Elementy logiki i teorii mnogości II sprawdzian – 28 I 2013

Elementy logiki i teorii mnogości
II sprawdzian – 28 I 2013
Proszę zapisać swoje imię, nazwisko i numer indeksu na górze każdej kartki.
Pod koniec pracy proszę dopisać liczbę zapisanych kartek.
Zadanie 1. a) Sprawdź, czy następująca równość/inkluzja jest prawem rachunku zbiorów:
(1) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),
(2) A ∪ (∼ B ∩ C) ⊆ (A∪ ∼ B) ∩ C.
Jeśli jest, udowodnij za pomocą rachunku zdań (można używać poznanych praw rachunku
zdań). Jeśli nie, podaj odpowiedni przykład (bez uzasadnienia).
b) Ile wynosi A ∪ (∼ B ∩ C), gdy:
• A = zbiór trójkątów równobocznych, B = zbiór trójkątów nierównoramiennych,
C = zbiór trójkątów prostokątnych (zbiory w przestrzeni wszystkich trójkątów;
wynik opisz słownie, bez uzasadnienia);
• A = [0, 1], B = (2, +∞), C = [2, +∞) (zbiory w R; wynik narysuj na osi, bez
uzasadnienia).
Zadanie 2. Rozważmy relację na płaszczyźnie R2 : (x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 ) ⇔ x1 −y1 = x2 −y2 .
(1) Sprawdź, że jest to relacja równoważności.
(2) Podaj trzy punkty, które są ze sobą w relacji (każdy z każdym) i trzy, które nie
są w relacji (tzn. żadne dwa z nich nie są w relacji); bez uzasadnienia.
(3) Narysuj [(0, 1)]∼ .
Zadanie 3. Rozważmy relację inkluzji „⊆” na niepustych pozbiorach zbioru liczb rzeczywistych X = 2R \ {0} (a więc elementami są zbiory i mogą być w relacji A ⊆ B).
(1) Sprawdź, że jest to relacja częściowego porządku.
(2) Podaj, jeśli istnieją, element najmniejszy i największy, przykłady elementów maksymalnych i minimalnych oraz przykład trójelementowego łańcucha (bez uzasadnienia).
(3) Narysuj diagram Hassego relacji, jeśli zawęzimy ją do zbioru X ′ = {{0}, {1}, {2},
(0, 1], [0, 1], {1, 2}, [1, 2]}.
Zadanie 4. Rozważmy funkcje
2
f : R \ {−1} → R \ {0}, f (x)
=
,
x+1
2 g : R \ {−1} → R, g(x) = x+1 ,
h : R \ {0} → R, h(x) = x2 − 3x.
(1) Czy istnieją złożenia f · f , f · h, h · f , h · g? (bez uzasadnienia). Oblicz jedno ze
złożeń (z tych, które istnieją!)
(2) Oblicz f −1 (4), odczytaj z wykresu f ((0, 1]).
(3) Sprawdź, że f jest bijekcją, a g nie jest różnowartościowa ani „na”. Oblicz f −1 .
Powodzenia!