8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU

8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO
Poznane przez nas idealne elementy obwodów elektrycznych są wyidealizowanymi,
uproszczonymi odwzorowaniami obiektów rzeczywistych. Prostota ich matematycznego opisu
daje pożądany efekt łatwości dokonywania analiz i obliczeń. Jednak zastosowane uproszczenia
nie zawsze są możliwe do zaakceptowania. Wtedy do opisu danego obiektu lub obwodu
rzeczywistego używa się kilku elementów idealnych połączonych w odpowiednią strukturę.
Strukturą tą jest schemat zastępczy danego obiektu lub obwodu.
8.1. Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL
W idealnej cewce indukcyjnej zachodzi jedno tylko zjawisko fizyczne. Jest nim opisywane
prawem Faraday’a zjawisko samoindukcji, związane z istnieniem pola magnetycznego, którego
źródłem jest prąd płynący w cewce. Dla rzeczywistych cewek jest to idealizacja idąca zbyt
daleko. Cewka wykonana jest z jakiegoś przewodnika, występuje w nim zatem jeszcze co
najmniej jedno zjawisko - zjawisko cieplnego rozpraszania energii elektrycznej. Zazwyczaj nie
można go pomijać w analizach. Jest ono opisywane prawami Ohma oraz Joule’a, zaś w
schematach zastępczych jest odwzorowywane przez idealny rezystor. Zatem schemat zastępczy
cewki rzeczywistej powinien składać się z co najmniej dwu elementów idealnych - idealnej cewki
indukcyjnej i idealnego rezystora.
Tempo cieplnego rozpraszania energii elektrycznej w rezystorze (tj. moc pobierana przez
rezystor) zależy od wartości natężenia prądu ( p( t ) = R ⋅ i 2 ( t ) ). Również zjawisko samoindukcji
zachodzące w cewce zależy od natężenia prądu (dokładniej, od jego zmian w czasie di
u L = L ⋅ ). Stąd w schemacie zastępczym cewki rzeczywistej rezystor i cewka powinny być
dt
połączone tak, by przepływał przez nie ten sam prąd, a więc szeregowo.
Rys. 8.1. Schemat zastępczy cewki rzeczywistej jako gałęzi RL
Zbadajmy jak od przebiegu czasowego wartości chwilowych prądu oraz wartości
rezystancji i indukcyjności cewki zależy przebieg wartości chwilowych napięcia.
Niech prąd płynący przez cewkę ma przebieg sinusoidalny - i( t ) = I m sin( ωt + ψ I ) .
Zależności pomiędzy przebiegami czasowymi prądu oraz napięć idealnego rezystora i
idealnej cewki opisane są równaniami tych elementów. Mają one postaci - u R ( t ) = RL i( t ) i
di( t )
. Rezystor i cewka są ze sobą połączone szeregowo, zatem napięcie gałęzi jest
uL( t ) = L
dt
sumą tych napięć:
di( t )
u( t ) = u R ( t ) + u L ( t ) = R L i( t ) + L
(8.1)
dt
Sumę tę najprościej wyznacza się stosując metodę symboliczną - stworzoną właśnie do tego
celu. W metodzie symbolicznej schemat zastępczy cewki z przebiegami czasowymi prądu i
- 33 -
napięć, zastępuje się schematem zastępczym cewki z wartościami skutecznymi zespolonymi
prądu i napięć (rys. 8.1.).
Zamiast natężenia prądu jako funkcji czasu mamy teraz natężenie prądu odwzorowywane
przez liczbę zespoloną:
I
⇒
i( t ) = I m sin( ωt + ψ I )
I = m ⋅ e jψ I = I ⋅ e jψ I
2
Zamiast sumowania funkcji czasu mamy sumowanie liczb zespolonych.
⇒
u( t ) = u R ( t ) + u L (t)
U = U R +U L
Podstawiając wyprowadzone w rozdz. 7. wzory na zależności pomiędzy wartościami
skutecznymi prądu i napięcia dla idealnego rezystora ( U R = RL I ) i idealnego induktora
( U L = jωL ⋅ I ) otrzymujemy:
di( t )
(8.2)
⇒ U = RL I + jωL I = ( RL + jωL ) I
u( t ) = RL i( t ) + L
dt
Z wzoru (8.2) wynika, że impedancja zespolona cewki rzeczywistej (gałęzi RL) ma
wartość:
Z = RL + jωL = RL + jX L (postać algebraiczna);
Z = Z e jϕ
gdzie:
(postać wykładnicza)
Z = R L 2 + ( ωL ) 2 = R L 2 + ( X L ) 2 ,
X
ωL
= ar tg L .
RL
RL
Wartość skuteczna napięcia i wartość kąta
przesunięcia fazowego między prądem i napięciem
Rys. 8.2. Impedancja zespolona cewki rzeczywistej
wynoszą więc:

2
2
U = Z I = R L + ( ωL ) I
(8.3)

ωL
ψ U = ψ I + ar tg
RL

Trójkąt jaki tworzą dodawane do siebie wektory odwzorowujące impedancję zespoloną
cewki rzeczywistej (gałęzi RL) oraz impedancje zespolone rezystora i cewki idealnej, nosi nazwę
trójkąta impedancji. Pokazano go na rys. 8.2.
Dla trójkąta impedancji słuszne są zależności:
RL = Z cosϕ i X L = ωL = Z sinϕ
(8.4)
Wartości skuteczne zespolone napięć cewki rzeczywistej i napięć elementów idealnych
wchodzących w skład jej schematu zastępczego wynoszą:
ϕ = ar tg
jΨ I
j(Ψ I +
π
)
2 , U = Z I e j(Ψ I +ϕ )
, U L = ωL I e
U R = RL I e
Stąd odwzorowywane przez nie napięcia mają przebiegi czasowe:
u R ( t ) = 2 R L I sin( ωt + ψ I )
π
u L ( t ) = 2 ωL I sin( ωt + ψ I + ) = 2 ωL I cos( ωt + ψ I )
2
u( t ) = 2 Z I sin( ωt + ψ I + ϕ ) = 2 R L 2 + ( ωL )2 I sin( ωt + ψ I + ar tg
ωL
)
RL
Wykresy tych przebiegów pokazano na rys. 8.3.
Wykres wskazowy prądu i napięć cewki rzeczywistej pokazano na rys. 8.4. Wskazy napięć
występujących na elementach idealnych, z których składa się schemat zastępczy cewki zostały
narysowane w sposób pokazujący, że napięcie na całej gałęzi jest ich sumą. Tworzą one tzw.
- 34 -
trójkąt napięć. Trójkąt impedancji i trójkąt napięć są trójkątami podobnymi - mają takie same
kąty, a ich boki są do siebie proporcjonalne.
Obydwa są trójkątami prostokątnymi. Stąd również dla trójkąta napięć słuszne są
zależności:
U R = U cosϕ i U L = U sinϕ
(8.5)
Rys. 8.3. Przebiegi czasowe prądu i napięć cewki rzeczywistej
Rys. 8.4. Wykres wskazowy prądu i napięć cewki rzeczywistej
Kąt ϕ to kąt o jaki przebieg czasowy napięcia gałęzi wyprzedza w fazie przebieg czasowy
π
natężenia. Przyjmuje on wartości z przedziału ⟨ 0, ⟩ . Wyprzedzanie natężenia przez napięcie jest
2
charakterystyczne dla cewki, przy czym dla cewki idealnej kąt przesunięcia fazowego ma wartość
π
(por. pkt 7.2 rozdz. 7.). W przypadku cewki rzeczywistej jest on mniejszy. To zmniejszenie
2
jest związane z występowaniem w gałęzi rezystancji. Cewka rzeczywista (gałąź RL) zachowuje
się w obwodzie prądu sinusoidalnego w sposób pośredni pomiędzy cewką idealną i rezystorem
idealnym (można też to interpretować jako zachowywanie się jednocześnie jak cewka idealna i
jak rezystor idealny). Stąd mówimy, że ma ona charakter rezystancyjno-indukcyjny.
W cewce rzeczywistej nie ma dwu odrębnych części, z których jedna byłaby idealnym
rezystorem, a druga cewką idealną. Takie odrębne części występują jedynie w jej schemacie
zastępczym, a więc w schemacie obwodu złożonego z idealnych elementów, będącego modelem
cewki rzeczywistej. Zatem pokazane na rys. 8.3. przebiegi napięć na tych elementach mają sens
wyłącznie „matematyczny” - są pomocne przy wyznaczaniu przebiegów rzeczywistych, lecz nie
należy ich traktować jako przebiegów gdzieś rzeczywiście, „fizycznie” występujących. Tymi,
rzeczywiście występującymi przebiegami „fizycznymi” są tu przebiegi wartości chwilowych
prądu ( i( t ) ) i napięcia całej gałęzi ( u( t ) ).
Parametry schematu zastępczego cewki - rezystancja, indukcyjność, reaktancja indukcyjna,
impedancja, kąt ϕ , itp., mogą być wyznaczone na drodze pomiarów. Rezystancja cewki jest tą
samą rezystancją, która występuje w obwodzie prądu stałego. Można ją zatem wyznaczyć
zasilając cewkę napięciem stałym, mierząc napięcie ( U st ) i natężenie ( I st ), a rezystancję
U
obliczając z wzoru R L = st . Zasilając cewkę prądem sinusoidalnie zmiennym i mierząc
I st
U
wartości skuteczne prądu ( I ~ ) i napięcia ( U ~ ) można wyznaczyć jej impedancję jako Z = ~ .
I~
Znajomość rezystancji i impedancji umożliwia wyliczenie wszystkich pozostałych parametrów
cewki.
Cewka rzeczywista jest odbiornikiem. Pobiera energię z mocą o przebiegu czasowym, który
można wyznaczyć jako iloczyn przebiegów napięcia i prądu - p( t ) = u( t ) ⋅ i( t ) . Uwzględniając to,
że napięcie cewki rzeczywistej jest sumą napięć rezystora i induktora ( u( t ) = u R ( t ) + u L (t) ), a
także biorąc pod uwagę wyprowadzone w rozdziale 7. wzory (7.4) i (7.13a) na przebiegi wartości
chwilowych mocy rezystora i cewki idealnej, otrzymujemy:
- 35 -
p( t ) = ( u R( t ) + u L( t ) ) ⋅ i( t ) = u R( t ) i( t ) + u L( t ) i( t ) =
(8.6)
= U R I [ 1 − cos( 2ωt + 2Ψ I )] + U L I sin( 2ωt + 2Ψ I )
Moc czynna cewki rzeczywistej, a więc wartość średnia jej mocy chwilowej obliczana za
okres, wynosi:
P = p śr =
1
2π
2π
∫ [U R I [ 1 − cos( 2ωt + 2Ψ I )] + U L I sin( 2ωt + 2Ψ I )]dωt = U R I
(8.7)
0
Wynika stąd, że moc czynna cewki rzeczywistej (gałęzi RL) jest tożsama z mocą czynną
występującego w jej schemacie zastępczym rezystora.
Podstawiając do wzoru (8.7) wzór (8.5) otrzymuje się jeszcze inną postać wyrażenia na
moc czynną cewki:
(8.8)
P = U I cosϕ
Współczynnik mocy cewki, definiowany jako stosunek mocy czynnej do mocy pozornej
(por. pkt 6.3. rozdz. 6.), wynosi:
P U I cos ϕ
λ= =
(8.9)
= cos ϕ
S
UI
Właśnie dlatego, w praktyce do
oznaczania współczynnika mocy, na ogół nie
stosuje się symbolu „ λ ” lecz oznaczenie
„ cos ϕ ”.
Przy danych wartościach skutecznych
prądu i napięcia (a więc przy danej mocy
pozornej „ S ”), o wartości „prawdziwej” mocy
pobieranej przez odbiornik, tj. mocy czynnej
„ P ”, decyduje kosinus kąta przesunięcia
fazowego pomiędzy prądem i napięciem
ϕ
Rys. 8.5. Przebieg czasowy mocy cewki rzeczywistej na tle
τ=
Przez
czas
( ϕ = ΨU −Ψ I ).
przebiegów prądu i napięcia
ω
odpowiadający temu kątowi prąd i napięcie
cewki mają przeciwne znaki (por. rys. 8.5). Moc chwilowa jest wtedy ujemna co oznacza, że w
tych chwilach czasowych energia płynie z odbiornika do źródła. Jest to część tej energii, która
wcześniej do odbiornika dopłynęła. Zachodzi zatem oscylacyjny przepływ energii - do odbiornika
i z powrotem do źródła. Interpretowany jest on jako występowanie w obwodzie mocy biernej, w
tym przypadku mocy biernej indukcyjnej (bo odpowiedzialna za jej istnienie jest cewka
indukcyjna).
Wartość tej mocy definiuje się dla cewki rzeczywistej (gałęzi RL) jako iloczyn wartości
skutecznych napięcia, prądu i sinusa kąta przesunięcia fazowego pomiędzy nimi:
(8.10)
QL = U I sinϕ
Jest nią zatem wartość mocy biernej cewki idealnej, występującej w schemacie zastępczym
gdzie
cewki rzeczywistej ( QL = U L I
U L = U sinϕ - por. pkt 7.2. rozdz. 7.).
Pierwszy człon wzoru (8.6) na przebieg
wartości chwilowych mocy gałęzi RL to
przebieg
wartości
chwilowych
mocy
rezystora, człon drugi tego wzoru opisuje
przebieg wartości chwilowych mocy cewki
idealnej. Ten pierwszy człon w całym okresie
przebiegu ma wartości dodatnie - odpowiada
Rys. 8.6. Przebiegi czasowe mocy cewki rzeczywistej (gałęzi RL)
oraz mocy występujących w jej schemacie zastępczym
to jednokierunkowemu pobieraniu energii
rezystora i cewki idealnej
przez odbiornik. Wartość średnia członu
- 36 -
drugiego jest równa zeru - opisuje on zjawisko pobierania i oddawanie energii przez cewkę, a
ściślej przez jej pole magnetyczne, w którym ta energia jest okresowo magazynowana. Tym
razem jednak, inaczej niż w przypadku cewki idealnej, analizowanym w pkt 7.2. rozdz. 7., energia
pola magnetycznego (odpowiadająca sumie obydwu pól zakreskowanych na rys. 8.6. - pola
poziomo i pola zakreskowanego pionowo) nie jest w całości zwracana do źródła. Do źródła wraca
jedynie energia zakreskowana poziomo - jedynie ta części energii wynika z przyjmowania przez
moc p( t ) wartości ujemnych. Pozostała, zakreskowana pionowo, część energii oddawanej przez
cewkę idealną, płynie nie do źródła lecz do rezystora, w którym zamienia się na energię cieplną.
Transferowana jest wtedy gdy gałąź jako całość pobiera energię, lub gdy zwraca jej do źródła
mniej niż jej dostarcza cewka idealna.
Poszczególne rodzaje mocy definiowanych dla
gałęzi RL są nawzajem uzależnione od siebie tak jak
długości boków trójkąta prostokątnego: S = U I ,
P = U I cosϕ = S cosϕ i QL = U I sinϕ = S sinϕ . Stąd
zależności te daje się odwzorowywać graficznie za
pomocą tzw. trójkąta mocy (rys. 8.7).
Zależności te można zapisać w postaci
Rys. 8.7. Trójkąt mocy cewki rzeczywistej
równania wynikającego z prawa Pitagorasa:
S 2 = P 2 + QL2
(8.11)
Równanie to nosi nazwę równania mocy.
Istnienie zależności S = U I , P = U I cosϕ = S cosϕ i QL = U I sinϕ = S sinϕ uzasadnia
wprowadzenie jeszcze jednej wielkości charakteryzującej własności energetyczne obwodu. Jest
nią moc pozorna zespolona. Jej częścią rzeczywistą jest moc czynna, częścią urojoną - moc
bierna:
(8.12)
S = P + jQL = S cos ϕ + j S ⋅ sinϕ
Moce z trójkąta mocy pokazanego na rys. 8.7. to właśnie moce zespolone (dlatego można
było je przedstawić jako wektory).
Moc pozorną zespoloną można wyznaczyć na podstawie wartości skutecznych zespolonych
prądu i napięcia:
S = S ⋅ e jϕ = U I e j(Ψ u −Ψ i ) = U e jΨ i I e − jΨ i = U ⋅ I ∗
I * = I e -jα to wartość sprzężona do I = I e jα .
Słuszna jest zatem zależność:
S = U I*
(8.13)
Moc czynną gałęzi RL można wyliczyć z zależności P = Re( U I * ) , a jej moc bierną z
zależności Q = Im( U I * ) .
Na koniec rozważań o mocach charakteryzujących zjawiska energetyczne zachodzące w
gałęzi RL trzeba dodać, że w elektrotechnice przemysłowej współczynnikiem mocy nazywany
Q
, a więc tg ϕ . Powodem stosowania tego
bywa stosunek mocy czynnej do mocy biernej
P
współczynnika jest łatwość z jaką, za jego pomocą daje się obliczać moc bierną na podstawie
znajomości mocy czynnej.
Z zależności U = Z I = ( RL + jωL ) I wynika zależność:
1
1
I = U =YU =
U=
Z
R L + jω L
− j ⋅ ar tg
1
R L 2 + ( ωL ) 2
a także zależności
- 37 -
e
ωL
RL
⋅U
(8.14)
1

U =Y U
I =
2 + ( ωL ) 2
R



ψ I = ψ U − ar tg ωL

R
Zatem admitancja cewki rzeczywistej wynosi:
1
1
1
=
Y= =
Z
R 2 + ( ωL ) 2
R 2 +X2
L
L
(8.15)
(8.16)
L
Jej admitancja zespolona:
RL
ωL
1
1
=
−j
Y= =
2
2
2
Z R L + jω L R + ( ω L )
R + ( ωL )2
L
(8.16a)
Parametry cewki rzeczywistej można wyznaczyć doświadczalnie. Jedną z wielu
stosowanych tu metod jest pomiar przy pomocy trzech woltomierzy.
PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Celem wyznaczenia parametrów cewki połączono ją w szereg z rezystorem o znanej
rezystancji R = 10 Ω i układ ten zasilono napięciem sinusoidalnym (rys. 8.8.). Pomierzono
napięcia i częstotliwość.
Mierniki są idealne - nie wpływają na
wartości prądów i napięć obwodu. Mierzą
wartości skuteczne. Ich wskazania są
U1 = 50 V ;
U = 230 V ;
następujące:
U 2 = 200 V ; f ≈ 50 Hz .
Należy obliczyć indukcyjność L i
rezystancję RL cewki.
Obwód jest szeregowy, zatem ten sam
prąd płynie przez wszystkie elementy.
Napięcie na obydwu rezystorach jest w fazie
Rys. 8.8. Schemat układu do pomiaru parametrów cewki
z prądem, natomiast napięcie na induktorze
π
wyprzedza prąd o ćwierć okresu ( rad ). Pokazuje to szkic wykresu wskazowego prądu i napięć
2
układu pomiarowego przedstawiony na rys. 8.9. Przy sporządzaniu wykresu przyjęto początkowy
kąt fazowy dla prądu zerowy. Jest to uprawnione - przecież interesujące nas wartości skuteczne
napięć i ich wzajemne przesunięcia fazowe nie zależą od tego kąta.
Napięcie u 2 ( t ) jest sumą napięć
u L ( t ) i u R L ( t ) zaś napięcie u( t ) - sumą
Rys. 8.9. Szkic wykresu wskazowego prądu i napięć układu do
wyznaczania parametrów cewki rzeczywistej
napięć u1( t ) i u 2 ( t ) . Napięcia te
reprezentowane
są
na
wykresie
odwzorowującymi je wskazami wartości
skutecznych. Dodawanie funkcji czasu
zastępuje tu geometryczne dodawanie
wskazów.
Aby wyznaczyć wartości rezystancji i
reaktancji cewki trzeba znać wartości
skuteczne napięć U R L i U L . Można je
wyznaczyć z równań opisujących trójkąty napięć (rys. 8.9). Wykorzystując twierdzenie
- 38 -
Pitagorasa można ułożyć dwa takie równania. Tworzą one układ dwu równań z dwiema
niewiadomymi.
2
2
U 2 = ( U + U
1
RL ) + U L

 2
2
2
U 2 = U R L + U L
Ich rozwiązanie daje wartości:
U R L = 104 V i . U L ≈ 170,8 V
Wartość skuteczną prądu płynącego w obwodzie można wyznaczyć na podstawie
znajomości rezystancji rezystora szeregowego R i występującego na tym rezystorze napięcia
( U1 ) korzystając z prawa Ohma:
U
50
=5A
I= 1=
R 10
Stąd:
U R L 104
X
U
170 ,8
34 ,16
RL =
=
= 20 ,8 Ω , X L = L =
= 34 ,16 Ω , L = L ≈
≈ 0 ,1088 H
5
I
5
ω
2 ⋅ π ⋅ 50
I
8.2. Gałąź szeregowa RLC
Rozważmy teraz przypadek ogólny - szeregowe połączenie wszystkich trzech, poznanych
dotychczas idealnych elementów pasywnych. Tworzą one gałąź szeregową RLC (rys. 8.10).
Może ona być, przykładowo, schematem zastępczym kondensatora, w którym uwzględniono
rezystancję i indukcyjność przewodów doprowadzających, może być schematem zastępczym
gałęzi złożonej z kondensatora i dławika połączonych ze sobą szeregowo. Zbadajmy jak od
przebiegu wartości chwilowych prądu oraz wartości rezystancji, indukcyjności i pojemności
elementów idealnych tworzących schemat zastępczy gałęzi zależy przebieg wartości chwilowych
napięcia.
Rys. 8.10. Gałąź szeregowa RLC
Zastosujemy do tego celu metodę symboliczną.
W każdej chwili czasowej napięcie gałęzi RLC jest równe sumie napięć na elementach, z
których się składa jej schemat zastępczy:
u(t) = u R ( t ) + u L ( t ) + uC ( t )
(8.17)
Zatem wartość skuteczna zespolona napięcia gałęzi jest sumą wartości skutecznych
zespolonych elementów idealnych:
(8.17a)
U = U R +U L +U C
Przez wszystkie te elementy płynie prąd o przebiegu czasowym i( t ) i wartości skutecznej
zespolonej I :
I
⇒
i( t ) = I m sin( ωt + ψ I )
I = m ⋅ e jψ I = I ⋅ e jψ I .
2
- 39 -
Zależność wartości skutecznych zespolonych napięć elementów idealnych wchodzących w
skład gałęzi od wartości skutecznej zespolonej natężenia prądu płynącego przez te elementy
1
opisują wzory: U R = R I , U L = jωL I = jX L I , U C = − j
I = − jX C I .
ωC
Stąd zależność wartości skutecznej zespolonej napięcia gałęzi RLC od wartości skutecznej
zespolonej natężenia prądu opisuje wzór:
1
1
(8.18)
U = R I + j ωL I − j
I = [ R + j ( ωL −
)] I = Z I
ωC
ωC
Wzór ten można przekształcić do postaci wykładniczej:
1
ωC
R
I e jΨ I
ωL −
1 2 j ⋅ ar tg
(8.18a)
) e
ωC
Stąd funkcja opisująca przebieg czasowy napięcia gałęzi RLC:
1
ωL −
1 2
ωC )
(8.19)
u( t ) = R 2 + ( ωL −
) I m sin( ωt +Ψ I + ar tg
ωC
R
Ze wzorów (8.18) i (8.18a) wynika, że impedancja gałęzi szeregowej RLC wynosi:
1 2
(8.20a)
Z = R 2 + ( ωL −
) = R 2 + ( X L − X C )2 = R 2 + X 2
ωC
a kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem ma wartość:
1
ωL −
ωC = ar tg X L − X C = ar tg X
ϕ = ar tg
(8.20b)
R
R
R
Impedancja zespolona gałęzi ma wartość:
1
(8.20c)
Z = R + j ( ωL −
) = R + j( X L − X C ) = R + jX
ωC
gdzie:
1
(8.21)
X = X L − X C = ωL −
ωC
Wielkość definiowana wzorem (8.21) to reaktancja wypadkowa gałęzi RLC, nazywana
krótko reaktancją gałęzi RLC.
Zależne od wzajemnych relacji wielkości reaktancji cewki i kondensatora, wchodzących w
skład gałęzi, jej reaktancja wypadkowa może mieć wartości albo dodatnie albo ujemne albo też
być równą zeru. Przypadki te ilustrują trzy trójkąty impedancji pokazane na rys. 8.11. Boki tych
trójkątów są wektorami - tworzą je impedancje zespolone.
U = R 2 + ( ωL −
Rys. 8.11. Trójkąty impedancji gałęzi szeregowej RLC
Gdy reaktancja cewki jest większa od reaktancji kondensatora, reaktancja gałęzi ma wartość
dodatnią - X = X L − X C > 0 . Dodatnią wartość ma wtedy także kąt ϕ ( ar tg
π
Przyjmuje on wartości z przedziału (0, ) , jak dla cewki rzeczywistej.
2
- 40 -
X L − XC
> 0 ).
P
Gdy reaktancja indukcyjna jest mniejsza od reaktancji pojemnościowej, reaktancja gałęzi
ma wartość ujemną - X = X L − X C < 0 . Ujemny jest też kąt ϕ ( ar tg
X L − XC
< 0 ). Przyjmuje
P
π
on wartości z przedziału (- ,0) .
2
Dla X C = X L reaktancja wypadkowa gałęzi ma wartość zerową ( X = X L − X C = 0 ).
Także kąt ϕ jest równy zeru.
Dla wszystkich trzech przypadków słuszne są zależności:
R = Z cosϕ i X = Z sinϕ
(8.22)
W skrajnym, wyidealizowanym przypadku, gałąź RLC może być utworzona przez sam
idealny kondensator (gdy L = 0 i R = 0 ). Impedancja gałęzi jest wówczas równa impedancji
tworzącego ją kondensatora, a ta jest równa jego reaktancji pojemnościowej. Ze sposobu ich
U
1
definiowania wynika, że są one zawsze dodatnie - Z C = C =
= X C > 0 . Jednak reaktancja
I
ωC
1
1
takiej gałęzi wyliczona z wzorów (8.21) lub (8.22) ma wartość ujemną - X = 0 −
=−
<0 i
ωC
ωC
1
1
π
X = Z sinϕ =
sin( − ) = −
< 0 (kąt ϕ = ΨU −Ψ I przyjmuje dla kondensatora wartość
2
ωC
ωC
π
ϕ = − rad - por. pkt. 7.3. rozdz. 7.). Istnieje tu więc istotna niekonsekwencja, o której elektryk
2
powinien wiedzieć - reaktancja kondensatora ma zawsze taką samą wartość bezwzględną, ale, w
zależności od tego czy interesuje nas kondensator jako element idealny, czy też jako element
idealny wchodzący w skład schematu zastępczego gałęzi, reaktancja ta może być dodatnia lub
ujemna.
Rys. 8.12. Trójkąty napięć gałęzi szeregowej RLC
Rozważmy teraz zależności występujące pomiędzy napięciami elementów idealnych
tworzących gałąź RLC, dla różnych przypadków wzajemnych relacji wartości ich reaktancji.
Narzędziem pozwalającym na wyeksponowanie tych zależności są wykresy wskazowe napięć i
prądu. Aby ułatwić sobie ich rysowanie załóżmy dla prądu fazę początkową równą zero
( I = I ⋅ e j⋅0 = I - przyjęcie innego kąta skutkowałoby obrotem wskazów o ten właśnie kąt).
1
I,
Wartości skuteczne zespolone napięć gałęzi wynoszą - U R = R I , U L = jωL I , U C = − j
ωC
U = Z I . Odpowiadające im wykresy pokazano, dla rozważanych trzech przypadków, na rys.
4.12. Wykresy te nazywane są trójkątami napięć. Boki trójkątów napięć są wskazami wartości
skutecznych napięć. Otrzymuje się je mnożąc wartości impedancji tworzących boki trójkąta
impedancji (rys. 8.11) przez wartość skuteczną zespoloną prądu (w naszym przypadku, a więc dla
prądu o zerowej fazie początkowej, jest ona równa wartości skutecznej). Odpowiadające sobie
trójkąty impedancji i trójkąty napięć są figurami podobnymi.
- 41 -
Napięcia na cewce i na kondensatorze, a więc na elementach reaktancyjnych gałęzi RLC
mają przeciwne fazy (gdy płynie przez nie ten sam prąd, co tu ma miejsce). Wartość skuteczna
wypadkowego napięcia tych elementów wynosi więc:
(8.23)
U X = U L − U C = U sinϕ = U sin ϕ
Jest ona modułem wartości skutecznej zespolonej napięcia U X = U L − U C .
Spełnione są też zależności:
(8.23a)
U L − U C = U sinϕ
oraz
U R = U cos ϕ
(8.24)
Kąt ϕ jest kątem przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem i prądem ( ϕ =ΨU −Ψ I ).
Widać to doskonale na wykresach wskazowych. Jeżeli wartość kąta jest dodatnia, to przebieg
czasowy napięcia wyprzedza w fazie przebieg czasowy prądu o ten właśnie kąt. Gałąź ma wtedy
charakter pośredni pomiędzy rezystancyjnym i indukcyjnym (można też widzieć go jako
rezystancyjny i indukcyjny jednocześnie) - jak dla cewki rzeczywistej (por. pkt. 8.1). Mówimy, że
gałąź ma charakter rezystancyjno-indukcyjny. Ujemna wartość kąta ϕ oznacza, że przebieg
czasowy napięcia opóźnia się w fazie w stosunku do przebiegu czasowego prądu - jak dla
idealnego kondensatora, lecz o mniejszy kąt. Zatem gałąź ma charakter pośredni pomiędzy
rezystancyjnym i pojemnościowym (można też widzieć go jako jednocześnie rezystancyjny i
pojemnościowy). Mówimy, że ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy.
Zerowa wartości kąta ϕ oznacza, że prąd jest w fazie z napięciem - jak dla gałęzi złożonej
z samego tylko rezystora. Dzieje się tak, pomimo iż w gałęzi występują elementy reaktancyjne cewka i kondensator. Jednak napięcia na cewce i na kondensatorze mają takie same amplitudy
lecz przeciwne fazy, stąd wzajemnie kompensują się - wypadkowe napięcie na nich jest w każdej
chwili czasowej równe zeru. Występuje tu tzw. rezonans szeregowy (bo gałąź jest szeregowa),
zwany też rezonansem napięć (bo kompensują się napięcia).
Przykładowy przebieg wartości chwilowych napięć i prądu gałęzi RLC, a także napięć
rezystora, cewki i kondensatora pokazano na rys. 8.13. Na ogół, rezystor, cewka i kondensator nie
są rzeczywistymi obiektami fizycznymi, lecz elementami idealnymi tworzącymi schemat
zastępczy jakiegoś obiektu rzeczywistego, w którym występują modelowane przez te elementy
zjawiska. Wtedy przebiegi napięć na tych elementach nie są przebiegami gdzieś rzeczywiście,
„fizycznie” występującymi, a jedynie pewną konstrukcją matematyczną ułatwiającą obliczanie
przebiegów rzeczywistych (którymi są przebiegi czasowe prądu i napięcia gałęzi).
Rys. 8.14. Przebieg czasowy mocy gałęzi RLC
na tle przebiegu czasowego prądu i napięcia
Rys. 8.13. Przebiegi napięć i prądu gałęzi RLC
Wykresy przebiegów czasowych z rys. 8.13. zawierają tyle samo informacji o napięciach i
prądzie gałęzi ile można wyczytać z wykresu wskazowego z rys. 8.12a. (przebiegi z rys. 8.13.
odpowiadają gałęzi o charakterze rezystancyjno-indukcyjnym). Jednak dzięki prostocie wykresów
wskazowych, zależności pomiędzy przebiegami są na nich bardziej widoczne - stąd wynika
- 42 -
przydatność takich wykresów do analizowania i zrozumienia zjawisk występujących w obwodach
elektrycznych.
Przebieg czasowy wartości chwilowych mocy jaką pobiera gałąź RLC jest sumą
przebiegów czasowych mocy elementów idealnych tworzących jej schemat zastępczy:
p( t ) = u( t ) i( t ) = [ u R ( t ) + u L ( t ) + u C ( t )] i( t ) =
(8.25)
= u R ( t ) i( t ) + u C ( t ) i( t ) + u C ( t ) i( t )
Podstawiając do wzoru (8.25) wyprowadzone w rozdz. 7. wzory (7.4), (7.13a) i (7.21b) na
przebiegi czasowe wartości chwilowych mocy tych elementów, otrzymujemy wzór na przebieg
czasowy mocy gałęzi RLC:
p( t ) = U R I [ 1 − cos( 2ωt + 2Ψ I )] + U L I ( 2ωt + 2Ψ I ) − U C I sin( 2ωt + 2Ψ I ) =
(8.26)
= U R I [ 1 − cos( 2ωt + 2Ψ I )] + [ U L − U C ] I sin( 2ωt + 2Ψ I )
Przebieg ten, na tle przebiegów czasowych wartości chwilowych prądu i napięcia,
pokazano na rys. 8.14.
Korzystając ze wzoru (8.26) można wyliczyć moc czynną gałęzi RLC, czyli wartość średnią
mocy chwilowej (Wyliczenie to staje się szczególnie proste jeżeli zauważyć, że całki oznaczone
za okres dla funkcji sinus i kosinus mają wartość zero). Moc czynna gałęzi RLC ma wartość:
1
P = p av =
2π
2π
∫ p( t )dωt = U R I
(8.27)
0
Zatem moc czynna gałęzi RLC to moc czynna występującego w niej rezystora.
(8.28)
P = U R I = U I cosϕ
Rezystor jest jedynym elementem pasywnym gałęzi, który pobiera moc czynną.
W gałęzi istnieją dwa elementy reaktancyjne - cewka i kondensator. W elementach tych
zachodzą zjawiska energetyczne charakteryzowane jako występowanie mocy biernej. Polegają
one na oscylacyjnym przepływie energii pomiędzy danym elementem a resztą obwodu.
Moce bierne (indukcyjną i pojemnościową) każdego z tych elementów definiowane były
(por. pkt 7.2 i 7.3 rozdz. 7.) jako iloczyny wartości skutecznych ich prądów i napięć. Moc bierną
całej gałęzi definiuje się jako iloczyn wartości skutecznych jej napięcia i prądu oraz sinusa kąta
przesunięcia fazowego pomiędzy nimi:
(8.29)
QL = U I sinϕ
Podstawiając do wzoru (8.29) wzór (8.23a) otrzymuje się zależność:
(8.29a)
Q = U I sin ϕ = ( U L − U C ) I = U L I − U C I = QL − QC
Wynika z niej, że moc bierna gałęzi RLC
jest równa różnicy mocy biernych cewki i
kondensatora z jej schematu zastępczego.
Sprawdźmy czy odpowiada to zachodzącym w
gałęzi zjawiskom fizycznym, czy rzeczywiście
oscylacyjny przepływ energii pomiędzy gałęzią
a źródłem jest efektem odejmowania się
oscylacji występujących w cewce i w
kondensatorze.
Gdy przez cewkę i kondensator płynie ten
sam prąd (ma to miejsce w gałęzi szeregowej
Rys. 8.15. Przebieg czasowy mocy gałęzi RLC
RLC) moce cewki i kondensatora mają
i jej elementów składowych
przebiegi czasowe:
p L ( t ) = U L I sin( 2ωt + 2Ψ I ) = QL sin( 2ωt + 2Ψ I )
(8.30a)
pC ( t ) = −U C I sin( 2ωt + 2Ψ I ) = −QC sin( 2ωt + 2Ψ I )
(8.30b)
Przebiegi te zatem znajdują się w przeciwfazie - w czasie gdy cewka oddaje energię,
kondensator ją pobiera, a gdy cewka pobiera energię, kondensator ją oddaje. Widać to także na
wykresie przebiegów wartości chwilowych mocy dla przykładowej gałęzi RLC pokazanych na
- 43 -
rys. 8.15. Przykładowa gałąź ma charakter rezystancyjno-indukcyjny (przebiegi czasowe jej prądu
i napięcia pokazano na rys. 8.13). Dla takiego przypadku, w każdej chwili czasowej wartość
bezwzględna mocy cewki jest większa od wartości bezwzględnej mocy kondensatora i ma znak
przeciwny - cewka i kondensator nawzajem przekazują sobie energię, jednak kondensator ma tej
energii zbyt mało i cewka musi częściowo pobierać ją ze źródła i do źródła oddawać. Jedynie ta
nadwyżka energii cewki nad energię kondensatora bierze udział w zjawisku oscylacyjnego
przepływu energii pomiędzy gałęzią a źródłem. Zatem wzór (8.29) ma uzasadnienie w
rzeczywistych zjawiskach fizycznych.
Gdy QL > QC , moc bierna gałęzi jest dodatnia. Ponieważ o istocie zjawisk
energetycznych zachodzących pomiędzy gałęzią a źródłem decyduje wtedy cewka, stąd jest to
moc bierna indukcyjna. Gdy QC > QL , moc bierna gałęzi jest ujemna,. Tym razem o
charakterze zjawisk energetycznych zachodzących pomiędzy gałęzią a źródłem decyduje
kondensator - moc bierna gałęzi jest zatem mocą bierną pojemnościową. Gdy Q L = QC mamy
do czynienia z rezonansem szeregowym. Moc bierna cewki jest całkowicie kompensowana przez
moc bierną kondensatora - oscylacje energii odbywają się wewnątrz gałęzi, a gałąź, jako całość
zachowuje się tak, jak gdyby miała charakter czysto rezystancyjny.
Rys. 8.16. Trójkąty mocy gałęzi szeregowej RLC
Moce bierne cewki idealnej i idealnego kondensatora definiowane były w rozdz. 7. jako
iloczyny wartości skutecznych prądu i napięcia. Interpretowane one bywają też jako amplitudy
oscylacji mocy tych elementów (była o tym także mowa w rozdz. 7.). Interpretacja ta rozszerzana
jest na gałąź RLC. Zgodnie z nią, moc bierna gałęzi jest wypadkową amplitudą oscylacji mocy na
elementach reaktancyjnych gałęzi. Jednak zarówno iloczyn wartości skutecznych jak i amplituda
jakiegokolwiek przebiegu (będąc właśnie amplitudą) muszą mieć wartość dodatnią. Tymczasem
moc bierna gałęzi RLC wyliczona z wzorów (8.29) i (8.29a) może być albo dodatnia albo ujemna.
Ujemną wartość ma także obliczona przy ich pomocy moc bierna gałęzi złożonej z samego
kondensatora idealnego. Niekiedy, aby usunąć tę sprzeczność, jako moc bierną przyjmuje się
wartość bezwzględną mocy wyznaczonej przy pomocy tych wzorów.
Takie dwa różne podejścia spotykane są w praktyce elektrotechniki stosowanej. Istotne
różnice występują w nich jedynie w odniesieniu do mocy biernej pojemnościowej. Niekiedy
przypisuje się jej wartość ujemną, niekiedy dodatnią. W tym drugim przypadku deklaruje się
wyraźnie, że chodzi o moc bierną pojemnościową (którą trzeba odejmować od mocy biernej
indukcyjnej). Jednym ze sposobów takiej deklaracji jest stosowanie dwu rodzajów jednostek:
varind - dla mocy biernej indukcyjnej i varpoj - dla mocy biernej pojemnościowej.
Moc pozorną gałęzi szeregowej RLC wylicza się z wzoru definicyjnego S = U I . Zatem
współczynnik mocy gałęzi, definiowany jako stosunek mocy czynnej do mocy pozornej (por. pkt
6.3. rozdz. 6.), wynosi:
P U I cos ϕ
λ= =
(8.31)
= cos ϕ
S
UI
Zazwyczaj do oznaczania współczynnika mocy używa się symbolu „ cos ϕ ”.
Moc pozorną zespoloną gałęzi szeregowej RLC definiuje się jako:
(8.32)
S = P + jQL
- 44 -
Znając wartości skuteczne zespolone prądu i napięcia gałęzi, korzystając z wzoru (8.13)
można ją wyznaczyć jako S = U I * . Moc czynną gałęzi jest częścią rzeczywistą otrzymanej
liczby zespolonej - P = Re( U I * ) , a jej moc bierną częścią urojoną tej liczby - Q = Im( U I * ) .
Trójkąt o bokach równych tym mocom to tzw. trójkąt mocy. Tworzące go moce są
mocami zespolonymi (dlatego można było je przedstawić jako wektory). Trójkąt taki otrzymać
mnożąc wartości skuteczne napięć tworzących boki trójkąta napięć (z rys. 8.12.) przez wartość
skuteczną prądu (I). Pokazano je, dla rozważanych trzech przypadków, na rys. 8.16.
Boki trójkątów impedancji (rys. 8.11.), trójkątów napięć (rys. 8.12.) i trójkątów mocy (rys.
8.16.) są do siebie proporcjonalne. Są to zatem trójkąty podobne. We wszystkich występuje kąt
ϕ , który jest kątem przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami czasowymi napięcia i prądu
gałęzi ( ϕ =ΨU −Ψ I ).
PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Obwód elektryczny złożony z dławika (z przykładu obliczeniowego z punktu 8.1.) i
połączonego z nim szeregowo kondensatora zasilono prądem sinusoidalnym o przebiegu wartości
π
chwilowych i( t ) = 2 5 sin(314t + ) A . Napięcie na zaciskach utworzonej w ten sposób gałęzi
8
pomierzono przy pomocy woltomierza. Wynosiło ono U = 230 V . Parametry schematu
zastępczego wynoszą: RL = 20,8 Ω , L ≈ 0,1088 H (por. pkt 8.1.). Należy wyznaczyć pojemność
kondensatora.
Schematem zastępczym analizowanego obwodu jest gałąź szeregowa RLC. Napięcie
pomierzone przez woltomierz jest wartością skuteczną napięcia gałęzi. Na podstawie znajomości
przebiegu wartości chwilowych natężenia prądu płynącego przez gałąź wiemy, że jego wartość
skuteczna wynosi I = 10 A . Znając wartości skuteczne prądu i napięcia możemy wyznaczyć
impedancję gałęzi:
U 230
= 46 Ω
Z= =
5
I
Reaktancja wchodzącej w skład gałęzi cewki ma wartość:
X L = ω L ≈ 314 ⋅ 0,1088 ≈ 34,16 Ω
Dla gałęzi szeregowej słuszna jest zależność:
Z 2 = R 2 + ( X L − X C )2
Otrzymuje się z niej wyrażenie na reaktancję kondensatora:
X C = X L ± Z 2 − R2
Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy:
 75,2 Ω
X C ≈ 34 ,16 ± 46 2 − 20 ,8 2 ≈ 34 ,16 ± 41 = 
- 6,87 Ω
Reaktancja kondensatora nie może być ujemna, stąd drugie z uzyskanych rozwiązań jest
rozwiązaniem matematycznym, które nie ma fizycznej interpretacji, stąd musimy je odrzucić.
Poszukiwana wartość pojemności wynosi:
1
1
≈
≈ 42 ,35 ⋅ 10 -6 F = 42 ,35µF
C=
ω X C 314 ⋅ 75,2
W warunkach zadania podany został przebieg czasowy natężenia prądu. Umożliwia to
wyznaczenie wartości skutecznej zespolonej prądu. Jednak, jak widać z powyższej analizy, nie
jest to wcale potrzebne, a zastosowanie metody symbolicznej wręcz utrudnia rozwiązanie zadania.
- 45 -
8.3. Gałąź równoległa GLC
Rozważmy jeszcze jeden przypadek ogólny, przypadek takiego obiektu rzeczywistego,
którego schemat zastępczy tworzy równoległe połączenie wszystkich trzech idealnych elementów
pasywnych, a więc gałąź równoległą GLC (rys. 8.17.).
Rys. 8.17. Schemat zastępczy gałęzi równoległej GLC
Zbadajmy jak od przebiegu wartości chwilowych napięcia oraz wartości konduktancji,
pojemności i indukcyjności elementów gałęzi zależy przebieg wartości chwilowych jej prądu.
Zastosujemy do tego metodę symboliczną.
Niech napięcie gałęzi ma przebieg czasowy:
U
u( t ) = U m sin( ωt + ψ U ) ⇒ U = m e jψ U = U e jψ U
2
Dla równoległego połączenia odbiorników słuszna jest zależność: I = I G + I L + I C .
Znając wartość skuteczną zespoloną napięcia oraz admitancje zespolone poszczególnych
elementów, wartości skuteczne zespolone prądów można obliczyć z wzorów:
1
IG = GU ,
IL =−j
U = − jB L U ,
I C = jωC U = jBC U
ωL
stąd:
1
1
I = G I + j ωC I − j
U = [ G + j ( ωC −
)] U = Y U
(8.33)
ωL
ωL
Zatem admitancja zespolona gałęzi równoległej ma wartość:
1
Y = G + j ( ωC −
) = G + j( BC − B L ) = G + jB = Y e jϕ
(8.34)
ωL
gdzie:
1 2
(8.34a)
Y = G 2 + ( ωC −
) = G 2 + ( BC − B L )2 = G 2 + B 2
ωL
(jest to admitancja gałęzi)
1
ωC −
ωL = ar tg BC − B L
ϕ = ar tg
(8.34b)
G
G
1
(8.34c)
B = BC − B L = ωC −
ωL
(jest to susceptancja wypadkowa gałęzi GLC)
Susceptancja wypadkowa gałęzi GLC nazywana jest także krótko susceptancją gałęzi
GLC.
Podstawiając wzór (8.34) do wzoru (8.33) otrzymuje się wykładniczą postać zależności
pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi napięcia i prądu gałęzi:
ωC −
1
ωL
1 2 j ⋅ ar tg R
) e
U e jΨ U
ωL
Stąd wartość skuteczna zespolona prądu gałęzi GLC:
I = G 2 + ( ωC −
- 46 -
ωC −
1
ωL )
j(ΨU + ar tg
1 2
R
(8.35)
) Ue
ωL
Z wartości skutecznej zespolonej prądu wyznacza się przebieg czasowy wartości
chwilowych prądu jako:
1
ωC −
1 2
ωL )
(8.35a)
i( t ) = G 2 + ( ωC −
) ⋅ U ⋅ sin( ωt +ΨU + ar tg
G
ωL
W zależności od wzajemnych stosunków wartości susceptancji cewki i kondensatora,
możliwe są tu trzy przypadki. Dla BC > BL susceptancja gałęzi ma wartość dodatnią. Dodatni
B − BL
jest też kąt ϕ - ar tg C
> 0 . Dla B L > BC zarówno susceptancja gałęzi jak i kąt ϕ mają
G
wartości ujemne. Dla BL = BC i susceptancja gałęzi i kąt ϕ są równe zeru.
Dla wszystkich trzech przypadków słuszne są zależności:
G = Y cosϕ i B = Y sinϕ
(8.36)
I = G 2 + ( ωC −
Rys. 8.18. Trójkąty admitancji gałęzi równoległej GLC
W skrajnym, wyidealizowanym przypadku (gdy C = 0 i G = 0 ), gałąź GLC może być
π
utworzona przez idealną cewkę indukcyjną. Kąt ϕ przyjmuje wtedy wartość ϕ = − rad .
2
Susceptancja gałęzi jest wówczas równa susceptancji indukcyjnej tworzącej ją cewki, a ta jest
1
I
zawsze dodatnia - B L =
=
= X C > 0 . Jednak susceptancja takiej gałęzi wyliczona z
U L ωL
1
1
wzorów (8.34c) lub (8.36) ma wartość ujemną i
=−
<0
B = 0−
ωL
ωL
1
1
π
< 0 . Także tu, podobnie jak w przypadku reaktancji
B = Y sinϕ =
sin( − ) = −
2
ωL
ωL
pojemnościowej w gałęzi szeregowej, istnieje niekonsekwencja - susceptancja idealnej cewki
indukcyjnej ma zawsze taką samą wartość bezwzględną, ale, w zależności od tego czy interesuje
nas cewka jako element idealny, czy też jako część gałęzi równoległej, może być ona dodatnia lub
ujemna.
Przyjmijmy założenie, że napięcie rozpatrywanej gałęzi równoległej ma zerowy
początkowy kąt fazowy ( U = U ⋅ e j ⋅0 = U ) - ułatwi to rysowanie wykresu wskazowego. Wartości
skuteczne zespolone prądów poszczególnych elementów wynoszą teraz: I G = G U , I C = jωC U ,
1
IL =−j
U . Wykres wskazowy tych prądów nosi nazwę trójkąta prądów. Otrzymuje się go
ωL
w (tym przypadku, a więc dla napięcia o zerowym początkowym kącie fazowym) mnożąc
wartości konduktancji, susceptancji i admitancji tworzących boki trójkąta admitancji (rys. 8.18.)
przez wartość skuteczną napięcia („U”).
- 47 -
Kąt „ ϕ ” jest tu kątem przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i
napięcia ( ϕ =Ψ I −ΨU - odwrotnie niż w przypadku gałęzi szeregowej RLC!). Widać to na
wykresach wskazowych z rys. 8.18. Jeżeli wartość kąta jest dodatnia, to przebieg czasowy prądu
wyprzedza w fazie przebieg czasowy napięcia o ten właśnie kąt. Gałąź ma zatem charakter
rezystancyjno-pojemnościowy. Ujemna wartość kąta ϕ oznacza, że przebieg czasowy prądu
opóźnia się w fazie w stosunku do przebiegu czasowego napięcia - gałąź ma charakter
rezystancyjno-indukcyjny.
Rys. 8.19. Trójkąty prądów gałęzi równoległej GLC
Wartość skuteczna wypadkowego prądu elementów reaktancyjnych gałęzi wynosi:
(8.37)
I X = I C − I L = I sin ϕ = I sin ϕ
Jest to moduł wartości skutecznej zespolonej prądu wypadkowego cewki i kondensatora I = I L − IC .
Dla gałęzi równoległej GLC słuszne są również zależności:
LC − I L = I sinϕ
(8.37a)
oraz
I R = I ⋅ cos ϕ
(8.38)
Gdy I L = I C - prądy cewki i kondensatora mają takie same amplitudy i taki sam przebieg,
lecz mają przeciwne fazy, stąd prąd wypadkowy tych elementów jest w każdej chwili czasowej
równy zeru. Cały prąd gałęzi jest prądem płynącym przez idealny rezystor. Występuje tu tzw.
rezonans równoległy, zwany też rezonansem prądów (bo wzajemnie kompensują się prądy).
Moc chwilowa z jaką gałąź GLC pobiera energię jest równa sumie mocy chwilowych
wchodzących w jej skład elementów idealnych:
(8.39)
p( t ) = ( iG( t ) + i L( t ) + iC( t ) ) u( t ) = iG( t ) u( t ) + i L( t ) u( t ) + iC ( t ) u( t )
Podstawiając do wzoru (8.39) wyprowadzone w rozdz. 7. wzory (7.4), (7.13a) i (7.21b) na
przebiegi czasowe wartości chwilowych mocy tych elementów (z odpowiednio
zmodyfikowanymi oznaczeniami), otrzymujemy wzór na przebieg czasowy mocy gałęzi GLC:
p( t ) = U I G ⋅ [ 1 − cos( 2ωt + 2ΨU )] + U I L ( 2ωt + 2ΨU ) − U I C sin( 2ωt + 2ΨU ) =
(8.40)
= U I G [ 1 − cos( 2ωt + 2ΨU )] + [ I C − I L ] U sin( 2ωt + 2ΨU )
Korzystając ze wzoru (8.40) można wyliczyć moc czynną gałęzi GLC (a więc wartość
średnią jej mocy chwilowej) jako:
1
P = p av =
2π
2π
∫ p( t ) dωt = U I G
(8.41)
0
Zatem moc czynna gałęzi równoległej GLC, podobnie jak moc czynna gałęzi szeregowej
RLC, jest mocą czynną występującego w niej rezystora.
(8.42)
P = U I G = U I cos ϕ
Moc bierna gałęzi GLC definiowana jest jako iloczyn wartości skutecznych prądu, napięcia
kosinusa kąta przesunięcia fazowego pomiędzy ich przebiegami czasowymi - zgodnie ze znanym
- 48 -
już nam wzorem (8.10). Występujący w tym wzorze kąt „ ϕ ” jest kątem ϕ =ΨU −Ψ I , zaś kąt
„ ϕ ” z wzoru (8.41) jest kątem ϕ =Ψ I −ΨU . Uwzględniając to i podstawiając do wzoru (8.10)
wzór (8.37a) otrzymujemy zależność:
(8.43)
Q = U I sin(ΨU −Ψ I ) = −U ( I C − I L ) = U I L − U I C = QL − QC
Gdy QL > QC moc bierna gałęzi jest dodatnia - jest to zatem moc bierna indukcyjna, gdy
QC > QL , moc ta jest ujemna - jest zatem mocą bierną pojemnościową.
Kolejny raz spotykamy się tu z niekonsekwencją w przyjętych przez elektryków umowach
terminologicznych: moc bierna pojemnościowa idealnego kondensatora ma wartość dodatnią, ta
sama moc bierna pojemnościowa kondensatora będącego elementem gałęzi równoległej ma
wartość ujemną.
Moc pozorna S gałęzi równoległej GLC to S = U I , moc pozorna zespolona
S = P + jQ = U I * .
Współczynnik mocy ma wartość λ =
P U I cos ϕ
=
= cos ϕ i jest zazwyczaj oznaczany
S
UI
symbolem „ cos ϕ ”.
Moce pozorne zespolone gałęzi GLC są uzależnione od siebie nawzajem w sposób
identyczny jak długości boków trójkąta prostokątnego. Stąd można je odwzorowywać graficznie
jako trójkąty mocy.
Rys. 8.20. Trójkąty mocy gałęzi równoległej GLC
Trójkąty mocy dla rozważanych trzech przypadków gałęzi GLC, o różnych wartościach
susceptancji kondensatora i cewki, przedstawiono na rys. 8.20. Ponieważ przy definiowaniu mocy
biernej zastosowano inne określenie kąta „ ϕ ” ( ϕ =ΨU −Ψ I ) niż przy sporządzaniu wykresu
wskazowego prądów gałęzi ( ϕ =Ψ I −ΨU ) więc trójkąty prądów i trójkąty mocy wyglądają nieco
inaczej. Są jednak trójkątami podobnymi - są trójkątami prostokątnymi, zaś wartość kąta „ ϕ ” jest
w nich taka sama (i taka sama jak w trójkątach admitancji). Równa jest ona wartości
bezwzględnej kąta przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i napięcia.
Pomiędzy impedancją zespoloną i admitancją zespoloną danego odbiornika liniowego
1
pasywnego istnieje zależność Z = . Zatem impedancja gałęzi równoległej GLC o admitancji
Y
1
zespolonej Y = G + j( BC − BL ) wynosi Z =
. Mnożąc licznik i mianownik tego
G + j( BC − BL )
wzoru przez liczbę sprzężoną do mianownika otrzymujemy:
BC
BL
G
+j
−j
Z=
G 2 + ( BC − B L )2
G 2 + ( BC − BL )2
G 2 + ( BC − B L )2
Kolejne człony tego wyrażenia to rezystancja, reaktancja indukcyjna i reaktancja
pojemnościowa szeregowego schematu zastępczego, równoważnego danemu schematowi
równoległemu.
- 49 -
PRZYKŁAD OBLICZENIOWY
Dana jest gałąź równoległa GLC o schemacie zastępczym pokazanym na rysunku 8.21.
π
Napięcie u( t ) ma przebieg czasowy u( t ) = 2 100 sin(200 t - ) V , zaś wskazanie amperomierza
12
wynosi I = 10 A . Należy wyznaczyć wartość indukcyjności L x .
Wartość skuteczna napięcia wynosi U = 100 V ,
wartość skuteczna natężenia - I = 10 A . Zatem
10
I
admitancja gałęzi ma wartość Y = =
= 0 ,1 S .
U 100
Wartość susceptancji pojemnościowej wynosi
BC = ω C = 200 ⋅ 400 ⋅ 10 −6 = 0,08 S .
Rys. 8.21. Schemat zastępczy gałęzi z przykładu
Gałąź indukcyjna rozpatrywanego obwodu
składa się z dwu elementów, jeden o znanej, drugi o nieznanej indukcyjności. Wygodnie jest
potraktować je jako jeden element o indukcyjności LΣ . Korzystając z wzoru (8.34a) można
wyliczyć odpowiadającą tej indukcyjności susceptancję BLΣ :
0,16 S
B LΣ = BC ± Y 2 − G 2 = 0 ,08 ± 0 ,12 − 0 ,08 2 = 0,08 ± 0,06 = 
 0,02 S
Otrzymuje się dwie odpowiedzi, obydwie posiadają Wyliczonym susceptancjom
odpowiadają indukcyjności:
1
1


-3
 200 ⋅ 0,16 = 31,25 ⋅ 10 H = 31,25 mH
 200 ⋅ 0,16
1
== 
=
LΣ =
1
1
ω B LΣ


= 0 ,25 H = 250 mH
 200 ⋅ 0,02
 200 ⋅ 0,02
Indukcyjność wypadkowa szeregowego połączenia dwu cewek jest równa sumie
indukcyjności każdej z nich - można to wykazać albo odwołując się do definicji indukcyjności
(por. pkt 7.2 rozdz. 7.) albo porównując reaktancje poszczególnych cewek i reaktancję ich
U
szeregowego połączenia wyliczone ze wzoru definicyjnego ( X L = ).
I
31,25 - 20 = 11,25 mH
Jest zatem: L x = LΣ − L = 
 250 - 20 = 230 mH
Obydwie wartości są dodatnie, istnieją więc dwa rozwiązania fizycznie interpretowalne.
Dla jednej z nich (tej mniejszej) gałąź ma charakter pojemnościowo-rezystancyjny, dla drugiej
(tej większej) - indukcyjno-rezystancyjny.
8.4. Źródła rzeczywiste
Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięciowego ma przebieg czasowy niezależny od
prądu pobieranego ze źródła. W rzeczywistych źródłach napięciowych zarówno wartość
skuteczna tego napięcia jak i jego kąt fazowy są zależne od natężenia prądu. Podobnie jest z
prądem idealnego źródła prądowego i jego zależnością od napięcia na zaciskach źródła.
W schematach zastępczych źródeł rzeczywistych prądu sinusoidalnego musi zatem znaleźć
się element, który modeluje to zjawisko. Jest nim odbiornik pasywny o odpowiednio dobranej
impedancji (admitancji) zespolonej. W źródle napięciowym jest on połączony szeregowo z jego
siłą elektromotoryczną, w źródle prądowym - równolegle do jego siły prądomotorycznej.
Schematy zastępcze (do metody symbolicznej) obydwu tych źródeł rzeczywistych
pokazano na rys. 8.21.
- 50 -
Rys. 8.22. Źródła rzeczywiste prądu sinusoidalnego
a) napięciowe
b) prądowe
Na ich podstawie można ułożyć równania odpowiednio, na zależność napięcia źródła od
prądu i na zależność prądu od napięcia.
Dla źródła napięciowego jest to równanie:
(8.44)
U = E−Zw I
Źródłem energii sinusoidalnej są na ogół prądnice elektromaszynowe. Ich zasada działania
oparta jest o zjawiska elektromagnetyczne, stąd ich impedancje wewnętrzne zespolone „ Z w ”
mają charakter indukcyjno-rezystancyjny. Część rzeczywista tej impedancji jest zazwyczaj
pomijalnie mała (w porównaniu z reaktancją indukcyjną), przyjmuje się więc: Z w ≈ jX w . Nosi
ona nazwę reaktancji synchronicznej i oznaczana jest symbolem „ X s ”.
Dla rzeczywistego źródła prądowego słuszne jest równanie:
(8.45)
I = J − Y w ⋅U
Warunki wzajemnej równoważności źródeł napięciowego i prądowego są analogiczne do
warunków równoważności źródeł prądu stałego:
1
1


Z w = Y
Y w = Z
w
w
(8.46)


J
E
J =
E =
Yw
Zw


⇔
- 51 -