1 Ćwiczenie nr 4. Wyznaczanie momentu bezwładności za pomocą koła Maxwella. 𝐽= 2 𝑚𝑑ś𝑟 ∗(𝑔𝑡 2 −2𝑆) 8𝑆 [kgm2] 𝐽 – moment bezwładności bryły sztywnej g – przyspieszenie ziemskie 𝑚 g=9,81[ 2] 𝑠 m – masa m – 0,45[ kg] S – droga t – czas d – średnica koła Obliczamy odchylenie standardowe mierzonego czasu, dla poszczególnych pomiarów, od ich średniej arytmetycznej. Im większe odchylenie standardowe tym większa jest rozproszenie danych wokół średniej, co oznacza większą zmienność w zbiorze danych. Z kolei mniejsze odchylenie standardowe wskazuje na większe skoncentrowanie wokół średniej, co oznacza mniejszą zmienność. (𝑡1 − 𝑡ś𝑟 )2 + (𝑡2 − 𝑡ś𝑟 )2 + (𝑡3 − 𝑡ś𝑟 )2 √ 𝜎= 3 Przy podawaniu wyników założono, że ostatnia cyfra przed przecinkiem jest niepewna. Trzy cyfry po przecinku zostawiamy jako orientacyjne dlatego, że nie mamy pewności, że są one błędne. 2 W podanych wynikach wszystkie cyfry są znaczące. Uznano, że zbędny jest wysoki stopień dokładności. Przyjęto czwarty stopień dokładności po zaokrągleniu ostatniej cyfry po przecinku. 𝜎=√ (4,922−4,897)2 +(4,839−4,897)2 +(4,929−4,897)2 3 =√ (0,025)2 +(−0,058)2 +(0,032)2 3 = √0,000625 +0,003364+0,001024 = √0,005013 = √0,001671 = 0,040877866 = 3 3 0,041 t śr = 4,897 [s] σ = 0,041*100% = 4,1% Przeciętnie, odchylenie standardowe od czasu mierzonego trzykrotnie w pierwszym doświadczeniu, różni się od czasu średniego tych pomiarów (dokładnego) o 4,1%. Czas średni (dokładny pomiaru pierwszego) t = 4,897[s] został powiększony lub obniżony o 0,041. Zatem zmienność pomiarów czasów od ich czasu średniego jest mała. 𝜎=√ (4,820−4,767)2 +(4,723−4,767)2 +(4,757−4,767)2 3 = 0,040187062 = 0,040 t śr = 4,767 [s] σ = 0,040*100% = 4% 𝜎=√ (4,661−4,637)2 +(4,578−4,637)2 +(4,671−4,637)2 3 = 0,041685321 = 0,042 t śr = 4,637[ s] σ = 0,042*100% = 4,2% 𝜎=√ (4,532−4,497)2 +(4,429−4,497)2 +(4,529−4,497)2 t śr = 4,497[ s] σ = 0,048*100% = 4,8% 3 = 0,047864391 = 0,048 3 𝜎=√ (4,347−4,368)2 +(4,363−4,368)2 +(4,395−4,368)2 3 = 0,019958281 = 0,020 t śr = 4,368[ s] σ = 0,020*100% = 2% 𝜎=√ (4,235−4,200)2 +(4,112−4,200)2 +(4,254−4,200)2 3 = 0,062941766 = 0,063 t śr = 4,200[ s] σ = 0,063*100% = 6,3% 𝜎=√ (4,020−3,990)2 +(3,962−3,990)2 +(3,989−3,990)2 3 = 0,023699493 = 0,024 t śr = 3,990[ s] σ = 0,024*100% = 2,4% 𝜎=√ (3,855−3,837)2 +(3,832−3,837)2 +(3,824−3,837)2 3 = 0,013140243 = 0,013 t śr = 3,837 [s] σ = 0,013*100% = 1,3% 𝜎=√ (3,686−3,706)2 +(3,702−3,706)2 +(3,729−3,706)2 3 = 0,017748239 = 0,018 t śr = 3,706 [s] σ = 0,018*100% = 1,8% 𝜎=√ (3,533−3,511)2 +(3,499−3,511)2 +(3,501−3,511)2 t śr = 3,511 [s] σ = 0,016*100% = 1,6% 3 = 0,01557774 = 0,016 4 pomiary tśr [s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Suma: Średnia: 4,897 4,767 4,637 4,497 4,368 4,200 3,990 3,837 3,706 3,511 42,41 4,241 𝜎 dla poszczególnych pomiarów 0,041 0,040 0,042 0,048 0,020 0,063 0,024 0,013 0,018 0,016 0,325 0,033 0,033*100%=3,3% Dla wszystkich pomiarów - średnie odchylenie standardowe wynosi 𝜎 = 0,033 dla średniego mierzonego czasu 4,241 [s] . Wartość błędu 𝜎 nie przekracza 10% wartości mierzonego czasu. Zatem zmienność dla wszystkich pomiarów czasu jest mała. Podczas wykonywania doświadczenia korzystano ze stopera i miary milimetrowej. 𝛥 - dokładność pomiaru (najmniejsza działka używanego przyrządu) 𝛥 𝑑 = 0,01 [mm ] 𝛥 𝐻 = 1 [mm] 𝛥 𝑡 = 0,01 [s] Czas mierzony był manualnie, to dodatkowo uwzględniono refleks mierzącego ok. 0,1 [s] 𝛥 𝑚 = 0,1 [s ] 𝛥 𝑡 0,01 [s] + 𝛥 𝑚 0,1 [s ] = 0,11 [s] 5 Górna granica błędu bezwzględnego pomiarów zależy od dokładności stosowanego przyrządu, od wartości samej wielkości mierzonej oraz wprawy eksperymentatora. Zakładamy, że w trakcie pomiaru popełniliśmy błąd maksymalny. Za górną granicę maksymalnego błędu bezwzględnego przyjęto najmniejsze działki używanych przyrządów czyli dokładność przyrządów. W przypadku stopera za granicę błędu bezwzględnego przyjęto 0,11 [s]. 1. Obliczyć moment bezwładności J dla każdego pomiaru z zależności 𝐽= 2 𝑚𝑑ś𝑟 ∗(𝑔𝑡 2 −2𝑆) 8𝑆 [kgm2] za masę przyjąć 0,45 [kg.] Uznano, że zbędny jest wysoki stopień dokładności. Przyjęto piąty stopień dokładności po zaokrągleniu ostatniej cyfry po przecinku. Wszystkie cyfry w podanych wynikach są ważne. 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 )2 ∗(9,81∗(4,897)2 −2∗47∗10−2 ) [kgm2] = 8∗47∗10−2 0,45∗ 35,641∗ 10−6 ∗(9,81∗23,981−94∗10−2 ) 376∗10−2 16,039∗ 10−6 ∗(235,25−94∗10−2 ) 376∗10−2 37,581∗ 10−8 376∗10−2 = = 16,039∗ 10−6 ∗2,3431∗10−2 376∗10−2 = = 0,0999 * 10-6 [kgm2] 2 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 ) ∗(9,81∗(4,767)2 −2∗44,5∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗(222,93−89∗10−2 ) 356∗10−2 35,613∗ 10−8 356∗10−2 [kgm2] = 8∗44,5∗10−2 = 16,039∗ 10−6 ∗2,2204∗10−2 = 0,1000 * 10-6 [kgm2] 356∗10−2 = 6 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 )2 ∗(9,81∗(4,637)2 −2∗42∗10−2 ) [kgm2] = 8∗42∗10−2 −6 16,039∗ 10 ∗(210,93−82∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗2,1011∗10−2 336∗10−2 336∗10−2 33,700∗ 10−8 336∗10−2 = = = 0,1003 * 10-6 [kgm2] 2 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 ) ∗(9,81∗(4,497)2 −2∗39,5∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗(198,39−79∗10−2 ) 316∗10−2 31,693∗ 10−8 316∗10−2 𝐽= [kgm2] = 8∗39,5∗10−2 = 16,039∗ 10−6 ∗1,976∗10−2 316∗10−2 = = 0,1003 * 10-6 [kgm2] 0,45∗(5,97∗10−3 )2 ∗(9,81∗(4,368)2 −2∗37∗10−2 ) [kgm2] = 8∗37∗10−2 16,039∗ 10−6 ∗(187,17−74∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗1,8643∗10−2 296∗10−2 296∗10−2 31,693∗ 10−8 296∗10−2 = = = 0,1071 * 10-6 [kgm2] 2 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 ) ∗(9,81∗(4,200)2 −2∗34,5∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗(173,05−69∗10−2 ) 276∗10−2 27,645∗ 10−8 276∗10−2 [kgm2] = 8∗34,5∗10−2 = 16,039∗ 10−6 ∗1,7236∗10−2 = 0,1002 * 10-6 [kgm2] 276∗10−2 = 7 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 )2 ∗(9,81∗(3,990)2 −2∗32∗10−2 ) [kgm2] = 8∗32∗10−2 −6 16,039∗ 10 ∗(156,18−64∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗1,5554∗10−2 256∗10−2 256∗10−2 24,947∗ 10−8 256∗10−2 = = = 0,0974 * 10-6 [kgm2] 2 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 ) ∗(9,81∗(3,837)2 −2∗29,5∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗(144,43−59∗10−2 ) 236∗10−2 23,070∗ 10−8 236∗10−2 𝐽= [kgm2] = 8∗29,5∗10−2 = 16,039∗ 10−6 ∗1,4384∗10−2 236∗10−2 = = 0,0978 * 10-6 [kgm2] 0,45∗(5,97∗10−3 )2 ∗(9,81∗(3,706)2 −2∗27∗10−2 ) [kgm2] = 8∗27∗10−2 −6 16,039∗ 10 ∗(134,73−54∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗1,3419∗10−2 216∗10−2 216∗10−2 21,523∗ 10−8 216∗10−2 = = = 0,0996 * 10-6 [kgm2] 2 𝐽= 0,45∗(5,97∗10−3 ) ∗(9,81∗(3,511)2 −2∗24,5∗10−2 ) 16,039∗ 10−6 ∗(120,93−49∗10−2 ) 196∗10−2 19,317∗ 10−8 196∗10−2 [kgm2] = 8∗24,5∗10−2 = 16,039∗ 10−6 ∗1,2044∗10−2 = 0,0986 * 10-6 [kgm2] 196∗10−2 = 8 2. Oblicz średnią wartość momentu bezwładności 𝐽𝑠̇ 𝑟. J [kgm2] 10-6 𝐽𝑠̇ 𝑟[kgm2] 10-6 𝛥𝐽 = |𝐽𝑖 − 𝐽𝑠̇ 𝑟 | 10 [kgm2] 0,0002 0,0001 0,0002 0,0002 0,0070 0,0001 0,0027 0,0023 0,0005 0,0015 0,0148 0,0015 * 10-6 -6 Suma: Średnia wartość 0,0999 0,1000 0,1003 0,1003 0,1071 0,1002 0,0974 0,0978 0,0996 0,0986 1,0012 0,1001 *10-6 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 0,1001 Średnia wartość momentu bezładności wynosi 𝐽𝑠̇ 𝑟 = 0,1001 * 10-6 [kgm2] Wszystkie cyfry pomiaru są ważne. 3. Oblicz odchylenie standardowe czasu t i średnicy d dla wybranego pomiaru. Z uwagi na fakt, że czas mierzono wielokrotnie, na wstępie sprawozdania, obliczono odchylenia standardowe dla wszystkich pomiarów czasu. Jeden z nich: 𝜎=√ (4,820−4,767)2 +(4,723−4,767)2 +(4,757−4,767)2 3 t śr = 4,767 [s] σ = 0,040*100% = 4% Zmienność pomiaru jest mała. = 0,040187062 = 0,040 9 Natomiast średnica d mierzona była jednokrotnie, a zatem nie obliczamy odchylenia standardowego dla d. 4. Oblicz błąd względny momentu bezwładności J dla wybranego pomiaru. 𝛿= 𝛥𝐽 𝐽 = |𝐽𝑖 −𝐽𝑠̇ 𝑟 | 𝐽𝑠̇ 𝑟 = |0,0986⋅10−6 −0,1001⋅10−6 | 0,1001⋅10−6 = 0,0015⋅10−6 0,1001⋅10−6 = 0,0150 𝛿 = 0,0150 * 100% = 0,015% Błąd pomiarów stanowi 0,015% wartości obliczonego momentu bezwładności 𝐽𝑠̇ 𝑟 = 0,1001 * 10-6 [kgm2]. 5. Obliczyć błąd bezwzględny momentu bezwładności 𝐽𝑆̇𝑟 . 𝛥𝐽 = |𝐽𝑖 − 𝐽𝑠̇ 𝑟 | 𝛥𝐽 = |0,0986 ∗ 10−6 − 0,1001 ∗ 10−6 | = 0,0015*10-6 [kgm2] W tabeli w pkt 2 obliczony jest średni błąd bezwzględny momentu bezwładności dla wszystkich pomiarów. Jest to wielkość odchylenia od wartości rzeczywistej czyli o tyle różni się wartość zmierzona od dokładnej. Błąd bezwzględny dla wartości momentu bezwładności w dziesiątym pomiarze wynosi 0,0015*10-6 [kgm2]. Średni błąd bezwzględny dla wszystkich pomiarów momentu bezwładności również wynosi 0,0015*10-6 [kgm2]. Dla wszystkich pomiarów przyjęto piąty stopień dokładności po zaokrągleniu ostatniej cyfry po przecinku. Wszystkie cyfry w podanych wynikach są ważne. Wynik: 𝐽 = (0,1001 * 10-6 ± 0,0015 ∗ 10−6 )[kgm2].
