Teoria Grafów – Matematyka 29.11.2016

Teoria Grafów – Matematyka
29.11.2016
Lista 5. Grafy skierowane.
1. Które z poniższych grafów skierowanych są izomorficzne?
2. Zbadaj orientowalność grafu: Petersena, dwunastościanu, Kn oraz Km,n .
3. Wierzchołkami digrafu są pary liczb całkowitych: 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, a łuki są postaci
(ij, jk) dla i, j, k ∈ {1, 2, 3}. Wyznacz ścieżkę eulerowską w tym digrafie i użyj jej do znalezienia
takiego cyklicznego ustawienia dziewięciu jedynek, dziewięciu dwójek i dziewięciu trójek, w którym
każda z 27 możliwych trójek liczb (np. 111, 233) występuje dokładnie jeden raz.
4. Turniej nazywamy przechodnim, jeżeli z istnienia w nim łuków u 7→ v i v 7→ w wynika istnienie łuku
u 7→ w. Uzasadnij, że turniej przechodni nie jest silnie spójny.
∑
∑
(deg− v)2 .
5. Niech T będzie turniejem o zbiorze wierzchołków V . Udowodnij, że
(deg+ v)2 =
v∈V
v∈V
6. Pokaż, że w każdym turnieju istnieje wierzchołek, z którego można dojść do każdego innego po drodze
skierowanej długości co najwyżej 2 do każdego innego.
7. Pokaż, że suma grafów skierowanych jest działaniem łącznym, tzn. że grafy G1 ⊕ (G2 ⊕ G3 ) oraz
(G1 ⊕ G2 ) ⊕ G3 są izomorficzne.
8. Pokaż, że w G1 ⊕ G2 istnieje cykl skierowany wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje cykl skierowany w G1
lub w G2 .
9. Zbiór wierzchołków K ⊂ V jest jądrem grafu skierowanego G = (V, Γ), jeżeli nie ma łuków pomiędzy
dwoma wierzchołkami z K, a dla każdego wierzchołka v spoza K istnieje wierzchołek w ∈ K taki, że
v → w. Uzasadnij, że jedynym jądrem digrafu bez cykli skierowanych jest zbiór miejsc zerowych jego
funkcji Sprague-Grundy’ego.
10. Wyznacz funkcję Sprague-Grundy’ego dla grafu obok.
Czy gracz rozpoczynający grę na tym grafie z wierzchołka v ma strategię wygrywającą?
v
11. Na stole leżą dwa pudełka oznaczone literami A i B, zawierające odpowiednio m i n żetonów. W grze
możliwe są dwa rodzaje ruchów: możemy z pudełka A (o ile nie jest ono puste) wyciągnąć 1, 2 lub 3
żetony i odłożyć je na stół, albo z pudełka B (o ile nie jest ono puste) wyciągnąć 1, 2 lub 3 żetony
i przełożyć je do A. Żetony odłożone na stół nie biorą już udziału w grze. Wygrywa gracz, który
wykona ostatni dopuszczalny ruch. Narysuj fragment grafu tej gry i opisz strategię wygrywającą w
tej grze.
12. Rozważmy graf skierowany G = (V, Γ), w którym V = N0 = {0, 1, 2, . . .}, a funkcja Γ : V 7→ 2V
określona jest następująco: Γ(n) = {n−1, n−3}∩N0 dla n nieparzystych oraz Γ(n) = {n−1, n−2}∩N0
dla n parzystych. Wyznacz funkcję Sprague-Grundy’ego na G oraz opisz strategię wygrywającą w grze
na G oraz na G ⊕ G.
13. Niech Dn oznacza zbiór dzielników pierwszych liczby n uzupełniony liczbą 1, np. D12 = {1, 2, 3}, D7 =
{1, 7}. Rozważmy grę dwuosobową na grafie skierowanym G = (V, Γ), w którym V = {0, 1, 2, . . . , 100},
a funkcja Γ : V 7→ 2V określona jest następująco: Γ(0) = ∅, Γ(x) = {x − d; d ∈ Dx } dla x > 1. Gracze
wykonują ruch naprzemiennie, rozpoczynając z pozycji 100. Wygrywa ten, kto wykona ruch do pozycji
0. Czy gracz rozpoczynający ma strategię wygrywającą?