Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa (rozszerzenie)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Ile liczb czterocyfrowych można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8?
Ile liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach można utworzyć używając jedynie cyfr 1,2,3,4,5,6,7,8?
Na ile sposobów można wybrać 4-osobową drużynę, jeśli mamy do wyboru 8 zawodników?
Na ile sposobów można wybrać 2-osobową delegację z 39-osobowej klasy?
Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, zastępcę i skarbnika z 11-osobowej
klasy?
Na ile sposobów można ustawić 10 książek na półce tak, aby:
a) Dziady stały na trzecim miejscu od lewej?
b) Dziady stały obok Pana Tadeusza (w dowolnej kolejności)?
c) między Dziadami a Panem Tadeuszem było dokładnie 6 książek?
d) Dziady stały bliżej lewej strony niż Pan Tadeusz ?
Trzech poetów chce wydać wspólny tomik wierszy - każdy po cztery swoje wiersze. Na ile
sposobów można ustawić te 12 wierszy, żeby najpierw były cztery wiersze jednego poety,
następnie cztery wiersze kolejnego i na końcu 4 wiersze pozostałego?
Pewna osoba chce dotrzeć z Niepołomic do Gliwic. Ile ma wariantów trasy zakładając,
że musi się przesiąść w Krakowie, a następnie w Katowicach? Z Niepołomic do Krakowa
może jechać dwoma różnymi busami, z Krakowa do Katowic autobusem, busem lub
pociągiem, a z Katowic do Gliwic tramwajem, autobusem lub pociągiem.
Rzucamy dwiema kostkami. Ile jest możliwości takich, że na żółtej kostce wypadła większa liczba oczek, niż na niebieskiej?
Ile jest liczb czterocyfrowych podzielnych przez 25?
Na działce u państwa Konarskich rośnie 6 drzew. Na ile sposób można wyciąć pewną
liczbę drzew tak, aby została nieparzysta liczba drzew?
Na ile sposobów można umieścić 5 różnych kul w trzech pudełkach tak, aby w pierwszym
pudełku była co najmniej jedna kula. Wskazówka - tutaj najlepiej próbować coś odjąć.
Ile jest możliwych wyników meczów koszykówki jeśli wiadomo, że nie ma remisów i żadna
z drużyn nie zdobyła więcej niż 80 punktów?
4 ludzi o różnych imionach wsiada do windy na parterze, mogą wysiąść na piętrach od 1
do 10. Na ile sposobów mogą wysiąść, jeśli:
a) wszyscy wysiadają na dowolnych piętrach?
b) każda osoba wysiada na innym piętrze?
c) wszyscy wysiadają na parzystych piętrach?
d) Agnieszka i Ewelina wysiadają na tym samym piętrze?
e) Agnieszka i Ewelina wysiadają na tym samym piętrze, a Bartek i Maciek też na tym
samym, ale innym, niż dziewczyny?
f) Dwie dowolne osoby wysiadają na tym samym piętrze, a dwie pozostałe też na tym
samym, ale innym, niż pierwsze dwie?
g) Bartek, Agnieszka, Ewelina wysiadają na tym samym piętrze, a Maciek wysiada
dowolnie?
Ile jest podzbiorów zbioru n-elementowego? Wskazówka: każdy element może należeć lub
nie należeć do podzbioru.
W turnieju szachowym bierze udział 10 zawodników. Ile zostanie rozegranych partii, jeśli
każdy ma zagrać dokładnie raz z każdym? A ilu zawodników musiałoby wziąć udział, aby
łącznie zostało rozegranych 91 partii?
Na ile sposobów można wybrać 4-osobową delegację z 15-osobowej klasy wyróżniając w
tej delegacji przewodniczącego?
Na ile sposobów można podzielić 6 prezentów między 2 osoby tak, aby każda dostała
przynajmniej 1 prezent?
W klasie jest 8 dziewczyn i 11 chłopców. Na ile sposobów można stworzyć 8 różnych par
do tańca (damsko-męskich)?
Ile jest funkcji f : {1, 2, 3, 4, 5} 7→ {1, 2, 3, 4, 5}
a) różnowartościowych?
b) rosnących?
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
c) takich, że f (n) ­ n dla każdego n = 1, 2, 3, 4, 5?
d) takich, że f (n) ­ 3 dla każdego n = 1, 2, 3, 4, 5?
e) osiągających największą wartość równą 4?
Po szachownicy 5 × 5 porusza się pion. W jednym ruchu może iść albo do góry, albo w
lewo. Na ile sposobów w 8 ruchach może on dotrzeć z prawego dolnego rogu szachownicy
w lewy górny?
W pudełku są 3 kule białe. Ile trzeba dołożyć kul czarnych, aby przy jednoczesnym
losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul czarnych wynosiło
28
55 ?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym rzucie kostką i trzema monetami
liczba oczek na kostce będzie równa liczbie wyrzuconych orłów?
Wiedząc, że P (A0 ∪ B 0 ) = 0, 9, P (A ∪ B) = 0, 65, a zdarzenie A jest dwa razy bardziej
prawdopodobne niż zdarzenie B, oblicz P (A \ B).
Wykaż, że jeżeli P (A) + P (B) = 1, 3, to P (A ∩ B) ­ 0, 3.
7
Wykaż, że jeżeli P (A ∪ B 0 ) < 43 , oraz P (A0 ∪ B) < 23 , to P (A ∪ B) > 12
.
Ile jest liczb 4-cyfrowych, w których cyfra tysięcy jest parzysta, a iloczyn pozostałych
cyfr wynosi 9?
Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez 12 i jednocześnie niepodzielnych przez 18?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych 4 osób co najmniej dwie
urodziły się tego samego dnia tygodnia?
Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami sześciennymi. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że iloczyn wyrzuconych oczek jest podzielny przez 3, ale niepodzielny przez 6?
Rzucamy trzema symetrycznymi kostkami sześciennymi. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że na dokładnie dwóch kostkach wypadnie taka sama liczba oczek?
W klasie jest 2 razy więcej chłopców niż dziewcząt. Ilu jest chłopców jeśli wiadomo, że
przy losowym wyborze 2 osób prawdopodobieństwo wylosowania 2 osób róźnej płci jest
1
o 30
większe niż prawdopodobieństwo wylosowania 2 chłopców?
Na loterii A jest 10 losów, w tym 1 wygrywający. Na loterii B jest 20 losów, w tym 2
wygrywające. Możemy kupić łącznie 2 losy. Po ile losów z każdej loterii należy kupić,
aby prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednego losu wygrywającego było
największe?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną
kostką otrzymamy tyle samo jedynek, co szóstek?
Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy parzystą liczbę oczek?
Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymamy parzystą liczbę oczek pod warunkiem, że nie wypadła „ jedynka”?
Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych
oczek będzie podzielny przez 3 oraz niepodzielny przez 2?
Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych
oczek będzie podzielny przez 3 lub niepodzielny przez 2?
Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych
oczek będzie podzielny przez 6 pod warunkiem, że na pierwszej kostce wypadła parzysta liczba oczek?
Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn wyrzuconych
oczek będzie parzysty pod warunkiem, że suma oczek jest parzysta?
Rzucamy dwiema kostkami. Czy zdarzenia: A- „iloczyn oczek jest podzielny przez 3”
oraz B - „iloczyn oczek jest parzysty” są niezależne tzn. P (A ∩ B) = P (A) · P (B)?
Stosunek liczby samochodów ciężarowych do liczby samochodów osobowych przejeżdżających szosą, przy której stoi stacja benzynowa, jest równy 9:1. Prawdopodobieństwo
tego, że przejeżdżający samochód ciężarowy będzie nabierał paliwo wynosi 0,5, a samochód osobowy 0,2.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że następny nadjeżdżający samochód będzie nabierał
paliwo.
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
b) Do stacji podjechał po paliwo samochód. Znajdź prawdopodobieństwo tego że ten
samochód jest ciężarowy.
W pierwszej norze są trzy szczury różowe i 7 zielonych. W drugiej - 4 różowe i 6 zielonych,
a w trzeciej - 5 różowych i 5 zielonych. Losowo otwieramy jedną norę i z niej wybiega
szczur.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że szczur będzie różowy?
b) Szczur okazał się różowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybiegł z trzeciej nory?
c*) Szczur okazał się różowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kolejny szczur z tej
samej nory będzie różowy?
W szufladzie są 2 kule białe i 3 czarne. Losujemy jedną kulę, zwracamy ją do pudełka i
dokładamy do niego jeszcze 5 kul tego samego koloru, co wylosowana. Losujemy jedną
kulę ponownie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że teraz wylosujemy kulę białą?
W pudełku jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy jedną kulę, zwracamy ją do pudełka
i dokładamy do niego jeszcze 5 kul tego samego koloru, co wylosowana. Losujemy teraz
trzy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wylosowane kule będą białe?
Wykaż, że jeżeli P (A) > 0, P (B) > 0 oraz zdarzenia A i B są niezależne, to P (A|B) =
P (A) = P (A|B 0 ) (zdarzenie B nie wpływa na prawdopobieństwo zdarzenia A)
Ile kul czarnych trzeba dorzucić do pudełka zawierającego jedynie 3 kule białe, aby przy
jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo wylosowania obu kul czarnych
7
?
było nie mniejsze niż 15
Ile jest liczb czterocyfrowych, w których cyfra tysięcy jest nieparzysta, a pozostałe są
parzyste oraz cyfra setek jest większa od cyfry dziesiątek, a cyfra dziesiątek jest większa
od cyfry jedności?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy jednoczesnym rzucaniu jedną kostką sześcienną
i trzema monetami liczba oczek na kostce będzie równa liczbie wyrzuconych orłów?
Wiedząc, że P (A ∩ B 0 ) = 0, 54, P (A0 ∩ B) = 0, 16 oraz P (B) = 5P (A ∩ B) oblicz P (A).
Udowodnij, że jeżeli P (A \ B) = 0, 4, a P (B \ A) = 0, 3, to P (A ∩ B) ¬ 0, 3
Odpowiedzi:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
4096
1680
70
741.
990.
a) 9!, b) 2 · 9!, c) 6 · 8!, d) 10!
2 .
3
3 · (4!) .
18.
15.
360.
32.
211.
812 − 81 = (81 · 80).
a) 10000, b) 5040, c) 625, d) 1000, e) 90, f) 540, g) 100.
2n .
45 partii, 14 zawodników.
5460.
62.
11!
3! .
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
a) 120, b) 1, c) 120, d) 243, e) 781.
70.
8
7
48
0, 4
dowód
dowód
24
50
1561
2401
19
216
5
12
21 uczniów
2 losy z loterii A (P = 15 ). Przy losowaniu jednego losu z A, i jednego z B, P =
37
przy losowaniu dwóch losów z B - 190
.
39
200 .
A
227
648
1
2
3
5
5
36
2
3
5
9
0, 5
są niezależne, P (A) = 59 , P (B) = 34 , P (A ∩ B) =
5
a) 0, 23, b) 23
5
a) 0, 4, b) 12 , c) 19
54
0, 4
15
36
47
130
dowód
Co najmniej 7 kul.
50 liczb
7
48
0,58
dowód: P (A \ B) + P (B \ A) + P (A ∩ B) = P (A ∪ B) ¬ 1
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]