wstęp do elektrotechniki - Zakład Inżynierii Materiałowej i Systemów
advertisement
Obwody elektryczne 2016 Kontakt: • • • • • • • Dr inż. Marek Ossowski [email protected] Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) 6312515 Tel 501673231 tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE1 2015 2 Program wykładów • Obwody elektryczne -wstęp • Prawa Kirchhoffa • Elementy obwodów • Oporniki liniowe – Łączenie oporników – Rezystywność i konduktywność • Oporniki nieliniowe – Charakterystyki wypadkowe połączeń • Źródła niezależne idealne i rzeczywiste • Źródła sterowane • Wzmacniacze operacyjne OE1 2015 3 Program wykładów (cd) • • • • • • • • • • • Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważne Metoda praw Kirchhoffa Zasada superpozycji Twierdzenie Tellegena Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Elelmenty topologii (dodatkowo) Podstawy analizy obwodów AC OE1 2015 4 Literatura • Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz • Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M.Tadeusiewicza OE1 2015 5 Zaliczenie przedmiotu • Obecność na wszystkich zajęciach • Zaliczenie końcowe • Forma sprawdzianu pisemnego: – Krótkie pytania (możliwość testu) – Pytania problemowe – Proste zadania obliczeniowe OE1 2015 6 POJĘCIA PODSTAWOWE • Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny • Obwód elektryczny połączone przewodami urządzenia elektryczne • Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) • Modele przybliżony opis fizycznych urządzeń • To samo urządzenie może mieć różne modele OE1 2015 7 Kierunki odniesienia: • Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. • Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) • Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE1 2015 8 Kierunki odniesienia (interpretacja) i( t ) u( t ) Dla wybranej chwili t1 zapis: i t1 1.2 A oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 1.2A płynie w kierunku od zacisku 1 do 2 i t 2 7 mA oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 7mA płynie w kierunku od zacisku 2 do 1 u t1 7V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 2 jest większy od potencjału węzła 1 o 7V u t 2 12V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 1 jest większy od potencjału węzła 2 o 12V OE1 2015 9 OBWÓD PRZYKŁADOWY u5(t) i1(t) R5 i5(t) u2(t) L4 2 i4(t) u4(t) u3(t) u6(t) j (t) e1(t) C3 i3(t) i (t) 6 OE1 2015 10 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd) • WĘZEŁ miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. • GAŁĄŹ odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) • ŚCIEŻKA ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym • PĘTLA zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) • omin topologie OE1 2015 11 Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : • algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero lg pi Liczba gałęzi i-tej pętli uk 0 k 1 OE1 2015 12 u2 t u4 t u5 t 0 OBWÓD PRZYKŁADOWY u5(t) i1(t) R5 i5(t) u2(t) L4 2 i4(t) u4(t) u3(t) u6(t) j (t) e1(t) C3 i3(t) u5 t u6 t e1 t 0 i (t) 6 u4 t u2 t e1 t u6 t 0 OE1 2015 13 Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK) - uogólnienie • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : • algebraiczna suma napięć międzywęzłowych wzdłuż dowolnego zamkniętego ciągu węzłów wynosi zero OE1 2015 14 u1 u2 1 3 2 u6 6 u25 u5 u4 5 Sekwencja (ciąg) węzłów 1-2-5-6 NPK: -u1-u25+u5+u6 u3 4 Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności prądów, w dowolnej chwili • algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero lg ni Liczba gałęzi zbiegających się w itym węźle OE1 2015 ik 0 k 1 16 j2 t i3 t i4 t 0 OBWÓD PRZYKŁADOWY u5(t) i1(t) R5 i5(t) u2(t) L4 2 i4(t) u4(t) u3(t) u6(t) j (t) e1(t) C3 i3(t) i1 t i3 t i6 t 0 i (t) 6 i4 t i5 t i6 t 0 OE1 2015 17 Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej) • Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. lg S i Liczba gałęzi k 1 przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE1 2015 ik 0 18 PRZYKŁAD: i2 i7 i6 i1 i5 i4 i Z3 i2 t i1 t i5 t iZ 3 t 0 OE1 2015 19 Zasady pisania równań Kirchhoffa • Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: n 1 b n 1 b OE1 2015 20 Elementy obwodów • Oporniki – liniowe – nieliniowe • Źródła niezależne – napięciowe – prądowe • Źródła sterowane (zależne) OE1 2015 21 Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych, np.prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE1 2015 22 Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: 1u 1V Jednostka napięcia Jednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): 1i 1A 1R 1 1 p 1W Jednostka mocy: 1w 1J Jednostka energii: OE1 2015 23 Będziemy rozważać elementy SLS: •skupione (S) •liniowe (L) •stacjonarne (S) OE1 2015 24 i Moc i energia p (t ) u (t ) i (t ) Moc chwilowa Energia u t w(t ) u ( ) i ( ) d Związek między mocą i energią: dw(t ) p(t ) dt t w(t ) p( ) d OE1 2015 25 Opornik liniowy • Równania u Ri i Gu i • Symbole • Jednostki R i 1 R G R u u 1R 1 1G 1S u u Ri • Charakterystyka prądowo-napięciowa i OE1 2015 26 Opornik liniowy • Obliczanie rezystancji Długość przewodu l l R S S konduktywność przewodność pole powierzchni poprzecznej przewodu rezystywność oporność właściwa OE1 2015 27 Rezystywność i konduktywność przewodników Materiał Rezstywność m mm2/m Konduktywność S/m m/(mm2) SREBRO 1.6210-8 0.0162 62.5106 62.5 MIEDŹ 1.7510-8 0.0175 57 106 57 ALUMINIUM 2.8310-8 0.0283 35.3 106 35.3 1210-8 0.12 8.33 106 8.33 11.1 10-8 0.111 9 106 9 MANGANIN 44 10-8 0.44 2.3 106 2.3 KONSTANTAN 48 10-8 0.48 2.1 106 2.1 1.1 0.91 106 0.91 0.63 15.9 106 15.9 CYNA PLATYNA CHROMONIKIELINA 110 10-8 CYNK 6.3 10-8 OE1 2015 28 Parametry rezystorów • Rezystancja znamionowa wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0,1 – 20 %) • Moc znamionowa największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. • Napięcie znamionowe największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE1 2015 29 Rodzaje rezystorów OPORNIKI (REZYSTORY) Drutowe LINIOWE STAŁE Inne (niedrutowe) NIELINIOWE REGULOWANE POTENCJOMETRY LINIOWE NIELINIOWE STAŁE REGULOWNE DEKADOWE WARSTWOWE Nieorganiczne TERMISTORY WARYSTORY FOTOREZYSTORY MAGNETOREZYSTORY OBJĘTOŚCIOWE Organiczne OE1 2015 30 Rezystory (cd) • Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym • Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną • Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE1 2015 31 Przykład: 4K74700 (węglowy) Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # • • • • PASEK 1: żółty 4..............4 PASEK 2: fiolet 7...............7 PASEK 3: czerwony 2.......00 PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700 Pasek 3, mnożnik (ile zer?) Pasek 4, tolerancja w % OE1 2015 32 Przykład kodu wartości 1-szy pasek: pomarańczowy = 3 2-gi pasek: pomarańczowy = 3 3-i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4-ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3.3 k OE1 2015 33 Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna u u uA RS k tg i A iA uA Proporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie iA OE1 2015 i 34 Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna u u du RD lim k tg i 0 i di A i uA u Proporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie iA OE1 2015 i 35 Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) nazywamy uzależnionym prądowo. • Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE1 2015 36 Oporniki nieliniowe nieuzależnione • Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE1 2015 37 Charakterystyki elementów nieliniowych: OE1 2015 38 Cewka i indukcyjność t L it gdy L const . L u Strumień magnetyczny przenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez OE1 2015 początek układu współrzędnych. Li i 39 L - indukcyjność cewki 1L 1H d di u t L dt dt Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: z d u t dt OE1 2015 40 C Kondensator i pojemność qt C ut gdy C const. u Ładunek elektryczny na okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez q Cu u OE1 2015 41 C - pojemność kondensatora 1C 1F dq du i t C dt dt OE1 2015 42 Elementy pasywne i aktywne obwodów Element pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu t w(t ) u ( ) i ( ) d 0 pasywny w(t ) u ( ) i ( ) d 0 aktywny t OE1 2015 43 Źródła napięciowe • Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. • Symbole: uZ ,U Z , E uZ t OE1 2015 44 Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki u uZ t1 uZ ,U Z , E 0 i uZ t2 OE1 2015 45 Rzeczywiste źródło napięciowe Symbole: uZ t uZ ,U Z , E RZ , RW RZ , RW OE1 2015 46 Stany pracy źródła napięciowego Obciążenie: uZ u RZ obciążenie i u uZ RZ i OE1 2015 47 Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego) u uZ u uZ RZ i Stan jałowy uZ RZ 0 Stan zwarcia OE1 2015 i 48 Stany pracy źródła napięciowego (cd) Stan jałowy(rozwarcie) uZ Zwarcie i 0 uZ u uZ RZ RZ OE1 2015 u0 uZ i RZ 49 Dopasowanie odbiornika do źródła i Prąd w obwodzie: uZ i RZ R uZ u RZ R Moc odbiornika: 2 uZ P( R ) 2 R RZ R OE1 2015 50 Dopasowanie odbiornika do źródła (cd) 2 uZ P( R ) 2 R RZ R PR uZ R 2 P( R ?) PMAX R Z PR 0 R R 2 RZ R R 4 RZ R 2 RZ RRZ R 0 R RZ Można wykazać, że jest to maksimum (bo dla R>RZ pochodna zmienia znak z + na -) OE1 2015 Warunek dopasowania odbiornika do źródła 51 Przykładowy wykres mocy odbiornika: 2 PMAX 42 1 W 42 2 uz 4 RZ uZ 2V RZ 2 OE1 2015 R RZ s tan dopasowani a R 52 Sprawność ukladu odbiornikźródło P R i 2 R i2R R 2 PZ R uZ i i RZ R RZ R 0.5 dopasowanie OE1 2015 53 Źródła prądowe • Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. • Symbole: • oznaczenia iZ t , jZ t DC: OE1 2015 iZ , jZ , I , I Z ,..... 54 Źródła prądowe (idealne): charakterystyki u iZ t1 0 iZ t2 iZ , J Z , I ,... i OE1 2015 55 Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny) i i iZ RZ u iZ RZ u i 0, u iZ RZ OE1 2015 56 Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia) i iZ RZ u i iZ u 0, i iZ OE1 2015 57 Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie) iR iZ u RZ RZ i u obciążenie u i iZ RZ OE1 2015 58 Charakterystyka u-i źródła prądowego i iZ 1 i iZ u RZ Stan zwarcia RiZ 0 u Stan jałowy OE1 2015 59 Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane prądem i iS u f R iS i u f R iS Prąd sterujący u R iS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2015 60 Źródła zależne (sterowane) • Źródło napięcia sterowane napięciem i i u f uS u f uS napięcie sterujące uS u uS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2015 61 Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane prądem u iS i g iS i g iS Prąd sterujący u i iS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2015 62 Źródła zależne (sterowane) • Źródło prądu sterowane napięciem u iS i g G uS napięcie sterujące uS i g G uS u i GuS Przypadek liniowy Model czwórnikowy OE1 2015 63 Wzmacniacz operacyjny i1 io u12 u1 i2 uo u2 OE1 2015 64 Wzmacniacz operacyjny i1=0 io u12 u1 i 2= 0 uo u2 u o= f(u12) OE1 2015 65 uo Unas -E E u 12 -Unas OE1 2015 66 uo Unas u 12 -Unas OE1 2015 67 Przykład 1 if R i wej R 1 i1 io u12 uwej 2 i2 uo u2 OE1 2015 68 Układy równoważne (definicja) i1 P n j1 u1 Q in-1 un-1 n v1 jn-1 vn-1 i i1 i 2 i n 1 j j1 j2 jn 1 u u1 u 2 u n 1 v v1 v 2 v n 1 T T T T OE1 2015 69 • Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam. Opis obwodu P Opis obwodu Q fP (u, i) 0 fQ ( v, j) 0 fP fQ OE1 2015 70 Przykład 1 i j uz jz u Gw v Rw u u z R wi 1 u z jz Gw 1 1 1 v jz j jz j Gw Gw Gw jz u z G w 1 Rw 2015 GOE1 w 71 Zamiana GWIAZDA-TRÓJKĄT 1 i1 R1 R2 R3 u1 i2 2 u2 1 j1 R12 j2 2 R31 R23 V1 V2 3 3 1 i1 R2 i2 2 i1+i2 R1 R3 u1 u2 3 u1 R1i1 R3 i1 i2 R1 R3 i1 R3i2 u2 R2 i2 R3 i1 i2 R3i1 R2 R3 i2 Są to równania (*) 1 j 1 R12 R31 V1 j2 R23 V2 3 2 Są to równania (**) R31 R12 R23 R23 R31 v1 j1 j2 R12 R23 R31 R12 R23 R31 R23 R12 R31 R31 R23 v1 j1 j2 R12 R23 R31 R12 R23 R31 Z definicji równoważności układów wynika równość odpowiednich współczynników w równaniach (*) i (**). Wynikają stąd wzory: R1R2 R12 R1 R2 R3 R2 R3 R23 R2 R3 R1 R3R1 R31 R3 R1 R2 Gdy R1=R2=R3 =RY RΔ =3RY R12 R31 R1 R12 R23 R31 R12 R23 R2 R12 R23 R31 R23 R31 R3 R12 R23 R31 Gdy R12=R23=R34 =RΔ RY =1/3RΔ Przykład: i1 u i2 i3 R1 R2 R3 A R1 1 Dane: R2 0,5 uAC R4 R3 1,4 i4 C R4 5 R6 R5 3 R5 B Celem jest obliczenie prądu w jednej z gałęzi trójkąta, np. prądu i4 R6 2 u 6V Aby obliczyć ten prąd musimy znaleźć uAC Po zamianie Δ Y nie możemy zgubić punktów AC R1 i1 u A R4 R2 i2 R3 i3 C R6 R5 R46 R65 B R54 R6 R5 R65 0,6 R4 R5 R6 Obwód ma teraz postać: i1 R1 A R46 i2 uAC R2 C R54 i3 R3 B R65 R4 R6 R46 1 R4 R5 R6 R5R4 R54 1,5 R4 R5 R6 O u AC R54i2 R46i1 u i1 R* i2 R** R* R1 R46 1 1 2 0 i3 R*** R** R2 R54 0,5 1,5 2 R*** R3 R65 1,4 0,6 2 u 6 i1 2A * 1 ** 2 1 R R 2 i2 i3 1A u AC R54i2 R46i1 u AC 1,5 1 1 2 3,5V u AC 3,5 i4 0,7 A R4 5 Twierdzenie Tellegena Jeżeli prądy gałęziowe i m spełniają PPK w każdym węźle grafu oraz napięcia gałęziowe u m spełniają NPK w każdej pętli grafu wówczas b u kik 0 k 1 ( b liczba wszystkich gałęzi grafu, sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach) OE1 2015 80 DOWÓD v n potencjał n-tego węzła u kl napięcia między węzłami k i l u kl v k vl ukl l k vk i kl vl i kl prąd płynący od węzła k do l OE1 2015 81 i kl u kl i kl (v k vl ) i kl v k i kl vl i kl v k i lk vl i lk i kl STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCE K-TE POTENCJAŁY b u kik k 1 i kj v k v k i kj j OE1 2015 j 82 b lgk uk ik vk ikj k 1 k 1 j 1 Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: k 1, CZYLI: lgk ikj 0 j 1 b u kik 0 k 1 OE1 2015 83 WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE1 2015 84 WNIOSEK 1 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 4 i1 1 4 u1 3 u2 ~i 1 2 i3 3 ~ u 4 2 i2 2 3 k k ~i ~ u u i 4 1 i2 3 4 ~ u i4 2 2 ~ u u ~ i 3 3 ~ u 3 0 u1i1 u2i2 u2i2 u2i2 0 k 1 4 u~k ~ ik 0 u~1~ i1 u~2 ~ i2 u~2 ~ i2 u~2 ~ i2 0 k 1 OE1 2015 85 WNIOSEK 2 Ilustracja twierdzenia Tellegena 1 1 1 4 i1 1 4 u1 ~ u i4 3 ~i ~i 1 ~ i2 3 4 1 u2 2 2 ~ u u i3 3 2 i2 2 2 ~ u ~ i 3 3 3 u 4 4 ~ u 3 u~k ik 0 u~1i1 u~2i2 u~2i2 u~2i2 0 k 1 4 uk ~ ik 0 u1~ i1 u2 ~ i2 u2 ~ i2 u2 ~ i2 0 k 1 OE1 2015 86 Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń działających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu pozostałych do zera). OE1 2015 87 Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej czyli rozwarciu jego zacisków: k j =0 j i i u u' kk' kk' k' OE1 2015 88 Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: k k u u=0 zi zi i'i ii k' k' OE1 2015 89 Przykład 1 (ogólny) u i j OE1 2015 90 u u=0 i' j=0 i" j i = i’ + i” OE1 2015 91 k m k m i 1 i 1 i a i jzi bi u zi OE1 2015 92 j R1 u z2 z1 i 1 R2 R2 1 i1 j z1 uz 2 R1 R2 R1 R2 a1 b1 Thev OE1 2015 93 Obliczanie prostych obwodów • Połączenie szeregowe oporników liniowych • Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Połączenie równoległe oporników liniowych. • Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) • Dzielnik prądu • Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem • Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE1 2015 94 Połączenie szeregowe oporników liniowych u u1 u2 ... un i i1 u1 R1 i u R u in un Rn i1 R1 i2 R2 in Rn iR1 iR2 iRn iR R R1 R2 ... Rn R OE1 2015 n R i i 1 95 Połączenie szeregowe oporników nieliniowych i i1 u u1 f1 i1 u1 i i2 u u2 u2 f 2 i2 • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE1 2015 u f i ? 96 Charakterystyki u-i oporników i1 ,i2 u1 f1 i1 5 u2 f 2 i2 1 -4 3 -1 OE1 2015 u1 ,u2 97 Dodawanie napięć (punkt i=-1) i1 ,i2 ,i 5 u 1 u1 1 u2 1 -5 Dla i=-1 -4 1 3 -1 OE1 2015 u1 ,u2 ,u 98 Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2) i1 ,i2 ,i 5 u2 u1 2 u2 2 4 2 u1 u1 1 u2 1 3.5 1 3 -1 OE1 2015 u1 ,u2 ,u 99 Charakterystyka wypadkowa u1 f1 i1 i1 ,i2 ,i 5 u f i 2 1 3 -1 u2 f 2 i2 u1 ,u2 ,u 3 OE1 2015 100 Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2015 101 Połączenie równoległe oporników liniowych i i1 u u1 i2 in u2 un R R 2 1 R n i u i i1 i2 ... in R u u u R R 2 1 R1 1 G R OE1 2015 u Rn n Gi i 1 102 Połączenie równoległe oporników nieliniowych i i1 u u1 i2 u2 i1 f1 u1 i u i2 • Zadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników f u nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. 2 2 i f u ? OE1 2015 103 Połączenie równoległe oporników nieliniowych: i1 ,i2 ,i i f u 14 i2 f u2 i1 f1 u1 12 10 iu A i1 u A i2 u A 8 6 i A 4 i2 A i1 A 2 0 0 1 2 3 uA OE1 2015 4 u1 ,u2 ,u 104 Podsumowanie • Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. • W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2015 105 Dzielnik prądu • Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: RR u i i i1 u R1 i2 R2 OE1 2015 1 2 R1 R2 R2 i1 i R1 R2 R1 i2 i R1 R2 106 Dzielnik napięcia 1 iu R1 R2 i u R1 R2 R1 u1 u R1 R2 1 R2 u2 u R1 R2 u2 OE1 2015 107 Potencjometr i 1 R R u 1 i X X 3 R POT R Y R u uY R 3 POT R uY Y 0 R 0 2 2 OE1 2015 108 1 i R u Problem: jak ustawić położenie suwaka, aby napięcie na dołączonym obciążeniu RO było k-krotnie mniejsze od napięcia zasilającego potencjometr? X 3 R POT R uY Y 2 R 0 u i RY RO RX RY RO RY RO RY RO uY i u RY RO RX RY RO RY RO OE1 2015 109 Z przyrównania zależności: RY RO uY u RX RY RO RY RO 1 uY u k Oraz po uwzględnieniu: RY RPOT R X otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na Rx. Można wykazać, że dla k=2 otrzymamy dwie wartości Rx: 1 1 2 2 RX RPOT RO RPOT 4 RO 2 2 1 1 2 2 RX RPOT RO RPOT 4 RO RPOT 2 2 OE1 2015 110 Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPK I I 1 R1 I 3 R3 2 u R2 u Z1 I 4 Z3 I 5 R4 u u 7 R6 I 6 I Liczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: Z5 i1 ,i2 ,i3 ,i4 , R8 i5 ,i6 ,u7 ,i8 Z7 I 8 OE1 2015 111 Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ? • Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych • Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu • Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: – Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli – Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną – Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 – UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi wewnętrznych) OE1 2015 112 n-1 (4) równań na podstawie PPK: I 1 R1 I 3 Z1 I u Z3 I 4 5 2 R4 u Z5 u I 7 R6 I i3 i5 i8 0 R3 2 R2 u 4 I 1 i1 i2 i3 0 Z7 I 6 3 R8 i6 iZ 7 i8 0 8 i1 i4 i6 0 OE1 2015 113 Równania napięciowe, pierwsza pętla: I 1 R1 u Z1 I I 3 R3 2 u R2 1 I 4 Z3 I 5 R4 i1 R1 i2 R2 i4 R4 uZ 1 0 u Z5 u 7 R6 I 6 I Z7 I R8 8 OE1 2015 114 Równania napięciowe, druga pętla: I I 1 R1 I R2 u Z1 I 4 Nowe gałęzie: 3,5 3 R3 2 u 2 Z3 I 5 R4 u Z5 i1 R1R i3 R3 uZ 3 uZ 5 i4 R4 uZ 1 0 u 7 6 I 6 I Z7 I R8 8 OE1 2015 115 Równania napięciowe, pętla trzecia: I I 1 R1 I Nowe gałęzie: 6,8 3 R3 2 u R2 u Z1 I Z3 I 4 3 5 R4 u Z5 u 7 R6 I 6 I Z7 I R8 i1 R1 i3 R3 uZ 3 i8 R8 i6 R6 uZ 1 0 8 OE1 2015 116 Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia: I I 1 R1 I R3 2 u R2 u Z1 I 4 Nowa gałąź: 7 3 Z3 I 5 R4 u i4 R4 u7 i6 R6 0 Z5 4 u 7 R6 I 6 I Z7 I R8 8 OE1 2015 117 Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem R1 u Z1 R1 5 , R2 10 , R2 R3 R3 5 , u Z2 u Z 1 5V ,u Z 2 10V • Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE1 2015 118 i1 1 i2 i1 R1 i2 R2 R1 R2 R3 u Z1 1 2 3 2 i3 R3 u 3 Z2 i3 i1 i2 i3 0 i1 i2 i3 0 i1 R1 i3 R3 uZ 1 0 5i1 5i3 5 10i 5i 10 3 i2 R2 uZ 2 i3 R3 0 2 OE1 2015 119 i1 i2 i3 0 5i1 5i3 5 10i 5i 10 2 3 i1 i2 i3 0 i1 i3 1 2i i 2 2 3 + i2 2i3 1 2i2 i3 2 2i2 4i3 2 2i2 i3 2 + 5i3 4 i3 0.8 A i2 2i3 1 0.6 A i1 i3 i2 0.2 A OE1 2015 120 PR3 i R3 0.64 5 3.2W 2 3 PW u z1i1 u z 2i2 5 0.2 10 0.6 7W PUŻ 3.2 0.457 PW 7 OE1 2015 121 Weryfikacja Twierdzenia Tellegena u1 i1 R1 i1 i2 R1 u Z1 u2 i2 R2 R2 u3 i3 R3 R3 b u Z2 u kik k 1 i3 u z1 i1 i1 R1 i1 u z 2 i2 i2 R2 i2 i3 R3 i3 5 0.2 0.2 50.2 10 0.6 0.6 10 0.6 0.8 50.8 0 OE1 2015 122 Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu A A ik ik uk uk u Obwód z wyodrębnioną AC k-tą gałęzią e C e B B OE1 2015 124 A A ik ik uk u AC uk e C e B B OE1 2015 125 A i k C uk • Jeśli e = uk uAC = 0 • Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk B OE1 2015 126 Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik: A A ik ik j uk j uk B B OE1 2015 127 A j= i k B • Jeśli j = ik ik-j+j j • Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2015 128 Włączanie i przenoszenie źródeł Twierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł u u Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. u u u ...... NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2015 130 Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2015 131 Przenoszenie źródeł (1) B B u BA B u u e u e A u e A A OE1 2015 132 Przenoszenie źródeł (2) A j j i B C j OE1 2015 133 A j j i B C j OE1 2015 134 Twierdzenie o kompensacji Rozpatrujemy obwód liniowy: i R OE1 2015 136 i' i i R u ' i' R R OE1 2015 137 Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym: i' i i i' R e' R OE1 2015 138 i" i e' i' R R R i' i i" i' i i Z SUPERPOZYCJI OE1 2015 i" i 139 PONIEWAŻ e' i' R iR iR i i iR iR e' i' R R OE1 2015 R R R 140 Twierdzenie Thevenina-Nortona A L i iZ M u B L M k 1 k 1 i a k e k b k jk G Z u i i Z G Z u OE1 2015 142 i i Z G Z u A i u iz Gz B OE1 2015 143 Wyznaczanie parametrów iZ, GZ Niech u=0, wówczas i=-iZ A iz u=0 B OE1 2015 144 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) L M i a k e k b k jk G Z u k 1 1 k i i Z G Zu G Zu 0 OE1 2015 145 A i u i GZ u B OE1 2015 146 A L uZ M i u B L M k 1 k 1 u a k e k b k jk R Zi u u Z R Zi OE1 2015 147 u u Z R Zi A uz u i Rz B OE1 2015 148 Wyznaczanie parametrów uZ, RZ Niech i=0, A u i=0 B OE1 2015 wówczas u=uZ 149 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) L M k 1 k 1 u a k e k b k jk R Zi u R Zi 0 OE1 2015 u RZ i 150 Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczych Jeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: u AB u Z RZ i AB i Z OE1 2015 151 A iR uz uR R V Rz B u ZR u R R RZ uR uZ uR iR Rz R R OE1 2015 152 Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona • Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu iZ i opornika RZ (GZ). • Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2015 153 Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina • Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia uZ i opornika RZ (GZ). • Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu • Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2015 154 Metoda potencjałów węzłowych Przykład 1 j6 1 R1 i i 1 2 v2 v1 R4 R2 3 2 R5 R3 i4 i3 OE1 2015 v3 i5 j7 156 Równania prądowe i1 i4 j6 0 1 j6 i2 i5 j6 j7 0 R1 i i 1 2 v2 v1 i1 i2 i3 0 R4 R2 3 2 R5 R3 i4 i3 OE1 2015 v3 i5 j7 157 Zależności gałęziowe u1 v1 v2 i1 R1 R1 1 j6 R1 i i 1 2 u2 v2 v3 i2 R2 R2 R2 3 2 u3 v2 iu3R u R 41 25 R R3 3 R3 v1 v3 u3 u4 v1 u5 v3 i 4 i4 u v i u4 v1 5 3 2 j7 iR 3 R4 4 u5 v3 i5u2 v2 v3 u1 v1 v2 R5 R5 v2 OE1 2015 158 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 1 i1 i4 j6 0 u1 v1 v2 i1 R1 R1 u4 v1 i4 R4 R4 v11 v12 v1 1 1.. v1 v j6 j6 2 R1 R42015 R1R1 R4 OE1 159 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 2 i1 i2 i3 0 u1 v1 v2 u3 v2 u2 v2 v3 i1 i2 i3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 1v1 v2 1 v2 1 v3 1 v2 1 22. . v1 v2 0 v3 0 R1 R1 R1 R22 R3 R 3 R2 OE1 2015 160 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 3 i2 i5 j6 j7 0 v2 v3 i2 R2 u5 v3 i5 R5 R5 v12 v3 1 v3 1 3. v2 j5 j7 j60 j7 v 3 RR5 R RR2 2 5 2 OE1 2015 161 j6 1 R1 i i2 1 Końcowy układ równań R2 3 2 R4 v1 v2 R5 R3 i4 i3 i5 j7 v3 1 1 1 1. v1 v2 j6 R1 R1 R4 2. 1 1 1 1 1 v1 v2 v3 0 R1 R2 R1 R2 R3 3. 1 1 1 v2 v3 j6 j7 R2 R2 R5 OE1 2015 162 Przykład 2 j6 1 R2 R1 i i 1 2 2 v2 R4 u3v v e 2 3 1 i4 3 u3 i3 R 5R ? e3 i3 OE1 2015 v3 i5 j7 163 Przykład 2 Równania v1 v2 v1 1 1 1 1. j6 1. v1 v2 j6 R1 R1 R4 R1 R4 v1 v2 v2 v3 2. i3 0 R1 R2 v2 v3 v3 3. j6 j7 0 R2 R5 1 1 1 1 2. v1 v2 v3 i3 0 R1 R2 R1 R2 1 1 1 3. v2 v3 j6 j7 R2 R2 R5 4. v2 e3 OE1 2015 164 Przykład 2 równania końcowe spr. j6 1 R1 i i2 1 R2 3 1 1 1 1. v1 v2 j6 R1 R1 R4 2 R4 v2 i 4 v1 1 1 1 1 2. v1 v2 v3 i3 0 R1 R2 R1 R2 R5 e3 i3 i5 j7 v3 1 1 1 3. v2 v3 j6 j7 R2 R2 R5 4. v3 e3 OE1 2015 165 Przykład 2 Równania uproszczone 1 1 1 1. v1 v2 j6 R4 R1 R4 1 1 1 2. v2 v3 j5 j7 R1 R2 R5 3. v3 e3 OE1 2015 166 Przykład 3 i6 1 e6 R1 i i 2 1 R2 3 2 2 v2 R5 R4 R3 v1 i4 i3 OE1 2015 v3 i5 j7 167 Przykład 3 Równania v1 v2 v1 1. i6 0 R1 R4 1 1 1 1. v1 v2 i6 0 R1 R1 R4 v1 v2 v2 v3 v2 2. 0 R1 R2 R3 1 1 1 1 1 2. v1 v2 v3 0 R1 R2 R1 R2 R3 v2 v3 v3 3. i6 j7 0 R2 R5 1 1 1 3. v2 v3 i6 j7 R2 R2 R5 4. v1 v3 e6 OE1 2015 168 Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3 1 1 1 1. v1 v2 i6 0 R4 R1 R4 + 1 1 1 3. v2 v3 i6 j7 R1 R2 R5 1 1 1 1 1 ~ 1 1 . v1 v2 v3 0 R1 R4 R4 R1 R2 R5 1 1 1 1 1 ~ 2. v1 v2 v3 0 R1 R2 R1 R2 R3 ~ 3 . v1 v3 e6 OE1 2015 169 Opis algorytmu 1. Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. 2. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. 3. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2 4. Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE1 2015 170 Zależności gałęziowe podsumowanie vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła un l k i vk n Rn vl OE1 2015 un vk vl vk vl in Rn 171 Zależności gałęziowe podsumowanie vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła vk vl napięcie między węzłami k i l un l in k vk Rn e vl vk vl e in Rn OE1 2015 172 Przykład 4 u3 1 j =g i R1 i1 11 3 4 i5 9 8 u Z9 i4 j10 R j =a u 6 i3 3 i i 7 u =b u 7 4 j R3 2 R4 2 R2 i2 i 12 R5 u 12 =di1 5 OE1 2015 173 Zasada wzajemności 1 2 1' 2' OE1 2015 175 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE 1 2 e i2 1' 2' 1 2 ^ i1 e 1' 2' OE1 2015 î1 i 2 176 Twierdzenie o wzajemności węzłowe 1 2 j u 1' 2 2' 1 2 ^ u 1 û1 u 2 j 1' 2' OE1 2015 177 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe 1 2 j i2 1' 2' 1 2 ^ u 1 1' i 2 û 1 e j e 2' OE1 2015 178 1 ua 1' ia ib 2 1 ^i a ^i b 2 ub ^ ua ^ ub 1' 2' 2' OE1 2015 179 Dowód m u î u î u k îk 0 k 1 m û i û i û k i k 0 k 1 DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: u k îk R k i k îk i k R k îk i k û k Czyli: m u î û i k 1 Skąd: m k k k 1 k k u î u î û i û i OE1 2015 180 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego u î u î û i û i i 1= ia 1 2 1 0 ub = 0 i 2= ib e=ua 1' 2' ^i = ^i b 2 1 ^ ua = 0 ^ ^ i =ia 0 2 eî1 ei 2 ^ ub= e 1 1' 2' OE1 2015 î1 i 2 181 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego u î u î û i û i ia = -j ia i b = i2 =0 1 0 2 j 0 ub= u2 1' ^ =i^ =0 ia 1 2' ^i = -j b 1 ^ =u ^ u a 1 2 u 2 û1 j 1' u 2 ( j) û1 ( j) 2' OE1 2015 182 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód ia 1 2 ia =-j ib= i 2 u î u î û i û i ub= 0 j 0 0 1' 2' ^i =0 a 0 û1 ( j) ei 2 2 1 ^=u ^ u a 1 1' ^= e u b 2' OE1 2015 i 2 û 1 e j 183
