k, lr ).
Knapowski, Turán: Jeśli L-funkcje mod k nie maja nietrywialnych
‘
zer w prostokacie
‘
{s : 1/2 < <s > 1, 0 ≤ =s ≤ A(k)},
gdzie A(k) ≥ ck, a l1 , l2 sa obie resztami lub obie nieresztami
‘
kwadratowymi mod k, to π(n; k, l1 ) − π(n; k, l2 ) zmienia znak
nieskończenie wiele razy .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Prime race, c.d.
1994. Rubinstein, Sarnak: To jest konsekwencja GRH oraz
Q-niezależności zer L(s, χ), gdzie χ przebiega wszystkie charaktery
pierwotne.
1995. Kaczorowski: Dla k = 5 wystarczy GRH.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Hipoteza H
1958. Schinzel, Sierpiński. Hipoteza H: Jeśli f1 , . . . , fk ∈ Z[X ] sa
‘
nieprzywiedlne, bez stalych dzielników i maja stopnie ≥ 1, to dla
‘
nieskończenie wielu n liczby fi (n) sa pierwsze.
‘
1962-1965. Bateman-Horn: Ilość takich n ≤ x powinna być równa
x
c(f1 , . . . , fk )
+ o(1)
,
d1 · · · dk
logk x
gdzie
c(f1 , . . . , fk ) =
Y
ω(p)
1 −k
1−
1−
,
p
p
p
ω(p) jest liczba rozwiazań f1 (x) · · · fk (x) ≡ 0 mod p, a di = deg fi .
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Wielomiany kwadratowe
1957. Hooley: Z GRH wynika istnienie ∞ liczb pierwszych postaci
x 2 + y 2 + a.
1959. Bredichin: GRH jest tu niepotrzebna. Ogólniej:
p = f (x, y ) + a, gdzie f – forma kwadratowa.
1972. Iwaniec: Ilość takich p ≤ x ma rzad x/log3/2 x.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Wielomiany kwadratowe,II
1966. Pleasants: Wielomian 3 stopnia o ≥ 10 zmiennych,
spelniajacych naturalne warunki przedstawia ∞ liczb pierwszych.
‘
To samo zachodzi dla wielomianów kwadratowych o ≥ 3
zmiennych.
1974. Iwaniec: Wielomian ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
przedstawia ∞ liczb pierwszych o ile jest nieprzywiedlny i nie ma
stalego dzielnika.
Dla deg f ≥ 3 tak nie jest. Przyklad: wielomian
f (x, y ) = (y 2 + 15) 1 − (x 2 − 23y 2 − 1)2 − 5
nie przedstawia żadnej liczby pierwszej. (Heath-Brown).
1997. Fouvry, Iwaniec: Istnieje ∞ liczb pierwszych postaci p 2 + x 2 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Wyższe stopnie
1998. Friedlander, Iwaniec: x 4 + y 2 przedstawia ∞ liczb
pierwszych.
2003. Heath-Brown: x 3 + 2y 3 przedstawia ∞ liczb pierwszych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Dystrybuanta
Dystrybuanta funkcji arytmetycznej f to
F (t) = lim
x→∞
#{n ≤ x : f (n) < t}
.
x
1928. Schoenberg: ϕ(n) i log ϕ(n) maja dystrybuanty.
‘
1933. Davenport: σ(n)/n ma dystrybuante.
‘
1935. Erdős: f (n) ≥ 0 addytywna, f (p1 ) 6= f (p2 ), ma
dystrybuante.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Erdős, Wintner
g + (p) =
g (n)
1
gdy |g (n)| ≤ 1,
gdy |g (n)| > 1.
1938. Erdős: Jeśli f addytywna i szeregi
X f + (p)
p
p
,
X (f + (p))2
p
p
sa zbieżne, to f ma dystrybuante.
‘
‘
1939. Erdős i Wintner: Warunek ten jest także dostateczny.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Kubilius
1956–1959. Kubilius opisal funkcje addytywne f , dla których
istnieje
1
f (n) − Ax
≤t ,
Φ(t) = lim # n ≤ x :
x→∞ x
Bx
gdzie
Ax =
X f (p)
p
p
,
Bx =
X f 2 (p)
p
p
!1/2
.
Dla f (n) = ω(n) jest to twierdzenie Erdősa-Kaca (1940).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Turán-Kubilius
Nierówność Turana-Kubiliusa:
X
|f (n) − Ax |2 ≤ C (x)xBx2 .
n≤x
1985. Kubilius: C (x) = 1.5 + O(1/logx).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Wirsing
1944. Wintner twierdzil, że każda multyplikatywna funkcja f o
wartościach ±1 posiada wartość średnia
‘
X
1
f (n).
M(f ) = lim
x→∞ x
n≤x
1959. Ciesielski: Tak jest dla wiekszości funkcji f .
‘
1967. Wirsing: Tak jest dla f rzeczywistych, spelniajacych
‘
|f (n)| = 1.
1968. Halasz: Jeśli f ma wartości zespolone, to
X
f (n) = cL(log x)x 1+ia + o(x),
n≤x
gdzie |L(x)| = 1 a ∈ R, c ∈ C i dla wszystkich M ≥ 1 zachodzi
L(Mn)/L(n) → 1.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Elliott
2
1975.
P∞ Elliott 2opisal funkcje multyplikatywne z L (tj.
n=1 |f (m)| < ∞), dla których istnieje niezerowa wartość
średnia.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
van der Waerden
1927. van der Waerden: Istnieje liczba W (m, n) taka, że jeśli
przedzial [1, W (m, n)] podzielimy na m klas, to jedna z nich
zawierać bedzie postep arytmetyczny o dlugości n.
‘
‘
√
1962. W.M.Schmidt: log(W (m, n)) > (n − c n log n) log k.
Shelah (1985) i Gowers (2002) podali górne oszacowania W (m, n).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Erdős, Graham
Problem Erdősa-Grahama:
Czy istnieje b > 1 takie, że jeśli liczby z przedzialu [2, b k ]
podzielimy na k klas, to jedna z nich zawiera podzbiór S z
X1
n∈S
n
= 1.
2003. Croot: Tak, każde b > exp(167 000) jest dobre.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Problem Erdősa-Turána
1936. Erdős-Turan: Czy każdy ciag o górnej gestości dodatniej
‘
‘
zawiera dowolnie dlugie postepy arytmetyczne?
‘
rk (n), to najmniejsze r takie, że każdy ciag r liczb ≤ n zawiera
‘
k-wyrazowy postep.
‘
1938. Behrend: Dla każdego k istnieje granica
γk = limn→∞ rk (n)/n i albo γ3 = γ4 = · · · = 0, albo
limk→∞ γk = 1.
1952. Roth: γ3 = 0 metoda calkowania zespolonego.
‘ 1953. Roth: r3 (n) = O log nlog n .
n)2
2008. Bourgain: r3 (n) = O (log log
.
2/3
log
Wladyslaw Narkiewicz
n
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Szeméredi
1969. Szeméredi: γ4 = 0.
1975. Szeméredi: γk = 0 dla wszystkich k.
1977. Furstenberg: Dowód przy użyciu teorii ergodycznej.
2001. Gowers: nowy dowód; rk (n) = O (n/(log log n)ck ) z ck > 0.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga polowa stulecia Analit
Harry Furstenberg
VIII. Druga połowa stulecia. Inne metody
Funkcje L krzywych eliptycznych
E : y 2 = f (x), deg f = 3, D – wyróżnik f .
Dla p - D Ap jest ilościa rozwiazań y 2 ≡ f (x) mod p,
‘
‘
tp = p + 1 − Ap .
Dla p - D tp ∈ {0, ±1} w zależności od geometrii E mod p.
LE (s) =
Y
p|D
Y
1
1
.
−s
1 − tp p
1 − tp p −s + p 1−2s
p -D
LE (s) jest regularna dla <s > 3/2.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Funkcje zeta
1949. Weil: X – rzutowa rozmaitość algebraiczna nad cialem Fq ,
tj.
N
X = {P ∈ K : f1 (P) = · · · = fm (P) = 0},
[Kn : K ] = n, X (Kn ) = KnN ∩ X .
ζX (q; T ) = exp
∞
X
n=1
Tn
#X (Kn )
n
!
.
Dla krzywych to sie pokrywa z funkcjami zeta F.K.Schmidta
‘
(1931).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipotezy Weila
X - rozmaitość nieosobliwa.
I: ζX (q; T ) jest funkcja wymierna.
‘
‘
II: Równanie funkcyjne ζX (q; 1/q N T ) = ±q nε/2 T ε ζX (q; T ) z
pewnym ε ∈ Z.
III ”Hipoteza Riemanna”:
ζX (q; T ) =
P1 (T )P3 (T ) · · · P2N−1 (T )
,
P0 (T )P2 (T ) · · · P2N (T )
gdzie Pi (T ) ∈ Z[T ], P0 (T ) = 1 − T , P2N (T ) = 1 − q N T , a dla
i = 1, 2, . . . , 2N − 1 mamy
Y
Pj (T ) =
(1 − αij T ), |αij | = q i/2 .
j
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Zeta dla funkcji eliptycznych
ζ(s)ζ(s − 1)
LE (s) = Q
.
−s
p ζE (p; p )
Gdy E ma dobra redukcje mod p (tj. E mod p jest krzywa
‘
‘
‘
eliptyczna), to z pewnym a ∈ Z mamy
‘
ζE (p; T ) =
1 − aT + pT 2
(1 − T )(1 − pT )
W tym przypadku hipotezy Weila byly udowodnione przez Hassego
(1933-1936), a dla dowolnych krzywych sformulowane przez
Hassego w 1934 r.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Weil
1940: Weil podal dowód hipotezy Riemanna dla krzywych.
Jako wniosek: Weil (1948): Jeśli χ jest charakterem mod p rzedu
‘
d, a W (x) ∈ Fp [x] jest wielomianem nie bedacym postaci cV d (x),
‘ ‘
to
X
≤ (deg W − 1)√p.
χ(W
(x))
x mod p
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Dowód hipotez Weila
I. Wymierność: Dwork, 1960.
II. Równanie funkcyjne: Dwork, 1962. M.Artin, Grothendieck
III. Rozklad na czynniki: Dwork, 1960 (poza 2 przypadkami),
Deligne, 1973.
IV. ”Hipoteza Riemanna o zerach”: Deligne, 1973 (Medal Fieldsa).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Grupa Weila-Châteleta
Châtelet (1941), Weil (1955): E (K ) – krzywa eliptyczna nad
cialem K . Istnieja nieosobliwe krzywe nad K na których E (K )
‘
dziala w sposób przechodni.
Zbiór WC (E /K ) (grupa Weila-Châteleta) klas równoważności
takich krzywych z naturalna równoważnościa jest grupa,
‘
‘
‘
izomorficzna z H 1 (GK , E ), gdzie GK = Gal(K /K ), a K jest
‘
algebraicznym domknieciem K .
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Grupa Tate’a-Szafarewicza
Kanoniczny homomorfizm K −→ Kp daje homomorfizm
Y
Φ : WC (E /K ) −→
WC (E /Kp ).
p
Grupa Tate’a-Szafarewicza, X(E /K ), to jadro Φ.
‘
Przypuszcza sie, że grupa X(E /K ) jest skończona. Pierwsze takie
‘
przyklady podali Rubin (1987) i Kolywagin (1988).
Szafarewicz (1959): X(E /Q) zawiera skończenie wiele elementów
o rzedach ≤ n.
‘
Cassels (1964) pokazal, że #X(E /Q) może być dowolnie duże.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipotezy Szafarewicza
ICM 1962. Twierdzenie Szafarewicza:
Istnieje jedynie skończenie wiele nieizomorficznych krzywych
eliptycznych nad Q , majacych dobra redukcje poza ustalonym
‘
‘
‘
skończonym zbiorem liczb pierwszych S. Analogicznie jest w
przypadku krzywych nad cialami K z [K : Q] < ∞.
Cremona i Lingham (2007) podali algorytm na znalezienie
wszystkich krzywych z zadanym S.
Hipoteza: To samo zachodzi dla nieosobliwych, nieprzywiedlnych
krzywych ustalonego rodzju.
1968: Parszin: Hipoteza ta implikuje hipoteze Mordella.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Dowód
Dowody hipotezy:
Dla krzywych nad C: Parszin (1968) dla S = ∅, Arakielow (1971)
dla dowolnych skończonych S.
Dla cial charakterystyki 6= 0: Szpiro (1979).
Dla cial funkcyjnych nad Fpn : Parszin (1968).
Dla skończonych rozszerzeń Q: Faltings (1983).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipotezy Szafarewicza, c.d.
Druga hipoteza Szafarewicza: Nie istnieje krzywa eliptyczna nad Q
majaca wszedzie dobra redukcje.
‘ ‘
‘
‘
‘
Udowodni
√l to Tate (1974). Podal też przyklad krzywej E /K z
K = Q( 29), majacej wszedzie dobra redukcje.
‘
‘
‘
‘
1985. Fontaine: Ten sam wynik dla dowolnych rozmaitości
abelowych nad Q. Dla wymiarów 2, 3 udowodnil to Abraszkin
(1976-1977).
Pytanie, czy jest skończenie wiele krzywych E /Q majacej dobra
‘
‘
redukcje wszedzie poza jednym wyjatkiem jest otwarte.
‘
‘
‘
2005. Friedlander, Iwaniec: Tak bedzie, jeśli istnieje ∞ wiele k z
‘
1/L(1, χk ) ≤ log−61 k, gdzie χk jest pierwotnym rzeczywistym
charakterem mod k.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipoteza Bircha–Swinnertona-Dyera
Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera:
Jeśli E /Q ma rzad r , to funkcja LE (s) ma zero rzedu r w punkcie
‘
‘
s = 1, tj.
LE (s) = ar (s − 1)r + . . . , ar > 0
przy czym
ar = λ(E ) · X(E /Q) 6= 0,
zaś λ(E ) jest dana jawnym wzorem.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Brian Birch
B–Sw-D
1977. Coates i Wiles: Jeśli E ma mnożenie zespolone przez liczby
calkowite z ciala o liczbie klas 1, oraz LE (1) 6= 0, to r = 0.
1983. Greenberg: Jeśli E ma mnożenie zespolone, a LE (s) ma w
s = 1 zero rzedu nieparzystego, to r ≥ 1.
‘
1986. Gross, Zagier: Jeśli E jest modularna, a LE (s) ma
pojedyńcze zero w s = 1, to r ≥ 1.
1987. Rubin: Jeśli E ma mnożenie zespolone i r ≥ 2, to LE (s) ma
w s = 1 zero rzedu ≥ 2.
‘
1988. Kolywagin: Jeśli E jest modularna, to z LE (1) 6= 0 wynika
r = 0, a jeśli LE (s) ma pojedyńcze zero w s = 1, to r = 1.
Zatem dla krzywych modularnych jakościowa cześć hipotezy jest
‘
sluszna przy r = 0, 1.
Dziś wiemy, że każda krzywa eliptyczne jest modularna.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Ralph Greenberg
Sato-Tate
Hipoteza Sato-Tate:
E – krzywa eliptyczna, Np = #{E mod p}. Z hipotezy Riemanna
dla E wynika, że
Np − p − 1
ST (p) =
√
2 p
spelnia |ST (p)| ≤ 1.
Jeśli ST (p) = cos(θ(p)) (0 ≤ θ ≤ π), to dla 0 ≤ a < b ≤ 1
#{a ≤ θ(p) <≤ b}
2
lim
=
x→∞
π(x)
π
Z
b
sin2 tdt.
a
2006. Dowód dla dużej klasy krzywych podali Clozel, Harris,
Shepherd-Barron, Taylor.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Otwarte problemy
A) Lang i Trotter (1976):
Jeśli P ∈ E /Q jest nieskończonego rzedu, to dla nieskończenie
‘
wielu p E mod p jest grupa cykliczna, generowana przez P mod p.
‘
‘
‘
1978. Serre: Z GRH wynika, że zbiór takich p ma gestość, która
‘
jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy E ma niewymierny punkt
rzedu 2.
‘
1983. Murty: Dla krzywych z mnożeniem zespolonym nie potrzeba
tu GRH.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Jean-Pierre Serre
Otwarte problemy, II
B) Koblitz (1988): Np = #{E mod p}.
#{p ≤ x : Np jest pierwsze} = (cE + o(1))
x
.
log2 x
2005. Cojocaru: Dla x/log2 x liczb pierwszych p ≤ x liczba Np
ma ograniczona liczbe dzielników pierwszych.
‘
‘
2006. Iwaniec, Jimenez-Urroz: Dla krzywych z mnożeniem
zespolonym ω(Np ) ≤ 3 zachodzi dla ∞ p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Frobenius
Automorfizm Frobeniusa Frob(p):
Frob(q) jest elementem GalQ/Q, spelniajacym
‘
Frob(p(x) ≡ x p
(mod N(p))
gdzie p jest idealem zawierajacym p w ciele generowanym przez x.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipoteza Serre’a
P
Serre: Jeśli f = n an q n jest forma paraboliczna
wagi k dla
‘ P
‘
−s
SL2 (Z), a1 = 1 oraz an ∈ Z, a nadto n an n ma iloczyn Eulera,
to dla każdej liczby pierwszej p istnieje ciagla reprezentacja
‘
ρp : Gal(Kp /Q) −→ GL2 (Zp ),
gdzie Kp jest maksymalnym rozszerzeniem Q rozgalezionym tylko
‘
w p. Nadto dla każdej liczby pierwszej q 6= p macierz ρp (Frob(q))
ma wielomian charakterystyczny
X 2 − ap X + p k−1 .
1974. Deligne: Dowód tej hipotezy.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Kongruencje dla τ (n)
1916. Ramanujan: τ (p) ≡ 1 + p 11 (mod 691) (pierwszy dowód:
Wilton, 1929).
Szereg innych kongruencji, m.in.:
τ (p) ≡ 1 + p 11 mod 25 , τ (p) ≡ p + p 10 mod 52 (Bambah, 1946);
τ (p) ≡ 1 + p mod 3 dla p 6= 3, τ (p) ≡ p + p 4 mod 7
(Ramanathan, 1945).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Kongruencje dla τ (n), c.d.
1976. Serre, Swinnerton-Dyer: Interpretacja kongruencji dla τ (n)
w terminach reprezentacji ρp , zwiazanej z forma modularna ∆(z):
‘
‘
‘
Taka kongruencja istnieje dla pewnej potegi p wtedy i tylko wtedy,
‘
gdy obraz ρp mod p w GL2 (Fp ) nie zawiera SL2 (Fp ). To dalo
pelny opis tych kongruencji.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Liczby kongruentne
Euler: Liczba n jest kongruentna, gdy istnieja x, z ∈ Z takie, że
‘
x 2 + ny 2 i x 2 − ny 2 sa kwadratami.
‘
1 nie jest kongruentna ⇔ FLT (4).
1983. Tunnell: a) n jest kongruentne wtedy i tylko wtedy, gdy
krzywa E : y 2 = x 3 − nx 2 ma rzad ≥ 1.
‘
b) Jeśli n jest kongruentne, to
# n = x 2 + 2y 2 + 8z 2 = 2# n = x 2 + 2y 2 + 32z 2 .
c) Odwrotna implikacja wynika z hipotezy
Bircha-Swinnertona-Dyera.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipoteza ABC
Hipoteza ABC (Masser 1985, Oesterlé 1988):
Jeśli a, b, c > 0 sa wzglednie pierwsze oraz c = a + b, to dla ε > 0
‘
‘
gdzie R(n) =
Q
c ≤ B(ε)R 1+ε (abc),
p|n
p.
Wiadomo jedynie, że z zalożeń wynika
c = O (exp (A(ε)R c (abc)))
dla c > 2/3 (Stewart, Yu, 1991).
Ogólniejsza wersja (dla cial liczbowych): Elkies (1991) i Vojta
(1987).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Konsekwencje
Konsekwencje hipotezy ABC :
a). Twierdzenie Fermata dla dużych wykladników.
b) Efektywizacja twierdzenia Rotha (Bombieri, 1994).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Konsekwencje, c.d.
Z uogólnienia ABC na ciala wynikaja:
‘
a) Hipoteza Mordella o punktach wymiernych na krzywych rodzaju
≥ 2 (Elkies, 1991),
b) Nieistnienie zer Siegela (Granville, Stark, 2000).
Wykaz konsekwencji ABC znajduje sie na stronie Nitaja (Univ.
‘
Caen).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Subspace theorem
1971. W.M.Schwarz: (Twierdzenie o podprzestrzeniach [Subspace
theorem]:
Jeśli L1 , . . . , Ln – formy liniowe n zmiennych z algebraicznymi
wspólczynnikami, to dla każdego δ > 0 istnieje skończona rodzina
{V1 , . . . , Vm } wlaściwych podprzestrzeni Qn taka, że jeśli x ∈ Zn
spelnia
n
Y
Lj (x) < |x|−δ ,
j=1
gdzie |x| = |(x1 , . . . , xn )| = maxj |xj |, to
x∈
Wladyslaw Narkiewicz
n
[
Vj .
j=1
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Zastosowania
Zastosowania:
a) Jeśli a jest liczba algebraifczna, to kladac L1 (x, y ) = y ,
‘
‘
‘
L2 (x, y ) = x − ay otrzymujemy twierdzenie Rotha.
b) Nowy dowód tw. Siegela o równaniach diofantycznych (Corvaja,
Zannier, 2003).
c) Jeśli b > 1 nie jest potega a > 1, to
‘ ‘
NWD(an − 1, b n − 1) = O an/2 (Bugeaud, Corvaja, Zannier,
2003).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Zatosowania, c.d.
d) Zlożoność ρq (n) liczby n w bazie q, to ilość różnych
n-elementowych ciagów kolejnych cyfr liczby niewymiernej w
‘
ustalonej bazie q > 1.
1997. Ferenczi, Maudit: limn→∞ (ρq (n) − n) = ∞.
2007. Adamczewski, Bugeaud: limn→∞ ρq (n)/n = ∞.
2008. Bugeaud, Evertse: lim supn→∞ ρq (n)/(n(logc n)) = ∞.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Problem Eulera
Euler przypuszczal, że dla n ≥ 3 równanie
n
x1n + · · · + xn−1
= yn
nie ma dodatnich calkowitych rozwiazań.
‘
1967. Lander, Parkin: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 .
1988. Elkies:
2 682 4004 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Erdős, Selfridge
1857. Terquem i Prouhet: Iloczyn kolejnych k ≥ 2 liczb
naturalnych nie jest potega:
‘ ‘
n(n + 1) · · · (n + k − 1) 6= y m
(k, m ≥ 2).
1917. Narumi. Dowód dla k ≤ 202.
1926. Z twierdzenia Siegela o wielomianach wynika, że przy
ustalonych k, m jest tylko < ∞ rozwiazań.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Erős, Selfridge, II
1939. Erdős i Rigge (niezależnie). Dowód dla m = 2.
1939. Erdős: Dowód dla ustalonego m i k ≥ k0 (m).
1955. Erdős: k0 (m) nie zależy od m.
1975. Erdős, Selfridge: k0 (m) = 2, co dowodzi przypuszczenia
Terquema i Prouheta.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Erdős, Selfridge, III
Pytanie Erdősa-Selfridge’a:
Czy iloczyn kolejnych k wyrazów postepu arytmetycznego może
‘
być potega dla dużego k?
‘ ‘
Dla k ≤ 3 jest to możliwe, gdyż jeśli a2 + b 2 = c 4 , to iloczyn
(c 2 − a2 )c 2 (c 2 + a2 ) jest kwadratem. Przypuszcza sie, że jest to
‘
jedyne rozwiazanie równania
‘
x(x + d)(x + 2d) · · · (x + (k − 1)d) = y m
przy k ≥ 2.
1985. Marszalek: Równanie
x(x + d)(x + 2d) · · · (x + (k − 1)d) = y m
nie ma rozwiazań gdy (x, d) = 1 i k exp(d 3/2 ). Dla m ≥ 7
‘
zachodzi to przy k ≥ cd.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Erdős, Selfridge, IV
1992–1995. Shorey, Tijdeman: wzmocnienie tych oszacowań.
1999-2009. Győry i in.: Przy m ≥ 3 i 3 ≤ k ≤ 34 nie ma
rozwiazań.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Catalan
Problem Catalana (1842): Jedynym rozwiazaniem równania
‘
ax − b y = 1 z x, y ≥ 2 jest 32 − 23 = 1.
1850. Lebesgue: Tak, jeśli y = 2.
1952. Leveque: Dla ustalonych a, b jest conajwyżej 1 rozwiazanie,
‘
nawet jeśli dopuścimy x, y = 1 (wtedy jest 1 wyjatek, bo
‘
31 − 21 = 1).
1953. Cassels: Dla ustalonych a, b jawna postać rozwiazania.
‘
1965. Chao Ko: Dowód w przypadku x = 2.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Tijdeman, Mihailescu
1976. Tijdeman: Efektywne ograniczenie na rozwiazania a, b, x, y
‘
równania Catalana ax − b y = 1.
Np. ax < exp(exp(exp(exp(730)))) (Langevin)
1991. Aaltonen, Inkeri: a, b ≥ 10500 .
1994. Mignotte: x < 1.2 · 1018 , y ≤ 2.48 · 1024 .
2002. Mihăilescu znalazl dowód hipotezy, używajac cial
‘
cyklotomicznych.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
Hipoteza Pillai
1936. Hipoteza Pillai: Przy ustalonym d równanie ax − b y = d ma
< ∞ rozwiazań.
‘
Pillai: Dla d > d0 (a, b) jest conajwyżej jedno rozwiazanie.
‘
Z hipotezy ABC wynika ax ≤ c1 (ab)3/2 , wiec ax−3/2 ≤ c1 b 3/2 .
‘
Wobec b ≤ c2 ax/y otrzymujemy ax−3/2 ≤ c3 a3x/2y , wiec
‘
x − 3/2 ≤ 3x/2y + O(1) ≤ 3x/4 + O(1),
i x ≤ c4 . Tw. Schinzla-Tijdemana daje teraz y ≤ c5 i postaje
zastosować tw. Siegela.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga polowa stulecia Inne
IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Hilbert, Weber
Poczatek teorii cial klas.
‘
1898. Przypuszczenie Hilberta:
Jeśli [K : Q] < ∞, to istnieje jedyne maksymalne nierozgalezione
‘
rozszerzenie abelowe L/K (”absolutne cialo klas”). Przy tym
Gal(L/K ) ∼ H ∗ (K ), a rozklad idealu pierwszego p ⊂ ZK zależy od
klasy p w H ∗ (K ).
e
L/K jest nierozgalezione, gdy w rozkladzie pZL = P1e1 · · · Pg g
‘
mamy e1 = · · · = eg = 1.
1903–1911. Furtwängler podal dowód.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Weber, Takagi
Opis rozszerzeń abelowych ciala K = Q(θ) daje teoria cial klas
(Weber, Takagi):
Dla idealu f Gf jest grupa generowana przez idealy wzglednie
‘
‘
‘
pierwsze z f, a Hf jest jej podgrupa generowana przez idealy
‘
‘
glówne aZK z a 0. Jeśli Hf < G < Gf , to każda grupe Gf /G
‘
‘
nazywamy grupa klas mod f.
‘
Definicja: (Weber, 1897): L/K stopnia N jest cialem klas dla G ,
gdy p jest iloczynem N idealów pierwszych w ZL wtedy i tylko
wtedy, gdy p ∈ G .
Tw. Takagiego (1920, 1922): Jeśli L/K jest abelowe, to jest
cialem klas
√ dla pewnej grupy G , a przy tym Gal(L/K ) ∼ Gf /G (dla
K = Q( d) z d < 0 udowodnil to Weber).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Symbol Artina
L/K normalne. Jeśli P < ZL , a p = P ∩ ZK , to istnieje
gP ∈ Gal(L/K ), taki, że
g (x) ≡ x N(p)
(mod P).
(Automorfizm Frobeniusa).
Dla p < ZK symbol Artina:
FL/K (p) = {gP : p = P ∩ ZK }.
Artin (1927): Kanoniczny izomorfizm Gf /G −→ Gal(L/K ),
indukowany przez p −→ FL/K (p).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Czebotarew, Artin
1923. Czebotarew: Jeśli L/K jest normalne stopnia n, a A klasa
‘
sprzeżonych w Gal(L/K ), to zbiór
‘
{p : FL/K (p) = A}
jest nieskończony i ma gestość #A/n.
‘
Zbiór A idealów pierwszych ma gestość α, gdy
‘
#{p ∈ A : N(p) ≤ x} log x
lim
= α.
x→∞
x
1975. Lagarias, Odlyzko: Efektywna wersja.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Lokalna teoria cial klas
Hasse (1930): Lokalna teoria cial klas: abelowe L/K jest
wyznaczone jednoznacznie przez otwarte podgrupy K ∗ poprzez
L/K ⇔ NL/K (K ∗ ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Teoria cial klas nad Q, I
G (N) – grupa reszt mod N, wzglednie pierwszych z N, X (N) –
‘
grupa charakterów G (N).
K /Q abelowe ⇒ K ⊂ Q(ζN ) dla pewnego N.
Gal(Q(ζN )) = G (N), K ⇔ HK < G (N) (teoria Galois).
ˆ K < X (N).
Zatem K ⇔ ΞK = G (N)/H
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Teoria cial klas nad Q, II
Wlasności:
(i) pZK jest iloczynem [K : Q] idealów pierwszych ⇔ p mod
N ∈ HK .
(ii) Kanoniczny izomorfizm G (N)/HK −→ Gal(K /Q) indukowany
przez p −→ Frob(p) ∈ Gal(K /Q).
(Frob(p)(x) ≡ x p (mod p) dla p|p).
ζK (s) =
Y
L(s, χ0 ),
χ∈ΞK )
gdzie χ0 jest charakterem pierwotnym dla χ.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Chevalley
Claude Chevalley (1909–1984)
Ograniczony Q
produkt grup: Gdy Hn < Gn , to jest to
{g = (gn ) ∈ ∞
n=1 Gn : gn ∈ Hn dla n > n(g )}.
Grupa ideli IK ciala K , to ograniczony produkt grup Kv∗ wzgledem
‘
grup elementów odwracalnych uzupelnień pierścienia ZK .
Idele glówne: i = (xv ) dla xv = x ∈ K ∗ . PK – grupa ideli
glównych.
1936: Abelowe rozszerzenia L/K sa w odpowiedniości 1-1 z
‘
pewnymi podgrupami grupy IK /PK .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Artin-Tate
Sformulowanie teorii cial w klas w terminach kohomologii klas ideli:
Artin, Tate (1951/52), Hochschild, Nakayama (1952).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Neukirch
1984, 1986. Neukirch: Aksjomatyczne podejście:
G - grupa proskończona, {GK } - rodzina wszystkich domknietych
‘
podgrup G .
Indeksy K nazywaja sie ”cialami”.
‘ ‘
”Rozszerzenie” K < L := GL ⊂ GK . Ono jest ”normalne”, gdy
GL / GK , a ”grupa Galois”, to GK /GL . Wprowadza sie też
‘
”przekrój”: K ∩ L i ”zlożenie”: KL.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Neukirch, II
Jeśli G = gp(σ) – grupa cykliczna, a A jest G -modulem, to
H 0 (G , A) = AG /NA,
gdzie N =
P
g ∈G
g,
H −1 (G , A) = {a ∈ A : Na = 0}/{σa − a : a ∈ A}.
Podstawowy aksjomat: Jeśli GK /GL jest skończona i cykliczna, to
#(GK /GL ) gdy i = 0,
i
GL
H (GK /GL , A ) =
1
gdy i = −1.
To prowadzi do jednolitego ujecia globalnej, lokalnej i funkcjonalnej
‘
teorii cial klas.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Hecke, zeta
Erich Hecke (1887–1947)
1917: Funkcja zeta Dedekinda jest funkcja meromorficzna z
‘
‘
jedynym biegunem w s = 1. Spelnia równanie funkcyjne typu
Φ(s)ζK (s) = Φ(1 − s)ζK (1 − s).
1917, 1918, 1920: Nowe klasy charakterów χ(I ) i odpowiednich
P χ(I )
L-funkcji I N(I
)s .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Zastosowanie
a) Analogon tw. Dirichleta o postepie dla cial (w ciele Q(i)
‘
wcześniej Mertens, 1899).
b) Przedstawianie liczb pierwszych przez formy kwadratowe o
argumentach w sektorach:
Np.: Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p z p = a2 + b 2 i
√
b = o( p).
Dziś wiemy, że jest to możliwe z b = O(p c ) przy c = 0.1631
(Coleman, 1993), a GRH daje b = o(log p) (Ankeny, 1952).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Artin
1924-1930. Artin: Dla normalnych L/K z grupa Galois G i
‘
charakteru χ reprezentacji ρ : G −→ GLn (C) funkcja Artina:
Y∗
L(s, χ, L/K ) =
det[1 − ρ(σ(p))N(p)−s ] ,
p
Q
gdzie σ(p) to automorfizm Frobeniusa, a ∗ oznacza iloczyn po
nierozgalezionych idealach. Do tego dodano później czynniki
‘
odpowiadajace rozgalezionym p i waluacjom nieskończonym,
‘
‘
otrzymujac funkcje Λ(s, χ).
‘
‘
Artin: Dla L/K abelowych i nieprzywiedlnych ρ sa to zwykle
‘
L-funkcje (Dirichleta, Heckego, . . . ).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Artin, II
1923: Artin:
ζK (s) =
Y
L(s, χ, K /Q)χ(1) ,
χ
gdzie χ przebiega charaktery nieprzywiedlnych reprezentacji.
Hipoteza Artina: Jeśli ρ nie zawiera reprezentacji trywialnej, to
L(s, χ, L/K ) (a wiec i Λ) jest calkowita.
‘
1947. R.Brauer: Λ(s, χ) jest meromorficzna i spelnia równanie
funkcyjne
Λ(s, χ) = W (χ)Λ(1 − s, χ),
prz czym |W (χ)| = 1 (jest tzw. Artin root number ).
Dla wiekszości reprezentacji 2-wymiarowych hipoteza jest
‘
udowodniona (Artin 1924, Langlands 1970, Tunnell 1981, Buhler
1978, . . . , Taylor 2003).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Problemy o funkcji Dedekinda
Problem Dedekinda: Jeśli K ⊂ L sa cialami, to iloraz ζL (s)/ζK (s)
‘
jest funkcja calkowita.
‘
‘
1931. Aramata: Tak jest, gdy L/K jest normalne.
1973. Problem Brauera: Jeśli L jest zlożeniem K1 i K2 , a
k = K1 ∩ K2 , to iloraz
ζL (s)ζk (s)
ζK1 (s)ζK2 (s)
jest calkowity. Tak jest, gdy Ki /k sa normalne.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Teza Tate’a
1950. Tate: teoria funkcji zeta Dedekinda i i L-funkcji zwiazanych
‘
z charakterami w teorii cial, oparta na teorii ideli Chevalleya.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Baza normalna
1932. E.Noether: Jeśli L/K normalne z grupa Galois G , to L jest
‘
wolnym K [G ]-modulem.
Problem: Niech K /Q bedzie normalne z grupa G . Kiedy ZK jest
‘
‘
wolnym Z[G ]-modulem?
e
K /Q jest lagodnie rozgalezione, gdy z pZK = pe11 · · · pgg wynika
‘
p - ei . To jest równoważne z surjektywnościa śladu:
‘
Tr : ZL −→ ZK .
Hilbert (1897) - Speiser (1916): Jeśli K /Q jest abelowe, to
warunkiem koniecznym i dostatecznym jest lagodne rozgalezienie.
‘
Warunek ten jest zawsze warunkiem koniecznym.
1999. Greither, Rubin, Srivastav: Dla każdego ciala K 6= Q istnieje
nierozgalezione rozszerzenie L/K w którym ZL nie jest wolnym
‘
ZK -modulem.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Baza normalna, c.d.
Lagodna rozgalezionść K /Q wystarcza m.in. dla rozszerzeń
‘
stopnia bezkwadratowego (Ph.Cassou-Noguès, 1977) i dla
rozszerzeń dihedralnych (Miyata, 1980).
1971. Martinet: Tak nie jest dla cial z grupa kwaternionowa (H8 ).
‘
‘
1971. Hipoteza Serre’a: Jeśli Gal(K /Q) = H8 i K /Q jest lagodnie
rozgalezione (tj. 2 - d(K )), to ZK ma baze normalna wtedy i tylko
‘
‘
‘
wtedy, gdy W (ψ) = 1, gdzie ψ jest jedynym charakterem
nieprzywiedlnej symplektycznej reprezentacji ρ : H8 −→ GLn (C),
tj. dajacej sie rozlożyć:
‘
‘
H8 −→ GLn (H) −→ GLn (C).
1972. Fröhlich podal dowód.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Fröhlich
Przypuszczenie Fröhlicha: Jeśli rozszerzenie K /Q jest normalne i
lagodnie rozgalezione, to istnieje baza normalna ZK wtedy i tylko
‘
wtedy, gdy dla każdego charakteru ψ nieprzywiedlnej reprezentacji
symplektycznej grupy Gal(K /Q) mamy W (ψ) = 1.
Dowód znalazl M.Taylor w 1981 r.
W szczególności jeśli nie ma takich reprezentacji (np., gdy grupa
ma rzad nieparzysty), to istnieje baza normalna.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Albrecht Fröhlich (1916–2001)
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Problem Kummera
hp – liczba klas ciala Q(ζp ), hp+ – liczba klas ciala Q(ζp ) ∩ R.
Kummer: hp− = hp /hp+ ∈ Z.
Przypuszczenie Kummera:
hp−
√ (p−1)/2
p
. (∗)
∼ L(p) := 2p
2π
1949. Ankeny, Chowla: log hp− = logL(p) + o(log p).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Problem Kummera, c.d.
1990. Granville: Jeśli (*) jest sluszne, to falszywa jest jedna z
hipotez:
a) #{p ≤ x : 2p + 1 ∈ P} x/log2 x (Hardy, Littlewood),
b)
X max (π(x; k, l) − π(x) ) x
(k,l)=1
ϕ(x) logM x
k<x 1−ε
dla każdego M (Elliott, Halberstam).
2001. Murty, Petridis: Istnieje c > 0 takie, że
log hp− = logL(p) + O(1) zachodzi dla prawie wszystkich p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Kryterium Kummera
Kp = Q(ζp ).
Kummer: p - h(Kp ) ⇔ p jest liczba regularna.
‘
‘
Hipoteza Vandivera: p - h(Kp + ).
Ap – p-grupa Sylowa H(Kp ). Kanoniczny rozklad:
M
Ap =
Aχ .
χ mod p
Tutaj Aχ = εχ Ap , gdzie
εχ =
1 X
χ(g )g −1 ∈ Q[G ].
p−1 g
(G = Gal(Kp /Q))
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Ribet
X jest charakterem mod p, spelniajacym X (a) ≡ a (mod pZKp ).
‘
1976. Ribet: Dla k = 2, 4, . . . , p − 3 AX 1−k 6= 0 ⇔ p|Bk .
Herbrand (1932) udowodnil implikacje ⇒.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Jednostki cyklotomiczne
E + – grupa jednostek Kp+ = Q(ζp + ζp ).
V – grupa generowana przez {±ζp , 1 − ζpa : 1 < a < p}.
C + = E + ∩ V – grupa jednostek cyklotomicznych Kp+ .
1851. Kummer: #(E + /C + ) = hp + .
Odpowiednie grupy nie zawsze sa izomorficzne (np.dla p = 62501).
‘
1984. Mazur, Wiles: #εχ Aχ = #εχ (E + /C + )p .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Landau, Liczba klas.
1903: Rozwiazanie problemu Gaussa o wyróżnikach d < 0 form
‘
aX 2 + 2bXY + cY 2 z liczba klas równa 1 (tutaj wyróżnik dzieli sie
‘
‘
‘
przez 4). Jest ich 5.
Dla form aX 2 + bXY + cY 2 z nieparzystym wspólczynnikiem b
problem okazal sie znacznie trudniejszy:
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
h=1
√
h(d), to liczba klas idealów w ciele Q( d), równa liczbie klas form
o wyróżniku d.
a) Hecke (1918): Z ERH wynika, że h(−d) → ∞.
ERH oznacza, że L-funkcje Dirichleta maja nietrywialne zera
‘
jedynie na prostej <s = 1/2.
b) Deuring (1933): Jeśli RH falszywa, to jest tylko skończenie
wiele d < 0 z h(d) = 1.
c) Heilbronn, Linfoot (1934): Jeśli d < 0 i h(d) = 1, to
d ∈ {−3, −4, −7, −8, −11, −19, −43, −67, −163, d0 }.
Heegner (1952), Stark, Baker (1968): Nie ma wyrożnika d0 .
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Harold Stark
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Class number
Mordell (1934): Jeśli RH falszywa, to h(−d) → ∞.
Heilbronn (1934): h(−d) → ∞.
Landau (1935): Dla każdego h istnieje conajwyżej jeden wyróżnik
d < 0, spelniajacy h(d) = h i |d| ≥ Bh8 log6 h.
‘
Tatuzawa (1951): Ostatnia nierówność można zastapić przez
‘
‘
|d| > 21000h2 log2 h.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Siegel
√
1935. Siegel: Dla K = Q( d)
lim
|d|→∞
log(h(d)R(d))
1
= ,
log(|d|)
2
gdzie regulator
R(d) =
log(ε(d))
1
gdy d > 0,
gdy d < 0,
zaś ε jest podstawowa jednostka ciala K .
‘
‘
To wynika z twierdzenia Siegela o L(1, χ) i wzoru Dirichleta:
p
L(1, χd ) |d|/2
gdy d > 0,
p
h(d)R(d) =
L(1, χd )w (d) |d|/(2π) gdy d < 0,
√
gdzie w (d) a w to ilość pierwiastków z jedności w Q( d).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Brauer
1947. R.Brauer: Dla cial K o ustalonym stopniu
1
log(h(K )R(K ))
= ,
log(|d(K )|)
2
|d(K )|→∞
lim
gdzie R(K ) jest regulatorem K .
1950. R.Brauer: To zachodzi także dla ciagu cial Kn , spelniajacego
‘
‘
warunek
[Kn : Q]
lim
= 0.
n→∞ log(|d(Kn )|)
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
h(−d) = h
1975. Stark: Lista d < 0 z h(−d) = 2.
1976. Goldfeld: Jeśli istnieje krzywa eliptyczna E /Q majaca w
‘
s = 1 zero rzedu ≥ 3, to
‘
h(−d) ≥ B(ε) log1−ε d
z efektywnym B(ε).
1986. Gross i Zagier znaleźli taka krzywa.
‘
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
h(−d) = h,c.d.
Oesterlé:
log d
h(−d) ≥
55
Y
p|d,p6=p
√ 2 p
1−
,
p−1
0
gdzie p 0 jest najwiekszym dzielnikiem pierwszym d.
‘
To daje liste d < 0 z h = 3.
‘
1992. Arno: h = 4.
1996. Wagner: h = 5, 6, 7.
1998. Arno i in.: h ≤ 23, 2 - h.
2004. Watkins: h ≤ 100. Takich cial jest ponad 40 000, a
najwiecej, bo 3283 ma h = 96.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
h dla d > 0
√
Problem: Czy istnieje nieskończenie wiele cial Q( d) z d > 0 i
h = 1?
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Uchida
1971. Uchida: Dla p > 19 cialo Q(ζp ) ma h > 1.
1972. Uchida: a) Istnieje jedynie skończenie wiele urojonych cial
abelowych z zadana liczba klas.
‘
‘
b) Każde takie cialo z h = 1 leży w ciele Q(ζN ) z N < 2 · 1010 .
1976. Masley, Montgomery: Lista cial Q(ζn ) z h = 1. Jest ich 29.
1992. Yamamura: Lista urojonych cial abelowych z h = 1. Sa 172
‘
takie ciala.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Rozszerzenia nieskończone
1926. Stiemke (1892–1915): Każda addytywna grupa zlożona z
liczb algebraicznych jest wolna.
1928-1930. Krull: Teoria idealów i teoria Galois w nieskończonych
rozszerzeniach.
Grupa Galois:
Gal(L/K ) = lim G (M/K ),
←
gdzie [M : K ] < ∞. Topologia: baza zbiorów otwartych, to
warstwy wzgledem podgrup Gal(L/M), gdzie [M : K ] < ∞.
‘
1973. Waterhouse: Każda grupa proskończona jest grupa Galois
‘
dla pewnego rozszerzenia.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Iwasawa
Kenkichi Iwasawa (1917–1998)
1959. Teoria Γ-rozszerzeń.
Γ = Zp , KN = Q(ζN ). Kp∞ =
S∞
n=1 Kp n .
Gal(Kp∞ /Kp ) ∼ Γ. Ogólniej, L/K jest Γ-rozszerzeniem, gdy
Gal(L/K ) ∼ Γ.
To implikuje
K1 = K ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · · ⊂ L,
przy czym [Ki+1 : Ki ] = p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Twierdzenie Iwasawy
Jeśli [K : Q] < ∞, a L/K jest Γ-rozszerzeniem, oraz p en k h(Kn ),
to dla dużych n
en = λn + µp n + ν,
gdzie λ, µ, ν zależa tylko od K .
‘
Jeśli K = Q(ζp ), L = Kp∞ , to Kn = Kpn .
Dowód ma trzy cześci:
‘
a)Opis struktury skończenie generowalnych Zp [[T ]]-modulów.
S
b) Pokazanie, że jeśli M = ∞
n=1 Mn , gdzie Mn /Kn jest
maksymalnym abelowym nierozgalezionym p-rozszerzeniem Kn , to
‘
Gal(M/L) jest Zp [[T ]]-modulem.
c) Skorzystanie z teorii cial klas: p en = [Mn : Kn ].
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
Teoria cial klas
Funkcja Dedekinda
Struktura Galois
Liczba klas
Wspólczynniki Iwasawy
1978. Washington: Jeśli K = Q(ζp ) i q 6= p jest pierwsze, to dla
dużych n mamy q c k h(Kn ) z c = c(K ).
1979. Ferrero, Washington: Jeśli K = Q(ζp ), to µ = 0.
Oba te twierdzenia zachodza także dla tzw. cyklotomicznych
‘
Γ-rozszerzeń abelowych cial K .
Greenberg (1976) przypuszczal, że jeśli K jest w pelni rzeczywiste,
to dla cyklotomicznych rozszerzeń mamy λ = µ = 0.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb
X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Stan w roku 1900
FLT (n) := x n + y n 6= z n ; FLT1 (p) := x p + y p 6= z p , gdy p - xyz.
Fermat: n = 4.
Euler: n = 3.
1823: Sophie Germain: Jeśli p, 2p + 1 pierwsze, to FLT1 (p).
1825. Legendre: n = 5 oraz jeśli p, kp + 1 pierwsze przy
k = 4, 8, 10, 14, 16, to FLT1 (p).
Zatem FLT1 (p) dla p < 100.
1828. Dirichlet. n = 14.
1839. Lamé: n = 7.
1847: Kummer: FLT (p) dla p regularnych p - hp := h(Q(ζp )),
zatem dla p < 100 poza p ∈ {37, 59, 67}.
1898: Maillet: a) FLT1 (p) dla p ≤ 223.
k
k
k
b) Dla k ≥ c(p) z x p + y p = z p wynika p|xyz.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Mirimanoff
Index nieregularności p, i(p), to ilość 2k < p − 3 z p|B2k .
1905. Mirimanoff: Jeśli i(p) ≤ 3, to FLT1 (p). To zachodzi dla
p ≤ 257.
1908. Dickson: FLT1 (p) dla p < 6857.
1934. Krasner: Dla p > 104935 , jeśli i(p) < 2[log1/3 p] to FLT1 (p).
......
p
1994. Jha: Dla dużych p, jeśli i(p) < 2 log p/log log p to
FLT1 (p).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Wieferich
1909. Jeśli 2p−1 6≡ 1 (mod p 2 ), to FLT1 (p).
p jest liczba Wiefericha, gdy 2p−1 ≡ 1 (mod p 2 ). Znane sa dwie:
‘
‘
p = 1093 (Meissner, 1913) i p = 3511 (Beeger, 1922). Dziś wiemy,
że poniżej 1.25 · 1015 nie ma innych (Knauer, Richstein, 2005).
Z hipotezy ABC wynika,że nie każda duża liczba pierwsza jest
liczba Wiefericha.
‘
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Wieferich, c.d.
Dalsze warunki konieczne na falszywość FLT1 (p):
3p−1 ≡ 1 (mod p 2 ) (Mirimanoff, 1909).
q p−1 ≡ 1 (mod p 2 ) dla pierwszych q ≤ 113 (Mirimanoff, . . . , . . . ,
Suzuki).
To doprowadzilo do FLT1 (p) dla p < 8.858 · 1020 (Suzuki, 1994).
1985. Adleman, Heath-Brown: FLT1 (p) dla nieskończenie wielu p.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
FLT (p)
1929–1939. Vandiver: FLT (p) dla p ≤ 619.
1964. D.H.Lehmer, E.Lehmer, Vandiver: FLT (p) dla p ≤ 2000.
......
1987. Tanner, Wagstaff: FLT (p) dla p ≤ 150 000.
1985. Granville i Heath-Brown: FLT (n) dla prawie wszystkich n.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Faltings
1983. Twierdzenie Faltingsa implikuje, że x n + y n = z n może mieć
przy ustalonym n ≥ 3 jedynie skończenie wiele rozwiazań z
‘
(x, y ) = 1.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Taniyama-Shimura
Hipoteza Taniyamy-Shimury.
TS: Każda krzywa eliptyczna jest modularna, tj. do każdej krzywej
eliptycznej E istnieje forma modularna, której szereg Dirichleta jest
równy LE (s).
1971. Shimura: Dowód hipotezy TS dla krzywych z mnożeniem
zespolonym (tj. jeśli pierścień endomorfizmów E (C) jest wiekszy
‘
od Z).
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Hipoteza Serre’a
1973. Hipoteza Serre’a: Jeśli ρ : Gal(Q/Q) −→ GL2 (Fp ) jest
ciagla nieprzywiedlna reprezentacja nieparzysta (tj. dla sprzeżenia
‘ ‘
‘
‘
‘
‘
zespolonego τ mamy ρ(τ ) = −E ), to istnieje paraboliczna forma
modularna f wagi 2 taka, że ρ jest izomorficzna z reprezentacja
‘
wyznaczona przez f przez twierdzenie Deligne’a.
‘
1987. Serre: TS jest konsekwencja tej hipotezy.
‘
2009. Khare i Winterberger: Dowód hipotezy Serre’a.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Frey
1986. Frey: Jeśli ap + b p = c p i E : y 2 = x(x − ap )(x − b p ) z 2|a,
b ≡ 1 mod 4, to sa powody, by sadzić, że E bedzie
‘
‘
‘
kontrprzykladem dla hipotezy TS i hipotezy Serre’a.
1988. Ribet: Krzywa Freya nie jest modularna, zatem FLT wynika
z TS.
1995. Wiles, Taylor udowodnili modularność krzywych Freya, z
wiec i FLT .
‘
1995–2001. Breuil, Conrad, Diamond, Kramer, Taylor: Dowód TS.
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata
Dalsze zastosowania
Problem Beala: Jeśli r , s, t ≥ 3, to równanie x r + y s = z t nie ma
rozwiazań x, y , z ≥ 1 (x, y , z) = 1.
‘
1995. Darmon, Granville: a) Jeśli 1/r + 1/s + 1/t < 1, to jest
conajwyżej skończenie wiele rozwiazań.
‘
b) Jeśli 1/r + 1/s + 1/t > 1, to jest nieskończenie wiele rozwiazań.
‘
Dla niektórych równań udowodniono hipoteze Beala. Np. dla
‘
x n + y n = z 3 , z 4 + y p = z 4 (Darmon, 1993), czy x 2n + y 2n = z 5
(Bennett, 2006),
Wladyslaw Narkiewicz
TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata