Rozkłady statystyczne

Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkłady statystyczne
Przemysław Juszczuk
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego
23 października 2008
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Agenda
1
2
3
4
5
6
7
Kilka podstawowych pojęć związanych z rozkładami...
Przegląd rozkładów ciągłych,
Rozkłady skokowe,
Rozkład beta,
Rozkład wielowymiarowy.
Powtórka z gnuplota.
Ciekawostka...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Podstawowe pojęcia...
Nośnik miary
Niech (X , T ) będzie przestrzenią topologiczną i niech µ będzie miarą
borelowską na X̂ . Nośnikiem miary µ nazywamy zbiór wszystkich tych
punktów z X̂ , których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę:
supp(µ) := {x ∈ X |∀x ∈ Nx ∈ T , µ(Nx ) > 0}
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Podstawowe pojęcia...
Nośnik miary
Niech (X , T ) będzie przestrzenią topologiczną i niech µ będzie miarą
borelowską na X̂ . Nośnikiem miary µ nazywamy zbiór wszystkich tych
punktów z X̂ , których każde otoczenie otwarte ma dodatnią miarę:
supp(µ) := {x ∈ X |∀x ∈ Nx ∈ T , µ(Nx ) > 0}
Nośnik miary jeszcze raz...
Dla rozkładów prawdopodobieństwa nośnikiem miary jest zbiór
wszystkich wartości, które może przyjąć zmienna losowa.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Zmienna losowa
Funkcja X odwzorowująca zbiór Ω wyników pewnego doświadczenia
losowego w zbiór liczb rzeczywistych. Przykłady zmiennych losowych to:
1
Funkcja opisująca wagę wylosowanego obiektu,
2
Funkcja opisująca wzrost,
3
Funkcja opisująca wiek,
Z wartościami zmiennej losowej związane są określone
prawdopodobieństwa, tak więc zmienna losowa przybiera różne wartości z
różnym prawdopodobieństwem:
P(X = xi ) = pi
Przykład zmiennej losowej
Niech Ω będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma
koścmi do gry. Składa się on z 36 możliwych wyników. Zmienna losowa
może być opisana w następujący sposób:
(i, j) ∈ R 2 , gdzie 1 ¬ i, j ¬ 6
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Parametr położenia
Wpływa na przesunięcie dystrybuanty i funkcji rozkładu
prawdopodobieństwa danego rozkładu bez zmiany jego kształtu.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Parametr położenia
Wpływa na przesunięcie dystrybuanty i funkcji rozkładu
prawdopodobieństwa danego rozkładu bez zmiany jego kształtu.
Parametr skali
Zwiększenie tego parametru k razy spowoduje min. ”rozszerzenie”
wykresu dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa na osi OX,
oraz ”kurczenie” osi OY k razy względem początku układu
współrzędnych.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Parametr położenia
Wpływa na przesunięcie dystrybuanty i funkcji rozkładu
prawdopodobieństwa danego rozkładu bez zmiany jego kształtu.
Parametr skali
Zwiększenie tego parametru k razy spowoduje min. ”rozszerzenie”
wykresu dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa na osi OX,
oraz ”kurczenie” osi OY k razy względem początku układu
współrzędnych.
Parametr kształtu
Wpływa na kształt dystrybuanty i funkcji rozkładu prawdopodobieństwa.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa
Gęstość prawdopodobieństwa to nieujemna funkcja p(x) ciągłej zmiennej
losowej x, taka, że:
R
p(x) dx = 1
oraz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X należy do przedziału
(a,b) dane jest wzorem:
Rb
P(a ¬ X < b) = a f (x) dx
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Dystrybuanta
Pewna funkcja F(x) określająca prawdopodobieństwo tego, że zmienna
losowa X przyjmuje jakąkolwiek wartość mniejszą od z góry przyjętej
danej wartości x.
F (x) = P(X < x)
Dystrybuanta F(x) określona w przedziale (a,b) posiada następujące
własności:
1
jest funkcją niemalejącą,
2
jest funkcją co najmniej lewostronnie ciągłą,
3
F(a) = 0 , oraz F(b) = 1.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Wartość oczekiwana
Zwana także nadzieją matematyczną. Jest to wartość opisująca
spodziewany wynik doświadczenia losowego. Wartość oczekiwana to
inaczej pierwszy moment zwykły.
Wartość oczekiwana skokowej zmiennej losowej
EX = Σni=1 xi pi
gdzie:
x1 , x2 , ..., xn - to wartości dyskretnej zmiennej losowej,
p1 , p2 , ..., pn - odpowiadające poszczególnym wartościom
prawdopodobieństwa.
Wartość oczekiwana ciągłej zmiennej losowej
Wartość zmiennej losowej typu ciągłego
R definiowana jest jako całka:
E |X | = X dP
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Mediana
Wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której
znajduje się jednakowa liczba obserwacji. W celu obliczenia mediany ze
zbioru n oberwacji, sortujemy je w kolejności od najmniejszej do
największej i numerujemy od 1 do n. Jeśli n jest nieparzyste, to medianą
jest wartość obserwacji w środku, czyli n+1
2 . Jeśli n jest parzyste, to
medianą jest średnia arytmetyczna dwóch środkowych obserwacji: n2 , oraz
n
2 + 1.
Wariancja
Utożsamiana jest ze zróżnicowaniem zbiorowości. Jest to średnia
arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od
wartości oczekiwanej.
Y = (X − EX )2
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Moda - dominanta
Wskazuje na wartość o największym prawdopodobieństwie wystąpienia,
lub wartość najczęściej występującą w próbie. Dla zmiennej losowej o
rozkładzie ciągłym jest to wartość, dla której funkcja gęstości
prawdopodobieństwa ma wartość największą.
Wartość
1
2
3
4
5
Prawdopodobieństwo
0.15
0.35
0.2
0.2
0.1
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Współczynnik skośności
Współczynnik skośności rozkładu to miara asymetrii rozkładu
wyznaczana według wzoru:
A = m−d
s
gdzie:
m - wartość średniej arytmetycznej,
d - wartość mody,
s - wartość odchylenia standardowego.
Współczynnik skośności przyjmuje wartość zero dla rozkładu
symetrycznego, wartości ujemne dla rozkładów o lewostronnej asymetrii
(wydłużone lewe ramię rozkładu) i wartości dodatnie dla rozkładów o
prawostronnej asymetrii (wydłużone prawe ramię rozkładu).
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Kurtoza
Miara spłaszczenia rozkładu wartości cechy określana wzorem:
Kurt = σµ44 − 3
gdzie:
µ4 - jest czwartym momentem centralnym,
σ 4 -σ to odchylenie standardowe.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Entropia
Definiowana jako średnia ilość informacji, przypadająca na znak
symbolizujący zajście zdarzenia z pewnego zbioru. Zdarzenia w tym
zbiorze mają przypisane prawdopodobieństwa wystąpienia.
1
H(x) = Σni=1 p(i)logr p(i)
gdzie:
p(i) - prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia i.
Własności entropii
jest nieujemna,
jest maksymalna, gdy prawdopodobieństwa zajść zdarzeń są takie
same,
jest równa 0, gdy stany systemu przyjmują wartości 0 lub 1.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Funkcja tworząca momenty
Pozwala na generowanie momentów kolejnych k rzędów zmiennej losowej,
gdzie moment określany jest jako wartość oczekiwana k-tej potęgi tej
zmiennej.
Funkcja charakterystyczna
Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X : Ω R nazywamy
funkcję ϕx : R C .
ϕx (t) = E (e itX ) dla t ∈ R
Na funkcję charakterystyczną można patrzeć jako na transformatę
Fouriera rozkładu zmiennej losowej, czyli transformację całkową z
dziedziny czasu w dziedzinę czątotliwości.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład normalny
Zwany rozkładem Gaussa-Laplace’a jest najczęściej spotykanym
rozkładem zmiennej losowej ciągłej. Rozkład ten ma największe znaczenie
spośród różnych rozkładów ciągłych stosowanych w statystyce.
jest to rozkład teoretyczny, charakteryzujący się określonymi
właściwościami,
jst on rozkładem symetrycznym (czyli liczebności odpowiadające
wartościom zmiennej rozkładają się symetrycznie wokół liczebności
największej),
każdy rozkład normalny jest rozkładem symetrycznym,
rozkład posiada jedno maksimum oraz ściśle określoną kurtozę,
wykres rozkładu normalnego ma postać krzywej w kształcie dzwonu,
w punkcie centralnym rozkładu znajduje się średnia arytmetyczna, a
także dominanta i mediana,
średnia arytmetyczna jest wartością cechy najczęściej spotykaną w
badanej zbiorowości.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Nośnik : x ∈ R,
gęstość prawdopodobieństwa σ√12π e (−
R − x−µ
√
dystrybuanta F (x) = σ√12π e σ 2 ,
wartość oczekiwana µ,
mediana µ,
moda µ,
wariancja σ 2
skośność 0,
kurtoza 0, √
entropia ln(σ 2πe),
funkcja generująca momenty Mx (t)
Przemysław Juszczuk
(x−µ)2
2σ 2
)
,
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu normalnego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w
której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X
może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce
czasu.
dystrybuanta tego rozkładu to prawdopodobieństwo, że obiekt jest w
stanie Y,
jest on określony jednym parametrem λ - wartością oczekiwaną,
posiada własność braku pamięci.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy to rozkład zmiennej losowej opisujący sytuację, w
której obiekt może przyjmować stany X i Y, przy czym obiekt w stanie X
może ze stałym prawdopodobieństwem przejść w stan Y w jednostce
czasu.
dystrybuanta tego rozkładu to prawdopodobieństwo, że obiekt jest w
stanie Y,
jest on określony jednym parametrem λ - wartością oczekiwaną,
posiada własność braku pamięci.
Przykład
Niech zmienna losowa X oznacza czas pracy pewnej maszyny. Własność
braku pamięci oznacza, że dalszy czas pracy maszyny nie zależy od
dotychczasowego czasu jej trwania i ma rozkład taki sam, jak rozkład
całkowitej pracy urządzenia.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Nośnik : [0, ∞],
gęstość prawdopodobieństwa λe −λx ,
dystrybuanta F (x) = 1 − e −λx ,
wartość oczekiwana λ1 ,
mediana ln(2)
λ ,
moda 0,
wariancja λ−2
skośność 2,
kurtoza 6,
entropia 1 − ln(λ),
−1
funkcja generująca momenty (1 − λt )
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu wykładniczego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład gamma
Rozkład gamma to ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego gęstość
jest uogólnieniem rozkładu Erlanga na dziedzinę dodatnich liczb
rzeczywistych.
Rozkład Erlanga został opracowany przez A. K. Erlanga do szacowania
liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w
ręcznej centrali telefonicznej.
Parametry rozkładu:
k - parametr kształtu ( k > 0 )
Θ - parametr skali, ( Θ > 0 )
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Nośnik : [0, ∞],
−x
e Θ
gęstość prawdopodobieństwa x k−1 Γ(k)Θ
k ,
γ(k, x )
dystrybuanta Γ(k)Θ ,
wartość oczekiwana kΘ2 ,
moda (k − 1)Θ dla k ­ 1,
wariancja kΘ2
skośność √2k ,
kurtoza k6 ,
entropia k + lnΘ = lnΓ(k) + (1 − k)ψ(k),
funkcja generująca momenty (1 − Θt)−k , dla t <
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
1
Θ
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu gamma.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: dystrybuanta rozkładu gamma.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład t-studenta
Rozkład t-studenta (zwany rozkładem t) to rozkład często stosowany w
statystyce podczas testowania hipotez i ocenie błędów.
bardzo dobrze sprawdza się przy szacowaniu i weryfikacji parametrów
w przypadku małych prób (n ¬ 30),
stosowany przy weryfikacji niektórych hipotez dotycząych średniej,
gdy dysponuje się małą próbą, czyli wtedy, gdy nie można
wykorzystać rozkładu normalnego.
Funkcja gamma — jedna z funkcji specjalnych, która rozszerza
pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych,
Funkcja beta - Całka Eulera pierwszego rodzaju,
Funkcja digamma.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Nośnik : x ∈ R,
gęstość prawdopodobieństwa
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Γ( v +1 )
√ 2 v (1
v πΓ( 2 )
+
x 2 −( v +1
2 ),
v )
2
F ( 1 ; v +1 ; 3 ;− x )
2 1 2
√ 2 2v v ,
dystrybuanta 12 + xΓ( v +1
2 )
πv Γ( 2 )
wartość oczekiwana 0 dla v ¿ 1, w przciwnym wypadku nieokreślona,
mediana 0,
moda 0,
v
wariancja v −2
dla v ¿ 2, w przeciwnym wypadku nieokreślona,
skośność 0 dla v ¿ 3,
6
kurtoza v −4
dla v ¿ 4,
√
v +1
v
v 1
entropia 2 [ψ( 1+v
2 ) − ψ( 2 )] + log [ v B( 2 , 2 )],
funkcja generująca momenty nieokreślona
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu t-studenta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu t-studenta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład Cauchy’ego
Rozkład Cauchy’ego zwany również w optyce rozkładem Lorentza a w
fizyce jądrowej rozkładem Breita-Wignera. Momenty zwykłe i centralne
rozkładu są niezdefiniowane -całki dla tych momentów rozbiegają się do
nieskończoności. Dlatego min. kurtoza nie może zostać podana.
Parametry
x0 - położenie
γ > 0 - skala.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Nośnik : x ∈ R,
gęstość prawdopodobieństwa
1
,
x−x
πγ[1+( γ 0 )2 ]
1
+ 2,
0
dystrybuanta π1 arc tg( x−x
γ )
wartość oczekiwana nieokreślona,
mediana x0 ,
moda x0 ,
wariancja nieokreślona,
skośność nieokreślona,
kurtoza nieokreślona,
entropia ln4πγ,
funkcja generująca momenty nieokreślona
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Cauchy’ego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład normalny
Rozkład wykładniczy
Rozkład gamma
Rozklad t-studenta
Rozkład Cauchy’ego
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu Cauchy’ego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest rozkładem zmiennej losowej skokowej, który
stosuje się w przypadku określania prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń
stosunkowo rzadkich i niezależnych od siebie przy występowaniu dużej
ilości doświadczeń.
rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu Bernoulliego dla
dużych prób i przy małym prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia
sprzyjającego,
jest to rozkład asymetryczny,
Γ(x, y ) - niekompletna funkcja gamma,
dla λ dążącego do nieskończoności rozkład Poissona może być
przybliżony rozkładem normalnym o średniej λ i wariancji λ.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Nośnik : {0, 1, 2, ...},
−λ k
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa e k!λ ,
,
dystrybuanta Γ(bk+1c,λ)
bkc!
wartość oczekiwana λ,
mediana ≈ bλ + 31 − 0.02
λ c,
moda bλc,
wariancja λ
1
skośność λ− 2 ,
kurtoza λ−1 ,
λk ln(k!)
entropia λ[1 − ln(λ)] + e −λ Σ∞
,
k=0
k!
(λ(e t −1))
funkcja generująca momenty e
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład Poissona.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu Poissona.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rozkład dwumianowy
Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w
ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo
sukcesu równe p. W Polsce określany też jako Rozkład Bernoulliego,
chociaż termin ten odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego.
Innym rozkładem, który opisuje ilość sukcesów w ciągu N prób, jest
rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są
niezależne (próba bez zwracania).
Parametry
n - liczba prób , n ­ 0,
0 ¬ p ¬ 1, prawdopodobieństwo sukcesu.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Nośnik :k ∈ {0, 1, 2, ..., n},
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
dystrybuanta I1−p (n − bkc, 1 + bkc),
wartość oczekiwana np,
mediana bnpc − 1, bnpc, bnpc + 1,
moda b(n + 1) pc,
wariancja np(1 − p)
skośność √ 1−2p ,
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
n
k
p k (1 − p)n−k,
np(1−p)
kurtoza 1−6p(1−p)
np(1−p) ,
1
entropia 2 ln (2πnep(1 − p)),
funkcja generująca momenty (1 − p + pe t )n
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład dwumianowy.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu dwumianowego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rozkład geometryczny
Rozkład geometryczny jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa
opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia, że proces Bernoulliego
odniesie pierwszy sukces dokładnie w k-tej próbie.
Niekiedy zamiast badać w której próbie odniesiemy pierwszy sukces,
badamy ile prób z rzędu kończy się porażką. Wówczas tak zdefiniowane k
jest o jeden mniejsze, więc we wszystkich wzorach należy dodać do niego
1.
rozkład geometryczny to szczególny przypadek ujemnego rozkładu
dwumianowego,
ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego jest rozkład
wykładniczy,
0 ¬ p ¬ 1, prawdopodobieństwo sukcesu.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Nośnik :k ∈ {1, 2, 3, . . . },
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (1 − p)k−1 p,
dystrybuanta 1 − (1 − p)k,
wartość oczekiwana p1,
m
l
− log(2)
,
mediana log(1−p)
moda 1,
wariancja 1−p
p2
2−p
√
skośność 1−p,
2
p
kurtoza 6 + 1−p
,
1−p
entropia − p log2 (1 − p) − log2 p,
funkcja generująca momenty
pe t
1−(1−p)e t
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład geometryczny.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu geometrycznego.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rozkład dzeta
Dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, będący granicą rozkładu Zipfa
(opierającego się na prawie Zipfa) dla parametru N dążącego do
nieskończoności.
Prawo Zipfa
Częstotliwość występowania słów jest odwrotnie proporcjonalna do
pozycji w rankingu.
Parametry
s ∈ (1, ∞), liczba rzeczywista,
ζ(s) - to funkcja dzeta Riemanna.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Nośnik :k ∈ {1, 2, . . .},
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
dystrybuanta
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
1/k s
ζ(s) ,
Hk,s
ζ(s) ,
wartość oczekiwana ζ(s−1)
ζ(s) dla s > 2,
moda 1,
2
wariancja ζ(s)ζ(s−2)−ζ(s−1)
dla s > 3
ζ(s)2
P∞ 1/k s
s
entropia k=1 ζ(s) log(k ζ(s)),
funkcja generująca momenty
Lis (e t )
ζ(s)
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa - rozkład dzeta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Rozkład
Poissona
dwumianowy
geometryczny
dzeta
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu dzeta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Rozkład beta
α > 0, parametr kształtu,
β > 0, parametr kształtu,
Γ - funkcja gamma,
B - funkcja beta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Nośnik :x ∈ [0; 1],
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
dystrybuanta Ix (α, β),
α
,
wartość oczekiwana α+β
α−1
moda α+β−2,
wariancja
skośność
αβ
(α+β)2 (α+β+1)
√
2 (β−α) α+β+1
√
x α−1 (1−x)β−1
,
B(α,β)
,
(α+β+2) αβ
α3 −α2 (2β−1)+β 2 (β+1)−2αβ(β+2)
.,
αβ(α+β+2)(α+β+3)
kurtoza 6
entropia
ln B(α, β) − (α − 1)ψ(α)(β − 1)ψ(β) + (α + β − 2)ψ(α + β) ,
P∞ Qk−1 α+r t k
funkcja generująca momenty 1 + k=1
r =0 α+β+r
k!
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Rysunek: Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu beta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Rysunek: Dystrybuanta rozkładu beta.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Rozkład wielowymiarowy
Wielowymiarowy rozkład normalny - rozkład wielowymiarowej zmiennej
losowej, będący uogólnieniem rozkładu normalnego na n wymiarów.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Rysunek: Wielowymiarowy rozkład normalny.
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
set xrange[-5:5]
set yrange[0:1]
set xlabel " x "
set ylabel " f(x) "
f1(x) = (1.0/(sqrt(2*pi)))*exp(x*x/2)
f2(x)= (1.0/(0.447213595*sqrt(2*pi)))*exp(-((x*x)/2*0.5)}
plot f1(x) title ’rozklad normalny’, \
f2(x) title ’Rozklad normalny 2’
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
n=5
set title " n= 5 "
set xrange[-5:5]
set xlabel " x "
set ylabel " f(x) "
f1(x)=gamma(0.5*(n+1))/(sqrt(n*pi)*gamma(0.5*n)), \
*(1.0+x**2/n)**(-0.5*(n+1.0))
plot f1(x) title ’ r. t-Studenta ’
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Kurtoza rokładu normalnego, momenty
Kurt =
Przemysław Juszczuk
µ4
σ4
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Kurtoza rokładu normalnego, momenty
Kurt =
µ4
σ4
Moment centralny
Moment centralny rzędu k zmiennej losowej X - wartość oczekiwana
funkcji g (x) = E [X − E (X )]k . µ2 - drugi moment centralny, to wariancja.
Moment zwykły
Moment zwykły rzędu k - wartość oczekiwana k-tej potęgi tej zmiennej.
Dla k=1 wartość oczekiwana - pierwszy moment zwykły m1 .
m = EX = m1 (X )
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Czwarty moment centralny
µ4 = E ((X −EX )4 ) = E (X 4 −4(EX )1 X 3 +6(EX )2 X 2 −4(EX )3 X 1 +(EX )4
= E (X 4 ) − 4E (EX )1 X 3 + 6E (EX )2 X 2 − 4E (EX )3 X 1 + E (EX )4
= E (X 4 ) − 4Em(X 3 ) + 6m2 E (X 2 ) − 4m3 E (X 1 ) + E (EX )4
= E (X 4 ) − 4mE (X 3 ) + 6m2 E (X 2 ) − 4m4 + m4
= E (X 4 ) − 4mE (X 3 ) + 6m2 E (X 2 ) − 3m4
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Momenty zwykłe
E (X 2 ) = σ 2 + m2
E (X 3 ) = 3σ 2 m + m3
E (X 4 ) = 3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Momenty zwykłe
E (X 2 ) = σ 2 + m2
E (X 3 ) = 3σ 2 m + m3
E (X 4 ) = 3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4
Wracamy do momentu centralnego
µ4 (X ) = E (X 4 ) − 4mE (X 3 ) + 6m2 E (X 2 ) − 3m4
= (3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4 ) − 4m(3σ 2 m + m3 ) + 6m2 (σ 2 + m2 ) − 3m4
= 3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4 − 12σ 2 m2 − 4m4 + 6σ 2 m2 + 6m4 − 3m4
= 3σ 4
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Momenty zwykłe
E (X 2 ) = σ 2 + m2
E (X 3 ) = 3σ 2 m + m3
E (X 4 ) = 3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4
Wracamy do momentu centralnego
µ4 (X ) = E (X 4 ) − 4mE (X 3 ) + 6m2 E (X 2 ) − 3m4
= (3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4 ) − 4m(3σ 2 m + m3 ) + 6m2 (σ 2 + m2 ) − 3m4
= 3σ 4 + 6σ 2 m2 + m4 − 12σ 2 m2 − 4m4 + 6σ 2 m2 + 6m4 − 3m4
= 3σ 4
Kurtoza rozkładu normalnego
K=
(µ4 (X ))
σ4
−3=
3σ 4
σ4
−3=3−3=0
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
arcusa sinusa,
Arfwedsona,
Arnolda,
arytmetyczny,
asymetryczny,
asymptotyczny,
beta Poissona,
beta Whittle’a,
beta-gamma,
beta-pierwszy,
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
beta-Stacy’ego,
Binghama,
Birnbauma-Saundersa,
Birnbauma-Tingeya,
Borela-Tannera,
Bosego,
Bradforda,
brzegowy,
Cauchy’ego dwuwymiarowy,
Charliera,
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
chi,
Dimrotha-Watsona,
Dirichleta,
dwumianowy podwójny,
dwumodalny,
dwustronnie wykładniczy,
Elfwinga,
Engseta,
F logarytmiczny,
F podwójnie niecentralny,
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
Ferreriego,
Frécheta,
Gaussa odwrotny,
Gaussa-Poissona,
Gibrata,
harmoniczny,
Helmerta,
hipergeometryczny odwrotny,
Isinga-Stevensa,
jednopunktowy,
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
Kapteyna,
kwadratowo-normalny,
logarytmicznie logistyczny,
logarytmiczny Poissona z zerami,
Lomaxa,
Marshalla-Olkina,
Maxwella,
Millera,
najmniej korzystny,
nieosobliwy,
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
normalny ucięty Poissona,
Pascala,
Perka,
Poissona-Lexisa,
Poissona-Pascala,
Pólyi,
Rayleigha,
Rhodesa,
Riemanna,
równowagi,
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Inne rozkłady
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
rozkład
Shorta,
skontaminowany,
Smirnowa-Birnbauma-Tingeya,
Stevensa-Craiga,
Stirlinga,
szeregu Dirichleta,
Thomasa,
w połowie Cauchy’ego,
Walda,
Yule’a...
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne
Parę słów wstępu
Rozkłady ciągłe
Rozkłady skokowe
Inne
Rozkład beta
Rozkład normalny wielowymiarowy
Trochę gnuplota...
Ciekawostka...
Inne rozkłady
Dziękuję za uwagę
Przemysław Juszczuk
Rozkłady statystyczne