Układy RLC Technika Cyfrowa i Impulsowa

Układy RLC
Technika Cyfrowa i Impulsowa
Ernest Jamro
C3-504, tel. 6172792
Katedra Elektroniki
Akademia Górniczo-Hutnicza
Przekształcenie Laplace’a
Przekształcenie Laplace’a

F ( s) 

f (t )  e st dt
0
transformata Laplace’a
F(s)
oryginalny przebieg
czasowy f(t)
1
(t)
1(t)
1
s
opis
delta Diraca, impuls o nieskończenie

krótkim czasie trwania (t=0) i
 (t )  dt  1
nieskończenie dużej amplitudzie 
Skok jednostkowy: 1(t )  0 t  0

1 t  0
f(t-a)
przebieg opóźniony o czas a
1
sa
e-at
typowy przebieg w obwodach RC
F(s+)
e-tf(t)
Przebieg tłumiony w czasie
1
(s   )2
te-t
Przebieg dla rezystancji krytycznej (=0)
dla obwodów RLC

sin(t)
Przebieg oscylacyjny
cos(t)
Przebieg oscylacyjny
e a s  F (s)
s 2
2
s
s 2
2
sF ( s)  f (0  )
F (s)
s
d f (t )
dt
t
 f (t )  dt
0
Pochodna względem czasu
Całkowanie względem czasu
Kondensator
Q
C
U
q   i dt
C
 S
d
dq
i
dt
du
iC
dt
różniczkowanie względem napięcia
u
1
i dt

C
całkowanie względem prądu
i
u
i= sCu (założenie: u(t=0)=0)
sC
u
1
Z 
i sC
Układ różniczkujący RC
Dziedzina czasu
u2
i
R
czyli
d (u1  u2 )
dt
d u2
d u1
RC
 u2  RC
dt
dt
 = RC - stała czasowa
iC
Obliczenia w dziedzinie Laplace’a
Wymuszenie: skok napięcia
U 2 s   U1 s 
u1 t   U M  t   Eg s  
1
 e  at
sa
Otrzymujemy:
UM
s
R
R
1
sC
 U1 s 
s
1  s
- skok napięcia

t
u2 t   U M e  1t 
Przebieg czasowy (odpowiedz układu
różniczkującego RC na skok jednostkowy)
Układ różniczkujący RC - odpowiedz na
przebieg prostokątny
T
t T

 t


u 2 t   U M e 1t   e 1t  T 


Zwis:
T


U M  u 2 T 
z
100%  1  e 
UM

Zwis dla T<< 
z  100
T

[%]

100%


T>>
T<<
Układ różniczkujący RC a składowa stała
Układ różniczkowy nie
przenosi składowej
stałej
Składowa przejściowa
Układ różniczkujący i inne
wymuszenia
Układ całkujący RC
u1  
d u2
 u2
dt
  RC
U 2 s   U 1 s 
1
sC
R
1
sC
t



u 2 t   U M 1  e

 U 1 s 

1t 


1
1  s
Filtr dolnoprzepustowy
Czas narastania
Jako czas narastania przyjmuje się czas narastania odpowiedzi
na skok jednostkowy od 10% do 90% wartości amplitudy
impulsu skokowego:
t10 można obliczyć ze wzoru:
t90 można obliczyć ze wzoru:
t
 

0.1U M  U M 1  e  


t
 


0.9U M  U M 1  e 


t10    ln( 0.9)  0.1
t90    ln( 0.1)  2.3
tn= t90 - t10  2,2.
Częstotliwość graniczna a czas narastania:
tn  2,2  2,2RC 
2,2 0,35

2f g
fg
Wypadkowa czasów narastania:
tn2  tn21  tn22  tn23  ...
Odpowiedz układu całkującego
RC na falę prostokątną
Układ całkujący i inne
wymuszenia
Wpływ rezystancji generatora
Zobacz na
zasadę
Thevenina
Metoda czoła i grzbietu
U(t=0) – napięcie przy założeniu że kondensatory są zwarte
U(t=) – napięcie przy założeniu że kondensatory są rozwarte
Stała czasowa obliczana dla R jako rezystancja widziana z zacisków
kondensatora C
u t   U (t  )  [U (t  0 )  U (t  )]  e
t

Przykład:
U t     U M


U t  0  U M
Cw= C1+C2
Rw= R1||R2
=CwRw
R2
R1  R2
1
sC2
1
1

sC1 sC2
 UM
C1
C1  C2
Dzielnik skompensowany – sonda oscyloskopowa
U(t=0+)=U(t) czyli
R2
C1

R1  R2
C1  C2
lub R1C1 = R2C2
W oscyloskopie Rwe=1M, Cwe10pF
RS=9M, Cs 1pF
Stosunek podziału napięcia k=10,
Rwes=10M= k Rwe, Cwes=Cwe/k
Układy całkujące i różniczkujące
RL
Działają podobnie jak układy RC
Stała czasowa =L/R
Timer 555
8 - Vcc
6 - Próg
przełączenia
R
+
3 - Wyjście
–
5 - Modulacja
R
R
Q
7 - Rozładowanie
2Vcc/3
Vcc/3
S
+
2- wyzwalanie
Q
Reset
–
R
1- Masa
4 - Zerowanie
Monowibrator
Wyzwalanie
Vcc
VCC
3
+
–
Vcc
Wyjście
R
Q
R
Wyzwalanie
+
–
S
Q
t
C
2  VCC
3
C
Reset
t
Wy
t1
Vcc(1  e
t
t
RC
2
)  Vcc
3
1
 e RC
3
1 t
ln 
3 RC
t  RC ln( 3)  1,1RC
t
Multiwibrator
u(t )  u(t  0)  e t /  u(t  )  (1  e t / )
Vcc
+
–
Vcc
Wyjście
R
Q
RA
Ładowanie :
1
u (t  0)  VCC
3
u (t  )  VCC
Rozłozłado ie :
+
–
S
Q
D
Reset
RB
C
2
u (t  0)  VCC
3
u (t  )  0
Multiwibrator - przebiegi
Bez diody – brak wypełnienia 0.5
Z diodą – wypełnienie 0.5 -> RA=RB
Bez Diody:
C
t1 = 0,7(RA + RB)C
2  VCC
3
VCC
3
t2 = 0,7RBC
T=t1+t2=
0,7(RA+2RB)C
t
Wy
Z Diodą:
t1
t1= 0,7RAC
t2
t
t2 = 0,7RBC
T=t1+t2= 0,7(RA+RB)C
Multiwibrator – wypełnienie 0.5
Vcc
+
–
Vcc
Wyjście
R
Q
RA
+
–
S
Q
RB
Reset
C
Multiwibrator – wypełnienie 0.5
Ładowanie :
Warunek wype ln ienie 0.5 :
t1  R A  C  ln( 2)  0.7  RA  C
t1  t 2
Rozadowani e :
Thevelin : VT 
RB
VCC
RB  R A
RT 
R A  RB
R A  RB
Napiecie na kondensatorze :
u (t )  u (t  0)  e t /  u (t  )  (1  e t / )
2
u (t )  VCC  e t /  VT  (1  e t / )
3
1
u (t 2 )  VCC  t 2  ?
3
1
2
RB
VCC  VCC  e t / 
VCC  (1  e t / )
3
3
RB  R A
1
RB
2
RB

( 
)  e t / 
3 RB  R A
3 RB  R A
R A  2 RB
 e t /
2 R A  RB
t2 
R A  RB
2 R  RB
C  ln( A
)
R A  RB
R A  2 RB
R AC  ln( 2) 
ln( 2) 
R A  RB
2 R  RB
C  ln( A
)
R A  RB
R A  2 RB
RB
2 R  RB
 ln( A
)
R A  RB
R A  2 RB
RB  k  R A
ln( 2) 
k  RA
2 R  k  RA
 ln( A
)
R A  (1  k )
R A  2k  R A
k
2k
 ln(
)
(1  k )
1 2  k
Rozwiazani e numeryczne :
ln( 2) 
k  0.423
Przetwornik napięcie / częstotliwość
Vcc
+
Wejście
–
Vcc
Wyjście
R
Q
RA
+
–
S
Q
Reset
C
Przetwornik U/f
u (t )  u (t  0)  e  t /  u (t  )  (1  e  t / )
1
u (t  0)  U we
2
Wada – funkcja silnie
nieliniowa szczególnie
dla Uwe VCC
u (t  )  VCC
u (t  ?)  U we  k  VCC  k 
U we
VCC
1
k  VCC  e t /  VCC  (1  e t / )
2
2k
t  RC  ln(
)
2

2
k
4
k  VCC 
3,5
t
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Ulepszony Przetwornik I/f
Vcc
Vcc
+
–
+
–
Wyjście
R
Q
S
Q
i(t)
Reset
C
Ulepszony przetwornik I/f – c.d.
1
I t
U   i  dt 
C
C
C  U
1
t
U  VCC
I
3
C  VCC
t
3 I
1
3 I
f  
t C  VCC
Częstotliwość proporcjonalna
do prądu. W prosty sposób
można zbudować przetwornik
I/U i w ten sposób otrzymamy
liniowy przetwornik U/f
Obwody RLC
Równoległy
Szeregowy
R
U1
R
L
C
U2
L
U1
U2
C
Obwód równoległy
1
L
sC
C
1
1
L
1
sL 
sL 
s
Ls
sC 
sC 
C
RC
H s  
 2

1
L
R L s RLC  Ls  R
1
1
sL
RsL 

s2 
s
sC
C
sC C
RC
LC
R
R
1
1
sL 
sL 
sC
sC
sL
Można dokonać następującego podstawienia:
 
1
RC

1
LC
H s  
s
s 2  s   2
Dla wymuszenia skokiem jednostkowym (U1(s)= 1/s)
otrzymujemy:
1

RC
U 2 s   H ( s)  U1 ( s) 
 2
2
1
1
s


s


2
s 
s
RC
LC
Różne rozwiązania równania
Analizując transformacje Laplace’a dla powyższego modułu
możemy otrzymać następujące przypadki:
F ( s) 
F ( s) 
F ( s) 
F ( s) 

s2   2

(s   )2   2
1
(s   )2
 f(t)= sin(t) - drgania niegasnące
 f(t)= e-tsin(t) - drgania gasnące
 f(t)= te-t –drgania krytyczne
1
C
C
 1  2
( s  a )  ( s  b) s  a s  b
 f(t)= C1e-at + C2e-bt – brak drgań
Najważniejsza jest  równania kwadratowego
s 2  s   2
Przebiegi (obwód równoległy)
s
H s   2
s  s   2
<0 (drgania)
R
1
 
RC
1
LC
1 L
2 C


0
U 2 s   2

2
s  s  
 0 ( s   ) 2 
u2 (t ) 

  t  / 2
e
sin(  0  t )
0
2
2
 02   2 
0
=0 – przebieg krytyczny (rezystancja krytyczna)
u2 (t )    t  et  / 2
2
4
R
1 L
2 C
Przebiegi (obwód równoległy)
Brak drgań >0
u2 (t ) 
Zielony
R<Rkr

2 
2
0
e
R
 t  / 2
Czerwony
R=Rkr
(e
1 L
2 C
t  02
e
 t  02
)
Niebieski
R>Rkr
Obwód szeregowy
Rezystancja krytyczna
R
L
U1
U2
C
Drgania dla R<Rkr
R2
L
C