1. Niech A, B b¦d¡ multizbiorami na zbiorze S = 1a, b, c, d, e, fl

1. Niech A, B b¦d¡ multizbiorami na zbiorze S = {a, b, c, d, e, f },
A = {a, a, a, b, e, f, f }, B = {a, a, b, b, d, f, f }.
Zapisa¢ te multizbiory przy u»yciu ich funkcji charakterystycznej. Wyznaczy¢ A ∪ B oraz A ∩ B .
2. Dane s¡ macierze s¡dziedztwa





0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0




,





0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0



.

(a) Która z tych macierzy jest macierz¡ s¡siedztwa grafu, a która
digrafu?
(b) Wyznaczy¢ stopnie wierzchoªków ka»dego z tych grafów. W przypadku digrafu poda¢ stopnie wchodz¡ce i wychodz¡ce. Wyznaczy¢
ich liczb¦ kraw¦dzi.
(c) Poda¢ macierze incydencji tych grafów.
(d) Narysowa¢ grafy reprezentowane przez powy»sze macierze
s¡siedztwa.
3. Narysowa¢ graf peªny K5 oraz dwudzielny graf peªny K3,4 . Poda¢
macierz s¡siedztwa tych grafów. Jak wygl¡da macierz s¡siedztwa
grafów On , Kn oraz Kn,m dla n, m > 0?
4. Graf o 13 kraw¦dziach ma po 3 wierzchoªki stopnia 1, 2 i 3. Pozostaªe
wierzchoªki s¡ stopnia 4. Ile wierzchoªków ma ten graf?
5. Wykaza¢, »e w ka»dym grafie prostym istniej¡ przynajmniej dwa wierzchoªki tego samego stopnia.
6. Wykaza¢, »e ka»de drzewo jest grafem dwudzielnym. Które drzewa s¡
peªnymi grafami dwudzielnymi?
7. Narysowa¢ diagramy Hassego nast¦puj¡cych posetów. W posetach tych
wskaza¢ elementy najmniejsze, najwi¦ksze, maksymalne i minimalne.
Czy ten poset jest krat¡? Je±li tak, to czy jest krat¡ dystrybutywn¡?
Czy jest krat¡ komplementarn¡? Czy jest algebr¡ Boole'a? Odpowiedzi
uzasadni¢. W ka»dym z tych posetów wskaza¢ najdªu»szy ªa«cuch i
najdªu»szy antyªa«cuch.
(a) Zbiór dzielników liczby 42 z relacj¡ podzielno±ci.
(b) Zbiór pot¦gowy zbioru A = {1, 2, 3, 4} z relacj¡ inkluzji.
(c) Zbiór dwuelementowych ci¡gów ternarnych (zbudowanych z elementów 0,1,2) z porz¡dkiem leksykogracznym.
(d) Zbiór dwuelementowych ci¡gów ternarnych (zbudowanych z elementów 0,1,2) z porz¡dkiem "po wspóªrz¦dnych".