wstęp do elektrotechniki - Zakład Inżynierii Materiałowej i Systemów

advertisement
Obwody elektryczne
2016
Kontakt:
•
•
•
•
•
•
•
Dr inż. Marek Ossowski
[email protected]
Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych
Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej
Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3)
Tel.(42) 6312515
Tel 501673231  tylko w sprawach niezwykle
ważnych!!!!
OE1 2015
2
Program wykładów
• Obwody elektryczne -wstęp
• Prawa Kirchhoffa
• Elementy obwodów
• Oporniki liniowe
– Łączenie oporników
– Rezystywność i konduktywność
• Oporniki nieliniowe
– Charakterystyki wypadkowe połączeń
• Źródła niezależne idealne i rzeczywiste
• Źródła sterowane
• Wzmacniacze operacyjne
OE1 2015
3
Program wykładów (cd)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Obliczanie prostych obwodów DC
Obwody równoważne
Metoda praw Kirchhoffa
Zasada superpozycji
Twierdzenie Tellegena
Twierdzenie Thevenina-Nortona
Metoda potencjałów węzłowych
Zasada wzajemności
Twierdzenie o kompensacji
Elelmenty topologii (dodatkowo)
Podstawy analizy obwodów AC
OE1 2015
4
Literatura
• Teoria Obwodów cz.I –
M.Tadeusiewicz
• Teoria Obwodów. Zadania –
praca zbiorowa po redakcją
M.Tadeusiewicza
OE1 2015
5
Zaliczenie przedmiotu
• Obecność na wszystkich zajęciach
• Zaliczenie końcowe
• Forma sprawdzianu pisemnego:
– Krótkie pytania (możliwość testu)
– Pytania problemowe
– Proste zadania obliczeniowe
OE1 2015
6
POJĘCIA PODSTAWOWE
• Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak
tranzystor, wzmacniacz operacyjny
• Obwód elektryczny  połączone przewodami
urządzenia elektryczne
• Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez
modele składające się z podstawowych elementów
obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów,
cewek)
• Modele  przybliżony opis fizycznych urządzeń
• To samo urządzenie może mieć różne modele
OE1 2015
7
Kierunki odniesienia:
• Rozpatrywane są napięcia między węzłami i
prądy płynące w gałęziach łączących węzły.
• Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek
przepływu ładunków dodatnich (napięcie od +
do -)
• Ze względu na możliwe zmiany w czasie
kierunku ruchu ładunków trudno określić
aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia
przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które
wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną
informacją o prądzie i napięciu
OE1 2015
8
Kierunki odniesienia (interpretacja)
i( t )
u( t )
Dla wybranej chwili t1 zapis:
i t1   1.2 A oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 1.2A
płynie w kierunku od zacisku 1 do 2
i t 2   7 mA oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 7mA
płynie w kierunku od zacisku 2 do 1
u t1   7V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 2 jest
większy od potencjału węzła 1 o 7V
u t 2   12V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 1 jest
większy od potencjału węzła 2 o 12V
OE1 2015
9
OBWÓD PRZYKŁADOWY
u5(t)
i1(t)
R5
i5(t)
u2(t)
L4
2
i4(t)
u4(t)
u3(t)
u6(t)
j (t)
e1(t)
C3
i3(t)
i (t)
6
OE1 2015
10
POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
• WĘZEŁ  miejsce połączenia końcówek elementów
oznaczane na schematach kropką.
• GAŁĄŹ  odcinek obwodu między węzłami
(zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z
przewodami)
• ŚCIEŻKA  ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym
węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy
się w węźle końcowym
• PĘTLA  zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w
jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i
kończy się w tym samym węźle początkowym
(inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu)
• omin topologie
OE1 2015
11
Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK)
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego,
dowolnej zmienności napięć, w dowolnej
chwili :
• algebraiczna suma napięć gałęziowych
wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero
lg pi
Liczba gałęzi i-tej
pętli

uk  0
k 1
OE1 2015
12
u2 t   u4 t   u5 t   0
OBWÓD PRZYKŁADOWY
u5(t)
i1(t)
R5
i5(t)
u2(t)
L4
2
i4(t)
u4(t)
u3(t)
u6(t)
j (t)
e1(t)
C3
i3(t)
u5 t   u6 t   e1 t   0
i (t)
6
 u4 t   u2 t   e1 t   u6 t   0
OE1 2015
13
Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) - uogólnienie
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego,
dowolnej zmienności napięć, w
dowolnej chwili :
• algebraiczna suma napięć
międzywęzłowych wzdłuż dowolnego
zamkniętego ciągu węzłów wynosi zero
OE1 2015
14
u1
u2
1
3
2
u6
6
u25
u5
u4
5
Sekwencja (ciąg) węzłów 1-2-5-6
NPK: -u1-u25+u5+u6
u3
4
Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK)
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego,
dowolnej zmienności prądów, w dowolnej
chwili
• algebraiczna suma prądów w dowolnym
węźle wynosi zero
lg ni
Liczba gałęzi
zbiegających się w itym węźle
OE1 2015

ik  0
k 1
16
j2 t   i3 t   i4 t   0
OBWÓD PRZYKŁADOWY
u5(t)
i1(t)
R5
i5(t)
u2(t)
L4
2
i4(t)
u4(t)
u3(t)
u6(t)
j (t)
e1(t)
C3
i3(t)
 i1 t   i3 t   i6 t   0
i (t)
6
i4 t   i5 t   i6 t   0
OE1 2015
17
Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej)
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego w
dowolnej chwili algebraiczna suma prądów
przenikających dowolną gaussowską
powierzchnię zamkniętą wynosi zero.
lg S i

Liczba gałęzi
k 1
przecinających
powierzchnię zamkniętą Si
OE1 2015
ik  0
18
PRZYKŁAD:
i2
i7
i6
i1
i5
i4
i Z3
 i2 t   i1 t   i5 t   iZ 3 t   0
OE1 2015
19
Zasady pisania równań Kirchhoffa
• Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można
napisać:
 n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1
dowolnie wybranych węzłów)
 b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1
odpowiednio wybranych pętli)
 Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie
można napisać dla obwodu o n węzłach i b
gałęziach wynosi:
n 1  b  n 1  b
OE1 2015
20
Elementy obwodów
• Oporniki
– liniowe
– nieliniowe
• Źródła niezależne
– napięciowe
– prądowe
• Źródła sterowane (zależne)
OE1 2015
21
Uwaga:
Wartości chwilowe wielkości obwodowych,
np.prądów i napięć (funkcje czasu)
oznaczamy zawsze małymi literami
np.
u(t), i(t), p(t), w(t)
OE1 2015
22
Jednostki
Stosujemy jednostki podstawowe układu SI:
1u   1V
Jednostka napięcia
Jednostka natężenia prądu:
Jednostka oporu (rezystancji):
1i   1A
1R 1
1 p  1W
Jednostka mocy:
1w  1J
Jednostka energii:
OE1 2015
23
Będziemy rozważać elementy SLS:
•skupione (S)
•liniowe (L)
•stacjonarne (S)
OE1 2015
24
i
Moc i energia
p (t )  u (t ) i (t )
Moc chwilowa
Energia
u
t
w(t )   u ( ) i ( ) d

Związek między mocą i energią:
dw(t )
p(t ) 
dt
t
w(t ) 
 p( ) d

OE1 2015
25
Opornik liniowy
• Równania
u  Ri i  Gu
i
• Symbole
• Jednostki
R
i
1
R
G
R
u
u
1R   1
1G   1S
u
u  Ri
• Charakterystyka
prądowo-napięciowa
i
OE1 2015
26
Opornik liniowy
• Obliczanie rezystancji
Długość przewodu
l
 l
R

 S
S
konduktywność 
przewodność
pole powierzchni
poprzecznej przewodu
rezystywność 
oporność właściwa
OE1 2015
27
Rezystywność i konduktywność przewodników
Materiał
Rezstywność 
m
mm2/m
Konduktywność 
S/m
m/(mm2)
SREBRO
1.6210-8
0.0162
62.5106
62.5
MIEDŹ
1.7510-8
0.0175
57 106
57
ALUMINIUM
2.8310-8
0.0283
35.3 106
35.3
1210-8
0.12
8.33 106
8.33
11.1 10-8
0.111
9 106
9
MANGANIN
44 10-8
0.44
2.3 106
2.3
KONSTANTAN
48 10-8
0.48
2.1 106
2.1
1.1
0.91 106
0.91
0.63
15.9 106
15.9
CYNA
PLATYNA
CHROMONIKIELINA 110 10-8
CYNK
6.3 10-8
OE1 2015
28
Parametry rezystorów
• Rezystancja znamionowa  wskaźnik wartości rezystancji.
Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji
rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki
zawarte w przedziale 0,1 – 20 %)
• Moc znamionowa  największa dopuszczalna moc możliwa do
wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni
rezystora, sposobu
odprowadzenia
ciepła,
maksymalnej
dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia.
• Napięcie znamionowe  największe dopuszczalnym napięciem,
które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego
właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości
znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów.
OE1 2015
29
Rodzaje rezystorów
OPORNIKI
(REZYSTORY)
Drutowe
LINIOWE
STAŁE
Inne
(niedrutowe)
NIELINIOWE
REGULOWANE
POTENCJOMETRY
LINIOWE
NIELINIOWE
STAŁE
REGULOWNE
DEKADOWE
WARSTWOWE
Nieorganiczne
TERMISTORY
WARYSTORY
FOTOREZYSTORY
MAGNETOREZYSTORY
OBJĘTOŚCIOWE
Organiczne
OE1 2015
30
Rezystory (cd)
• Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub
taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym
• Warstwowe: elementem oporowym jest cienka
warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa)
nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną
• Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym
przekrojem.
OE1 2015
31
Przykład: 4K74700 (węglowy)
Pasek 1, pole #
Pasek 2, pole #
•
•
•
•
PASEK 1: żółty  4..............4
PASEK 2: fiolet 7...............7
PASEK 3: czerwony 2.......00
PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700 
Pasek 3, mnożnik (ile zer?)
Pasek 4, tolerancja w %
OE1 2015
32
Przykład kodu wartości




1-szy pasek: pomarańczowy = 3
2-gi pasek: pomarańczowy = 3
3-i pasek: czerwony = 2 ( 102)
4-ty pasek: czerwony = 2%
33 x 102 = 3300 = 3.3 k
OE1 2015
33
Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna
u
u
uA
RS 
  k  tg
i A iA
uA
Proporcjonalna
do tangensa
nachylenia
siecznej w danym
punkcie

iA
OE1 2015
i
34
Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna
u
u du
RD  lim

 k  tg
i 0 i
di A
i
uA
u
Proporcjonalna
do tangensa
nachylenia
stycznej w danym
punkcie

iA
OE1 2015
i
35
Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo
• Opornik, dla którego
u jest jednoznaczną
funkcją prądu i dla
i(-;+ )
nazywamy
uzależnionym
prądowo.
• Opornik, dla którego
i jest jednoznaczną
funkcją napięcia u
dla u(-;+ )
nazywamy
uzależnionym
napięciowo.
termistor
Dioda tunelowa
OE1 2015
36
Oporniki nieliniowe nieuzależnione
• Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla
i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u
dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym.
Żarówka z
włóknem
wolframowym
OE1 2015
37
Charakterystyki elementów nieliniowych:
OE1 2015
38
Cewka
i
indukcyjność
 t   L it 
gdy
L  const .
L
u
Strumień magnetyczny
przenikający przez uzwojenie
jest proporcjonalny do prądu
charakterystyka
strumieniowo-prądowa
cewki liniowej
jest linią prostą
przechodzącą przez
OE1 2015
początek układu współrzędnych.

  Li
i
39
L - indukcyjność cewki
1L  1H
d
di
u t  
L
dt
dt
Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie
„strumień skojarzony” z uzwojeniem:
  z
d
u t  
dt
OE1 2015
40
C
Kondensator
i
pojemność
qt   C ut 
gdy
C  const.
u
Ładunek elektryczny
na okładkach kondensatora
jest proporcjonalny do napięcia
q
charakterystyka
napięciowo-ładunkowa
kondensatora liniowego
jest linią prostą
przechodzącą przez
q  Cu
u
OE1 2015
41
C - pojemność kondensatora
1C   1F
dq
du
i t  
C
dt
dt
OE1 2015
42
Elementy pasywne i aktywne obwodów
Element pasywny pobiera energię
Element aktywny dostarcza ją do obwodu
t
w(t )   u ( ) i ( ) d
0
pasywny
w(t )   u ( ) i ( ) d
0
aktywny

t

OE1 2015
43
Źródła napięciowe
• Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy
element posiadający na swoich zaciskach zadane
napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu
płynącego przez źródło.
• Symbole:
uZ ,U Z , E
uZ t 
OE1 2015
44
Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki
u
uZ t1 
uZ ,U Z , E
0
i
uZ t2 
OE1 2015
45
Rzeczywiste źródło napięciowe
Symbole:
uZ t 
uZ ,U Z , E
RZ , RW
RZ , RW
OE1 2015
46
Stany pracy źródła napięciowego
Obciążenie:
uZ
u
RZ
obciążenie
i
u  uZ  RZ  i
OE1 2015
47
Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego
(rzeczywistego)
u
uZ
u  uZ  RZ  i
Stan
jałowy
uZ
RZ
0
Stan
zwarcia
OE1 2015
i
48
Stany pracy źródła napięciowego (cd)
Stan jałowy(rozwarcie)
uZ
Zwarcie
i  0 uZ
u  uZ
RZ
RZ
OE1 2015
u0
uZ
i
RZ
49
Dopasowanie odbiornika do źródła
i
Prąd w obwodzie:
uZ
i
RZ  R
uZ
u
RZ
R
Moc odbiornika:
2
uZ
P( R ) 
2 R
RZ  R 
OE1 2015
50
Dopasowanie odbiornika do źródła (cd)
2
uZ
P( R ) 
2 R
RZ  R 
PR  uZ

R
2
P( R  ?)  PMAX
R
Z
PR 

0
R
 R   2 RZ  R R 
4
RZ  R 
2
RZ  RRZ  R   0  R  RZ
Można wykazać, że jest to maksimum (bo dla
R>RZ pochodna zmienia znak z + na -)
OE1 2015
Warunek dopasowania
odbiornika do źródła
51
Przykładowy wykres mocy odbiornika:
2
PMAX
42 1
 W
42 2
uz

4 RZ
uZ  2V
RZ  2
OE1 2015
R  RZ  s tan dopasowani
a
R
52
Sprawność ukladu odbiornikźródło
P R  i 2 R
i2R
R


 2

PZ R  uZ i i RZ  R  RZ  R
0.5
dopasowanie
OE1 2015
53
Źródła prądowe
• Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy
element przez którego zaciski płynie zadany prąd
iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego
na jego zaciskach.
• Symbole:
• oznaczenia
iZ t ,
jZ t 
DC:
OE1 2015
iZ , jZ , I , I Z ,.....
54
Źródła prądowe (idealne): charakterystyki
u
iZ t1  0
iZ t2 
iZ , J Z ,
I ,...
i
OE1 2015
55
Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny)
i
i
iZ
RZ
u
iZ
RZ
u
i  0, u  iZ RZ
OE1 2015
56
Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia)
i
iZ
RZ
u
i  iZ
u  0, i  iZ
OE1 2015
57
Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie)
iR 
iZ
u
RZ
RZ
i
u
obciążenie
u
i  iZ 
RZ
OE1 2015
58
Charakterystyka u-i źródła prądowego
i
iZ
1
i  iZ 
u
RZ
Stan
zwarcia
RiZ
0
u
Stan
jałowy
OE1 2015
59
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło napięcia sterowane
prądem
i
iS
u  f R iS 
i
u  f R iS 
Prąd
sterujący
u   R iS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2015
60
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło napięcia sterowane
napięciem
i
i
u  f uS 
u  f uS 
napięcie
sterujące
uS
u  uS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2015
61
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło prądu sterowane
prądem
u
iS
i  g iS 
i  g iS 
Prąd
sterujący
u
i  iS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2015
62
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło prądu sterowane
napięciem
u
iS
i  g G uS 
napięcie
sterujące
uS
i  g G uS 
u
i   GuS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2015
63
Wzmacniacz operacyjny
i1
io
u12
u1
i2
uo
u2
OE1 2015
64
Wzmacniacz operacyjny
i1=0
io
u12
u1
i 2= 0
uo
u2
u o= f(u12)
OE1 2015
65
uo
Unas
-E
E
u 12
-Unas
OE1 2015
66
uo
Unas
u 12
-Unas
OE1 2015
67
Przykład 1
if
R
i wej
R
1
i1
io
u12
uwej
2
i2
uo
u2
OE1 2015
68
Układy równoważne (definicja)
i1
P
n
j1
u1
Q
in-1
un-1
n
v1
jn-1
vn-1
i  i1 i 2 i n 1 
j   j1 j2  jn 1 
u  u1 u 2  u n 1 
v  v1 v 2  v n 1 
T
T
T
T
OE1 2015
69
• Układy P i Q nazywamy
równoważnymi, jeżeli ich opis
matematyczny jest taki sam.
Opis obwodu P
Opis obwodu Q
fP (u, i)  0
fQ ( v, j)  0
fP  fQ
OE1 2015
70
Przykład 1
i
j
uz
jz
u
Gw
v
Rw
u  u z  R wi
1
u z  jz
Gw
1
1
1
v   jz  j
 jz

j
Gw
Gw Gw
jz  u z G w
1
Rw 
2015
GOE1
w
71
Zamiana GWIAZDA-TRÓJKĄT
1 i1
R1
R2
R3
u1
i2 2
u2
1 j1
R12
j2 2
R31
R23
V1
V2
3
3
1 i1
R2 i2 2
i1+i2
R1
R3
u1
u2
3
u1  R1i1  R3 i1  i2   R1  R3 i1  R3i2
u2  R2 i2  R3 i1  i2   R3i1  R2  R3 i2
Są to równania (*)
1 j
1
R12
R31
V1
j2
R23
V2
3
2
Są to równania (**)
R31 R12  R23 
R23 R31
v1 
j1 
j2
R12  R23  R31
R12  R23  R31


R23 R12  R31
R31 R23
v1 
j1 
j2
R12  R23  R31
R12  R23  R31
Z definicji równoważności układów
wynika równość odpowiednich współczynników
w równaniach (*) i (**). Wynikają stąd wzory:
R1R2
R12  R1  R2 
R3
R2 R3
R23  R2  R3 
R1
R3R1
R31  R3  R1 
R2
Gdy R1=R2=R3 =RY
RΔ =3RY
R12 R31
R1 
R12  R23  R31
R12 R23
R2 
R12  R23  R31
R23 R31
R3 
R12  R23  R31
Gdy R12=R23=R34 =RΔ
RY =1/3RΔ
Przykład:
i1
u
i2
i3
R1
R2
R3
A
R1  1
Dane:
R2  0,5
uAC R4
R3  1,4
i4
C
R4  5
R6
R5  3
R5
B
Celem jest obliczenie prądu
w jednej z gałęzi trójkąta, np. prądu i4
R6  2
u  6V
Aby obliczyć ten prąd musimy znaleźć uAC
Po zamianie Δ
Y nie możemy zgubić punktów AC
R1
i1
u
A
R4
R2
i2
R3
i3
C
R6
R5
R46
R65
B
R54
R6 R5
R65 
 0,6
R4  R5  R6
Obwód ma teraz postać:
i1
R1
A
R46
i2
uAC
R2
C
R54
i3
R3
B
R65
R4 R6
R46 
 1
R4  R5  R6
R5R4
R54 
 1,5
R4  R5  R6
O
u AC   R54i2  R46i1
u
i1
R*
i2
R**
R*  R1  R46  1  1  2
0
i3
R***
R**  R2  R54  0,5  1,5  2
R***  R3  R65  1,4  0,6  2
u
6
i1 

 2A
* 1 ** 2  1
R  R
2
i2  i3  1A
u AC   R54i2  R46i1
u AC  1,5 1  1  2  3,5V
u AC 3,5
i4 

 0,7 A
R4
5
Twierdzenie Tellegena
Jeżeli prądy gałęziowe i m spełniają PPK w
każdym węźle grafu oraz napięcia gałęziowe
u m spełniają NPK w każdej pętli grafu
wówczas
b
 u kik  0
k 1
( b  liczba wszystkich gałęzi grafu, sumowanie
odbywa się po wszystkich gałęziach)
OE1 2015
80
DOWÓD
v n potencjał n-tego węzła
u kl napięcia między węzłami k i l
u kl  v k  vl
ukl
l
k
vk
i kl
vl
i kl prąd płynący od węzła k do l
OE1 2015
81
i kl u kl  i kl (v k  vl )  i kl v k  i kl vl  i kl v k  i lk vl
i lk  i kl
STOSUJEMY
DO
KAŻDEGO
SKŁADNIKA SUMY
POGRUPUJEMY
SKŁADNIKI
ZAWIERAJĄCE
K-TE POTENCJAŁY
b
 u kik
k 1
 i kj v k v k  i kj
j
OE1 2015
j
82
b

lgk
 uk ik   vk  ikj
k 1
k 1
j 1
Liczba
gałęzi w k-tym
węźle
PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE
W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO,
NA PODSTAWIE PPK:

 
k 1,
CZYLI:
lgk
 ikj  0
j 1
b
 u kik  0
k 1
OE1 2015
83
WNIOSEK 1
SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI
OBWODU JEST RÓWNA ZERU.
WNIOSEK 2
NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ
TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O
TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH
TEN SAM GRAF.
OE1 2015
84
WNIOSEK 1
Ilustracja twierdzenia Tellegena
1
1
1
4
i1
1
4
u1
3
u2
~i
1
2
i3
3
~
u
4
2
i2
2
3
k k
~i
~
u
u i
4
1
i2
3
4
~
u
i4
2
2
~
u
u
~
i
3
3
~
u
3
 0  u1i1  u2i2  u2i2  u2i2  0
k 1
4

u~k ~
ik  0  u~1~
i1  u~2 ~
i2  u~2 ~
i2  u~2 ~
i2  0
k 1
OE1 2015
85
WNIOSEK 2
Ilustracja twierdzenia Tellegena
1
1
1
4
i1
1
4
u1
~
u
i4
3
~i
~i
1
~
i2
3
4
1
u2
2
2
~
u
u
i3
3
2
i2
2
2
~
u
~
i
3

3
3
u
4
4
~
u
3
u~k ik  0  u~1i1  u~2i2  u~2i2  u~2i2  0
k 1
4

uk ~
ik  0  u1~
i1  u2 ~
i2  u2 ~
i2  u2 ~
i2  0
k 1
OE1 2015
86
Zasada superpozycji
Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń
działających jednocześnie jest równa
algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne
wymuszenia działające osobno.
Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego
(tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające
jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na
poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu
pozostałych do zera).
OE1 2015
87
Usunięcie źródła prądowego oznacza
pozostawienie jego rezystancji
wewnętrznej równej  czyli rozwarciu jego zacisków:
k
j =0
j
i
i
u
u'
kk'
kk'
k'
OE1 2015
88
Usunięcie źródła napięciowego oznacza
pozostawienie jego rezystancji
wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków:
k
k
u
u=0
zi
zi
i'i
ii
k'
k'
OE1 2015
89
Przykład 1 (ogólny)
u
i
j
OE1 2015
90
u
u=0
i'
j=0
i"
j
i = i’ + i”
OE1 2015
91
k
m
k
m
i 1
i 1
i   a i jzi   bi u zi
OE1 2015
92
j
R1
u z2
z1
i
1
R2
R2
1
i1  j z1
 uz 2
R1  R2
R1  R2






a1
b1
Thev
OE1 2015
93
Obliczanie prostych obwodów
• Połączenie szeregowe oporników liniowych
• Połączenie szeregowe elementów nieliniowych
(charakterystyka wypadkowa)
• Połączenie równoległe oporników liniowych.
• Połączenie równoległe oporników nieliniowych
(charakterystyka wypadkowa)
• Dzielnik prądu
• Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem
• Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na
podstawie PPK i NPK
OE1 2015
94
Połączenie szeregowe oporników liniowych
u  u1  u2  ...  un
i
i1
u1
R1
i
u
R
u
in
un
Rn
i1 R1 i2 R2
in Rn
iR1 iR2
iRn
iR
R  R1  R2  ...  Rn
R
OE1 2015
n
R
i
i 1
95
Połączenie szeregowe oporników nieliniowych
i
i1
u
u1  f1 i1 
u1
i
i2
u
u2
u2  f 2 i2 
• Zadanie: znając
charakterystyki
napięciowo-prądowe
obu oporników
nieliniowych wyznaczyć
wypadkową
charakterystykę
połączenia szeregowego
tych elementów.
OE1 2015
u  f i ?
96
Charakterystyki u-i oporników
i1 ,i2
u1  f1 i1 
5
u2  f 2 i2 
1
-4
3
-1
OE1 2015
u1 ,u2
97
Dodawanie napięć (punkt i=-1)
i1 ,i2 ,i
5
u 1  u1  1  u2  1
-5
Dla i=-1
-4
1
3
-1
OE1 2015
u1 ,u2 ,u
98
Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2)
i1 ,i2 ,i
5
u2  u1 2  u2 2  4
2
u1  u1 1  u2 1  3.5
1
3
-1
OE1 2015
u1 ,u2 ,u
99
Charakterystyka wypadkowa
u1  f1 i1 
i1 ,i2 ,i
5
u  f i 
2
1
3
-1
u2  f 2 i2 
u1 ,u2 ,u
3
OE1 2015
100
Podsumowanie
• Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę
elementów nieliniowych połączonych szeregowo
należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną
dokładnością) wartości prądu dodać wartości
napięć elementów składowych.
• W przypadku układów odcinkowo-liniowych
operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla
wszystkich punktów załamania charakterystyk
(+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z
segmentów zewnętrznych)
OE1 2015
101
Połączenie równoległe oporników liniowych
i
i1
u
u1
i2
in
u2
un
R
R
2
1
R
n
i
u
i  i1  i2  ...  in
R
u u
u R R
2
1
R1
1
G 
R
OE1 2015
u
Rn
n

Gi
i 1
102
Połączenie równoległe oporników
nieliniowych
i
i1
u
u1
i2
u2
i1  f1 u1 
i
u
i2
• Zadanie: znając
charakterystyki
napięciowo-prądowe
obu oporników
 f u  nieliniowych
wyznaczyć
wypadkową
charakterystykę
połączenia
równoległego tych
elementów.
2
2
i  f u ?
OE1 2015
103
Połączenie równoległe oporników nieliniowych:
i1 ,i2 ,i
i  f u 
14
i2  f u2 
i1  f1 u1 
12
10
iu A   i1 u A   i2 u A 
8
6
i A 
4
i2  A 
i1 A 
2
0
0
1
2
3
uA
OE1 2015
4
u1 ,u2 ,u
104
Podsumowanie
• Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę
elementów nieliniowych połączonych równolegle
należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną
dokładnością) wartości napięcia dodać wartości
prądów elementów składowych.
• W przypadku układów odcinkowo-liniowych
operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla
wszystkich punktów załamania charakterystyk
(+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z
segmentów zewnętrznych)
OE1 2015
105
Dzielnik prądu
• Wyznaczyć prądy połączonych równolegle
oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd
dopływający do połączenia:
RR
u i
i
i1
u
R1
i2
R2
OE1 2015
1
2
R1  R2
R2
i1  i
R1  R2
R1
i2  i
R1  R2
106
Dzielnik napięcia
1
iu
R1  R2
i
u
R1
R2
R1
u1  u
R1  R2
1
R2
u2  u
R1  R2
u2
OE1 2015
107
Potencjometr
i
1
R
R
u
1
i
X
X
3
R POT
R
Y
R
u
uY
R
3
POT
R
uY
Y
0
R
0
2
2
OE1 2015
108
1
i
R
u
Problem: jak ustawić położenie suwaka, aby napięcie
na dołączonym obciążeniu RO było k-krotnie mniejsze
od napięcia zasilającego potencjometr?
X
3
R
POT
R
uY
Y
2
R
0
u
i
RY RO
RX 
RY  RO
RY RO
RY RO
uY  i 
u
RY  RO
RX  RY  RO   RY RO
OE1 2015
109
Z przyrównania zależności:
RY RO
uY  u
RX  RY  RO   RY RO
1
uY  u
k
Oraz po uwzględnieniu: RY  RPOT  R X otrzymamy
równanie kwadratowe ze względu na Rx. Można
wykazać, że dla k=2 otrzymamy dwie wartości Rx:
1
1
2
2
RX  RPOT  RO 
RPOT  4 RO
2
2
1
1
2
2
RX  RPOT  RO 
RPOT  4 RO  RPOT
2
2
OE1 2015
110
Rozwiązywanie układów rozgałęzionych:
algorytm pisania równań PPK i NPK
I
I
1
R1
I
3
R3
2
u
R2
u
Z1
I
4
Z3
I
5
R4
u
u
7
R6
I
6
I
Liczba węzłów:
n=5
Liczba gałęzi:
b=8
Niewiadome:
Z5
i1 ,i2 ,i3 ,i4 ,
R8
i5 ,i6 ,u7 ,i8
Z7
I
8
OE1 2015
111
Jak ułożyć komplet równań liniowo
niezależnych ?
• Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe
(elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz
napięcia idealnych źródeł prądowych
• Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów
obwodu
• Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu:
– Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli
– Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób
aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną
dotychczas niewykorzystaną
– Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła
maksymalnie b-n+1
– UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych
dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi
wewnętrznych)
OE1 2015
112
n-1 (4) równań na podstawie PPK:
I
1
R1
I
3
Z1
I
u
Z3
I
4
5
2
R4
u
Z5
u
I
7
R6
I
 i3  i5  i8  0
R3
2
R2
u
4
I
1
i1  i2  i3  0
Z7
I
6
3
R8
i6  iZ 7  i8  0
8
 i1  i4  i6  0
OE1 2015
113
Równania napięciowe, pierwsza pętla:
I
1
R1
u
Z1
I
I
3
R3
2
u
R2
1
I
4
Z3
I
5
R4
i1 R1  i2 R2  i4 R4  uZ 1  0
u
Z5
u
7
R6
I
6
I
Z7
I
R8
8
OE1 2015
114
Równania napięciowe, druga pętla:
I
I
1
R1
I
R2
u
Z1
I
4
Nowe gałęzie:
3,5
3
R3
2
u
2
Z3
I
5
R4
u
Z5
i1 R1R  i3 R3  uZ 3  uZ 5  i4 R4  uZ 1  0
u
7
6
I
6
I
Z7
I
R8
8
OE1 2015
115
Równania napięciowe, pętla trzecia:
I
I
1
R1
I
Nowe gałęzie:
6,8
3
R3
2
u
R2
u
Z1
I
Z3
I
4
3
5
R4
u
Z5
u
7
R6
I
6
I
Z7
I
R8
i1 R1  i3 R3  uZ 3 
 i8 R8  i6 R6  uZ 1  0
8
OE1 2015
116
Równania napięciowe, pętla czwarta i
ostatnia:
I
I
1
R1
I
R3
2
u
R2
u
Z1
I
4
Nowa gałąź:
7
3
Z3
I
5
R4
u
i4 R4  u7  i6 R6  0
Z5
4
u
7
R6
I
6
I
Z7
I
R8
8
OE1 2015
117
Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem
R1
u
Z1
R1  5 , R2  10 ,
R2
R3
R3  5 ,
u
Z2
u Z 1  5V ,u Z 2  10V
• Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego
rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym
odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź
słuszność twierdzenia Tellegena.
OE1 2015
118
i1 1 i2
i1 R1
i2 R2
R1
R2
R3
u
Z1
1
2
3
2
i3 R3
u
3
Z2
i3
 i1  i2  i3  0
 i1  i2  i3  0

 i1 R1  i3 R3  uZ 1  0  5i1  5i3  5
10i  5i  10
3
i2 R2  uZ 2  i3 R3  0  2
OE1 2015
119
 i1  i2  i3  0

 5i1  5i3  5
10i  5i  10
 2
3
 i1  i2  i3  0

i1  i3  1
2i  i  2
 2 3
+
 i2  2i3  1

2i2  i3  2
 2i2  4i3  2

2i2  i3  2 +
5i3  4
i3  0.8 A i2  2i3  1  0.6 A
i1  i3  i2  0.2 A
OE1 2015
120
PR3  i R3  0.64  5  3.2W
2
3
PW  u z1i1  u z 2i2  5  0.2  10  0.6  7W
PUŻ 3.2


 0.457
PW
7
OE1 2015
121
Weryfikacja Twierdzenia Tellegena
u1  i1 R1
i1
i2
R1
u
Z1
u2  i2 R2
R2
u3  i3 R3
R3
b
u
Z2
 u kik
k 1
i3
u z1  i1   i1 R1 i1  u z 2  i2   i2 R2 i2  i3 R3 i3
 5   0.2   0.2  50.2  10   0.6  
 0.6 10 0.6  0.8  50.8  0
OE1 2015
122
Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub
prądu
A
A
ik
ik
uk
uk
u
Obwód z wyodrębnioną
AC
k-tą gałęzią e
C
e
B
B
OE1 2015
124
A
A
ik
ik
uk
u
AC
uk
e
C
e
B
B
OE1 2015
125
A
i
k
C
uk
• Jeśli e = uk uAC = 0
• Gałąź obwodu, na
której występuje
napięcie uk można
zastąpić idealnym
źródłem napięcia o
napięciu źródłowym
e = uk
B
OE1 2015
126
Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik:
A
A
ik
ik
j
uk
j
uk
B
B
OE1 2015
127
A
j= i k
B
• Jeśli j = ik
ik-j+j  j
• Gałąź obwodu,
wiodącą prąd ik
można zastąpić
idealnym źródłem
prądu
j = ik
OE1 2015
128
Włączanie i przenoszenie źródeł
Twierdzenie o włączaniu
dodatkowych źródeł
u
u
Jeżeli we wszystkich
gałęziach zbiegających się
w dowolnym węźle
umieścimy źródła napięcia
o tym samym napięciu
źródłowym i takiej
orientacji względem węzła
to rozpływ prądów w
układzie nie ulegnie
zmianie.
u
  u  u  ......
NPK nie ulega zmianie!!!
OE1 2015
130
Jeżeli w dowolnej pętli
obwodu, równolegle do
każdej gałęzi, włączymy
między kolejne węzły
źródła prądu o
jednakowym zwrocie
względem obiegu pętli i
jednakowych wartościach
to rozkład napięć w
układzie nie ulegnie
zmianie.
OE1 2015
131
Przenoszenie źródeł (1)
B
B
u BA
B
u
u
e
u
e
A
u
e
A
A
OE1 2015
132
Przenoszenie źródeł (2)
A
j
j
i
B
C
j
OE1 2015
133
A
j
j
i
B
C
j
OE1 2015
134
Twierdzenie o kompensacji
Rozpatrujemy obwód liniowy:
i
R
OE1 2015
136
i'  i  i
R
u '  i' R
R
OE1 2015
137
Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu
gałęzi źródłem napięciowym:
i'  i  i
i' R  e'
R
OE1 2015
138
i"
i
e'  i' R
R
R
i'  i  i"
i'  i  i
Z SUPERPOZYCJI
OE1 2015
i"  i
139
PONIEWAŻ
e'  i' R  iR  iR
i
i
iR
iR
e'  i' R
R
OE1 2015
R  R
R
140
Twierdzenie Thevenina-Nortona
A
L
i
 iZ
M
u
B
L
M
k 1
k 1
i   a k e k   b k jk G Z u
i  i Z  G Z u
OE1 2015
142
i  i Z  G Z u
A
i
u
iz
Gz
B
OE1 2015
143
Wyznaczanie parametrów iZ, GZ
Niech u=0, wówczas i=-iZ
A
iz
u=0
B
OE1 2015
144
Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u,
(tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M)
L
M
i   a k e k   b k jk  G Z u
k 1
1


k



i   i Z  G Zu  G Zu
0
OE1 2015
145
A
i
u
i
GZ 
u
B
OE1 2015
146
A
L
uZ
M
i
u
B
L
M
k 1
k 1
u   a k e k   b k jk R Zi
u  u Z  R Zi
OE1 2015
147
u  u Z  R Zi
A
uz
u
i
Rz
B
OE1 2015
148
Wyznaczanie parametrów uZ, RZ
Niech i=0,
A
u
i=0
B
OE1 2015
wówczas u=uZ
149
Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i,
(tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M)
L
M
k 1
k 1
u   a k e k   b k jk R Zi
u  R Zi
0
OE1 2015
u
RZ 
i
150
Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł
zastępczych
Jeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B
oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B
badanego układu to:
u AB u Z
RZ 

i AB i Z
OE1 2015
151
A
iR
uz
uR
R
V
Rz
B
u ZR  u R R
RZ 
uR
uZ
uR
iR 

Rz  R R
OE1 2015
152
Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona
• Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić
względem wybranej pary zacisków A-B w postaci
zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła
prądu iZ i opornika RZ (GZ).
• Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie
między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu
• Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji
(konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej
względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu
do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł
napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych)
OE1 2015
153
Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina
• Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić
względem wybranej pary zacisków A-B w postaci
zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła
napięcia uZ i opornika RZ (GZ).
• Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB
jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B
rozpatrywanego obwodu
• Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji
(konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej
względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu
do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł
napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych)
OE1 2015
154
Metoda potencjałów węzłowych
Przykład 1
j6
1
R1 i i
1
2
v2
v1
R4
R2
3
2
R5
R3
i4
i3
OE1 2015
v3
i5
j7
156
Równania prądowe
i1  i4  j6  0
1
j6
 i2  i5  j6  j7  0
R1 i i
1
2
v2
v1
 i1  i2  i3  0
R4
R2
3
2
R5
R3
i4
i3
OE1 2015
v3
i5
j7
157
Zależności gałęziowe
u1 v1  v2
i1 

R1
R1
1
j6
R1 i i
1
2
u2 v2  v3
i2 

R2
R2
R2
3
2
u3 v2
iu3R

u
R 41
25 R
R3
3
R3
v1
v3
u3
u4 v1 u5  v3

i 4 i4 
u

v
i
u4  v1
5
3
2 j7
iR
3
R4
4
u5  v3
i5u2  v2  v3
u1  v1  v2
R5
R5
v2
OE1 2015
158
Wstawienie zależności gałęziowych do równań
prądowych  równanie 1
i1  i4  j6  0
u1 v1  v2
i1 

R1
R1
u4 v1
i4 

R4 R4
 v11  v12  v1 1
1..   v1  v
j6 j6
2 
R1
R42015
 R1R1 R4  OE1
159
Wstawienie zależności gałęziowych do równań
prądowych  równanie 2
 i1  i2  i3  0
u1 v1  v2
u3 v2
u2 v2  v3
i1 

i2 

i3 

R1
R1
R2
R2
R3 R3
1v1  v2 1 v2 
1 v3 1 v2
1
22. .  v1    
  v2  0 v3  0
R1 R1  R1 R22 R3 R
 3 R2
OE1 2015
160
Wstawienie zależności gałęziowych do równań
prądowych  równanie 3
 i2  i5  j6  j7  0
v2  v3
i2 
R2
u5  v3
i5 

R5
R5
 v12  v3  1 v3 1 
3.  v2    j5
j7 j60 j7
v
3
 RR5 R 
RR2 2
5 
 2
OE1 2015
161
j6
1
R1 i
i2
1
Końcowy układ równań
R2
3
2
R4
v1
v2
R5
R3
i4
i3
i5
j7
v3
1
1 
1


1.   v1  v2   j6
R1
 R1 R4 
2. 
1
1
1
1 
1
v1   
 v2  v3  0
R1
R2
 R1 R2 R3 
3. 
 1
1
1 
v2    v3  j6  j7
R2
 R2 R5 
OE1 2015
162
Przykład 2
j6
1
R2
R1 i i
1
2
2
v2
R4
u3v
v

e
2
3
1
i4
3
u3
i3 R

5R ?
e3
i3
OE1 2015
v3
i5
j7
163
Przykład 2 Równania
v1  v2 v1
1
1 
1
1.

  j6 1.   v1  v2   j6
R1
R1
R4
 R1 R4 
 v1  v2 v2  v3
2.

 i3  0
R1
R2
 v2  v3  v3
3.

 j6  j7  0
R2
R5
1
1
1 
1


2.  v1    v2  v3  i3  0
R1
R2
 R1 R2 
 1
1
1 
3.  v2    v3  j6  j7
R2
 R2 R5 
4. v2  e3
OE1 2015
164
Przykład 2 równania końcowe spr.
j6
1
R1 i
i2
1
R2
3
1 1 
1
1.   v1  v2   j6
R1
 R1 R4 
2
R4
v2
i
4
v1
1 1
1
1


2.  v1    v2  v3  i3  0
R1
R2
 R1 R2 
R5
e3
i3
i5
j7
v3
 1
1
1 
3.  v2    v3  j6  j7
R2
 R2 R5 
4. v3  e3
OE1 2015
165
Przykład 2 Równania uproszczone
1
1 
1
1.   v1  v2   j6
R4
 R1 R4 
 1
1
1 
2.  v2    v3  j5  j7
R1
 R2 R5 
3. v3  e3
OE1 2015
166
Przykład 3
i6
1
e6
R1 i i
2
1
R2
3
2
2
v2
R5
R4
R3
v1
i4
i3
OE1 2015
v3
i5
j7
167
Przykład 3 Równania
v1  v2 v1
1.
  i6  0
R1
R4
1
1 
1
1.   v1  v2  i6  0
R1
 R1 R4 
 v1  v2 v2  v3 v2
2.


0
R1
R2
R3
1
1
1
1 
1


2.  v1   
 v2  v3  0
R1
R2
 R1 R2 R3 
 v2  v3  v3
3.

 i6  j7  0
R2
R5
 1
1
1 
3.  v2    v3  i6  j7
R2
 R2 R5 
4. v1  v3  e6
OE1 2015
168
Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3
1
1 
1
1.   v1  v2  i6  0
R4
 R1 R4 
+
 1
1
1 
3.  v2    v3  i6  j7
R1
 R2 R5 
 1
 1
1 
1
1 
~ 1
1 .   v1    v2    v3  0
 R1 R4 
 R4 R1 
 R2 R5 
1
1
1
1 
1
~
2.  v1   
 v2  v3  0
R1
R2
 R1 R2 R3 
~
3 . v1  v3  e6
OE1 2015
169
Opis algorytmu
1. Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł
odniesienia
NIEWIADOME:
Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy
wszystkich
idealnych źródeł napięciowych.
2. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła
odniesienia!) równania na podstawie PPK.
3. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz
napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi
konduktancyjnych) uzależniamy od napięć
węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2
4. Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie
od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i
sterowanych napięciowych
OE1 2015
170
Zależności gałęziowe  podsumowanie
vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła
un
l
k
i
vk
n
Rn
vl
OE1 2015
un  vk  vl
vk  vl
in 
Rn
171
Zależności gałęziowe  podsumowanie
vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła
vk  vl napięcie między węzłami k i l
un
l
in
k
vk
Rn
e
vl
vk  vl  e
in 
Rn
OE1 2015
172
Przykład 4
u3
1
j =g i
R1
i1
11
3
4
i5
9
8
u
Z9
i4
j10
R
j =a u
6
i3
3
i
i 7 u =b u
7
4
j
R3
2
R4
2
R2
i2
i 12
R5
u 12 =di1
5
OE1 2015
173
Zasada wzajemności
1
2
1'
2'
OE1 2015
175
TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE
1
2
e
i2
1'
2'
1
2
^
i1
e
1'
2'
OE1 2015
î1  i 2
176
Twierdzenie o wzajemności węzłowe
1
2
j
u
1'
2
2'
1
2
^
u
1
û1  u 2
j
1'
2'
OE1 2015
177
Twierdzenie o wzajemności hybrydowe
1
2
j
i2
1'
2'
1
2
^
u
1
1'
i 2 û 1

e
j
e
2'
OE1 2015
178
1
ua
1'
ia
ib
2
1
^i
a
^i
b
2
ub ^
ua
^
ub
1'
2'
2'
OE1 2015
179
Dowód
m
u  î  u  î   u k îk  0
k 1
m
û  i   û i   û k i k  0
k 1
DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI:


u k îk  R k i k îk  i k R k îk  i k û k
Czyli:
m
 u î   û i
k 1
Skąd:
m
k k
k 1
k k
u  î  u  î  û i   û i
OE1 2015
180
Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego
u  î  u  î  û i   û i
i 1= ia
1
2
1
0
ub = 0
i 2= ib
e=ua
1'
2'
^i = ^i
b
2
1
^
ua = 0
^ ^
i =ia
0
2
eî1  ei 2
^
ub= e
1
1'
2'
OE1 2015
î1  i 2
181
Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego
u  î  u  î  û i   û i
ia = -j
ia
i b = i2 =0
1
0
2
j
0
ub= u2
1'
^ =i^ =0
ia 1
2'
^i = -j
b
1
^ =u
^
u
a
1
2
u 2  û1
j
1'
u 2 ( j)  û1 ( j)
2'
OE1 2015
182
Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód
ia
1
2
ia =-j
ib= i 2
u  î  u  î û i   û i
ub= 0
j
0
0
1'
2'
^i =0
a
0  û1 ( j)  ei 2
2
1
^=u
^
u
a
1
1'
^= e
u
b
2'
OE1 2015
i 2 û 1

e
j
183
Download
Random flashcards
123

2 Cards oauth2_google_0a87d737-559d-4799-9194-d76e8d2e5390

bvbzbx

2 Cards oauth2_google_e1804830-50f6-410f-8885-745c7a100970

2+2=?

2 Cards jogaf85537

Create flashcards