Liczby pierwsze

Liczby pierwsze
Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.
Liczbą pierwszą nazywany każdą taką liczbę naturalną, która posiada dokładnie dwa
dzielniki naturalne, czyli jest podzielna wyłącznie przez 1 i samą siebie.
Wszystkie liczby naturalne większe od 1, które można przedstawić w postaci iloczynu
dwóch liczb całkowitych, z których każda jest większa od 1, czyli takie, które posiadają
więcej niż 2 dzielniki naturalne, to liczby złożone. Z definicji tych wynika, że liczby 0 oraz 1
nie są ani pierwsze, ani złożone. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy symbolem P.
Liczby pierwsze nazywane są cegłami całej arytmetyki. Zasada, zwana podstawowym
twierdzeniem arytmetyki, mówi o jednoznaczności rozkładu wszystkich liczb naturalnych
na czynniki pierwsze. Oznacza to, że każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci
iloczynu liczb pierwszych na dokładnie jeden sposób. Dla przykładu, 180 = 22 ∙ 32 ∙ 5 i
jest to jedyny możliwy rozkład tej liczby. Dowód podstawowego twierdzenia arytmetyki
przedstawiam poniżej:
Dowód. Dowód tego twierdzenia składa się z dwóch części. Najpierw udowodnimy, że
rozkład na czynniki pierwsze istnieje dla każdej liczby naturalnej, a następnie – że jest on
jednoznaczny.
1. Załóżmy, że a jest najmniejszą liczbą naturalną, dla której nie istnieje rozkład na czynniki
pierwsze. Wiemy, że a jest albo liczbą pierwszą, albo złożoną. Jeśli należy do zbioru tych
pierwszych, to sama jest swoim jedynym czynnikiem pierwszym, czyli rozkład istnieje.
Załóżmy więc, że a jest złożona. Z definicji liczb złożonych wynika, że w takim razie 𝑎 = 𝑥 ∙
𝑦, gdzie x i y są większe od 1 mniejsze od a. Jednak z założenia, że a jest najmniejszą liczbą
nie posiadającą rozkładu na czynniki pierwsze wynika, że x i y taki rozkład posiadać muszą.
W takim razie iloczyn ich rozkładów jest rozkładem liczby a. Uzyskujemy sprzeczność, z
której wynika, że rozkład na czynniki pierwsze istnieje dla każdej liczby naturalnej.
2. Weźmy teraz liczbę naturalną i załóżmy, że ma ona dwa różne rozkłady na czynniki
pierwsze. W jednym z nich występuje liczba pierwsza p. Oczywiście, przez p podzielny jest
wtedy również iloczyn drugiego rozkładu, a więc także jeden z jego czynników. Ponadto,
skoro jest on liczbą pierwszą, to wynosi p. Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla
każdej liczby z pierwszego rozkładu dochodzimy do wniosku, że oba rozkłady są takie same.
Wszystkie liczby naturalne możemy rozłożyć na czynniki pierwsze na dokładnie jeden
sposób.
Jednym z najczęściej zadawanych pytań dotyczących liczb pierwszych jest pytanie o
ich ilość. Tymczasem już w IV wieku przed naszą erą Euklides udowodnił, że liczb
pierwszych jest nieskończenie wiele. Oto dowód tego twierdzenia podobny do tego, jaki
przedstawił on w swoim dziele „Elementy”:
Dowód. Załóżmy, że zbiór liczb pierwszych jest skończony. Oznaczmy wszystkie należące
do niego elementy jako 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 , … , 𝑝𝑛 .
Rozpatrzmy liczbę:
𝑞 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ 𝑝3 ∙ … ∙ 𝑝𝑛 + 1.
Jeśli liczba q jest pierwsza, podany wcześniej zbiór liczb pierwszych nie jest wyczerpujący,
bowiem q jest większa od każdej z liczb 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 . Jeśli natomiast q jest złożona, to któraś
z liczb 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑛 musi być jej dzielnikiem (zakładamy, że innych liczb pierwszych nie ma).
Jednak liczba ta jest także dzielnikiem liczby 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ … ∙ 𝑝𝑛 i w konsekwencji także liczby
𝑞 − 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ … ∙ 𝑝𝑛 = 1, a nie istnieje liczba pierwsza będąca dzielnikiem jedynki. Uzyskana
sprzeczność dowodzi, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.
Istnieje bardzo wiele nierozstrzygniętych problemów dotyczących liczb pierwszych.
Najważniejszym z nich jest znalezienie reguły (lub uzasadnienie jej braku) w rozmieszczeniu
liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. Wydaje się ono bowiem całkowicie
chaotyczne. Jak dotąd umiemy jedynie, w pewnym przybliżeniu, określić, ile liczb
pierwszych znajduje się w danym przedziale liczb. Carl Friedrich Gauss zdefiniował funkcję,
którą nazwał 𝝅(𝒙). Wyznacza ona ilość liczb pierwszych mniejszych lub równych danej
liczbie x. Wypiszmy teraz w tabeli liczby x będące potęgami dziesiątki. zaczynając od 10, a
kończąc na 1000 000 000. W kolejnych kolumnach podamy: wartość 𝜋(x),
x
𝜋(x)
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
4
25
168
1229
9592
78498
664579
5761455
50847534
𝜋(x)
𝑥
𝜋(x)
𝑥
0,4
0,25
0,168
0,1299
0,0959
0,0784
0,0664
0,0576
0,0508
𝑥
oraz 𝜋(x).
𝑥
𝜋(x)
2,5
4
6
8,1
10,4
12,7
15
17,4
19,7
Z drugiej kolumny tej tabeli odczytać możemy, ile jest liczb pierwszych w poszczególnych
przedziałach od 1 do x. Wiemy na przykład, że dla każdego x funkcja 𝜋(x) przyjmuje
𝑥
wartość większą niż √𝑥, ale mniejszą niż 2. Z trzeciej kolumny możemy na przykład
odczytać, mnożąc podaną wartość przez 100, jaki, w przybliżeniu, procent stanowią liczby
pierwsze w odpowiednim przedziale. Najciekawsza jest jednak kolumna czwarta – tutaj, w
kolejnych wierszach, liczby rosną za każdym razem o około 2. Dziesięciokrotny wzrost
𝑥
zakresu badanych liczb powoduje wzrost wartości wyrażenia 𝜋(x) o mniej więcej 2. Jest to
zależność logarytmu naturalnego. Teraz wyjaśnię zwięźle, czym jest logarytm.
Logarytmem o podstawie a z liczby b nazwiemy taką liczbę c, że 𝒂𝒄 = 𝒃.
Zapisujemy to jako log 𝑎 𝑏 = 𝑐. Dla przykładu, dla 𝑎 = 3 oraz 𝑏 = 81 mamy: log 3 81 = 4,
ponieważ 34 = 81. Logarytmem naturalnym nazywamy każdy logarytm o podstawie równej
stałej e (𝑒~2,71828). Zgodnie z notacją oznaczamy go jako ln.
Teraz mogę wyjaśnić szerzej spostrzeżenie Gaussa. Na podstawie powyższej tabeli
określił on wzór będący oszacowaniem częstości występowania liczb pierwszych w zbiorze
liczb naturalnych. Wzór ten ma postać:
𝝅(𝐱)
𝟏
~
𝒙
𝒍𝒏𝒙
Wielka zaleta tego wzoru polega na tym, że jest on tym bardziej dokładny, im większe jest x.
Pozwala więc bardzo dokładnie oszacować ilość liczb pierwszych w przedziałach dużych
liczb. Dla przykładu, oszacujmy za jego pomocą ilości liczb pierwszych w zakresie 11000000000000, czyli obliczmy wartość 𝜋(x) dla 𝑥 = 1000000000000.
Stosując przedstawiony wyżej wzór mamy:
𝜋(x)
1000000000000
~
1
𝑙𝑛1000000000000
.
Korzystając z proporcji dostajemy:
1000000000000
𝜋(x) ∙ 𝑙𝑛1000000000000 ~ 1000000000000 , czyli 𝜋(x) ~ 𝑙𝑛1000000000000.
1000000000000
Ponieważ 𝑙𝑛1000000000000 ~ 36191206825, w przedziale od 1 do 1000000000000 znajduje
się około 36191206825 liczb pierwszych, co stanowi zaledwie 3,619 % wszystkich liczb.
Jedyną, całkowicie pewną, znaną dotąd metodą wyznaczania wszystkich liczb
pierwszych mniejszych od danej liczby n oraz sprawdzania pierwszości dowolnej liczby
naturalnej jest pracochłonny sposób sita Eratostenesa. Metoda ta polega na wypisaniu
kolejno wszystkich liczb naturalnych od 1 do n i skreślaniu tych, które podzielne są przez
którąkolwiek liczbę pierwszą mniejszą lub równą √𝑛 i dają z nią iloraz większy od 1. Liczby,
które nie zostaną skreślone, są pierwsze. Sprawdźmy na przykład, czy liczba 179 jest
pierwsza. Ponieważ 13 < √179 < 14, musimy sprawdzić, czy liczba 179 dzieli się przez
którąś z liczb pierwszych znajdujących się w przedziale 1-13, czyli 2,3,5,7,11 lub 13.
Sprawdzając po kolei wszystkie możliwości stwierdzamy, że 179 nie jest podzielne przez
żadną z tych liczb. Zatem jest to liczba pierwsza.
Inny, dość użyteczny sposób sprawdzania pierwszości liczb jest związany z Małym
Twierdzeniem Fermata. Aby przedstawić jego treść, niezbędne będzie wprowadzenie
pojęcia liczb względnie pierwszych.
Liczby 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 możemy nazwać względnie pierwszymi, gdy ich największy
wspólny dzielnik wynosi 1.
Inaczej mówiąc, liczby względnie pierwsze to takie liczby 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 , dla których
𝑵𝑾𝑫(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … , 𝑎𝑛 ) = 1.
Teraz można przedstawić treść twierdzenia:
Jeśli p jest liczbą pierwszą, natomiast a dowolną liczbą naturalną względnie
pierwszą z p, to liczba 𝒂𝒑−𝟏 − 𝟏 jest podzielna przez p.
Z faktu tego bezpośrednio wynika, że wówczas p dzieli również liczbę 𝑎𝑝 − 𝑎 (dla tych
wartości a i p nie muszą być już względnie pierwsze). Przykładowo, dla 𝑝 = 5 oraz 𝑎 = 6
mamy:
𝑎𝑝 − 𝑎 = 65 − 6 = 7770, a liczba 7770 jest podzielna przez 5, czyli przez p.
Teraz przedstawię dowód tego twierdzenia:
Dowód. Rozpatrzmy koła, z których każde podzielone jest na p segmentów. Malujemy je,
mając do dyspozycji maksymalnie a kolorów. Jeśli pomalowania kół takie, że drugie powstaje
poprzez obrób pierwszego, a wyglądają one inaczej, liczymy jako inne, to wszystkich różnych
pokolorowań mamy 𝑎𝑝 .
Rozpatrzmy teraz drugi przypadek. Potraktujmy teraz pokolorowania powstałe poprzez obrót
innych jako takie same, co one. Zauważmy, że w obu przypadkach koła jednokolorowe,
których ilość wynosi oczywiście a, liczymy tylko raz. Natomiast wszystkich kół
wielokolorowych jest w drugim przypadku p razy mniej (wszystkie z nich mają p segmentów,
a obrót o każdy jeden segment daje inny obrazek). Liczba różnych kół wielokolorowych
uzyskanych w pierwszym przypadku jest równa 𝑎𝑝 − 𝑎 (mamy a jednokolorowych). W takim
razie w drugim przypadku jest ich
𝑎𝑝 −𝑎
𝑝
, a ich ilość jest oczywiście liczbą całkowitą. Z tego
wynika, że liczba 𝑎𝑝 − 𝑎 jest podzielna przez p, czyli treść twierdzenia.
Teraz zobaczmy, jak za pomocą tego twierdzenia możemy sprawdzać, czy dana liczba
jest pierwsza.
Przyjmijmy dla przykładu, że 𝑝 = 10 oraz 𝑎 = 3.
Wówczas liczba 𝑎𝑝 − 𝑎 = 310 − 3 = 59046 nie jest podzielna przez p (czyli 10), tak więc
liczba 10 nie jest pierwsza.
Duża użyteczność tej metody polega na tym, że może być ona dość wygodna stosowana
nawet dla dużych liczb, bez potrzeby wykonywania wielu obliczeń. Nie jest ona jednak
idealna. Podzielność twierdzenia może być spełniona bowiem także wtedy, gdy p nie jest
liczbą pierwszą. Weźmy dla przykładu 𝑝 = 6 oraz 𝑎 = 7. Wówczas 𝑎𝑝 − 𝑎 = 76 − 7 =
117642 i jest podzielna przez 6, mimo, iż 6 jest liczbą złożoną. W rzeczywistości więc
metoda ta pozwala wyszukiwać ze stu procentową pewnością jedynie liczby złożone (gdy
podzielność nie jest spełniona). Gdy natomiast podzielność dana w twierdzeniu zachodzi,
nie możemy być pewni, czy na pewno mamy do czynienia z liczbą pierwszą.
Zadziwiający jest fakt, iż, choć liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, istnieją też
dowolnie wielkie ciągi kolejnych liczb naturalnych, spośród których żadna nie jest
pierwsza. Bowiem dla dowolnej liczby naturalnej n można wskazać ciąg n kolejnych liczb
naturalnych, z których każda jest złożona. Aby udowodnić to twierdzenie, posłużyć się należy
pojęciem silni.
Silne liczby n definiujemy jako iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n.
Zapisujemy to jako 𝒏! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ … ∙ 𝒏. Przykładowo, 𝟓! = 𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟒 ∙ 𝟓 = 𝟏𝟐𝟎.
Teraz można już udowodnić powyższe twierdzenie.
Dowód. Rozpatrzmy liczby:
(𝑛 + 1)! + 2,
(𝑛 + 1)! + 3,
(𝑛 + 1)! + 4, …,
(𝑛 + 1)! + (𝑛 + 1).
Zauważmy teraz, że wypisane powyżej liczby to kolejne liczby naturalne oraz: (𝑛 + 1)! + 2
jest podzielne przez 2, (𝑛 + 1)! + 3 jest podzielne przez 3, …, (𝑛 + 1)! + 𝑛 jest podzielne
przez n, (𝑛 + 1)! + (𝑛 + 1) jest podzielne przez n+1. Ponieważ liczba (𝑛 + 1)! jest na pewno
większa od 0 (n jest liczbą naturalną), więc każda z wymienionych liczb jest większa od tej,
przez którą z całą pewnością jest podzielna. Wynika z tego, iż znaleźliśmy ciąg n kolejnych
liczb naturalnych, z których żadna nie jest pierwsza.
Innymi nierozwiązanym do dziś zagadnieniami dotyczącym liczb pierwszych są
między innymi:
*hipoteza Goldbacha, stawiająca pytanie: czy każda liczba parzysta większa od 2 może
zostać przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych? Jak dotąd wiadomo, że jest ona
prawdziwa dla wszystkich liczb mniejszych niż 2 biliony.
*problem bliźniaczych liczb pierwszych. Polega on na zbadaniu, czy istniej nieskończenie
wiele takich liczb pierwszych p, że liczba 𝑝 + 2 także jest pierwsza (bliźniacze liczby
pierwsze to właśnie para liczb pierwszych różniących się o 2).
*hipoteza nieskończonej ilości liczb pierwszych postaci 𝒏𝟐 + 𝟏, gdzie n należy do zbioru
liczb całkowitych. Problem polega na zbadaniu jej prawdziwości.
Powyższe teoretyczne rozważania zakończę kilkoma wskazówkami dotyczącymi
rozwiązywania zadań związanymi z liczbami pierwszymi. W wielu zadaniach, w których
znaleźć należy wszystkie liczby pierwsze spełniające dany warunek, przewodnim krokiem
jest rozłożenie liczby pierwszej na iloczyn dwóch liczb. Czasami okazuje się to jedyną
trudnością zadania. Zawsze warto szukać takiego rozkładu, przedstawionego chociażby za
pomocą dwóch innych niewiadomych. Wiemy wtedy bowiem, że jeden z jego czynników
musi wynosić jeden, dzięki czemu obliczyć możemy wartość niewiadomej.
Bardzo często również kluczowe okazuje się spostrzeżenie, że jedna z poszukiwanych liczb
pierwszych jest parzysta, podzielna przez 3 itd. Daje nam to pewność, że jest ona równa 2,
3 lub, w przypadkach innych podzielności, innej liczbie. Równe przydatne okazuje się
nierzadko spostrzeżenie, że iloczyn dwóch liczb pierwszych 𝒑𝒒 można rozłożyć na dwa
czynniki na jedynie dwa sposoby – jako 1∙ 𝒑𝒒 𝒍𝒖𝒃 𝒑 ∙ 𝒒.
W rozwiązywaniu zadań dotyczących liczb pierwszych niewątpliwie ważne jest
doświadczenie. Musimy rozwiązać wiele zadań, aby nie mieć problemu z określeniem,
jakiego narzędzia należy użyć w konkretnym przypadku.
Na zakończenie podaję kilka przykładów związanych z liczbami pierwszymi.
Przykład 1.
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których 𝑝 + 36 jest kwadratem liczby naturalnej.
Rozwiązanie.
Daną w treści zadania równość zapisujemy jako: 𝑝 + 36 = 𝑛2 . Przekształcając:
𝑝 = 𝑛2 − 36
𝑝 = (𝑛 − 6)(𝑛 + 6)
Ponieważ p jest liczbą pierwszą, jeden ze składników powyższego iloczynu wynosi 1. Skoro n
jest liczbą naturalną, to 1 = 𝑛 − 6. Stąd wynika, że 𝑛 = 7, czyli 𝑝 = 13. Jedyną liczbą
spełniającą warunki zadania jest liczba 𝒑 = 𝟏𝟑.
Przykład 2.
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, dla których 𝑝 + 216 jest sześcianem liczby naturalnej.
Rozwiązanie.
Daną w treści zadania równość zapisujemy jako: 𝑝 + 216 = 𝑛3 . Przekształcając:
𝑝 = 𝑛3 − 216. Ze wzoru 𝑎3 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 ) mamy:
𝑝 = (𝑛 − 6)(𝑛2 + 6𝑛 + 36)
Ponieważ p jest liczbą pierwszą, jeden ze składników powyższego iloczynu wynosi 1. Skoro n
jest liczbą naturalną, to 1 = 𝑛 − 6. Stąd wynika, że 𝑛 = 7, czyli 𝑝 = 127. Jedyną liczbą
spełniającą warunki zadania jest liczba 𝒑 = 𝟏𝟐𝟕.
Przykład 3.
Za pomocą sita Eratostenesa sprawdź, czy liczba 247 jest pierwsza.
Rozwiązanie.
Zauważmy, że 15 < √247 < 16. Musimy więc sprawdzić, czy liczba 247 jest podzielna
przez którąkolwiek liczbę pierwszą z przedziału 1 − 15. Wykonując obliczenia stwierdzamy,
że 247 nie dzieli się przez 2,3,5,7ani 11. Okazuje się natomiast, że jest to liczba podzielna
przez 13. W takim razie, zgodnie z definicją liczb pierwszych, 247 nie jest liczbą pierwszą.