Zmienna losowa jednowymiarowa, funkcje zmiennych losowycha

Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Często wygodnie jest charakteryzować zdarzenia za pomocą
pojęcia zmiennej losowej. Zmienna losowa to taka zmienna, która
w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od
przypadku. Zmienna losowa przyporządkowuje więc zdarzeniom
elementarnym liczby rzeczywiste. Zmienne losowe oznaczamy
wielkimi literami X , Y , Z itp., zaś ich wartości małymi literami
x, y , z itp.
Jeśli Ω składa sie z przeliczalnej liczby elementów i F = 2Ω , to
każda funkcja X : Ω → R jest zmienną losową. W przeciwnym
razie za zmienne losowe możemy przyjąć jedynie takie funkcje X ,
dla których prawdopodobieństwo jest dobrze określone.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Często wygodnie jest charakteryzować zdarzenia za pomocą
pojęcia zmiennej losowej. Zmienna losowa to taka zmienna, która
w wyniku doświadczenia przyjmuje wartość liczbową zależną od
przypadku. Zmienna losowa przyporządkowuje więc zdarzeniom
elementarnym liczby rzeczywiste. Zmienne losowe oznaczamy
wielkimi literami X , Y , Z itp., zaś ich wartości małymi literami
x, y , z itp.
Jeśli Ω składa sie z przeliczalnej liczby elementów i F = 2Ω , to
każda funkcja X : Ω → R jest zmienną losową. W przeciwnym
razie za zmienne losowe możemy przyjąć jedynie takie funkcje X ,
dla których prawdopodobieństwo jest dobrze określone.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Rzeczywista funkcja X określona na przestrzeni probabilistycznej
(Ω, F, P) jest zmienną losową, jeśli dla każdego A ∈ B(R) zbiór
X −1 (A) ∈ F, gdzie X −1 jest operacją przeciwobrazu zbioru
poprzez funkcję X .
Można pokazać, że powyższy warunek można zastąpić jedynie
pozornie słabszym warunkiem, aby dla każdego t ∈ R
X −1 ((−∞, t)) = {ω : X (w ) < t} ∈ F.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Rzeczywista funkcja X określona na przestrzeni probabilistycznej
(Ω, F, P) jest zmienną losową, jeśli dla każdego A ∈ B(R) zbiór
X −1 (A) ∈ F, gdzie X −1 jest operacją przeciwobrazu zbioru
poprzez funkcję X .
Można pokazać, że powyższy warunek można zastąpić jedynie
pozornie słabszym warunkiem, aby dla każdego t ∈ R
X −1 ((−∞, t)) = {ω : X (w ) < t} ∈ F.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Przykład (ZL)
Niech Ω = [0, 1], F = {∅, Ω, [0, 1/2), [1/2, 1]}. Które z poniższych
funkcji są zmiennymi losowymi na (Ω, F)?
(
0, dla ω < 1/2
a) X (ω) =
1, dla ω ≥ 1/2


0, dla ω < 1/2
b) Y (ω) = 1, dla ω = 1/2


2, dla ω > 1/2.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Uwaga
Zwyczajowo opuszcza się argument ω i symbolem X oznacza się
zarówno wartość funkcji X (ω), jak i samą funkcję X, podobnie
wyrażenie {X = x} jest skróconym zapisem zbioru
{ω : X (w ) = x}.
Przykład (moneta)
Rozważmy doświadczenie losowe polegające na rzucaniu
symetryczną monetą, aż do pojawienia się pierwszego orła. Jak
wygląda zmienna losowa opisująca liczbę rzutów do pojawienia się
orła.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Uwaga
Zwyczajowo opuszcza się argument ω i symbolem X oznacza się
zarówno wartość funkcji X (ω), jak i samą funkcję X, podobnie
wyrażenie {X = x} jest skróconym zapisem zbioru
{ω : X (w ) = x}.
Przykład (moneta)
Rozważmy doświadczenie losowe polegające na rzucaniu
symetryczną monetą, aż do pojawienia się pierwszego orła. Jak
wygląda zmienna losowa opisująca liczbę rzutów do pojawienia się
orła.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Następujące warunki są równoważne
1
X jest zmienną losową,
2
dla każdego t ∈ R zachodzi {ω : X (w ) ≤ t} ∈ F,
3
4
dla każdego t ∈ R zachodzi {ω : X (w ) > t} ∈ F,
dla każdego t ∈ R zachodzi {ω : X (w ) ≥ t} ∈ F.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Jeśli X , Y są zmiennymi losowymi, to następujące funkcje są
również zmiennymi losowymi:
1
X (ω) = c (funkcja stała),
2
X + c oraz cX dla każdej liczby rzeczywistej c,
3
X + Y oraz X − Y ,
4
5
6
XY , oraz X /Y jeśli Y 6= 0,
dowolna kombinacja liniowa zmiennych losowych,
max(X , Y ) oraz min(X , Y ).
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Jeśli wszystkie funkcje Xn , n = 1, 2, . . . są zmiennymi losowym, to
funkcje sup Xn oraz inf Xn są zmiennymi losowymi. Dodatkowo
n
n
granica ciągu zbieżnego zmiennych losowych jest zmienną losową.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Funkcja f : R → R nazywa się funkcją borelowską, jeżeli dla
każdego B ∈ B(R)
f −1 (B) ∈ B(R).
Twierdzenie
1 Każda funkcja ciągła f : R → R jest funkcją borelowską.
2
Każda funkcja monotoniczna f : R → R jest funkcją
borelowską.
Twierdzenie
Niech X : Ω → R będzie zmienną losową, a ϕ : R → R funkcją
borelowską. Wtedy ϕ(X ) jest zmienną losową.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Funkcja f : R → R nazywa się funkcją borelowską, jeżeli dla
każdego B ∈ B(R)
f −1 (B) ∈ B(R).
Twierdzenie
1 Każda funkcja ciągła f : R → R jest funkcją borelowską.
2
Każda funkcja monotoniczna f : R → R jest funkcją
borelowską.
Twierdzenie
Niech X : Ω → R będzie zmienną losową, a ϕ : R → R funkcją
borelowską. Wtedy ϕ(X ) jest zmienną losową.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Funkcja f : R → R nazywa się funkcją borelowską, jeżeli dla
każdego B ∈ B(R)
f −1 (B) ∈ B(R).
Twierdzenie
1 Każda funkcja ciągła f : R → R jest funkcją borelowską.
2
Każda funkcja monotoniczna f : R → R jest funkcją
borelowską.
Twierdzenie
Niech X : Ω → R będzie zmienną losową, a ϕ : R → R funkcją
borelowską. Wtedy ϕ(X ) jest zmienną losową.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Podsumowując każda funkcja Y : Ω → R, która da się zdefiniować
za pomocą funkcji elementarnych i działań przeliczalnych na
zmiennych losowych X1 , X2 , . . . jest zmienną losową.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Przykład (kostka)
Rozważmy następujące zmienne losowe przy rzucie symetryczną
kostką
X (ωi ) = i , i = 1, 2, . . . , 6,
Y (ω1 ) = Y (ω2 ) = − 92 , Y (ω3 ) = 0
Y (ω4 ) = Y (ω5 ) = Y (ω6 ) = 3,
Z (ωi ) = 1, i = 1, 2, . . . , 5, Z (ω6 ) = −5.
Jakie przestrzenie probabilistyczne generują te zmienne losowe?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Miara
P(X ∈ B) = PX (B) = P(X −1 (B)), dla każdego B ∈ B(R)
nazywa się rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej X .
Fakt, że zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa µ
będziemy zapisywać X ∼ µ.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Dystrybuantą (funkcją rozkładu) zmiennej losowej X nazywamy
funkcję FX (x) zmiennej rzeczywistej x określoną wzorem
FX (x) = PX ((−∞, x)) = P(X < x).
Często można spotkać definicję dystrybuanty, w której używana
jest nierówność nieostra.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Dystrybuanta ma następujące własności:
1
jest niemalejąca,
2
lim F (x) = F (−∞) = 0,
x→−∞
lim F (x) = F (∞) = 1.
x→∞
3
jest lewostronnie ciągła.
Twierdzenie
Jeśli funkcja F : R → R spełnia warunki powyższego twierdzenia,
to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej i wyznacza
jednoznacznie jej rozkład.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Dystrybuanta ma następujące własności:
1
jest niemalejąca,
2
lim F (x) = F (−∞) = 0,
x→−∞
lim F (x) = F (∞) = 1.
x→∞
3
jest lewostronnie ciągła.
Twierdzenie
Jeśli funkcja F : R → R spełnia warunki powyższego twierdzenia,
to jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej i wyznacza
jednoznacznie jej rozkład.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Jeżeli a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi takimi, dla
których a < b, to:
1
2
3
4
5
6
7
PX (a) = F (a + 0) − F (a),
PX ((−∞, a]) = F (a + 0),
PX ((a, ∞)) = 1 − F (a + 0),
PX ([a, b)) = F (b) − F (a),
PX ((a, b]) = F (b + 0) − F (a + 0),
PX ([a, b]) = F (b + 0) − F (a),
PX ((a, b)) = F (b) − F (a + 0),
gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej X .
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienną losową nazywamy prostą jeśli zbiór jej wartości ma
skończoną liczbę elementów.
Przykład (funkcja indykatorowa)
Zauważmy, że
P(A) = P({ω : ω ∈ A}) = P({ω : IA (ω) = 1}) = P(IA (ω) = 1).
Stąd funkcja indykatorowa jest zmienną losową prostą przyjmującą
wartości 0 i 1.
Definicja
Zmienną losową nazywamy dyskretną (skokową), jeśli zbiór jej
wartości jest co najwyżej przeliczalny.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienną losową nazywamy prostą jeśli zbiór jej wartości ma
skończoną liczbę elementów.
Przykład (funkcja indykatorowa)
Zauważmy, że
P(A) = P({ω : ω ∈ A}) = P({ω : IA (ω) = 1}) = P(IA (ω) = 1).
Stąd funkcja indykatorowa jest zmienną losową prostą przyjmującą
wartości 0 i 1.
Definicja
Zmienną losową nazywamy dyskretną (skokową), jeśli zbiór jej
wartości jest co najwyżej przeliczalny.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienną losową nazywamy prostą jeśli zbiór jej wartości ma
skończoną liczbę elementów.
Przykład (funkcja indykatorowa)
Zauważmy, że
P(A) = P({ω : ω ∈ A}) = P({ω : IA (ω) = 1}) = P(IA (ω) = 1).
Stąd funkcja indykatorowa jest zmienną losową prostą przyjmującą
wartości 0 i 1.
Definicja
Zmienną losową nazywamy dyskretną (skokową), jeśli zbiór jej
wartości jest co najwyżej przeliczalny.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Zbiór punktów skokowych (atomów) dystrybuanty jest co najwyżej
przeliczalny, przy czym punktami skokowymi są te i tylko te
wartości xi dla których PX (xi ) 6= 0.
Uwaga
Skok jest jedynym rodzajem nieciągłości dystrybuanty.
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej jest jednoznacznie
wyznaczony przez jej punkty skokowe x1 , x2 , . . . oraz skoki
liczb
p1 , p2 , . . .. Dla każdego co najwyżej przeliczalnego zbioru P
{x1 , x2 , . . .} oraz ciągu p1 , p2 , . . . takiego, że pi > 0 oraz
pi = 1
istnieje dyskretna zmienna losowa.
T. Górecki
i
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Zbiór punktów skokowych (atomów) dystrybuanty jest co najwyżej
przeliczalny, przy czym punktami skokowymi są te i tylko te
wartości xi dla których PX (xi ) 6= 0.
Uwaga
Skok jest jedynym rodzajem nieciągłości dystrybuanty.
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej jest jednoznacznie
wyznaczony przez jej punkty skokowe x1 , x2 , . . . oraz skoki
liczb
p1 , p2 , . . .. Dla każdego co najwyżej przeliczalnego zbioru P
{x1 , x2 , . . .} oraz ciągu p1 , p2 , . . . takiego, że pi > 0 oraz
pi = 1
istnieje dyskretna zmienna losowa.
T. Górecki
i
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Zbiór punktów skokowych (atomów) dystrybuanty jest co najwyżej
przeliczalny, przy czym punktami skokowymi są te i tylko te
wartości xi dla których PX (xi ) 6= 0.
Uwaga
Skok jest jedynym rodzajem nieciągłości dystrybuanty.
Rozkład zmiennej losowej dyskretnej jest jednoznacznie
wyznaczony przez jej punkty skokowe x1 , x2 , . . . oraz skoki
liczb
p1 , p2 , . . .. Dla każdego co najwyżej przeliczalnego zbioru P
{x1 , x2 , . . .} oraz ciągu p1 , p2 , . . . takiego, że pi > 0 oraz
pi = 1
istnieje dyskretna zmienna losowa.
T. Górecki
i
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Dystrybuantę zmiennej losowej dyskretnej można wyrazić
następującym wzorem:
X
F (x) = P(X < x) =
pi .
xi <x
Przykład (dystrybuanta dyskretna)
Rozważmy zmienną losową X o następującym rozkładzie:
P(X = −1) =
1
1
3
1
, P(X = 0) = , P(X = ) = .
3
6
2
2
Jaką postać ma dystrybuanta tej zmiennej losowej. Ile wynosi
P(|X | ≥ 1)?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Dystrybuantę zmiennej losowej dyskretnej można wyrazić
następującym wzorem:
X
F (x) = P(X < x) =
pi .
xi <x
Przykład (dystrybuanta dyskretna)
Rozważmy zmienną losową X o następującym rozkładzie:
P(X = −1) =
1
1
3
1
, P(X = 0) = , P(X = ) = .
3
6
2
2
Jaką postać ma dystrybuanta tej zmiennej losowej. Ile wynosi
P(|X | ≥ 1)?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienną losową nazywamy ciągłą jeśli jej dystrybuanta jest funkcją
ciągłą dla x ∈ R.
Dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma
punktów skokowych.
Definicja
Zmienną losową nazywamy absolutnie ciągłą jeśli istnieje
nieujemna funkcja f (x), nazywana gęstością, dla której
Z x
FX (x) =
fX (t)dt.
−∞
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienną losową nazywamy ciągłą jeśli jej dystrybuanta jest funkcją
ciągłą dla x ∈ R.
Dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma
punktów skokowych.
Definicja
Zmienną losową nazywamy absolutnie ciągłą jeśli istnieje
nieujemna funkcja f (x), nazywana gęstością, dla której
Z x
FX (x) =
fX (t)dt.
−∞
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienną losową nazywamy ciągłą jeśli jej dystrybuanta jest funkcją
ciągłą dla x ∈ R.
Dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma
punktów skokowych.
Definicja
Zmienną losową nazywamy absolutnie ciągłą jeśli istnieje
nieujemna funkcja f (x), nazywana gęstością, dla której
Z x
FX (x) =
fX (t)dt.
−∞
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
W punktach ciągłości funkcji f (x) mamy F ′ (x) = f (x) oraz
Z ∞
f (x)dx = 1.
−∞
Oczywiście
P(a ≤ X < b) =
oraz
Z
b
f (x)dx
a
P(X = a) = lim P(a ≤ X < an ) = lim
n→∞
n→∞
Z
an
f (x)dx = 0.
a
Zatem dla zmiennych losowych absolutnie ciągłych
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b).
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Uwaga
Gęstość fX (x) w pełni definiuje rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X .
Twierdzenie
Funkcja f jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa
wtedy i tylko wtedy,R gdy f ≥ 0 prawie wszędzie względem miary
Lebesque’a oraz f (x)dx = 1.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Uwaga
Gęstość fX (x) w pełni definiuje rozkład prawdopodobieństwa
zmiennej losowej X .
Twierdzenie
Funkcja f jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa
wtedy i tylko wtedy,R gdy f ≥ 0 prawie wszędzie względem miary
Lebesque’a oraz f (x)dx = 1.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Jeśli F jest dystrybuantą, F ′ istnieje prawie wszędzie, oraz
Z ∞
F ′ (x)dx = 1,
−∞
to F ′ jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F .
Nie można wyznaczyć gęstości f (x) w punktach, w których
dystrybuanta jest nieróżniczkowalna. Jednakże wartość gęstości w
skończonej liczbie punktów jest nieistotna.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie
Jeśli F jest dystrybuantą, F ′ istnieje prawie wszędzie, oraz
Z ∞
F ′ (x)dx = 1,
−∞
to F ′ jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F .
Nie można wyznaczyć gęstości f (x) w punktach, w których
dystrybuanta jest nieróżniczkowalna. Jednakże wartość gęstości w
skończonej liczbie punktów jest nieistotna.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Przykład (gęstość z dystrybuanty)
Zmienna losowa X ma dystrybuantę daną wzorem


0
dla x < − 12



1
1


x + 2 dla − 2 ≤ x ≤ 0,
F (x) = 12
dla 0 < x < 12 ,



dla 12 ≤ x ≤ 1,

x


1
dla x > 1.
Jaką postać ma gęstość tej zmiennej losowej i ile wynosi
P(|X | < 34 )?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Twierdzenie ( Jordana o rozkładzie)
Każda dystrybuanta F może być zapisana jako wypukła
kombinacja dystrybuant dyskretnej i ciągłej:
F = αFD + (1 − α)FC , 0 ≤ α ≤ 1.
Taki rozkład jest jednoznaczny. Mówimy, że ta dystrybuanta jest
mieszaniną dystrybuant i wyznacza rozkład mieszany
dyskretno-ciągły.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienna losowa X ma rozkład osobliwy (singularny), jeśli ma
ciągłą dystrybuantę, która spełnia równość F ′ (x) = 0 prawie
wszędzie.
Twierdzenie ( Lebesque’a o rozkładzie kanonicznym)
Każda dystrybuanta F na prostej R jest kombinacją wypukłą
dystrybuant: dyskretnej, absolutnie ciągłej i osobliwej
F = c1 FD + c2 FAC + c3 FO , ci ≥ 0, c1 + c2 + c3 = 1.
Rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do zbioru zerowej
miary Lebesque’a.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Definicja
Zmienna losowa X ma rozkład osobliwy (singularny), jeśli ma
ciągłą dystrybuantę, która spełnia równość F ′ (x) = 0 prawie
wszędzie.
Twierdzenie ( Lebesque’a o rozkładzie kanonicznym)
Każda dystrybuanta F na prostej R jest kombinacją wypukłą
dystrybuant: dyskretnej, absolutnie ciągłej i osobliwej
F = c1 FD + c2 FAC + c3 FO , ci ≥ 0, c1 + c2 + c3 = 1.
Rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do zbioru zerowej
miary Lebesque’a.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pojęcia wstępne
Rozkład zmiennej losowej
Dystrybuanta i gęstość
Przykład (mieszanina rozkładów)
Niech
FD (x) =

0



1
4
3



4
1
dla
dla
dla
dla
x ≤ 0,
0 < x ≤ 1,
1 < x ≤ 2,
x > 2,
będzie dystrybuantą rozkładu dyskretnego oraz


dla x ≤ −1,
0
FAC (x) = 21 (x + 1) dla , |x| < 1


1
dla x ≥ 1,
będzie dystrybuantą rozkładu absolutnie ciągłego. Jaką postać ma
dystrybuanta F (x) = 13 FD (x) + 23 FAC (x)?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli przyjmuje
jedynie dwie wartości {x, y }, przy czym P(X = x) = p jest tzw.
prawdopodobieństwem sukcesu, a P(X = y ) = 1 − p = q jest
prawdopodobieństwem porażki. Szczególny rozkład dwupunktowy,
jeżeli zmienna losowa przyjmuje wartości {0, 1}, nazywamy
rozkładem zero-jedynkowym (Bernoulliego) z
prawdopodobieństwem sukcesu p. Funkcję rozkładu można w
takim przypadku krótko zapisać jako:
P(X = x) = p x (1 − p)1−x I{0,1} (x).
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami (n, p),
gdzie n > 1 oraz 0 < p < 1, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa
jest postaci:
n k n−k
P(X = k) =
p q
k
gdzie 0 ≤ k ≤ n. Rozkład ten odpowiada schematowi
Bernoulliego.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0,
jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa jest postaci:
P(X = k) =
λk −λ
e ,
k!
gdzie k = 0, 1, . . . . Parametr λ jest wartością oczekiwaną (średnią)
w tym rozkładzie. Przykłady zmiennych o rozkładzie Poissona
to: liczba wypadków na osobę, liczba wygranych w totolotku lub
liczba awarii występujących w procesie produkcyjnym. Rozkładu
tego używamy gdy nie jesteśmy w stanie określić ile maksymalnie
zajść zdarzenia może wystąpić w pewnym okresie czasu t. W
przeciwieństwie do rozkładu dwumianowego, gdzie zlicza się liczbę
sukcesów i porażek, w rozkładzie Poissona liczy się jedynie
zajścia zdarzenia.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Prawdopodobieństwo, że liczba porażek przed pierwszym sukcesem
w schemacie Bernoulliego wyniesie k można zapisać jako
P(X = k) = p(1 − p)k ,
k = 0, 1, . . . ,
gdzie p ∈ (0, 1). Zmienna losowa opisana taką funkcją
prawdopodobieństwa jest liczbą porażek jakich doznajemy w
schemacie Bernoulliego, aby uzyskać jeden sukces.
Przykład (rozkład geometryczny)
Udowodnić, że powyższa funkcja jest funkcją rozkładu.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Zmienna losowa X ma ujemny rozkład dwumianowy jeśli jej funkcja
prawdopodobieństwa ma postać:
k +r −1 r
P(X = k) =
p (1 − p)k ,
k
gdzie k = 0, 1, . . . (liczba sukcesów) oraz r > 0 (liczba porażek) i
p ∈ (0, 1) (prawdopodobieństwo sukcesu). W przypadku gdy r jest liczbą
naturalną rozkład ten nazywamy rozkładem Pascala. Rozkład
Pascala jest to rozkład czasu oczekiwania na r -ty sukces w ciągu
doświadczeń Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p
(zmienna losowa przyjmuje więc wartości długości trwania
doświadczenia). Jest to więc uogólnienie rozkładu geometrycznego. W
takim przypadku funkcję prawdopodobieństwa zapisuje się następująco:
k −1 r
P(X = k) =
p (1 − p)k−r ,
r −1
gdzie k = r , r + 1, . . ..
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Przykład (ujemny rozkład dwumianowy)
Asia zbiera na wycieczkę szkolną sprzedając świeczki. W jej rejonie
znajduje się 30 potencjalnych kupców. Asia zamierza sprzedać 5
świeczek, chodzi więc od domu do domu. W każdym domu
prawdopodobieństwo, że sprzeda jedną świeczkę wynosi 0,4, a że
nie sprzeda żadnej 0,6. Jak wygląda funkcja prawdopodobieństwa
zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe liczbie
odwiedzonych domów?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Zmienna losowa o rozkładzie hipergeometrycznym określa liczbę
elementów jednego typu występujących w n-elementowej próbie
wylosowanej z urny zawierającej m elementów tego typu wśród N
wszystkich elementów. Funkcja prawdopodobieństwa ma postać:
m N−m
P(X = k) =
k
n−k
N
n
,
gdzie N = 0, 1, . . . ; m, n = 0, 1, . . . N oraz
k = max (0, n + m − N), . . . , min (m, n).
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Ujemny
Rozkład
dwupunktowy – b(p)
dwumianowy – b(n, p)
Poissona – π(λ)
geometryczny – G (p)
rozkład dwumianowy – NB(r, p)
hipergeometryczny – H(N, m, n)
Przykład (rozkład hipergeometryczny)
Pudełko zawiera 25 bezpieczników z których 8 jest wadliwych.
Jeśli losujemy 4 bezpieczniki to jaka jest szansa, że wszystkie będą
sprawne?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rozkład jednostajny inaczej prostokątny to rozkład
prawdopodobieństwa, dla którego gęstość prawdopodobieństwa w
przedziale od a do b jest stała i różna od zera, a poza nim równa
zeru. Gęstość można zatem opisać wzorem:
f (x) =
1
I
(x).
b − a (a,b)
Rozkład U(0, 1) nazywamy standardowym rozkładem
jednostajnym. Rozkład ten jest szczególnym przypadkiem rozkładu
beta mianowicie B(1, 1). Rozkład beta jest bardzo ogólnym
rozkładem określonym na odcinku [0, 1]. Posiada dwa dodatnie
parametry α i β. Jeśli oba parametry dążą do nieskończoności, to
rozkład beta dąży do standardowego rozkładu normalnego.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Przyjmijmy, że T oznacza czas pomiędzy kolejnymi wystąpieniami
rzadkiego zdarzenia, które zachodzi średnio λ razy na jednostkę
czasu. Wówczas T podlega rozkładowi wykładniczemu z
parametrem λ > 0. Rozkład ten jest często wykorzystywany do
modelowania przedziałów czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami
losowymi. Gęstość ma następującą postać:
f (x) = λe −λx I[0,∞) (x).
Funkcja gęstości rozkładu zależy od jednego parametru λ > 0,
który jest odwrotnością zarówno wartości oczekiwanej, jak i
odchylenia standardowego.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego
rozkładu gamma mianowicie Γ(1, λ1 ). Rozkład gamma jest
dwuparametrowym (α, λ > 0) ciągłym rozkładem określonym dla
liczb nieujemnych. Pojawia się on jako suma α niezależnych
zmiennych losowych o rozkładach Exp( λ1 ). Suma n niezależnych
zmiennych losowych o rozkładzie Γ(1, λ) ma rozkład Γ(n, λ),
zwany rozkładem Erlanga.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Przykład (rozkład wykładniczy)
Produkcja opon samochodowych w pewnej fabryce w okresie
dwuletnim dowodzi, że rozkład czasu między zejściem z taśmy
produkcyjnej dwóch kolejnych opon można opisać za pomocą
zmiennej losowej X o rozkładzie wykładniczym ze średnią 20
sekund. Jaką postać ma funkcja gęstości i dystrybuanta zmiennej
losowej X .
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa pełni ważną
funkcję zarówno w statystyce, jak i naukach przyrodniczych.
Rozkład normalny (o charakterystycznym kształcie „krzywej
dzwonowej”) jest teoretycznym rozkładem prawdopodobieństwa
powszechnie wykorzystywanym we wnioskowaniu statystycznym
jako przybliżenie rozkładu z próby. Ogólnie, rozkład normalny jest
dobrym modelem dla rozkładu zmiennej losowej, w sytuacji gdy:
występuje silna tendencja do przyjmowania wartości
położonych blisko środka rozkładu,
dodatnie i ujemne odchylenia od środka rozkładu są
jednakowo prawdopodobne,
liczność odchyleń gwałtownie spada wraz ze wzrostem ich
wielkości.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Podstawowy mechanizm tworzący rozkład normalny można
wyobrazić sobie jako nieskończoną liczbę niezależnych zdarzeń
losowych, które generują wartości danej zmiennej. Funkcja gęstości
ma następującą postać:
−(x−µ)2
1
f (x) = √ e 2σ2 I(−∞,∞) (x).
σ 2π
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów µ i σ 2 .
Parametr µ przesuwa krzywą wzdłuż osi odciętych, natomiast
parametr σ 2 powoduje, że krzywa jest bardziej spłaszczona lub
wysmukła (im większy tym bardziej spłaszczony). Parametry te
odpowiadają wartości oczekiwanej i wariancji w rozkładzie
normalnym. Jeśli dokonamy przekształcenia
Z =
X −µ
,
σ
zwanego standaryzacją, to otrzymana w ten sposób zmienna
losowa Z ma rozkład N(0, 1), zwany rozkładem normalnym
standardowym. Inne rozkłady normalne są prostymi
transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy
używać tablic dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego
(oznaczanej Φ) do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu
normalnego o dowolnych parametrach.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Przykład (rozkład normalny)
Udowodnić, że powyższa funkcja jest funkcją rozkładu.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rozkład Weibulla stosowany jest w analizie przeżycia do
modelowania sytuacji, gdy prawdopodobieństwo awarii (śmierci)
zmienia się w czasie. Funkcja gęstości ma następującą postać:
f (x) =
k x k−1 −(x/λ)k
e
I[0,∞)(x),
λ λ
gdzie k, λ > 0 są parametrami. W zależności od parametrów
przypomina rozkład normalny (dla k = 3, 4), jak i rozkład
wykładniczy (dla k = 1). Rozkład W (λ, 2) nazywany jest
rozkładem Rayleigha.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego zwany również w
optyce rozkładem Lorentza, a w fizyce jądrowej rozkładem
Breita-Wignera jeśli jego funkcja gęstości ma postać:
f (x) =
λ
1
I
(x),
π λ2 + (x − α)2 (−∞,∞)
gdzie α ∈ R oraz λ > 0 są parametrami. Szczególny przypadek
tego rozkładu dla α = 0 oraz λ = 1 nazywa się standardowym
rozkładem Cauchy’ego.
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
T. Górecki
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
jednostajny – U(a, b), rozkład beta – B(α, β)
wykładniczy – Exp(λ), rozkład gamma – Γ(α, λ)
normalny – N(µ, σ 2 )
Weibulla – W (λ, k)
Cauchy’ego – C (α, λ)
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pewne zdarzenia chociaż mogą zajść, nie są rejestrowane, w
wyniku czego obserwowany rozkład jest ucięty, czyli ograniczony
do pewnego podzbioru przestrzeni prób. Możemy sobie np.
wyobrazić sytuację gdy policja bada, czy kierowca ma kolejny
wypadek czy to jest jego pierwszy. W takiej sytuacji wartość 0 nie
będzie obserwowana, gdyż badanie dotyczy jedynie tych, którzy
wypadek właśnie mieli.
Twierdzenie
Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę FX (x). Wtedy zmienna
losowa Y , która jest zmienną losową obciętą do odcinka [a, b) ma
dystrybuantę:
FY (y ) =
FX (x) − FX (a)
I
(y )
FX (b) − FX (a) [a,b)
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Pewne zdarzenia chociaż mogą zajść, nie są rejestrowane, w
wyniku czego obserwowany rozkład jest ucięty, czyli ograniczony
do pewnego podzbioru przestrzeni prób. Możemy sobie np.
wyobrazić sytuację gdy policja bada, czy kierowca ma kolejny
wypadek czy to jest jego pierwszy. W takiej sytuacji wartość 0 nie
będzie obserwowana, gdyż badanie dotyczy jedynie tych, którzy
wypadek właśnie mieli.
Twierdzenie
Niech zmienna losowa X ma dystrybuantę FX (x). Wtedy zmienna
losowa Y , która jest zmienną losową obciętą do odcinka [a, b) ma
dystrybuantę:
FY (y ) =
FX (x) − FX (a)
I
(y )
FX (b) − FX (a) [a,b)
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Uwaga
Można to twierdzenie sformułować nieco inaczej. Niech f (x)
oznacza funkcję gęstości lub funkcję prawdopodobieństwa zmiennej
losowej X . Zmienna ta jest ograniczona (ucięta) do obszaru
T ⊂ Ω. Funkcja prawdopodobieństwa (gęstości) zmiennej losowej
uciętej ma postać:
f (x|t) =
f (x)
,
f (t)
gdzie f (t) = P(X ⊂ T ).
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Przykład (ucięty rozkład dwumianowy)
Rozważmy rozkład dwumianowy z n powtórzeniami i
prawdopodobieństwem sukcesu p. Załóżmy, że wartość 0 nie jest
obserwowana. Jak wygląda funkcja prawdopodobieństwa tego
rozkładu?
Przykład (ucięty rozkład normalny)
W praktyce najczęściej bywa wykorzystywany rozkład normalny
ucięty do części dodatniej. Jaką postać postać ma funkcja gęstości
tego rozkładu?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Przykład (ucięty rozkład dwumianowy)
Rozważmy rozkład dwumianowy z n powtórzeniami i
prawdopodobieństwem sukcesu p. Załóżmy, że wartość 0 nie jest
obserwowana. Jak wygląda funkcja prawdopodobieństwa tego
rozkładu?
Przykład (ucięty rozkład normalny)
W praktyce najczęściej bywa wykorzystywany rozkład normalny
ucięty do części dodatniej. Jaką postać postać ma funkcja gęstości
tego rozkładu?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Twierdzenie
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości fX i
X (Ω) ⊂ (a, b), a ściśle monotoniczna funkcja g : (a, b) → R jest
klasy C 1 oraz g ′ (x) 6= 0 dla x ∈ (a, b), to zmienna losowa
Y = g (X ) ma rozkład ciągły o gęstości
fY (y ) = fX (h(y )) · |h′ (y )|,
gdzie h(y ) jest funkcją odwrotną do funkcji g (x).
Przykład (RFZL1)
Jeśli X jest zmienną losową ciągłą, to jaki rozkład ma zmienna
losowa Y = aX + b, gdzie a 6= 0?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Twierdzenie
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości fX i
X (Ω) ⊂ (a, b), a ściśle monotoniczna funkcja g : (a, b) → R jest
klasy C 1 oraz g ′ (x) 6= 0 dla x ∈ (a, b), to zmienna losowa
Y = g (X ) ma rozkład ciągły o gęstości
fY (y ) = fX (h(y )) · |h′ (y )|,
gdzie h(y ) jest funkcją odwrotną do funkcji g (x).
Przykład (RFZL1)
Jeśli X jest zmienną losową ciągłą, to jaki rozkład ma zmienna
losowa Y = aX + b, gdzie a 6= 0?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Twierdzenie
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości fX i
X (Ω) ⊂ I =
n
[
[ak , bk ],
k=1
przy czym na każdym przedziale Ik = (ak , bk ) określona jest ściśle
monotoniczna (przedziałami) funkcja g : I → R klasy C 1 oraz g ′ (x) 6= 0,
to zmienna losowa Y = g (X ) ma rozkład ciągły o gęstości
fY (y ) =
n
X
k=1
fX (hk (y )) · |hk′ (y )| · IDk (y ),
gdzie hk (y ) jest funkcją odwrotną do funkcji g (x) na przedziale Ik , a Dk
jest dziedziną funkcji hk (y ).
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)
Zmienna losowa
Podstawowe rozkłady dyskretne
Podstawowe rozkłady ciągłe
Rozkłady ucięte
Rozkłady funkcji zmiennych losowych
Przykład (RFZL2)
Jeśli X jest zmienną losową ciągłą, to jaki rozkład ma zmienna
losowa Y = X 2 ?
T. Górecki
Rachunek prawdopodobieństwa (W4)