Obwody W01

OBWODY ELEKTRYCZNE
Wykładowca: dr inż. Mirosław Mizan
Katedra Elektrotechniki i Inżynierii Wysokich Napięć
Dane kontaktowe: budynek gł. WEiA (bud. 12), pok. 117 (I piętro),
e-mail: [email protected] tel: 58 347-15-02
Internet: kurs na platformie eNauczanie: OE [NS][ET][2022/23]
Wykład – 5×2 godz., Laboratorium – 5×2 godz. (w drugiej połowie semestru, w sali
EM-02, zajęcia prowadzone przy wykorzystaniu komputerów i programu PSpice
– prowadzący zajęcia laboratoryjne: dr inż. Mikołaj Nowak)
ZASADY ZALICZANIA PRZEDMIOTU:
Obecność na wszystkich zajęciach laboratoryjnych obowiązkowa, nieusprawiedliwiona
nieobecność na dwóch lub większej liczbie zajęć skutkuje brakiem możliwości
zaliczenia przedmiotu. Wynik końcowy na podstawie:
a) wyniku dwóch zadań domowych – waga łącznego wyniku z tych zadań wynosi
0,24;
b) efektów samodzielnej pracy na zajęciach laboratoryjnych – waga sumarycznego
wyniku wynosi 0,06;
c) egzaminu pisemnego i praktycznego w sesji – waga wyniku z egzaminu wynosi 0,7;
Wynik końcowy jest średnią ważoną, zaliczenie przedmiotu wymaga uzyskania
średniej ważonej o wartości ponad 50%.
TREŚĆ PROGRAMU:
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych. Prawa komutacji.
Formułowanie równań. Warunki początkowe. Przykłady analitycznego
wyznaczania przebiegów prądów i napięć w stanach przejściowych.
Zastosowanie przekształcenia Laplace’a. Schemat zastępczy w postaci
operatorowej. Podstawowe informacje o środowisku programowym PSpice:
podstawowe moduły składowe oprogramowania, tworzenie modelu układu,
podstawowe tryby analizy obwodów. Analiza symulacyjna stanów
przejściowych w układach elektrycznych zasilanych napięciem stałym i
sinusoidalnym oraz w układach elektroenergetycznych w oparciu o
uproszczone schematy zastępcze – problem modelowania odpowiedniej chwili
komutacji łącznika. Analiza symulacyjna stanów przejściowych i stanów
quasi-ustalonych w energoelektronicznych układach przekształtnikowych:
dobór parametrów algorytmu obliczeń, modelowanie sygnałów bramkowych
przekształtnika, obserwacja typowych zjawisk w stanach przejściowych,
dobór elementów układu dla ograniczenia przepięć i przetężeń.
LITERATURA:
1.
Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT Warszawa 2012.
2.
Skiba A., Tiliouine H.: Stany nieustalone w obwodach elektrycznych.
Przykłady i zadania. Wyd. PG Gdańsk 2022.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Mikołajuk K.: Podstawy analizy obwodów energoelektronicznych. PWN
Warszawa 1998.
Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów elektrycznych. WNT
Warszawa 1998.
Zimny P., Karwowski K.: Spice – klucz do elektrotechniki. Wydawnictwo PG
Gdańsk 2001.
Król A., Moczko J.: PSpice - Symulacja i optymalizacja układów
elektronicznych. Wyd. Nakom Poznań 2000.
Dobrowolski A.: Pod maską SPICE'a. Metody i algorytmy analizy układów
elektronicznych. Wydawnictwo BTC Warszawa 2004.
Wojtuszkiewicz K., Zachara Z.: PSpice. Przykłady praktyczne. Wyd. Mikom
Listopad 2000.
Chua L.O., Pen-Min Lin: Komputerowa analiza układów elektronicznych.
WNT Warszawa 1981.
Izydorczyk J.: PSpice. Komputerowa symulacja układów elektronicznych.
Wydawnictwo Helion Warszawa 1993.
Porębski J., Korohoda P.: Spice. Program analizy nieliniowej układów
elektronicznych. WNT Warszawa 1994.
Stany nieustalone w obwodach elektrycznych
R
t=0
E
R
L
E
iL
i L ( t < 0) = 0
L
iL
i L ( 0 ≤ t < ∞ ) = ???
i L ( t → ∞) =
E
R
Stan przejściowy (nieustalony) w obwodzie występuje przy wszystkich
operacjach zmiany struktury połączeń elementów (komutacjach
łączników)
oraz
zmianach
sygnałów
sterujących
elementami
przełączalnymi obwodu (np. tranzystorami lub tyrystorami). Analiza stanu
nieustalonego zmierza do wyznaczenia przebiegów czasowych prądów i
napięć w obwodzie w czasie przejścia między stanem ustalonym
początkowym (przed komutacją) a stanem ustalonym końcowym
(teoretycznie: nieskończenie długo po komutacji).
W obwodzie przedstawionym powyżej łatwo podać wartości prądów w
stanach ustalonych przy otwartym i przy zamkniętym łączniku.
Rozważmy, czy przejście od stanu bezprądowego – przy otwartym
łączniku, do stałej wartości prądu iL=E/R - jaki będzie płynął w stanie
ustalonym przy łączniku zamkniętym, może nastąpić natychmiast, tzn. w
nieskończenie krótkim czasie. Energia WL zgromadzona w cewce o
indukcyjności L, przez którą w danej chwili t0 płynie prąd o natężeniu
iL(t0) wynosi:
1
WL = L[i L (t 0 )]
2
2
W stanie bezprądowym dla t<0, a w szczególności dla t=0− energia ta jest
równa zero:
WL wyl = 0 ,
natomiast w stanie ustalonym przy zamkniętym łączniku mamy:
2
1 E
WL zal = L  ≠ 0
2 R
Gdybyśmy przyjęli, że wzrost prądu odbywał się przez czas bliski zeru, to:
2
1 E
L 
dWL
∆WL 2  R 
p=
→∞
= lim
=
dt
0
∆t → 0 ∆ t
Oznacza to, że źródło musiałoby dostarczyć nieskończenie wielkiej mocy
chwilowej, co nie jest w praktyce możliwe. Poza tym, napięcie na
indukcyjności wynosi:
di L
uL = L
dt
a zatem przy skokowej zmianie prądu napięcie na indukcyjności osiągnąć
musi (w impulsie) wartość nieskończenie wielką, co również nie jest
możliwe przy realnych elementach obwodu. Stąd wniosek, że obecność
indukcyjności nie pozwala na skokową (tzn. nieskończenie krótko
trwającą) zmianę prądu.
Analogiczne rozważania możemy przeprowadzić dla obwodu zawierającego element pojemnościowy:
t=0
R
E
uC ( t < 0) = 0
R
C
uC
E
u C ( 0 ≤ t < ∞ ) = ???
C
uC ( t → ∞ ) = E
przy założeniu, że kondensator nie był uprzednio naładowany.
uC
Rozważmy, czy przejście od stanu beznapięciowego – przy otwartym
łączniku, do stałej wartości napięcia uC=E – jakie będzie na pojemności w
stanie ustalonym przy łączniku zamkniętym, może nastąpić natychmiast,
tzn. w nieskończenie krótkim czasie. Energia WC zgromadzona w kondensatorze o pojemności C, na której w danej chwili t0 występuje napięcie
uC(t0) wynosi:
1
WC = C[u C (t 0 )]
2
2
W stanie beznapięciowym dla t<0, a w szczególności dla t=0− energia ta
jest równa zero:
WC wyl = 0 ,
natomiast w stanie ustalonym przy zamkniętym łączniku mamy:
WCzal
1
= CE2 ≠ 0
2
Gdybyśmy przyjęli, że wzrost napięcia trwał w czasie bliskim zera, to:
1
CE2
dWC
∆WC 2
p=
= lim
=
→∞
dt
0
∆t → 0 ∆ t
Oznacza to, że źródło musiałoby dostarczyć nieskończenie wielkiej mocy
chwilowej, co nie jest w praktyce możliwe. Poza tym, prąd elementu
pojemnościowego wynosi:
duC
iC = C
dt
a zatem przy skokowej zmianie napięcia na pojemności prąd osiągnąć musi
(w impulsie) wartość nieskończenie wielką, co również nie jest możliwe
przy realnych elementach obwodu. Stąd wniosek, że obecność pojemności
nie pozwala na skokową (tzn. nieskończenie krótko trwającą) zmianę
napięcia.
Prawa komutacji
Reasumując – dla elementu indukcyjnego w obwodzie musi być spełniony
warunek ciągłości prądu, tzn. dla dowolnej chwili t mamy: i L (t − ) = i L (t + )
(równość prądu w granicy lewo- i prawostronnej). Jeżeli jednak indukcyjność zmienia się skokowo, zachodzi bardziej ogólny warunek ciągłości
strumienia skojarzonego z cewką (cewkami):
ψ (t ) = ψ (t )
L
−
L
+
przy czym: ψ L = L ⋅ i L zatem przy stałej indukcyjności warunek ciągłości
strumienia sprowadza się do warunku ciągłości prądu.
Dla elementu pojemnościowego w obwodzie musi być spełniony warunek
ciągłości napięcia, tzn. dla dowolnej chwili t mamy: u (t ) = u (t )
C
−
C
+
(równość napięcia w granicy lewo- i prawostronnej). Jeżeli jednak pojemność zmienia się skokowo, zachodzi bardziej ogólny warunek ciągłości
ładunku zgromadzonego w kondensatorze (-ach): Q (t ) = Q (t )
C
−
C
+
przy czym: QC = C ⋅ u C , zatem przy stałej pojemności warunek ciągłości
ładunku sprowadza się do warunku ciągłości napięcia.
Rozwiązanie obwodu w stanie przejściowym oparte jest na równaniach,
wynikających z I-go i II-go prawa Kirchhoffa, przy czym dla elementów R,
L i C mamy dodatkowe zależności, wiążące prąd i napięcie na tych
elementach dla dowolnych przebiegów tych wielkości:
uR
-dla rezystancji R:
iR
R
uR = R ⋅ i R
-dla indukcyjności L:
-dla pojemności C: i
C
uC
C
duC
iC = C
dt
uL
iL
L
di L
uL = L
dt
Ze względu na występowanie pochodnych w równaniach wiążących prąd i
napięcie w elementach L i C, równania Kirchhoffa stają się równaniami
różniczkowymi. Rozwiązanie obwodu w stanie nieustalonym sprowadza się
– w sensie matematycznym – do rozwiązania równania różniczkowego lub
układu równań różniczkowych.
Metoda klasyczna w analizie stanów nieustalonych
Rozwiążmy przedstawiony na początku obwód ERL:
Dla t ≥ 0 równanie napięciowe ma postać:
R
t=0
E
L
i
di
L + Ri = E
dt
Dzieląc obustronnie równanie przez R otrzymamy:
E
L di
⋅ +i=
R
R dt
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości prądu w elemencie indukcyjnym,
stosując go tu dla chwili t=0: i (0 − ) = i (0 + ) = 0 - prąd nie płynął przed zamknięciem łącznika; otrzymaliśmy warunek początkowy dla prądu i(t). Należy rozwiązać to równanie różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Rozwiązanie równania jest sumą dwóch składowych:
- składowa swobodna zwana też składową przejściową (w matematyce:
całka ogólna równania jednorodnego), niezależna od funkcji wymuszenia
po prawej stronie równania tzn. niezależna od przebiegu napięcia
zasilającego obwód,
- składowa wymuszona zwana też składową ustaloną (w matematyce: całka
szczególna równania niejednorodnego), zależna od funkcji wymuszenia po
prawej stronie równania tzn. wynikająca z przebiegu napięcia zasilającego
obwód; należy podkreślić, że składowa wymuszona jest rozwiązaniem
obwodu w stanie ustalonym.
Składową swobodną wyznaczamy poprzez rozwiązanie równania charakterystycznego:
1
1
L
r=− =−
⇒
⋅r + 1 = 0
L
T
R
R
Dla równań różniczkowych zwyczajnych 1-go rzędu zmiennej i, dla
których pierwiastkiem równania charakterystycznego jest wartość r,
składowa swobodna rozwiązania ma zawsze postać:
rt
gdzie A jest stałą całkowania.
is = A ⋅ e
W naszym obwodzie mamy zatem:
is = A ⋅ e
−
t
T
−
= A ⋅e
t
L
R
Składową wymuszoną możemy wyznaczyć dwoma sposobami. Podchodząc
do problemu „czysto matematycznie” możemy stwierdzić, że charakter
składowej wymuszonej musi być zgodny z charakterem funkcji wymuszenia. Ponieważ wymuszenie jest funkcją stałą (niezależną od czasu),
przewidujemy postać składowej wymuszonej również jako funkcję stałą:
iw = B
Składowa wymuszona musi samodzielnie spełniać równanie, więc podstawiając jej ogólną postać do równania wyznaczamy stałą B:
L di w
E
⋅
+ iw =
R dt
R
a zatem:
E
iw =
R
⇒
L
E
⋅0 + B =
R
R
⇒
B=
E
R
Ten sam wynik uzyskaliśmy na początku naszych rozważań metodą
„obwodową”, określając wartość prądu w stanie ustalonym, tzn. nieskończenie długo po zamknięciu wyłącznika.
Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych:
−
i( t ) = i s + i w = A ⋅ e
t
L
R
E
+ = A ⋅e
R
−
t
T
E
+
R
gdzie T=L/R nazywamy stałą czasową obwodu. Pozostaje jeszcze
wyznaczenie stałej całkowania A; korzystamy tu z warunku początkowego
i(t=0+)=0, więc:
0 = A ⋅e
−
0
T
E
+
R
⇒
E
0=A+
R
⇒
E
A=−
R
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
E
i( t ) = −
R
t
−
L
⋅e R
t 

−
L
t 


−
E E
E

R
=
+ =
1−e
1−e T 

 R
R R






iw
E
R
is
E
R
i
E
R
składowa wymuszona
składowa swobodna
rozwiązanie pełne - suma
t
T
Teoretycznie stan przejściowy trwa nieskończenie długo – rozwiązanie
zmierza asymptotycznie (funkcja exp) do wartości ustalonej; w praktyce
przyjmuje się, że po upływie ok. 4÷5 stałych czasowych został osiągnięty
stan ustalony. Wartość prądu po upływie 5-ciu stałych czasowych wynosi:
5T 

−
E
E
E
−5

T
i( t ) =
1−e
= 1 − e ≈ 0.993
 R
R
R


(
)
czyli prąd osiąga ponad 99% wartości, jaką miałby w stanie ustalonym (dla
L
4 stałych czasowych jest to ponad 98%). Ponieważ stała czasowa: T =
R
zależy od parametrów R, L obwodu (nie zależy np. od napięcia E), stąd
tylko te wartości decydują o czasie trwania stanu przejściowego – im
większa indukcyjność, tym czas ten jest dłuższy (tzn. prąd wzrasta
wolniej), im większa rezystancja tym krótszy czas narastania prądu. Prąd
najszybciej rośnie na początku stanu przejściowego tzn. dla t=0+,
maksymalna stromość prądu:
t 
t
t


−
−
−
di d  E 
E T E T
=
1 − e T  =
e = e
 RT
dt dt  R 
L

 
⇒
di
E
=
dt max L
Kiedy musimy zastosować bardziej ogólny warunek ciągłości strumienia ?
W poniższym obwodzie nie możemy skorzystać z ciągłości prądu w
indukcyjnościach L1 oraz L2. Dla t ≥ 0 obwód upraszczamy:
L1 i
E
R1
t=0
L2
R2
E
RZ=R1+R2
LZ=L1+L2
i
Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony,
otrzymamy dla t<0 : i L1 ( t < 0) = E oraz i L 2 ( t < 0) = 0 .
R1
Dla t ≥ 0 czyli po rozwarciu łącznika mamy znany obwód ERL (L1 i L2
zastąpiliśmy wypadkową indukcyjnością sumaryczną LZ, zaś R1 i R2 wypadkową rezystancją sumaryczną RZ). Jaki jednak należy tu przyjąć
warunek początkowy: i(t=0+)=?
Ponieważ dla chwili t=0− mieliśmy różne wartości prądu w obydwu
(jeszcze nie połączonych szeregowo) cewkach, zaś w chwili t=0+ jest to już
jeden wspólny prąd i, więc warunek ciągłości prądu w indukcyjności nie
może być tu spełniony.
Korzystamy z ogólniejszego warunku ciągłości sumarycznego strumienia,
skojarzonego z obydwoma cewkami, czyli:
ψ Σ (0 − ) = ψ Σ (0 + )
⇒
L1 ⋅ i L1 (0 − ) + L 2 ⋅ i L2 (0 − ) = L Z ⋅ i (0 + )
E
L1 ⋅
+ L 2 ⋅ 0 = (L1 + L 2 ) ⋅ i (0 + )
R1
E
L1
i (0 + ) =
⋅
L1 + L 2 R 1
⇒
Przy rozwiązaniu możemy skorzystać z poprzednich ogólnych wyników:
−
i( t ) = i s + i w = A ⋅ e
t
Lz
Rz
−
+
E
= A ⋅e
Rz
t
L1 + L 2
R1 + R 2
+
E
R1 + R 2
Stałą całkowania A wyznaczamy z obliczonego warunku początkowego:
 L1

L1
E
E
1
1

⋅
=A+
⇒
A = E
⋅
−
L1 + L 2 R 1
R1 + R 2
 L1 + L 2 R 1 R 1 + R 2 
−
Ostatecznie:
 L1

1
1
 ⋅ e
⋅
−
i( t ) = E
 L1 + L 2 R 1 R 1 + R 2 
t
L1 + L 2
R1 + R 2
+
E
R1 + R 2
Przebiegi dla: E=100V, R1=50Ω, L1=20mΗ, R2=10Ω, L2=60mH
i L1
i
iL2
t
Przeanalizujmy przebieg procesu ładowania kondensatora w obwodzie
ERC:
(przy założeniu, że kondensator nie był
uprzednio naładowany, czyli: u( t < 0 ) = 0 )
R
t=0
C
E
u
Dla t ≥ 0 równanie napięciowe ma postać:
u + Ri = E
i
ale: i = C
du
dt
stąd:
du
RC + u = E
dt
Ponadto korzystamy z warunku ciągłości napięcia na elemencie pojemnościowym, stosując go tu dla chwili t=0: u(0 − ) = u(0 + ) = 0
- napięcie nie
występowało na kondensatorze przed zamknięciem łącznika; otrzymaliśmy
warunek początkowy dla napięcia u(t). Należy rozwiązać to równanie
różniczkowe z danym warunkiem początkowym.
Składową swobodną wyznaczamy poprzez rozwiązanie równania charakterystycznego:
RC ⋅ r + 1 = 0
⇒
1
1
r=−
=−
RC
T
Składowa swobodna wynosi zatem:
us = A ⋅ e
−
t
T
= A ⋅e
−
t
RC
gdzie T=RC jest stałą czasową obwodu, zaś A jest stałą całkowania (mając
obie składowe rozwiązania wyznaczymy jej wartość korzystając z warunku
początkowego).
Pamiętając, że składowa wymuszona jest rozwiązaniem obwodu w stanie
ustalonym, można łatwo stwierdzić, że napięcie na kondensatorze w stanie
ustalonym musi być równe napięciu E źródła zasilającego.
(Ponieważ w obwodzie prądu stałego w
R
stanie ustalonym kondensator stanowi
E
C
uC przerwę, prąd nie płynie, więc spadek
napięcia na rezystancji jest zerowy. Aby
spełnione było II prawo Kirchhoffa napięcie
u( t → ∞ ) = E
u musi być równe E.)
A zatem składowa wymuszona jest równa: u w = E
Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych:
u( t ) = u s + u w = A ⋅ e
−
t
RC
+ E = A ⋅e
−
t
T
+E
Teraz wyznaczamy stałą całkowania
początkowego u(t=0+)=0, więc:
0 = A ⋅e
−
0
T
+E
⇒
A,
0=A+E
korzystając
⇒
z
warunku
A = −E
Rozwiązanie ma ostatecznie postać:
u( t ) = − E ⋅ e
−
t
RC
t 
t


−
− 
+ E = E 1 − e RC  = E 1 − e T 








Ponieważ stała czasowa: T = RC zależy od parametrów R, C obwodu (nie
zależy np. od napięcia E), stąd tylko te wartości decydują o czasie trwania
stanu przejściowego – im większa pojemność lub rezystancja, tym czas ten
jest dłuższy (tzn. napięcie wzrasta wolniej). Napięcie najszybciej rośnie na
początku stanu przejściowego tzn. dla t=0+, maksymalna stromość
napięcia:
t 
t
t


−
−
−
du d  
E
E T
=
E 1 − e T  = e T =
e
 T
dt dt  
RC

 
⇒
du
E
=
dt max RC
składowa wymuszona
uw
E
składowa swobodna
us
E
u
E
rozwiązanie pełne - suma
t
T
Rozważmy obwód nieco bardziej złożony:
t=0
R1
E
i1
C
R2
i2
i3
u
R3
W obwodzie tym chcemy wyznaczyć przebieg napięcia u(t) na elemencie pojemnościowym. Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony,
otrzymamy dla t<0 obwód (poniżej):
0
Korzystamy z warunku ciągłości napięcia na
elemencie pojemnościowym, stosując go tu
dla chwili t=0: u(0 − ) = u(0 + ) = E ; otrzymaliśmy warunek początkowy dla napięcia u(t).
R1
E
i=0
C
R2
u(t)=E
0
Sformułujmy równania opisujące obwód (pełny) po zamknięciu łącznika,
czyli dla t≥0:
du Powstał układ 4 równań z 4-ma
i2 = C
u + R 2i 2 + R1i1 = E
niewiadomymi, z którego chcemy
dt
wyeliminować prądy i uzyskać 1
u + R 2i 2 = R 3i 3
i1 = i 2 + i 3 równanie z niewiadomą u.
u R2
u R 2 du
Z równania napięciowego 2-go oczka: i 3 =
+
+
i2 =
C
R3 R3
R 3 R 3 dt
i po podstawieniu do
R 2 + R 3 du u
du R 2 du u
równania prądowego i1 = C
+
C +
=C
+
dt R 3 dt R 3
R 3 dt R 3
otrzymamy:
Podstawiając to do równania napięciowego dla pierwszego oczka mamy:
 R 2 + R 3 du u 
du
 = E
+
u + R 2C + R1  C
dt
R 3 dt R 3 





a po uporządkowaniu:  R + R R 2 + R 3 C du +  1 + R1 u = E
1
 2




R3
 dt

R3 
R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 du R1 + R 3
lub:
C +
u=E
R3
dt
R3
Dzieląc obustronnie przez współczynnik stojący przed u otrzymamy:
R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3 du
R3
C +u=
E
R1 + R 3
dt
R1 + R 3
R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3
C⋅r + 1 = 0
Równanie charakterystyczne oraz
R1 + R 3
jego rozwiązanie (pierwiastek):
czyli :
1
1
r=−
=−
R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3
T
C
R1 + R 3
Składowa swobodna
ma postać:
us = A ⋅ e
−
t
T
−
= A ⋅e
t
R1R 2 + R1R 3 + R 2R 3
C
R1 + R 3
gdzie T jest stałą czasową obwodu, zaś A jest stałą całkowania.
Składowa wymuszona jest rozwiązaniem obwodu w stanie ustalonym:
i1=E/(R1+R2)
R1
E
C
R2
u=uR3
i2=0
0
i3=i1
R3
uR3=ER3/(R1+R2)
R3
uw = E ⋅
R1 + R 3
Rozwiązanie jest sumą obydwu składowych:
−
u( t ) = u s + u w = A ⋅ e
t
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3
C
R1 + R 3
R3
+ E⋅
R1 + R 3
Teraz wyznaczamy stałą całkowania A, korzystając z warunku
początkowego u(t=0+)=E, więc:
E = A ⋅e
−
0
T
+ E⋅
R3
R1 + R 3
Rozwiązanie ma postać:
⇒
E = A + E⋅
R3
R1 + R 3
⇒
A = E⋅
R1
R1 + R 3
t


−
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 

C
R3
R
R1 + R 3

u( t ) = E ⋅
⋅ 1 + 1 e

R1 + R 3  R 3




Dla przykładowych danych: E=100V, R1=80Ω, R2=40Ω, R3=20Ω, C= 50µF
mamy T=2.8ms, więc:
(
)
u( t ) = 20 ⋅ 1 + 4 ⋅ e − 357.14⋅t V
u
t
Alternatywny sposób analizy:
Zauważmy, że aby obliczyć napięcie dla czasów t>0 mogliśmy także
sprowadzić obwód do postaci prostego obwodu ERC (dla którego
rozwiązanie wyznaczyliśmy już poprzednio), korzystając z metody
Thevenina. Wyłączając z obwodu kondensator, możemy obliczyć
parametry ET i RT zastępczego źródła napięciowego:
R1
R2
R1
R3
R1 ⋅ R 3
RT = R2 +
R1 + R 3
R3
E ⋅ R3
ET = U R 3 =
R1 + R 3
ET
E
R2
UR3
Zatem obwód sprowadziliśmy do takiej samej postaci jak poprzednio (tzn.
ERC – pierwszy obwód z pojemnością), tylko zamiast E mamy ET, zaś w miejscu
R pojawiło się RT. Zatem rozwiązanie - w ogólnej postaci – wynosi:
RT
ET
C
uC
u( t ) = u s + u w = A ⋅ e
przy czym:
−
t
R TC
+ ET
u (0− ) = u (0+ ) = E
Wyznaczamy stałą A, korzystając z warunku początkowego u(t=0+)=E:
E = A⋅e
−
0
T
+ ET
⇒
E = A + ET
⇒
R1
A = E⋅
R1 + R 3
Po podstawieniu stałej A oraz obliczonych ET i RT do ogólnej postaci
rozwiązania i po uporządkowaniu wyrazów otrzymamy następujący
przebieg napięcia:
t


−
R 1R 2 + R 1R 3 + R 2 R 3 

C
R3
R1
R1 + R 3


u( t ) = E ⋅
e
⋅ 1+

R1 + R 3  R 3




Kiedy musimy zastosować bardziej ogólny warunek ciągłości ładunku ?
Rozważmy szczególny przypadek obwodu:
W obwodzie tym chcemy
wyznaczyć przebieg napięcia
t=0
u(t) na kondensatorach po
R
zamknięciu łącznika. Konden0.3E sator C2 był przed komutacją
u1
E
C1
C2
naładowany wstępnie z innego
źródła (wartość i polaryzację
napięcia podano na rysunku).
Zakładając, że przed komutacją łącznika w obwodzie był stan ustalony,
otrzymamy dla t<0 : u1 ( t < 0) = E . Dla t ≥ 0 czyli po zamknięciu łącznika
mamy obwód jak poniżej, który można uprościć do znanego już obwodu
ERC (C1 i C2 zastąpiliśmy wypadkową pojemnością sumaryczną CZ).
R
E
C1
u C2
R
E
CZ=C1+C2
Jaki jednak należy tu przyjąć warunek początkowy: u(t=0+)=?
u
Ponieważ dla chwili t=0− mieliśmy różne wartości napięcia na obydwu
(jeszcze nie połączonych równolegle) kondensatorach: u1(0−)=E oraz
u2(0−)= ̶ 0.3E, zaś w chwili t=0+ jest to już jedno wspólne napięcie u (II
prawo Kirchhoffa !!!), więc warunek ciągłości napięcia na kondensatorach
nie może być tu spełniony. Korzystamy z ogólniejszego warunku ciągłości
sumarycznego ładunku zgromadzonego w obydwu kondensatorach, czyli:
QΣ (0 − ) = QΣ (0 + )
⇒
C1 ⋅ u1 (0 − ) + C 2 ⋅ u 2 (0 − ) = C Z ⋅ u(0 + )
C1 ⋅ E − C 2 ⋅ 0.3E
C1 + C 2
Przy rozwiązaniu możemy skorzystać z poprzednich ogólnych wyników:
C1 ⋅ E − C 2 ⋅ 0.3E = (C1 + C 2 ) ⋅ u(0 + )
−
u(0 + ) =
⇒
t
RC Z
−
t
R (C1 + C 2 )
u( t ) = u s + u w = A ⋅ e
+ E = A ⋅e
+E
Stałą całkowania A wyznaczamy z obliczonego warunku początkowego :
C1 ⋅ E − C 2 ⋅ 0.3E
=A+E
C1 + C 2
Ostatecznie:
⇒
A = −1.3E
C2
C1 + C 2
t


−
C


2
u( t ) = E ⋅  1 − 1.3 ⋅
⋅ e R (C1 + C2 ) 
C1 + C 2



