Dekompozycje prostej rzeczywistej

Dekompozycje prostej rzeczywistej
Michał Czapek
[email protected] · www.czapek.pl
26 X
AD
MMXV
Streszczenie
Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami
zbiorów pierwszej kategorii i zbiorów miary zero. Okazuje się, że zbiór liczb
rzeczywistych można rozbić na dwa komplementarne zbiory, po jednym
z każdej z tych klas (patrz punkt 4.). Fakt, że każdy z tych zbiorów należy
do jednej i tylko jednej z omawianych klas świadczy o tym, że żadna z nich
nie zawiera drugiej oraz o możliwości dekompozycji „dużego” zbioru na
dwa zbiory, metrycznie lub topologicznie, „małe”.
Praca bazuje na pojęciach i twierdzeniach wprowadzonych w [1] dlatego
przed lekturą polecamy zapoznać się z tym artykułem.
1
Liczby wymierne i niewymierne
Pierwszym krokiem będzie analiza dekompozycji prostej na liczby wymierne
i niewymierne.
Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym oraz gęstym. Jako zbiór
liczb przeliczalnych jest zbiorem pierwszej kategorii i zbiorem miary zero.
Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty jako dopełnienie zbioru pierwszej kategorii (twierdzenie Baire’a). Z uwagi na fakt że prosta rzeczywista jest zbiorem
nieprzeliczalnym, drugiej kategorii i nie jest miary zero, zbiór liczb niewymiernych również musi posiadać te cechy.
Innymi słowy zbiory liczb wymiernych i niewymiernych dzielą prostą rzeczywistą zgodnie z danymi zawartymi w tabeli 1., czyli na dwa zbiory gęste.1
1 Nie istnieje zatem przedział złożony tylko z liczb wymiernych lub tylko z liczb niewymiernych; stąd funkcja Dirichleta
1Q (x) =
n
jeśli x ∈ Q
jeśli x ∈
/Q
1
0
(1)
dla x ∈ R jest w każdym punkcie nieciągła. W rzeczy samej, załóżmy bowiem nie wprost, że
funkcja Dirichleta jest ciągła w jakimś ustalonym punkcie a ∈ R. Ustalmy ε = 1. Istnieje zatem
δ > 0 takie, że dla każdego x ∈ (a − δ, a + δ) zachodzi |1Q (x) − 1Q (a)| < ε = 1. Jeśli a ∈ Q to
1
Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb wymiernych
Zbiór liczb niewymiernych
Moc
c
ℵ0
c
Gęstość
gęsty
gęsty
gęsty
Kategoria
II
I
II
Miara
—
0
—
Tabela 1: Dekompozycja prostej na liczby wymierne i niewymierne.
Rozbiliśmy prostą rzeczywistą na dwa zbiory: jeden zbiór pierwszej kategorii
i miary zero, drugi będący zbiorem drugiej kategorii i nie będący zbiorem miary
zero. Dekompozycja prostej w taki sposób nie niesie za sobą niczego pozornie
paradoksalnego dopóki jeden ze zbiorów jest w każdym badanym sensie (miary
i kategorii) zbiorem „mniejszym” od drugiego.
2
Liczby algebraiczne i przestępne
Liczbę rzeczywistą x nazywamy algebraiczną gdy spełnia równanie
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn = 0
(5)
ze współczynnikami całkowitymi takimi, że przynajmniej jeden z nich jest różny
od zera. Stopniem liczby algebraicznej x nazywamy najmniejszą liczbę naturalną
n dla której x spełnia równanie (5) stopnia n.
Dowolna liczba wymierna p/q jest liczbą algebraiczną stopnia pierwszego
jako pierwiastek wielomianu f (x) = qx − p. Liczbami algebraicznymi są również
1Q (a) = 1 oraz z gęstości zbioru liczb niewymiernych istnieje w przedziale (a − δ, a + δ) liczba
niewymierna x przy której 1Q (x) = 0. Stąd musiałaby zachodzić nierówność |0 − 1| < ε = 1,
q.e.a. Dla a ∈
/ Q dowód jest analogiczny (wykorzystuje gęstość zbioru liczb wymiernych).
Warto zauważyć ponadto, że funckję Dirichleta można zapisać w innej formie, mianowicie
1Q (x) = lim
lim cos2n (m!πx).
(2)
m→∞ n→∞
W rzeczy samej, ustalmy dowolnie n, m ∈ N. Ponieważ cos2n (πx) ∈ [0, 1) dla wszystkich
x ∈ R\Z oraz cos2n (πx) = 1 dla wszystkich x ∈ Z, przeto dla ustalonego x ∈ R funkcja
1Z (x) = lim cos2n (πx) =
n→∞
n
1
0
jeśli x ∈ Z
.
jeśli x ∈
/Z
(3)
Wystarczy pokazać, że dla dowolnego x ∈ R
lim 1Z (m!x) = 1Q (x).
(4)
m→∞
Liczba m!x jest niewymierna (stąd tym bardziej m!x ∈
/ Z) dla wszystkich niewymiernych
liczb x jako iloczyn liczby wymiernej i niewymiernej. Ponadto dla dowolnie ustalonej liczby
wymiernej x = p/q liczba m!x jest całkowita dla prawie wszystkich m (tj. dla m > q z uwagi
na wyrażenie 1 · 2 · . . . · q · . . . · m · pq ). Podsumowując, dla m ∈ N od pewnego miejsca począwszy,
jeśli
x ∈ Q, to m!x ∈ Z zatem z uwagi na (3) 1Z (m!x) = 1
oraz jeśli
x∈
/ Q,
to
m!x ∈
/Z
zatem z uwagi na (3)
1Z (m!x) = 0
co dowodzi równości (2).
© Michał Czapek
2
Wszelkie prawa zastrzeżone
√
2
2
pewne√ liczby niewymierne: 2 jako pierwiastek wielomianu f (x)
√ = x
√ − 2,
2
(1 + 5)/2 jako pierwiastek wielomianu f (x) = x − x − 1, 2 + 3 jako
pierwiastek wielomianu f (x) = (x2 − 5)2 − 24 itp.
Zbiór liczb
Istotnie, dla dowolnego wielomiaPn algebraicznych jest przeliczalny.
Pn
nu f (x) = i=0 ai xi istnieje liczba n+ i=0 |ai | nazywana wagą tego wielomianu. Każdy wielomian nie będący funkcją stałą ma wagę przynajmniej równą 2.
Istnieje tylko skończona liczba wielomianów danej wagi. Uporządkujmy wszystkie wielomiany w następujący sposób: najpierw porządkujemy je ze względu na
n, później ze względu na a0 itd. Otrzymujemy ciąg f1 , f2 , f3 , . . . w którym każdy
wielomian stopnia pierwszego, drugiego itd. występuje jeden i tylko jeden raz.
Każdy z wielomianów ma co najwyżej skończoną liczbę pierwiastków. Ustawmy w ciąg wszystkie pierwiastki wielomianu f1 , następnie wszystkie pierwiastki
wielomianu f2 (pomijając pierwiastki, które są już w ciągu) itd. W ten sposób zbudowaliśmy przeliczalny ciąg zawierający wszystkie liczby algebraiczne,
c.b.d.o.
Zbiór liczb algebraicznych jako przeliczalny jest zbiorem pierwszej kategorii
i zbiorem miary zero; jako nadzbiór zbioru liczb wymiernych jest gęsty.
Liczbę rzeczywistą nazywamy przestępną gdy nie jest to liczba algebraiczna.
Zbiór liczb przestępnych jest zbiorem gęstym jako dopełnienie zbioru pierwszej kategorii (twierdzenie Baire’a). Ponieważ prosta rzeczywista jest zbiorem
nieprzeliczalnym, drugiej kategorii i nie jest miary zero, przeto zbiór liczb przestępnych również musi posiadać te cechy.
Innymi słowy zbiory liczb algebraicznych i przestępnych dzielą prostą rzeczywistą zgodnie z danymi zawartymi w tabeli 2., czyli na dwa zbiory gęste.3
Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb algebraicznych
Zbiór liczb przestępnych
Moc
c
ℵ0
c
Gęstość
gęsty
gęsty
gęsty
Kategoria
II
I
II
Miara
—
0
—
Tabela 2: Dekompozycja prostej na liczby algebraiczne i przestępne.
Ponownie rozbiliśmy prostą rzeczywistą na dwa zbiory: jeden zbiór pierwszej kategorii i miary zero, drugi będący zbiorem drugiej kategorii i nie będący
zbiorem miary zero. Dekompozycja prostej w taki sposób ponownie nie niesie za
sobą niczego pozornie paradoksalnego dopóki jeden ze zbiorów jest w każdym
badanym sensie (miary i kategorii) zbiorem „mniejszym” od drugiego. Rozszerzenie zbioru liczb wymiernych na liczby algebraiczne nie zmieniło cech naszej
dekompozycji dopóki klasa bardziej ogólna jest klasą przeliczalną.
2 Dowolna liczba √
n
m przy naturalnych n, m jako pierwiastek wielomianu f (x) = xn − m
jest liczbą algebraiczną.
3 Nie istnieje zatem przedział złożony tylko z liczb algebraicznych lub tylko z liczb przestępnych.
© Michał Czapek
3
Wszelkie prawa zastrzeżone
3
Liczby Liouville’a
Liczbę niewymierną z nazywamy liczbą Liouville’a gdy dla każdej liczby
naturalnej n istnieją całkowite p, q (q > 1) takie, że
1
p z − < n .
q
q
P∞
Przykładem liczby Liouville’a jest każda liczba z = i=1 ci /10i! gdzie ci są
dowolnymi liczbami ze zbioru
Pn {1, 2,i! . . . , 9}. Istotnie, ponieważ dla każdego
n suma częściowa sn =
i=1 ci /10 jest liczbą wymierną postaci p/q gdzie
q = 10n! , przeto
!
∞
∞
∞
X
X
X
ci
9
1
9
p ¬
< (n+1)! 1 +
=
z − =
q
10i!
10i!
10i
10
i=n+1
i=n+1
i=1
10
1
1
10
= n!n n! ¬ n!n = n .
10 10
10
q
10(n+1)!
P∞
W szczególności liczba i=0 1/10i! = 0, 1100010000000000000000010 . . . której
rozwinięcie dziesiętne ma liczbę 1 na każdym n! miejscu po przecinku (przy
n = 1, 2, 3, . . .) oraz 0 poza tym, jest liczbą Liouville’a.
=
Lemat 1. Dla każdej liczby algebraicznej z stopnia n > 1 istnieje liczba naturalna M taka, że
1
p z − >
q
M qn
dla wszystkich liczb całkowitych p, q (q > 0).
Dowód. Niech f będzie takim wielomianem stopnia n dla którego liczba z jest
pierwiastkiem. Niech M będzie taką liczbą naturalną że |f 0 (x)| ¬ M jeżeli
tylko |z − x| ¬ 1. Wówczas z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej istnieje
pomiędzy liczbami z i x taka liczba y, że
|f (x)| = |f (z) − f (x)| = |f 0 (y)||z − x| ¬ M |z − x|,
(6)
jeżeli tylko |z − x| ¬ 1. Weźmy dwie dowolne liczby całkowite p, q (q > 0). Jeżeli
|z − p/q| > 1, to teza jest oczywiście spełniona, bo liczby M oraz q n są liczbami
naturalnymi. Niech |z − p/q| ¬ 1. Z (6) wynika że |f (p/q)| ¬ M |z − p/q|. Stąd
|q n f (p/q)| ¬ M q n |z − p/q|.
(7)
Równanie f (x) = 0 nie ma rozwiązań wymiernych (w przeciwnym razie z byłaby
liczbą algebraiczną niższego stopnia niż n). Ponadto q n f (p/q) jest liczbą całkowitą. Stąd lewa strona (7) jest przynajmniej równa 1, zatem |z − p/q| ­ 1/M q n .
Równość nie zachodzi ponieważ z jest liczbą niewymierną.
Twierdzenie 2. Każda liczba Liouville’a jest liczbą przestępną.
© Michał Czapek
4
Wszelkie prawa zastrzeżone
Dowód. Załóżmy że istnieje liczba Liouville’a z będąca liczbą algebraiczną stopnia n (n > 1 gdyż z jest niewymierne). Na mocy lematu 1. istnieje takie M , że
p 1
(8)
z − >
q
M qn
dla wszystkich liczb całkowitych p, q (q > 0). Weźmy liczbę naturalną k taką, że
2k ­ 2n M . z jest liczbą Liouville’a, przeto istnieją liczby całkowite p, q (q > 1)
dla których
p 1
(9)
z − < k .
q
q
Nierówności (8) i (9) pociągają nierówność 1/q k > 1/M q n . Stąd
M > q k−n ­ 2k−n ­ M.
Otrzymana sprzeczność dowodzi prawdziwości twierdzenia.
Niech L będzie zbiorem liczb Liouville’a. Definicja liczby Liouville’a pociąga
za sobą równość
∞
\
L = QC ∩
Gn
(10)
n=1
gdzie dla każdego n naturalnego
Gn =
∞
∞
[
[
!
p
1 p
1
− n, + n .
q
q
q
q
q=2 p=−∞
L jest zbiorem gęstym. Istotnie, ustalmy dowolnie liczbę naturalną n. Gn
zawiera każdą z liczb postaci p/q gdzie q ­ 2, stąd Gn ⊃ Q. Gn jest ponadto
zbiorem otwartym bo jest sumą zbiorów otwartych. Jako zbiór otwarty i gęsty
posiada nigdzie gęste dopełnienie (Gn )C . Na mocy (10)
LC = Q ∪
∞
[
(Gn )C ,
n=1
czyli LC jest zbiorem pierwszej kategorii. Z uwagi na twierdzenie Baire’a zbiór
L jest zbiorem gęstym.4 Zbiór liczb Liouville’a jest drugiej kategorii gdyż L =
R\LC , gdzie przestrzeń R, jako zupełna, jest drugiej kategorii. Stąd L jest również nieprzeliczalny; gdyby był przeliczalny to jako przeliczalna suma zbiorów
jednopunktowych (liczb, a więc zbiorów nigdzie gęstych) byłby zbiorem pierwszej kategorii. L jest miary zero. W samej rzeczy, na mocy (10) L ⊂ Gn dla
każdego n. Stąd dla dowolnych liczb naturalnych m, n
!
mq
∞
[
[
p
1 p
1
L ∩ (−m, m) ⊂ Gn ∩ (−m, m) ⊂
− n , + n , (11)
q
q
q
q
q=2 p=−mq
4W
każdym przedziale znajduje się liczba Liouville’a.
© Michał Czapek
5
Wszelkie prawa zastrzeżone
przy czym ostatnia inkluzja wynika z faktu że Gn ∩ (−m, m) nie zawiera liczb
z przedziałów (−m − 1/2, −m] oraz [m, m + 1/2). Stąd L ∩ (−m, m) możemy
pokryć ciągiem przedziałów których sumaryczna długość dla n > 2 podlega
oszacowaniu
mq
∞
X
X
q=2 p=−mq
2
qn
=
∞
X
2(2qm + 1)
q=2
qn
Z∞
¬
(4m + 1)
6
∞
X
4qm + q
q=2
qn
= (4m + 1)
∞
X
q=2
1
¬
q n−1
4m + 1
dx
=
,
xn−1
n−2
1
co dla odpowiednio dużych n jest mniejsze od dowolnie z góry zadanej dodatniej liczby ε. Wykresy przedstawione na rysunku na stronie 6. prezentują ideę
ostatniego oszacowania przy n = 3 (sumaryczne pole prostokątów stanowi sumę
szeregu po lewej stronie nierówności, pole pod krzywą jest równe całce po prawej stronie nierówności, pole zakolorowanego obszaru jest równe różnicy między
stronami nierówności). Wykazaliśmy że zbiór L ∩ (−m, m) jest miary zero dla
dowolnego m, stąd zbiór liczb Liouville’a jako przeliczalna suma zbiorów miary zero jest miary zero. Stąd zbiór LC nie może być zbiorem miary zero jako
dopełnienie L do prostej rzeczywistej.
Zbiory L i LC dzielą zbiór liczb rzeczywistych zgodnie z danymi zawartymi
w tabeli 3.
Moc
c
c
Zbiór liczb rzeczywistych
Zbiór liczb Liouville’a
Dopełnienie zbióru liczb Liouville’a
Gęstość
gęsty
gęsty
Kategoria
II
II
I
Miara
—
0
—
Tabela 3: Dekompozycja prostej rzeczywistej na zbory L i LC .
Zbiory L i LC dzielą prostą rzeczywistą na dwa zbiory w pewnym sensie,
metrycznym lub topologicznym, „małe”.
© Michał Czapek
6
Wszelkie prawa zastrzeżone
Niech s > 0 będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą. Zbiór A jest s-wymiarowej miary Hausdorffa
gdy dla dowolnego ε > 0 istnieje takie
P zero
pokrycie (In ) zbioru A, że
|In |s < ε oraz |In | < ε dla wszystkich n.
Niech L oznacza klasę zbiorów miary zero i Hs klasę zbiorów s-wymiarowej
miary Hausdorffa zero.
Zbiór 1-wymiarowej miary Hausdorffa zero jest zbiorem miary zero i odwrotnie, zatem L = H1 .
Jeżeli zbiór jest s-wymiarowej miary Hausdorffa zero to jest t-wymiarowej
miary Hausdorffa zero dla wszystkich t > s. Istotnie, dla dowolnie ustalonych
0 < s < t oraz ε ∈ (0, 1), jeśli A ∈ Hs , i.e. istnieją przedziały In takie, że
[
X
A⊆
In ,
|In |s < ε oraz |In | < ε
dla wszystkich n, to z nierówności
|In |t < |In |s
P
wynika że
|In |t < ε, więc A ∈ Ht , c.b.d.o. Innymi słowy Hs ⊆ Ht dla wszystkich 0 < s < t. W szczególności jeżeli s ∈ (0, 1) to Hs ⊆ L, zatem L ∈ Hs dla
wszystkich s ­ 1.
L ∈ Hs dla wszystkich 0 < s < 1. W samej rzeczy, obierzmy taką liczbę
naturalną n że spełnione są nierówności
1
2n−1
< ε,
ns > 2,
oraz
(2m + 1)2s
< ε,
ns − 2
dla dowolnie ustalonych ε > 0, 0 < s < 1 oraz m (m jest liczbą naturalną).
Zważywszy na inkluzję (11) gdzie każdy z przedziałów (p/q − 1/q n , p/q + 1/q n )
ma długość 2/q n ¬ 2/2n < ε,
!s
mq
∞
∞
∞
X
X
X
X
2
(2qm + 1)2s
1
s
=
6
(2m
+
1)2
¬
n
ns
ns−1
q
q
q
q=2 p=−mq
q=2
q=2
¬
(2m + 1)2
s
Z∞
dx
xns−1
=
(2m + 1)2s
< ε,
ns − 2
1
zatem L ∈ Hs dla wszystkich s > 0.
4
Twierdzenie o dekompozycji
W punkcie 3. rozłożyliśmy prostą rzeczywistą na dwa metrycznie lub topologicznie „małe” zbiory: jeden zbiór miary zero (zbiór liczb Liouville’a L) i jeden
zbiór pierwszej kategorii (zbiór LC ). Ten sam efekt można osiągnąć w sposób
jaki zaprezentujemy w twierdzeniu 3.
Twierdzenie 3. Istnieją zbiór A pierwszej kategorii i zbiór B miary zero takie,
że A ∪ B = R i A ∩ B = ∅.
© Michał Czapek
7
Wszelkie prawa zastrzeżone
Dowód. Niech {a1 , a2 , a3 , . . .} będzie zbiorem liczb wymiernych oraz niech Iij ,
gdzie i, j ∈ N niezależnie od siebie, będzie otwartym przedziałem
o środku
S∞
i+j
w
punkcie
a
i
długości
1/2
.
Niech
ponadto
G
=
I
i
niech
i
j
i=1 ij
T∞
S∞B =
j
G
.
Dla
każdego
ε
>
0
możemy
wybrać
takie
j
że
1/2
<
ε.
B
⊂
j=1 j
i=1 Iij
oraz
∞
∞
X
X
1
1
= j < ε,
|Iij | =
i+j
2
2
i=1
i=1
zatem B jest zbiorem miary zero. Z drugiej strony Gj są gęste i otwarte ponieważ
są sumami przedziałów otwartych które zawierają wszystkie liczby wymierne,
zatem ich dopełnienia (Gj )C są nigdzie gęste. Ponieważ
A=
∞
[
Gj
C
=
∞
\
j=1
Gj
C
= BC,
j=1
przeto A jest zbiorem pierwszej kategorii.
Rozkład z twierdzenia 3. jest takim samym rozkładem dowolnego podzbioru
prostej rzeczywistej. Istotnie, ustalmy dowolnie zbiór X ⊆ R. A\(R\X) jako
podzbiór zbioru A jest zbiorem pierwszej kategorii. B\(R\X) jako podzbiór
zbioru B jest zbiorem miary zero. Ponadto
A\(R\X) ∪ B\(R\X) = (A ∪ B)\(R\X) = R\(R\X) = X,
c.b.d.u.
Ponieważ klasy zbiorów miary zero i zbiorów pierwszej kategorii są domknięte
na operację co najwyżej przeliczalnej sumy a prosta rzeczywista jest zbiorem
drugiej kategorii i zbiorem nie będącym zbiorem miary zero, każdy ze zbiorów
A i B należy do jednej z klas i nie należy do drugiej; klasy te więc nie pokrywają
się.
Literatura
[1] M. Czapek, Metoda kategorii Baire’a w przestrzeniach metrycznych zupełnych, http://www.czapek.pl
[2] J. Oxtoby, Measure and Category, GTM 2, 2nd Ed., Springer-Verlag, New
York, Heidelberg, Berlin 1980.
© Michał Czapek
8
Wszelkie prawa zastrzeżone