Przekształcenia geometryczne - BEZ
advertisement
Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne SP płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P Własności: Jedynym punktem stałym symetrii środkowej jest jej środek. ▪ Na płaszczyźnie symetrie środkowe pokrywają się z obrotami o kąt półpełny, a także z jednokładnościami o skali równej -1. Symetria środkowa na płaszczyźnie jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w środku symetrii pod kątem prostym. ▪ W przestrzeni, symetria środkowa jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych, których płaszczyzny przechodzą przez środek symetrii i są wzajemnie prostopadłe. ▪ Każda symetria środkowa na płaszczyźnie jest izometrią parzystą, zaś w przestrzeni izometrią nieparzystą. ▪ Symetria środkowa jest inwolucją tzn. jest identyczna z odwzorowaniem odwrotnym do niej. Symetria osiowa - inaczej symetria względem prostej l jest to odwzorowanie geometryczne Sl płaszczyzny lub przestrzeni, które każdemu punktowi P swojej dziedziny przyporządkowuje punkt Q leżący na prostej prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt P. symetrii osiowej Sl są wszystkie punkty prostej l i tylko one. Dowolna symetria osiowa jest inwolucją, tzn. jest identyczna z odwzorowaniem do niej odwrotnym. Każda symetria osiowa jest izometrią nieparzystą na płaszczyźnie, zaś parzystą w przestrzeni. Na płaszczyźnie symetria osiowa jest jedyną nietożsamościową izometrią mającą dwa różne punkty stałe. Symetria osiowa Sl w przestrzeni jest złożeniem dwóch dowolnych symetrii płaszczyznowych SP i SQ takich, że płaszczyzny P i Q są prostopadłe i P ∩ Q = l Translacja, przesunięcie – izometria polegająca na równoległym przesunięciu figury, zbioru lub innego zwykle geometrycznego obiektu o pewien ustalony wektor na prostej, płaszczyźnie, w przestrzeni euklidesowej lub na dowolnej innej rozmaitości. Translacja nie zmienia kształtu figury ani żadnych wewnętrznych relacji pomiędzy jej elementami, natomiast zmienia położenie figury w stosunku do innych (nie podlegających translacji) figur. IZOMERIA: W geometrii, topologii i analizie matematycznej izometria jest odwzorowaniem, które nie zmienia odległości między punktami. Własności: Ogólne: ▪ Izometria jest przekształceniem różnowartościowym. Jeżeli jest też na zbiór Y, to jest bijekcją i ma odwzorowanie odwrotne, które również jest izometrią. ▪ Każda izometria jest odwzorowaniem ciągłym.▪ Złożenie izometrii jest znów izometrią – izometrie na tworzą podgrupę grupy wszystkich bijekcji danej przestrzeni metrycznej w siebie. Przestrzeń Euklidesowa: - Każda izometria na płaszczyźnie euklidesowej jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii. - Każda izometria przestrzeni euklidesowej, która jest przekształceniem liniowym jest też przekształceniem ortogonalnym. Przykłady : Każde przekształcenie identycznościowe: x → x przestrzeni metrycznej w siebie jest izometrią. W przestrzeni euklidesowej R2 przekształcenie określone wzorem (x, y) → (x, - y) jest izometrią. Każda translacja jest izometrią. W przestrzeni l1 wszystkich ciągów (xn) liczb rzeczywistych takich, że szereg liczbowy ∑ n |xn| jest zbieżny, określmy odległość między ciągami x = (xn) i y = (yn) wzorem: d(x, y) = ∑ n |xn - yn|. Przekształcenie tej przestrzeni w siebie określone wzorem: (x1, x2, x3, ...) → (0, x1, x2, x3, ...) jest izometrią. bez-nauki.pl - ściągi, opracowania, testy...
