wstęp do elektrotechniki - Zakład Inżynierii Materiałowej i Systemów
advertisement
Obwody elektryczne 2014 Kierunek ELEKTROTECHNIKA Kontakt: • • • • • • • Dr inż. Marek Ossowski [email protected] Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) 6312515 Tel 501673231 tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE1 2014 2 Program wykładów • • • • • Obwody elektryczne -wstęp Podstawy topologii Prawa Kirchhoffa Twierdzenie Tellegena Elementy obwodów • Oporniki liniowe – Łączenie oporników – Rezystywność i konduktywność • Oporniki nieliniowe – Charakterystyki wypadkowe połączeń • Źródła niezależne idealne i rzeczywiste • Źródła sterowane OE1 2014 3 Program wykładów (cd) • • • • • • • • • Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważne Metoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawowe pojęcia dotyczące analizy AC (prądy sinusoidalnie zmienne) OE1 2014 4 Literatura • Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz • Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M.Tadeusiewicza OE1 2014 5 Zaliczenie przedmiotu • Obecność na wszystkich zajęciach • Zaliczenie dwóch sprawdzianów pisemnych przewidzianych terminach (7 i 12 tydzień zajęć) • Forma sprawdzianu pisemnego: – Krótkie pytania (możliwość testu) – Pytania problemowe – Proste zadania obliczeniowe OE1 2014 6 POJĘCIA PODSTAWOWE • Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny • Obwód elektryczny połączone przewodami urządzenia elektryczne • Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) • Modele przybliżony opis fizycznych urządzeń • To samo urządzenie może mieć różne modele OE1 2014 7 Kierunki odniesienia: • Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. • Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) • Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE1 2014 8 Kierunki odniesienia (interpretacja) i( t ) u( t ) Dla wybranej chwili t1 zapis: i t1 1.2 A oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 1.2A płynie w kierunku od zacisku 1 do 2 i t 2 7 mA oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 7mA płynie w kierunku od zacisku 2 do 1 u t1 7V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 2 jest większy od potencjału węzła 1 o 7V u t 2 12V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 1 jest większy od potencjału węzła 2 o 12V OE1 2014 9 OBWÓD PRZYKŁADOWY u5(t) i1(t) R5 i5(t) u2(t) L4 2 i4(t) u4(t) u3(t) u6(t) j (t) e1(t) C3 i3(t) i (t) 6 OE1 2014 10 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) • WĘZEŁ miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. • GAŁĄŹ odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) • ŚCIEŻKA ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym • PĘTLA zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) OE1 2014 11 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) • GRAF graficzne odwzorowanie obwodu zawierające jedynie informację o lokalizacji elementów i ich połączeniach • otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich elementów obwodu gałęziami • GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający dodatkowo informację o kierunku odniesienia sygnałów gałęziowych (może być zorientowany prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny) OE1 2014 12 Tworzenie grafu 1 1 1 2 2 i u 2 Element obwodu między węzłami 1 i 2 1-sza gałąź grafu niezorientowanego OE1węzłami 2014 między 1i2 1-sza gałąź grafu zorientowanego między węzłami 1 i 2 13 OBWÓD - GRAF - GRAF ZORIENTOWANY OBWÓD GRAF - 5 2 4 1 3 6 OE1 2014 14 OBWÓD - GRAF - GRAFZORIENTOWANY ZORIENTOWANY OBWÓD - GRAF 5 2 4 1 3 6 OE1 2014 15 DROGA Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi grafu utworzony w ten sposób, że •kolejne gałęzie mają wspólny węzeł, •w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie zbioru, •z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna gałąź zbioru. OE1 2014 16 Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2 b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi OE1 2014 17 Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2 b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j nie spełnia warunku (2) definicji drogi OE1 2014 18 Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2 b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-g-c-d nie spełnia warunku (1) definicji drogi OE1 2014 19 Pętla Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu spełniający następujące warunki •podgraf jest spójny, •w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i tylko dwie gałęzie. OE1 2014 20 Przykład 1 pętla b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli OE1 2014 21 Przykład 2 nie-pętla b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie spełnia warunku 1 definicji pętli OE1 2014 22 Przykład 3 nie-pętla b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie spełnia warunku 2 definicji pętli OE1 2014 23 DRZEWO Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie zawierający żadnej pętli. Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo (DOPEŁNIENIE) OE1 2014 24 Przykład 1 DRZEWO b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014 25 Przykład 2 DRZEWO b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa OE1 2014 26 Twierdzenie Drzewo grafu spójnego o węzłach i b gałęziach zawiera - 1 gałęzi. Dowód (indukcyjny): •Dla n=2, b=1 (n= ) twierdzenie prawdziwe OE1 2014 27 Cd. Dowód (indukcyjny)cz.2: Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu nwęzłowego. Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko jedna gałąź drzewa. Graf o n węzłach OE1 2014 dk n+1 28 Graf o n węzłach dk n+1 Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk. Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy: (n-1)+1=n WNIOSEK: Dopełnienie grafu spójnego węzłach i b gałęziach zawiera b - + 1 gałęzi. OE1 2014 29 PRZEKRÓJ Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór gałęzi spełniający następujące warunki (1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez węzłów końcowych powoduje podział grafu na dwa podgrafy (2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza jedną nie narusza spójności grafu. OE1 2014 30 Przykład 1 przekrój b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju OE1 2014 31 Przykład 2 nie- przekrój b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Zbiór gałęzi b-f-i-d-j nie spełnia warunków (2) definicji przekroju OE1 2014 32 PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY Przekrojem grafu spójnego nazywamy fundamentalnym jeżeli jest utworzony z dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi dopełnienia. Jest ich w grafie - 1 OE1 2014 33 DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja OE1 2014 34 Pętla FUNDAMENTALNA Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest utworzona z dokładnie jednej gałęzi dopełnienia i gałęzi drzewa. Jest ich w grafie b - + 1 OE1 2014 35 DRZEWO grafu i pętle fundamentalne b 1 5 f e 3 c a i j 2 g 4 h d 6 Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d (1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg (4) if (5) jfgcd OE1 2014 36 Twierdzenia dotyczące PRAW KIRCHHOFFA (1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z PPK wynosi -1. Równania te można napisać stosując PPK do -1 fundamentalnych przekrojów. (2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych otrzymanych z NPK wynosi b - +1 . Równania te można napisać stosując PPK do b - +1 fundamentalnych pętli. OE1 2014 37 DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO: Graf planarny to taki graf, który może być narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały się tylko w węzłach. DEFINICJA OCZKA: Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi. TWIERDZENIE Graf planarny zawiera b - +1 oczek. Równania NPK napisane dla b - +1 są liniowo niezależne. OE1 2014 38 Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero lg pi Liczba gałęzi i-tej pętli uk 0 k 1 OE1 2014 39 u2 t u4 t u5 t 0 OBWÓD PRZYKŁADOWY u5(t) i1(t) R5 i5(t) u2(t) L4 2 i4(t) u4(t) u3(t) u6(t) j (t) e1(t) C3 i3(t) u5 t u6 t e1 t 0 i (t) 6 u4 t u2 t e1 t u6 t 0 OE1 2014 40 Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero lg ni Liczba gałęzi zbiegających się w itym węźle OE1 2014 ik 0 k 1 41 j2 t i3 t i4 t 0 OBWÓD PRZYKŁADOWY u5(t) i1(t) R5 i5(t) u2(t) L4 2 i4(t) u4(t) u3(t) u6(t) j (t) e1(t) C3 i3(t) i1 t i3 t i6 t 0 i (t) 6 i4 t i5 t i6 t 0 OE1 2014 42 Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. lg S i Liczba gałęzi k 1 przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE1 2014 ik 0 43 PRZYKŁAD: i2 i7 i6 i1 i5 i4 i Z3 i2 t i1 t i5 t iZ 3 t 0 OE1 2014 44 Zasady pisania równań Kirchhoffa • Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: n 1 b n 1 b OE1 2014 45 Twierdzenie Tellegena Jeżeli prądy gałęziowe i m spełniają PPK w każdym węźle grafu oraz napięcia gałęziowe u m spełniają NPK w każdej pętli grafu wówczas b u kik 0 k 1 ( b liczba wszystkich gałęzi grafu, sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach) OE1 2014 46 DOWÓD v n potencjał n-tego węzła u kl napięcia między węzłami k i l u kl v k vl ukl l k vk i kl vl i kl prąd płynący od węzła k do l OE1 2014 47 i kl u kl i kl (v k vl ) i kl v k i kl vl i kl v k i lk vl i lk i kl STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCE K-TE POTENCJAŁY b u kik k 1 i kj v k v k i kj j OE1 2014 j 48 b lgk uk ik vk ikj k 1 k 1 j 1 Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: k 1, CZYLI: lgk ikj 0 j 1 b u kik 0 k 1 OE1 2014 49 WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE1 2014 50 WNIOSEK 1 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 4 i1 1 4 u1 3 u2 ~i 1 2 i3 3 ~ u 4 2 i2 2 3 k k ~i ~ u u i 4 1 i2 3 4 ~ u i4 2 2 ~ u u ~ i 3 3 ~ u 3 0 u1i1 u2i2 u2i2 u2i2 0 k 1 4 u~k ~ ik 0 u~1~ i1 u~2 ~ i2 u~2 ~ i2 u~2 ~ i2 0 k 1 OE1 2014 51 WNIOSEK 2 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 4 i1 1 4 u1 ~ u i4 3 ~i ~i 1 ~ i2 3 4 1 u2 2 2 ~ u u i3 3 2 i2 2 2 ~ u ~ i 3 3 3 u 4 4 ~ u 3 u~k ik 0 u~1i1 u~2i2 u~2i2 u~2i2 0 k 1 4 uk ~ ik 0 u1~ i1 u2 ~ i2 u2 ~ i2 u2 ~ i2 0 k 1 OE1 2014 52 Elementy obwodów • Oporniki – liniowe – nieliniowe • Źródła niezależne – napięciowe – prądowe • Źródła sterowane (zależne) OE1 2014 53 Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych, np.prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE1 2014 54 Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: 1u 1V Jednostka napięcia Jednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): 1i 1A 1R 1 1 p 1W Jednostka mocy: 1w 1J Jednostka energii: OE1 2014 55 Będziemy rozważać elementy SLS: •skupione (S) •liniowe (L) •stacjonarne (S) OE1 2014 56 i Moc i energia p (t ) u (t ) i (t ) Moc chwilowa Energia u t w(t ) u ( ) i ( ) d Związek między mocą i energią: dw(t ) p(t ) dt t w(t ) p( ) d OE1 2014 57 Opornik liniowy • Równania u Ri i Gu i • Symbole • Jednostki R i 1 R G R u u 1R 1 1G 1S u u Ri • Charakterystyka prądowo-napięciowa i OE1 2014 58 Opornik liniowy • Obliczanie rezystancji Długość przewodu l l R S S konduktywność przewodność pole powierzchni poprzecznej przewodu rezystywność oporność właściwa OE1 2014 59 Rezystywność i konduktywność przewodników Materiał Rezstywność m mm2/m Konduktywność S/m m/(mm2) SREBRO 1.6210-8 0.0162 62.5106 62.5 MIEDŹ 1.7510-8 0.0175 57 106 57 ALUMINIUM 2.8310-8 0.0283 35.3 106 35.3 1210-8 0.12 8.33 106 8.33 11.1 10-8 0.111 9 106 9 MANGANIN 44 10-8 0.44 2.3 106 2.3 KONSTANTAN 48 10-8 0.48 2.1 106 2.1 1.1 0.91 106 0.91 0.63 15.9 106 15.9 CYNA PLATYNA CHROMONIKIELINA 110 10-8 CYNK 6.3 10-8 OE1 2014 60 Parametry rezystorów • Rezystancja znamionowa wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0,1 – 20 %) • Moc znamionowa największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. • Napięcie znamionowe największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE1 2014 61 Rodzaje rezystorów OPORNIKI (REZYSTORY) Drutowe LINIOWE STAŁE Inne (niedrutowe) NIELINIOWE REGULOWANE POTENCJOMETRY LINIOWE NIELINIOWE STAŁE REGULOWNE DEKADOWE WARSTWOWE Nieorganiczne TERMISTORY WARYSTORY FOTOREZYSTORY MAGNETOREZYSTORY OBJĘTOŚCIOWE Organiczne OE1 2014 62 Rezystory (cd) • Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym • Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną • Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE1 2014 63 Przykład: 4K74700 (węglowy) Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # • • • • PASEK 1: żółty 4..............4 PASEK 2: fiolet 7...............7 PASEK 3: czerwony 2.......00 PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700 Pasek 3, mnożnik (ile zer?) Pasek 4, tolerancja w % OE1 2014 64 Przykład kodu wartości 1-szy pasek: pomarańczowy = 3 2-gi pasek: pomarańczowy = 3 3-i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4-ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3.3 k OE1 2014 65 Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna u u uA RS k tg i A iA uA Proporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie iA OE1 2014 i 66 Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna u u du RD lim k tg i 0 i di A i uA u Proporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie iA OE1 2014 i 67 Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) nazywamy uzależnionym prądowo. • Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE1 2014 68 Oporniki nieliniowe nieuzależnione • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE1 2014 69 Charakterystyki elementów nieliniowych: OE1 2014 70 Cewka i indukcyjność t L it gdy L const . L u Strumień magnetyczny przenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez OE1 2014 początek układu współrzędnych. Li i 71 L - indukcyjność cewki 1L 1H d di u t L dt dt Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: z d u t dt OE1 2014 72 C Kondensator i pojemność qt C ut gdy C const. u Ładunek elektryczny na okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez q Cu u OE1 2014 73 C - pojemność kondensatora 1C 1F dq du i t C dt dt OE1 2014 74 Elementy pasywne i aktywne obwodów Element pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu t w(t ) u ( ) i ( ) d 0 pasywny w(t ) u ( ) i ( ) d 0 aktywny t OE1 2014 75 Źródła napięciowe • Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. • Symbole: uZ ,U Z , E uZ t OE1 2014 76 Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki u uZ t1 uZ ,U Z , E 0 i uZ t2 OE1 2014 77 Rzeczywiste źródło napięciowe Symbole: uZ t uZ ,U Z , E RZ , RW RZ , RW OE1 2014 78 Stany pracy źródła napięciowego Obciążenie: uZ u RZ obciążenie i u uZ RZ i OE1 2014 79 Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego) u uZ u uZ RZ i Stan jałowy uZ RZ 0 Stan zwarcia OE1 2014 i 80 Stany pracy źródła napięciowego (cd) Stan jałowy(rozwarcie) uZ Zwarcie i 0 uZ u uZ RZ RZ OE1 2014 u0 uZ i RZ 81 Dopasowanie odbiornika do źródła i Prąd w obwodzie: uZ i RZ R uZ u RZ R Moc odbiornika: 2 uZ P( R ) 2 R RZ R OE1 2014 82 Dopasowanie odbiornika do źródła (cd) 2 uZ P( R ) 2 R RZ R PR uZ R 2 P( R ?) PMAX R Z PR 0 R R 2 RZ R R 4 RZ R 2 RZ RRZ R 0 R RZ Można wykazać, że jest to maksimum (bo dla R>RZ pochodna zmienia znak z + na -) OE1 2014 Warunek dopasowania odbiornika do źródła 83 Przykładowy wykres mocy odbiornika: 2 PMAX 42 1 W 42 2 uz 4 RZ uZ 2V RZ 2 OE1 2014 R RZ s tan dopasowani a R 84 Sprawność ukladu odbiornikźródło P R i 2 R i2R R 2 PZ R uZ i i RZ R RZ R 0.5 dopasowanie OE1 2014 85 Źródła prądowe • Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. • Symbole: • oznaczenia iZ t , jZ t DC: OE1 2014 iZ , jZ , I , I Z ,..... 86 Źródła prądowe (idealne): charakterystyki u iZ t1 0 iZ t2 iZ , J Z , I ,... i OE1 2014 87 Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny) i i iZ RZ u iZ RZ u i 0, u iZ RZ OE1 2014 88 Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia) i iZ RZ u i iZ u 0, i iZ OE1 2014 89 Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie) iR iZ u RZ RZ i u obciążenie u i iZ RZ OE1 2014 90 Charakterystyka u-i źródła prądowego i iZ 1 i iZ u RZ Stan zwarcia RiZ 0 u Stan jałowy OE1 2014 91 Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane prądem i iS u f R iS i u f R iS Prąd sterujący u R iS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2014 92 Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane napięciem i i u f uS u f uS napięcie sterujące uS u uS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2014 93 Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane prądem u iS i g iS i g iS Prąd sterujący u i iS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2014 94 Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane napięciem u iS i g G uS napięcie sterujące uS i g G uS u i GuS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2014 95 Wzmacniacz operacyjny i1 io u12 u1 i2 uo u2 OE1 2014 96 Wzmacniacz operacyjny i1=0 io u12 u1 i 2= 0 uo u2 u o= f(u12) OE1 2014 97 uo Unas -E E u 12 -Unas OE1 2014 98 uo Unas u 12 -Unas OE1 2014 99 Przykład 1 if R i wej R 1 i1 io u12 uwej 2 i2 uo u2 OE1 2014 100 Układy równoważne (definicja) i1 P n j1 u1 Q in-1 un-1 n v1 jn-1 vn-1 i i1 i 2 i n 1 j j1 j2 jn 1 u u1 u 2 u n 1 v v1 v 2 v n 1 T T T T OE1 2014 101 • Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam. Opis obwodu P Opis obwodu Q fP (u, i) 0 fQ ( v, j) 0 fP fQ OE1 2014 102 Przykład 1 i j uz jz u Gw v Rw u u z R wi 1 u z jz Gw 1 1 1 v jz j jz j Gw Gw Gw jz u z G w 1 Rw 2014 GOE1 w 103 Przykład 2 (gwiazda) iˆ1 R1 R2 iˆ2 1 2 R3 û1 3 iˆ3 OE1 2014 û2 104 Przykład 2 (trójkąt) i1 R12 i2 1 2 R23 R31 u1 u2 i3 3 OE1 2014 105 trójkąt gwiazda • Porównując równania opisujące oba układy otrzymuje się zależności: R12 R31 R1 R12 R23 R31 R23 R12 R2 R12 R23 R31 R31 R23 R3 R12 R23 R31 OE1 2014 106 Gwiazda trójkąt • Podobnie, rozwiązując poprzednie zależności względem R12,R23,R31 otrzymamy: R1 R2 R12 R1 R2 R3 R2 R3 R23 R2 R3 R1 R3 R1 R31 R3 R1 R2 OE1 2014 107 Obliczanie prostych obwodów • Połączenie szeregowe oporników liniowych • Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Połączenie równoległe oporników liniowych. • Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Dzielnik prądu • Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem • Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE1 2014 108 Połączenie szeregowe oporników liniowych u u1 u2 ... un i i1 u1 R1 i u R u in un Rn i1 R1 i2 R2 in Rn iR1 iR2 iRn iR R R1 R2 ... Rn R OE1 2014 n R i i 1 109 Połączenie szeregowe oporników nieliniowych i i1 u u1 f1 i1 u1 i i2 u u2 u2 f 2 i2 • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE1 2014 u f i ? 110 Charakterystyki u-i oporników i1 ,i2 u1 f1 i1 5 u2 f 2 i2 1 -4 3 -1 OE1 2014 u1 ,u2 111 Dodawanie napięć (punkt i=-1) i1 ,i2 ,i 5 u 1 u1 1 u2 1 -5 Dla i=-1 -4 1 3 -1 OE1 2014 u1 ,u2 ,u 112 Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2) i1 ,i2 ,i 5 u2 u1 2 u2 2 4 2 u1 u1 1 u2 1 3.5 1 3 -1 OE1 2014 u1 ,u2 ,u 113 Charakterystyka wypadkowa u1 f1 i1 i1 ,i2 ,i 5 u f i 2 1 3 -1 u2 f 2 i2 u1 ,u2 ,u 3 OE1 2014 114 Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014 115 Połączenie równoległe oporników liniowych i i1 u u1 i2 in u2 un R R 2 1 R n i u i i1 i2 ... in R u u u R R 2 1 R1 1 G R OE1 2014 u Rn n Gi i 1 116 Połączenie równoległe oporników nieliniowych i i1 u u1 i2 u2 i1 f1 u1 i u i2 • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników f u nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. 2 2 i f u ? OE1 2014 117 Połączenie równoległe oporników nieliniowych: i1 ,i2 ,i i f u 14 i2 f u2 i1 f1 u1 12 10 iu A i1 u A i2 u A 8 6 i A 4 i2 A i1 A 2 0 0 1 2 3 uA OE1 2014 4 u1 ,u2 ,u 118 Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2014 119 Dzielnik prądu • Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: RR u i i i1 u R1 i2 R2 OE1 2014 1 2 R1 R2 R2 i1 i R1 R2 R1 i2 i R1 R2 120 Dzielnik napięcia 1 iu R1 R2 i u R1 R2 R1 u1 u R1 R2 1 R2 u2 u R1 R2 u2 OE1 2014 121 Potencjometr i 1 R R u 1 i X X 3 R POT R Y R u uY R 3 POT R uY Y 0 R 0 2 2 OE1 2014 122 1 i R u Problem: jak ustawić położenie suwaka, aby napięcie na dołączonym obciążeniu RO było k-krotnie mniejsze od napięcia zasilającego potencjometr? X 3 R POT R uY Y 2 R 0 u i RY RO RX RY RO RY RO RY RO uY i u RY RO RX RY RO RY RO OE1 2014 123 Z przyrównania zależności: RY RO uY u RX RY RO RY RO 1 uY u k Oraz po uwzględnieniu: RY RPOT R X otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na Rx. Można wykazać, że dla k=2 otrzymamy dwie wartości Rx: 1 1 2 2 RX RPOT RO RPOT 4 RO 2 2 1 1 2 2 RX RPOT RO RPOT 4 RO RPOT 2 2 OE1 2014 124 Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPK I I 1 R1 I 3 R3 2 u R2 u Z1 I 4 Z3 I 5 R4 u u 7 R6 I 6 I Liczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: Z5 i1 ,i2 ,i3 ,i4 , R8 i5 ,i6 ,u7 ,i8 Z7 I 8 OE1 2014 125 Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ? • Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych • Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu • Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: – Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli – Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną – Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 – UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi wewnętrznych) OE1 2014 126 n-1 (4) równań na podstawie PPK: I 1 R1 I 3 Z1 I u Z3 I 4 5 2 R4 u Z5 u I 7 R6 I i3 i5 i8 0 R3 2 R2 u 4 I 1 i1 i2 i3 0 Z7 I 6 3 R8 i6 iZ 7 i8 0 8 i1 i4 i6 0 OE1 2014 127 Równania napięciowe, pierwsza pętla: I 1 R1 u Z1 I I 3 R3 2 u R2 1 I 4 Z3 I 5 R4 i1 R1 i2 R2 i4 R4 uZ 1 0 u Z5 u 7 R6 I 6 I Z7 I R8 8 OE1 2014 128 Równania napięciowe, druga pętla: I I 1 R1 I R2 u Z1 I 4 Nowe gałęzie: 3,5 3 R3 2 u 2 Z3 I 5 R4 u Z5 i1 R1R i3 R3 uZ 3 uZ 5 i4 R4 uZ 1 0 u 7 6 I 6 I Z7 I R8 8 OE1 2014 129 Równania napięciowe, pętla trzecia: I I 1 R1 I Nowe gałęzie: 6,8 3 R3 2 u R2 u Z1 I Z3 I 4 3 5 R4 u Z5 u 7 R6 I 6 I Z7 I R8 i1 R1 i3 R3 uZ 3 i8 R8 i6 R6 uZ 1 0 8 OE1 2014 130 Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia: I I 1 R1 I R3 2 u R2 u Z1 I 4 Nowa gałąź: 7 3 Z3 I 5 R4 u i4 R4 u7 i6 R6 0 Z5 4 u 7 R6 I 6 I Z7 I R8 8 OE1 2014 131 Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem R1 u Z1 R1 5 , R2 10 , R2 R3 R3 5 , u Z2 u Z 1 5V ,u Z 2 10V • Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE1 2014 132 i1 1 i2 i1 R1 i2 R2 R1 R2 R3 u Z1 1 2 3 2 i3 R3 u 3 Z2 i3 i1 i2 i3 0 i1 i2 i3 0 i1 R1 i3 R3 uZ 1 0 5i1 5i3 5 10i 5i 10 3 i2 R2 uZ 2 i3 R3 0 2 OE1 2014 133 i1 i2 i3 0 5i1 5i3 5 10i 5i 10 2 3 i1 i2 i3 0 i1 i3 1 2i i 2 2 3 + i2 2i3 1 2i2 i3 2 2i2 4i3 2 2i2 i3 2 + 5i3 4 i3 0.8 A i2 2i3 1 0.6 A i1 i3 i2 0.2 A OE1 2014 134 PR3 i R3 0.64 5 3.2W 2 3 PW u z1i1 u z 2i2 5 0.2 10 0.6 7W PUŻ 3.2 0.457 PW 7 OE1 2014 135 Weryfikacja Twierdzenia Tellegena u1 i1 R1 i1 i2 R1 u Z1 u2 i2 R2 R2 u3 i3 R3 R3 b u Z2 u kik k 1 i3 u z1 i1 i1 R1 i1 u z 2 i2 i2 R2 i2 i3 R3 i3 5 0.2 0.2 50.2 10 0.6 0.6 10 0.6 0.8 50.8 0 OE1 2014 136 Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń działających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu pozostałych do zera). OE1 2014 137 Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej czyli rozwarciu jego zacisków: k j =0 j i i u u' kk' kk' k' OE1 2014 138 Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: k k u u=0 zi zi i'i ii k' k' OE1 2014 139 Przykład 1 (ogólny) u i j OE1 2014 140 u u=0 i' j=0 i" j i = i’ + i” OE1 2014 141 k m k m i 1 i 1 i a i jzi bi u zi OE1 2014 142 j R1 u z2 z1 i 1 R2 R2 1 i1 j z1 uz 2 R1 R2 R1 R2 a1 b1 Thev OE1 2014 143 Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu A A ik ik uk uk u Obwód z wyodrębnioną AC k-tą gałęzią e C e B B OE1 2014 145 A A ik ik uk u AC uk e C e B B OE1 2014 146 A i k C uk • Jeśli e = uk uAC = 0 • Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk B OE1 2014 147 Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik: A A ik ik j uk j uk B B OE1 2014 148 A j= i k B • Jeśli j = ik ik-j+j j • Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2014 149 Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł u u Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. u u u ...... NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2014 151 Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2014 152 Przenoszenie źródeł (1) B B u BA B u u e u e A u e A A OE1 2014 153 Przenoszenie źródeł (2) A j j i B C j OE1 2014 154 A j j i B C j OE1 2014 155 Twierdzenie o kompensacji Rozpatrujemy obwód liniowy: i R OE1 2014 157 i' i i R u ' i' R R OE1 2014 158 Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym: i' i i i' R e' R OE1 2014 159 i" i e' i' R R R i' i i" i' i i Z SUPERPOZYCJI OE1 2014 i" i 160 PONIEWAŻ e' i' R iR iR i i iR iR e' i' R R OE1 2014 R R R 161 Twierdzenie Thevenina-Nortona A L i iZ M u B L M k 1 k 1 i a k e k b k jk G Z u i i Z G Z u OE1 2014 163 i i Z G Z u A i u iz Gz B OE1 2014 164 Wyznaczanie parametrów iZ, GZ Niech u=0, wówczas i=-iZ A iz u=0 B OE1 2014 165 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) L M i a k e k b k jk G Z u k 1 1 k i i Z G Zu G Zu 0 OE1 2014 166 A i u i GZ u B OE1 2014 167 A L uZ M i u B L M k 1 k 1 u a k e k b k jk R Zi u u Z R Zi OE1 2014 168 u u Z R Zi A uz u i Rz B OE1 2014 169 Wyznaczanie parametrów uZ, RZ Niech i=0, A u i=0 B OE1 2014 wówczas u=uZ 170 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) L M k 1 k 1 u a k e k b k jk R Zi u R Zi 0 OE1 2014 u RZ i 171 Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczych Jeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: u AB u Z RZ i AB i Z OE1 2014 172 A iR uz uR R V Rz B u ZR u R R RZ uR uZ uR iR Rz R R OE1 2014 173 Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona • Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu iZ i opornika RZ (GZ). • Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014 174 Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina • Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia uZ i opornika RZ (GZ). • Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2014 175 Metoda potencjałów węzłowych Przykład 1 j6 1 R1 i i 1 2 v2 v1 R4 R2 3 2 R5 R3 i4 i3 OE1 2014 v3 i5 j7 177 Równania prądowe i1 i4 j6 0 1 j6 i2 i5 j6 j7 0 R1 i i 1 2 v2 v1 i1 i2 i3 0 R4 R2 3 2 R5 R3 i4 i3 OE1 2014 v3 i5 j7 178 Zależności gałęziowe u1 v1 v2 i1 R1 R1 1 j6 R1 i i 1 2 u2 v2 v3 i2 R2 R2 R2 3 2 u3 v2 iu3R u R 41 25 R R3 3 R3 v1 v3 u3 u4 v1 u5 v3 i 4 i4 u v i u4 v1 5 3 2 j7 iR 3 R4 4 u5 v3 i5u2 v2 v3 u1 v1 v2 R5 R5 v2 OE1 2014 179 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 1 i1 i4 j6 0 u1 v1 v2 i1 R1 R1 u4 v1 i4 R4 R4 v11 v12 v1 1 1.. v1 v j6 j6 2 R1 R42014 R1R1 R4 OE1 180 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 2 i1 i2 i3 0 u1 v1 v2 u3 v2 u2 v2 v3 i1 i2 i3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 1v1 v2 1 v2 1 v3 1 v2 1 22. . v1 v2 0 v3 0 R1 R1 R1 R22 R3 R 3 R2 OE1 2014 181 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 3 i2 i5 j6 j7 0 v2 v3 i2 R2 u5 v3 i5 R5 R5 v12 v3 1 v3 1 3. v2 j5 j7 j60 j7 v 3 RR5 R RR2 2 5 2 OE1 2014 182 j6 1 R1 i i2 1 Końcowy układ równań R2 3 2 R4 v1 v2 R5 R3 i4 i3 i5 j7 v3 1 1 1 1. v1 v2 j6 R1 R1 R4 2. 1 1 1 1 1 v1 v2 v3 0 R1 R2 R1 R2 R3 3. 1 1 1 v2 v3 j6 j7 R2 R2 R5 OE1 2014 183 Przykład 2 j6 1 R2 R1 i i 1 2 2 v2 R4 u3v v e 2 3 1 i4 3 u3 i3 R 5R ? e3 i3 OE1 2014 v3 i5 j7 184 Przykład 2 Równania v1 v2 v1 1 1 1 1. j6 1. v1 v2 j6 R1 R1 R4 R1 R4 v1 v2 v2 v3 2. i3 0 R1 R2 v2 v3 v3 3. j6 j7 0 R2 R5 1 1 1 1 2. v1 v2 v3 i3 0 R1 R2 R1 R2 1 1 1 3. v2 v3 j6 j7 R2 R2 R5 4. v2 e3 OE1 2014 185 Przykład 2 równania końcowe spr. j6 1 R1 i i2 1 R2 3 1 1 1 1. v1 v2 j6 R1 R1 R4 2 R4 v2 i 4 v1 1 1 1 1 2. v1 v2 v3 i3 0 R1 R2 R1 R2 R5 e3 i3 i5 j7 v3 1 1 1 3. v2 v3 j6 j7 R2 R2 R5 4. v3 e3 OE1 2014 186 Przykład 2 Równania uproszczone 1 1 1 1. v1 v2 j6 R4 R1 R4 1 1 1 2. v2 v3 j5 j7 R1 R2 R5 3. v3 e3 OE1 2014 187 Przykład 3 i6 1 e6 R1 i i 2 1 R2 3 2 2 v2 R5 R4 R3 v1 i4 i3 OE1 2014 v3 i5 j7 188 Przykład 3 Równania v1 v2 v1 1. i6 0 R1 R4 1 1 1 1. v1 v2 i6 0 R1 R1 R4 v1 v2 v2 v3 v2 2. 0 R1 R2 R3 1 1 1 1 1 2. v1 v2 v3 0 R1 R2 R1 R2 R3 v2 v3 v3 3. i6 j7 0 R2 R5 1 1 1 3. v2 v3 i6 j7 R2 R2 R5 4. v1 v3 e6 OE1 2014 189 Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3 1 1 1 1. v1 v2 i6 0 R4 R1 R4 + 1 1 1 3. v2 v3 i6 j7 R1 R2 R5 1 1 1 1 1 ~ 1 1 . v1 v2 v3 0 R1 R4 R4 R1 R2 R5 1 1 1 1 1 ~ 2. v1 v2 v3 0 R1 R2 R1 R2 R3 ~ 3 . v1 v3 e6 OE1 2014 190 Opis algorytmu 1. Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. 2. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. 3. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2 4. Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE1 2014 191 Zależności gałęziowe podsumowanie vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła un l k i vk n Rn vl OE1 2014 un vk vl vk vl in Rn 192 Zależności gałęziowe podsumowanie vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła vk vl napięcie między węzłami k i l un l in k vk Rn e vl vk vl e in Rn OE1 2014 193 Przykład 4 u3 1 j =g i R1 i1 11 3 4 i5 9 8 u Z9 i4 j10 R j =a u 6 i3 3 i i 7 u =b u 7 4 j R3 2 R4 2 R2 i2 i 12 R5 u 12 =di1 5 OE1 2014 194 Zasada wzajemności 1 2 1' 2' OE1 2014 196 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE 1 2 e i2 1' 2' 1 2 ^ i1 e 1' 2' OE1 2014 î1 i 2 197 Twierdzenie o wzajemności węzłowe 1 2 j u 1' 2 2' 1 2 ^ u 1 û1 u 2 j 1' 2' OE1 2014 198 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe 1 2 j i2 1' 2' 1 2 ^ u 1 1' i 2 û 1 e j e 2' OE1 2014 199 1 ua 1' ia ib 2 1 ^i a ^i b 2 ub ^ ua ^ ub 1' 2' 2' OE1 2014 200 Dowód m u î u î u k îk 0 k 1 m û i û i û k i k 0 k 1 DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: u k îk R k i k îk i k R k îk i k û k Czyli: m u î û i k 1 Skąd: m k k k 1 k k u î u î û i û i OE1 2014 201 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego u î u î û i û i i 1= ia 1 2 1 0 ub = 0 i 2= ib e=ua 1' 2' ^i = ^i b 2 1 ^ ua = 0 ^ ^ i =ia 0 2 eî1 ei 2 ^ ub= e 1 1' 2' OE1 2014 î1 i 2 202 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego u î u î û i û i ia = -j ia i b = i2 =0 1 0 2 j 0 ub= u2 1' ^ =i^ =0 ia 1 2' ^i = -j b 1 ^ =u ^ u a 1 2 u 2 û1 j 1' u 2 ( j) û1 ( j) 2' OE1 2014 203 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód ia 1 2 ia =-j ib= i 2 u î u î û i û i ub= 0 j 0 0 1' 2' ^i =0 a 0 û1 ( j) ei 2 2 1 ^=u ^ u a 1 1' ^= e u b 2' OE1 2014 i 2 û 1 e j 204
