Cezary Łucyk
ELEKTROTECHNIKA
PODSTAWOWA
Warszawa 2006
Podręcznik akademicki
Książka zredagowana w całości przez autora
© Copyright by Cezary Łucyk, 2006
Wszelkie prawa zastrzeżone. Prawa autorskie przedstawionego tekstu należą do
autora. Pracy – w całości lub części – nie można rozpowszechniać ani wykorzystywać w jakiejkolwiek formie naruszającej prawa autora.
Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej
Wersja internetowa http://www.it.pw.edu.pl/~clucyk
3
Elektrotechnika podstawowa
SPIS TREŚCI
PRZEDMOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
ROZDZIAŁ 1.
Wprowadzenie ...........................................
9
I. PODSTAWOWE POJĘCIA I WIELKOŚCI ELEKTRYCZNE . . . . . . . . . . . . . . . .
Ładunki elektryczne. Przewodniki i dielektryki. Zasada zachowania ładunku. Ładunek punktowy. Jednostka ładunku elektrycznego. Ładunek elementarny i gęstości
rozkładu ładunków. Pole elektryczne, magnetyczne i elektromagnetyczne. Prąd elektryczny. Obwód elektryczny. Natężenie pola elektrycznego. Napięcie elektryczne.
Potencjał elektryczny. Strzałkowanie napięcia i potencjału elektrycznego. Ruch ładunków w ciele pod wpływem pola elektrycznego
11
II. ELEMENTY I PODSTAWOWE UKŁADY REZYSTANCYJNE . . . . . . . . . . . . . .
Pole elektryczne przepływowe. Natężenie prądu elektrycznego i gęstość prądu.
Strzałkowanie prądu elektrycznego. Prawo Ohma. Rezystancja i konduktancja. Rezystancja odcinka przewodu. Jednostki rezystywności i konduktywności. Rezystancja
przejścia między kulą a nieskończonym środowiskiem. Prawo Joule’a. Zależność rezystancji od temperatury. Rezystancje nieliniowe i liniowe. Szeregowe połączenie rezystancji liniowych. Równoległe połączenie rezystancji liniowych. Przekształcenie
gwiazda-trójkąt i odwrotne
17
ROZDZIAŁ 2.
Elektrostatyka. Kondensatory ........................
23
III. INDUKCJA ELEKTRYCZNA. DIELEKTRYKI. POJEMNOŚĆ ELEKTRYCZNA .
Prawo Coulomba. Pole elektrostatyczne w próżni. Zjawisko indukcji elektrostatycznej. Indukcja elektrostatyczna i strumień indukcji elektrostatycznej. Twierdzenie
Gaussa. Indukcja elektryczna i strumień elektryczny. Przewodniki w polu elektrostatycznym. Pole elektrostatyczne w dielektrykach. Polaryzacja dielektryków. Wektor
polaryzacji elektrycznej. Indukcja elektryczna w dielektryku i przenikalność elektryczna dielektryka. Prąd przesunięcia dielektrycznego. Prąd przesunięcia dielektrycznego i prąd upływnościowy. Rozkłady pól w dielektrykach rzeczywistych. Pojemność elektryczna kondensatora i ciała odosobnionego. Pojemność kondensatora
płaskiego. Jednostka przenikalności elektrycznej. Pojemność kondensatora cylindrycznego (kabla jednożyłowego z powłoką)
25
IV. UKŁADY POŁĄCZEŃ KONDENSATORÓW. ENERGIA POLA ELEKTROSTATYCZNEGO. WYTRZYMAŁOŚĆ ELEKTRYCZNA DIELEKTRYKÓW . . . .
Równoległe połączenie pojemności liniowych. Szeregowe połączenie pojemności liniowych. Przekształcenie gwiazda-trójkąt i odwrotne. Energia pola elektrostatycznego. Gęstość energii pola elektrostatycznego. Energia tracona w czasie ładowania i
rozładowania kondensatorów. Wytrzymałość elektryczna dielektryków. Zagęszczenie
linii pola elektrycznego przy krzywiznach powierzchni elektrod. Ciśnienie elektrostatyczne
33
4
Spis treści
ROZDZIAŁ 3.
Elementy obwodów prądu stałego ...................
41
V. ELEMENTY UKŁADÓW I OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . .
Podstawowe elementy funkcjonalne i schemat obwodu elektrycznego. Elementy aktywne i pasywne. Strzałkowanie generatorowe i odbiornikowe. Elementy struktury
obwodów elektrycznych. Prawa Kirchhoffa. Bilans mocy obwodu elektrycznego (zasada Tellegena). Pojęcie obwodu prądu stałego. Podstawowe elementy gałęzi obwodów prądu stałego. Rezystancja statyczna i dynamiczna. Obwód nieliniowy prądu stałego. Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego. Moce wydawane i pobierane
przez gałęzie w obwodzie prądu stałego. Bilans mocy obwodu prądu stałego
43
VI. PODSTAWOWE UKŁADY PRĄDU STAŁEGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rzeczywiste źródło napięciowe obciążone rezystancją. Rzeczywiste źródło prądowe
obciążone konduktancją. Równoważność rzeczywistych źródeł napięciowych i prądowych. Łączenie źródeł prądu stałego. Linia zasilająca odbiornik prądu stałego.
Dzielnik napięcia. Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza. Dzielnik prądu.
Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza
51
ROZDZIAŁ 4.
Rozwiązywanie obwodów prądu stałego ............
VII. ANALIZA OBWODÓW NIEROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU STAŁEGO.
ELEMENTY TOPOLOGII OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH . . . . . . . . . . . . . . . .
Obwód liniowy nierozgałęziony, bez źródeł prądowych. Obwód liniowy nierozgałęziony, z rzeczywistymi źródłami prądowymi. Obwód z rezystorem nieliniowym rozwiązanie analityczne. Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie graficzne.
Obwód z rezystorem liniowym zadanym parametrycznie - rozwiązanie graficzne.
Wstęp topologiczny do analizy rozgałęzionych obwodów elektrycznych. Współczynniki incydencji
VIII. GAŁĘZIE NORMALNE. PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE RÓWNANIA RÓWNOWAGI. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM PRĄDÓW . . . . . . . . . . . . . .
Sposoby przedstawienia gałęzi. Liczby prądowych i napięciowych równań równowagi obwodu. Równania prądów w węzłach. Równania napięć w oczkach. Równania
równowagi względem prądów – postać ogólna. Równania równowagi względem prądów dla obwodów z gałęziami napięciowymi
IX. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM NAPIĘĆ. METODA OCZKOWA.
METODA WĘZŁOWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Równania równowagi względem napięć. Metoda oczkowa (dla obwodów ze źródłami
napięciowymi). Metoda węzłowa (dla obwodów ze źródłami prądowymi)
X. ZASADA SUPERPOZYCJI. „PRZENOSZENIE” ŹRÓDEŁ W OBWODZIE.
TWIERDZENIA: THEVENINA, NORTONA, O WZAJEMNOŚCI,
O KOMPENSACJI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zasada superpozycji. „Przenoszenie” źródeł do innych gałęzi. Konduktancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Thevenina. Rezystancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Nortona. Przykład wyznaczenia ogólnej zależności na podstawie
twierdzenia Thevenina. Przykład wyznaczenia ogólnej zależności na podstawie
twierdzenia Nortona. Twierdzenie o wzajemności. Twierdzenie o kompensacji
57
59
65
73
81
ROZDZIAŁ 5. M a g n e t o s t a t y k a . C e w k i i n d u k c y j n e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
XI. POLE I OBWODY MAGNETYCZNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pole magnetyczne i jego źródła. Indukcja magnetyczna. Strumień magnetyczny. Natężenie pola magnetycznego. Przenikalność magnetyczna. Prawo Biota-Savarta-
93
Elektrotechnika podstawowa
5
Laplace’a. Prawo przepływu prądu (prawo Ampere’a). Oddziaływanie elektrodynamiczne. Definicja jednostki prądu elektrycznego. Diamagnetyki i paramagnetyki. Ferromagnetyki. Polaryzacja magnetyczna (magnetyzacja). Prawa dotyczące obwodów
strumienia stałego (magnetostatycznych). Obwód magnetostatyczny nierozgałęziony.
Obwód magnetostatyczny rozgałęziony
XII. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Prawo indukcji elektromagnetycznej (prawo Faradaya). Reguła Lenza. Cewka indukcyjna. Indukcyjność własna. Indukcyjność wzajemna. Energia pola magnetycznego
cewki. Energia pola magnetycznego cewek sprzężonych. Gęstość energii pola magnetycznego. Transformator bezstratny. Transformator idealny a transformator bezstratny. Transformator rzeczywisty
ROZDZIAŁ 6.
E l e m e n t y o b w o d ó w p r ą d u s i n u s o i d a l n e g o . . . . . . . . . 109
XIII. PRZEBIEGI WIELKOŚCI ZMIENNYCH W CZASIE.
ELEMENTY R, C, L i M PRZY PRĄDZIE SINUSOIDALNYM . . . . . . . . . . . . . . 111
Klasyfikacja przebiegów zmiennych w czasie. Składniki przebiegu okresowego. Wartości średnie prądu i napięcia okresowego. Moc średnia i energia w obwodzie prądu
okresowego. Wartości skuteczne prądu i napięcia okresowego. Wartości wyprostowane prądu i napięcia okresowego. Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu i napięcia okresowego. Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu i napięcia sinusoidalnego. Współczynniki sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego. Współczynniki
udziału wyższych harmonicznych prądu i napięcia przemiennego. Wielkości charakteryzujące dwójnik liniowy przy prądzie sinusoidalnym. Elementy R, C, L, M w obwodzie prądu sinusoidalnego
XIV. UKŁADY DWÓJNIKÓW Z ELEMENTAMI R, L, C.
MOCE DWÓJNIKÓW. REZONANS ELEKTRYCZNY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Układ szeregowy R, L, C (gałąź R, X). Układ równoległy R, L, C (gałąź G, B). Parametry dwójników równoważnych. Moce dwójnika pasywnego (czynna, bierna i pozorna). Rezonans elektryczny. Charakterystyki szeregowego obwodu rezonansowego.
Rezonans w dwójniku o układzie mieszanym
XV. WYKRESY WSKAZOWE PRĄDU I NAPIĘCIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWIĄZYWANIA OBWODÓW . . . . . . . . . . . . . . 123
Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu. Wykresy wskazowe i wykresy trójkątowe dwójników pasywnych. Wartości symboliczne
prądu i napięcia sinusoidalnego. Własności metody symbolicznej rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego. Moc zespolona. Posługiwanie się rachunkiem symbolicznym w rozwiązywaniu obwodów
ROZDZIAŁ 7. R o z w i ą z y w a n i e o b w o d ó w p r ą d u s i n u s o i d a l n e g o . . 131
XVI. WYBRANE KONFIGURACJE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO . . . . 133
Przekształcenie trójkąt-gwiazda i odwrotne, przy prądzie sinusoidalnym. Układy
dzielników napięcia i prądu sinusoidalnego. Charakterystyki zewnętrzne sinusoidalnych źródeł napięciowych. Równoważność rzeczywistych sinusoidalnych źródeł napięciowych i prądowych. Dopasowanie odbiornika do źródła napięciowego ze względu na moc czynną. Dopasowanie odbiornika do źródła napięciowego ze względu na
moc pozorną. Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła poprzez dołączenie reaktancji. Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła za pomocą transformatora.
Dwójnik z połączonymi szeregowo dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie.
6
Spis treści
Trójnik z dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie. Dwójnik z połączonymi
równolegle dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie. Rozwiązywanie obwodów
ze sprzężeniami magnetycznymi metodą oczkową
XVII. PODSTAWOWE STRUKTURY OBWODÓW TRÓJFAZOWYCH . . . . . . . . . . . . 143
Układ wielofazowy i układ trójfazowy. Źródło, odbiornik i linia skojarzonego układu
trójfazowego. Obwód trójfazowy. Prąd trójfazowy i napięcie trójfazowe. Napięcia,
prądy i moce w obwodach trójfazowych. Odbiornik zasilany czteroprzewodowo. Odbiornik o układzie gwiazdowym zasilany trójprzewodowo. Odbiornik o układzie trójkątowym
XVIII. SZCZEGÓLNE KONFIGURACJE OBWODÓW TRÓJFAZOWYCH.
POMIARY MOCY W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Symetryczny odbiornik o układzie gwiazdowym. Symetryczny odbiornik o układzie
trójkątowym. Przełączenie symetrycznego odbiornika z gwiazdy na trójkąt, lub odwrotne. Przerwa w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego czteroprzewodowo.
Przerwa w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo. Zwarcie w
fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo. Przerwa w fazie odbiornika „trójkątowego”. Pomiar mocy czynnej odbiorników trójfazowych. Pomiar
mocy biernej odbiorników trójfazowych. Określanie wskazań przyrządów na podstawie wykresu wskazowego
ZADANIA. M a t e r i a ł ć w i c z e n i o w y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
Ważniejsze wzory wykorzystywane w zadaniach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Układy rezystancji liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Łączenie pojemności liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Napięciowe i prądowe źródła prądu stałego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Obwody prądu stałego z jednym źródłem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Obwody rozgałęzione prądu stałego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Obwody prądu stałego z gałęzią nieliniową . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. Obwody magnetostatyczne (nieliniowe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8. Parametry okresowych przebiegów prądu i napięcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. Dwójniki prądu sinusoidalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10. Obwody jednofazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11. Obwody rozgałęzione prądu sinusoidalnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Obwody prądu sinusoidalnego ze sprzężeniami magnetycznymi . . . . . . . . . . . . .
13. Obwody trójfazowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
161
165
177
183
187
201
205
209
217
225
233
243
253
LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
SKOROWIDZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
7
Elektrotechnika podstawowa
PRZEDMOWA
W niniejszym podręczniku zawarta jest porcja „wiedzy elektrycznej”, jaką powinien posiąść
student każdej specjalności na politechnice. Rolą przymiotnika podstawowa, występującego w tytule, jest zwrócenie uwagi, że przedstawiono tutaj jedynie najważniejsze pojęcia oraz problemy teoretyczne i rachunkowe z dziedziny elektrotechniki (zakres nie obejmuje „bardziej zmatematyzowanych” zagadnień, należących do przedmiotu „Elektrotechnika teoretyczna” na kierunkach elektryczno-elektronicznych).
Dużą część książki zajmują elementy teorii obwodów – dziedziny wywodzącej się z elektrotechniki i ściśle z nią związanej. Teorię obwodów elektrycznych uważa się za szczególny przypadek ogólnej teorii układów, zaś tę – za dział matematyki stosowanej. Umiejętność praktycznego
posługiwania się wiedzą matematyczną jest dla inżyniera bardzo ważna, lecz skupienie się na formalnej, matematycznej stronie problemów może ograniczać fizykalną interpretację zjawisk. Dlatego skok ze „świata ładunków” w „świat matematyki” nie odbywa się w książce kosztem rozumienia
tego pierwszego. W tej kwestii starano się zachować równowagę. Tradycyjnie też – obwody prądu
stałego oraz sinusoidalnego są omawiane oddzielnie, dla ukazania specyfiki metod rozwiązywania
jednych i drugich.
Drastyczne zmniejszenie liczby godzin wykładowych to ogólny trend w ostatnich latach na
studiach technicznych. Na wykładach problemy są z konieczności tylko zarysowane, później zaś
należy je spokojnie „rozgryźć” i zgłębić. Każe to studiującym poświęcać więcej czasu na własną,
systematyczną pracę. Potrzebują do tego materiałów przygotowanych lub wskazanych przez wykładowcę. „Elektrotechnika podstawowa” odpowiada wymaganiom zorganizowanego w ten sposób
procesu dydaktycznego. Może też być pomocna studiującym przez internet.
Ograniczony zakres materiału i zwięzły sposób jego prezentacji (wg zasady: mało słów –
dużo treści) skutkuje tym, że Czytelnik dostaje rzecz objętościowo niewielką. Autor jest przekonany, że skrótowość opisu wymusza dbałość o formę, a ta sprzyja lepszemu rozumieniu treści. Na
poparcie tej tezy, ryzykując posądzeniem o nieskromność, gotów jest posłużyć się cytatem z Antoniego Czechowa, mistrza w oszczędnym, precyzyjnym wyrażaniu myśli: „Zwięzłość siostrą talentu”. Warto zapamiętać i stosować tę dewizę. Tym bardziej, że potrzeba kompresji środków komunikacji jest bardziej naturalna na polu techniki, niż literatury.
Przedstawiony materiał składa się z dwóch części: teoretycznej i rachunkowej.
W części teoretycznej występuje podział na rozdziały i jednostki wykładowe. Na początku
każdego z rozdziałów podano oznaczenia występujących wielkości. Rozdziały tworzą porządek
merytoryczny. Podział na jednostki wykładowe wyznacza rytm studiowania. Dyscyplina czasowa
studiowania ma duże znaczenie, nie sposób bowiem przyswoić całego materiału tuż przed egzaminem, jak też nie warto uczyć się tylko po to, by zdać egzamin.
Wykłady są podzielone na wiele „segmentów”, opatrzonych tytułami, nienumerowanych.
Połowę objętości książki zajmują zadania rachunkowe. Niektóre z nich zostały włączone do wykładów, pozostałe zapełniają ćwiczeniową część podręcznika. Rozwiązania większości zadań są podane w całości. Do reszty dołączono odpowiedzi oraz wskazówki. Nie stosuje się numeracji rysunków
8
Elektrotechnika podstawowa
i nie ma pod nimi podpisów (nie jest to potrzebne, bowiem zawsze, tuż obok umieszczono objaśniające je fragmenty tekstu albo rozwiązanie zadania). Na końcu książki znajduje się skorowidz.
O aktualności każdego podręcznika decyduje zarówno zakres materiału, jak i sposób jego
podania. W elektrotechnice, tak jak w innych dziedzinach wiedzy o długiej historii rozwoju, powstało wiele podręczników, które na swe czasy były „z reguły bardzo dobre, a przeważnie świetne”, wg żartobliwej oceny sytuacji na rynku książki, dokonanej wiele lat temu przez prof. Czesława
Rajskiego. Starsze podręczniki zachowały oczywiście „świetność” i znaczenie historycznie, muszą
jednak ustępować miejsca nowym, może nie tak świetnym, ale odwołującym się do nowszych ustaleń i używającym aktualnej symboliki. W wykazie literatury – zamieszczonym na końcu książki –
znalazły się więc te pozycje z elektrotechniki teoretycznej i teorii obwodów, które prezentują materiał w miarę aktualnej „oprawie” i są dostępne na rynku lub w bibliotekach.
Zakres materiału odpowiada programom I i częściowo II roku studiów politechnicznych.
Kierunki „nieelektryczne” zadowalają się na ogół taką porcją wiedzy z podstaw elektrotechniki.
Od Słuchacza-Czytelnika wymaga się znajomości liczb zespolonych, rachunku macierzowego i analizy matematycznej na poziomie elementarnym, a także – wiadomości z elektryki w zakresie odpowiadającym wymaganiom egzaminu wstępnego na politechnikę (pod tym względem,
niestety, przeciętny poziom wiedzy jest ostatnio bardzo niski).
9
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 1
Wprowadzenie
Elektrotechnika jest działem wiedzy obejmującym zagadnienia związane z zastosowaniami elektryczności w technice. Na powstanie i początki nauki o elektryczności złożyły się odkrycia wielu
fizyków. Warto je przypomnieć w kontekście pojęć omawianych w niniejszym rozdziale.
Termin elektryczność, wprowadzony w 1600 r. przez Williama Gilberta, pochodzi od greckiego
słowa elektron, tj. bursztyn (w starożytności znane było zjawisko elektryzowania się bursztynu przy
pocieraniu wełną lub futrem). Gilbert przedstawił koncepcję dwóch „rodzajów elektryczności”
(„szklaną” i „żywiczną”) – model fenomenologiczny obiektów nazwanych później ładunkami dodatnimi i ujemnymi. W 1663 r. Otto von Guericke zbudował pierwszą maszynę elektrostatyczną (w
postaci siarkowej kuli). W 1727 r. Stephen Gray odkrył zjawisko indukcji elektrostatycznej. Na
podstawie zdolności przenoszenia ładunku przez różne ciała, określał je jako przewodzące albo
nieprzewodzące. W 1745 r. Pieter van Muschenbroek wynalazł butelkę lejdejską (pierwszy kondensator). W 1758 r. Charles Coulomb ogłosił tzw. prawo odwrotnego kwadratu, dotyczące oddziaływania ładunków punktowych. W 1800 r. Alessandro Volta, zainspirowany wynikami doświadczeń
Luigiego Galvaniego (1789 r.), zbudował „stos galwaniczny” (zespół ogniw galwanicznych). Wówczas uwaga badaczy skierowała się ku zjawiskom towarzyszącym przepływowi prądu stałego.
W 1819 r. Hans Christian Oersted wykonał eksperyment świadczący o tym, że prąd elektryczny jest
źródłem pola magnetycznego, a w roku następnym oficjalnie powiadomił świat o odkryciu wzajemnego oddziaływania elektryczności i magnetyzmu. W 1820 r. Andre Maria Amper opisał zjawisko elektrodynamicznego oddziaływania przewodników. W 1826 r. Georg Ohm ustalił zależność
między opornością, napięciem i natężeniem prądu. W 1831 r. Michael Faraday odkrył zjawisko i
sformułował zasadę indukcji elektromagnetycznej, a w latach 1833-34 podał prawa elektrolizy.
M. Faraday przedstawił też koncepcje linii sił pola oraz oddziaływania ładunków na zasadzie oddziaływania pól wytwarzanych przez te ładunki (kontynuacją tej myśli są równania sformułowane
w 1864 r. przez Jamesa Clerka Maxwella). W 1841 r. James Joule podał prawo określające ilość
ciepła wydzielającego się w przewodniku.
10
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 1
B
c
D
e
E
F
G
H
i
I
J
l
p
P
q
Q
r
R
S
t
u
U
V
v
W
α20
γ
ϑ
λq
ρ
ρP
indukcja magnetyczna
prędkość światła
indukcja elektryczna
elementarny ładunek elektryczny
natężenie pola elektrycznego
siła
konduktancja (przewodność elektryczna)
natężenie pola magnetycznego
prąd (natężenie prądu)
prąd stały (natężenie prądu stałego)
gęstość prądu elektrycznego
droga (długość odcinka drogi, przemieszczenie)
moc
moc stała (średnia)
ładunek próbny
ładunek
promień okręgu
rezystancja (opór elektryczny)
pole powierzchni
czas
napięcie
napięcie stałe
potencjał
prędkość
praca, energia
temperaturowy współczynnik rezystywności
przewodność właściwa (konduktywność) materiału
temperatura w skali Celsjusza
liniowa gęstość ładunku elektrycznego
opór właściwy (rezystywność) materiału
przestrzenna (objętościowa) gęstość mocy pola przepływowego
ρq
σq
przestrzenna (objętościowa) gęstość ładunku elektrycznego
powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego
Literatura do rozdziału 1
[2], [3], [4]
1. Wprowadzenie
11
Wykład I. PODSTAWOWE POJĘCIA I WIELKOŚCI ELEKTRYCZNE
Ładunki elektryczne
Ładunek elektryczny jest traktowany jako pojęcie pierwotne elektryki, umożliwiające objaśnienie
różnych zjawisk elektrycznych i magnetycznych oraz formułowanie reguł ich dotyczących.
Ładunek elektryczny to potocznie jakaś „porcja elektryczności”, twór abstrakcyjny (nie znamy jego
natury fizycznej). Nie można go ani zobaczyć, ani zmierzyć bezpośrednio, nie przeszkadza to jednak w wyobrażeniu go sobie jako bytu realnego, obdarzonego określonymi cechami, tym bardziej
że związany jest zawsze z jakimś obiektem fizycznym (o określonej masie) i można go dość dobrze
umiejscowić w przestrzeni i czasie.
a)
+
+
Ciała obdarzone ładunkami elektrycznymi (naładowane, naelektryzowane) mogą się przyciągać lub odpychać, zależnie
–
+
b)
od typu „udzielonej im elektryczności”. Przyjęto zatem, że
występują dwa rodzaje ładunków elektrycznych: dodatnie i
c)
ujemne, przy czym ładunki o jednakowych znakach odpycha–
ją się, zaś o różnych – przyciągają (rys.). Siły i oddziaływa+
nia tego rodzaju określa się jako elektryczne lub – odnosząc
+
je do ładunków nieruchomych – jako elektrostatyczne (natura
zjawiska jest ta sama, niezależnie od tego, czy ładunki pozostają w spoczynku, czy są w ruchu).
Podział na ładunki dodatnie i ujemne dotyczy zarówno skali makro, jak mikro. W ciałach zgromadzone są olbrzymie ilości, powiązanych wzajemnie, ładunków obu znaków, lecz w normalnych
warunkach ich działania się równoważą i ciała są elektrycznie obojętne. Analizując zjawiska związane z oddziaływaniami elektrycznymi, bierze się pod uwagę tylko niezrównoważone w ciałach
ładunki o określonych znakach. Przez ładunek zgromadzony w ciele, np. na okładzinie kondensatora, rozumie się więc ładunek występujący w nim poza wewnętrznie zrównoważonymi strukturami
cząsteczkowymi.
Przewodniki i dielektryki
Ciała zawierające ładunki (elektrony lub jony), które mogą się w nich swobodnie przemieszczać,
nazywają się ciałami przewodzącymi lub przewodnikami. Ciała nie zawierające takich ładunków,
tzn. ciała o umiejscowionych ładunkach, przemieszczających się co najwyżej w obrębie kryształów,
noszą miano dielektryków lub izolatorów. Ciała będące normalnie dielektrykami, a uzyskujące własności przewodników w zmienionych warunkach zewnętrznych, nazywają się półprzewodnikami.
Zdolność bądź niezdolność ciał krystalicznych do przemieszczania się w nich ładunków elektrycznych tłumaczy się istnieniem bądź nieistnieniem elektronów walencyjnych (sytuujących się na niezapełnionych do końca orbitach atomów). Elektrony walencyjne biorą udział w wiązaniach chemicznych i krystalicznych.
Zasada zachowania ładunku
Zakłócenie równowagi elektrycznej ciała poprzez udzielenie mu dodatkowego ładunku nazywa się
naelektryzowaniem (naładowaniem). Odebranie ciału nadmiaru ładunków dodatnich lub ujemnych
nazywa się rozelektryzowaniem (rozładowaniem).
Najprostszym sposobem elektryzacji ciała jest zetknięcie go z ciałem naelektryzowanym albo pocieranie o inne, odpowiednio dobrane ciało elektrycznie obojętne. Można też wykorzystać do tego
celu zjawisko indukcji elektrostatycznej, tzn. zbliżyć do ciała przewodzącego jakieś ciało naładowane, po czym – po przemieszczeniu się oraz zgrupowaniu ładunków elektrycznych różnych znaków w „końcach” ciała przewodzącego – odprowadzić (np. przez dotknięcie ręką) część ładunków
z „końca” bardziej oddalonego od ciała naładowanego.
12
Wykład I
Można zatem ładunki różnych znaków, znajdujące się w jednym ciele – rozdzielić, albo zgromadzone w różnych ciałach – zrównoważyć. Można część ładunku jednego znaku, zgromadzonego w
jakimś ciele, użyczyć ciału innemu. Nie można natomiast ładunków elektrycznych wytworzyć ani
unicestwić. Ładunki elektryczne nie mogą pojawić się znikąd ani zniknąć. Suma algebraiczna ładunków elektrycznych w układzie odosobnionym jest stała. Prawo to nosi nazwę postulatu
Maxwella lub zasady zachowania ładunku.
Ładunek punktowy
Pojęcie ładunku punktowego odnosi się do ciał naelektryzowanych, których wymiary są małe w
stosunku do odległości między nimi. Wartości sił elektrycznych między dwoma ładunkami punktowymi określa znane z fizyki prawo Coulomba (odpowiednie wzory będą podane dalej).
Stosunek rozmiaru jąder atomowych do rozmiaru atomów (odpowiadających rozmiarowi zewnętrznych powłok elektronowych) jest rzędu 10-4, a więc prawo Coulomba dobrze opisuje oddziaływania
elektryczne między jądrem i krążącymi wokół niego elektronami.
Jednostka ładunku elektrycznego
W czasie, gdy Coulomb ogłosił swe prawo - w ogóle pierwsze prawo elektryki (zapisane dla ładunków znajdujących się w powietrzu lub próżni) - stosowano układ jednostek CGS. Nie było jeszcze
jednostki ładunku elektrycznego, została zatem stworzona niejako na potrzebę ogłoszonego prawa.
Nazwano ją elektrostatyczną jednostką ładunku, uznano za podstawową jednostkę elektryczną i
utworzono układ CGS elektrostatyczny, krócej: CGSE (w układzie tym przenikalność elektryczna
jest wielkością bezwymiarową, o wartości 1 w próżni).
W układzie SI jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb (C) – jednostka pochodna podstawowej
jednostki elektrycznej, którą jest amper (A), jednostka natężenia prądu elektrycznego. Związek
między tymi jednostkami jest prosty: 1C = 1A ⋅1s.
Kulomb jest dużą jednostką: 1 [Q]SI = 1 C ≈ 3⋅109 [Q]CGSE; w praktyce używa się mikro- i milikulombów.
Ładunek elementarny i gęstości rozkładu ładunków
Ładunek elektryczny jest wielkością skwantowaną, tzn. ładunek, jakim jest obdarzona dowolnie
mała cząstka materii, musi być równy dodatniej lub ujemnej wielokrotności ładunku elementarnego, oznaczonego symbolem e. Ładunek elementarny e jest równy ładunkowi protonu lub wartości
bezwzględnej ładunku elektronu i wynosi 1,602⋅10-19 C.
Kwarki – cząstki elementarne, które występując w połączeniach tworzą cząstki złożone, m.in. protony i neutrony – mają ładunki o wartościach: + 2/3 e i – 1/3 e (antykwarki: + 1/3 e i – 2/3 e). Ułamkowe
wartości ładunku ± e, jakie mają kwarki, przeczą koncepcji ładunku elementarnego e jako najmniejszej „porcji elektryczności” (za niepodzielną całość należałoby przyjąć ładunek 3 razy
mniejszy od e). Nie ma to jednak większego znaczenia, bowiem uzyskanie kwarków swobodnych,
nie mówiąc o praktycznym ich wykorzystaniu, jest zadaniem karkołomnym. Ognista kula plazmy
kwarkowo-gluonowej, jaką po wielu latach prób udało się wytworzyć na ułamek sekundy (!),
stanowiła materię 20 razy gęściejszą od tej, jaka występuje w jądrze atomu, o niewyobrażalnej
temperaturze 100 tysięcy razy wyższej od temperatury wnętrza Słońca (którego „zwykła” plazma,
złożona z protonów, neutronów i elektronów, ma temperaturę około 14 mln K).
Ładunek elementarny jest bardzo mały, toteż w elektrotechnice, gdzie ładunek występuje na ogół
jako wielkość makroskopowa, zakłada się jego ciągłość. Można zatem zakładać ciągły - liniowy,
powierzchniowy bądź objętościowy - rozkład ładunków, przypisując mu odpowiedniego rodzaju
gęstość ładunku (liniową λq, powierzchniową σq, objętościową ρq).
1. Wprowadzenie
13
Pole elektryczne, magnetyczne i elektromagnetyczne
Oddziaływania większego zasięgu opisuje się za pomocą odpowiednich pól fizycznych, charakteryzowanych przez przestrzenne rozkłady wielkości skalarnych lub wektorowych. Istnienia pól nie
można stwierdzić bezpośrednio; można jedynie poznać skutki ich działania.
Pole oddziaływań (sił) elektrycznych to pole elektryczne. Łaa) v = 0
dunki nieruchome i niezmienne w czasie wytwarzają wokół sie+ q
bie pole elektrostatyczne. Nieruchomy ładunek, umieszczony w
E, D
pewnej przestrzeni, przyczynia się do powstania w przestrzeni
pola elektrostatycznego (rys. a), sam zaś podlega działaniu pola
b) v = const.
v
elektrostatycznego pochodzącego od pozostałych ładunków
+ q
znajdujących się w tej przestrzeni. Każdy punkt pola elektryczB, H
nego (elektrostatycznego) charakteryzują wektory: natężenia
pola elektrycznego E i indukcji elektrycznej D.
c) v ; dv / dt > 0
Ładunki przemieszczające się ze stałą prędkością wytwarzają
wokół siebie pole magnetyczne (rys. b), a znajdując się w polu
v, dv/dt
c (fala)
magnetycznym, wytwarzanym przez inne ruchome ładunki,
+ q
podlegają działaniu tego pola. Każdy punkt pola magnetycznego
B, H
charakteryzują wektory: indukcji magnetycznej B i natężenia
E, D
pola magnetycznego H.
Ładunek przemieszczający się ruchem przyspieszonym wytwarza wokół siebie pole elektromagnetyczne, mające postać rozchodzącej się w przestrzeni fali elektromagnetycznej (rys. c). Każdy punkt
pola elektromagnetycznego charakteryzują wektory: natężenia pola elektrycznego E, indukcji elektrycznej D, indukcji magnetycznej B i natężenia pola magnetycznego H. Wektory E i H fali elektromagnetycznej rozchodzą się w przestrzeni izotropowej promieniowo wokół „drgającego” ładunku i są w każdym punkcie tej przestrzeni prostopadłe wzajemnie do siebie i do kierunku rozchodzenia się fali.
Między E i H, będącymi funkcjami czasu (zmienne pole elektromagnetyczne), zachodzi ścisły
związek wyrażony równaniami Maxwella. Jeśli pole elektromagnetyczne jest wolnozmienne w czasie (quasistacjonarne), to opisuje się pola elektryczne i magnetyczne jako niezależne, quasistacjonarne. Oznacza to pominięcie zjawiska propagacji fali elektromagnetycznej.
Pole elektromagnetyczne działa na znajdujący się w nim ładunek elektryczny z siłą proporcjonalną
do jego wartości. Siła ta nosi nazwę siły Lorentza i wyraża się następująco: siła F (N) działająca na
ładunek elektryczny q (C), który porusza się z prędkością v (m s-1) i znajduje się w punkcie o natężeniu pola elektrycznego E (V m-1) i indukcji magnetycznej B (T), wynosi F = q ⋅ ( E + v × B) .
Prąd elektryczny
Prądem elektrycznym nazywa się uporządkowany ruch ładunków elektrycznych.
Pojęcie prądu elektrycznego dotyczy w zasadzie skali makro, ale bywa też używane w skali mikro.
Orbitalnym i spinowym ruchom elektronów w atomach przypisuje się pojęcie prądów molekularnych, wytwarzających orbitalne i spinowe momenty magnetyczne.
Pojęcie prądu w skali makro dotyczy przemieszczania się ładunków elektrycznych w różnych środowiskach pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Charakter prądu zależy od właściwości
środowiska, w związku z czym rozróżnia się prądy: przewodzenia, przesunięcia i unoszenia.
Zasadnicze znaczenie ma przepływ prądu w ciałach stałych, z których większość ma strukturę
kryształów. Własności elektryczne ciała krystalicznego zależą od rodzaju sieci krystalicznej.
Elektrony swobodne (w metalach, a także w określonych warunkach – w półprzewodnikach) przemieszczają się w określonym kierunku pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego. Przenoszą
tym samym ładunek elektryczny, tzn. biorą udział w przewodzeniu prądu. Sposób przewodzenia
14
Wykład I
prądu oparty na ruchu elektronów swobodnych nazywa się przewodzeniem I rodzaju. Ciała, w których możliwy jest taki proces – to przewodniki (i półprzewodniki) I rodzaju. Jeśli w ciele krystalicznym nie ma elektronów swobodnych, to nie może być ono przewodnikiem I rodzaju.
W roztworach kwasów, zasad i soli (elektrolitach), zaliczanych do przewodników (i półprzewodników) II rodzaju, nośnikami prądu są jony dodatnie i ujemne, które powstają w wyniku dysocjacji.
Przepływowi prądu w elektrolicie towarzyszą procesy elektrochemiczne.
Prąd przewodzenia tworzą zatem elektrony swobodne (w przewodnikach I rodzaju) albo jony dodatnie i ujemne (w przewodnikach II rodzaju). Średnia prędkość przemieszczania się „nośników”
prądu (ładunków tworzących prąd elektryczny) w przewodnikach jest bardzo mała. W metalu jest
ona rzędu 1 mm/s, podczas gdy prędkość bezwładnego ruchu termicznego elektronów szacuje się
na 100÷120 km/s, a prędkość rozprzestrzeniania się wymuszenia (fali prądowej) w przewodniku
jest bliska prędkości światła.
Dielektryki nie przewodzą prawie wcale prądu elektrycznego, ale poddają się działaniu zewnętrznego pola elektrycznego. Pod wpływem zjawiska polaryzacji elektrostatycznej, które polega na
przesuwaniu się ładunków w obszarze cząsteczek, występuje w dielektrykach tzw. prąd przesunięciaelektryczny
.
Prąd
w gazach tworzą elektrony i zjonizowane dodatnio cząsteczki, zaś w próżni - strumień elektronów. Prądem elektrycznym jest też przepływ zjonizowanych jąder atomów w akceleratorach. Tego rodzaju uporządkowany ruch zjonizowanych cząsteczek nosi nazwę prądu unoszenia.
Prędkości przemieszczania się nośników prądu w gazie lub próżni są rzędu tysięcy km/s.
Obwód elektryczny
Z prądem elektrycznym w skali makro związane jest pojęcie obwodu elektrycznego. Tzw. przybliżenie obwodowe pozwala na przejście od przestrzennego do obwodowego opisu zjawisk. Zachodzą
przy tym określone relacje między stałymi materiałowymi i parametrami przestrzennymi a parametrami obwodowymi elementów.
Przybliżenie obwodowe wynika z pominięcia zjawiska propagacji fali elektromagnetycznej, nie
eliminuje jednak wzajemnego powiązania zjawisk elektrycznych i magnetycznych. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej, polegające na powstawaniu napięcia w obwodzie elektrycznym
wskutek zmian pola magnetycznego wytwarzanego przez prąd tego obwodu, jest odwzorowane
istnieniem indukcyjności własnych i wzajemnych.
Obwód elektryczny składa się z elementów o końcach (zaciskach) połączonych ze sobą przewodami. Tą drogą, przy udziale przepływających ładunków elektrycznych, odbywa się wymiana energii
między elementem i resztą obwodu. W związku z kierunkiem i sposobem wymiany energii wyróżnia się elementy aktywne (źródła) oraz pasywne (rezystancje, pojemności, indukcyjności).
Natężenie pola elektrycznego
Podstawową wielkością pola elektrycznego jest natężenie pola elektrycznego E (oznaczenie rezerwowe K). Jest to graniczna wartość stosunku siły F, działającej na dodatni ładunek próbny q, do
tego ładunku:
F
E = lim .
(1.1a)
q→0 q
E2
Ładunek próbny jest z założenia tak mały, że nie powoduje żadnych
zmian w polu. Jednostką natężenia pola elektrycznego jest
M2
E1
wolt na metr (V m-1).
F1
Krzywe styczne we wszystkich punktach do wektora natężenia
+q
M1
pola elektrycznego, zgodnie z nim skierowane, noszą nazwę linii (linii sił) pola elektrycznego (rys.).
Siła F, działająca na ładunek elektryczny q w polu elektrycznym E, jest więc skierowana stycznie
do linii pola i wynosi
+q
F2
15
1. Wprowadzenie
F = q⋅ E .
(1.1b)
Napięcie elektryczne
Przemieszczenie ładunku w polu elektrycznym wiąże się z wykonaniem pracy.
Praca sił pola elektrycznego przy przemieszczeniu ładunku q na
A
odcinku
elementarnym dl między punktem początkowym K’ i
droga
punktem końcowym K” (rys.) wynosi
F
dW = F ⋅ dl = q ⋅ E ⋅ dl = q ⋅ E ⋅ dl ⋅ cos α ,
(1.2a)
E
K’
α
zaś przy przemieszczeniu między punktami A i B – jest równa
+q
dl
linia
pola
K
”
W AB =
B
(B)
(B)
( B)
(A)
(A)
( A)
∫ F ⋅ dl =q ∫ E ⋅ dl = q ∫ E ⋅ dl ⋅ cosα
(1.2b)
i nie zależy od drogi, po której przemieszcza się ładunek, a jedynie od położenia punktów krańcowych A i B. Jeśli obliczona tak wartość jest dodatnia, to przeniesienie ładunku q z punktu A do
punktu B jest wykonane kosztem sił pola, jeśli zaś ujemne, to – kosztem sił zewnętrznych (równoważących siły pola).
Gdy ładunek q jest bardzo mały, to jego obecność nie wywołuje zauważalnych zmian w polu elektrycznym i stosunek W/q może być uważany za wielkość fizyczną pola, odnoszącą się do położenia dwóch punktów. Jest to napięcie elektryczne U między tymi punktami.
Zmiana napięcia przy przemieszczeniu elementarnym dl między punktem początkowym K’ i punktem końcowym K”, równa dU = U K' K" , zgodnie z (1.2a) wynosi
dU = E ⋅ dl = E ⋅ dl ⋅ cos α .
Zgodnie z (1.2b), napięcie między punktem A i punktem B wyraża się wzorem
(B)
U AB
(1.3a)
( B)
W
= lim AB = ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl ⋅ cos α ,
q →0 q
(A)
( A)
(1.3b)
a więc praca wykonana przez siły pola przy przeniesieniu dostatecznie małego ładunku q z punktu
A do punktu B wynosi
WAB = q ⋅ U AB .
(1.3c)
Jeśli napięcie elektryczne między punktem A i punktem B jest dodatnie, to przeniesienie dodatniego ładunku q z punktu A do punktu B jest wykonywane kosztem pracy sił pola, jeśli zaś ujemne, to
– kosztem pracy sił zewnętrznych.
Jednostką napięcia elektrycznego jest wolt (V).
Jeśli przy przemieszczeniu z punktu A do punktu B, ładunku o wartości 1 C (kulomba), siły pola
wykonują pracę równą 1 J (dżul), to napięcie między punktem A i punktem B wynosi 1 V (wolt).
Potencjał elektryczny
Potencjałowi elektrycznemu V (oznaczenie rezerwowe ϕ) przypisuje się w pewnym punkcie M
(zwykle w nieskończoności) wartość równą zeru:
VM = 0 ,
a w każdym, innym punkcie przestrzeni – wartość równą napięciu elektrycznemu między tym
punktem i punktem M; np. w punkcie K:
(M)
VK = U KM =
∫ E ⋅ dl
.
(K)
Jednostką potencjału elektrycznego, tak jak napięcia elektrycznego, jest wolt (V).
(1.4a)
16
Wykład I
Każdemu punktowi pola elektrycznego są przypisane: natężenie pola elektrycznego E (wektor) i
potencjał elektryczny V (skalar). Powierzchnie utworzone przez punkty o stałym potencjale nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi. Przemieszczanie się ładunków po powierzchni ekwipotencjalnej nie wiąże się z wydatkowaniem energii, zatem linie sił pola elektrycznego są prostopadłe
do powierzchni ekwipotencjalnych (E cos α = 0, stąd α = π /2).
Napięcie elektryczne między dowolnymi punktami A i B (rys.) jest równe różnicy potencjałów
elektrycznych między tymi punktami
(B)
U AB =
(M)
A
droga
A-M
VM = 0
M (∞)
( A)
droga
A-B
VK’
K’
dl
α
E
VK”
K
”
droga M-B
(M)
(M)
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = V A − V B
( A)
VA
(B)
VB
B
(M)
( A)
.
(1.4b)
(B)
Jeśli napięcie między punktem A i punktem B jest dodatnie, to
potencjał punktu A jest wyższy od potencjału punktu B. Ruch
dodatnich ładunków pod wpływem sił pola odbywa się od punktów o wyższych potencjałach do punktów o niższych potencjałach.
Zmiana potencjału przy przemieszczeniu elementarnym dl między punktem początkowym K’ i punktem końcowym K”, jest
równa dV = VK" − VK' = U K" K' = − dU i zgodnie z (1.3a):
dV = − E ⋅ dl = − E ⋅ dl ⋅ cos α .
Składową pola E w kierunku dl (skalar) można wyrazić jako pochodną kierunkową
dV
El = −
,
dl
stąd w układzie współrzędnych prostokątnych x, y, z (1x , 1y, 1z - wektory kierunkowe osi):
∂V
∂V
∂V
E = −
⋅ 1x +
⋅ 1y +
⋅1 .
∂x
∂y
∂z z
(1.4c)
(1.5a)
(1.5b)
Strzałkowanie napięcia i potencjału elektrycznego
Napięcie elektryczne i potencjał elektryczny to wielkości skalarne, toteż - ściśle rzecz biorąc - trudno mówić o ich zwrocie lub kierunku. Używa się jednak tych terminów (wymiennie) w celu graficznego zaznaczenia, poprzez ich strzałkowanie, założonych dodatnich wartości tych wielkości.
Przyjęty sposób strzałkowania potencjału i napięcia elektrycznego
A
objaśniono obok na rysunku. Używa się strzałek o grocie otwarUAB
tym. Przy strzałce umieszcza się znak literowy wielkości. Potencjał
w punkcie A, z założenia – dodatni, obrazuje strzałka umieszczona
B
VA
między punktem o potencjale zerowym a punktem A, z grotem
VB
przy A (strzałka jest zwrócona do A). Napięcie między punktem A
i punktem B, z założenia – dodatnie, obrazuje strzałka umieszczona
między punktem B a punktem A, z grotem przy A (strzałka jest
M
VM = 0
(∞)
zwrócona do A). Grot strzałki potencjału lub napięcia elektrycznego wskazuje więc punkt o wyższym potencjale.
Ruch ładunków w ciele pod wpływem pola elektrycznego
Pole elektryczne, wytworzone przez czynniki zewnętrzne (źródła pola), powoduje w środowisku
przewodzącym – przemieszczanie się ładunków swobodnych, zaś w środowisku dielektrycznym –
rozsuwanie się względem siebie ładunków dipoli elektrycznych atomów lub cząsteczek. Przemieszczenia ładunków mają więc w przewodnikach charakter makroskopowy, a rozsuwanie się
ładunków w dielektryku – charakter wewnątrzcząsteczkowy.
17
1. Wprowadzenie
Wykład II. ELEMENTY I PODSTAWOWE UKŁADY REZYSTANCYJNE
Pole elektryczne przepływowe
Jeśli zewnętrzne źródło pola elektrycznego wymusza uporządkowany ruch (przepływ) ładunków w
ciele przewodzącym, czyli odpływ z niego jednych ładunków jest równoważony dopływem do niego innych ładunków, to mamy do czynienia z polem elektrycznym przepływowym.
Jeśli przy tego rodzaju przemieszczaniu się i wymianie nośników prądu, przestrzenny rozkład ładunków w ciele przewodzącym nie zmienia się z upływem czasu, to wówczas nie indukuje się w
nim pole wewnętrzne. W takiej sytuacji mówi się, że źródło wytwarza, a w ciele przewodzącym
występuje, pole elektryczne przepływowe stacjonarne. Z przepływowym stacjonarnym polem elektrycznym związany jest przepływ prądu stałego.
Zjawisko prądu elektrycznego ma dynamiczny charakter. Nośniki prądu zderzają się ze sobą i z
innymi cząstkami, przy czym wytracają prędkość, następnie oddalają się od siebie nabierając prędkość, znowu się zderzają itd. Średnia prędkość przemieszczania się nośników prądu v, tj. średnia
prędkość ich uporządkowanego ruchu, równa wektorowi średniej prędkości między ich zderzeniami, zależy wprost proporcjonalnie od wartości ładunku nośnika prądu i natężenia zewnętrznego
pola elektrycznego E, oraz w pewnym stopniu – od pobudzenia termicznego atomów (czyli od
temperatury ciała).
Natężenie prądu elektrycznego i gęstość prądu
Wielkością skalarną charakteryzującą zjawisko prądu elektrycznego jest natężenie prądu elektrycznego, krótko: prąd elektryczny, i. Jest to graniczna wartość stosunku hipotetycznego (umownego)
dodatniego ładunku elektrycznego ∆Q, przepływającego przez przekrój przewodnika S w czasie ∆t,
do tego czasu:
∆Q dQ
i = lim
=
.
(1.6a)
∆t →0 ∆t
dt
Prąd niezmienny w czasie i(t) = I = const. nazywa się prądem stałym.
Jednostką prądu elektrycznego, jak już powiedziano, jest amper (A).
Wielkością wektorową charakteryzującą zjawisko prądu elektrycznego jest gęstość prądu elektrycznego J (oznaczenie rezerwowe δ). Jest to graniczna wartość stosunku prądu elektrycznego ∆i,
do pola płata powierzchni ∆S, przez którą ten prąd przepływa, i która jest prostopadła do wektora
prędkości v uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich:
∆i
di
J = lim
⋅ 1v =
⋅ 1v ,
(1.6b)
∆S →0 ∆S
dS
v
gdzie: 1ν =
– wektor kierunkowy prędkości v.
v
Ładunek ∆q, przepływający w czasie ∆t z prędkością v przez płat powierzchni prostopadłej do v,
o przekroju ∆S, zapełnia przestrzeń o objętości ∆S⋅∆l= ∆S⋅∆t⋅v i wytwarza prąd ∆i = ∆q/∆t.
Gęstość objętościowa ładunku wyraża się więc wzorem
∆q
∆q
1
∆i 1
,
(1.6c)
ρ q = lim
= lim
⋅ = lim
⋅
∆S → 0 ∆ S ⋅ ∆ l
∆S → 0 ∆ S ⋅ ∆ t v
∆S → 0 ∆ S v
∆ l→ 0
∆ t→ 0
który w połączeniu z (1.6b) daje zależność definicyjną gęstości prądu jako wielkości związanej z
objętościową gęstością ładunków ρq oraz ich prędkością v:
∆i
J = lim
⋅ 1v = ρ q ⋅ v ⋅ 1v = ρ q ⋅ v .
(1.6d)
∆S →0 ∆S
Pole przepływowe związane z prądem stałym J(t) = J = const. nazywa się polem przepływowym
stacjonarnym (ustalonym).
Jednostką gęstości prądu elektrycznego jest amper na metr do kwadratu (A m-2).
18
Wykład II
Strzałkowanie prądu elektrycznego
Prąd elektryczny to – podobnie jak napięcie elektryczne i potencjał elektryczny – wielkość skalarna
i trudno mówić, ściśle rzecz biorąc, o jego zwrocie lub kierunku. Używa się jednak tych terminów
(wymiennie) w celu graficznego zaznaczenia, poprzez strzałkowanie, zwrotu prędkości uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich (rzeczywistych bądź hipotetycznych), przy znanym torze i
kierunku tego ruchu w ciele. Przyjęcie ruchu ładunku dodatniego za podstawę określenia zwrotu
(kierunku) założonej dodatniej wartości prądu ma charakter umowy porządkującej, o znaczeniu
historycznym.
Przyjęty sposób strzałkowania prądu elektrycznego objaśniono obok
i
na rysunku. Symbolem graficznym jest strzałka o grocie zamkniętym,
niezaczernionym. Przy tej strzałce umieszcza się znak literowy prądu.
Prawo Ohma. Rezystancja i konduktancja
Średnia prędkość nośników prądu (głównie - elektronów w przewodnikach I rodzaju) zależy wprost
proporcjonalnie od wartości pojedynczego ładunku i natężenia zewnętrznego pola elektrycznego
oraz w pewnym stopniu - od temperatury ciała. Jeśli rozważamy ciała wykonane z tego samego
materiału, to liczba nośników prądu w określonej objętości, czyli gęstość objętościowa ładunku,
jest w zasadzie stała. Prędkość v uporządkowanego ruchu umownych ładunków dodatnich ma ten
sam kierunek i zwrot, jak natężenie pola elektrycznego E, tzn. linie prądowe (gęstości prądu) pokrywają się z liniami pola elektrycznego.
Wzór (1.6d), po uwzględnieniu powyższych związków, przyjmuje formę:
J = γ ⋅E ,
(1.7a)
znaną jako postać różniczkowa (wektorowa) prawa Ohma.
Spotyka się też równoważną postać tego wyrażenia:
E = ρ⋅J .
(1.7b)
Wielkość γ nazywa się przewodnością właściwą lub konduktywnością materiału, natomiast jej
1
nosi nazwę oporu właściwego lub rezystywności.
odwrotność ρ =
γ
Jedną bądź drugą wartość tych wielkości podaje się jako podstawową stałą materiałową przewodnika w określonej temperaturze. Rezystywność (konduktywność) różnych przewodników ma oczywiście różne wartości.
Jednostki rezystywności i konduktywności oraz zależność ρ od temperatury zostaną przedstawione
później.
Element przewodzący, w którym płynie prąd i, a między którego końcami występuje napięcie u,
został podzielony powierzchniami ekwipotencjalnymi na plasterki, zaś te plasterki – na elementarne
rurki prądu (rys.).
u
∆u
∆V
V
i
S
∆S
V+∆V
J, E
∆i
∆l
l
19
1. Wprowadzenie
Przyjmując, że w rurce o przekroju ∆S i długości ∆l występuje: prąd ∆i, gęstość prądu J, natężenie
pola E i napięcie ∆u (oraz różnica potencjałów ∆V między podstawami plasterka, skierowana przeciwnie do napięcia ∆u), można dla wielkości skalarnych napisać: ∆i = J ⋅ ∆S , ∆u = E ⋅ ∆l .
∆i
∆u
Wynikającą stąd i ze wzoru (1.7a), zależność
=γ ⋅
, zapisuje się następująco:
∆S
∆l
∆u = ∆R ⋅ ∆i
lub
∆i = ∆G ⋅ ∆u ,
(1.8a, b)
∆l
ρ ⋅ ∆l
γ ⋅ ∆S
∆S
1
gdzie:
∆R =
=
;
∆G =
;
.
(1.8c, d, e)
=
∆G =
γ ⋅ ∆S
∆S
∆l
ρ ⋅ ∆l
∆R
Sumując prądy elementarnych rurek otrzymuje się prąd całkowity elementu
i
i = ∑ ∆i = ∑ ∆G ⋅ ∆u , stąd „napięcie plasterka” ∆u =
S
∑ ∆G
S
.
S
Sumując napięcia elementarnych rurek (plasterków) otrzymuje się napięcie całkowite elementu
1
u = ∑ ∆u = ∑
⋅i .
l
l ∑ ∆G
S
Po przejściu do elementarnych przyrostów: długości dl i powierzchni dS przekroju ciała, oraz oznaczeniu
dl
R=∫
,
(1.9)
l ∫ γ ⋅ dS
S
dochodzi się do zależności znanej jako postać całkowa (skalarna) prawa Ohma:
u = R ⋅i ,
(1.10a)
gdzie: R – rezystancja (opór elektryczny) elementu.
Wyrażenie to bywa określane jako odmiana rezystancyjna postaci całkowej prawa Ohma. Zapis
równoważny, określany jako odmiana konduktancyjna, wyraża się wzorem
i = G ⋅u ,
(1.10b)
gdzie: G – konduktancja (przewodność) elementu, tj. odwrotność jego rezystancji 1
G=
.
(1.10c)
R
Występujące wcześniej, we wzorach: (1.8...): ∆R i ∆G, można zatem nazwać rezystancją i konduktancją elementarnej rurki prądu.
Jednostką rezystancji jest om (Ω), jednostką konduktancji - simens (S), czyli odwrotność oma
(1 S = 1 Ω-1).
Przy prądzie stałym: i(t) = I = const., u(t) = U = const., wobec czego:
U = R⋅I
lub
I = G ⋅U .
(1.10d, e)
Rezystancja odcinka przewodu. Jednostki rezystywności i konduktywności
W przypadku odcinka przewodu, tzn. elementu przewodzącego o dłuS
gości l, stałym przekróju S i stałej konduktywności γ (w całej objętości), ze wzoru (1.9) otrzymuje się natychmiast
l
ρ ⋅l
γ ⋅S
l
R=
=
, a stąd G =
.
(1.11a, b)
γ ⋅S
S
l
Korzystając ze wzoru (1.11a) lub (1.11b) określa się jednostki rezystywności ρ i konduktywności γ.
Używane są następujące jednostki ρ: Ω m, Ω cm, Ω mm2/m, oraz jednostki γ : S/m, S/cm,
m/(Ω.mm2).
γ
20
Wykład II
Rezystancja skrośna kabla (izolacji żyły względem powłoki)
Przewodzenie prądu zachodzi między dwiema powierzchniami walcowymi o promieniach r1 i r2 , długości l, w środowisku o γ = const.
Podstawienie do wzoru (1.9): dl = dr i ∫ dS = 2π ⋅ l ⋅ r , daje wynik
γ
r1
S
r2
l
R=
1
γ
r2
⋅∫
r1
r
dr
1
=
⋅ ln 2 .
2π l r 2π γ l
r1
(1.12)
Rezystancja przejścia między kulą a nieskończonym środowiskiem
γ
r0
Przewodzenie prądu zachodzi między powierzchnią kulistą elektrody
o promieniu r0 a nieskończonym środowiskiem o γ = const. We wzorze (1.9) podstawia się: dl = dr i ∫ dS = 4π ⋅ r 2 , co daje wynik
S
R=
1
∞
dr
1
=
.
2
γ r 4π r
4π γ r0
0
⋅∫
(1.13)
Prawo Joule’a
Wg prawa Joule’a, energia dostarczana ze źródła do elementu rezystancyjnego wydziela się w nim
w postaci ciepła. Zostaną wyznaczone zależności na tę energię oraz moc prądu elektrycznego (przy
zastosowaniu przyjętych wyżej oznaczeń wielkości elektrycznych).
Przy przepływie ładunku ∆Q w czasie dt przez elementarną rurkę prą∆u
du (rys.) zużywana jest energia
γ
J,
E
∆S
d∆W = ∆u ⋅ ∆Q = ∆u ⋅ ∆i ⋅ dt = ∆R ⋅ ∆i 2 ⋅ dt = ∆G ⋅ ∆u 2 ⋅ dt . (1.14a)
∆i
Moc chwilowa prądu elektrycznego w elementarnej rurce wynosi
∆l
d∆W
∆p =
= ∆u ⋅ ∆i = ∆R ⋅ ∆i 2 = ∆G ⋅ ∆u 2 ,
(1.14b)
dt
a przestrzenna (objętościowa) gęstość mocy pola przepływowego –
∆u ⋅ ∆i
ρP =
= E ⋅ J = ρ ⋅ J 2 = γ ⋅ E2 .
(1.14c)
∆l ⋅ ∆S
Przy przepływie prądu i w czasie dt przez element o rezystancji R zużywana jest energia
dW = u ⋅ i ⋅ dt = R ⋅ i 2 ⋅ dt = G ⋅ u 2 ⋅ dt .
Moc chwilowa prądu elektrycznego w tym elemencie wynosi więc
p = u ⋅i = R ⋅i2 = G ⋅u2 .
(1.15a)
(1.15b)
zaś energia wydzielająca się w czasie t, w postaci ciepła t
W = ∫ p ⋅ dt .
(1.15c)
0
Przy prądzie stałym, zależności (1.15b) i (1.15c) przybierają formy:
P = U ⋅ I = R ⋅ I 2 = G ⋅U 2 .
(1.16a)
W = P ⋅ t = U ⋅ I ⋅ t = R ⋅ I 2 ⋅ t = G ⋅U 2 ⋅ t .
(1.16b)
Zależności: (1.14c), (1.15b), (1.16a) i (1.16b), przedstawiają różne odmiany prawa Joule’a.
21
1. Wprowadzenie
Zależność rezystancji od temperatury
Część ciepła, wydzielonego w elemencie rezystancyjnym, jest w nim akumulowana. Wyrazem tego
jest wzrost temperatury przewodnika przy przepływie prądu.
Wraz ze zmianami temperatury materiału przewodzącego zmienia się w określony sposób rezystywność (konduktywność) tego materiału, i podobnie – rezystancja (konduktancja) elementu rezystancyjnego. Dla przedziału normalnie występujących przyrostów temperatury można zadowolić się
liniową aproksymacją zależności przyrostu rezystywności ∆ρ (rezystancji ∆R) od przyrostu temperatury ∆ϑ. Przyrosty wszystkich wielkości odnoszone są przy tym do ich wartości w temperaturze
20°C, tzn. ∆ϑ = ϑ – 20 , przy czym: [ϑ] = °C, [∆ϑ] = K; ∆ρ = ρ – ρ20 ; ∆R = R – R20 .
Przyrost rezystywności wyraża się wzorem:
∆ρ = ∆ρ (∆ϑ ) = ρ (ϑ ) − ρ 20 = ρ 20 ⋅ α 20 ⋅ ∆ϑ ,
(1.17a)
a stąd – rezystywność:
ρ = ρ (ϑ ) = ρ 20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ) ,
(1.17b)
gdzie: α20 – temperaturowy współczynnik rezystywności (rezystancji).
W przypadku większości czystych metali można przyjmować α20 = 4⋅10-3 K-1. Dotyczy to m.in.
przewodów miedzianych, używanych powszechnie do wykonywania różnych połączeń oraz uzwojeń elektrycznych.
Do wyrobu oporników używa się materiałów będących stopami kilku metali. Rezystywność tych
stopów praktycznie nie zależy od temperatury.
Rezystancje nieliniowe i liniowe
Jeśli prąd lub napięcie elementu nie powodują zmiany jego rezystancji (R = const.), to zależności: i(u) – prądu i od napięcia u,
oraz u(i) – napięcia u od prądu i, są liniowe (linia ciągła na rys.).
W razie występowania zmian rezystancji, uzależnionych od prąi
du lub napięcia (związanych np. ale niekoniecznie ze zmianami
temperatury), charakterystyki i(u) i u(i) elementów rezystancyjnych są nieliniowe (linia przerywana na rys.). Odpowiednio do
tego, rezystancje (rezystory) określa się mianem liniowych lub
nieliniowych.
Wszystkie rezystory są – w mniejszym lub większym stopniu – nieliniowe. Charakterystykę liniową
rezystancji trzeba zatem traktować jako idealizację obiektu rzeczywistego.
Rezystancja liniowa jest jednoparametrycznym modelem rezystora. Stałość parametru R stanowi o
analitycznej przydatności liniowego modelu rezystancji.
u
Szeregowe połączenie rezystancji liniowych
Zostaną określone parametry zastępcze układu szeregowo połączonych rezystorów liniowych.
I
R1
U1
R2
Rn
U2
Un
I
≡
R
U
U
n
n
k =1
k =1
Z zależności: U = ∑ U k = ∑ Rk ⋅ I = R ⋅ I
oraz R =
n
R = ∑ Rk
k =1
oraz
1
G
i Rk =
1
, otrzymuje się:
Gk
n
1
1
=∑
.
G k =1 Gk
(18a, b)
22
Wykład II
Równoległe połączenie rezystancji liniowych
Zostaną określone parametry zastępcze układu równolegle połączonych rezystorów liniowych.
I
I1
G1
I2
G2
In
Gn
n
n
k =1
k =1
I = ∑ I k = ∑ Gk ⋅ U = G ⋅ U
≡
I
oraz G =
R
U
1
1
i Gk =
,
R
Rk
n
stąd
G = ∑ Gk
(1.19a)
1
1
=∑
.
R k =1 Rk
(1.19b)
k =1
n
U
oraz
Przekształcenie gwiazda-trójkąt i odwrotne
Zostaną określone zależności między parametrami obu układów, spełniające warunki równoważności ze względu na wielkości zaciskowe.
I1
G1
I1
I 12 = G12 (V1 − V2 ) ,
1
1
U12
I2
U12
G12
G31
2
U23
I3
I12
V1
I23
V2
U31
3
≡
I2
G23
I3
V3
I1 = I12 − I 31 , I 2 = I 23 − I12 , I 3 = I 31 − I 23
VN
V2
U31
3
V3
I 31 = G31 (V3 − V1 ) ;
G2
2
U23
I31
I 23 = G23 (V2 − V3 ) ,
V1
G3
I1 = G1 (V1 − V N ) ,
I 2 = G2 (V2 − V N ) ,
I 3 = G3 (V3 − V N ) ;
⇒ (prądy dopływające trójkąta);
G ⋅ V + G2 ⋅ V2 + G3 ⋅ V3
I1 + I 2 + I 3 = 0 ⇒ V N = 1 1
⇒ (prądy dopływające gwiazdy);
G1 + G2 + G3
(prądy dopływające trójkąta)
(prądy dopływające gwiazdy)
G1
I 1 = G12 ⋅ (V1 − V2 ) + G31 ⋅ (V1 − V3 )
≡ I1 =
⋅ [G2 ⋅ (V1 − V2 ) + G3 ⋅ (V1 − V3 )] ,
G1 + G2 + G3
G2
I 2 = G23 ⋅ (V2 − V3 ) + G12 ⋅ (V2 − V1 ) ≡
I2 =
⋅ [G1 ⋅ (V2 − V1 ) + G3 ⋅ (V2 − V3 )] ,
G1 + G2 + G3
G3
I 3 = G31 ⋅ (V3 − V1 ) + G23 ⋅ (V3 − V2 )
≡ I3 =
⋅ [G1 ⋅ (V3 − V1 ) + G2 ⋅ (V3 − V2 )] .
G1 + G2 + G3
Porównując współczynniki przy tych samych napięciach (różnicach potencjałów) – w wyrażeniach
na prądy dopływające gwiazdy i trójkąta – otrzymuje się wzory:
G2 ⋅ G3
G3 ⋅ G1
G1 ⋅ G2
G12 =
, G23 =
, G31 =
,
(1.20a)
G1 + G2 + G3
G1 + G2 + G3
G1 + G2 + G3
a po odpowiednim ich przekształceniu:
G ⋅G
G ⋅G
G ⋅G
G1 = G12 + G31 + 12 31 , G2 = G12 + G23 + 12 23 , G3 = G23 + G31 + 23 31 ; (1.20b)
G23
G31
G12
R ⋅R
R ⋅R
R ⋅R
R12 = R1 + R2 + 1 2 , R23 = R2 + R3 + 2 3 , R31 = R3 + R1 + 3 1 ,
(1.20c)
R3
R1
R2
R12 ⋅ R31
R12 ⋅ R23
R23 ⋅ R31
R1 =
, R2 =
, R3 =
.
(1.20d)
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
23
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 2
Elektrostatyka. Kondensatory
+
–
Nieruchome (niezmienne) ładunki elektryczne rozmieszczone w środowisku dielektrycznym są
źródłami pola elektrostatycznego. W praktyce model taki można stosować także przy wolno zachodzących zmianach ładunków, odnosząc go do pola elektrycznego występującego w kolejnych chwilach czasowych. Założenie quasistacjonarności pola elektrycznego stosuje się m.in. do układów
izolacyjnych i kondensatorów przy napięciu sinusoidalnym o częstotliwości 50 Hz.
Własności izolacyjne układów bądź zdolność gromadzenia ładunków w układach są zależnie od
rodzaju stosowanych dielektryków i struktury przestrzennej elementów.
Kondensator jest urządzeniem służącym do gromadzenia ładunku elektrycznego. Kondensatory
można łączyć na różne sposoby, uzyskując określone wartości pojemności zastępczych.
Rzeczywiste dielektryki nie są doskonałe, tzn. cechują się upływnością (konduktywnością), co pogarsza ich trwałość i inne parametry użytkowe. Ciepło wydzielające się w konduktancji rzeczywistego dielektryka może wywoływać w materiale zmiany starzeniowe, sprzyjające wyładowaniom
niezupełnym, które prowadzą do wyładowania zupełnego (przebicia izolacji).
Analiza układów z rzeczywistymi dielektrykami wykracza formalnie poza ramy elektrostatyki. Podobnie rzecz się ma z analizą procesów ładowania i rozładowania kondensatora ze źródła napięciowego. Umieszczenie tych zagadnień i elektrostatyki w tym samym rozdziale wydaje się jednak
logiczne i potrzebne.
24
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 2
C
d
D
E
E
F
h
i
iγ
iε
I
J
l
pE
p
P
q
Q
r
r
R
S
S
t
U
v
V
W
x
γ
ε
εr
ε0
ρq
ρW
σpol
σq
τ
χ
Ψ
pojemność elektryczna
odległość między okładzinami kondensatora
indukcja elektryczna
stałe napięcie źródłowe
natężenie pola elektrycznego
siła
odległość między ładunkami dipola elektrycznego
prąd (natężenie prądu)
prąd upływnościowy
prąd przesunięcia
prąd stały (natężenie prądu stałego)
gęstość prądu elektrycznego
długość kabla
ciśnienie elektrostatyczne
moment dipola elektrycznego
polaryzacja elektryczna
ładunek; ładunek dipola
ładunek
odległość; promień okręgu
wektor odległości; promień
rezystancja (opór elektryczny)
pole powierzchni
elastancja (odwrotność pojemności)
czas
napięcie stałe
objętość
potencjał
praca, energia
współrzędna długości; przesunięcie
przewodność właściwa (konduktywność) materiału
przenikalność elektryczna
przenikalność elektryczna względna
stała elektryczna (przenikalność elektryczna próżni)
przestrzenna (objętościowa) gęstość ładunku elektrycznego
przestrzenna (objętościowa) gęstość energii pola elektrostatycznego
powierzchniowa gęstość ładunków polaryzacji
powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego
stała czasowa obwodu
podatność elektryczna dielektryka
strumień indukcji elektrostatycznej; strumień elektryczny
Literatura do rozdziału 2
[2], [3], [4]
25
2. Elektrostatyka. Kondensatory
Wykład III. INDUKCJA ELEKTRYCZNA. DIELEKTRYKI. POJEMNOŚĆ
ELEKTRYCZNA
Prawo Coulomba
Wartość bezwzględna sił oddziaływania elektrycznego F (N) dwóch ładunków punktowych o wartościach bezwzględnych Q1 i Q2 (C), umieszczonych w powietrzu (próżni) i oddalonych od siebie o
r (m) - jak na rys. - wynosi
Q1 ⋅ Q2
,
(2.1a)
F=
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
F12
1r.1
gdzie ε0 ≈ 8,85⋅10-12 C2 N-1 m-2 – przenikalność elek+Q1
r
tryczna próżni (stała elektryczna); odwołując się do jed+Q2
nostki pojemności elektrycznej - farada (F), co objaśniono
F21
1r.21
dalej, ε0 wyraża się w faradach na metr (F m-1).
Jeśli uwzględnimy znaki Q1 i Q2 , a odległości Q2 od Q1
r1
r2
przypiszemy wektor r21 = r2 – r1 = r⋅1r.21 , zaś odległości
Q1 od Q2 – wektor o przeciwnym zwrocie r12 = r1 – r2 =
= r⋅1r.12 = – r21 (1r.12 i 1r.21 są wektorami kierunkowymi
odległości, mającymi przeciwne zwroty a kierunek taki,
z
jak prosta wyznaczona przez położenie Q1 i Q2), to siła
działająca na Q2 jest wektorem
y
Q1 ⋅ Q2
F21 =
⋅ 1r .21 ;
(2.1b)
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
natomiast siła działająca na Q1 –
x
Q1 ⋅ Q2
F12 =
⋅ 1r .12 = − F21 .
(2.1c)
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
Ze zmniejszania się siły oddziaływania elektrostatycznego z kwadratem odległości od ładunku wynika ograniczony zasięg oddziaływania elektrycznego.
Pole elektrostatyczne w próżni
Pole elektryczne, wytworzone w próżni (idealnym środowisku dielektrycznym) przez ładunki nieruchome i niezmienne w czasie, nazywa się polem elektrostatycznym.
W odległości r = r 1r od pojedynczego ładunku Q (rys.)
występuje w próżni natężenie pola elektrycznego
Q
+Q
(2.2a)
E=
⋅ 1r ;
E
r
4π ⋅ ε 0 ⋅ r 2
V
1r
i potencjał elektryczny
∞
V = ∫ E ⋅ dr =
r
Q
.
4π ⋅ ε 0 ⋅ r
(2.2b)
Całka liniowa po drodze zamkniętej wektora natężenia pola elektrostatycznego, pochodzącego od
ładunku punktowego, jest równa zeru.
Jeśli w przestrzeni znajduje się więcej ładunków elektrycznych, to wypadkowe natężenie pola elektrostatycznego i potencjał elektryczny można wyznaczyć – w dowolnym punkcie przestrzeni – na
zasadzie superpozycji.
Całka wektora natężenia pola jest sumą całek wektorów pochodzących od każdego z ładunków.
Całka liniowa po drodze zamkniętej wektora natężenia pola elektrostatycznego jest więc równa
zeru. Pole elektrostatyczne jest polem bezwirowym.
26
Wykład III
Zjawisko indukcji elektrostatycznej
Zakłada się, że ładunek +Q został umieszczony w środku kuli o promieniu r, a powierzchnia tej kuli
jest pokryta cienką warstwą przewodzącą, która stanowi osłonę elektrostatyczną (ekran) ładunku.
Na zasadzie zjawiska indukcji elektrostatycznej (influencji), po wewnętrznej stronie osłony gromadzi się ładunek −Q, a po zewnętrznej ładunek +Q. Rozważany układ przestrzenny jest symetryczny,
wobec tego powierzchniowa gęstość ładunku (po wewnętrznej stronie – ujemnego, po zewnętrznej
– dodatniego) wynosi
Q
.
(2.3a)
σq =
a)
2
4
π
⋅
r
∆S
Jeśli, zamiast całej osłony, na powierzchni kuli znajduje się tylko mała płytka przewodząca o powierzchni ∆S (rys. a), to bez+Q -∆Q +∆Q E
względne wartości ładunków, jakie indukują się w niej, po każr -σq +σq
dej ze stron, wynoszą
Q
(2.3b)
∆Q =
⋅ ∆S .
4π ⋅ r 2
b)
Gdy powierzchnia takiej płytki jest ustawiona pod kątem α do
∆S
promienia (rys. b), to powierzchniowe gęstości i bezwzględne
+Q -∆q +∆q E
wartości indukujących się na niej ładunków są równe:
σ qα = σ q ⋅ cosα ,
(2.3c)
r -σqα
α
+σqα
Q
(2.3d)
∆q =
⋅ ∆S ⋅ cosα .
4π ⋅ r 2
Jeśli ładunek Q jest osłonięty dowolną, zamkniętą warstwą przewodzącą, to po zewnętrznej stronie
tej warstwy, niezależnie od kształtu jej powierzchni S, indukuje się ładunek o łącznej wartości Q:
∑ ∆q = Q .
(2.3e)
S
Indukcja elektrostatyczna i strumień indukcji elektrostatycznej
W związku z zależnościami (2.3a) i (2.3d), wprowadza się następujące wielkości (rys.):
- indukcję elektrostatyczną ładunku punktowego (w odległości od
S
niego r = r 1r )
∆S
Q
(2.4a)
D
=
σ
⋅
1
=
⋅ 1r = ε 0 ⋅ E ,
q
r
+Q
E D
4π ⋅ r 2
α
r
- strumień indukcji elektrostatycznej ∆Ψ (oznaczenia rezerwowe
1r
1
∆Φe) przez element powierzchni ∆S
∆S
∆Ψ = D ⋅ ∆S = D ⋅ ∆S ⋅ cos α ,
(2.4b)
- strumień indukcji elektrostatycznej Ψ (oznaczenia rezerwowe Φe) przez powierzchnię S
Ψ = ∫ D ⋅ dS ,
(2.4c)
S
gdzie ∆S = ∆S ⋅ 1n – wektor normalny do elementu powierzchni ∆S (w przypadku powierzchni
zamkniętych – skierowany na zewnątrz tych powierzchni).
Na podstawie: (2.4a), (2.4b) i (2.4c), otrzymuje się nowy zapis zależności (2.3d) i (2.3e):
∆q = ∆Ψ = D ⋅ ∆S ,
(2.5a)
Ψ = ∫ D ⋅ dS = Q .
(2.5b)
27
2. Elektrostatyka. Kondensatory
Twierdzenie Gaussa. Indukcja elektryczna i strumień elektryczny
Zależność (2.5b) to analityczny zapis twierdzenia Gaussa w elektrostatyce. W słowach wyraża się
ono następująco: strumień indukcji elektrostatycznej przez powierzchnię zamkniętą, skierowany na
zewnątrz tej powierzchni, jest równy obejmowanemu przez nią ładunkowi (tzn. znajdującemu się w
obszarze wewnętrznym, objętym tą powierzchnią).
Wartość całki we wzorze (2.5b) jest w ogólnym przypadku różna od zera. Pole elektrostatyczne jest
więc polem źródłowym.
Powierzchnia może obejmować dowolną liczbę ładunków skupionych oraz ładunki rozmieszczone
powierzchniowo i przestrzennie. Na zasadzie superpozycji, strumienie indukcji elektrostatycznej,
pochodzące od poszczególnych ładunków, dodają się algebraicznie. Wzór (2.5b) można więc
przedstawić w postaci ogólnej:
Ψ = ∫ D ⋅ dS = ∑ Qi + ∑ ∫ σ qj ⋅ dS j + ∑ ∫ ρ qk ⋅ dv k .
i
j Sj
(2.5c)
k vk
Pojęcia indukcji elektrostatycznej D i strumienia indukcji elektrostatycznej Ψ rozszerza się – ze
względów obliczeniowych – na dowolne pole elektryczne, nazywając je: D – indukcją elektryczną,
Ψ – strumieniem elektrycznym.
Jednostką indukcji elektrycznej jest kulomb na metr do kwadratu (C m-2), a strumienia elektrycznego – kulomb (C).
Chociaż powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego σq i indukcja elektryczna D mają tę samą
jednostkę (C m-2), są to różne wielkości fizyczne. Podobnie rzecz się ma z ładunkiem elektrycznym
Q i strumieniem elektrycznym Ψ, których jednostką jest C.
Przewodniki w polu elektrostatycznym
Powierzchnia i wnętrze przewodnika umieszczonego w polu
elektrostatycznym mają ten sam potencjał. Ładunki w przewodniku umieszczonym w polu elektrostatycznym, rozdzielone
wskutek zjawiska influencji i rozłożone na powierzchni, wytwarzają własne pole elektryczne, które jest „odpowiedzią” na działanie pola zewnętrznego. Pole indukowane wewnątrz przewodnika tym rozkładem ładunków całkowicie kompensuje pole zewnętrzne (rys. obok). Ładunki układają się więc na powierzchni
w taki sposób, że wewnątrz nie ma pola elektrostatycznego.
Ezewn
–
–
–
– +
Ezewn
+
+
+
– Ewewn +
– – + +
– +
Pole elektrostatyczne w dielektrykach
Pole indukowane wewnątrz dielektryków – w wyniku przesunięć ładunków w strefie cząsteczek –
jest również skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego, lecz nie kompensuje go całkowicie.
Reakcje atomów i cząsteczek dielektryków na zewnętrzne pole elektrostatyczne E, przedstawiono
poglądowo na rysunkach (rys. a – bez pola zewnętrznego; rys. b – z polem zewnętrznym).
Model atomu:
a)
E=0
-
Model cząsteczki niepolarnej (02):
-
+
-
-
a)
-
b)
b)
E
-
+ - -
-
-
-
E=0
+ -- - - - - -- + -- - E
+ - - - - + - -
Model cząsteczki polarnej (H2O):
a)
+- - - - - + - - +
E=0
b)
E
-
+
-
+ - +
28
Wykład III
Polaryzacja dielektryków
Zmiany zachodzące w dielektrykach pod wpływem zewnętrznego źródła pola elektrostatycznego
określa się mianem polaryzacji elektrostatycznej (elektrycznej). Atom lub cząsteczka spolaryzowanego dielektryka jest dipolem elektrycznym.
Moment dipola elektrycznego jest iloczynem p = q h,
a)
+q
gdzie h – wektor odległości między ładunkami dipola ±q,
p = qh
–q
zwrócony do ładunku dodatniego (rys. a).
h
Na zbiór elektrycznych dipoli atomów i cząsteczek, znajdujących się w objętości ∆v dielektryka, trzeba patrzeć
E
b)
„statystycznie”. Wypadkowe działanie tych dipoli jest
+q∆v
–q ∆ v
skierowane przeciwnie do pola zewnętrznego, można zatem rozważać istnienie „zastępczych” dipoli p∆v, których
p∆v
h∆ v
odległości h∆v są zorientowane zgodnie z E (rys. b).
Założywszy objętościową gęstość ρq ładunków dodatnich
c)
h∆v
h∆v
i ujemnych, tworzących dipole atomów lub cząsteczek
dielektryka, i mnożąc ją przez h∆v „zastępczych” dipoli,
–σpol
–σpol
otrzymuje się powierzchniową gęstość σpol ładunków po+σpol
+σpol
laryzacji, czyli ładunków rozłożonych na ściankach
„warstw dipoli” prostopadłych do E (rys. c).
Gęstość σpol wyraża stopień polaryzacji dielektryka i w większości przypadków jest proporcjonalna
do E, a więc grubość „warstw dipoli” (rozsunięcie dodatnich i ujemnych ładunków dipoli „zastępczych”) h∆v jest też proporcjonalna do E.
Wektor polaryzacji elektrycznej
W próżni (powietrzu) została określona indukcja elektrostatyczna D = D0 = ε0 E, która jest związana z powierzchniową gęstością σq ładunków elektrycznych indukowanych na ściankach przewodnika, zgodnie z zależnościami: σq = |D| i σqα = |D| cos α.
Analogicznie, z gęstością σpol kojarzy się wektor polaryzacji elektrycznej (polaryzację elektryczną)
P = σ pol ⋅ 1E = χ ⋅ ε 0 ⋅ E ,
(2.6a)
gdzie χ – podatność elektryczna dielektryka, wielkość bezwymiarowa.
Zachodzą przy tym zależności:
a) σpol = |P|
b) σpol.α = |P| cos α
E
P
–σpol
E
P
+σpol
–σpol.α
α
+σpol.α
Polaryzację elektryczną P definiuje się jako graniczną wartość stosunku sumy momentów dipoli
elektrycznych p∆v cząsteczek zawartych w objętości ∆v, do tej objętości:
p
P = lim ∆v .
(2.6b)
∆v →0 ∆v
Indukcja elektryczna w dielektryku i przenikalność elektryczna dielektryka
Na elektrodach, między którymi wytwarzane jest w dielektryku, przez układ zewnętrzny, pole elektryczne E, gromadzi się dodatkowo – oprócz ładunku odpowiadającemu indukcji D0 w próżni
(rys. a) – ładunek odpowiadający polaryzacji P dielektryka (rys. b).
29
2. Elektrostatyka. Kondensatory
a)
+
E
–
+
D0
–
+
ε0
–
b)
E
–
+
+
–
+ –
D
=
D
+P
0
–
+
+
–
+ –
–
ε
+
U
U
Strumień elektryczny jest związany z całym, zgromadzonym ładunkiem. Wobec tego indukcja elektryczna w dielektryku wynosi
D = D0 + P = ε 0 ⋅ (1 + χ ) ⋅ E = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E = ε ⋅ E ,
(2.6c)
gdzie: ε = ε0 εr – przenikalność elektryczna środowiska,
εr – przenikalność elektryczna względna środowiska, wielkość bezwymiarowa.
Przenikalność elektryczna ε jest podstawową stałą materiałową dielektryka.
Jednostką ε, tak jak stałej elektrycznej ε0 , jest F m-1 (objaśnienie – dalej).
Prąd przesunięcia dielektrycznego
Z przepływem ładunków gromadzących się na elektrodach wiążą się pojęcia (rys.):
- prądu przesunięcia
dQε dΨ
iε =
=
,
(2.7a)
+Qε
–Qε
dt
dt
ε
- gęstości prądu przesunięcia
∂D
∂E
i = iε
Jε =
=ε⋅
,
(2.7b)
D=εE
Ψ
∂t
∂t
Q
gdzie: Ψ - strumień elektryczny, nazywany też stru+σq
–σq
mieniem przesunięcia dielektrycznego,
D - indukcja elektryczna, nazywana też wektorem przesunięcia dielektrycznego.
W czasie gromadzenia się ładunków na elektrodach nie jest spełniony warunek stałości ładunku w
czasie. Problem wykracza zatem poza ramy „czystej” elektrostatyki. Pole elektryczne występujące
między elektrodami nie jest polem elektrostatycznym, ale w kolejnych chwilach może być traktowane w ten sposób, o ile zachodzące zmiany są dostatecznie wolne.
Na elektrodach kondensatora z idealnym dielektrykiem gromadzi się cały ładunek Q przepływający
w obwodzie.
Prąd przesunięcia dielektrycznego i prąd upływnościowy
Rzeczywiste dielektryki nie są idealnymi izolatorami; inaczej mówiąc, są dielektrykami niedoskonałymi. Obok własności dielektrycznych, scharakteryzowanych przenikalnością elektryczną ε, mają
własności upływnościowe (przewodzenia prądu), scharakteryzowane konduktywnością γ.
Z ładunkiem Q przepływającym w ob+Qε
–Qε
wodzie zewnętrznym – między elektrodami przedzielonymi dielektrykiem nieε, γ
doskonałym – jest zatem związany prąd
i = iε + iγ
E
przesunięcia iε i prąd upływnościowy iγ .
Q
Na elektrodach gromadzi się, w tym
przypadku, tylko część ładunku Q przeQγ , iγ
pływającego w obwodzie (rys.).
30
Wykład III
Operowanie pojęciem konduktywności dielektryka γ oznacza, że prąd upływnościowy odnosi się do
takich wartości gęstości prądu i natężenia pola elektrycznego, przy których stosuje się prawo Ohma. Wartość napięcia przyłożonego do elektrod powinna więc być na tyle mała, by nie występowało jeszcze nasycenie prądu wyładowania niesamoistnego, które poprzedza procesy jonizacji lawinowej (jonizacja lawinowa prowadzi z kolei do wyładowania samoistnego i powoduje utratę własności izolacyjnych, tzn. przebicie dielektryka; w przypadku dielektryków stałych chodzi o jonizację we „wtrącinach” gazowych).
Gęstość prądu całkowitego wynosi więc
∂E
J = γE + ε ⋅
.
(2.7c)
∂t
Rozkłady pól w dielektrykach rzeczywistych
Zostaną porównane pola elektrostatyczne w elementarnych „komórkach” dielektrycznych i pola
przepływowe w elementarnych „komórkach” prądowych (elementarnych „rurkach” prądu), przy
różnych rodzajach symetrii przestrzennej „komórek” oraz stałych wartościach przenikalności elektrycznej ε i konduktywności γ.
Strumień elektryczny ∆Ψ – w dowolnym poprzecznym przekroju ∆S elementarnej „komórki” dielektrycznej – jest stały. Z twierdzenia Gaussa otrzymuje się zależność:
∆Ψ = D ⋅ ∆S = ε ⋅ Eε ⋅ ∆S , stąd Eε =
∆Ψ
.
ε ⋅ ∆S
Prąd elektryczny ∆I – w dowolnym poprzecznym przekroju ∆S elementarnej „komórki” prądowej –
jest stały. Z równania prądu otrzymuje się zależność:
a)
x
∆I
∆d
∆I = J ⋅ ∆S = γ ⋅ Eγ ⋅ ∆S , stąd Eγ =
.
γ ⋅ ∆S
∆S 2
∆S
W przypadku „komórek” prostopadłościennych (rys. a):
Eε
∆S 1
Eγ
∆S = ∆S1 = ∆S 2 ;
Eε = const., Eγ = const.;
∆U =
∆U =
∆d
∫ Eε ⋅ dx = Eε ⋅ ∆d ,
0
∆d
∫ Eγ ⋅ dx = Eγ ⋅ ∆d ,
więc Eε =
∆U
;
∆d
więc Eγ =
∆U
.
∆d
0
∆U
b)
r1
∆U = ∫
r1
Eγ
r
r2
∆U
∆Ψ r1
∆I r1
⋅ , Eγ =
⋅ ;
ε ⋅ ∆S1 r
γ ⋅ ∆S1 r
r2
c)
∆Ψ ⋅ r1 dr ∆Ψ ⋅ r1
r
∆U
⋅
=
⋅ ln 2 , więc Eε =
;
r2
ε ⋅ ∆S1 r
ε ⋅ ∆S1
r1
r ⋅ ln
r1
r
∆I ⋅ r1 dr ∆I ⋅ r1
∆U
⋅
=
⋅ ln 2 , więc Eγ =
.
r2
γ
⋅
∆
S
r
γ
⋅
∆
S
r
1
1
1
r
r ⋅ ln
∆S 1
r1
∆S 2
∆S
Eε
Eγ
r
r2
∆U = ∫
1
∆S 2
Eε
W przypadku „komórek” walcowych (rys. b):
r
r
∆S = ∆S1 ⋅ = ∆S 2 ⋅ ;
r1
r2
Eε =
∆S
∆S 1
r1
r2
∆U
31
2. Elektrostatyka. Kondensatory
W przypadku „komórek” kulistych (rys. c):
∆Ψ r12
∆I r12
r2
r2
⋅ 2 , Eγ =
⋅ ;
∆S = ∆S1 ⋅ 2 = ∆S 2 ⋅ 2 ; Eε =
ε ⋅ ∆S1 r
γ ⋅ ∆S1 r 2
r1
r2
r2
∆U = ∫
r1
∆U ⋅ r2 ⋅ r1
∆Ψ ⋅ r12 dr ∆Ψ ⋅ r1 1 1
⋅ 2 =
⋅ − , więc Eε =
;
ε ⋅ ∆S1 r
ε ⋅ ∆S1 r1 r2
r2 − r1
∆U ⋅ r2 ⋅ r1
∆I ⋅ r12 dr ∆I ⋅ r1 1 1
⋅ 2 =
⋅ − , więc Eγ =
.
γ
⋅
∆
S
γ
⋅
∆
S
r
r
r
−
r
r
1
1
1
2
2
1
r
r2
∆U = ∫
1
Jak widać, we wszystkich rozważanych przypadkach symetrii przestrzennej, w każdym punkcie –
Eε = Eγ .
Wynika z tego, że w dielektrykach niedoskonałych – jednorodnych zarówno co do ε, jak i γ – rozkłady pól: elektrostatycznego i przepływowego, pokrywają się.
W przypadku dielektryków niedoskonałych – niejednorodnych ze względu na ε lub γ, albo ε i γ
jednocześnie – rozkłady pól: elektrostatycznego i przepływowego, nie pokrywają się. Nie można
więc zakładać jednoczesnej quasistacjonarności tych pól. Analityczne wyznaczenie rozkładu pola
elektrycznego bardzo się wtedy komplikuje, poza przypadkiem stanu ustalonego przy stałym napięciu, kiedy pole jest przewodnościowe (upływnościowe).
Pojemność elektryczna kondensatora i ciała odosobnionego
Pojemność elektryczna, w sensie fizycznym, oznacza zdolność ciał przewodzących, umieszczonych
w środowisku nieprzewodzącym (w próżni lub dielektryku), do gromadzenia ładunku elektrycznego. Właściwość tę można przypisać zarówno obiektom technicznym, jak i tworom natury. Urządzeniem elektrycznym, służącym z zasady do gromadzenia ładunku elektrycznego, jest kondensator.
Kondensator jest to układ dwóch elektrod metalowych, nazywanych okładzinami, wraz z oddzielającą je warstwą dielektryka.
Po połączeniu jednej okładziny kondensatora z dodatnim biegunem źródła, i drugiej – z ujemnym,
gromadzą się na tych okładzinach ładunki o przeciwnych znakach i równych wartościach bezwzględnych. W przestrzeni między okładzinami występuje pole elektryczne.
Wartość bezwzględną ładunku zgromadzonego na każdej z okładzin przyjęto nazywać ładunkiem
kondensatora, a wartość napięcia między okładziną o ładunku dodatnim i okładziną o ładunku
ujemnym – napięciem na kondensatorze.
Stosunek ładunku kondensatora Q do napięcia na kondensatorze U
C
+Q
–Q
nazywa się pojemnością kondensatora C (rys.):
Q
U
C=
.
(2.8a)
U
Jeśli ładunek kondensatora wynosi Q i jest przyjęty zwrot napięcia U, to tym samym są określone
ładunki +Q i –Q na okładzinach (jeśli napięcie ma w rzeczywistości zwrot przeciwny do założonego, to znaki ładunków rzeczywiście występujących są też przeciwne). Wartości hipotetycznych
ładunków: dodatniego +Q i ujemnego –Q, wyrażają wzory:
Q = C ⋅U ,
− Q = −C ⋅ U .
Odwrotność pojemności nazywa się elastancją
1 U
.
(2.8b)
=
C Q
Jednostką pojemności jest farad (F), równy kulombowi na wolt (C V-1) lub simensowi razy sekunda
(S s). Jednostką elastancji jest wolt na kulomb (V C-1) lub om na sekundę (Ω s-1).
S=
32
Wykład III
Cechę posiadania pojemności mają nie tylko kondensatory, ale również odosobnione ciała przewodzące, względem ciał o zerowym potencjale (leżących zwykle w nieskończoności), a także – ciała
nieodosobnione (elektrody), podlegające wpływom innych ciał przewodzących, które mogą mieć
potencjały o stałych wartościach (np. równe zeru albo związane w określony sposób z potencjałami
elektrod).
Pojemnością C odosobnionego przewodnika jest stosunek zgromadzonego na nim ładunku Q do
potencjału V tego przewodnika (czyli napięcia między nim a punktem o potencjale równym zeru):
Q
.
(2.8c)
C=
V
Jeśli potencjał odosobnionego przewodnika jest dodatni, to zgromadzony na nim ładunek jest dodatni; jeśli potencjał jest ujemny – to ładunek jest też ujemny.
Q
Ogólnie, wartość pojemności może zależeć od wartości
napięcia (potencjału), na ogół jednak jest praktycznie stała
C = const. W ogólnym przypadku zależności Q(U) są więc
nieliniowe (linia przerywana na rys.). Pojemności, których
to dotyczy, nazywa się nieliniowymi. Przy stałych wartościach C, zależności Q(U) są liniowe (linia ciągła na rys.) i
pojemności nazywa się liniowymi.
U
Pojemność kondensatora płaskiego. Jednostka przenikalności elektrycznej
Kondensator płaski ma strukturę prostopadłościennej „komórki” dielektrycznej. Jeśli jego okładziny, o powierzchniach S, są od siebie oddalone o d, zaś przestrzeń między nimi wypełnia dielektryk
o przenikalności elektrycznej ε (rys.), to na podstawie twierdzenia Gaussa otrzymuje się
x
Q =Ψ = D ⋅ S = ε ⋅ E ⋅ S .
d
+Q
ε
E
–Q
Zatem
stąd zaś
S
C=
U
d
Q
E=
,
ε ⋅S
U = ∫ E ⋅ dx =
0
Q⋅d
,
ε ⋅S
Q ε ⋅S
=
.
U
d
(2.9)
Ze wzoru (2.9) można wyznaczyć, podaną wcześniej, jednostkę przenikalności elektrycznej ε (i
stałej elektrycznej ε0) – farad na metr (F m-1).
Pojemność kondensatora cylindrycznego (kabla jednożyłowego z powłoką)
Okładziny kondensatora (odcinka kabla) są powierzchniami walców współosiowych, mających
promienie r1 i r2 oraz jednakowe długości l, zaś przestrzeń między nimi wypełnia dielektryk o przenikalności elektrycznej ε (rys.). Na podstawie twierdzenia Gaussa i symetrii pola (wektor E skierowany promieniowo) otrzymuje się
Q = Ψ = D ⋅ S = ε ⋅ E ⋅ 2πrl .
r
ε
Q ⋅ ln 2
r2
r1
Q
1
r1
Zatem E =
⋅ , U = ∫ E ⋅ dr =
,
2πε ⋅ l r
2πε ⋅ l
r
1
r2
stąd zaś
l
C=
Q 2πε ⋅ l
.
=
r2
U
ln
r1
(2.10)
33
2. Elektrostatyka. Kondensatory
Wykład IV. UKŁADY POŁĄCZEŃ KONDENSATORÓW. ENERGIA POLA
ELEKTROSTATYCZNEGO. WYTRZYMAŁOŚĆ ELEKTRYCZNA DIELEKTRYKÓW
Równoległe połączenie pojemności liniowych
Zostanie określona pojemność zastępcza układu równolegle połączonych kondensatorów liniowych:
n
n
k =1
k =1
Q = ∑ Qk = ∑ C k ⋅ U
U
+Q1
C2
–Q1
C1
+Q2
+Qn
Cn
–Q2
–Qn
≡
+Q
U
oraz Q = C ⋅ U ,
C
–Q
n
więc
C = ∑ Ck .
(2.11a)
k =1
Układ dwóch równolegle połączonych kondensatorów można nazwać dzielnikiem ładunku, ponieważ ładunek całkowity tego układu „dzieli się” na ładunki kondensatorów proporcjonalnie do wartości pojemności gałęzi:
C1
Q
Q1 = C1 ⋅ U = C1 ⋅
=
⋅ Q , (2.12a)
C1 + C 2 C1 + C 2
+Q1
+Q2
+Q
U
C2
–Q1
C1
–Q2
≡U
C1 + C2
Q2 = C 2 ⋅ U = C 2 ⋅
–Q
C2
Q
=
⋅ Q . (2.12b)
C1 + C 2 C1 + C 2
Szeregowe połączenie pojemności liniowych
Zostanie określona pojemność zastępcza układu szeregowo połączonych kondensatorów liniowych:
n
n
n
Q
= ∑ Sk ⋅ Q
k =1 C k
k =1
U = ∑U k = ∑
k =1
oraz U =
+Q
U
Q
= S ⋅Q ,
C
C1
–Q
U1
n
1
1
=∑
C k =1 C k
więc
+Q
C2
–Q
+Q
U2
Cn
–Q
Un
C
+Q –Q
≡U
n
albo
S = ∑ Sk .
(2.13a, b)
k =1
Układ dwóch szeregowo połączonych kondensatorów można nazwać pojemnościowym dzielnikiem
napięcia, ponieważ napięcie całkowite w tym układzie „dzieli się” na kondensatorach proporcjonalnie do wartości ich elastancji:
C2
U
S1
S2
S1 + S2
U 1 = S1 ⋅ Q = S1 ⋅
=
⋅ U , (2.14a)
+Q –Q +Q –Q
+Q –Q
S1 + S 2 C1 + C 2
U
U1
≡U
U2
U 2 = S2 ⋅ Q = S2 ⋅
C1
U
=
⋅ U . (2.14b)
S1 + S 2 C1 + C 2
Przekształcenie gwiazda-trójkąt i odwrotne
Wyrażając napięcia jako różnice potencjałów, zapisuje się wzory na ładunki kondensatorów:
Q1 = C1 (V1 − V N ) ,
C1
V1
V1
1
1
U12
+Q1 –Q1
C2
2 V2
U23
3 V3
U12
+Q2 –Q2
U31
C3
+Q3 –Q3
VN
≡
2 V2
U23
3 V3
+Q12
C12
–Q12
–Q31
C31
+Q23
+Q31
U31 –Q C23
23
Q2 = C2 (V2 − VN ) ,
Q3 = C3 (V3 − V N ) ;
Q12 = C12 (V1 − V2 ) ,
Q23 = C 23 (V2 − V3 ) ,
Q31 = C31 (V3 − V1 ) .
34
Wykład IV
Równoważność układów zachodzi przy jednakowych ładunkach zgromadzonych przy tych samych
zaciskach i jednakowych potencjałach występujących na tych samych zaciskach.
Warunek dla punktu neutralnego gwiazdy (łączone kondensatory nie są wstępnie naładowane):
− Q1 − Q2 − Q3 = 0 ,
C1 ⋅ V1 + C 2 ⋅ V2 + C3 ⋅ V3
,
C1 + C 2 + C3
C1
Q1 = C1 (V1 − V N ) =
⋅ [C 2 ⋅ (V1 − V2 ) + C3 ⋅ (V1 − V3 )] ,
C1 + C 2 + C3
C2
Q2 = C 2 (V2 − V N ) =
⋅ [C1 ⋅ (V2 − V1 ) + C3 ⋅ (V2 − V3 )] ,
C1 + C 2 + C3
C3
Q3 = C3 (V3 − V N ) =
⋅ [C1 ⋅ (V3 − V1 ) + C 2 ⋅ (V3 − V2 )] .
C1 + C 2 + C3
stąd
a więc:
VN =
Analogiczne związki wynikające z zależności między ładunkami przy zaciskach trójkąta:
Q1 = Q12 − Q31 = C12 ⋅ (V1 − V2 ) + C31 ⋅ (V1 − V3 ) ,
(2.15)
(2.16a)
(2.16b)
(2.16c)
(2.17a)
Q2 = Q23 − Q12 = C 23 ⋅ (V2 − V3 ) + C12 ⋅ (V2 − V1 ) ,
(2.17b)
Q3 = Q31 − Q21 = C31 ⋅ (V3 − V1 ) + C 23 ⋅ (V3 − V2 ) .
(2.17c)
Wzory na pojemności układów – przy zamianie gwiazdy na trójkąt, otrzymane z porównania tożsamościowego prawych stron równań (2.16a) i (2.17a), (2.16b) i (2.17b) oraz (2.16c) i (2.17c):
C 2 ⋅ C3
C3 ⋅ C1
C1 ⋅ C 2
C12 =
,
C 23 =
,
C31 =
.
(2.18)
C1 + C 2 + C3
C1 + C 2 + C3
C1 + C 2 + C3
Wzory równoważne – przy zamianie trójkąta na gwiazdę:
C ⋅C
C ⋅C
C1 = C12 + C31 + 12 31 , C 2 = C12 + C 23 + 12 23 ,
C 23
C31
C3 = C 23 + C31 +
C 23 ⋅ C31
.
C12
(2.19)
Energia pola elektrostatycznego
Praca przeniesienia ładunku Q w polu elektrycznym, między punktami, których potencjały różnią
się o napięcie U, wynosi W = Q U. Gromadzenie ładunków różnych znaków na okładzinach kondensatora („przesuwanie” ładunku w obwodzie zewnętrznym z jednej okładziny na drugą) zachodzi
przy zmieniającym się napięciu.
Elementarna praca dW przeniesienia ładunku dq przy napięciu
a)
u
i przyroście napięcia du (q i u – wielkości zmienne w czasie):
q
W
Q
dq
dW
u
0 u
q
Q
dq
(2.20a)
W przypadku kondensatora liniowego (rys. a):
q
b)
dW = u dq .
du
U
dq = C du, dW = C u du,
U
1
W = ∫ C ⋅ u ⋅ du = ⋅ C ⋅ U 2 ,
2
0
W
dW
q
u
0 u
du
q=Cu,
U
(2.20b)
gdzie U – ustalona wartość napięcia, przy której ładunek kondensatora wynosi Q = C U.
Energia pola elektrostatycznego w kondensatorze liniowym:
1
1
Q2
W = ⋅ Q ⋅U = ⋅ C ⋅U 2 =
.
(2.20c)
2
2
2C
35
2. Elektrostatyka. Kondensatory
U
W przypadku kondensatora nieliniowego (rys. b): q = q(u) , W = ∫ u ⋅ dq(u ) .
0
Gęstość energii pola elektrostatycznego
Odnosząc zależność (2.20c) do prostopadłościennej „komórki” dielektrycznej (rys.), dla której:
∆Q = ∆Ψ = D ⋅ ∆S ,
∆d
∆U = E ⋅ ∆d ,
1
1
⋅ ∆Q ⋅ ∆U = ⋅ D ⋅ E ⋅ ∆v ,
2
2
∆S
E
gdzie ∆v = ∆S⋅∆d – objętość „komórki”.
D
Wobec tego, przestrzenna (objętościowa) gęstość energii pola
elektrostatycznego:
∆U
1
1
D2
.
(2.21)
ρW = ⋅ D ⋅ E = ⋅ ε ⋅ E 2 =
2
2
2ε
Jednostką gęstości energii jest dżul na metr do sześcianu (J·m-3).
otrzymuje się
∆W =
Energia tracona w czasie ładowania i rozładowania kondensatorów
W czasie ładowania bądź rozładowania kondensatorów, w przewodach łączących ich okładziny ze
źródłem albo wzajemnie ze sobą, płynie prąd przesunięcia. W rezystancji przewodów występują
straty energii. Problemom prądu przesunięcia i strat z nim związanych warto poświęcić trochę uwagi, chociaż wykraczają one poza ramy „czystej” elektrostatyki.
Zostaną rozpatrzone dwa przypadki: a) przyłączenia kondensatora do źródła napięciowego, b) połączenia kondensatorów naładowanych wcześniej do różnych wartości napięcia.
Pierwszy przypadek dotyczy ładowania kondensatora ze źródła napięciowego E = const. lub rozładowania go ze zwrotem energii do źródła napięciowego E = const.
Odbywa się to w układzie pokazanym na rys. a’, przy naR⋅ i
a’)
stępujących uwarunkowaniach:
i
R ⋅ i − E + uC = 0 ,
(2.22a)
R
E
a’’)
C
uC
i
i(0)
0
t
τ
du
dQ
=C C .
(2.22b)
dt
dt
Podstawiając do równania różniczkowego (2.22b), napięcie uc wyznaczone z równania (2.22a), otrzymuje się nowe
równanie różniczkowe
di
i = − RC ⋅
.
(2.22c)
dt
Oznaczywszy wyrażenie (stałą czasową obwodu)
τ = R ⋅C ,
(2.22d)
i=
di
dt
równanie (2.22c) zapisuje się w postaci
=−
i
τ
stąd
i (t )
t
di
dt
i całkuje obustronnie ∫
= −∫
;
i
τ
i ( 0)
0
i (t ) = i (0) ⋅ e
−
t
τ
.
(2.22e)
Po oznaczeniu u C (0) = U 0 , z równania (2.22a) wyznacza się
E −U0
.
R
Wartości τ i i(0) zależą, jak widać, od wartości rezystancji R.
Przebieg czasowy i(t) pokazano na rys. a’’.
i ( 0) =
(2.22f)
36
Wykład IV
W czasie, kiedy napięcie na kondensatorze uc zmienia się od wartości U0 do wartości E, w rezystancji przewodów R wydziela się energia
∞
2
τ (E − U 0 )
1
2
WR = ∫ R ⋅ i dt = ⋅
= ⋅ C ⋅ (E − U 0 )2 .
(2.23a)
2
R
2
0
Jak widać, energia WR , tracona w rezystancji R, nie zależy od wartości R. To zaskakujące stwierdzenie pojawi się też w przypadku następnego układu, pozwalając wyjaśnić istotę tzw. paradoksu z
kondensatorami. Okazuje się, że w procesach przejściowych ładowania i rozładowania kondensatorów nie można przyjmować R = 0, gdyż podważałoby to fizyczny sens zjawiska.
Energia pobrana ze źródła napięciowego E = const. przy ładowaniu kondensatora lub oddana do
tego źródła (wartość ujemna) wynosi
∞
E ⋅ (E − U 0 )
WE = ∫ E ⋅ i ⋅ dt = τ ⋅
= C ⋅ E ⋅ (E − U 0 ) .
(2.23b)
R
0
Stosunek energii WR – traconej w rezystancji, i energii WE – pobranej ze źródła przy ładowaniu
kondensatora (E > U0), wynosi
WR 1 U 0
= ⋅ 1 −
(2.23c)
,
WE 2
E
zaś stosunek energii WR - traconej w rezystancji, i energii WE - pobranej przez źródło przy rozładowaniu kondensatora (U0 > E) –
WR 1 U 0
= ⋅
− 1 .
(2.23d)
WE 2 E
Np. jeśli U0 = 0, to w czasie ładowania kondensatora ze źródła napięciowego jest tracona połowa
energii pobranej ze źródła (sprawność energetyczna pełnego ładowania kondensatora wynosi 50%).
Drugi przypadek dotyczy połączenia kondensatorów naładowanych do różnych wartości napięcia.
Wyrównywanie się napięcia na kondensatorach odbywa
R⋅ i
b)
się w układzie pokazanym na rys. b, przy następujących
i
uwarunkowaniach:
+Q2
+Q1
R
R ⋅ i − u C1 + u C 2 = 0 ,
(2.24a)
uC1
C1
C2
uC2
du
du
dQ
–Q1
–Q2
i=
= −C1 C1 = C 2 C 2 .
(2.24b)
dt
dt
dt
Różniczkując równanie (2.24a) i podstawiając doń wyrażenia na pochodne napięć, wyznaczone z
równań (2.24b), otrzymuje się równanie różniczkowe
di i
i
R +
+
=0 .
(2.24c)
dt C1 C 2
Oznaczywszy wyrażenie (stałą czasową obwodu)
R ⋅ C1 ⋅ C 2
τ=
,
(2.24d)
C1 + C 2
di
dt
równanie (2.24c) zapisuje się – podobnie jak (2.22c) – w postaci
=−
.
i
τ
Otrzymuje się, jak poprzednio, rozwiązanie
i (t ) = i (0) ⋅ e
−
t
τ
.
(2.24e)
Po oznaczeniu: u C1 (0) = U 01 , u C 2 (0) = U 02 , z równania (2.24a) wyznacza się
i ( 0) =
U 01 − U 02
.
R
(2.24f)
37
2. Elektrostatyka. Kondensatory
Wartości τ i i(0) zależą od wartości rezystancji R; przebieg czasowy i(t) ma taki sam charakter, jak
uzyskany poprzednio (rys. a’’).
Aby wyznaczyć napięcie, jakie ustala się na obu kondensatorach po teoretycznie nieskończenie
długim czasie (praktycznie wystarcza czas równy 3τ, po którym wartości napięć różnią się od wartości ustalonej mniej niż o 5%), korzysta się z zasady zachowania ładunku. Układ przedstawiony na
rys. b jest układem odosobnionym, więc suma ładunków Q obu kondensatorów pozostaje cały czas
taka sama:
- na początku procesu
Q = Q1' + Q2' = C1 ⋅ U 01 + C 2 ⋅ U 02 ,
(2.25a)
- na końcu procesu
Q = Q1" + Q2" = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U = (C1 + C 2 ) ⋅ U .
(2.25b)
Wobec tego
C ⋅ U + C 2 ⋅ U 02
U = 1 01
.
(2.25c)
C1 + C 2
W czasie zmiany wartości napięć u C1 i u C 2 (stan przejściowy) – od wartości U01 i U02 (stan początkowy), do wartości U (stan końcowy) – w rezystancji przewodów R wydziela się energia
∞
2
1 C ⋅C
τ (U − U 02 )
WR = ∫ R ⋅ i 2 dt = ⋅ 01
= ⋅ 1 2 ⋅ (U 01 − U 02 )2 ,
(2.26a)
2
2
R
C
+
C
1
2
0
co można też zapisać w postaci
2
U 02
1 −
U 01
1
2
.
(2.26b)
WR = ⋅ C1 ⋅ U 01 ⋅
C
2
1+ 1
C2
Ten sam wynik otrzymuje się obliczając zmianę energii zgromadzonej w kondensatorach
1
1
2
2
WR = ⋅ C1 ⋅ U 01
− U 2 + ⋅ C 2 ⋅ U 02
−U 2 ,
2
2
z uwzględnieniem zależności (2.25c).
Energia WR , tracona w rezystancji R, nie zależy – jak poprzednio – od wartości R. Wiąże się to ze
wspomnianym „paradoksem z kondensatorami”, który polega na tym, że – zapominając o rezystancji przewodów R – stwierdza się zniknięcie części energii podczas przemieszczania się ładunków w
odosobnionym układzie z kondensatorami.
Np. jeśli C1 = C2 i U02 = 0, to połowa ładunku zgromadzonego w kondensatorze C1 jest odprowadzana do kondensatora C2, w trakcie czego traci się połowę energii zgromadzonej w układzie (w
kondensatorze C1). Oczywiście, gdy relacje między C1 i C2 oraz U01 i U02 wyrażają się inaczej, to
relacje między energią traconą i zgromadzoną są inne (ale podobnie niekorzystne).
(
)
Przykład. Kondensatory, nie posiadające pierwotnie
ładunków, zostały połączone jak na rysunku, z zestykiem przełącznika w pozycji „0”. Następnie ustawiono zestyk przełącznika w pozycji „1”, a po naładowaniu kondensatorów w tym układzie – przestawiono zestyk przełącznika na pozycję „2”. Podobnie, po odpowiednim czasie, przestawiono zestyk
przełącznika na pozycję „3”.
Parametry elementów układu: E = 6 V, C1 = 6 µF,
C2 = 3 µF, C3 = 2 µF.
(
)
C1
E
U1
C3
U3 =U12
U2
3
E
2
C2
1
0
38
Wykład IV
Zostaną obliczone wartości napięć na każdym z kondensatorów i wartości energii w nich zgromadzonej w stanach ustalonych (w kolejnych ustawieniach zestyku przełącznika), oraz wartości energii pobranej ze źródła lub zwróconej do niego, i energii straconej w rezystancji przewodów w stanach przejściowych (po przełączeniach pozycji przełącznika: „0”→ „1”, „1”→ „2” i „2”→ „3”).
C ⋅C
6⋅3
„1”: pojemność zastępcza połączenia C1-C2
C12 = 1 2 =
= 2 µF,
C1 + C 2
9
ładunki
Q12 = Q1 = Q2 = C12 ⋅ 2 E = 2 ⋅ 2 ⋅ 6 = 24 µC,
napięcia na kondensatorach
U1 =
Q1 24
=
= 4 V,
C1
6
energia zgromadzona w kondensatorach
straty energii w przewodach
„2”:
wartości początkowe
1
1
⋅ C1 ⋅ U 12 = ⋅ 6 ⋅ 4 2 = 48 µJ,
2
2
1
1
= ⋅ C 2 ⋅ U 22 = ⋅ 3 ⋅ 8 2 = 96 µJ.
2
2
WE = C12 ⋅ (2 E ) = 2 ⋅ 12 2 = 288 µJ,
1
1
WR = ⋅ C12 ⋅ (2 E )2 = ⋅ 2 ⋅ 12 2 = 144 µJ.
2
2
2
U 0 = 12 V,
U 01 = 4 V,
pojemność zastępcza połączenia C1-C2 (jw.)
ładunki
Q2 24
=
= 8 V,
C2
3
WC1 =
WC2
po przełączeniu „0”→„1”:
energia pobrana ze źródła
U2 =
U 02 = 8 V,
C12 = 2 µF,
Q12 = Q1 = Q2 = C12 ⋅ E = 2 ⋅ 6 = 12 µC,
Q1 12
Q
12
=
= 2 V,
U2 = 2 =
= 4 V,
C1 6
C2
3
1
1
energia zgromadzona w kondensatorach
WC1 = ⋅ C1 ⋅ U 12 = ⋅ 6 ⋅ 2 2 = 12 µJ,
2
2
1
1
WC2 = ⋅ C 2 ⋅ U 22 = ⋅ 3 ⋅ 4 2 = 24 µJ.
2
2
po przełączeniu „1”→„2”:
energia pobrana ze źródła
WE = C12 ⋅ E ⋅ (E − U 0 ) = 2 ⋅ 6 ⋅ (− 6 ) = −72 µJ
napięcia na kondensatorach
straty energii w przewodach
„3”:
wartości początkowe
U1 =
(energia 72 µJ oddana do źródła),
1
1
WR = ⋅ C12 ⋅ (E − U 0 )2 = ⋅ 2 ⋅ (6 − 12 )2 = 36 µJ.
2
2
U 012 = 6 V,
U 01 = 2 V,
U 02 = 4 V,
U 03 = 0 ,
pojemność zastępcza połączenia C1-C2 (jw.) C12 = 2 µF,
napięcie na kondensatorach C12 i C3
ładunki na C1-C2
U 12 = U 3 =
C12 ⋅ U 012 + C3 ⋅ U 03 2 ⋅ 6
=
= 3 V,
C12 + C3
4
Q12 = Q1 = Q2 = C12 ⋅ U 12 = 2 ⋅ 3 = 6 µC,
Q1 6
Q
6
= = 1 V,
U 2 = 2 = = 2 V,
C1 6
C2 3
1
1
energia zgromadzona w kondensatorach
WC1 = ⋅ C1 ⋅ U 12 = ⋅ 6 ⋅ 12 = 3 µJ,
2
2
napięcia na kondensatorach
U1 =
39
2. Elektrostatyka. Kondensatory
1
1
⋅ C 2 ⋅ U 22 = ⋅ 3 ⋅ 2 2 = 6 µJ,
2
2
1
1
= ⋅ C3 ⋅ U 32 = ⋅ 3 ⋅ 3 2 = 9 µJ.
2
2
WC2 =
WC3
po przełączeniu „2”→„3”:
straty energii w przewodach
WR =
1 C12 ⋅ C3
1 2⋅2 2
2
⋅
⋅ (U 012 − U 03 ) = ⋅
⋅ 6 = 18 µJ.
2 C12 + C3
2 4
Wytrzymałość elektryczna dielektryków
Każdy dielektryk: stały, ciekły czy gazowy, ma określoną wytrzymałość elektryczną. Pojęcie to
oznacza największą wartość natężenia pola elektrycznego, nie wywołującą przebicia dielektryka.
Przebicie dielektryka wyraża się utratą jego własności izolacyjnych i jest efektem działania różnych
zjawisk i czynników, związanych bezpośrednio lub pośrednio z istniejącym polem elektrycznym.
Mechanizmy przebicia dielektryków różnych rodzajów są odmienne.
Przebicie dielektryka gazowego, nazywane też przeskokiem, zachodzi z chwilą wystąpienia w nim
wyładowania zupełnego, które obejmuje swym zasięgiem całą drogę między elektrodami. Przy dużym prądzie wyładowanie to ma postać iskry lub łuku elektrycznego.
Forma wyładowania elektrycznego w gazie zależy od jego początkowego zjonizowania, geometrii
układu oraz wartości prądu. W układach o polach jednorodnych występują tylko wyładowania zupełne. W układach o polach niejednorodnych spotyka się wyładowania obejmujące tylko część drogi łączącej elektrody. Noszą one nazwę wyładowań niezupełnych. Zalicza się do nich m.in. ulot,
któremu na ogół towarzyszy świetlenie lub snopienie.
Przebicia dielektryków ciekłych i stałych mają złożony charakter, ale i tu zauważa się występowanie wyładowań niezupełnych i zupełnych. W oleju izolacyjnym obserwuje się wyładowania niezupełne w postaci świetleń, snopień i pozałamywanych kanałów rozwijających się od katody i od
anody. W dielektrykach stałych występują z reguły jakieś „wtrąciny” gazowe i wokół nich to właśnie obserwuje się przebicia częściowe, powodujące osłabienie izolacji i prowadzące do przebicia
pełnego.
Zagęszczenie linii pola elektrycznego przy krzywiznach powierzchni elektrod
Przy większych krzywiznach powierzchni elektrod występuje zagęszczenie linii pola elektrycznego, co sprzyja jonizacji dielektryka i emisji elektronów z katody. Do wyjaśnienia tego zjawiska
służy model dwóch kul o różnych promieniach, połączonych ze sobą cienkim drutem.
a)
Na podstawie twierdzenia Gaussa, strumień elektryczny
naładowanej kuli wynosi (rys. a)
Ψ = Q = 4πr 2 D = 4πεr 2 E ,
Q
stąd natężenie pola E =
.
4πε ⋅ r 2
V
Q
r0
E
r
Potencjał przy powierzchni kuli jest zatem równy
∞
V (r0 ) = ∫ E ⋅ dr =
b)
V
Q1
r1
σq1
V
Q2
r2
σq2
r0
Q
.
4πε ⋅ r0
(2.27a)
Potencjały V1 i V2 dwóch kul połączonych cienkim drutem
(rys. b) są jednakowe: V1 = V2 , więc z (2.27a) wynika zależność
Q1 Q2
Q1 r1
=
,
stąd
=
,
(2.27b)
r1
r2
Q2 r2
40
Wykład IV
przy czym:
Q1 = 4πr12σ q1 ,
σ q1 = D1 =
E1
Q2 = 4πr22σ q 2 ,
σ q 2 = D2 =
,
ε
Na podstawie (2.27b) i (2.27c) otrzymuje się:
E2
ε
σ q1 Q1 r22
=
⋅
;
σ q 2 Q2 r12
stąd
,
stąd
(2.27c)
σ q1 E1
=
.
σ q 2 E2
(2.27d)
σ q1 Q1 r22 r1 r22 r2
=
⋅
= ⋅
= , co wraz z (2.27d)
σ q 2 Q2 r12 r2 r12 r1
oznacza, że natężenie pola przy powierzchni jest odwrotnie proporcjonalne do promienia krzywizny:
E1 r2
=
.
E 2 r1
+Q
–Q
(2.27e)
Największe wartości natężenia pola elektrycznego występują więc w pobliżu występów i
nierówności powierzchni, szczególnie przy
ostrzach i krawędziach (rys. obok).
Ciśnienie elektrostatyczne
Ładunki zgromadzone na różnych elektrodach przyciągają się i w wyniku tego przyciągają się elektrody, zaś na ładunki działa ciśnienie elektrostatyczne, które wypycha je do dielektryka.
Ze wzorów na energię i pojemność kondensatora płaskiego (rys.):
W=
Q
D ⋅S
=
2C
2C
2
2
2
,
otrzymuje się zależność
C=
ε ⋅S
W=
x
+Q
,
ε
F
D ⋅S
⋅x .
2ε
2
–Q
F
F
x
dx
Elementarna praca siły F przy przesunięciu okładzin na drodze dx, czyli zmiana energii dW przy
tym przesunięciu: dW = F ⋅ dx , zatem siła F przyciągania się elektrod w kondensatorze płaskim
wynosi
dW D 2 ⋅ S
F=
=
.
(2.28)
dx
2ε
F
Ciśnienie elektrostatyczne p E =
wyraża się więc wzorem:
S
D2 1
1
pE =
= D ⋅ E = ε ⋅ E2 .
(2.29)
2ε 2
2
Jednostką ciśnienia elektrostatycznego jest niuton na metr do kwadratu (N m-2). Trzeba tu zaznaczyć, że chociaż prawe strony wzorów (2.21) i (2.29) są identyczne, to jednak wielkości występujące po ich lewych stronach takimi nie są. Przestrzenna gęstość energii elektrycznej ρW i ciśnienie
elektrostatyczne pE to różne wielkości fizyczne, mierzone w innych jednostkach, które wyrażają się
tak samo w jednostkach podstawowych (J m-3 = N m-2 = kg m-1 s-2). W tym sensie sytuacja przypomina powiązania: σq z D oraz Q z Ψ.
Ciśnienie elektrostatyczne przy powierzchni przewodnika jest proporcjonalne do kwadratu natężenia pola. Natężenie pola jest największe przy ostrzach, gdzie obserwuje się „wiatr” elektryczny
(ulot), będący ruchem ładunków wyciąganych z przewodnika.
41
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 3
Elementy obwodów prądu stałego
Na początku objaśniono konwencje strzałkowania prądu i napięcia w elementach obwodu oraz
przypomniano prawa fizyczne dotyczące obwodów elektrycznych.
Podstawowymi elementami obwodów prądu stałego są idealne źródła napięciowe i prądowe oraz
rezystory liniowe i rożnego rodzaju rezystory nieliniowe. Cechy elementów są wyrażane analitycznie – wzorami, albo graficznie – poprzez charakterystyki statyczne prądowo-napięciowe lub napięciowo-prądowe. Dla rezystorów nieliniowych definiuje się pojęcia rezystancji statycznej i dynamicznej.
Gałęzie obwodu pełnią role generatorów („wydajników”) bądź odbiorników mocy elektrycznej,
zależnie od zwrotów prądu i napięcia względem zacisków. Trzeba to mieć na uwadze przy sporządzaniu bilansu mocy obwodu.
Istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utworzonych z idealnych elementów, a
mianowicie: rzeczywistego źródła napięciowego i rzeczywistego źródła prądowego (charakterystyki, sprawność, dopasowanie), źródeł powstałych z połączenia kilku źródeł (parametry źródeł zastępczych), linii zasilającej odbiornik (spadek napięcia, strata mocy), dzielnika napięcia i dzielnika
prądu (reguły podziału).
Możliwe są zamiany rzeczywistych źródeł – napięciowego na prądowe albo prądowego na napięciowe, przy czym jest to zabiegi czysto obliczeniowe, dotyczące równoważności wielkości zaciskowych (napięć oraz prądów na zaciskach).
42
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 3
C
e
E
G
Gw
i
igen
iodb
I
Igen
Iodb
Iz
Iźr
∆I
l
L
p
pgen
podb
P
Pgen
Podb
∆P
∆p%
R
Rdyn
RL
Rs
Rw
S
t
u
ugen
uodb
U
Ugen
Uodb
U0
∆U
∆u%
x
γ
η
pojemność elektryczna
napięcie źródłowe
stałe napięcie źródłowe
konduktancja (przewodność elektryczna)
konduktancja wewnętrzna źródła prądowego
prąd
prąd „generatorowy”
prąd „odbiornikowy”
prąd stały
stały prąd „generatorowy”
stały prąd „odbiornikowy”
prąd zwarcia gałęzi aktywnej (źródła)
prąd źródłowy
zmiana (przyrost) prądu
długość przewodu
indukcyjność
moc
moc „generatorowa”
moc „odbiornikowa”
stała moc
stała moc „generatorowa”
stała moc „odbiornikowa”
strata mocy w źródle lub linii prądu stałego
procentowa strata mocy w linii prądu stałego
rezystancja (opór elektryczny)
rezystancja dynamiczna (różniczkowa)
rezystancja linii
rezystancja statyczna
rezystancja wewnętrzna źródła napięciowego
pole przekroju przewodu linii
czas
napięcie
napięcie „generatorowe”
napięcie „odbiornikowe”
napięcie stałe
stałe napięcie „generatorowe”
stałe napięcie „odbiornikowe”
napięcie stanu jałowego
zmiana (przyrost) napięcia; spadek napięcia w linii prądu stałego
procentowy spadek napięcia w linii prądu stałego
odległość (od początku linii)
przewodność właściwa (konduktywność) przewodu
sprawność
Literatura do rozdziału 3
[1], [2], [4], [6]
43
3. Elementy obwodów prądu stałego
Wykład V. ELEMENTY UKŁADÓW I OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Podstawowe elementy funkcjonalne i schemat obwodu elektrycznego
Obwód elektryczny jest zbiorem elementów, połączonych ze sobą przewodami w taki sposób, że
możliwy jest przepływ prądu elektrycznego. Obwody elektryczne można przedstawiać na dwa sposoby – w tzw. ujęciach: zaciskowym i sieciowym.
Elementami obwodu w ujęciu zaciskowym są struktury o określonej liczbie zacisków: dwójniki,
trójniki, czwórniki, wielobiegunniki, wielowrotniki. Właściwości elementów obwodu są opisywane
przez zależności między ich wielkościami zaciskowymi, tj. prądami i napięciami wybranych par
zacisków. Struktury wewnętrzne elementów obwodu mają znaczenie drugorzędne, mówiąc poglądowo: stanowią „czarne skrzynki”.
Elementami obwodu w ujęciu sieciowym są struktury tworzone w określony sposób z elementów
podstawowych, którymi są: idealne źródła napięciowe, idealne źródła prądowe, rezystancje, pojemności i indukcyjności. Źródła to główny czynnik motoryczny w obwodzie (wymuszający ruch ładunków elektrycznych). Rezystancje to elementy rozpraszające energię. Pojemności i indukcyjności to elementy magazynujące energię (w polu elektrycznym kondensatorów oraz w polu magnetycznym cewek indukcyjnych). Terminy: dwójniki i trójniki, występują również w ujęciu sieciowym
jako nazwy układów o 2 i 3 zaciskach. Wymienione elementy podstawowe to najprostsze dwójniki.
Równania wiążące napięcie i prąd elementów podstawowych: rezystancji R, pojemności C i indukcyjności L (definicja indukcyjności będzie podana później), są następujące:
iR
iC
R
uR
u R = R ⋅ iR
C
uC
iL
iC = C ⋅
L
du C
dt
uL = L ⋅
uL
di L
dt
Stałe wartości parametrów R, C i L znamionują elementy liniowe. Obiekty zbudowane z elementów
skupionych, liniowych i stacjonarnych tworzą klasę układów SLS, których badaniu poświęcona jest
zasadnicza część teorii obwodów.
Odwzorowaniem struktury połączeń elementów występujących
w obwodzie elektrycznym jest schemat elektryczny (rys. obok).
Elementy przedstawia się używając ustalonych normami symboli graficznych i literowych . Linie między elementami traktuje się jako połączenia bezoporowe – o ile nie symbolizują
umownie jakichś elementów, opisanych symbolami literowymi
lub danymi liczbowymi (uproszczenie wyższego stopnia).
R
L
C
e(t)
Obwód z połączonymi szeregowo:
źródłem napięciowym e(t)
i elementami pasywnymi R, L, C
Elementy aktywne i pasywne. Strzałkowanie generatorowe i odbiornikowe
Elementy obwodu dzielą się na aktywne i pasywne. Ogólnie, przez aktywność bądź pasywność elementu rozumie się jego zdolność bądź niezdolność do wydania energii elektrycznej większej od
pobranej w przeszłości. Chodzi o bilans energii elementu względem reszty obwodu w długim przedziale czasu. Podział elementów obwodu elektrycznego na aktywne i pasywne nie przesądza więc o
tym, czy – w pewnej chwili – dany element wydaje energię elektryczną do obwodu, czy też ją z
niego pobiera. W określonej sytuacji, element aktywny może z obwodu energię pobierać, a element
pasywny (nie każdy, co prawda, i tylko w ograniczonym czasie) może zwracać do obwodu energię
wcześniej z niego pobraną. Elementy magazynujące nie mogą jednak dostarczyć do obwodu energii
większej od tej, jaką wcześniej z niego przejęły, więc zalicza się je do elementów pasywnych.
Źródła wytwarzają energię elektryczną poprzez zamianę na nią różnego rodzaju nieelektrycznych
nośników energii ewentualnie energii elektrycznej o innych parametrach. Źródła czerpią energię z
otoczenia i oddają do obwodu, ale w określonych konfiguracjach mogą też energię z obwodu elektrycznego pobierać a oddawać do otoczenia (procesy przemian energii przebiegają wtedy w przeciwnym kierunku, ale nie muszą być zwierciadlanym odbiciem cyklu wytwarzania energii elek-
44
Wykład V
trycznej). Jeśli ta „odwrotna” sytuacja jest normalnym stanem pracy elementu aktywnego, to wtedy
nazywa się go odbiornikiem aktywnym.
Przejmowanie energii ruchu ładunków zachodzi w rezystancjach, gdzie jest ona w całości rozpraszana po zamianie na ciepło (wyłączając z rozważań procesy elektrochemiczne, w których zasadnicza część pobranej energii powiększa energię chemiczną elementu), oraz w pojemnościach, gdzie
pobrana energia gromadzi się w polu elektrycznym, i w indukcyjnościach, gdzie gromadzi się w
polu magnetycznym. Energia zmagazynowana w pojemności lub indukcyjności uczestniczy czynnie w dalszych przemianach, stosownie do zmian zachodzących w obwodzie.
Rola generatora („wydajnika”) bądź odbiornika moa)
b)
cy elektrycznej, przypisana elementowi lub układoGenerator
Odbiornik
wi, znajduje wyraz w odpowiednim strzałkowaniu
mocy
mocy
prądu i napięcia na zaciskach. Jeśli poprzez zaciski
moc jest wydawana do obwodu, to stosuje się strzałpgen
podb
kowanie generatorowe (rys. a), jeśli natomiast moc
igen
iodb
jest poprzez zaciski pobierana, to stosuje się strzaługen
uodb
kowanie odbiornikowe (rys. b).
Formalnie, każdy element obwodu może być odbiornikiem lub generatorem energii (mocy) elektrycznej. Zależy to jedynie od konwencji strzałkowania prądu i napięcia: generatorowego – o zgodnych zwrotach tych wielkości, albo odbiornikowego – o zwrotach przeciwnych. Jeśli zastosowane
strzałkowanie nie odpowiada rzeczywistej sytuacji, to iloczyn wielkości zaciskowych ma ujemną
wartość, a więc moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna.
Elementy struktury obwodów elektrycznych. Prawa Kirchhoffa
Strukturę geometryczną obwodów elektrycznych opisuje się (w ujęciu sieciowym) za pomocą takich terminów, jak: gałąź, węzeł, rodzaj połączenia, oczko. Ponieważ są to pojęcia znane z fizyki,
wystarczy krótkie przypomnienie.
Gałąź jest elementem dwukońcówkowym (dwuzaciskowym). W „środku” jej może się znajdować
dowolna liczba różnych elementów podstawowych. Gałąź jest dwójnikiem. Najprostszymi gałęziami są rezystancje, pojemności i indukcyjności oraz idealne źródło napięciowe. Idealne źródło prądowe
nie tworzy samo gałęzi (bo przy prądzie źródłowym równym zero stanowi przerwę w obwodzie).
Węzeł jest elektrycznym połączeniem końcówek więcej niż dwóch gałęzi. Prądy tych gałęzi spełniają I (prądowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna prądów zbiegających się w
dowolnym węźle obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:
n
∑ ik = 0 ,
i1
(3.1)
k =1
i5
gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a odpływające
ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się
i2
w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n).
i4
i3
Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco: i1 −i2 + i3 − i4 + i5 = 0 .
Szeregowe połączenie gałęzi cechuje się tym, że w każdej z gałęzi płynie ten sam prąd, a napięcia
występujące na poszczególnych gałęziach dodają się.
Równoległe połączenie gałęzi cechuje się tym, że każda z gałęzi jest pod tym samym napięciem, a
prądy płynące w poszczególnych gałęziach dodają się.
Kombinacje połączeń szeregowych i równoległych określa się jako mieszane połączenia gałęzi.
Oczko jest utworzoną przez gałęzie, zamkniętą drogą dla prądu, przy czym usunięcie którejkolwiek
z gałęzi powoduje przerwanie tej drogi. Napięcia występujące na elementach gałęzi tworzących
45
3. Elementy obwodów prądu stałego
oczko spełniają II (napięciowe) prawo Kirchhoffa. Mówi ono, że suma algebraiczna napięć źródłowych i odbiornikowych w dowolnym oczku obwodu jest równa zeru. Można to wyrazić wzorem
dla wartości chwilowych:
i5
R1
L5
u5
i4
R2
u4
u2
R4
L2
u3
e2
i3
R3
e4
L3
k =1
k =1
(3.2)
gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo,
a elementów pasywnych – odbiornikowo (względem
założonych zwrotów prądów); sumowanie napięć
jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.
napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu
oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”;
indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k – nr
gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).
Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco:
− e2 + e4 + u1 + u 2 + u 3 − u 4 − u 5 = 0 .
C5
i2
n
∑ ek + ∑ u k = 0 ,
i1
u1
n
C3
Obwód elektryczny musi zawierać co najmniej jedno oczko. Obwód zawierający jedno oczko nazywa się obwodem nierozgałęzionym, a zawierający więcej niż jedno oczko – obwodem rozgałęzionym lub siecią elektryczną.
Bilans mocy obwodu elektrycznego (zasada Tellegena)
Ze spełnienia w obwodzie obu praw Kirchhoffa wynika zasada Tellegena. Mówi ona, że moce oddawane i moce pobierane przez wszystkie elementy obwodu muszą się bilansować. Można to wyrazić wzorem ogólnym dla wartości chwilowych:
n
n
k =1
k =1
∑ u k .gen ⋅ ik .gen = ∑ u k .odb ⋅ ik .odb ,
(3.3a)
gdzie elementy, stosownie do ich charakteru, strzałkuje się generatorowo bądź odbiornikowo, a
wielkości ich dotyczące umieszcza, odpowiednio, po lewej lub prawej stronie równania (konwencja
mieszana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu
(k = 1, ... , n).
Dla ujednolicenia procedury sporządzania bilansu mocy przyjmuje się często tę samą konwencję
strzałkowania prądu i napięcia każdego elementu, co powoduje, że moce elementów o różnym charakterze mają różne znaki, ale bilans mocy wyraża się prościej. Jeśli wszystkie elementy obwodu są
traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa), to bilans mocy zapisuje się następująco:
n
∑ u k .odb ⋅ ik .odb = 0 .
(3.3b)
k =1
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako aktywne (konwencja generatorowa), to bilans
mocy przyjmuje postać:
n
∑ u k .gen ⋅ ik .gen = 0 .
(3.3c)
k =1
Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.
Pojęcie obwodu prądu stałego
Obwód elektryczny, w którym wartości prądu wszystkich elementów i wartości napięcia na wszystkich elementach są niezmienne w czasie, a przy tym nie są wszystkie równe zeru, nazywa się obwodem prądu stałego. Jest to ścisła definicja tego pojęcia i w tym rozumieniu będzie ono tu używane.
46
Wykład V
Warto zaznaczyć, że nieformalnie używa się pojęcia obwodu prądu stałego także w szerszym znaczeniu, obejmującym dodatkowo, oprócz stanów ustalonych, stany przejściowe układów zawierających pojemności i indukcyjności, przy wymuszeniach stałoprądowych. Określenie „stan przejściowy obwodu prądu stałego” zawiera jednak sprzeczność terminologiczną, ponieważ obwód prądu
stałego znajduje się zawsze w stanie ustalonym (poprawnie sformułowanym określeniem jest w tym
wypadku „stan przejściowy obwodu ze źródłami stałoprądowymi”).
Prądy i napięcia elementów obwodu prądu stałego są zatem stałe, tj. niezmienne w czasie, co zaznacza się pisząc symbole wielkimi literami: U, I. Wszystkie elementy obwodu prądu stałego znajdują się w stanie stacjonarnym.
Pojemności i indukcyjności, odwzorowujące określone właściwości struktury przestrzennej badanego obiektu, nie mają wpływu na stan pracy obwodu prądu stałego. Energia zakumulowana w elementach układu jest wynikiem procesów przejściowych, poprzedzających osiągnięcie stanu ustalonego – przedmiotu aktualnych rozważań.
W stanie ustalonym nie płyną prądy ładowania pojema) i = 0 C
(rozwarcie)
C
ności (rys. a) i nie występują napięcia na indukcyjnościach (rys. b). Nie ma więc potrzeby umieszczania tych
elementów na schematach obwodów prądu stałego (pob)
L
(zwarcie)
jemność stanowi tu przerwę, a indukcyjność – zwarcie
końców). Jedynymi elementami pasywnymi, występująuL = 0
cymi na schematach tych obwodów, są rezystancje.
≡
≡
Podstawowe elementy gałęzi obwodów prądu stałego
Omawiane obwody prądu stałego będą się składać z gałęzi, zbudowanych z rezystancji (konduktancji) oraz idealnych źródeł prądu stałego – napięciowych (o stałej wartości napięcia) i prądowych (o
stałej wartości prądu). Znane będą przy tym relacje, jakie zachodzą między wartościami napięcia U
i prądu I tych elementów.
Zależność U od I nazywa się charakterystyką statyczną prądowo-napięciową U(I) elementu, a zależność I od U – jego charakterystyką statyczną napięciowo-prądową I(U). Przydomek „statyczna”
oznacza, że chodzi o wielkości stałe w czasie. Analogiczne zależności dla wielkości zmiennych w
czasie (u, i – pisane małymi literami): u(i) lub i(u), dotyczące tych samych obiektów fizycznych,
mogą się znacznie różnić od charakterystyk statycznych.
Obok przedstawiono symbole oraz chaa)
rakterystyki statyczne prądowo-napięciowe idealnych źródeł: napięciowego
I
U
(rys. a) i prądowego (rys. b), oraz rezyE
E
storów: liniowego (rys. c) i nieliniowego
0
(rys. d). Napięcie i prąd są tu strzałkowane w normalny sposób: przy źródłach
c)
– zgodnie (generatorowo), przy rezystorach – przeciwnie (odbiornikowo). ŹróI
U
dła: napięciowe przy I < 0 i prądowe
R
przy U < 0, stają się odbiornikami aktywnymi.
Charakterystyka U(I) rezystora liniowego jest funkcją liniową
Pokazana wyżej charakterystyka rezystora
U
nieliniowego (jednoznaczna niesymetryczna)
jest funkcją nieliniową. Charakterystyki ele0
mentów nieliniowych nie zawsze są funkcjami
(przykładowe wykresy – na rysunku obok).
b)
U
I
I
I
U
Iźr
Iźr
U
0
d)
U
U
I
I
U
I
0
0
U = R ⋅ I , gdzie R – rezystancja.
U
I
U
I
I
0
0
47
3. Elementy obwodów prądu stałego
Rezystancja statyczna i dynamiczna. Obwód nieliniowy prądu stałego
Poszczególnym punktom (I, U) nieliniowych, nie zawierających
pętli histerezy, charakterystyk statycznych rezystorów (rys.
(Rdyn2<0)
obok) można przyporządkować wartości rezystancji statycznej
(Rs2)
Rs i rezystancji dynamicznej (różniczkowej) Rdyn :
2
(Rs1)
U
dU
Rs =
,
Rdyn =
.
(3.4a, b)
1
I
dI
W przypadku rezystorów liniowych – rezystancja statyczna i re(Rdyn1>0)
I
zystancja dynamiczna, określone jw., znaczą to samo i mają tę
0
samą wartość R (rezystancji) w każdym punkcie charakterystyki.
Rezystancja statyczna rezystorów (fizycznych, rzeczywistych) ma wartości dodatnie, natomiast
rezystancja dynamiczna może przyjmować również wartości ujemne. Mówi się w związku z tym o
dodatnim – dla Rdyn > 0, i ujemnym – dla Rdyn < 0, nachyleniu charakterystyki w określonych przedziałach wartości prądu i napięcia.
Dla ustalonych (quasi-ustalonych) zmian napięcia ∆U i prądu
U
∆I, zachodzących w otoczeniu ustalonych wartości Uo i Io (rys.
∆U
obok) i mieszczących się w zakresie ujemnego nachylenia cha∆I
U0
rakterystyki U (I), można podać przybliżoną zależność liniową
U
∆U = − R ⋅ ∆I ,
0
I
gdzie R jest rezystancją ujemnego oporu elementu w ograniczonym zakresie zmian ∆U i ∆I.
I0
0
(3.5)
Obwód prądu stałego zawierający przynajmniej jeden rezystor nieliniowy nazywa się obwodem
nieliniowym prądu stałego. Obwód prądu stałego nie zawierający rezystorów nieliniowych jest
obwodem liniowym prądu stałego.
Zasadnicza część teorii obwodów elektrycznych dotyczy układów zbudowanych elementów skupionych, liniowych i stacjonarnych. Jeżeli nie zaznacza się wyraźnie, że któryś z warunków SLS
nie jest spełniony, oznacza to na ogół, że rozważany element lub układ jest klasy SLS. Przy prądzie
stałym warunek stacjonarności (niezmienności parametrów) jest spełniony w sposób oczywisty.
Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu stałego
Podane wcześniej prawa dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym obowiązują w obwodzie prądu stałego dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.
I (prądowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorem:
n
∑ Ik = 0 ,
I1
I5
gdzie prądy dopływające są pisane zwyczajowo ze znakiem „+”, a odpływające ze znakiem „–”; indeksy: n – liczba gałęzi zbiegających się
w węźle, k – nr gałęzi zbiegającej się w węźle (k = 1, ... , n).
I2
I3
(3.6)
k =1
I4
Przykład. Równanie prądów w węźle przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco: I 1− I 2 + I 3 − I 4 + I 5 = 0 .
II (napięciowe) prawo Kirchhoffa wyraża się wzorami:
n
n
k =1
k =1
∑ Ek + ∑U k = 0
lub
n
n
k =1
k =1
∑ Rk ⋅ I k = ∑ E k
(3.7a, b)
gdzie napięcia źródeł są strzałkowane generatorowo, a na rezystorach – odbiornikowo (względem
zwrotu prądów gałęzi); sumowanie napięć jest zgodne z przyjętym zwrotem obiegu oczka, tzn.:
48
Wykład V
a) napięcia zwrócone zgodnie ze zwrotem obiegu
oczka są pisane ze znakiem „+”, a zwrócone przeciwnie do zwrotu obiegu oczka – ze znakiem „–”;
b) wyrażenia Rk Ik są pisane po przeciwnej niż Ek
stronie równania ze znakiem „+”, gdy prądy w obieganych gałęziach są zwrócone zgodnie ze zwrotem
obiegu, a ze znakiem „–”, gdy są zwrócone przeciwnie; indeksy: n – liczba gałęzi tworzących oczko, k –
nr gałęzi wchodzącej w skład oczka (k = 1, ... , n).
Przykład. Równanie napięć w oczku przedstawionym obok na rysunku, wyraża się następująco:
− E 2 + E 4 + U 1 + U 2 + U 3 − U 4 − U 5 = 0 lub
I5
R1
R5
I1
U1
U5
I2
R2
I4
U2
U4
U3
E2
− R1 ⋅ I 1 − R2 ⋅ I 2 − R3 ⋅ I 3 + R4 ⋅ I 4 + R5 ⋅ I 5 = − E 2 + E 4 .
I3
R4
E4
R3
Moce wydawane i pobierane przez gałęzie w obwodzie prądu stałego
Od konwencji strzałkowania prądu i napięcia elementów bądź gałęzi zależy tylko formalnie, czy są
one odbiornikami, czy generatorami mocy elektrycznej. Jeśli przyjęte strzałkowanie nie odpowiada
rzeczywistej sytuacji, to moc (odpowiednio – wydawana lub oddawana) jest ujemna, co wskazuje
na przeciwny kierunek jej przepływu. Zostanie to pokazane na przykładzie gałęzi aktywnych dwuelementowych E, R oraz Iźr , G :
a’) zgodne zwroty E i I
I
R
Pgen = U gen ⋅ I = ( E − U R ) ⋅ I = ( E − R ⋅ I ) ⋅ I = E ⋅ I − R ⋅ I 2 ;
E
UR
Uodb
Ugen
Ugen
(-I)
E
I
Iz
0
Podb = U odb ⋅ I = (U R − E ) ⋅ I = ( R ⋅ I − E ) ⋅ I = R ⋅ I 2 − E ⋅ I
E
– gałąź jest generatorem, gdy E − R ⋅ I > 0 czyli I < = I z ,
R
E
a odbiornikiem, gdy R ⋅ I − E > 0 czyli I > = I z ,
R
gdzie Iz – prąd zwarcia gałęzi.
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A.
Prąd zwarcia gałęzi ma wartość Iz = E / R = 1,5 A ⇒ I > Iz ; gałąź jest
Uod
odbiornikiem;
Uodb = R I – E = 2 V,
Podb = Uodb I = 4 W
albo
Podb = R ⋅ I − E ⋅ I = 16 − 12 = 4 W.
2
a”) przeciwne zwroty E i I
I
R
Podb = U odb ⋅ I = ( E + U R ) ⋅ I = ( E + R ⋅ I ) ⋅ I = E ⋅ I + R ⋅ I 2 > 0 ;
E
Pgen = U gen ⋅ I = (− E − U R ) ⋅ I = −( E + R ⋅ I ) ⋅ I = − E ⋅ I − R ⋅ I 2 < 0
UR
Uodb
Ugen
– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie I nie jest
−E
możliwe spełnienie warunku E + R ⋅ I < 0 czyli I <
= − I z , gdzie
R
Iz – prąd zwarcia gałęzi).
Uod
E
(-I)
(-Iz)
I
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: R = 4 Ω, E = 6 V, I = 2 A.
0
Gałąź jest odbiornikiem; Uodb = E + R I = 14 V, Podb = Uodb I = 28 W
Ugen
albo Podb = E ⋅ I + R ⋅ I 2 = 12 + 16 = 28 W.
49
3. Elementy obwodów prądu stałego
b’) zgodne zwroty Iźr i U
Iź r
IG
G
Pgen = U ⋅ I gen = U ⋅ ( I źr − I G ) = U ⋅ ( I źr − G ⋅ U ) = U ⋅ I źr − G ⋅ U 2 ;
Igen
Podb = U ⋅ I odb = U ⋅ ( I G − I źr ) = U ⋅ (G ⋅ U − I źr ) = G ⋅ U 2 − U ⋅ I źr
Iodb
– gałąź jest generatorem, gdy I źr − G ⋅ U > 0 czyli U <
U
a odbiornikiem, gdy G ⋅ U − I źr > 0 czyli U >
Igen
(-U)
I źr
= U0 ,
G
gdzie U0 – napięcie stanu jałowego gałęzi.
Iź r
U
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, Iźr = 3 A, U = 2 V.
U0
0
I źr
= U0 ,
G
Napięcie stanu jałowego gałęzi ma wartość
Iodb
U0 = Iźr / G = 3 V
⇒
U < U0 ; gałąź jest generatorem; Igen = Iźr – G U = 1 A,
Pgen = U Igen = 2 W albo Pgen = U ⋅ I źr − G ⋅ U 2 = 6 − 4 = 2 W.
b”) przeciwne zwroty Iźr i U
Iź r
G
IG
Igen
Podb = U I odb = U ( I źr + I G ) = U ( I źr + G U ) = U I źr + G U 2 > 0 ;
Iodb
Pgen = U I gen = U (− I źr − I G ) = −U ( I źr + G U ) = −U I źr − GU 2 < 0
– gałąź nie może być generatorem (przy założonym zwrocie U nie jest
− I źr
możliwe spełnienie warunku I źr + G U < 0 czyli U <
= −U 0 ,
G
gdzie U0 – napięcie stanu jałowego gałęzi).
U
Iodb
(-U)
Iź r
(-U0)
Przykład. W gałęzi o rozważanej postaci: G = 1 S, Iźr = 3 A, U = 2 V.
U
0
Gałąź jest odbiornikiem; Iodb = Iźr + G U = 5 A, Podb = U Iodb = 10 W
Igen
albo Podb = U ⋅ I źr + G ⋅ U 2 = 6 + 4 = 10 W.
Bilans mocy obwodu prądu stałego
Zasada Tellegena (bilansowania się mocy w obwodzie elektrycznym), podana wcześniej dla wartości chwilowych prądów i napięć w obwodzie elektrycznym, obowiązuje w obwodzie prądu stałego
dla wartości ustalonych. Zostaną zapisane aktualne formuły.
Bilans mocy obwodu prądu stałego wyraża się następująco:
n
n
k =1
k =1
∑U k .gen ⋅ I k .gen = ∑ Rk ⋅ I k2 ,
(3.8a)
gdzie źródła strzałkuje się generatorowo i wielkości ich dotyczące umieszcza po lewej stronie równania, a wielkości dotyczące rezystancji gałęziowych umieszcza po prawej stronie (konwencja mieszana); indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... ,
n).
Jeśli wszystkie elementy obwodu są traktowane jako pasywne (konwencja odbiornikowa) albo aktywne (konwencja generatorowa), to bilans mocy przyjmuje postaci:
n
∑ U k .odb ⋅ I k .odb = 0
k =1
n
lub
∑ U k .gen ⋅ I k .gen = 0 ,
k =1
(3.8b, c)
gdzie wszystkie elementy obwodu strzałkuje się tak samo – odbiornikowo bądź generatorowo; indeksy: n – liczba elementów występujących się w obwodzie, k – nr elementu (k = 1, ... , n).
Elementami mogą być całe gałęzie oraz źródła prądowe nie wchodzące w skład gałęzi.
50
Wykład V
Przykład. Na schemacie obwodu prądu stałego podano wartości parametrów i prądów gałęziowych
(wartości prądów są wynikiem rozwiązania obwodu, uzyskanego jedną z metod objaśnionych dalej). Po wyznaczeniu wartości napięć na elementach, zostanie sporządzony – na dwa sposoby – bilans mocy obwodu.
a)
1. Bilans mocy obwodu przy mieszanej konwencji strzał1Ω 1A
1A 6V
kowania prądów i napięć elementów
Uwzględniając zwroty prądów zaznaczone na danym
2A
schemacie (rys. a), dorysowano napięcia: na źródłach – w
konwencji generatorowej, oraz na rezystorach – w kon1Ω
wencji odbiornikowej (rys. b). Wartość napięcia na źródle
3V
1Ω
prądowym jest sumą napięć (o właściwym zwrocie) na
2A
4A
gałęziach tworzących dowolną drogę między węzłami, do
których jest przyłączone to źródło, np. na dwóch górnych
3A
gałęziach (1 + 6 = 7 V) albo na dwóch środkowych
(3 + 4 = 7 V).
Wartości sum po lewej i prawej stronie równania (3.8a)
b)
wynoszą:
1Ω 1A
1A 6V
n
∑ Pk .gen =∑U k .gen ⋅ I k .gen = 6 ⋅ 1 + (−3) ⋅ 2 + 7 ⋅ 3 = 21 W,
k
k =1
n
∑ Pk .odb =∑ Rk ⋅ I k2 = 1 ⋅ 12 + 1 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 4 2 = 21 W,
k
k
n
∑ Pk .odb =∑U k .odb ⋅ I k .odb =
k =1
= 1 ⋅ 1 + (−6) ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + (−7) ⋅ 3 = 0 W,
tzn. moce się bilansują
∑ Pk .odb = 0 .
k
2A
4A
1Ω
k
2. Bilans mocy obwodu przy odbiornikowej konwencji
strzałkowania prądów i napięć każdego z elementów
Zwroty napięć wszystkich elementów obwodu przyjęto
przeciwne do zwrotów prądu (rys. c).
Wartość sumy w równaniu (3.8b) wynosi:
k
3V
∑ Pk .gen =∑ Pk .odb .
6V
1Ω
2V
k =1
tzn. moce się bilansują
2A
1V
3A
–3 V
4V
7V
c)
1Ω 1A
2A
1V
2V
3V
3V
1A
2A
6V
–6 V
1Ω
4A
3A
–7 V
1Ω
4V
51
3. Elementy obwodów prądu stałego
Wykład VI. PODSTAWOWE UKŁADY PRĄDU STAŁEGO
Rzeczywiste źródło napięciowe obciążone rezystancją
Na rysunku pokazano schemat i charakterystykę zewnętrzną rzeczywistego stałoprądowego źródła
napięciowego, obciążonego rezystancją R. Charakterystyka przedstawia zależność
U = E − Rw ⋅ I .
(3.9a)
I
U
W stanie jałowym (I = 0) napięcie U ma wartość
U0 = E ;
(3.9b)
E
Rw
U
R
w stanie zwarcia (U = 0) prąd I ma wartość
E
Iz =
.
(3.9c)
Rw
I
E
Iz
0
Moc wytwarzana w źródle (oddawana przez idealne źródło) przy obciążeniu prądem I wynosi
P1 = E ⋅ I ;
(3.10a)
moc oddawana do obwodu zewnętrznego (pobierana przez odbiornik) oraz sprawność źródła –
P2 = U ⋅ I = E ⋅ I − Rw ⋅ I 2 ;
η=
(3.10b)
P2 U E − Rw ⋅ I
I
U
R⋅I
R
= =
= 1−
, albo inaczej: η = =
. (3.10c, d)
=
P1 E
E
Iz
E ( R + Rw ) ⋅ I R + Rw
Stan, w którym z danego źródła pobierana jest największa moc, nazywa się stanem dopasowania
odbiornika do źródła. Prąd I ma wtedy taką wartość, że
dP2
E
= 0 , więc E − 2 Rw ⋅ I dop = 0 , stąd I dop =
.
dI
2 Rw
E
Ponieważ jednak I dop =
, więc warunkiem dopasowania odbiornika do źródła jest
Rdop + Rw
Rdop = Rw .
(3.11a)
Zgodnie ze wzorem (3.10d), sprawność źródła w stanie dopasowania wynosi
η dop = 0,5 ,
(3.11b)
a moc pobierana przez odbiornik wyraża się wzorem
E2
.
(3.11c)
4 Rw
Moc P2.dop , określona wzorem (3.11c), jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła
napięciowego lub mocą dysponowaną źródła napięciowego.
2
P2.dop = Rdop ⋅ I dop
=
Rzeczywiste źródło prądowe obciążone konduktancją
Na rysunku pokazano schemat i charakterystykę zewnętrzną rzeczywistego stałoprądowego źródła
prądowego, obciążonego konduktancją G. Charakterystyka przedstawia zależność
I = I źr − G w ⋅ U .
(3.12a)
I
I
Iw
Iźr
Gw
Iźr
U
G
U
0
U0
W stanie jałowym (I = 0) napięcie U ma wartość
I
U 0 = źr ;
(3.12b)
Gw
w stanie zwarcia (U = 0) prąd I ma wartość
I z = I źr
(3.12c)
Moc wytwarzana w źródle (oddawana przez idealne źródło) przy napięciu U wynosi
52
Wykład VI
P1 = U ⋅ I źr ,
(3.13a)
moc oddawana do obwodu zewnętrznego (pobierana przez odbiornik) oraz sprawność źródła –
P2 = U ⋅ I = U ⋅ I źr − Gw ⋅ U 2 ;
η=
(3.13b)
I − Gw ⋅ U
P2
I
G ⋅U
G
I
U
=
= źr
= 1−
, albo inaczej: η =
=
=
. (3.13c, d)
P1 I źr
I źr
U0
I źr (G + Gw ) ⋅ U G + Gw
W stanie dopasowania odbiornika do źródła napięcie U ma taką wartość, że
dP2
I
= 0 , więc I źr − 2Gw ⋅ U dop = 0 , stąd U dop = źr .
dU
2G w
I źr
Ponieważ jednak U dop =
, więc warunkiem dopasowania odbiornika do źródła jest
Gdop + G w
Gdop = Gw .
(3.14a)
Zgodnie ze wzorem (3.13d), sprawność źródła w stanie dopasowania wynosi
η dop = 0,5 ,
(3.14b)
a moc pobierana przez odbiornik wyraża się wzorem
I źr 2
P2.dop =
=
.
(3.14c)
4Gw
Moc P2.dop , określona wzorem (3.14c), jest nazywana mocą dopasowania odbiornika do źródła
prądowego lub mocą dysponowaną źródła prądowego.
2
Gdop ⋅ U dop
Równoważność rzeczywistych źródeł napięciowych i prądowych
Równoważność źródeł dotyczy ich wielkości zaciskowych, tj. identyczności prądów oraz napięć na
zaciskach obu źródeł (rys.).
I
I
Źródło napięciowe:
U = E − Rw ⋅ I .
Iw
Rw
Źródło prądowe:
Iźr
U
Gw U
I w = I źr − I czyli G w ⋅ U = I źr − I ,
E
I źr
1
więc
U=
−
⋅I .
Gw Gw
I
1
Otrzymuje się tożsamość: E − Rw ⋅ I ≡ źr −
⋅ I ; z niej warunki równoważności układów:
Gw Gw
≡
inne postaci:
I źr
= R w ⋅ I źr ;
Gw
(3.15a, b)
E
.
Rw
(3.16a, b)
Rw =
1
Gw
i
E=
Gw =
1
Rw
i
I źr = G w ⋅ E =
Charakterystyki zewnętrzne źródeł równoważnych są identyczne (nie licząc zamiany ról zmiennych).
Trzeba zaznaczyć, że na ogół źródła równoważne – ze względu na wielkości zaciskowe – nie są
równoważne ze względu na straty mocy wewnątrz źródeł. W rzeczywistym źródle napięciowym
straty te wynoszą
∆PU = Rw ⋅ I 2 ,
(3.17a)
a w rzeczywistym źródle prądowym -
53
3. Elementy obwodów prądu stałego
R2 ⋅ I 2
∆PI = Gw ⋅ U =
,
Rw
2
(3.17b)
stąd ich stosunek -
∆PU Rw
= ,
∆PI R
2
(3.17c)
a więc równoważność źródeł ze względu na straty mocy zachodzi tylko wtedy, gdy R = Rw , czyli w
stanie dopasowania odbiornika do źródła.
Łączenie źródeł prądu stałego
Układy różnych źródeł można zastępować – ze względu na wielkości zaciskowe – jednym źródłem
odpowiedniego typu. Zostaną rozpatrzone układy szeregowych i równoległych połączeń źródeł tych
samych rodzajów.
Warunkiem równoważności idealnych źródeł jest równość, odpowiednio, napięcia bądź prądu źródłowego. Warunkiem równoważności rzeczywistych źródeł jest równość dwóch z trzech wielkości:
napięcia w stanie jałowym U0, prądu zwarcia Iz oraz rezystancji Rw (konduktancji Gw) wewnętrznej,
będącej ilorazem tych wielkości Rw = U0 / Iz (Gw = Iz / U0).
Połączenia wywołujące sprzeczność definicyjną są zakazane. Zakaz ten dotyczy łączenia równoległego idealnych źródeł napięciowych o różnych napięciach źródłowych oraz łączenia szeregowego
idealnych źródeł prądowych o różnych prądach źródłowych. Poza tym, wszystkie połączenia idealnych źródeł z innymi źródłami lub z rezystorami są dozwolone. Niektóre z nich są jednak nieistotne, tzn. nie wpływają na wypadkową charakterystykę U (I) lub I (U) układu (ale mają wpływ na
straty mocy w układzie wewnętrznym).
Przykłady nieistotnych połączeń elementów z idealnym źródłem napięciowym:
1
1
1
1
1
1
Rwr
E
E
E
2
Rr
E
Er
2
Iź r
E
E
2
2
Iź r
≡
Gw
E
2
2
Przykłady nieistotnych połączeń elementów z idealnym źródłem prądowym:
1
1
1
Iź r
Iź r
1
Iź r
Iź r
Iź r
≡
R
Iźr.s
Iź r
Gws
R
1
1
E
Iź r
E
2
2
2
2
2
2
Szeregowe połączenie idealnych źródeł napięciowych:
E1
E2
En
≡
Ezast
n
E zast = ∑ E k .
k =1
Szeregowe połączenie rzeczywistych źródeł napięciowych:
E1
Rw1
E2
Rw2
En
Rwn
≡
Ezast
Rw. zast
(3.18a)
54
Wykład VI
n
n
E zast = ∑ E k ,
Rw. zast = ∑ Rwk .
k =1
(3.18a, b)
k =1
Równoległe połączenie idealnych źródeł prądowych:
n
Iźr.1
≡
Iźr.n
Iźr.2
I źr . zast = ∑ I źr .k .
Iźr.zast
(3.19a)
k =1
Równoległe połączenie rzeczywistych źródeł prądowych:
Gw1
Iźr.1
Gw2
Iźr.2
≡
Gwn
Iźr.n
n
I źr . zast = ∑ I źr .k ,
k =1
Gw.zast
Iźr.zast
n
Gw. zast = ∑ Gwk .
(3.19a, b)
k =1
Równoległe połączenie rzeczywistych źródeł napięciowych:
Rw1
(Gw1)
Rwn
(Gwn)
E1
Gw1
Gw1 E1
≡
En
≡
Gwn
Gwn En
Rw. zast
(Gw. zast)
Ezast
n
E zast
I
= źr . zast =
G w. zast
∑ Gwk ⋅ Ek
k =1
Rw. zast =
,
n
∑ Gwk
1
G w. zast
1
=
,
n
(3.20a, b)
∑ Gwk
k =1
k =1
Szeregowe połączenie rzeczywistych źródeł prądowych:
Iźr.1
Rw1
Gw1
(Rw1)
≡
Iźr.n
Gwn
(Rwn)
≡
Rwn
E1
Gw.zast
(Rw.zast)
Iźr.zast
En
n
I źr . zast
E
= zast =
Rw. zast
∑ Rwk ⋅ I źr.k
k =1
n
∑ Rwk
k =1
,
Gw. zast =
1
Rw. zast
=
1
n
∑ Rwk
k =1
.
(3.21a, b)
3. Elementy obwodów prądu stałego
55
Linia zasilająca odbiornik prądu stałego
Jeśli źródła i odbiorniki prądu stałego są oddalone od siebie, to przekazywanie energii między nimi
odbywa się za pośrednictwem linii energoelektrycznych (elektroenergetycznych). Linie te składają
się zwykle z przewodów umieszczonych obok siebie, tworzących zespoły (wiązki) nazywane torami elektroenergetycznymi.
Tor elektroenergetyczny to pojedynczy zespół przewodów, którym można przesłać energię ze źródła do odbiornika. Linie elektroenergetyczne buduje się jako jedno- lub dwutorowe. Używane są do
tego przewody gołe (bez izolacji stałej) oraz kable i przewody izolowane (jedno- bądź wielożyłowe).
Powietrzna bądź stała izolacja między przewodami linii zasilającej jest z zasady na tyle dobra, że
można nie uwzględniać konduktancji poprzecznej. Dwuprzewodowa linia prądu stałego (rys.) jest
więc reprezentowana na schemacie przez całkowitą rezystancję podłużną skupioną, nazywaną krótko rezystancją linii (toru), która jest równa sumie rezystancji żył obu przewodów zasilających:
l
l
RL = RL1 + RL 2 = 1 + 2
, (3.22)
(L1-A) I
RL1 (L1-B)
γ 1 ⋅ S1 γ 2 ⋅ S 2
gdzie: RL – rezystancja linii; RL1, RL2 – reE
UA
UB
U
R
zystancje przewodów linii; l1, l2 – długości
RL2
przewodów linii; γ1, γ2 – przewodność wła(L2-A)
(L2-B)
ściwa (konduktywność) wzdłużna przewodów linii; S1, S2 – pola przekrojów przewo(P+∆P)
∆P
P
dów linii.
Parametrami odbiornika są: napięcie U oraz alternatywnie: prąd I, moc P = U I, albo rezystancja
zastępcza R = U/I = U2/P. Odbiornik obciąża źródło i linię zasilającą, w wyniku czego powstaje w
linii spadek napięcia i strata mocy.
Spadek napięcia ∆UAB w linii prądu stałego jest to różnica wartości napięcia na początku linii UA
(w punkcie A - po stronie źródła) i na końcu linii UB = U (w punkcie B - po stronie odbiornika):
R ⋅ P RL ⋅ U
∆U AB = U A − U B = RL ⋅ I = L
=
.
(3.23a)
U
R
a)
Na rys. a przedstawiono schemat jednokreskowy
UA
RL
UB = U
toru elektroenergetycznego, odpowiadający jego
I;
I
I;
schematowi pełnemu.
P + ∆P
P
Na schematach jednokreskowych nie rysuje się
Ux
b)
symboli graficznych, tylko opisuje linie symbolaxA
xB
mi słownymi lub danymi liczbowymi elementów,
UA
co zapewnia przejrzystość i czytelność informacji.
0
x
Jeśli zmienną jest odległość x od początku linii,
UB
to można narysować wykresy zmienności napię∆UAB
cia Ux(x) i spadku napięcia ∆UAx(x), pokazane na
∆ UAx
rys. b.
W praktyce operuje się często procentowym spadkiem napięcia
∆U AB
R ⋅P
R
∆u % AB =
⋅ 100% = L 2 ⋅ 100% = L ⋅ 100% .
(3.23b)
U
R
U
Strata mocy ∆PAB w linii prądu stałego wynosi
R ⋅ P2 R ⋅ P
∆PAB = ∆U AB ⋅ I = R L ⋅ I 2 = L 2 = L
,
(3.24a)
R
U
a procentowa strata mocy w tej linii –
∆P
R ⋅P
R
(3.24b)
∆p% AB = AB ⋅ 100% = L 2 ⋅ 100% = L ⋅ 100% .
P
R
U
56
Wykład VI
Ze wzorów (3.23b) i (3.24b) wynika, że w linii prądu stałego procentowy spadek napięcia jest równy procentowej stracie mocy:
∆u % = ∆p% .
(3.25)
Obok na rysunku została pokazana trój(L1-A)
I1
RL1
(L1-B)
przewodowa linia prądu stałego z przewodami „skrajnymi” L1 i L2 oraz przeE1 (L0-A) UA1 I0
R1
wodem „środkowym” L0. Podstawowe
RL0 UB1 (L0-B)
znaczenie ma praca przy symetrii źródła
i odbiornika, co oznacza: E1 = E 2 = E ;
E2 (L2-A) UA2 I2
R2
RL2 UB2 (L2-B)
R L1 = RL 2 = R L ; R1 = R2 = R .
Uzyskuje się wówczas: I1 = I 2 = I ; I 0 = 0 .
Prąd, spadek napięcia i strata mocy w przewodzie „środkowym” są więc równe zeru przy idealnej
symetrii układu, a odpowiednio małe, gdy asymetria obciążenia jest niewielka. Przekrój przewodu
środkowego” może być dlatego mniejszy od przekroju przewodów „skrajnych”.
Dzielnik napięcia. Rozszerzanie zakresu pomiarowego woltomierza
I
a)
U1
R1
U2
R2
U
b)
V RV
UV
U
Rd
Połączone szeregowo rezystancje (rys. a) tworzą dzielnik napięcia.
Napięcie zasilające ten układ „dzieli się” na rezystancjach proporcjonalnie do ich wartości:
R1
U
U 1 = R1 ⋅ I = R1 ⋅
=
⋅U ,
(3.26a)
R1 + R2 R1 + R2
R2
U
U 2 = R2 ⋅ I = R2 ⋅
=
⋅U .
(3.26b)
R1 + R2 R1 + R2
Układ dzielnika napięcia jest wykorzystywany m.in. do rozszerzania
zakresu pomiarowego woltomierza prądu stałego (rys. b). Aby zakres
pomiarowy woltomierza o rezystancji RV rozszerzyć n razy, trzeba połączyć z nim szeregowo taki rezystor Rd (opornik dodatkowy), że
UV 1
RV
1
=
czyli
=
,
U
n
RV + Rd n
więc
Rd = ( n − 1) ⋅ RV .
(3.27)
Dzielnik prądu. Rozszerzanie zakresu pomiarowego amperomierza
a)
I
U
b)
I1
I2
G1
G2
I
IA
A
RA
Ib
Rb
Połączone równolegle konduktancje (rys. a) tworzą dzielnik prądu.
Prąd dopływający do tego układu „dzieli się” na prądy gałęziowe proporcjonalnie do wartości konduktancji gałęzi:
G1
R2
I
I1 = G1 ⋅ U = G1 ⋅
=
⋅I =
⋅I ,
(3.28a)
G1 + G2 G1 + G2
R1 + R2
G2
R1
I
I 2 = G2 ⋅ U = G2 ⋅
=
⋅I =
⋅ I . (3.28b)
G1 + G2 G1 + G2
R1 + R2
Układ dzielnika prądu jest wykorzystywany m.in. do rozszerzania zakresu pomiarowego amperomierza prądu stałego (rys. b). Aby zakres
pomiarowy amperomierza o rezystancji RA rozszerzyć n razy, trzeba
połączyć z nim równolegle taki rezystor Rb (bocznik), że
IA 1
Rb
1
=
czyli
=
,
I
n
R A + Rb n
R
więc
Rb = A .
(3.29)
n −1
57
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 4
Rozwiązywanie obwodów
prądu stałego
I1
140 V
10 Ω
1
I3
U1
24 Ω
1
10 Ω
I2
2
10 Ω
I4
U2
U4
U3
2
180 V
4,6 A
Przez rozwiązanie obwodu rozumie się zwykle wyznaczenie wartości prądów bądź napięć gałęziowych, gdy znane są wartości parametrów elementów pasywnych i aktywnych. Czynnikiem wymuszającym działanie układu są wtedy napięcia i prądy źródłowe (parametry idealnych elementów
aktywnych), zaś odpowiedzią układu na te wymuszenie – prądy i napięcia gałęziowe.
Możliwe jest też inne postawienie zadania: wymuszenie to prąd lub napięcie jednej z gałęzi, zaś
odpowiedź – prądy lub napięcia pozostałych gałęzi albo parametry wybranej gałęzi (również jej
prąd lub napięcie źródłowe), przy znanych wartościach pozostałych parametrów obwodu. W tym
wypadku problemy mają charakter szczególny i na ogół są łatwiejsze do rozwikłania.
Rozwiązywanie obwodów nierozgałęzionych prądu stałego nie stwarza poważniejszych trudności.
Do opisania struktury liniowych obwodów rozgałęzionych służą współczynniki (macierze) incydencji. Dzięki nim uzyskuje się ogólne, macierzowe postaci równań obwodów. Z równań Kirchhoffa
wynikają bezpośrednio równania równowagi (względem prądów albo względem napięć gałęziowych). Posługując się pojęciem prądów oczkowych otrzymuje się równanie oczkowe obwodu, zaś
dochodząc do zależności względem potencjałów węzłowych obwodu – jego równanie węzłowe.
Z liniowością obwodu wiąże się możliwość stosowania zasady superpozycji.
Przy wyznaczaniu prądu (napięcia) jednej, wybranej gałęzi można skorzystać z twierdzenia Thevenina (twierdzenia Nortona).
Aby wyznaczyć wartości prądów (napięć) przyrostowych przy zmianach rezystancji (konduktancji)
jednej gałęzi, korzysta się z twierdzenia o kompensacji.
58
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 4
E
E
E’
Eo
Eo’
g
G
Gjj
Gjk
Gw
∆Gk
G
Gi
Gw
h
I
Igen
Iodb
Iwej
Iz
Iźr
∆Ik
I
I’
Io
Iw
Iw ’
Iwej
Iwej.c
Iwej.h
Iw.h
Iźr
napięcie źródłowe
wektor źródłowych napięć gałęziowych
wektor zastępczych źródłowych napięć
gałęziowych
wektor źródłowych napięć oczkowych
wektor zastępczych źródłowych napięć
oczkowych
liczba gałęzi w obwodzie
konduktancja
konduktancja wejściowa j-tej gałęzi
konduktancja międzygałęziowa gałęzi
j-tej i gałęzi k-tej
konduktancja wewnętrzna źródła
przyrost konduktancji k-tej gałęzi
diagonalna macierz konduktancji gałęziowych
macierz konduktancji gałęziowych w
węzłach
macierz konduktancji węzłowych (własnych i wzajemnych)
liczba pseudogałęzi w obwodzie
prąd
prąd „generatorowy”
prąd „odbiornikowy”
prąd wejściowy gałęzi (pseudogałęzi)
prąd zwarcia, tj. prąd między zwartymi
zaciskami
prąd źródłowy
przyrost prądu k-tej gałęzi
wektor prądów gałęziowych
wektor zastępczych prądów gałęziowych
wektor prądów oczkowych
wektor wydajności źródeł prądowych
do węzłów
wektor zastępczych wydajności źródeł
do węzłów
wektor prądów wejściowych gałęzi
„całkowity” wektor prądów wejściowych
wektor prądów wejściowych pseudogałęzi
wektor wydajności pseudogałęzi do
węzłów
wektor prądów źródłowych gałęzi
Literatura do rozdziału 4
[1], [2], [4], [6]
Iźr’
Iźr.h
Iźr.c
Iźr.c’
m
n
Pgen
Podb
R
Rjj
Rjk
Rw
∆Rk
R
Rl
Ro
U
Ugen
Uodb
U0
∆Uk
U
V
V
w
δlk
δ
λik
λ
λh
λc
wektor zastępczych źródłowych prądów gałęziowych
wektor prądów źródłowych pseudogałęzi
„całkowity” wektor prądów źródłowych
wektor zastępczych źródłowych prądów gałęzi i pseudogałęzi
liczba niezależnych węzłów obwodu
(rząd grafu)
liczba niezależnych oczek obwodu
(zerowość grafu)
moc „generatorowa”
moc „odbiornikowa”
rezystancja (opór elektryczny)
rezystancja wejściowa j-tej gałęzi
rezystancja międzygałęziowa j-tej gałęzi i k-tej gałęzi lub pseudogałęzi
rezystancja wewnętrzna źródła
przyrost rezystancji k-tej gałęzi
diagonalna macierz rezystancji gałęziowych
macierz rezystancji gałęziowych w
oczkach
macierz rezystancji oczkowych (własnych i wzajemnych)
napięcie
napięcie „generatorowe”
napięcie „odbiornikowe”
napięcie w stanie jałowym, tj. napięcie
na rozwartych zaciskach
przyrost napięcia na k-tej gałęzi
wektor napięć gałęziowych
potencjał
wektor potencjałów węzłowych
liczba węzłów w obwodzie
współczynnik incydencji k-tej gałęzi i
l-tego oczka
macierz incydencji gałęzi i oczek
współczynnik incydencji k-tej gałęzi
(lub pseudogałęzi) i i-tego węzła
macierz incydencji gałęzi i węzłów
macierz incydencji pseudogałęzi i węzłów
„całkowita” macierz incydencji węzłów
59
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Wykład VII. ANALIZA OBWODÓW NIEROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU STAŁEGO.
ELEMENTY TOPOLOGII OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH
Obwód liniowy nierozgałęziony, bez źródeł prądowych
Jeśli obwód jest liniowy i nie ma w nim rzeczywistych źródeł prądowych, to sumuje się napięcia
źródłowe oraz rezystancje w oczku, a następnie oblicza prąd z prawa Ohma:
n
∑ Ek
I=
k =1
n
,
(4.1)
∑ Rk
k =1
gdzie n - liczba gałęzi szeregowych w oczku (zawierających źródła i rezystancje).
Zwrot prądu odpowiada zwrotowi obiegu oczka, zgodnie z którym sumowane są napięcia źródłowe.
Rezystancje są traktowane w obwodzie jako elementy skupione, mimo to rysuje się czasami poglądowe wykresy rozkładu potencjału w obwodzie jako funkcje rezystancji, rosnącej zgodnie z przyjętym zwrotem obiegu oczka.
Przykład. Należy obliczyć wartość prądu i sporządzić wykres rozkładu potencjałów w obwodzie
pokazanym na rys. a.
U2
a)
Za węzeł odniesienia (potencjał V0 = 0) obrano punkt 0.
2’
2
1
Obliczenia:
∑ Ek = 24 − 6 − 2 = 16 V, ∑ Rk = 2 + 2 + 4 = 8 Ω,
k
2Ω
k
U1
16
I=
= 2 A;
8
V1' = 24 V,
V1 = 24 − 2 ⋅ 2 = 20 V,
U 1 = 20 − 0 = 20 V albo U1 = 24 − 2 ⋅ 2 = 20 V;
V2' = 20 − 6 = 14 V,
2Ω
6V
I
U3
4Ω
1’
24 V
2V
0
3
U4
V0 = 0
V2 = 14 − 2 ⋅ 2 = 10 V,
b)
U 2 = 20 − 10 = 10 V albo U 2 = 6 + 2 ⋅ 2 = 10 V;
V
VR
(1)
20
V3 = 10 − 4 ⋅ 2 = 2 V;
(2)
10
U 3 = 10 − 2 = 8 V albo U 3 = 4 ⋅ 2 = 8 V.
(3)
(0)
0
Rozkład potencjałów w obwodzie pokazano na rys. b.
2
4
6
R
8 Ω
Obwód liniowy nierozgałęziony, z rzeczywistymi źródłami prądowymi
Jeśli obwód jest liniowy i występują w nim rzeczywiste źródła prądowe, to można:
•
zamienić rzeczywiste źródła prądowe na napięciowe i postępować jak poprzednio (pamiętając
na końcu o wyznaczeniu prądów w wewnętrznych rezystancjach źródeł prądowych),
•
zastosować zasadę superpozycji w odniesieniu do wszystkich, wziętych razem, źródeł napięciowych oraz każdego, wziętego z osobna, idealnego źródła prądowego (wchodzącego w skład
źródła rzeczywistego).
Przykład. Należy obliczyć – na
dwa sposoby - wartości prądu w
obwodzie pokazanym na rys. a.
1. Po zamianie źródła otrzymuje
się układ (rys. b) znany z poprzedniego przykładu, zatem I = 2 A.
1
a)
Iw
12 A
6V
2Ω
0
1
b)
2Ω
4Ω
2V
I
2Ω
24 V
0
6V
2Ω
4Ω
2V
I
60
Wykład VII
Wracając do schematu zadanego (rys. a), wyznacza się wartość prądu w rezystancji źródła prądowego: Iw = 12 – 2 = 10 A .
2. Po zastosowaniu zasady superpozycji
8V
1
1
c’)
c’’)
otrzymuje się dwa obwody (rys. c’ i c’’).
Oblicza się składniki prądów w tych
I ’w
I’
I ’’
I ’’w
12 A
obwodach:
2Ω 6Ω
6
2
2Ω 6Ω
I ' w = ⋅ 12 = 9 A , I ' = ⋅ 12 = 3 A ;
8
8
0
0
8
I ' ' w = = 1 A , I ' ' = −1 A ;
8
a następnie dodaje, otrzymując prądy w obwodzie zadanym (rys. a):
I w = 9 + 1 = 10 A ,
I = 3 −1 = 2 A .
Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie analityczne
Jeśli jeden z rezystorów występujących w obwodzie nierozgałęzionym jest nieliniowy i dana jest
jego charakterystyka w postaci zależności analitycznej, to otrzymuje się nieliniowe równanie obwodu.
Przykład. Należy obliczyć wartość prądu w obwodzie pokazanym na rys. a. Charakterystyka statyczna U(I) rezystora nieliniowego jest monotoniczna (rys. b) i wyraża się wzorem liczbowym:
2 I 2
I ≥0
a)
b)
c)
U =
,
I A
U
A
− 2 I 2
I <0
6V 2Ω
I
[U] = 1 V, [I] = 1 A.
2Ω
4Ω
I
U
(Rs) Po zgrupowaniu elemen24 V
U
(Rs)
tów tego samego rodza16 V
2V
ju, otrzymuje się obwód
B
B
pokazany na rys. c.
2
Przy zgodnych zwrotach E i I zachodzi przypadek: I > 0 , U = 2⋅I . Równanie liczbowe obwodu
ma postać: 4 I + 2 I 2 = 16 , inaczej: I 2 + 2 I − 8 = 0 .
Rozwiązaniem tego równania, spełniającym warunek I > 0, jest I = 2 A.
Uwaga. Postać równania obwodu nieliniowego jest zwykle bardziej skomplikowana. Rozwiązanie
analityczne może stwarzać dużą trudność albo być w ogóle niosiągalne, często więc nie podejmuje
się w ogóle takiej próby, a stosuje od razu metodę graficzną lub numeryczną.
Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie graficzne
Jeśli jeden z rezystorów występujących w obwodzie nierozgałęzionym jest nieliniowy i dana jest
jego charakterystyka w postaci wykresu, to stosuje się metodę graficzną, nazywaną metodą przecięcia charakterystyk. Polega ona na tym, że pozostała część obwodu – aktywna, liniowa – zostaje
przedstawiona jako zastępcze źródło napięciowe lub prądowe i charakterystykę tego źródła (charakterystykę zewnętrzną źródła, odpowiadająca jego równaniu) „wrysowuje” się do układu współrzędnych, w którym przedstawiona jest charakterystyka rezystancji nieliniowej.
Obwód składa się zatem z dwóch gałęzi: źródłowej (liniowej) i odbiorczej (nieliniowej lub w szczególnym przypadku – liniowej).
Dla odróżnienia zapisu zależności (charakterystyk): I(U) oraz U(I), odnoszących się do gałęzi źródłowej i do gałęzi odbiorczej, posłużono się symbolami, odpowiednio: Igen(U) i Iodb(U) oraz Ugen(I)
i Uodb(I).
61
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Jeśli dana jest charakterystyka gałęzi odbiorczej
Uodb(I), to sporządzony wykres zastępczej gałęzi
źródłowej odpowiada równaniu:
U gen ( I ) = E − Rw ⋅ I ,
(4.2a)
a)
I
U
E
Rw
Ugen
Uodb
(Rs)
E
Uodb
Ugen
U
gdzie: E , Rw oraz I z = E Rw – parametry zastępczego źródła napięciowego.
Przecięcie wykresów funkcji Uodb(I) i Ugen(I)
wyznacza rozwiązanie U = Ugen = Uodb (rys. a).
I
0
I
Iz
b)
Igen
Iodb
I
Igen
Iźr
Iźr
Jeśli dana jest charakterystyka gałęzi odbiorczej
Iodb(U), to sporządzony wykres zastępczej gałęzi
źródłowej odpowiada równaniu:
I gen (U ) = I źr − Gw ⋅ U ,
(4.2b)
Iodb
gdzie: Iźr , Gw oraz U 0 = I źr G w – parametry
zastępczego źródła prądowego.
U
0
Przecięcie wykresów funkcji Iodb(U) i Igen(U)
U U0
wyznacza rozwiązanie I = Igen = Iodb (rys. b).
Uwaga. Zarówno gałąź źródłowa, jak i odbiorcza, może być gałęzią zastępczą układu o większej
liczbie elementów: gałąź źródłowa – rezystorów liniowych i źródeł, gałąź odbiorcza – rezystorów
liniowych oraz nieliniowych, i - ewentualnie - źródeł. Gałąź odbiorcza może więc być zarówno gałęzią pasywną, jak i aktywną (odbiornikiem aktywnym). Aby można było zastosować metodę przecięcia
charakterystyk, trzeba znać równanie gałęzi źródłowej i wykres I(U) lub U(I) gałęzi odbiorczej.
Przykład. Zostanie rozpatrzony obwód nieliniowy, który był poprzednio rozwiązany analitycznie.
Obwód pokazany obok otrzymano, jak
V U
I
poprzednio, po zgrupowaniu elementów
16
Ugen
tego samego rodzaju, występujących w
Uodb
12
gałęzi liniowej (źródłowej). Wzór licz4Ω
8
bowy tej gałęzi ma postać:
U
(R
)
s
16 V
4
Ugen(I) = 16 – 4 I ;
I
0
napięcie w stanie jałowym wynosi więc
0
1
2
3
4 A
16 V, a prąd zwarcia 4 A.
Charakterystyka gałęzi nieliniowej jest dana w postaci wykresu Uodb(I). Razem z nim przedstawiono wykres charakterystyki Ugen(I). Punkt przecięcia obu wykresów wyznacza rozwiązanie I = 2 A.
Gw
U
(Rs)
I
Obwód z rezystorem liniowym zadanym parametrycznie - rozwiązanie graficzne
Metoda przecięcia charakterystyk ma zastosowanie, w szczególności, do obwodu liniowego.
Przykład. Liniową gałąź źródłową (z poprzedniego przykładu)
A I
połączono ze zmienną rezystancją R. Na rysunku pokazano
4
schemat obwodu i wyjaśniono sposób wykreślnego sporządzenia zależności I(R).
3
R=24Ω 12Ω
20
U
R
8Ω
⇒
6Ω
15
4Ω
16 V
U
V
I
4Ω
3Ω
10
2Ω
1Ω
0Ω I
5
0
0
1
2
3
4
A
2
1
R
0
0
6
12
18
24 Ω
62
Wykład VII
Wstęp topologiczny do analizy rozgałęzionych obwodów elektrycznych
W ogólnej teorii sieci obwodowi elektrycznemu zostaje przyporządkowany graf strukturalny (inaczej: nieskierowany, niezorientowany), a po zaznaczeniu na nim zwrotów, odpowiadających przyjętym zwrotom prądu w gałęziach obwodu – graf skierowany (inaczej: zorientowany). Graf strukturalny pozwala określić cechy geometryczne obwodu, graf skierowany umożliwia zapisanie ogólnych zależności (równań obwodu), służących do wyznaczenia wartości prądów i napięć gałęziowych. Węzłom obwodu elektrycznego odpowiadają węzły (inaczej: wierzchołki) grafu, gałęziom
obwodu – gałęzie (inaczej: krawędzie) grafu. Wszystkie gałęzie są przedstawiane przy tym w jednakowej, tzw. normalnej (uogólnionej) postaci.
1
1
2
Węzły grafu oznacza się kropkami (zaczernionymi kółeczkami). Gałęzie grafu są przedstawiane jako odcinki linii z
(1, 2 – węzły gałęzi
węzłami na jego końcach. Węzły te noszą miano węzłów ga1
1
2
łęzi. Dla rozróżnienia węzłów gałęzi skierowanej określa się
je jako jej początek i koniec. Zwrot gałęzi skierowanej – od
(1 – początek gałęzi 1,
jej początku do jej końca – zaznacza się na rysunku strzałką
2 – koniec gałęzi 1)
otwartą (rys. obok).
Bez obu węzłów gałąź nie istnieje; jest zawsze z nimi związana. Taką relację związania przyjęto
nazywać incydencją. Każda gałąź jest zatem incydentna ze swymi węzłami.
Węzeł jest tworem autonomicznym, mogącym występować bez gałęzi (poza nią). Taki węzeł nazywa się izolowanym. Węzeł izolowany nie jest incydentny z żadną gałęzią.
Gałąź incydentna z jednym węzłem, tzn. taka, której wępętla
gałęzie równoległe
zły są złączone, nazywa się pętlą. Gałęzie incydentne z tą
samą parą węzłów, tzn. takie, których węzły są złączone
parami, nazywają się gałęziami równoległymi. Dwie nierównoległe gałęzie incydentne ze wspólnym węzłem, tzn.
gałęzie przyległe
takie, które mają złączone ze sobą po jednym węźle, nazywają się gałęziami przyległymi (rys. obok).
Graf bez pętli własnych i gałęzi równoległych nazywa się grafem prostym.
Liczbę gałęzi i węzłów grafu kojarzy się z liczbą niewiadomych prądów lub napięć gałęziowych. Idealne źródła prądowe nie tworzą same gałęzi w grafie obwodu (prądy źródłowe są z założenia znane).
„Samotne” idealne źródła prądowe nie są za1 I1
2
tem gałęziami, ale traktuje się jako elementy
1
1
2
autonomiczne. Takie źródła będą nazywane
I2
I
5
I4
4
pseudogałęziami i zaznaczane na grafie obwoI
3
3
5
du linią przerywaną. Zorientowanie pseudoga2
3
3
łęzi będzie przyjmowane zgodnie ze zwrotem
6 7
I6
jej prądu źródłowego. Przykładowy obwód
4
5
4
5
prądu stałego i jego graf skierowany pokazano
obok.
Identyczność grafów nie zależy od sposobu rysowania gałęzi i rozmieszczenia węzłów, tylko od
incydencji gałęzi z węzłami, czego ilustracją jest poniższy przykład.
1
2
2
1
3
1
4
5
4
6
3
≡
1
2
2
3
5
4
4
6
6
3
≡
1
1
2
2
3
3
5
4
4
63
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Graf, który można narysować w taki sposób, że gagraf planarny
graf nieplanarny
łęzie nie mają żadnych punktów wspólnych poza
węzłami, nazywa się planarnym (inaczej: płaskim),
w przeciwnym zaś wypadku – nieplanarnym (inaczej: przestrzennym). Obok przedstawiono przykłady.
Droga jest wyznaczona przez ciąg gałęzi przyległych, nie występujących więcej niż jeden raz (węzły mogą się powtarzać).
droga otwarta
droga zamknięta
Jeśli na krańcach drogi są różne
– od A do B
– od A do A
węzły, to taka droga nazywa się
B
A
drogą otwartą, jeśli natomiast
A
jest ten sam węzeł, to nazywa
się zamkniętą (rys. obok).
Jeśli między wszystkimi węzłami grafu istnieje droga, to taki graf oraz obwód elektryczny, który on
obrazuje, noszą nazwy jednospójnych (inaczej: jednoczęściowych), jeśli natomiast nie ma takiej
drogi, to ogólnie nazywa się je niespójnymi, a w szczególności, jeśli są spójne w swych częściach –
niejednospójnymi. Graf spójny, w którym istnieje taka gałąź, że po jej usunięciu staje się on niespójnym, nazywa się słabo spójnym. Poniżej przedstawiono przykłady.
graf jednospójny
graf niejednospójny
graf słabo spójny
Obwody elektryczne noszą takie same nazwy, jak grafy obrazujące ich strukturę. Z reguły mamy do
czynienia z obwodami planarnymi, jednospójnymi, bez pętli własnych.
Ścieżką nazywa się taką drogę, na której
żaden z węzłów nie występuje więcej niż
jeden raz; oczkiem nazywa się ścieżkę
będącą drogą zamkniętą (rys. obok).
ścieżka
oczko
Drzewo – wg definicji – jest to graf spójny, w którym nie występują oczka. Na ogół chodzi o drzewo, które jest podgrafem grafu spójnego i zawiera wszystkie jego węzły (podzbiór gałęzi zawierających wszystkie węzły, będący grafem spójnym bez oczek). Takie drzewo nazywa się drzewem
grafu lub dendrytem (inaczej: największym drzewem, drzewem rozpierającym). Graf spójny ma
zwykle wiele dendrytów.
W wypadku grafu niejednospójnego mówi się o drzewach jego części spójnych i zbiorze tworzonym przez te drzewa: lesie dendrytów.
Gałęzie drzewa nazywane są konarami. Gałąź grafu, której dodanie do drzewa tworzy dokładnie
jedno oczko, nazywa się cięciwą (inaczej: łącznikiem, struną, gałęzią dopełniającą, gałęzią zamykającą).
Kilka drzew przykładowego grafu, z
konarami narysowanymi grubymi liniami i cięciwami narysowanymi cienkimi
liniami, pokazano na rysunku obok.
Liczba gałęzi dendrytu (lasu dendrytów) określa rząd grafu. Rząd grafu obwodu elektrycznego odpowiada liczbie m jego węzłów niezależnych. Rząd grafu zerowego (bez gałęzi) jest równy zeru,
ponieważ z węzłem izolowanym nie są związane zmienne gałęziowe. Rząd każdego grafu spójnego
o w węzłach jest zatem równy m = w – 1, a liczba ta jest równa liczbie gałęzi dendrytu grafu spójnego. Rząd grafu niejednospójnego, złożonego z p części spójnych, jest równy m = w – p.
64
Wykład VII
Liczba cięciw dendrytu (lasu dendrytów) określa zerowość grafu. Zerowość grafu obwodu elektrycznego odpowiada liczbie n jego oczek niezależnych. Liczba cięciw dendrytu o m gałęziach – w
grafie spójnym o g gałęziach – jest równa n = g – m = g – w + 1. Liczba cięciw dendrytu o m gałęziach – w grafie niejednospójnym o g gałęziach, złożonym z p części spójnych – jest równa
n = g – m = g - w + p.
Tworzenie oczek niezależnych dobrze jest wiązać z wybranym dendrytem. Jedna z gałęzi w każdym oczku jest wtedy cięciwą, zaś pozostałe – konarami. Oczka takie nazywają się podstawowymi.
Obok przedstawiono przykłady z różnymi dendrytami
tego samego grafu (konary – linie grube, cięciwy –
linie cienkie, oczka podstawowe – linie kropkowane).
Pseudogałąź (linia przerywana) nie tworzy oczka!
Współczynniki incydencji
Z węzłami obwodu elektrycznego związane są prądowe równania równowagi, wynikające z
I prawa Kirchhoffa dla prądów gałęzi zbiegających się w węzłach niezależnych. W zapisie ogólnym
tych równań występują współczynniki incydencji gałęzi skierowanej (lub pseudogałęzi) i węzła,
których wartości – określone zgodnie z zasadą obowiązującą w teorii grafów – wynoszą:
+ 1
λik = 0
− 1
jeśli i - ty węzeł jest początkiem k - tej gałęzi (pseudogałęzi),
jeśli i - ty węzeł nie jest incydentny z k - tą gałęzią (pseudogałęzią),
jeśli i - ty węzeł jest końcem k - tej gałęzi (pseudogałęzi),
(4.3a)
gdzie: i – numer węzła, k – numer gałęzi lub pseudogałęzi, λik – współczynnik incydencji k-tej
gałęzi (lub pseudogałęzi) i i-tego węzła.
i
k
k
i
Obok przedstawiono poglądowy rysunek. Znak λik
jest przeciwny do znaku, z jakim w tradycyjnym
λik = 1
λik = –1
zapisie I prawa Kirchhoffa dla sumy prądów w i-tym
i
Ik > 0
Ik > 0 i
węźle występuje prąd k-tej gałęzi (tradycyjnie pisze
się prądy dopływające ze znakiem „plus”, zaś od(–Ik ) = (–λik )⋅ Ik
(+Ik ) = (–λik )⋅ Ik
pływające – ze znakiem „minus”).
Z oczkami obwodu elektrycznego związane są napięciowe równania równowagi, wynikające z
II prawa Kirchhoffa dla napięć gałęzi tworzących oczka niezależne. W zapisie ogólnym tych równań występują współczynniki incydencji gałęzi skierowanej i oczka, których wartości – określone
zgodnie z zasadą obowiązującą w teorii grafów – wynoszą:
+ 1
δ lk = 0
− 1
jeśli k - ta gałąź jest incydentna z l - tym oczkiem,
a zwrot jej jest zgodny ze zwrotem obiegu oczka,
jeśli k - ta gałąź nie jest incydentna z l - tym oczkiem,
jeśli k - ta gałąź jest incydentna z l - tym oczkiem,
(4.3b)
a zwrot jej jest przeciwny do zwrotu obiegu oczka.
gdzie: k – numer gałęzi, l – numer oczka, δlk – współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego
oczka.
Obok przedstawiono poglądowy rysunek. Obiegowi
k
k
zgodnemu ze zwrotem prądu Ik odpowiada napięcie
δlk = 1
δlk = –1
o znaku przeciwnym do napięcia „odbiornikowego”
l
l
Uk , a obiegowi ze zwrotem przeciwnym – napięcie
Ik > 0
Rk
Ik > 0
Rk
o znaku zgodnym (przy sumowaniu napięć gałęziowych zgodnie z ich zwrotem, zwrot obiegu powinien
(–Uk ) = (–δlk )⋅ Rk Ik
(+Uk ) = (–δlk )⋅ Rk Ik
być przeciwny do zwrotu δlk ).
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
65
Wykład VIII. GAŁĘZIE NORMALNE. PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE RÓWNANIA
RÓWNOWAGI. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM PRĄDÓW
Sposoby przedstawiania gałęzi
W stosunku do elementów tego samego rodzaju, występujących w różnych (k-tych) gałęziach obwodu, trzeba stosować jednakową konwencję strzałkowania prądów i napięć. Chodzi mianowicie o
jednolitą formę zapisu zależności między prądem gałęziowym Ik, napięciem gałęziowym Uk, źródłowym napięciem gałęziowym (napięciem gałęziowego idealnego źródła napięciowego) Ek i źródłowym prądem gałęziowym (prądem gałęziowego idealnego źródła prądowego) Iźr.k .
Zwrot prądu gałęziowego jest z zasady zgodny ze zwrotem gałęzi. Co do zwrotów pozostałych
wielkości, dopuszcza się dużą dowolność. Z dokonanego, formalnego w istocie, wyboru zwrotów
tych wielkości, wynikają określone postaci równań obwodu i związane z nimi kwestie obliczeniowe
(dotyczące znaków wielkości oraz charakteru poszczególnych elementów).
Standardową gałąź, obrazującą przyjęty system strzałkowania, nazywa się gałęzią normalną lub
uogólnioną. Będzie używana gałąź uogólniona o zgodnych zwrotach Ik, Ek i Iźr.k (odpowiadających
zwrotowi gałęzi), oraz przeciwnym do nich zwrocie Uk (przeciwnym do zwrotu gałęzi).
Źródłowy prąd gałęziowy Iźr.k może być traktowany
a)
Iwej.k
Ek
Rk IR.k = Ik
w dwojaki sposób: jako zewnętrzny (rys. a) bądź
jako wewnętrzny (rys. b) prąd gałęzi. Postać z zeIźr.k
wnętrznym prądem źródłowym Iźr.k pozwala
uwzględniać w równaniach obwodu prądy pseudoUk
gałęzi (idealnych źródeł prądowych, nie będących
elementami gałęzi). Nie ma natomiast takiej możlib)
Iwej.k = Ik
Ek Rk IR.k
wości, jeśli Iźr.k jest prądem wewnętrznym gałęzi.
Pseudogałęzie nie są w tym przypadku elementami
Iźr.k
autonomicznymi, co ogranicza ogólność rozważań.
Uk
Podstawową pełną postacią gałęzi uogólnionej jest
więc gałąź z zewnętrznym prądem źródłowym Iźr.k .
Zwroty napięcia gałęziowego Uk i prądu gałęziowego Ik są przeciwne, zatem gałęzie są strzałkowane odbiornikowo: Uk = Uk.odb. Iloczyn napięcia Uk i prądu Iwej.k jest wobec tego mocą pobieraną
przez gałąź z obwodu: Pk = Uk Iwej.k = Pk.odb. Idealne źródło prądowe jest również strzałkowane odbiornikowo, toteż iloczyn Uk Iźr.k wyraża moc pobieraną przez to źródło. W tym sensie jest więc ono
aktywnym odbiornikiem o prądzie Iźr.k. Aby otrzymać moc wydawaną przez idealne źródło prądowe, trzeba zmienić znak napięcia gałęziowego (Uk.gen Iźr.k = –Uk Iźr.k). Trzeba o tym pamiętać przy
sporządzaniu bilansu mocy obwodu. Zwroty źródłowego napięcia gałęziowego Ek i prądu w rezystancji IR.k są zgodne, więc ich iloczyn Ek IR.k wyraża moc wydawaną przez idealne źródło napięciowe.
Przedstawione wyżej, pełne postaci gałęzi uogólnionej określa się jako gałęzie napięciowo-prądowe.
W obwodach występują też postaci niepełne: gałęzie
Ik’
E k’ R k
c)
napięciowe (rys. c) i gałęzie prądowe (rys. d). Często jest to efekt zamian postaci gałęzi występujących
Uk
w danym obwodzie (postaci pełnej na jedną z niepełnych, albo niepełnej na inną niepełną), dokonanych dla uproszczenia analizy obwodu. Przy takich
d)
Ik’
Gk
zamianach ulegają zmianom wartości prądu w rezystancjach gałęziowych i wartości występującego na
Iźr.k’
nich napięcia, więc po znalezieniu rozwiązania
przekształconego obwodu trzeba „wrócić” do obwoUk
du pierwotnego i obliczyć wartości prądu (napięcia),
odpowiadające temu obwodowi.
66
Wykład VIII
Liczby prądowych i napięciowych równań równowagi obwodu
Jeśli jednospójny obwód elektryczny ma g gałęzi i w węzłów, to można napisać:
m = (w –1) prądowych równań równowagi – na podstawie I prawa Kirchhoffa,
n = (g – w +1) napięciowych równań równowagi – na podstawie II prawa Kirchhoffa.
Razem z g równaniami gałęziowymi, wystarcza to do wyznaczenia wartości wszystkich prądów i
napięć gałęziowych.
Równania równowagi muszą być od siebie liniowo niezależne, tzn. że ani w zbiorze m równań prądowych dla węzłów, ani w zbiorze n równań napięciowych dla oczek, żadne z nich nie może być
kombinacją liniową pozostałych.
Uznano wcześniej, że skoro jeden węzeł nie tworzy gałęzi (wyklucza się występowanie pętli), to w
obwodzie jednospójnym o w węzłach występuje m = (w –1) węzłów niezależnych. Równanie prądowe dla jednego z w węzłów jest więc zawsze kombinacją liniową (w –1) równań prądowych dla
węzłów pozostałych. Poniżej zostanie to udowodnione na drodze algebraicznej.
Na rysunku obok węzły są tak oznaczone, że na zewnątrz
przekroju Ko jest tylko węzeł o numerze w, a gałęzie mające w nim początek oraz węzły będące końcami tych gaw –1
Ko
łęzi mają numery od 1 do x.
1
w –2
W węzłach o numerach j = 1, ... , x (x ≤ w –1)
∑ I ij + I wj = 0 ,
słuszne jest równanie prądowe
i≠ j,
i =1,..., w−1
x
1
w
x
x
∑ I jw = −∑ I wj = 0 ,
zaś w węźle zewnętrznym:
j =1
x +2
x
j =1
x +1
x
x
stąd ∑ I jw = ∑ ∑ I ij = 0 ,
j =1
j =1 i ≠ j ,
i =1,..., w−1
gdzie: Iij – prąd gałęziowy zwrócony od węzła o numerze i do węzła o numerze j, Iwj – prąd gałęziowy od węzła w do węzła j, Ijw – prąd gałęziowy od węzła j do węzła w.
W pozostałych (w –1 – x) węzłach o numerach j = x+1, ... , w –1 , tj. w węzłach nie połączonych
bezpośrednio (poprzez pojedyncze gałęzie) z węzłem w, zachodzą zależności:
∑ I ij = 0 oraz I jw = 0 , więc
i≠ j,
i =1,..., w−1
w−1
Wobec powyższego:
∑ I jw = 0 .
j = x +1
∑ I jw
j =1
w−1
≡ ∑ ∑ I ij ≡ 0 .
j =1 i ≠ j ,
i =1,..., w−1
w−1
Wykazano zatem, że równanie prądów w jednym węźle jest liniowo zależne od równań prądów w
węzłach pozostałych.
Równania prądów w węzłach
Zostały utworzone macierze incydencji gałęzi (pseudogałęzi) i węzłów:
- g gałęzi i m węzłów
λ = λik m× g , i = 1, .. , m, k = 1, .. , g,
m× g
[ ]
(4.4a)
67
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
- h pseudogałęzi i m węzłów
λh = [λik ]m×h ,
i = 1, .. , m,
k = g+1, .. , g+h,
(4.4b)
m×h
- g gałęzi oraz h pseudogałęzi, i m węzłów („całkowitą” macierz incydencji węzłów)
=
λc
λ×g λh = [λik ]m×g [λik ]m×h , i = 1, .. , m, k = 1, .. , g+h , (4.4c)
m
m×( g + h )
m×h
gdzie λik – współczynnik incydencji k-tej gałęzi (lub pseudogłęzi) i i-tego węzła, zgodnie z określeniem (4.3a).
Zapisano w postaci wektorów:
- prądy gałęziowe i źródłowe prądy gałęziowe
(4.5a, b)
I = [I k ]g×1 , I źr = [I źr.k ]g×1 , k = 1, .. , g,
g ×1
[
]
g ×1
- prądy pseudogałęzi
I źr.h = [I źr.k ]h×1 ,
k = g+1, .. , g+h,
(4.5c)
h×1
- źródłowe prądy gałęzi i pseudogałęzi („całkowity” wektor prądów źródłowych)
I
gźr
×1
.....
I źr.c =
= [I źr .k ]( g + h )×1 ,
( g + h )×1
I
źr.h
h×1
- wejściowe prądy gałęzi
k = 1, .. , g+h,
(4.5d)
I wej = [I wej .k ]g×1 ,
k = 1, .. , g,
(4.5e)
I wej.h = [I wej.k ]h×1 ,
k = g+1, .. , g+h,
(4.5f)
g ×1
- wejściowe prądy pseudogałęzi
g ×1
- wejściowe prądy gałęzi i pseudogałęzi („całkowity” wektor prądów wejściowych)
I
wej
g ×1
I wej.c = . . . . . = I wej.k
( g + h )×1
I wej.h
h×1
[
a)
Iwej.k
Ek
Rk
Ik
Iwej.k
I wej.k = I źr .k ,
Iźr.k
I wej = I + I źr ,
g ×1
g ×1
( g + h )×1
.
k = 1, .. , g+h.
(4.5g)
Między prądami w gałęziach (rys. a) oraz między prądami w
pseudogałeziach (rys. b) zachodzą związki:
I wej.k = I k + I źr .k ,
k = 1, 2, ... , g ;
(4.6a)
Iźr.k
b)
]
g ×1
I wej.h = I źr.h ,
g ×1
g ×1
k = g +1, ... , g +h,
I
g ×1
I wej.c = . . . . . +
( g + h )×1
0
h×1
I źr.c
( g + h )×1
.
(4.6b)
(4.6c, d, e)
68
Wykład VIII
Wg I prawa Kirchhoffa, sumy prądów w węzłach obwodu jednospójnego o w węzłach tworzą układ
m = (w –1) prądowych równań równowagi:
- w wersji 1. (dodatnie znaki składników sumy odpowiadają prądom dopływającym) g +h
∑ (−λik ) ⋅ I wej.k = 0 ,
i = 1, ... , m ,
(4.7a’)
k =1
- w wersji 2. (dodatnie znaki składników sumy odpowiadają prądom wypływającym) g +h
∑ λik ⋅ I wej.k = 0 ,
i = 1, ... , m .
(4.7a”)
k =1
Forma (4.7a’) odzwierciedla tradycję, natomiast przyjęta definicja λik przemawia za wyborem formy (4.7a”), której odpowiada zapis macierzowy
λc ⋅ I wej.c = 0
m×( g + h )
( g + h )×1
.
(4.7b)
m×1
Rozłożywszy prądy wejściowe gałęzi w równaniach (4.7a”) i (4.7b), zgodnie ze wzorami (4.6a) i
(4.6c), na prądy wewnętrzne i zewnętrzne (źródłowe), otrzymuje się zależności:
g
g +h
k =1
k =1
∑ λik ⋅ I k = ∑ (−λik ) ⋅ I źr.k ,
λ ⋅ I = −λc ⋅ I źr.c
m× g g ×1
i = 1, ... , m ,
.
(4.7c)
(4.7d)
m×( g + h ) ( g + h )×1
Równania napięć w oczkach
Została utworzona macierz incydencji gałęzi i oczek
δ = [δ ]
n× g
lk n × g
,
l = 1, .. , n,
k = 1, .. , g .
(4.8a)
gdzie: k – numer gałęzi, l – numer oczka, δik – współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego oczka,
zgodnie z określeniem (4.3b).
Zapisano wektor napięć gałęziowych
k = 1, .. , g .
(4.8b)
U = [U k ] g ×1 ,
g ×1
Wg II prawa Kirchhoffa, sumy napięć gałęziowych w oczkach obwodu jednospójnego o w węzłach
tworzą układ n = (g – w +1) napięciowych równań równowagi:
g
∑ δ lk ⋅ U k = 0 ,
l = 1, ... , n ,
(4.9a)
k =1
któremu odpowiada zapis macierzowy
=0 .
δ ⋅U
g ×1
n×1
(4.9b)
n× g
Napięcia na pseudogałęziach są liniowymi kombinacjami napięć gałęziowych.
Równania równowagi względem prądów – postać ogólna
Iwej.k
Ek
Rk
Ik
UR.k
Iźr.k
Uk
Dla gałęzi uogólnionej o pełnej postaci, w której prąd źródła prądowego Iźr.k jest prądem zewnętrznym gałęzi, a
zwrot jego jest zgodny ze zwrotem prądu Ik (rys.), otrzymuje się napięciowe równania gałęziowe:
U k = U R.k − E k = Rk ⋅ I k − E k , k = 1, .. , g , (4.10a)
= R⋅ I −E ,
U
g × g g ×1 g ×1
g ×1
(4.10b)
69
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
gdzie:
- diagonalna macierz rezystancji gałęziowych
R = [Rkk ]g×g = diag R1 , R2 , ... , Rg ,
[
g× g
- wektor źródłowych napięć gałęziowych
E = Ek
g ×1
[ ]
,
g ×1
]
(4.10c)
k = 1, .. , g .
(4.10d)
Napięciowe równania równowagi (4.9a) i (4.9b), po uwzględnieniu zależności gałęziowych (4.10a)
i (4.10b), przybierają następujące postaci:
g
g
k =1
k =1
∑ δ lk ⋅ Rk ⋅ I k + ∑ (−δ lk ) ⋅ Ek = 0 ,
δ ⋅R⋅I
+
n× g g × g g ×1
g
∑δ
albo
k =1
(−δ )⋅ E = 0 ,
g ×1
n× g
n×1
g
lk
⋅ Rk ⋅ I k = ∑ δlk ⋅ E k ,
l = 1, ... , n ;
(4.11a)
k =1
δ ⋅ R⋅ I = δ ⋅E
n× g
l = 1, ... , n ,
g×g
g ×1
n× g
g ×1
.
(4.11b)
W przypadku gałęzi bezrezystancyjnej, tzn. zawierającej tylko idealne źródło napięciowe, we właściwym miejscu macierzy R wstawia się zero.
Wyrażenia (4.7d) i (4.11b):
,
δ ⋅ R ⋅ I = nδ× g ⋅ E
λ ⋅ gI×1 = −λc ⋅ I źr.c ,
g ×1
n × g g × g g ×1
m× g
m×( g + h ) ( g + h )×1
tworzą razem układ g równań z g niewiadomymi, którymi są prądy gałęziowe (równania obwodu
względem prądów). Równania te można zapisać łącznie, w dwóch równoważnych postaciach, jako:
- pełne równanie równowagi względem prądów
−λ
0
λ
0
m× g
m×( g +ch )
m× g
m× g
. . . .
. . . . . . . .
. . . .
. . . .
⋅ R + ⋅ I = ⋅ E +
⋅ I źr.c ,
g
×
g
g
×
1
g
×
1
( g + h )×1
0
δ
0
nδ× g
n×( g + h )
n× g
n× g
(4.12a)
- skrócone równanie równowagi względem prądów
I
λ
mw×1
m× g
.
.
.
.
.
⋅ = . . . . . . ,
gI×1
Eo
Rl
n×1
n× g
(4.12b)
gdzie:
- macierz rezystancji gałęziowych w oczkach (skierowanych wzdłuż oczek)
Rl = δ ⋅ R ,
n× g
n× g
g× g
(4.12c)
- wektor wydajności źródeł prądowych do węzłów, tj. źródłowych prądów dopływających do
węzłów (wydawanych do węzłów)
(4.12d)
I w = −λc ⋅ I źr.c ,
m×1
m×( g + h ) ( g + h )×1
70
Wykład VIII
- wektor źródłowych napięć (sem) oczkowych
Eo = δ ⋅ E .
n ×1
n× g
(4.12e)
g ×1
Trzeba wyjaśnić, że:
- elementy macierzy Rl są rezystancjami k-tych gałęzi, przy czym opatrujemy je znakiem „plus”,
jeśli zwrot prądu Ik jest zgodny ze zwrotem obiegu l-tego oczka, a znakiem „minus”, jeśli zwrot
prądu Ik jest przeciwny do zwrotu obiegu l-tego oczka,
- elementy wektora Iw są sumami źródłowych prądów gałęziowych dopływających do kolejnych
węzłów (dopływające prądy źródłowe występują w sumie ze znakiem „plus”, zaś odpływające – ze
znakiem „minus”),
- elementy wektora Eo są sumami źródłowych napięć gałęziowych występujących w oczkach,
przy czym te źródłowe napięcia bierzemy ze znakiem „plus”, jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem obiegu oczka, a ze znakiem „minus” – jeśli jest przeciwny.
Przykład 1. Gałęzie w obwodzie pokazanym na rys. a mają z założenia postać napięciowoprądową. Obliczane są wartości prądów gałęziowych.
10 Ω
I1
a)
1
I2 10 Ω
I3
1 24 Ω
140 V
2 10 Ω I4
b)
1
2
1
2
4,6 A
2
1
180 V
3
2
4
Źródło prądowe i gałąź z prądem I4 są jednym obiektem (jedną gałęzią). Graf obwodu z wybranym
drzewem przedstawiono na rys. b. Stopień złożoności obwodu określają: w = 3, g = 4, h = 0, stąd
m = 2, n = 2.
Wybrano i oznaczono – na rys. a i b – węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2).
I. Wyznaczono macierze incydencji, macierz rezystancji gałęziowych oraz wektory źródłowych
napięć i prądów gałęziowych:
- 1 - 1 1 0
1 0 1 0
=
,
= λ ,
=
λ
,
λ
δ
c
0
1
1
1
0 1 0 - 1
m× g
m
×
g
n
×
g
m×( g + h )
R
g× g
10
0
=
0
0
0 0 0
10 0 0
,
0 24 0
0 0 10
140
0
,
=
E
0
g ×1
180
0
0
I źr = 0 ,
g ×1
4,6
I źr.c = I źr
( g + h )×1
g ×1
Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.12a):
0 0 0 0 10
0 0 0 0 0
1 0 1 0 ⋅ 0
0 1 1 1 0
0 0 0 - 1 - 1 1 0 I 1
10 0 0 0 1 0 - 1 I 2
+
⋅
=
0 24 0 0 0 0 0 I 3
0 0 10 0 0 0 0 I 4
0 0 0 0 140 1 1 - 1 0 0
0 0 0 0 0 0 - 1 0 1 0
.
⋅
+
⋅
=
1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 180 0 0 0 0 4,6
.
71
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Po wykonaniu działań (wyniki można odczytać ze schematu, zgodnie z podanymi wyżej regułami):
10 0 24 0
0
140
Rl = δ ⋅ R = 0 10 24 10 , I w = −λc ⋅ I źr.c = 4,6 , Eo = δ ⋅ E = 180 ,
n× g g ×1
n× g g × g
n×1
n× g
m×1
m×( g + h ) ( g + h )×1
otrzymano równanie w skróconej formie (4.12b):
- 1 - 1 1 0 I1 0
0 1 0 - 1 I 4,6
⋅ 2 =
, którego rozwiązaniem jest
10 0 24 0 I 3 140
0 10 24 10 I 4 180
I1 0,8
I
4,7
2
=
Ig×1 I 3 = 5,5 A.
I 4 0,1
II. Zapisano równania równowagi na podstawie wzorów (4.7c) i (4.11a), bez wprowadzania macierzy incydencji – wg schematu obwodu:
− I1 − I 2 + I 3 = 0 ,
I 2 − I 4 = 4,6 ,
10 ⋅ I1 + 24 ⋅ I 3 = 140 ,
10 ⋅ I 2 + 24 ⋅ I 3 + 10 ⋅ I 4 = 180 .
Równanie macierzowe, scalające powyższy układ równań, odpowiada podanemu wyżej równaniu
skróconemu.
Uwaga. Korzystanie z pełnej formy zapisu równań równowagi ma uzasadnienie tylko wtedy, jeśli
do rozwiązania tych równań używa się odpowiedniego programu komputerowego. Jeśli nie ma takiej możliwości (korzysta się ze zwykłego kalkulatora), należy pisać od razu równania skrócone.
Przykład 2. W obwodzie z poprzedniego przykładu, pokazanym na rys. a, występuje pseudogałąź i
gałęzie o postaci napięciowej . Obliczane są wartości prądów gałęziowych.
a)
I1
10 Ω
1
I2 10 Ω
I3
140 V
1 24 Ω
2 10 Ω I4
b)
1
2
1
4,6 A
2
180 V
1
3
2
2
4
5
Graf obwodu z wybranym drzewem przedstawiono na rys. b. Stopień złożoności obwodu określają:
w = 3, g = 4, h = 1, stąd m = 2, n = 2, g + h = 5.
Wybrano i oznaczono – na rys. a i b – węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2).
Wyznaczono „całkowitą” macierz incydencji węzłów i „całkowity” wektor prądów źródłowych
(inne macierze i wektory – bez zmian):
0
0
1
1
1
0
0
0
λc = 0 1 0 - 1 - 1 , I źr.c = 0 , stąd I w = −λc ⋅ I źr.c = 4,6 .
m×( g + h )
( g + h )×1
m×1
m×( g + h ) ( g + h )×1
0
4,6
Jest to ten sam wektor, który występuje w poprzednim przykładzie – w skróconym równaniu równowagi obwodu.
Równania równowagi zapisane bez wprowadzania macierzy incydencji – na podstawie wzorów
(4.7c) i (4.11a) – również nie różnią się od podanych w poprzednim przykładzie.
Postać równań jest taka jak wcześniej, więc i rozwiązanie obwodu jest takie same jak poprzednio.
72
Wykład VIII
Równania równowagi względem prądów dla obwodów z gałęziami napięciowymi
Jeśli w obwodzie wszystkie gałęzie są sprowadzone do postaci
napięciowej (rys. obok), to wzory (4.12a) i (4.12b) – przedstawiające równania równowagi (pełne i skrócone) względem prąUk
dów – można zapisać następująco:
I
λ
− λ
0
λ
0
w
.
h
m× g
h
m× g
m×h
m× g
m× g
m×1
.
.
.
.
.
. . . . ⋅
.
.
.
.
.
.
.
.
⋅ = ...... ,
........ ⋅ I
,
(4.13a, b)
R + ⋅ I ' = ⋅ E' +
źr
.
h
gI×1'
h×1
g×g
g ×1
g ×1
δ
Eo '
Rl
0
n0
nδ× g
n
×
g
×
g
n×h
n× g
n×1
gdzie:
- wektor zastępczych prądów gałęziowych
(4.13c)
I ' = gI×1 + I źr ,
g ×1
Ik ’
Ek’
Rk
g ×1
- wektor wydajności pseudogałęzi do węzłów, tj. prądów pseudogałęzi dopływających do węzłów
(4.13d)
I w.h = −λh ⋅ I źr.h ,
m×1
m×h
h×1
- wektor zastępczych źródłowych napięć gałęziowych
+ R ⋅I
,
'= E
E
źr
g ×1
g ×1 g × g
(4.13e)
- wektor zastępczych źródłowych napięć (sem) oczkowych
Eo ' = δ ⋅ E ' .
n× g g ×1
(4.13f)
g ×1
n×1
Wektory E’ i I’ wyrażają wartości napięć źródłowych oraz prądów gałęziowych układu zastępczego.
Prądy gałęziowe układu pierwotnego (zastąpionego obwodem rozwiązywanym) oblicza się ze wzoru
(4.14)
I = gI×1' − I źr .
g ×1
g ×1
Przykład. W obwodzie z poprzednich przykładów (rys. a) nie ma pseudogałęzi, a gałąź ze źródłem
prądowym jest przedstawiona w postaci zastępczej gałęzi napięciowej (rys. b). Obliczane są wartości prądów gałęziowych.
I1 10 Ω 1 I2 10 Ω 2 10 Ω I4
I1 10 Ω 1 I2 10 Ω 2 10 Ω I4’
a)
b)
I3
140 V
1 24 Ω
I3
4,6 A
2
180 V
140 V
2
1 24 Ω
Po przedstawieniu źródła prądowego wraz z gałęzią 4 – w postaci
napięciowej 4’, węzeł 2 ma znaczenie tylko formalne, bowiem I4’ = I2 .
„Scalając” gałęzie 2 i 4’ otrzymuje się graf obwodu pokazany na
1 0 1
rys. c, dla którego: λ = [- 1 - 1 1 ] , δ =
.
m× g
n× g
0 1 1
c)
1
1
226 V
2
1
3
2
(2)
4’
Rozwiązaniem otrzymanego skróconego równania równowagi obwodu
I1 0,8
- 1 - 1 1 I1 0
10 0 24 ⋅ I = 140 jest I = 4,7 ; prąd w 4. gałęzi I = I – I = 4,7 – 4,6 = 0,1 A.
4
2
źr.4
2
2
I 3 5,5
0 20 24 I 3 226
73
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Wykład IX. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM NAPIĘĆ.
METODA OCZKOWA. METODA WĘZŁOWA
Równania równowagi względem napięć
Zakładając, że obwodzie nie występują gałęzie bezrezystancyjne (tzn. są tylko takie, jakie pokazano
poniżej na rysunku, przy czym Ek oraz Iźr.k mogą być równe zeru), zapisano zależności (4.10a) i
(4.10b):
U k = Rk ⋅ I k − E k ,
Ek
Ik
k = 1, .. , g ,
Iźr.k
= R⋅ I −E ,
U
g × g g ×1 g ×1
g ×1
w następującej postaci:
Rk ; Gk
Uk
I k = Gk ⋅ (U k + E k ) = Gk ⋅ U k + Gk ⋅ E k ,
k = 1, .. , g ,
⋅U + G ⋅ E ,
I =G
g × g g ×1 g × g g ×1
(4.15a)
(4.15b)
g ×1
1
, zaś macierz konduktancji gałęziowych
Rk
przy czym konduktancja k-tej gałęzi Gk =
= [Gkk ]g× g = diag [G1 , G2 , ... , G g ] .
G
g× g
(4.15c)
W związku z tym, wyrażenia (4.7c) i (4.7d):
g
g +h
k =1
k =1
∑ λik ⋅ I k = ∑ (−λik ) ⋅ I źr.k ,
λ ⋅ I = −λc ⋅ I źr.c
m× g g ×1
i = 1, ... , m ,
,
m×( g + h ) ( g + h )×1
przybierają formy:
g
g
g +h
k =1
k =1
k =1
∑ λik ⋅ Gk ⋅ U k = ∑ (−λik ) ⋅ Gk ⋅ Ek + ∑ (−λik ) ⋅ I źr.k ,
i = 1, ... , m ,
= (−λ ) ⋅ G ⋅ E + (−λ ) ⋅ I
λ ⋅ G ⋅U
c
źr.c
g ×1
g × g g ×1
m× g g × g
albo
m× g
m×( g + h )
gdzie
I w = −λc ⋅ I źr.c
m×1
m× g
(4.16b)
( g + h )×1
= (−λ ) ⋅ G ⋅ E + I
λ ⋅ G ⋅U
w
g ×1
g × g g ×1
m× g g × g
(4.16a)
,
(4.16c)
m×1
jest wektorem wydajności źródeł prądowych do węzłów (4.12d).
m×( g + h ) ( g + h )×1
Wyrażenia (4.16b) lub (4.16c), wraz z napięciowym równaniem równowagi (4.9b):
δ ⋅U = 0
n× g
g ×1
n ×1
,
tworzą razem układ g równań z g niewiadomymi, którymi są napięcia gałęziowe (równania obwodu
względem napięć). Równania te można zapisać łącznie, w dwóch równoważnych postaciach, jako:
- pełne równanie równowagi względem napięć
−λ
λ
0
− λ
m× g
m×( g +ch )
m× g
m× g
. . . . ⋅
⋅I
. . . .
. . . . ⋅ G ⋅ E + . . . .
,
G + ⋅U =
.c
( g źr
g×g
g ×1
g × g g ×1
+
h
)
×
1
0
0
nδ× g
n0
×g
n× g
n×( g + h )
(4.17a)
74
Wykład IX
albo
−λ
λ
0
m× g
m×( g +ch )
m× g
. . . . ⋅
.
.
.
.
. . . .
⋅I
,
G + ⋅U =
.c '
( gźr
g×g
g ×1
0
0 + h )×1
nδ× g
n× g
n×( g + h )
(4.17b)
- skrócone równanie równowagi względem napięć
G
I '
m× gi
mw×1
..... ⋅
= ...... ,
U
g ×1
δ
0
n×1
n× g
(4.18)
gdzie:
- wektor zastępczych źródłowych prądów gałęzi i pseudogałęzi
I '
gźr
×1
,
.
.
.
.
.
I źr.c ' =
( g + h )×1
I źr.h
h×1
- wektor zastępczych źródłowych prądów gałęziowych
I źr ' = G ⋅ E + I źr
g ×1
g × g g ×1
(4.19a)
,
(4.19b)
g ×1
- macierz konduktancji gałęziowych w węzłach (skierowanych od węzłów)
Gi = λ ⋅ G ,
m× g
m× g
(4.19c)
g×g
- wektor zastępczych wydajności źródeł do węzłów, tj. zastępczych źródłowych prądów dopływających do węzłów (wydawanych do węzłów)
I w ' = (−λ ) ⋅ G ⋅ E + (−λc ) ⋅ I źr.c = (−Gi ) ⋅ E + I w
m×1
albo
m× g
g×g
g ×1
m×( g + h )
( g + h )×1
m× g
g ×1
.
(4.19d)
m×1
I w ' = (−λ ) ⋅ G ⋅ E + I w = −λc ⋅ I źr.c ' .
m×1
m× g
g × g g ×1
m×1
(4.19e)
m×( g + h ) ( g + h )×1
Wektor Iźr’ złożony z g elementów odnosi się do zastępczych
gałęzi o postaci prądowej (rys. obok). Wyraża on wartości prądów źródłowych gałęzi danych w postaci prądowej albo otrzymanych po sprowadzeniu gałęzi o postaci napięciowo-prądowej
lub napięciowej do postaci prądowej.
Ik ’
Gk
Iźr.k’
Uk
Trzeba wyjaśnić, że:
- elementy macierzy Gi są konduktancjami k-tych gałęzi, przy czym opatrujemy je znakiem
„plus”, jeśli prąd Ik wypływa z i-tego węzła, a znakiem „minus”, jeśli prąd Ik dopływa do i-tego
węzła,
- elementy wektora Iw’ są zastępczymi źródłowymi prądami, dopływającymi do kolejnych węzłów, tzn. sumami zastępczych źródłowych prądów gałęziowych i prądów pseudogałęzi, dopływających do węzłów (zgodnie z umową, napięcia źródłowe i prądy źródłowe mają taki sam zwrot jak
prądy w rezystancjach gałęziowych).
75
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Przykład. Obwód – z poprzednich przykładów – jest pokazany na rys. a; graf obwodu – na rys. b.
Na schemacie obwodu zaznaczono napięcia gałęziowe. Obliczane są ich wartości, a następnie –
wartości prądów gałęziowych.
I1
a)
10 Ω
I2
I3
U1
140 V
1
24 Ω
10 Ω
U2
2 10 Ω
1
2
1
1
4,6 A
2
1
b)
180 V
U4
U3
I4
3
2
2
4
Węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2) wybrano tak, jak poprzednio. Źródło prądowe i
gałąź z prądem I4 są jednym obiektem (w obwodzie nie ma pseudogałęzi, więc h = 0).
I. Wyznaczono macierze incydencji, macierz konduktancji gałęziowych oraz wektory źródłowych
napięć i prądów gałęziowych:
- 1 - 1 1 0
,
1 0 - 1
λc
λ = 0
m× g
1
10
0
=
G
g×g
0
0
0
0
1
0
10
1
0
24
0
0
0
0
,
0
1
10
=
m×( g + h )
λ
m× g
140
0
,
=
E
0
g ×1
180
,
1 0 1 0
,
1 1 1
δ = 0
n× g
0
0
I źr = 0 ,
g ×1
4,6
I źr.c = I źr
( g + h )×1
.
g ×1
Ze wzoru (4.19b) wyznaczono wektor zastępczych źródłowych prądów gałęziowych
1
10
0
I źr.c ' = I źr.c =
g ×1
g ×1
0
0
0
0
1
10
0
0
1
24
0
0
0
140 0 14
0
0 0 0
=
.
+
⋅
0
0
0
0
180 4,6 22,6
1
10
Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.17b):
- 1
0
0
0
-1 1
1
0
0 0
0 0
1
10 0
0 1
0
- 1 10
⋅
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0 0 0 U 1
1
0 0
U
0 0 0 0 2 0
⋅
=
+
U 3 0
1
0
1
0
1
0
24 0 1 1 1 U 4 0
1
0
10
1 - 1 0 14
- 1 0 1 0
⋅
.
0 0 0 0
0 0 0 22,6
76
Wykład IX
Po wykonaniu działań (wyniki można odczytać ze schematu, zgodnie z podanymi wyżej regułami):
1
1
1
0
− 10 − 10
24
,
Gi =
1
1
0
m× g
0 −
10
10
otrzymano równanie w skróconej formie (4.18):
1
− 10
0
1
0
−
1
10
1
10
0
1
14
I w ' = 22,6 ,
m×1
0
U 1 14
U
1
22,6
0 − ⋅ 2 =
, którego rozwiązaniem jest
10 U 3 0
1
0 U 0
4
1
1
1
24
U 1 - 132
U
2 = 47 V.
=
U
U 3 132
g ×1
U 4 - 179
II. Zapisano równania równowagi – wg schematu obwodu – na podstawie wzorów: (4.16a) i (4.9a),
pamiętając o przeciwnych zwrotach prądu i napięcia gałęziowego (sumowanie napięć przy przeciwnym zwrocie obiegu oczka):
1
1
1
1
− U 1 − U 2 + U 3 = ⋅ 140 ,
10
10
24
10
1
1
1
U 2 − U 4 = ⋅ 180 + 4,6 ,
10
10
10
U1 + U 3 = 0 ,
U2 +U3 +U4 = 0 .
Równanie macierzowe, scalające powyższy układ równań, odpowiada podanemu wyżej równaniu
skróconemu.
III. Obliczono wartości prądów gałęziowych, wg wzoru (4.15a):
I1 = G1 (U1 + E1) = 0,8 A; I2 = G2 U2 = 4,7 A; I3 = G3 U3 = 5,5 A; I4 = G4 (U4 + E4) = 0,1 A.
Metoda oczkowa (dla obwodów ze źródłami napięciowymi)
Przedmiotem rozważań są obwody liniowe prądu stałego, w
Ik ’
Ek’ Rk
których nie ma idealnych źródeł prądowych, tzn. nie występują
pseudogałęzie, a wszystkie aktywne gałęzie (gałęzie zastępcze)
Uk
mają postać napięciową (rys. obok).
Dla ujednolicenia zapisu wszystkie prądy gałęziowe i źródłowe napięcia gałęziowe są traktowane
jako prądy oraz źródłowe napięcia zastępczych gałęzi o postaci napięciowej.
Umyśliwszy sobie takie prądy Iol (l = 1, ... , n), zwane prądami oczkowymi, które płyną wokół n
oczek niezależnych, przedstawia się prądy gałęziowe jako sumy lub różnice niektórych z tych prądów, stosownie do incydencji oraz zwrotów gałęzi i oczek:
k
⋅I ,
(4.20a)
I' = α
o
g ×1
g ×n n×1
δlk = 1
l
gdzie wektor prądów oczkowych
(4.20b)
Σ Ikl = Ik > 0
Rk
I o = [ I ol ]n×1 .
n ×1
Iol
Ikl = Iol =αkl ⋅ Iol ;
αkl = δlk
αkl = 1
Elementy macierzy przekształcenia α wyznacza się wg tych samych reguł, co elementy macierzy incydencji δ (chodzi o incydencję oczek i gałęzi oraz o zwrot obiegu oczka i zwrot incydentnej z nim gałęzi). Wyjaśniono to obok na rysunku.
77
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Macierz incydencji δ określa przynależność gałęzi do oczek. Macierz przekształcenia α określa
przynależność oczek do gałęzi. Przestawione są więc wskaźniki elementów, co oznacza, że macierz α jest macierzą transponowaną macierzy δ :
T
zatem
δ = δ T ,
=
α
n× g
g ×n
g ×n
(4.20c)
Ig×1' = δ T ⋅ I o
(4.20d)
g ×n
Napięciowe równanie równowagi (4.11b):
n×1
δ ⋅ R⋅ I = δ ⋅E ,
n× g
E = E’ i (4.20d), przyjmuje postać:
.
g×g
g ×1
n× g
g ×1
po podstawieniach: I = I’ ,
T
δn×g ⋅ gR×g ⋅ δg×n ⋅ I o = nδ×g ⋅ E
',
g ×1
(4.21a)
Ro ⋅ I o = Eo ' ,
(4.21b)
g ×1
co można zapisać jako
n×n
n×1
n×1
gdzie:
- macierz rezystancji oczkowych (własnych i wzajemnych)
Ro = δ ⋅ R ⋅ δ T = Rl ⋅ δ T ,
n× g g × g g ×n
g ×n
n×n
(4.21c)
n× g
- określona wzorem (4.12c) macierz rezystancji gałęziowych w oczkach
Rl = δ ⋅ R ,
n× g
n× g
(4.21d)
g× g
- określony wzorem (4.13e) wektor zastępczych źródłowych napięć gałęziowych
+ R ⋅I .
'= E
E
źr
g ×1
g ×1 g × g
(4.21e)
- określony wzorem (4.13f) wektor źródłowych napięć (sem) oczkowych
Eo ' = δ ⋅ E ' .
n× g g ×1
(4.21f)
g ×1
n×1
Dzięki przekształceniu (4.20a), liczba rozwiązywanych równań obwodu zmniejsza się z g równań
równowagi (g – liczba gałęzi) do n równań oczkowych (n – liczba oczek niezależnych).
Macierz rezystancji oczkowych (symetryczna)
(4.22)
Ro = R jl ,
n×n
[ ]
n×n
gdzie: j, l – numery oczek,
składa się z następujących elementów:
- leżących na głównej przekątnej (j = l) rezystancji własnych oczek Rjj , które są sumami rezystancji gałęzi wchodzących w skład j-tych oczek,
- leżących poza przekątną główną, symetrycznie po obu jej stronach (j ≠ l), rezystancji wzajemnych oczek Rjl = Rlj , których wartości bezwzględne są równe wartościom rezystancji gałęzi wchodzących jednocześnie w skład j-tych i l-tych oczek, natomiast znaki zależą od zgodności obiegania
tych wspólnych rezystancji w rozważanych oczkach, tzn. przy zgodnym zwrocie obiegu w oczkach
j-tym i l-tym Rjl = Rlj są dodatnie, a przy przeciwnym – ujemne.
Warto przypomnieć, że reprezentantami wybranych oczek niezależnych obwodu są oczka podstawowe grafu obwodu, tworzone przez konary drzewa i jego cięciwy. Prądy oczkowe są wobec tego
prądami w gałęziach obwodu reprezentowanych przez cięciwy. Prądy w gałęziach obwodu reprezentowanych przez konary są natomiast liniową kombinacją prądów oczkowych, zwykle sumą
dwóch z nich, albo różnicą.
78
Wykład IX
Przykład 1. Obwód dany – rys. a; obwód zastępczy (po zamianie źródła prądowego) – rys. b; graf
obwodu zastępczego – rys. c. Obliczane są prądy gałęziowe obwodu danego.
a)
b)
c)
I1
10 Ω
I2 10 Ω
10 Ω I4
I1
10 Ω
I3
140 V
24 Ω
I3
Io1
180 V
4,6 A
140 V
I2 20 Ω
24 Ω
1
2
1
3 2
226 V
Io2
Zaznaczonym oczkom niezależnym: 1 i 2, odpowiadają prądy oczkowe: Io1 i Io2
Zapisano równanie oczkowe (4.21b) obwodu zastępczego:
I o1 0,8
34 24 I o1 140
i
rozwi
ą
zano
je
uzyskuj
ą
c
⋅
=
I = 4,7 A.
24 44 I
o 2 226
o2
Określono wartości prądów gałęziowych w obwodzie zastępczym (wg rys. b) i danym (wg rys. a):
I1 = Io1 = 0,8 A,
I2 = Io2 = 4,7 A,
I3 = Io1 + Io2 = 5,5 A,
I4 = I2 – 4,6 = 0,1 A.
Przykład 2. Obwód dany (z przyjętymi prądami oczkowymi) pokazano na rys. a. Obliczane są prądy gałęziowe tego obwodu.
a)
b)
I1 3 Ω
I2 3 Ω
I4
I1 3 Ω
I2 3 Ω
30 V
Io1
6Ω
I3
Io2
15 V
I6
I5
Io3
3Ω
15 V
30 V
I3
Io1
6Ω
Io2
15 V
15 V
I6
Rozwiązaniem równania oczkowego danego obwodu (rys. a):
I o1 2
9 - 6 0 I o1 30
- 6 12 - 3 ⋅ I = - 15 , jest I = - 2 , zatem: I = I = 2 A,
1
o1
o2
o2
I o3 - 7
0 - 3 3 I o3 - 15
I3 = Io1 – Io2 = 4 A,
I4 = –Io3 = 7 A,
I5 = Io2 – Io3 = 5 A,
I2 = Io2 = – 2 A,
I6 = –Io2 = 2 A.
Postawiony problem można rozwiązać prościej (szybciej), ponieważ gałąź nr 4 jest bezrezystancyjna i
źródło tej gałęzi zasila bezpośrednio gałąź nr 5. Wartość prądu I5 = 5 A oblicza się z prawa Ohma.
Eliminując gałąź nr 5 (połączenie „nieistotne” dla części obwodu poza gałęziami nr 4 i 5), otrzymuje
się obwód pomocniczy o dwóch oczkach, pokazany na rys. b. Rozwiązaniem jego równania:
I o1 2
9 - 6 I o1 30
- 6 9 ⋅ I = - 30 , jest I = - 2 , zatem I1 = Io1 = 2 A,
o2
o2
I3 = Io1 – Io2 = 4 A,
I6 = – Io2 = 2 A,
oraz
I5 = 5 A,
I2 = Io2 = – 2 A,
I4 = I5 – I2 = 7 A.
Metoda węzłowa (dla obwodów ze źródłami prądowymi)
Przedmiotem rozważań są obwody liniowe prądu stałego, w których nie występują gałęzie będące idealnymi źródłami napięciowymi (wszystkie aktywne gałęzie można sprowadzić do postaci
prądowej – rys. obok); mogą też występować pseudogałęzie.
Dla ujednolicenia zapisu wszystkie źródłowe prądy gałęziowe
są traktowane jako źródłowe prądy zastępczych gałęzi o postaci
prądowej.
Gk
Iźr.k’
Uk
79
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Zgodnie z zależnością (4.16b), prądowe równanie równowagi wyraża się następująco:
= (−λ ) ⋅ G ⋅ E + (−λ ) ⋅ I
λ ⋅ G ⋅U
c
źr.c
g ×1
g × g g ×1
m× g g × g
m× g
m×( g + h )
(4.23)
( g + h )×1
Jeśli jeden z węzłów obierze się za węzeł odniesienia i przypisze mu potencjał równy zeru Vo = 0,
to zależności między potencjałami w pozostałych węzłach Vi (i = 1, ... , m) i napięciami gałęziowymi Uk (k = 1, ... , g) można przedstawić za pomocą wyrażenia:
= β ⋅V ,
(4.24a)
i
k
j
U
g ×1
λik = 1
λjk = –1
g × m m×1
gdzie wektor potencjałów węzłowych
Vi
Ik
Gk
Vj
(4.24b)
V = [Vi ]m×1 .
m×1
Uk = Vi – Vj
Elementy macierzy przekształcenia β wyznacza się wg tych samych reguł, co elementy macierzy incydencji λ (chodzi o incyUk = βki ⋅ Vi – βkj ⋅ Vj
dencję węzłów i gałęzi oraz o zorientowanie gałęzi względem
βki = 1 = λik ; βkj = –1 = λjk
incydentnych z nią węzłów). Wyjaśniono to obok na rysunku.
Macierz incydencji λ określa przynależność gałęzi do węzłów. Macierz przekształcenia β określa
przynależność węzłów do gałęzi. Przestawione są więc wskaźniki elementów, co oznacza, że macierz β jest macierzą transponowaną macierzy λ:
T
zatem
β = λ = λ T ,
g ×m
g ×m
m× g
(4.24c)
= λT ⋅ V .
U
g ×1
m×1
(4.24d)
g ×m
Podstawiając (4.24d) do (4.23) otrzymuje się równanie:
⋅ G ⋅ λT ⋅ V = (−λ ) ⋅ G ⋅ E + (−λ ) ⋅ I
λ
c
źr.c
m× g g × g
m×1
g × g g ×1
g ×m
m× g
m×( g + h )
.
(4.25a)
( g + h )×1
co można zapisać w następującej, krótszej postaci:
Gw ⋅ V = I w ' ,
m×m
m×1
(4.25b)
m×1
gdzie:
- macierz konduktancji węzłowych (własnych i wzajemnych)
Gw = λ ⋅ G ⋅ λT = Gi ⋅ λT ,
m× g g × g
g ×m
m× m
m× g
(4.25c)
g ×m
- określona wzorem (4.17c) macierz konduktancjii gałęziowych w węzłach
Gi = λ ⋅ G ,
m× g
m× g
(4.25d)
g×g
- określony wzorem (4.19d) wektor zastępczych wydajności źródeł do węzłów, tj. zastępczych
źródłowych prądów dopływających do węzłów (wydawanych do węzłów)
I w ' = (−λ ) ⋅ G ⋅ E + (−λc ) ⋅ I źr.c = (−Gi ) ⋅ E + I w
m×1
m× g
g×g
g ×1
m×( g + h )
( g + h )×1
m× g
g ×1
.
(4.25e)
m×1
Dzięki przekształceniu (4.24d), liczba rozwiązywanych równań obwodu została zmniejszona: z g
równań równowagi (g – liczba gałęzi) do m równań węzłowych (m – liczba węzłów niezależnych).
Macierz konduktancji węzłowych (symetryczna)
Gw = [G
m× m
jk
]
m× m
,
(4.26)
80
Wykład IX
gdzie: j, k – numery węzłów, składa się z następujących elementów:
- leżących na głównej przekątnej (j = k) konduktancji własnych węzłów Gjj , które są sumami
konduktancji gałęzi incydentnych z j-tym węzłem,
- leżących poza przekątną główną, symetrycznie po obu jej stronach (j ≠ l), konduktancji wzajemnych węzłów Gjk = Gkj , które są wartościami konduktancji gałęzi incydentnych jednocześnie z
węzłami: j-tym i k-tym, wziętymi ze znakiem „minus”.
Przykład. Obwód dany – rys. a; obwód zastępczy (po zamianie źródeł napięciowych) – rys. b; graf
obwodu – rys. c. Obliczane są potencjały w węzłach, następnie – prądy gałęziowe obwodu danego,
po czym sporządzany jest bilans mocy obwodu.
10 Ω
I1
a)
E1 – V1
140 V
(E1)
V 1 I2
I3
10 Ω
V2 10 Ω
V2 – V1
24 Ω
V1
I4
E2 – V2
V2
4,6 A
c)
180 V
(E2)
1
2
1
3
2
4
V0 = 0 V
b)
I1
V 1 I2
10 Ω
14 A
10 Ω
I4
I4 ’
I3
I1 ’
V2
24 Ω
4,6 A
10 Ω
18 A
V0 = 0 V
Wybrano węzły niezależne (1 i 2) i oznaczono potencjały węzłowe (V1 i V2).
Zapisano równanie węzłowe (4.25b) obwodu zastępczego – wg rys. b:
1
1
1
10 + 10 + 24
1
10
29
120
V1 14
, tzn.
⋅ =
1
1
V
18 + 4,6
- 1
+ 2
10
10 10
-
1
10
-
1
10 V1 14
=
,
⋅
1 V2 22,6
5
którego rozwiązaniem są następujące wartości potencjałów w węzłach: V1 = 132 V i V2 = 179 V.
Wobec tego, prądy w gałęziach danego obwodu – wg rys. a – wynoszą:
I1 = G1 (E1 – V1) = 0,8 A,
I2 = G2 (V2 – V1) = 4,7 A,
I3 = G3 V1 = 5,5 A,
I4 = G4 (E2 – V2) = 0,1 A.
Moce wydawane przez źródła oraz odbierane w rezystorach wynoszą:
n
∑ Pk .gen =∑U k .gen ⋅ I k .gen = 140 ⋅ 0,8 + 180 ⋅ 0,1 + 179 ⋅ 4,6 = 953,4 W,
k
k =1
n
∑ Pk .odb =∑ Rk ⋅ I k2 = 10 ⋅ 0,8 2 + 10 ⋅ 4,7 2 + 24 ⋅ 5,5 2 + 10 ⋅ 0,12 = 953,4 W,
k
k =1
tzn. bilansują się
∑ Pk .gen =∑ Pk .odb
k
k
.
81
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Wykład X. ZASADA SUPERPOZYCJI. „PRZENOSZENIE” ŹRÓDEŁ W OBWODZIE.
TWIERDZENIA: THEVENINA, NORTONA, O WZAJEMNOŚCI, O KOMPENSACJI
Zasada superpozycji
Zgodnie z równaniami (4.12a) i (4.17a), liniowy obwód elektryczny o g gałęziach i h pseudogałęziach jest opisany równaniem ogólnym
(4.27a)
A⋅ X = B ,
g×g
g ×1
g ×1
gdzie: A – macierz parametrów, związana z elementami pasywnymi gałęzi i grafem obwodu,
B – wektor wymuszeń (pobudzeń), związany z napięciami źródłowymi (gałęzi) oraz prądami
źródłowymi (gałęzi i pseudogałęzi),
X – wektor odpowiedzi, tj. prądów lub napięć gałęziowych.
Wyrazy wektora X, będące rozwiązaniem równania (4.27a), mają następującą postać:
Xj =
A11 L A1 ( j −1) B1 L A1g
g
1
1
=
⋅ M
=
⋅ ∑ (−1) j +k ⋅ M jk ⋅ Bk ,
det A
det A k =1
Ag1 L Ag ( j −1) B g L Agg
det A j
det A
(4.27b)
gdzie Mjk jest jk-tym minorem (podwyznacznikiem) macierzy A, zaś (-1)j+k Mjk jest jk-tym dopełnieniem algebraicznym tej macierzy.
Wartość j-tej zmiennej Xj, stanowiąca odpowiedź układu liniowego na wymuszenie B, jest sumą
odpowiedzi na składniki Bk tego wymuszenia, zależne od źródłowych napięć i prądów, których
działanie można rozpatrywać oddzielnie. Zachodzi więc tu superpozycja (nakładanie się) odpowiedzi, będących reakcją na poszczególne pobudzenia.
Właściwość powyższa nosi nazwę zasady superpozycji i jest wykorzystywana do obliczania prądu
lub napięcia w wybranej gałęzi obwodu liniowego, w którym występuje kilka źródeł niezależnych.
Wartość prądu lub napięcia dowolnej gałęzi takiego obwodu, będąca odpowiedzią na wszystkie –
działające w danej chwili – pobudzenia, jest sumą wartości prądu lub napięcia, jakie wywołałyby w
tejże gałęzi, z osobna, każde z działających w tym czasie pobudzeń. Przy prądzie stałym zapisuje
się to następująco:
Ij =
g +h
∑ I jk ,
Uj =
k =1
g +h
∑U jk
,
(4.27c, d)
k =1
gdzie: Ij – prąd w gałęzi j-tej; Ijk – składnik prądu w gałęzi j-tej, wymuszony przez źródła występujące w gałęzi lub pseudogałęzi k-tej; Uj – napięcie na gałęzi j-tej, Ujk – składnik napięcia
na gałęzi j-tej, wymuszony przez źródła występujące w gałęzi lub pseudogałęzi k-tej.
Szukając składników odpowiedzi, można posługiwać się dowolnymi metodami. Można też dowolnie grupować składniki we wzorach (4.27c) lub (4.27d), tzn. wyznaczać rozwiązywania przy działających jednocześnie, odpowiednich wymuszeniach.
Przykład. Obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu I
w obwodzie pokazanym na rys. a.
a)
1Ω
6V
I
3V
1Ω
3A
b’’)
b’)
1Ω
1Ω
1Ω
I ’’
1Ω
I’
1Ω
3A
1Ω
b’’’)
1Ω
3V
6V
1Ω
I ’’’
1Ω
1Ω
82
Wykład X
I sposób: rozwiązanie obwodów z pojedynczymi źródłami – rys. b’, b’’, b’’’
Na rys. b’ występuje dzielnik prądu źródłowego 3 A (na prądy w 3 gałęziach o rezystancjach 1 Ω
1
przy czym zwrot szukanego prądu jest przeciwny do zwrotu założonego), więc I ' = − ⋅ 3 = −1 A.
3
Na rys. b’’ występuje dzielnik prądu pobieranego ze źródła napięciowego 6 V (w obwodzie o rezy1 6
stancji zastępczej 1,5 Ω; na prądy w 2 gałęziach o rezystancjach 1 Ω), więc I ' ' = ⋅
= 2 A.
2 1,5
Na rys. b’’’ występuje dzielnik prądu pobieranego ze źródła napięciowego 3 V (w obwodzie o rezy1 3
stancji zastępczej 1,5 Ω; na prądy w 2 gałęziach o rezystancjach 1 Ω), więc I ' ' ' = ⋅
= 1 A.
2 1,5
Szukana wartość: I = −1 + 2 + 1 = 2 A.
1Ω
c’)
6V
c’’)
1S
I’
Io2
1S
1Ω
Io1
I ’’
1S
V0 = 0
V1
3A
3V
1Ω
II sposób: rozwiązanie obwodu z dołączonymi oboma źródłami napięciowymi (stosując metodę
oczkową) oraz obwodu z dołączonych źródłem prądowym (metoda węzłowa) – rys. c’, c’’
Oczka obrano w taki sposób, że szukany prąd jest równy prądowi oczkowemu – rys. c’:
2 1 I o1 3
I ' = I o1 = 3 A.
1 2 ⋅ I = - 3 ;
o2
Jest tylko jeden węzeł niezależny, wartości konduktancji trzech gałęzi są jednakowe; zapisanie
równania węzłowego jest formalnością – rys. c’’:
(1+1+1) V1 = 3 ;
V1 = 1 V;
I ' ' = 1 ⋅ (0 − 1) = −1 A.
Szukana wartość: I = 3 – 1 = 2 A.
„Przenoszenie” źródeł do innych gałęzi
Jeśli w obwodzie występują idealne źródła napięciowe bez dołączonej szeregowo rezystancji gałęziowej, to nie można stosować bezpośrednio metody węzłowej. Jeśli w obwodzie występują idealne
źródła prądowe nie zbocznikowane rezystancją gałęziową, to nie można stosować bezpośrednio
metody oczkowej.
Wymienione trudności można jednak ominąć „przenosząc” idealne źródła do innych gałęzi. Przenoszenie to polega na dołączeniu takich samych, odpowiednio skierowanych źródeł idealnych.
Miejsca dołączenia i zwroty źródeł muszą być takie, aby nie zmieniały się:
a) w przypadku idealnych źródeł napięciowych – wartości oczkowych napięć źródłowych, jak na
rys. a,
b) w przypadku idealnych źródeł prądowych – wartości wydajności źródeł prądowych w węzłach,
jak na rys. b i c.
Przy przenoszeniu idealnych źródeł napięciowych nie ulega zmianie rozpływ prądów, ale zmieniają
się, związane ze sobą, rozkłady: potencjałów w węzłach oraz napięć gałęziowych (rys. a’).
Przy przenoszeniu idealnych źródeł prądowych nie ulega zmianie rozkład napięć gałęziowych (potencjałów węzłowych), a jeśli prądy źródłowe są traktowane jako zewnętrzne prądy gałęzi, to nie
zmienia się także rozpływ prądów gałęziowych (rys. b’).
83
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
a)
2
2
V2
–E
–E
≡
E
V1
V2
0
1
E
E
V1
E
1
E
–E
≡
0
3
1
E
V4
I1
E
R3
V5
V1
≡
I3
R1
I4
E
V1
V5
E
3
R3
I3
V5
E
V5
V3
R2
0
V3 = V2
V3 = V2
I4
R1
E
V2
E
3
E
V4
I1
V1
V1
E
V3 = V2
a’)
2
V2
V3
R2
I2
V2
I2
V2
b)
Iźr
Iźr
c)
1
Iw1 =.Iźr
≡
Iźr
2
1
Iw1 =.Iźr
Iźr
Iw2 = – Iźr
1
≡
Iźr
2
2
Iw2 = – Iźr
Iźr
Iw3 =.0
Iw1 =.Iźr
Iw3 =.0
≡
3
E2
R2
3
Iw2 = – Iźr
Iźr
Iźr
Iźr
b’)
V1
I1
I
R1
E2
I2
V2
≡
R2
V3
Iźr
I1
I
V1
R1
Iźr
I2
V2
V3
Iźr
Przykład 1. Przy zastosowaniu metody węzłowej obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu
Ix w obwodzie z rys. 1a. „Usunąwszy” źródła napięciowe w gałęziach bezrezystancyjnych danego
obwodu otrzymano 2 obwody wariantowe (rys. 1b i 1c).
1Ω
1a)
1b)
1Ω
6V
V2
1c)
V1
3V
V3
V4
3A
6V
V2
Ix
Ix
1Ω
1Ω
3V
V1
V2
1 Ω V2
Ix
6 V V3
V4
1Ω
1Ω
V4
6V
1Ω
V3
V2
V1
3V 1Ω
3V
V4
3A
3A
V3
84
Wykład X
I wariant rozwiązania (rys. 1b): w przekształconym obwodzie są 2 węzły (na krańcach 3 równoległych gałęzi); przyjęto V4 = 0 i zamieniając w myśli źródła napięciowe na prądowe zapisano
równanie węzłowe
(1 + 1 + 1) ⋅ V2 = −3 − 6 + 3 , stąd V2 = −2 V oraz I x = G x ⋅ (V4 − V2 ) = 1 ⋅ (0 + 2) = 2 A.
II wariant rozwiązania (rys. 1c): w przekształconym obwodzie są również 2 węzły (na krańcach 3
równoległych gałęzi); przyjęto V1 = 0 i zamieniając w myśli źródła napięciowe na prądowe zapisano równanie węzłowe
(1 + 1 + 1) ⋅ V3 = 6 + 9 + 3 + 3 , stąd V3 = 7 V oraz V4 = 0 + 3 = 3 V, V2 = 7 − 6 = 1 V,
I x = G x ⋅ (V4 − V2 ) = 1 ⋅ (3 − 1) = 2 A.
Przykład 2. Przy zastosowaniu metody oczkowej obliczana jest – na dwa sposoby – wartość prądu
Ix w obwodzie z rys. 2a. „Usunąwszy” pseudogałąź w danym obwodzie otrzymano 2 obwody wariantowe (rys. 2b i 2c), w których zamieniono źródła prądowe na napięciowe (warto przypomnieć,
że równoległe dołączenie jakiegokolwiek elementu do idealnego źródła napięciowego nie ma wpływu na jego napięcie; jest to tzw. połączenie nieistotne), po czym obrano oczka w taki sposób, że
szukany prąd Ix lub Ix’ jest równy prądowi oczkowemu (rys. 2b’ i 2c’).
2a)
2b)
1Ω
2c)
1Ω
6V
Ix
3V
1Ω
6V
3
A
Ix
1Ω
1Ω
3V
3A
3A
1Ω
2b’)
Io2
6V
3V
1Ω
6V
Io2
1Ω
3V
3V
3
A
Ix’
Ix
Io1
1Ω
1Ω
3V
3A
2c’)
Ix
3
A
1Ω
1Ω
6V
1Ω
3V
Io1
1Ω
3V
3V
1Ω
I wariant rozwiązania (rys. 2b i 2b’): równanie oczkowe
1 I o1 3
, stąd I x = I o1 = 2 A.
⋅
=
2 I o 2 0
II wariant rozwiązania (rys. 2c i 2c’): równanie oczkowe
2
1
2
1
1 I o1 - 3
, stąd I x ' = I o1 = −1 A oraz I x = I x ' + 3 = 2 A.
⋅
=
2 I o 2 - 3
85
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Konduktancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Thevenina
a)
Ij
Ej
Prąd w wyróżnionej j-tej gałęzi o postaci napięciowej (rys. a),
należącej do obwodu z wszystkimi gałęziami sprowadzonymi do
postaci napięciowej (rys. a’), można – nawiązując do ogólnych
zależności (4.27b) i (4.27c) – wyrazić następująco:
Rj
Uj
g
g
k =1
k =1
k≠ j
I j = ∑ I jk = ∑ G jk ⋅ E k ' + G jj ⋅ E j ,
a’)
Ik’
E k’
Rk
(4.28)
gdzie: Gjk – j-te konduktancje międzygałęziowe (między j-tą
gałęzią zewnętrzną i k-tymi gałęziami wewnętrznymi), Gjj –
Uk
konduktancja wejściowa, Ek’ – zastępcze źródłowe napięcia ktych gałęzi, Ej – źródłowe napięcie j-tej gałęzi.
Zgodnie z konwencją strzałkowania Ij i Ej gałęzi normalnej, otrzymuje się dodatnią wartość Gjj .
Wartości Gjk są natomiast dodatnie lub ujemne, zależnie od zwrotów j-tej i k-tych gałęzi.
Wartości konduktancji Gjk i Gjj wyznacza się doświadczalnie lub oblicza na podstawie schematu
obwodu, badając efekty działania pojedynczych źródeł:
I jk
I jj
G jk =
,
G jj =
.
(4.29a, b)
Ek '
Ej
Wzór (4.28) odnosi się do obwodu, w którym nie występują pseudogałęzie (jak w metodzie oczkowej), zatem wyznaczanie konduktancji Gjk dotyczy tylko takiej sytuacji.
Jeśli wewnątrz obwodu występują pseudogałęzie, to – jak wiadomo – można „przenieść” źródła
pseudogałęzi do niektórych gałęzi, co nie wpływa na prąd w gałęzi zewnętrznej. Napięcia Ek’ są
wtedy zastępczymi sem przekształconych k-tych gałęzi, zaś Gjk – konduktancjami między j-tą gałęzią zewnętrzną i przekształconymi k-tymi gałęziami wewnętrznymi
Jeśli Ij = 0 oraz Ej = – Uj.0 (rys. b), to
b)
Ij = 0
Ij = 0
układ
gałęzi
wewn.
c)
Uj.0
Uj.0
≡
układ
gałęzi
wewn.
Ej
∑ G jk ⋅ Ek ' = G jj ⋅ U j.0
,
(4.30)
k =1
k≠ j
Uj.0
Ij
g
Ej Rj
wobec czego zależność (4.28) przyjmuje postać
(
)
I j = G jj ⋅ U j.0 + E j =
Rjj
U j .0 + E j
R jj
,
(4.31a)
przy czym rezystancja wejściowa (rys. c):
1
R jj =
.
(4.31b)
G jj
d)
E
Rw
Ij
Ej
Uj
Rj
UR.j
Wprowadza się wielkości (rys. d):
- rezystancję wewnętrzną źródła zastępczego
Rw = R jj − R j ,
(4.32a)
- źródłowe napięcie (sem) źródła zastępczego
E = U j .0 ,
(4.32b)
co pozwala napisać
Ij =
Gdy j-ta gałąź jest pasywna, to
Ij =
E + Ej
Rw + R j
E
Rw + R j
oraz
U j = Rj ⋅ I j − Ej .
(4.33a, b)
oraz
U j = U R. j = R j ⋅ I j .
(4.34a, b)
86
Wykład X
Formuły (4.33a) i (4.34a) wyrażają twierdzenie Thevenina (o zastępczym źródle napięciowym):
obwód liniowy aktywny, badany od wybranej pary zacisków (od strony wyróżnionej gałęzi zewnętrznej – aktywnej lub pasywnej), jest równoważny gałęzi aktywnej, złożonej z idealnego źródła
napięciowego E i szeregowej rezystancji Rw, przy czym napięcie źródłowe E (nazywane sem zastępczego źródła) jest równe napięciu jałowemu na tych zaciskach (napięciu, jakie wystąpi między
nimi po odłączeniu wyróżnionej gałęzi), a szeregowa rezystancja Rw (nazywana rezystancją wewnętrzną zastępczego źródła) – ilorazowi napięcia jałowego przez prąd zwarcia tychże zacisków
(prąd, jaki wystąpi w idealnym przewodzie zwierającym te zaciski).
Zgodnie ze wzorami (4.29b), (4.31b) i (4.32a), rezystancja wewnętrzna Rw jest rezystancją między
wybraną jw. parą zacisków badanego obwodu, przy odłączonej gałęzi zewnętrznej i zerowych wymuszeniach (Ek = 0 oznacza zwarcie; Iźr.k = 0 oznacza rozwarcie).
Przykład. W danym obwodzie (rys. a) obliczane są wartości: prądu Ix , napięcia Ux oraz konduktancji Gx1 i Gx2 między gałęzią zewnętrzną x i gałęziami, w których znajdują się źródła napięciowe E1 i
E2 (przy założeniu zwrotów gałęzi zgodnych ze zwrotami ich napięć źródłowych).
1Ω
a)
E1
Ix
Ux
E2
3V
b)
b’)
1Ω
1,5 A
6V
1Ω
E = U0
1Ω
3V
3A
1Ω
6V
1Ω
3V
b’’)
3A
Parametry zastępczego źródła napięciowego (dla gałęzi x,
odłączonej przy wyznaczaniu tych parametrów):
- wg rys. b, b’ i b’’, z zasady superpozycji
U 0 ' = 3 + 1 ⋅ 1,5 = 4,5 V; U 0 ' ' = −1 ⋅ 1,5 = −1,5 V;
U0’ 6 V
1Ω
1Ω
U0’’
1,5 A
1Ω
3A
c)
1Ω
Rw
1Ω
E = U 0 = 4,5 − 1,5 = 3 V,
- wg rys. c (rezystancja układu pasywnego, widziana od strony odłączonej gałęzi x) Rw = 0,5 Ω.
Szukane wartości prądu i napięcia (wg rys. d):
E
3
Ix =
=
= 2 A;
Rw + R x 0,5 + 1
U x = R x ⋅ I x = 1 ⋅ 2 = 2 V.
Wartości prądu w gałęzi x, pochodzące od E1 i E2 (wg rys. e):
1 6
1 3
I x1 = ⋅
= 2 A, I x 2 = ⋅
= 1 A.
2 1,5
2 1,5
Szukane wartości konduktancji międzygałęziowych:
I
I
1
1
G x1 = x1 = S, G x 2 = x 2 = S.
E1 3
E2 3
Uwaga. Przez analogię można zdefiniować stosunek prądów
Ix3 i Iźr.3 jako prądową transmitancję międzygałęziową TI.x3 .
Wtedy I x = G x1 ⋅ E1 + G x 2 ⋅ E 2 + TI . x3 ⋅ I źr .3 (superpozycja).
Z rys. f wynika: TI . x3
I
−1
1
= x3 =
=− .
I źr .3
3
3
d)
1Ω
Ux
3V
0,5 Ω
Ix
e)
1 Ω Ix1
6V
1Ω
1Ω
3V
1Ω
Ix2
1Ω
1Ω
f)
1Ω
Ix3 = – 1 A
1Ω
3A
1Ω
87
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
Rezystancje międzygałęziowe i wejściowe. Twierdzenie Nortona
a)
Napięcie na wyróżnionej j-tej gałęzi o postaci prądowej (rys. a),
należącej do obwodu z wszystkimi gałęziami sprowadzonymi do
postaci prądowej (rys. a’), można – nawiązując do ogólnych zależności (4.27b) i (4.27d) – wyrazić następująco:
Gj
Iźr.j
Uj
a’)
Uj =
g +h
g +h
k =1
k =1
k≠ j
∑U jk = ∑ R jk ⋅ I źr.k ' − R jj ⋅ I źr. j
Gk
,
(4.35)
gdzie: Rjk – j-te rezystancje międzygałęziowe (między j-tą gałęzią zewnętrzną i k-tymi gałęziami lub pseudogałęziami wewnętrznymi), Rjj – rezystancja wejściowa, Iźr.k’ – zastępcze źróUk
dłowe prądy k-tych gałęzi (rys. a’) lub pseudogałęzi, Iźr.j – źródłowy prąd j-tej gałęzi.
Zgodnie z przyjętą konwencją strzałkowania Uj i Iźr.j gałęzi normalnej, otrzymuje się dodatnią wartość Rjj . Wartości Rjk są natomiast dodatnie lub ujemne, zależnie od zwrotów j-tej gałęzi oraz k-tych
gałęzi lub pseudogałęzi.
Wartości rezystancji Rjk i Rjj wyznacza się doświadczalnie lub oblicza na podstawie schematu obwodu, badając efekty działania pojedynczych źródeł:
U jk
U jj
R jk =
,
R jj = −
.
(4.36a, b)
I źr . j
I źr .k '
Iźr.k’
Wzór (4.35) odnosi się do obwodu, w którym nie występują gałęzie będące idealnymi źródłami napięciowymi (jak w metodzie węzłowej), zatem wyznaczanie rezystancji Rjk dotyczy tylko takiej sytuacji.
Jeśli wewnątrz obwodu występują gałęzie będące idealnymi źródłami napięciowymi, to – jak wiadomo – można „przenieść” te źródła do innych gałęzi, co nie wpływa na napięcie gałęzi zewnętrznej. Do przekształconego tak obwodu można już stosować wzór (4.35); prądy Iźr.k’ są w nim zastępczymi źródłowymi prądami przekształconych gałęzi.
Jeśli Uj = 0 oraz Iźr.j = Ijz (rys. b), to
b)
układ
gałęzi
wewn.
Uj. = 0
g +h
∑ R jk ⋅ I źr.k ' = R jj ⋅ I jz ,
Ij = Ijz
Ij = Ijz
≡
Gj
układ
gałęzi
wewn.
Uj. = 0
wobec czego zależność (4.35) przyjmuje postać
I jz − I źr . j
U j = R jj ⋅ I jz − I źr . j =
,
(4.38a)
G jj
(
c)
Ijz
Uj
Ij
IG.j
Iw
Ijz
Gw
Uj
Gj
co pozwala napisać
Gdy j-ta gałąź jest pasywna, to
)
przy czym konduktancja wejściowa (rys. c):
1
G jj =
(4.38b)
R jj
Iźr.j
Gjj
d)
(4.37)
k =1
k≠ j
Ijz
Iźr.j
Uj =
Uj =
Wprowadza się wielkości (rys. d):
- konduktancję wewnętrzną źródła zastępczego
Gw = Gjj – Gj ,
(4.39a)
- źródłowy prąd źródła zastępczego
Iźr = Ijz ,
(4.39b)
I źr − I źr . j
Gw + G j
I źr
Gw + G j
oraz
I j = G j ⋅ U j + I źr . j .
(4.40a, b)
oraz
I j = I G. j = G j ⋅ U j .
(4.41a, b)
88
Wykład X
Formuły (4.40a) i (4.41a) wyrażają twierdzenie Nortona (o zastępczym źródle prądowym): obwód
liniowy aktywny, badany od wybranej pary zacisków (od strony wyróżnionej gałęzi zewnętrznej –
aktywnej lub pasywnej), jest równoważny gałęzi aktywnej, złożonej z idealnego źródła prądowego
Iźr i równoległej konduktancji Gw, przy czym prąd źródłowy Iźr (nazywany prądem źródłowym zastępczego źródła) jest równe prądowi zwarcia tych zacisków (prądowi, jaki wystąpi w idealnym
przewodzie zwierającym te zaciski), a równoległa konduktancja Gw (nazywana konduktancją wewnętrzną zastępczego źródła) – ilorazowi prądu zwarcia przez napięcie jałowe między tymi zaciskami (napięciu, jakie wystąpi między nimi po odłączeniu wyróżnionej gałęzi). Zgodnie ze wzorami (4.36b), (4.38b) i (4.39a), konduktancja wewnętrzna Gw jest konduktancją między wybraną jw.
parą zacisków badanego obwodu, przy odłączonej gałęzi zewnętrznej i zerowych wymuszeniach.
Zastępcze źródło prądowe wyznaczone na podstawie twierdzenia Nortona jest równoważne zastępczemu źródłu napięciowemu wyznaczonemu na podstawie twierdzenia Thevenina.
Przykład. W danym obwodzie, tym samym, co w poprzednim przykładzie (rys. a), obliczane są
wartości: napięcia Ux , prądu Ix oraz rezystancji Rx3 między gałęzią zewnętrzną x i pseudogałęzią.
1Ω
a)
E1
Ix
Ux
E2
3V
1Ω
b)
b’)
1Ω
1Ω
Iz ’
6V
Iźr = Iz
1Ω
3A
3V
1Ω
6V
6V
1Ω
b’’)
3A
b’’’)
Parametry zastępczego źródła prądowego (dla gałęzi x):
- wg rys. b, b’, b’’ i b’’’, z zasady superpozycji
I z ' = 6 A; I z ' ' = 3 A; I z ' ' ' = −3 A;
I źr = I z = 6 + 3 − 3 = 6 A,
- wg rys. c (konduktancja układu pasywnego, widziana od
strony odłączonej gałęzi x) G w = 2 S.
Szukane wartości napięcia i prądu (wg rys. d):
I źr
6
=
= 2 V;
Ux =
Gw + G x 2 + 1
I x = G x ⋅ U x = 1 ⋅ 2 = 2 A.
Wartość napięcia gałęzi x, pochodząca od Iźr.3 (wg rys. e):
1
U x 3 = − ⋅ 3 = −1 V.
3
Szukana wartość rezystancji międzygałęziowej:
U
1
R x 3 = x3 = − Ω.
I źr .3
3
1Ω
3V
Iz’’
1Ω
1Ω
Iz’’’
1Ω
3A
c)
1S
Gw
1S
d)
Ix
Iźr
2S
U
1S
e)
1S
1S
1S
Ux3
Iźr.3 = 3 A
Przykład wyznaczenia ogólnej zależności na podstawie twierdzenia Thevenina
Zostanie wyznaczony warunek równowagi mostka Wheatstone’a
(rys. obok). Zachodzi ona wówczas, gdy w gałęzi z mikroamperomierzem nie płynie prąd, czyli UCD = 0. Odpowiada temu warunek UCD.0 = 0,
tzn. zerowa wartość napięcia stanu jałowego źródła zastępczego (układu
wewnętrznego) dla gałęzi CD (zewnętrznej). Otrzymuje się zależność:
C
R1
R2
µA
A
R3
E
D
B
R4
89
4. Rozwiązywanie obwodów prądu stałego
R2
R4
U CD.0 = U CB.0 − U DB.0 =
−
R1 + R2 R3 + R4
R2 ⋅ R3 − R1 ⋅ R4 = 0 ,
stąd
R2 ⋅ R3 − R1 ⋅ R4
⋅ E =
⋅E = 0 ,
( R1 + R2 ) ⋅ ( R3 + R4 )
R1 R3
=
.
R 2 R4
albo
(4.42a, b)
Znane są wartości trzech rezystancji, a wyznacza się wartość czwartej.
Mostka zrównoważonego używa się w dokładnych pomiarach rezystancji. Rezystancja wewnętrzna
źródła zastępczego (widziana z zacisków CD przy odłączonym mikroamperomierzu) nie ma znaczenia dla stanu równowagi, więc nie została wyznaczona. Wpływa ona jednak na czułość układu.
Przy dużej liczbie pomiarów ważną rolę odgrywa czas doprowadzenia mostka do równowagi. Rezystancje mieszczące się w wąskim przedziale wartości mierzy się szybko, ale mniej dokładnie,
używając mostka niezrównoważonego. Miarą odchylenia od ustalonej wartości rezystancji jest
wtedy wartość prądu mikroamperomierza (wyznaczana analitycznie z twierdzenia Thevenina).
Przykład wyznaczenia ogólnej zależności na podstawie twierdzenia Nortona
Układ równolegle połączonych źródeł napięciowych zostanie zastąpiony pojedynczym źródłem
prądowym lub napięciowym:
Rw1
(Gw1)
Rwn
(Gwn)
E1
En
≡
U0
Rw
(Gw
)
Iźr
Rw
(Gw
)
≡
U0
U0
E
Zgodnie z zależnością (4.39b), zastępczy prąd źródłowy jest równy prądowi zwarcia gałęzi zewnętrznej: Iźr = Iz. Prąd zwarcia Iz można wyznaczyć korzystając z zasady superpozycji:
n
I z = ∑ I zk =
Rw1
(Gw1)
k =1
Rwn
(Gwn)
n
= ∑ G wk ⋅ E k
E1
k =1
=
Iz
Rw1
(Gw1)
Iz1
E1
En
+
Rwn
(Gwn)
Izn
En
Konduktancja wewnętrzna źródła zastępczego jest równa sumie konduktancji poszczególnych źródeł: :
n
G w = ∑ Gwk
Rw1
(Gw1)
k =1
≡
Rwn
(Gwn)
Rw
(Gw)
Otrzymuje się zatem następujące parametry źródeł zastępczych:
n
n
Ek
,
R
k =1 wk
I źr = ∑ Gwk ⋅ E k =∑
k =1
n
n
1
;
R
k =1 wk
(4.43a’, a”)
.
(4.43b’, b”)
G w = ∑ Gwk = ∑
k =1
n
I
E = źr =
Gw
∑ Gwk ⋅ Ek
k =1
n
∑ Gwk
k =1
,
Rw =
1
=
Gw
1
n
∑ Gwk
k =1
Wzory (4.43b’, b”) odpowiadają wzorom (3.20a, b), otrzymanym w rozdz. 3. jako wynik przekształcania układu.
90
Wykład X
Twierdzenie o wzajemności
Z równości elementów macierzy rezystancji oczkowych (4.22): Rjl = Rlj , gdzie: j, l – numery oczek,
oraz elementów macierzy konduktancji węzłowych (4.26): Gjk = Gkj , gdzie: j, k – numery węzłów,
wynikają równości konduktancji oraz rezystancji międzygałęziowych o zamienionych miejscami
numerach gałęzi: Gjk = Gkj , Rjk = Rkj , gdzie: j, k – numery gałęzi (tzw. zewnętrznej i wewnętrznej).
Oznacza to, że: przy zmianie miej- a)
sca dołączenia do obwodu jedyneukład
układ
Ek
Ij ⇒ Ik’= Ij
Ej’= Ek
go źródła z gałęzi k-tej do j-tej –
pasywny
pasywny
efekt prądowy od źródła napięciowego (rys. a), bądź napięciowy od b)
źródła prądowego (rys. b), jest taki
układ
układ
Iźr.j’= Iźr.k
Uj ⇒ Uk’= Uj
sam w gałęzi k-tej, jaki był wcze- Iźr.k
pasywny
pasywny
śniej w j-tej.
Twierdzenie o kompensacji
Twierdzenie o kompensacji dotyczy zmian prądów i napięć w obwodzie, wywołanych zmianą rezystancji (konduktancji) jednej gałęzi. Mówi się tu o kompensacji zmian napięcia lub prądu tej gałęzi.
Napięciu na przyroście rezystancji ∆Rk gałęzi z prądem Ik odpowiada źródłowe napięcie kompensujące ∆Rk Ik (rys. a). Prądowi na przyroście konduktancji ∆Gk gałęzi o napięciu Uk odpowiada źródłowy prąd kompensujący ∆Gk Uk (rys. b). Na podstawie zasady superpozycji wykazuje się, że w
obwodzie pasywnym, odpowiadającym liniowemu obwodowi aktywnemu: popłyną prądy przyrostowe, gdy do k-tej gałęzi, w której wystąpił przyrost rezystancji ∆Rk , zostanie włączone (szeregowo) napięcie źródłowe ∆Rk Ik o zwrocie przeciwnym do zwrotu prądu Ik (rys. a’), albo pojawią się
napięcia przyrostowe, gdy do k-tej gałęzi, w której wystąpił przyrost konduktancji ∆Gk , zostanie
dołączony (równolegle) prąd źródłowy ∆Gk Uk o zwrocie przeciwnym do zwrotu napięcia Uk (rys. b’).
Ik
a)
∆R k I k
a’)
∆R k
∆R k I k
b)
∆R k
0
Ij +∆Ij
układ
aktywny
Ik
=
∆I k
Ij
∆R k
układ
aktywny
∆R k I k
+
∆I j
∆R k
układ
pasywny
∆R k I k
b’)
0
∆Gk Uk
∆Gk
Ik +∆Ik
Uk
∆Gk Uk
Uk +∆Uk
∆Gk
układ
aktywny
=
Uj +∆Uj
Uk
∆Gk Uk
∆Gk
układ
aktywny
+∆U
k
∆Gk Uk
∆Gk
Uj
układ
pasywny
∆Uj
Przykład. Wyznaczono zmiany wartości prądów dwóch gałęzi danego obwodu po zwiększeniu rezystancji jednej z nich (o 0,5 Ω), oraz zmiany wartości napięć – po zwiększeniu konduktancji (o 1 S).
Obwód z prądami
Obwód z przyrostami
Obwód z napięciami
Obwód z przyrostami
gałęzi:
prądów gałęzi:
gałęzi:
napięć gałęzi:
1 Ω (1,5 Ω)
1A
(0,75 A)
3V
6V
2A
(1,875 A)
1Ω 1Ω
1Ω
– 0,25 A
0,5 Ω
0,5 V
3A
– 0,125 A
1Ω
1Ω
1 S (2 S)
6V
1V
(0,75 V)
2V
(2,25
V) 1 S
3V
1S
3A
1A
1S
1S
– 0,25 V
1S
0,25 V
1S
91
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 5
Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Pole magnetyczne powstaje w wyniku przemieszczeń (zmian) ładunków elektrycznych. Mówi się
więc o wytwarzaniu tego pola przez źródłowe elementy prądowe.
Najczęściej rozważa się przypadki pól magnetycznych występujących wokół przewodów z prądem.
Między położonymi blisko siebie przewodami z prądem występują siły (oddziaływanie elektrodynamiczne).
Stosując materiały o szczególnych własnościach magnetycznych (ferromagnetyki) uzyskuje się
koncentrację strumieni magnetycznych wzdłuż określonych dróg, tworzących obwód magnetyczny.
Analiza obwodów magnetycznych jest utrudniona z powodu nieliniowości charakterystyk magnesowania ferromagnetyków.
Fundamentalne znaczenie odgrywa w elektrotechnice: prawo indukcji elektromagnetycznej. Wskutek zmiany strumienia skojarzonego z cewką, indukuje się w niej napięcie. Jeśli strumień skojarzony z cewką pochodzi od prądu tejże cewki, to występuje zjawisko samoindukcji, a jeśli od prądu
innej cewki – zjawisko indukcji wzajemnej.
Dzięki indukcji wzajemnej możliwe jest przenoszenie energii z jednego obwodu elektrycznego do
drugiego obwodu elektrycznego na drodze magnetycznej. Taki proces zachodzi w transformatorze.
Posługując się wielkością zwaną przekładnią transformatora, sprowadza się jego schemat dwuobwodowy do schematu jednoobwodowego.
92
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 5
a
B
Br
Bs
eind
Fµ
∆F
F
∆F
Hc
H
i
iL
I
k
l
∆l
∆l
L
Lg
Ls
Lµ
M
M
∆M
∆M
pµ
∆Q
odległość od przewodu z prądem
indukcja magnetyczna
remanencja (indukcja szczątkowa, pozostałość magnetyczna)
indukcja nasycenia
siła elektromotoryczna (sem) indukowana
siła magnetomotoryczna
wartość bezwzględna siły działającej
na element prądowy
siła
siła działająca na element prądowy
koercja (natężenie koercji, natężenie
powściągające)
natężenie pola magnetycznego
prąd
hipotetyczny prąd Lenza
prąd stały
współczynnik sprzężenia magnetycznego
długość przewodu; długość drogi strumienia
długość elementu prądowego
wektor długości elementu prądowego
indukcyjność własna
indukcyjność główna
indukcyjność rozproszenia
indukcyjność główna (magnesująca)
transformatora
indukcyjność wzajemna
polaryzacja magnetyczna (magnetyzacja)
wartość bezwzględna momentu działającego na dipol magnetyczny
moment działający na dipol magnetyczny
dipolowy moment magnetyczny
ładunek elementu prądowego
Literatura do rozdziału 5
[1], [2], [3], [4], [5], [6], [8]
r
r
RFe
Rµ.k
S
∆S
∆S
t
u
uind
Uµ
∆v
v
Wµ
z
ϑ
κ
Θ
Λµ.k
µ
µr
µ0
ρWµ
Φ
∆Φ
Ψ
odległość
wektor odległości; promień
rezystancja poprzeczna schematu transformatora
reluktancja (opór magnetyczny)
pole powierzchni; pole przekroju rdzenia (magnetowodu)
pole elementu powierzchni; pole płaskiej pętli prądu
wektor normalny do elementu powierzchni ∆S
czas
napięcie
napięcie indukowane
napięcie magnetyczne
objętość przestrzeni elementarnej
prędkość; prędkość ładunku elementu
prądowego
energia pola magnetycznego
liczba zwojów uzwojenia (cewki)
przekładnia transformatora
podatność magnetyczna
przepływ prądu
permeancja (przewodność magnetyczna)
przenikalność magnetyczna
przenikalność magnetyczna względna
stała magnetyczna (przenikalność magnetyczna próżni)
przestrzenna (objętościowa) gęstość
energii pola magnetycznego
strumień magnetyczny; strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię S
strumień magnetyczny przenikający
przez powierzchnię ∆S
strumień skojarzony
93
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Wykład XI. POLE I OBWODY MAGNETYCZNE
Pole magnetyczne i jego źródła
a)
Występowanie oddziaływań magnetycznych (pól magnetycznych)
v
∆Q
wiąże się z prądem elektrycznym. Źródłami pola magnetycznego są
I
tzw. elementy prądowe, mianowicie: ładunki poruszające się z okreb)
śloną prędkością (rys. a); odcinki przewodów z prądem elektrycznym
∆l
(rys. b); płaskie pętle, tj. zamknięte obwody, zwoje, ramki, w których
c)
płynie prąd elektryczny (rys. c).
I
N
Małą, płaską pętlę prądu nazywamy dipolem magnetycznym. Można go
S
∆S
traktować jako układ elementarny dwóch biegunów magnetycznych.
Każdy z występujących w przestrzeni elementów prądowych przyczynia się do powstania wypadkowego pola magnetycznego, a gdy sam znajduje się w polu magnetycznym pochodzącym od innych elementów prądowych, podlega określonemu działaniu tego pola. Na pole magnesu trwałego
składają się w głównej mierze pola związane ze spinowymi ruchami elektronów.
Indukcja magnetyczna
Podstawową wielkością charakteryzującą pole magnetyczne jest indukcja magnetyczna B. Definiując tę wielkość korzysta się z zależności określających siłę lub moment, z jaką pole magnetyczne
działa na próbne elementy prądowe. Podobnie – za pomocą siły działającej w polu elektrycznym na
próbny ładunek – zostało określone natężenie pola elektrycznego (rozdz. 1).
α
B
a) ∆Q⋅ v
Próbny element prądowy określonego rodzaju wyraża się ilościowo
v
jako:
∆Q
- iloczyn małego ładunku elektrycznego ∆Q i wektora jego
∆F
prędkości v (rys. a),
α
b) I⋅ ∆l
B
- iloczyn prądu I płynącego w krótkim, prostoliniowym odcinku
∆l
przewodu, i wektora jego długości ∆l o zwrocie zgodnym ze zwroI ∆F
tem prądu (rys. b),
- iloczyn prądu I i wektora pola powierzchni ∆S płaskiej pętli
c) I⋅ ∆S
B
α
prądu, nazywany dipolowym momentem magnetycznym; przy czym
I
moduł ∆S równa się polu powierzchni ∆S, kierunek ∆S jest zgod∆S
pµ
ny z normalną do powierzchni, a zwrot – ustalony względem zwro∆M
tu prądu zgodnie z regułą korkociągu (rys. c).
Siła ∆F (moduł ∆F)lub moment ∆M (moduł ∆M), działające na próbne elementy prądowe, to iloczyny wektorowe wyrażających je wielkości przez indukcję magnetyczną B:
- siła ∆F (N), nazywana siłą Lorentza, z jaką pole magnetyczne działa na ładunek elektryczny
∆Q (C), poruszający się z prędkością v (m s-1)
∆F = ∆Q ⋅ v × B ,
∆F = ∆Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sin α ,
(5.1a, a’)
- siła ∆F (N), nazywaną siłą Ampere’a, z jaką pole magnetyczne działa na mały, prostoliniowy
odcinek przewodu z prądem I (A), o długości skierowanej ∆l (m)
∆F = I ⋅ ∆l × B ,
∆F = I ⋅ ∆l ⋅ B ⋅ sin α ,
(5.1b, b’)
- moment ∆M (N m), z jaką pole magnetyczne działa na dipol magnetyczny o prądzie I (A) i
powierzchni ∆S (m2)
∆M = I ⋅ ∆S × B = p µ × B ,
∆M = I ⋅ ∆S ⋅ B ⋅ sin α ,
(5.1c, c’)
przy czym dipolowy moment magnetyczny
p µ = I ⋅ ∆S .
(5.1c”)
Jak widać, między miarami elementów prądowych i modułami sił lub momentów, działających na
te elementy w polu magnetycznym, zachodzi proporcjonalność wyrażona współczynnikiem
( B ⋅ sin α ) . Moduły sił ∆F i momentów ∆M osiągają największe wartości, jeśli wielkości występu-
94
Wykład XI
jące w iloczynach wektorowych zależności: (5.1a), (5.1b) oraz (5.1c), są do siebie prostopadłe
(α = π/2). Zakładając prostopadłość wektorów odpowiednich wielkości (odpowiednie ustawienie
elementu prądowego w polu magnetycznym), definicję indukcji B można uformować – wg zależności: (5.1a’), (5.1b’) oraz (5.1c’) – na podstawie granicznych wartości modułów:
∆Fmax
∆Fmax
∆M max
,
,
.
(5.2a, b, c)
B = lim
B = lim
B = lim
∆Q →0 ∆Q ⋅ v
∆l →0 ∆l ⋅ I
∆S →0 ∆S ⋅ I
Jednostką indukcji magnetycznej jest tesla (T), wyrażana w jednostkach innych wielkości jako weber na metr do kwadratu (Wb⋅m-2) albo wolt razy sekunda na metr do kwadratu (V⋅s⋅m-2).
Jeśli moduł, kierunek i zwrot siły lub momentu pochodzenia magnetycznego, jakie działają na określony element prądowy, są stałe w dowolnym miejscu rozważanej przestrzeni (przy jednakowym
zorientowaniu elementu względem osi układu współrzędnych), to indukcja magnetyczna jest stała
co do modułu, kierunku i zwrotu. Pole magnetyczne występujące w tej przestrzeni jest polem równomiernym.
Krzywe styczne we wszystkich punktach do wektora indukcji magnetycznej, zgodnie z nim skierowane, noszą nazwę linii pola magnetycznego. Efekt działania pola na elementy prądowe jest najsilniejszy, jeśli są one skierowane pod kątem prostym do linii pola magnetycznego.
Na ładunek elektryczny poruszający się w polu magnetycznym działa siła skierowana prostopadle
do płaszczyżny wyznaczonej przez linie pola i wektor prędkości ładunku. Tor ruchu cząstki w stałym, równomiernym polu magnetycznym ulega więc zakrzywieniu. Przykładem takiego działania
jest odchylanie wiązki elektronów w lampie kineskopowej.
Na odcinek przewodu prostoliniowego z prądem działa siła wypychająca go w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez linie pola i przewód.
Na płaski zwój przewodu z prądem działa moment obracający go prostopadle do płaszczyzny wyznaczonej przez linie pola i normalną do płaszczyzny zwoju.
Strumień magnetyczny
Strumień magnetyczny ∆Φ przenikający przez powierzchnię ∆S , tzn. strumień wektora indukcji
magnetycznej B przez element powierzchni ∆S (rys.), jest skalarem
∆Φ = B ⋅ ∆S = B ⋅ ∆S ⋅ cos α .
(5.3a)
gdzie ∆S = ∆S⋅1n – wektor normalny do elementu powierzchS
∆S
ni ∆S (w przypadku powierzchni zamkniętej – skierowany
∆Φ
na
zewnątrz tej powierzchni).
Φ
Strumień magnetyczny Φ przenikający przez powierzchnię S,
tzn.
całka powierzchniowa B po S , jest skalarem
S
∆S
Φ = ∫ B ⋅ dS .
(5.3b)
α
B
S
W równomiernym polu magnetycznym strumień Φ przez powierzchnię S prostopadłą do B (moduł: B) jest równy iloczynowi
Φ = B⋅S .
(5.3c)
Jednostką strumienia magnetycznego jest weber (Wb) czyli wolt razy sekunda (V⋅s).
Strumień magnetyczny przenikający przez powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru
(5.4)
∫ B ⋅ dS = 0 .
1
∆S
S
Wynika z tego, że pole magnetyczne jest polem bezźródłowym (solenoidalnym), a jego linie są liniami zamkniętymi. Stwierdzenie to wyraża tzw. zasadę ciągłości linii pola magnetycznego.
W przestrzeni ograniczonej liniami pola magnetycznego strumień ma stałą wartość. Można więc
tworzyć „rurki” („komórki”) strumienia magnetycznego, z nich zaś – obwód magnetyczny, przypominający obwód elektryczny. Rola strumienia magnetycznego w analizie obwodów magnetycznych
jest podobna do roli prądu elektrycznego w analizie obwodów elektrycznych.
95
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Natężenie pola magnetycznego. Przenikalność magnetyczna
Wektor indukcji magnetycznej B pola wytworzonego przez określony układ elementów prądowych
zależy od własności magnetycznych środowiska.
Wielkością magnetyczną, która nie zależy od własności środowiska, a tylko od rodzaju i układu
geometrycznego elementów prądowych wytwarzających pole, jest natężenie pola magnetycznego H.
W środowisku izotropowym wektory B i H mają ten sam kierunek i zwrot, a związek ten wyraża
się zależnością (wektorowo i skalarnie):
B = µ⋅H ,
B = µ⋅H .
(5.5a, b)
Występująca w nim wielkość µ to przenikalność magnetyczna, będąca iloczynem stałej magnetycznej
(przenikalności magnetycznej próżni) µ0 i przenikalności magnetycznej względnej środowiska µr:
µ = µ0 ⋅ µr .
(5.5c)
Przenikalność magnetyczna µ jest podstawową stałą materiałową magnetyka.
Jednostką natężenia pola magnetycznego jest amper na metr (A⋅m-1). Odwołując się do jednostki
indukcyjności – henra (H) czyli omosekundy (Ω⋅s), stałą magnetyczną µ0 i przenikalność magnetyczną µ wyraża się w henrach na metr (H⋅m-1) czyli omach razy sekunda na metr (Ω⋅s⋅m-1).
Stała magnetyczna ma wartość µ0 = 4π ⋅ 10 – 7 H/m.
Prawo Biota-Savarta-Laplace’a. Prawo przepływu prądu (prawo Ampere’a)
W środowisku jednorodnym i izotropowym obowiązuje zasada superpozycji pól magnetycznych
pochodzących od różnych źródeł. Natężenie pola pochodzące od przewodu z prądem jest równe
sumie natężeń pochodzących od odcinków tego przewodu. Wkład (przyczynek) dH – elementarnego odcinka przewodu dl z prądem i – do natężenia pola magnetycznego H w punkcie położonym w
odległości r od dl (rys. a), zapisuje się w postaci wektorowej albo skalarnej:
i
i ⋅ dl
a)
(5.6a)
dH =
⋅
(
d
l
×
r
)
=
⋅ (1dl × 1r ) ,
3
2
4
π
⋅
r
4
π
⋅
r
dl
α
i
dH
i ⋅ dl
(5.6b)
dH =
⋅ sin α .
r
4π ⋅ r 2
Powyższa formuła słowna oraz zależności analityczne (5.6a) i
b)
H
(5.6b) wyrażają prawo Biota-Savarta-Laplace’a.
ik
dl
Całka liniowa wektora natężenia pola magnetycznego H po
krzywej zamkniętej (całka okrężna) równa się sumie prądów
przenikających (przepływowi prądu Θ ) przez powierzchnię rozpiętą na tej krzywej (rys. b):
k = 1, 2, ...
c)
n
∫ H ⋅ dl = ∑ ik = Θ .
B, H
I
B, H
I
L
(5.7)
k =1
Powyższa formuła słowna oraz zależność analityczna (5.7) wyrażają prawo przepływu prądu (prawa Ampere’a).
Wartość całki we wzorze (5.7) jest w ogólnym przypadku różna
od zera. Pole magnetyczne jest więc polem wirowym.
Linie pola magnetycznego wokół nieskończenie długiego przewodnika z prądem układają się koncentrycznie (rys. c).
Przykład. Na podstawie praw Biota-Savarta-Laplace’a oraz Ampere’a, zostanie wyprowadzony
wzór na natężenie pola magnetycznego H w odległości a od nieskończenie długiego przewodu z
prądem i.
96
Wykład XI
I sposób. Z rys. c’ wynikają zależności:
x = a ⋅ ctg(π − α ) = − a ⋅ ctg α ,
zatem
a
dx =
⋅ dα ,
sin 2 α
c’)
a
,
sin α
a2
r2 =
,
sin 2 α
r=
a
r
π
H =∫
i
4π ⋅ a
0
⋅ sin α ⋅ dα =
1r
π -α
i
i
2π ⋅ a
II sposób. Z rys. c” i wzoru (5.7) wynika równanie
i
2π ⋅ a ⋅ H = i , stąd H =
.
2π ⋅ a
.
α
x
x dx 1x
0
a po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (5.6b)
otrzymuje się
y
dH, H
c”)
H
i
a
Oddziaływanie elektrodynamiczne. Definicja jednostki prądu elektrycznego
Położone blisko siebie przewody z prądem przyciągają się lub odpychają. Oddziaływania tego rodzaju zwykło się określać jako elektrodynamiczne.
W przypadku dwóch prostoliniowych, nieskończenie długich, biegnących równolegle do siebie, cienkich przewodów z prądem (rys. poniżej oraz wzór otrzymany w przedstawionym wyżej przykładzie):
- siła Ampere’a działająca na jednostkę długości pierwszego prze∆F1
i1
wodu, pochodząca od prądu drugiego przewodu
B2 ∆l1
F1
i
µ
a
= i1 ⋅ B2 = i1 ⋅ µ ⋅ 2 =
⋅ i1 ⋅ i2 ,
(5.8a)
i2
B1 ∆l2
l
2π ⋅ a 2π ⋅ a
- siła Ampere’a działająca na jednostkę długości drugiego prze∆F2
wodu, pochodząca od prądu pierwszego przewodu
∆l 1 i 1
F2
i
µ
= i2 ⋅ B1 = i2 ⋅ µ ⋅ 1 =
⋅ i1 ⋅ i2 ,
(5.8b)
B2
∆F1
l
⋅
a
⋅
a
2
π
2
π
a
∆F2 i2
B1
F1 F2
µ
więc
=
=
⋅ i1 ⋅ i2 .
(5.8c)
∆l 2
l
l
2π ⋅ a
Widać, że przewody odpychają się przy przeciwnym zwrocie prądów, a przyciągają – przy zgodnym.
F
Jeśli: i1 = i2 = 1 A, µ = µ 0 = 4π ⋅ 10 −7 H/m, a = 1 m, to
= 2 ⋅ 10 −7 N/m.
l
W ten sposób, za pomocą siły oddziaływania elektrodynamicznego przewodów z prądem elektrycznym, definiuje się podstawową jednostkę elektryczną: amper (A) jest natężeniem prądu, który
płynąc w dwóch prostoliniowych, nieskończenie długich przewodach o pomijalnie małym
przekroju kołowym, umieszczonych w próżni i biegnących równolegle do siebie w odległości 1 m,
wywołuje między nimi siłę równą 2⋅10-7 N na każdy metr długości.
Diamagnetyki i paramagnetyki
O magnetycznych właściwościach ciał decyduje budowa atomów i ich przestrzenne, wzajemne ułożenie. Wspomniane wcześniej prądy molekularne, odpowiadające orbitalnym i spinowym ruchom
elektronów oraz przypisanym im orbitalnym i spinowym momentom magnetycznym, są głównym
źródłem wypadkowych pól magnetycznych atomów. Ruchom protonów i neutronów wewnątrz jąder atomów odpowiadają wypadkowe momenty magnetyczne jąder, ale są one około 2000 razy
mniejsze od orbitalnego i spinowego momentu elektronu.
Jeśli atomy ciała nie wytwarzają wypadkowego pola magnetycznego w nieobecności zewnętrznego
pola magnetycznego, czyli pola orbitalne oraz spinowe atomów kompensują się, to ciało takie zalicza się do diamagnetyków.
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
97
pµ 1
Pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego występują w
B=0
nich niewielkie zmiany wypadkowych momentów magnetyczpµ 1 = pµ 2
pµ 2
pµ = pµ 1 + pµ 2 = 0
nych par elektronów, które zajmują w atomach te same poziomy
energetyczne (rys. obok). Reakcja każdej pary elektronów na
zewnętrzne pole magnetyczne jest podobna. Powstaje słabe,
B≠0
pµ 1’
wypadkowe wewnętrzne pole magnetyczne, skierowane przeB
p
’
<
p
’
µ
1
µ
2
ciwnie do pola zewnętrznego. Efekt ten, wyrażający się osłabiepµ ’ = pµ 1’+ pµ 2’≠ 0
pµ 2’
niem w nikłym stopniu pola zewnętrznego, określa się jako efekt
diamagnetyczny.
Jeśli atomy ciała wytwarzają wypadkowe pole magnetyczne, czyli pola orbitalne oraz spinowe atomów nie kompensują się, a kierunki i zwroty pól w ramach tworzonych przez cząsteczki struktur
przestrzennych są zupełnie dowolne, to ciało takie zalicza się do paramagnetyków.
Atomy paramagnetyków można przedstawić jako elementarne
magnesy, które dążą do zajęcia położenia zgodnego z polem
B=0
×
zewnętrznym (rys. obok). Działanie to, utrudniane w znacznym
stopniu przez ruchy cieplne cząsteczek, prowadzi do powstania
wypadkowego wewnętrznego pola magnetycznego, skierowanego zgodnie z polem zewnętrznym. Wynikiem jest niewielkie
B≠0
×
wzmocnienie pola zewnętrznego, określane jako efekt paramagnetyczny. W paramagnetykach występuje również efekt diamagnetyczny, ale jest on słabszy od paramagnetycznego.
Zewnętrzne pole magnetyczne nie wpływa zatem wyraźnie na zmianę ustawienia dipoli magnetycznych w dia- i paramagnetykach. Ciała te nie mają szczególnych własności magnetycznych.
Przenikalność magnetyczna względna diamagnetyków jest znikomo mniejsza, a paramagnetyków –
znikomo większa od 1 (np. srebro ma µr ≅ 0,99998, zaś aluminium 1,00002). Diamagnetyki są
przez magnes słabo odpychane, a paramagnetyki słabo przyciągane.
Ferromagnetyki
Nadzwyczajne właściwości magnetyczne wykazują ferromagnetyki. Ich kryształy dzielą się na elementarne przestrzenne obszary samorzutnego namagnesowania, w których atomowe pola magnetyczne (typu paramagnetycznego) są zorientowane zgodnie, chociaż w różny sposób w poszczególnych obszarach. Obszary te nazwano domenami magnetycznymi. Domeny wyraźnie reagują na pojawienie się zewnętrznego pola magnetycznego. Dążą do zorientowania swych pól zgodnie z polem
zewnętrznym (dotyczy to głównie momentów spinowych elektronów) przez przejmowanie i podporządkowanie tej orientacji części cząsteczek sąsiednich domen i przez „poprawę” własnego ustawienia. Nazywa się to poglądowo obrotem i rozrostem domen, chociaż jedno i drugie zjawisko polega w zasadzie na tym samym: zmianie orientacji momentu dipoli magnetycznych. Efektem tego
„przeorientowania” jest magnesowanie się ciała. Ferromagnetyk nienamagnesowany jest silnie
przyciągany przez magnes, bowiem w wyniku przeorientowania domen sam staje się magnesem.
Po usunięciu zewnętrznego pola pozostaje w ferromagnetyku
wierzchołek
jakieś namagnesowanie. Zależnie od tego, jak jest ono duże,
pętli
histerezy
B
mówi się o materiale, że jest magnetycznie miękki albo magneBs
krzywa
tycznie twardy. Materiałów magnetycznie twardych używa się
magnesoBr
do wyrobu magnesów trwałych.
wania
Hc
H
Zależność B = f(H) materiałów ferromagnetycznych przedstawia
0
krzywe magnesowania pierwotnego i pętle histerezy (rys. obok).
pętla histerezy
Przenikalność magnetyczna względna µr różnych ferromagnetyBs – indukcja
ków – statyczna bądź dynamiczna poniżej punktu nasycenia –
nasycenia
zawiera się w przedziale wartości od kilkuset (nikiel – ok. 600)
Br – remanencja
Hc – koercja
do kilkuset tysięcy (czyste żelazo – ok. 200 tysięcy).
98
Wykład XI
Polaryzacja magnetyczna (magnetyzacja)
Zjawisko powstawania wewnętrznego pola magnetycznego pod wpływem pola zewnętrznego nazywa się
polaryzacją magnetyczną lub magnetyzacją – przez analogię do polaryzacji elektrycznej w dielektrykach.
Na zasadzie podobnej analogii wprowadza się pojęcie wektora polaryzacji magnetycznej, krótko: polaryzacji magnetycznej lub magnetyzacji M (oznaczenie rezerwowe J), określonego wzorami:
p µ .∆v
.
(5.9)
M = lim
∆v →0 ∆v
M =κ ⋅H ,
(5.10)
gdzie: ∆v – objętość,
pµ.∆v - suma momentów dipoli magnetycznych cząsteczek zawartych w objętości ∆v,
κ - podatność magnetyczna środowiska, wielkość bezwymiarowa.
Wypadkowe wewnętrzne pole magnetyczne może być skierowane – względem pola zewnętrznego
– zgodnie (paramagnetyki i ferromagnetyki) lub przeciwnie (diamagnetyki), zatem κ może przybierać wartości dodatnie i ujemne.
Indukcja magnetyczna wyraża się wzorem
B = µ 0 ⋅ µ r ⋅ H = µ 0 ⋅ H + µ 0 ⋅ M = µ 0 ⋅ (1 + κ ) ⋅ H ,
(5.11a)
µr = 1+ κ .
czyli
(5.11b)
Prawa dotyczące obwodów strumienia stałego (magnetostatycznych)
Pole magnetyczne związane z prądem stałym jest nazywane polem magnetostatycznym (magnetycznym statycznym). Polem magnetostatycznym jest także pole magnetyczne wytworzone przez magnes trwały. Zazwyczaj rozważa się przypadki pola magnetostatycznego w rdzeniu ferromagnetycznym (magnetowodzie) i występujących w nim szczelinach powietrznych. Stosowanie ferromagnetyka pozwala uzyskać koncentrację strumieni magnetycznych wzdłuż założonych dróg, które
tworzą obwód magnetyczny (pojęcie to odnosi się do układów ze strumieniami stałymi w czasie i
wolnozmiennymi).
Obwód magnetyczny jest to zespół elementów tworzących drogi zamknięte dla strumieni magnetycznych, wraz ze źródłami tych strumieni, którymi są prądy elektryczne w uzwojeniach lub magnesy trwałe. Z powodu stosowania ferromagnetyków, obwody magnetyczne są z reguły nieliniowe.
Gałęziami obwodu magnetycznego są odcinki o stałym strumieniu, zaś węzłami – miejsca rozgałęziania się strumieni gałęziowych. Gałęzie składają się na ogół z odcinków o stałym przekroju.
Przyjmuje się, że pole magnetyczne jest w tych przekrojach równomierne.
Suma strumieni magnetycznych w węzłach jest równa zeru (I prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego), co zapisuje się następująco:
(5.12)
∑Φ k = 0 ,
k
przy czym strumienie dopływające k-tych gałęzi bierze się tradycyjnie ze znakiem „plus”, a odpływające – ze znakiem „minus”.
Zgodnie z prawem Ampere’a, wzdłuż oczek obwodu magnetycznego – z uzwojeniami jako źródłami pola – obowiązują następujące, równoważne zależności (II prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego):
∑ H k ⋅ l k = ∑ I k ⋅ z k , ∑U µ .k = ∑Θ k , ∑U µ .k = ∑ Fµ .k , (5.13a, b, c)
k
k
przy czym:
k
U µ .k = H k ⋅ l k ,
k
k
Θ k = Fµ .k = I k ⋅ z k ,
k
(5.13d, e)
gdzie: Hk – natężenie pola magnetycznego w magnetyku k-tej gałęzi należącej do oczka,
lk – długość drogi strumienia w magnetyku k-tej gałęzi należącej do oczka,
Ik – prąd elektryczny w uzwojeniu k-tej gałęzi należącej do oczka,
zk – liczba zwojów uzwojenia k-tej gałęzi należącej do oczka,
99
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Uµ.k – napięcie magnetyczne (mierzone w amperach) k-tej gałęzi należącej do oczka,
Θk – przepływ prądu, inaczej wzbudność (w amperach) k-tej gałęzi należącej do oczka,
Fµ.k – siła magnetomotoryczna (inaczej nazwany i oznaczony przepływ prądu) k-tej gałęzi
należącej do oczka.
Dla k-tych liniowych części (gałęzi) obwodu magnetycznego, np. szczelin powietrznych, wprowadza
się pojęcia reluktancji (oporu magnetycznego) Rµ.k i permeancji (przewodności magnetycznej) Λµ.k :
lk
µ ⋅S
1
R µ .k =
= k k ,
,
(5.14a, b)
Λ µ .k =
µk ⋅ Sk
R µ .k
lk
gdzie: lk – długość rozważanej, liniowej k-tej gałęzi obwodu magnetycznego,
Sk – powierzchnia przekroju poprzecznego, przez którą przenika strumień k-tej gałęzi,
µk – przenikalność magnetyczna materiału k-tej gałęzi.
Jednostką permeancji jest henr (H) czyli omosekunda (Ω⋅s).
Jednostką reluktancji jest odwrotność henra (H-1) czyli simens na sekundę (S⋅s-1).
a)
lk
B
Φ
Φ k Rµ .k
Skoro H = =
, więc U µ .k = H k ⋅ l k =
⋅ Φ k = R µ .k ⋅ Φ k
µ µ⋅S
µk ⋅ Sk
Uµ .k
(rys. a), zatem liniowej części obwodu magnetycznego odpowiadają nastęące zależności (prawo Ohma dla obwodu magnetycznego – rys. b):
puj
b)
Φ Rµ
U µ = Rµ ⋅ Φ ,
Φ = Λµ ⋅ U µ ,
(5.15a, b)
Uµ
c)
Φ
zaś nierozgałęzionemu liniowemu obwodowi magnetycznemu można przypisać równania (rys. c):
Θ = Rµ ⋅ Φ ,
Φ = Λµ ⋅ Θ ,
(5.16a, b)
Rµ
gdzie: Θ – przepływ całkowity, tzn. sumaryczny przepływ prądów uzwojeń;
Rµ i Λµ – reluktancja i permeancja części albo całego obwodu liniowego.
Θ
Obwód magnetostatyczny nierozgałęziony
Uzwojeniu nawiniętemu na rdzeń ze szczeliną powietrzną (rys. a) odpowiada nierozgałęziony obwód
magnetyczny, złożony z dwóch części (rys. b): nieliniowej pasywnej (żelazo) i liniowej aktywnej
(uzwojenie i szczelina powietrzna). Aby wyznaczyć Φ, znając Θ i wykres zależności nieliniowej
Bż (Hż), można skorzystać z metody przecięcia charakterystyk, znanej z teorii obwodów elektrycznych. W układzie współrzędnych Uµ ,Φ wrysowuje się charakterystyki części nieliniowej Φ ż (Uµ .ż )
i liniowej Φ p (Uµ .ż ), a następnie określa parametry odpowiadające punktowi ich przecięcia (rys. c).
Charakterystykę części nieliniowej pasywnej Φ ż (Uµ .ż ) uzyskuje się z przeskalowania charakterystyki magnesowania żelaza B(H), wg wzorów: U µ . ż = H ⋅ l ż , Φ ż = B ⋅ S ż .
Charakterystyka części liniowej aktywnej Φ p (Uµ .ż ) wynika z równania obwodu:
Θ = U µ . p + U µ . ż , czyli Θ = Rµ . p ⋅ Φ p + U µ . ż , zapisanego jako równanie prostej
Φ p = Φ p (U µ . ż ) =
Θ − U µ .ż
, gdzie stałymi są Θ = z ⋅ i i Rµ . p =
Rµ . p
B, H
a)
i
Φ
b)
Φp =Φ
Sp
.
Φż =Φ
Φp,Φż
Θ
Rµ .p
lp
z
µ0 ⋅ S p
c)
Sż
lż
lp
Θ
Uµ .p
Φ ż (Uµ .ż)
Rµ .p
Uµ .ż
(Rµ .ż)
Φ
Φ p (Uµ .ż)
Uµ .ż
0
Uµ .ż
Θ
100
Wykład XI
Zwykle nie przeskalowuje się danej wykreślnie charakterystyki magnesowania żelaza Bż (Hż) , tylko
pozostaje przy współrzędnych Hż , Bż , dostosowując do nich charakterystykę części liniowej:
B p ' (H ż ) =
Φ (H ż )
Sż
=
U µ. p (H ż )
Rµ . p ⋅ S ż
=
Θ − H ż ⋅ lż
Rµ . p ⋅ S ż
Bż
Θ
(rys. obok).
Bż (Hż)
Rµ .p⋅ Sż
Punkt przecięcia charakterystyk Bż(Hż) i Bp’ (Hż) wyznacza
Bż
Bp’ (Hż)
szukaną wartość indukcji magnetycznej Bż , stąd Φ = B ż ⋅ S ż .
Hż
0
Hż
Θ
1,4
1806
1,5
2846
Jeśli zależność nieliniowa Bż (Hż) dana jest w postaci numerycznej,
lż
to zwykle wyznacza się charakterystykę wypadkową Φ (Θ ), też w postaci numerycznej.
1 Φ
Dla wartości Bż i Hż oblicza się wartości: Φ = B ż ⋅ S ż , Θ = U µ.ż + U µ. p = H ż ⋅ l ż + ⋅ ⋅ l p .
µ0 S p
Szukaną wartość Φ, przy danej wartości Θ, wyznacza się dokładnie na zasadzie interpolacji.
Obliczanie wartości Θ, przy danych wartościach Bż lub Φ, jest dużo łatwiejsze, albowiem punktem
wyjścia jest wielkość, do której bezpośrednio odnosi się związek nieliniowy.
W powyższych rozważaniach pominięto wpływ grubości płytek na rdzeniu przy szczelinie powietrznej, ustalających powierzchnię jej przekroju (jeśli jest ona różna od powierzchni przekroju rdzenia).
Przykład. W rdzeniu stalowym ze szczeliną powietrzną o danych: Sż = Sp = 25 cm2, lż = 120 cm,
lp = 2 mm, uzwojenie wytwarza przepływ Θ = 2600 A. Szukana jest wartość strumienia Φ.
Charakterystyka magnesowania rdzenia jest zadana numerycznie:
B (T)
H (A/m)
0,5
299
0,6
359
0,7
423
0,8
488
0,9
568
1,0
668
1,1
812
1,2
1002
1,3
1317
1,6
5134
Wyznacza się wartości Φ i Θ dla spodziewanego fragmentu wypadkowej charakterystyki Φ (Θ ), po
czym znajduje wartości skrajne przedziałów, w którym są wartości: zadana Θ i szukana Φ.
B (T) H (A/m) Φ (10-3 Wb)
Θ (A)
Obliczenie wartości Φ dla Θ = 2600 A:
0,8
0,9
1,0
1,1
488
568
668
812
2,00
2,25
2,50
2,75
1811
2114
2393
2725
2600 − 2393
≅ 2,656 ;
2725 − 2393
Φ = 2,656⋅10-3 Wb .
2,5 + (2,75 − 2,5) ⋅
Obwód magnetostatyczny rozgałęziony
Przykład. W rdzeniu stalowym ze szczeliną powietrzną (rys.) o danych: S1 = S2 = Sp = 25 cm2,
S3 = 10 cm2, l1 = l2 = 60 cm, l3 = 40 cm, lp = 2 mm, uzwojenie wytwarza przepływ Θ = 2600 A. Szukana jest wartość indukcji Bp . Charakterystyka magnesowania rdzenia jest zadana numerycznie (jw.).
Φ p = B p ⋅ S p = Φ 2 ; B2 = B p → H2 ;
Φ1 Φ2 (Rµ .2)
l1
Φ2
Φ1
l2 /2
U µ 3 = U µ 2 + U µ. p = l 2 ⋅ H 2 + l p ⋅ B p µ 0 ;
Uµ 1 Φ3 Uµ 2
Φ3
(Rµ .1)
H 3 = U µ3 l3 → B3 ; Φ 3 = B3 ⋅ S 3 ;
Θ
lp
Uµ 3
l3
Uµ .p
Θ
Φ = Φ + Φ ; B = Φ S → H1 ;
l2 /2
(Rµ .3)
1
Rµ .p
Bp (T)
0,6
0,7
0,8
0,77
Φp (mWb) H2 (A/m) Uµ3 (A) H3 (A/m)
1,50
1,75
2,00
359
423
488
3
p
1
1
1
Θ = U µ1 + U µ3 = l1 ⋅ H1 + U µ3 .
B3 (T) Φ1 (mWb)
1170
2925
1,503
3,00
1368
3420
1,525
3,28
1566
3915
1,547
3,55
← wynik interpolacji
B1 (T)
1,20
1,31
1,42
H1 (A/m)
1002
1366
2014
Θ (A)
1771
2188
2774
2600
101
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Wykład XII. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
Prawo indukcji elektromagnetycznej (prawo Faradaya). Reguła Lenza
W obwodzie (zwoju) obejmującym zmieniający się w czaB
a)
v
sie strumień magnetyczny Φ powstaje napięcie indukowaN
S
ne uind (siła elektromotoryczna indukowana eind ) o wartości bezwzględnej proporcjonalnej do zmian strumienia w
uind
czasie dΦ / dt, niezależnej od sposobu wywoływania
b)
B(t)
zmian strumienia obejmującego uzwojenie, np. poprzez
ruch uzwojenia w polu magnetycznym niezmiennym w
czasie (rys. a), czy poprzez zmiany prądu w umieszczouind
i(t)
nym obok, nieruchomym uzwojeniu (rys. b).
Wzory definicyjne, nadające różne znaki napięciu indukowanemu uind i sem indukowanej eind , mają
następujące postaci:
dΦ
dΦ
,
.
(5.17a, b)
uind =
eind = −
dt
dt
Aby określić zwrot uind lub eind , korzysta się z reguły Lenza (nazywanej prawem przekory), w myśl
której: skutek wynikający z przebiegu zjawiska „stara się” przeciwdziałać przyczynie wywołującej
to zjawisko. Dla ułatwienia można posłużyć się hipotetycznym prądem Lenza iL , który wytwarza
strumień przeciwstawiający się zmianom strumienia podstawowego (rys. a’ i b’).
Φ > 0 , dΦ
a’)
b’)
dt
+
uind
eind
–
×
×
×
×
iL
× B = const.
× v ×
×
×
×
×
eind
dΦ
>0 ×
dt
×
–
×
×
+
uind
×
×
B
>0
×
iL
Cewka indukcyjna
Cewka indukcyjna (inaczej: zwojnica, solenoid, induktor) jest uzwojeniem o określonej liczbie zwojów, wraz z otoczeniem stanowiącym środowisko wytwarzanego pola magnetycznego.
Przez strumień magnetyczny cewki (obejmowany przez cewkę) rozumie się strumień obejmowany
przez jej zwoje. Zwoje cewki są rozłożone w przestrzeni, więc ogólnie każdy z nich może obejmować inny strumień (inną część strumienia cewki). Strumień obejmowany przez zwój cewki nazywa
się strumieniem skojarzonym z tym zwojem lub skojarzeniem magnetycznym tego zwoju.
Cewka przedstawiona na rys. obok składa się ze zwojów o numeΦ1
rach: 1, 2, ... , z, obejmujących strumienie: Φ1, Φ2, ... , Φz .
Φz
Napięcie indukowane w cewce jest sumą napięć indukowanych w
jej zwojach (przez strumienie z nimi skojarzone):
1
2
3
uind
dΦ k d (Φ1 + Φ 2 + ... + Φ z ) dΨ
=
=
.
dt
dt
k =1 dt
z
u ind = ∑
(5.18)
Wielkość Ψ , tzn. suma strumieni skojarzonych ze zwojami cewki
z
z
Ψ = Φ1 + Φ 2 + ... + Φ z = ∑Φ k .
(5.18a)
k =1
nazywa się strumieniem skojarzonym z cewką lub skojarzeniem
magnetycznym cewki.
102
Wykład XII
Jeśli skojarzenia magnetyczne poszczególnych zwojów cewki są jednakowe, równe strumieniowi
obejmowanemu przez cewkę
Φ = Φ1 = Φ 2 = ... = Φ z ,
(5.19a)
to skojarzenie magnetyczne cewki wynosi
Ψ = z ⋅Φ ,
a napięcie indukowane w niej dΦ
.
uind = z
dt
(5.19b)
(5.19c)
Indukcyjność własna
Zjawisko indukowania się napięcia w cewce lub pojedynczym zwoju (obwodzie elektrycznym),
wskutek zmian prądu płynącego w tej cewce lub tym zwoju, nazywa się indukcją własną lub samoindukcją. Takie cewki lub zwoje, występujące jako elementy obwodu, noszą miano indukcyjności.
Miarą zdolności cewki (zwoju, obwodu) z prądem i, do wytworzenia własnego strumienia skojarzonego Ψ, jest indukcyjność własna wyrażona wzorem
L=
Ψ
.
(5.20)
i
Jednostką indukcyjności własnej jest – wymieniony już wcześniej – henr (T) czyli omosekunda (Ω⋅s).
Ogólnie, na wartość stosunku Ψ do i może wpływać wartość oraz charakter zmienności Ψ lub i.
Zależność Ψ (i) jest więc w ogólnym przypadku nieliniowa (rys. a). Jeśli uzwojenie cewki jest osadzone na rdzeniu ferromagnetycznym, który stanowi magnetowód, to wykres Ψ (i), podobnie jak
B(H), przedstawia pętlę histerezy (rys. b). Cewki (indukcyjności) o charakterystykach nieliniowych
– bez histerezy i z histerezą – nazywa się nieliniowymi.
a)
b)
Ψ
c)
Ψ
i
Ψ
i
i
0
0
0
Operowanie pojęciem L ma sens, jeśli stosunek Ψ do i ma stałą wartość, czyli zależność Ψ (i) jest
liniowa (rys. c). Taka cewka (indukcyjność) nosi nazwę liniowej. Cechę liniowości mają cewki z
uzwojeniami umieszczonymi w środowisku o stałej wartości przenikalności magnetycznej µ.
W praktyce za liniowe uważa się cewki bezrdzeniowe (powietrzne) oraz – w ograniczonym zakresie – cewki o rdzeniach stalowych ze szczeliną powietrzną i cewki o rdzeniach wykonanych ze specjalnych materiałów (perminvar, izoperm).
Przy równych strumieniach skojarzonych z poszczególnymi zwojami cewki (rys.):
Φ = Φ1 = Φ 2 = ... = Φ z ,
(5.21a)
Ψ
Φ
=
Θ =zi
z
Ψ = z ⋅Φ ,
(5.21b)
i
uind
iL
Uµ
z
Φ
Rµ
i
L=
Φ z2
z ⋅Φ
= z2 ⋅ =
= z 2 ⋅ Λµ ,
Θ Rµ
i
di
.
(5.22)
dt
Napięcie indukowane w cewce przez płynący przez
nią prąd nazywa się napięciem samoindukcji.
uind = L
uind
L
(5.21)
103
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Indukcyjność wzajemna
Zjawisko indukowania się napięcia w cewce lub pojedynczym zwoju (obwodzie elektrycznym),
wskutek zmian prądu płynącego w innej cewce lub innym zwoju, nazywa się indukcją wzajemną.
Takie cewki lub zwoje (sprzężone magnetycznie) noszą miano indukcyjności sprzężonych.
Zostaną przedstawione zależności dotyczące dwóch cewek sprzężonych (jeśli w układzie jest więcej takich cewek, to każde ze sprzężeń jest opisywane osobno z użyciem tej samej formuły).
Sprzężenie cewek nie jest nigdy idealne: część strumienia wyΦg1
i1
twarzanego przez prąd jednej cewki nie jest obejmowana przez
Φs1
drugą, i na odwrót. Strumienie własne Φ11 i Φ22 , wytwarzane
przez prądy i1 i i2 , dzielą się na strumienie główne (wzajemne)
z1
z2
Φg1 i Φg2 , i strumienie rozproszenia Φs1 i Φs2 (rys. obok):
Φ11 = Φ g1 + Φ s1 ,
(5.23a)
Φg2
Φ 22 = Φ g 2 + Φ s 2 .
i2
Φs2
z1
(5.23b)
Całkowite skojarzenia magnetyczne cewek są związane ze strumieniami własnymi i wzajemnymi (głównymi): Ψ1 z Φ11 i Φg2 ;
Ψ2 z Φ22 i Φg1 .
z2
Przyjęto, że strumienie składowe (własne oraz wzajemne) obejmują wszystkie zwoje jednej lub drugiej cewki, albo obu cewek.
Zakładając liniowość indukcyjności, tzn. proporcjonalność wszystkich rozważanych strumieni do
wywołujących je prądów (co sprowadza się do warunku niezmienności µ ), definiuje się wielkości
stałe (parametry cewek):
- indukcyjności własne
z ⋅Φ
z ⋅Φ
L1 = 1 11 ,
L2 = 2 22 ,
(5.24a, b)
i1
i2
- indukcyjności wzajemne
L12 =
- indukcyjności główne
L g1 =
z1 ⋅ Φ g 2
,
i2
z1 ⋅ Φ g1
i1
,
L21 =
Lg 2 =
z 2 ⋅ Φ g1
i1
z 2 ⋅Φ g 2
i2
,
(5.25a, b)
,
(5.26a, b)
- indukcyjności rozproszenia
z1 ⋅ Φ s1
z ⋅Φ
,
Ls 2 = 2 s 2 .
(5.27a, b)
i1
i2
Jednostką ww. indukcyjności jest henr (H) czyli omosekunda (Ω⋅s).
Wykazuje się, że jeśli strumienie Φg1 i Φg2 przebiegają w tym samym, jednorodnym środowisku
(µ = const.), to jest jedna indukcyjność wzajemna
L12 = L21 = M .
(5.28)
Z podanych wyżej wzorów wynika, że:
L1 = Lg1 + Ls1 , L2 = L g 2 + Ls 2 ,
(5.28a, b)
Ls1 =
oraz
L21 z 2
=
,
L g1 z1
więc
M =
L12
z
= 1 ,
Lg 2 z 2
czyli
z1 L g1
M
=
=
,
z2
M
Lg 2
z2
z
L g1 = 1 L g 2 = L g1 ⋅ L g 2 .
z1
z2
(5.28c)
104
Wykład XII
Wprowadzając współczynniki sprzężenia magnetycznego:
- cewki 2. względem 1
Φ g1 L g1
L
=
= 1 − s1 ,
Φ11
L1
L1
(5.29a)
Φ g 2 Lg 2
L
=
= 1 − s2 ,
Φ 22
L2
L2
(5.29b)
k 21 =
- cewki 1. względem 2.
k12 =
- cewek 1. i 2
M
k = k 21 ⋅ k12 =
L1 ⋅ L2
,
(5.29c)
M = k L1 ⋅ L2 .
otrzymuje się wzór
(5.29d)
Cewki sprzężone magnetycznie powinny mieć oznaczone
Φg1
gwiazdkami lub kropkami zaciski jednoimienne (inna nai1
i2
Φg2
zwa: jednakoimienne). Przy prądach dopływających do
Φs2
zacisków jednoimiennych z tej samej strony w obu cewuind.1
z1
z2
uind.2
kach, np. z zewnątrz (rys. obok), mówi się o sprzężeniu
dodatnim, a przy prądach dopływających z przeciwnych
Φs1
stron – o sprzężeniu ujemnym. Gdy sprzężenie jest dodatnie, strumienie główne cewek mają ten sam zwrot, a gdy
ujemne – przeciwny.
Strumienie główne cewek tworzą łącznie strumień główny całkowity Φg , zaś strumień główny i
strumienie rozproszenia – strumienie obejmowane przez cewki Φ1 i Φ2:
Φ g = Φ g1 ± Φ g 2 , Φ1 = Φ g + Φ s1 , Φ 2 = Φ g + Φ s 2 .
(5.30a, b, c)
Znak „±” we wzorze (5.30a) i w dalszych, niżej zamieszczonych zależnościach, oznacza przy sprzężeniu dodatnim „+”, a przy sprzężeniu ujemnym „–”. Cewki sprzężone przedstawia się symbolicznie,
używając pojęć indukcyjności własnych i wzajemnej (na rys. a – sprzężenie dodatnie). Skojarzenia
magnetyczne i napięcia indukowane cewek sprzężonych magnetycznie wyrażają się następująco:
i1
a)
uind.1
b)
M
L1
Ψ11
L 1 i1
i1
0
Ψ22
0
i2
L2
uind.2
Ψ12
0
L 2 i2
i2
+ M i2
i2
– M i2
Ψ21
+ M i1
i1
0
– M i1
Ψ1 = Ψ11 +Ψ12 = L1 ⋅ i1 ± M ⋅ i2 ,
(5.31a)
Ψ 2 = Ψ 22 +Ψ 21 = L2 ⋅ i2 ± M ⋅ i1 ,
(5.31b)
u ind .1 = L1 ⋅
di1
di
±M ⋅ 2 ,
dt
dt
(5.32a)
u ind .2 = L1 ⋅
di2
di
±M ⋅ 1 ,
dt
dt
(5.32b)
gdzie (rys. b):
Ψ11 = L1 ⋅ i1 ,
Ψ12 = ± M ⋅ i2 ,
(5.33a, b)
Ψ 22 = L2 ⋅ i2 ,
Ψ 21 = ± M ⋅ i1 .
(5.33c, d)
W literaturze spotyka się też inne zasady indeksowania podanych wyżej wielkości. Można np. spotkać oznaczenia Φg2 = Φ21 i Φg1 = Φ12 , prowadzące
w konsekwencji do oznaczeń Ψ21 i Ψ12 , w miejscu
przyjętych tu Ψ12 i Ψ21 .
105
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Energia pola magnetycznego cewki
Energia wytworzona w polu magnetycznym cewki, w czasie dt,
równa się pracy prądu w jej obwodzie elektrycznym (rys. a):
dWµ = uind ⋅ i ⋅ dt = i ⋅ dΨ ,
(5.34a)
i
a)
iL
uind
Φ =Ψ
z
z
albo
dΨ
= Θ ⋅ dΦ .
(5.34b)
z
Całkowita energia pola magnetycznego cewki wynosi
dWµ = i ⋅ z ⋅
Ψ
b)
Ψ
dΨ
Ψ1
Φ
Wµ
dWµ
Φ
dΦ
Φ1
Wµ
dWµ
Wµ =
Θ
i
Ψ (i )
∫ i ⋅ dΨ =
0
Φ (Θ )
∫Θ ⋅ dΦ
.
(5.34c)
0
Związki (5.34a, b, c) przedstawiono poglą0 i1
i
0 Θ1 Θ
dowo na rys. b.
Jeśli wartości Ψ lub Φ rosną, to pole obrazujące Wµ zwiększa się, czyli energia jest pobierana z
obwodu elektrycznego i gromadzona w polu magnetycznym, jeśli natomiast Ψ lub Φ maleją, to Wµ
zmniejsza się, czyli energia pola jest zwracana do obwodu. Idealna (bezrezystancyjna) cewka jest
więc elementem bezstratnym (konserwatywnym).
Ψ
Z zależności: (5.16a) i (5.20), dotyczących
a’)
i= L
obwodów pokazanych na rys. a’, oraz
Φ
Θ = Rµ Φ
(5.34c), wynikają następujące wzory dla
u
L
ind
Rµ
cewki liniowej:
b’)
Φ
Φ
Ψ
Wµ
Ψ
Wµ =
Wµ
0
Θ
i
0
i
Ψ
2
1
1
Ψ ⋅i = L ⋅i2 ,
(5.35b)
2L 2
2
Związki powyższe przedstawiono poglądowo
na rys. b’.
Wµ =
Θ
1
1
Θ2
Rµ ⋅ Φ 2 = Θ ⋅ Φ =
. (5.35a)
2
2
2 Rµ
=
Energia pola magnetycznego cewek sprzężonych
Energia pola magnetycznego wytwarzana przez prądy i1 i i2 w uzwojeniach dwóch cewek sprzężonych – przy zmianach skojarzeń magnetycznych dΨ1 i dΨ2 – wynosi
dWµ = i1 ⋅ dΨ1 + i2 ⋅ dΨ 2 .
Ze wzorów (5.31a) i (5.31b) wynika, że:
dΨ1 = dΨ11 + dΨ12 = L1 ⋅ di1 ± M ⋅ di2 ,
dΨ 2 = dΨ 22 + dΨ 21 = L2 ⋅ di2 ± M ⋅ di1 ,
a zatem:
dWµ = i1 ⋅ dΨ11 + i1 ⋅ dΨ12 + i2 ⋅ dΨ 21 + i2 ⋅ dΨ 22 ,
dWµ = L1 ⋅ i1 ⋅ di1 ± M ⋅ (i1 ⋅ di2 + i2 ⋅ di1 ) + L2 ⋅ i2 ⋅ di2 ,
stąd:
i1 ⋅Ψ11 i1 ⋅Ψ12 i2 ⋅Ψ 21 i2 ⋅Ψ 22
+
+
+
,
2
2
2
2
L ⋅i2
L ⋅i2
Wµ = 1 1 ± M ⋅ i1 ⋅ i2 + 2 2 .
2
2
Wµ =
(5.36)
(5.36a)
(5.36b)
(5.37a)
(5.37b)
(5.38a)
(5.38b)
106
Wykład XII
Uwzględniając możliwość różnych znaków Θ2 i Φ2 = Φg2 + Φs2 , względem Θ1 i Φ1 = Φg1 + Φs1
(zgodnych – przy sprzężeniu dodatnim, przeciwnych – przy sprzężeniu ujemnym), przedstawia się
zależność (5.38a) w postaci związanej z wielkościami obwodu magnetycznego (rys. – sprzężenie
dodatnie):
Θ1 ⋅ Φ1 Θ1 ⋅ (±Φ g 2 ) (±Θ 2 ) ⋅ Φ g1 (±Θ 2 ) ⋅ (±Φ 2 )
W
=
+
+
+
=
µ
Φs1
2
2
2
2
Φ
Θ1
(Θ1 ± Θ 2 ) ⋅ (Φ g1 ± Φ g 2 ) Θ 2 ⋅ Φ s 2
Rµ.s1
Θ ⋅Φ
= 1 s1 +
+
=
(5.38c)
2
2
2
Rµ.
Φs2
Θ ⋅Φ
Θ ⋅Φ Θ 2 ⋅Φ s2
= 1 s1 +
+
,
Θ2
2
2
2
Rµ.s2
gdzie:
Φ = Φ g1 ± Φ g 2 .
Θ = Θ1 ± Θ 2 ,
(5.38d, e)
Gęstość energii pola magnetycznego
Ogólnie, natężenie pola magnetycznego i indukcja magnetyczna są funkcjami położenia, lecz ograniczając rozważania do elementarnej „rurki” magnetycznej (rys. a) przyjmuje się, że pole magnetyczne w tak małym fragmencie przestrzeni jest równomierne, zatem energia pola rozkłada się w
nim równomiernie. Dla wielkości elementarnych, wzory (5.3c), (5.13d) i (5.34b) przyjmują postaci:
∆l
∆Φ = B ⋅ ∆S ,
∆U µ = H ⋅ ∆l ,
d (∆Wµ ) = ∆U µ ⋅ d (∆Φ ) ,
a)
∆S
B, H
B
ρWµ =
ρWµ
0
0
∫ ∆U µ ⋅ d (∆Φ ) = ∆l ⋅ ∆S ∫ H ⋅ dB .
B( H )
∫ H ⋅ dB .
(5.39a)
0
B
H
0
B
c)
∆Wµ =
B
Iloczyn ∆l⋅∆S jest objętością rurki, więc objętościowa (przestrzenna) gęstość energii magnetycznej wyraża się wzorem
∆Uµ
b)
stąd
∆Φ
H
ρWµ
B
H
0
H
Dla środowiska o stałej wartości µ – zależność (5.39a) przyjmuje postaci:
B2 1
1
ρWµ =
= µ⋅H2 = H ⋅B .
(5.39b)
2µ 2
2
Objętościowej gęstości energii magnetycznej odpowiada pole
powierzchni między osią rzędnych i charakterystyką magnesowania w układzie współrzędnych B, H – rys. b (przenikalność µ
zmienna), rys. c (przenikalność µ stała).
Transformator bezstratny
Transformator jest urządzeniem umożliwiającym przenoszenie energii z jednego obwodu elektrycznego do drugiego obwodu elektrycznego, na drodze magnetycznej. Idealne (bezstratne) cewki
sprzężone są prototypem transformatora bezstratnego.
W transformatorze (rys. obok) wyróżnia się stronę pierwotną i stronę wtórną; odpowiednio do tego: napięcie
( z1 )
( z2 )
i1
M
i2
pierwotne u1, prąd pierwotny i1, napięcie wtórne u2 i prąd
wtórny i2 . Strzałkowanie napięcia i prądu transformatora
po stronie pierwotnej jest typu odbiornikowego, a po strouind.1
L1
L2
uind.2
nie wtórnej – generatorowego. Oznaczenie zacisków dla
prądów i1 i i2 odpowiada sprzężeniu ujemnemu, tzn.
Θ = Θ 1 − Θ 2 , Φ = Φ g1 − Φ g 2 .
107
5. Magnetostatyka. Cewki indukcyjne
Napięcia po obu stronach transformatora bezstratnego są napięciami indukowanymi:
di
di
di
di
u ind .1 = L1 ⋅ 1 − M ⋅ 2 ,
u ind .2 = − L2 ⋅ 2 + M ⋅ 1 .
dt
dt
dt
dt
Wykorzystując zależności (5.28a, b, c):
z
z
L1 = Lg1 + Ls1 ,
L2 = L g 2 + L s 2 ,
M = 2 L g1 = 1 L g 2 ,
z1
z2
zapisuje się równania (5.40a, b) w następującej postaci:
di
di
z
di
u ind .1 − Ls1 ⋅ 1 = L g1 ⋅ 1 − 2 L g1 ⋅ 2 ,
dt
dt z1
dt
di
z
di
di
u ind .2 + Ls 2 ⋅ 2 = 1 L g 2 ⋅ 1 − L g 2 ⋅ 2 .
dt
z2
dt
dt
Po oznaczeniu wyrazów przedstawiających napięcia na indukcyjnościach rozproszenia:
di
di
u s1 = Ls1 ⋅ 1 ,
u s 2 = Ls 2 ⋅ 2 ,
dt
dt
oraz oznaczeniu i przekształceniu wyrażeń po prawych stronach równań (5.41a, b):
di
z
u g1 = L g1 ⋅ 1 − 2
dt z1
di
z
u g 2 = 1 L g 2 ⋅ 1 −
z2
dt
,
di
z 2 di2 z 2
z di
=
⋅
L g1 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 ,
z1 dt z1
dt z1 dt
⋅
di2
dt
(5.40a, b)
(5.41a)
(5.41b)
(5.42a, b)
(5.43a)
(5.43b)
otrzymuje się równania:
uind .1 − u s1 = u g1 ,
uind .2 + u s 2 = u g 2 ,
(5.44a, b)
którym odpowiada dwuobwodowy schemat zastępczy transformatora bezstratnego (rys. poniżej).
i1
uind.1
Ls1
ϑ:1
us1
ug1
Lg1
Ls2
i2
us2
Lg2
ug2
uind.2
Wynikiem dzielenia stronami równań
(5.43a) i (5.43b) jest wielkość nazywana
przekładnią transformatora:
u g1 z1
ϑ=
=
.
(5.45)
u g 2 z2
Zależność (5.28c) przyjmuje więc formę:
L g1
M =
= ϑ ⋅ Lg 2 ,
(5.45a)
ϑ
zaś wzory (5.43a, b) – po dodatkowym, obustronnym pomnożeniu drugiego z nich przez ϑ – zapisuje się następująco:
1 di
di
u g1 = L g1 ⋅ 1 − ⋅ 2 ,
(5.46a)
dt ϑ dt
1 di
di
u g1 = ϑ ⋅ u g 2 = ϑ 2 L g 2 ⋅ 1 − ⋅ 2 .
dt ϑ dt
i1
Ls1
iµ
us1
uind.1
L’s2
ui
Lµ
i’2
u’s2
u’ind.2
(5.46b)
Na podstawie tych zależności przedstawia się jednoobwodowy schemat zastępczy transformatora bezstratnego (rys. obok), na którym występują wielkości
przeliczone ze strony wtórnej na stronę pierwotną:
u i = u g1 = ϑ ⋅ u g 2 = u ' g 2 ,
(5.47a)
u 'ind .2 = ϑ ⋅ u ind .2 ,
u's 2 = ϑ ⋅ u s 2 ,
(5.47b, c)
108
Wykład XII
i' 2 =
i2
ϑ
,
Lµ = L g1 = ϑ 2 ⋅ L g 2 ,
Ostatecznie otrzymuje się równania:
u ind .1 = u s1 + u i ,
L ' s 2 = ϑ 2 ⋅ Ls 2 .
(5.47d, e, f)
u i = u ' s 2 +u 'ind .2 ,
(5.48a, b)
di '
di1
u ' s 2 = L' s 2 ⋅ 2 ,
,
(5.48c, d)
dt
dt
di µ
u i = Lµ ⋅
,
i1 = i µ + i ' 2 .
(5.48e, f)
dt
Uwaga. Stosując przekładnię 1/ϑ zamiast ϑ, przelicza się wielkości ze strony pierwotnej na wtórną. W energetyce definiuje się przekładnie transformatora (napięciowe lub zwojowe) jako stosunki
wielkości górnych i dolnych, tzn. dotyczących stron wyższego i niższego napięcia. Wartość tak
określonej przekładni nie może być mniejsza od 1. Powyższe rozważania dotyczą więc transformatora
„energetycznego” zasilanego od strony górnej (jeśli jest inaczej, to za ϑ wstawia się wszędzie 1/ϑ ).
u s1 = Ls1 ⋅
Transformator idealny a transformator bezstratny
i1
a)
ϑ:1
i2
u1
b)
u2
i1
Ls1
iµ
us1
uind.1
Lµ
ug1
Transformator idealny jest elementem o dwóch parach zacisków, zdefiniowanym przez równania (rys. a):
i
u1 = ϑ ⋅ u 2 ,
(5.49a, b)
i1 = 2 .
ϑ
Realizacja fizyczna transformatora idealnego (pod różnymi nazwami) może dotyczyć zarówno prądu zmiennego, jak i stałego.
Pod pewnymi warunkami, przy prądzie
Ls2
i2
ϑ:1
zmiennym, transformator bezstratny spełnia
dość dokładnie równania transformatora
us2
idealnego. Aby określić te warunki, przedug2
uind.2
stawiono dwuobwodowy schemat zastępczy
transformatora bezstratnego z transformatorem idealnym (rys. b).
Jak widać, sprzężenie powinno być idealne ( Ls1 = 0 , Ls 2 = 0 , więc k = 1, M = L1 ⋅ L2 ) i jak największe ( i µ = 0 , więc Lµ = L g1 = ϑ ⋅ M ≈ ∞ ). Wtedy: u ind .1 ≈ ϑ ⋅ u ind .2 , i1 ≈ i2 ϑ .
Transformator rzeczywisty
W uzwojeniach rzeczywistego transformatora występują straty Joule’a, którym przypisane są rezystancje. Dołącza się je szeregowo (po stronie pierwotnej i wtórnej) do transformatora bezstratnego.
Rezystancję uzwojenia wtórnego R2 przelicza się na stronę pierwotną wg wzoru: R' 2 = ϑ 2 ⋅ R2 .
Strumień główny rzeczywistego transformatora przebiega wyłącznie w powietrzu lub w rdzeniu
ferromagnetycznym, albo częściowo rdzeniu i częściowo w powietrzu (w szczelinie powietrznej).
W rdzeniu występują zjawiska histerezy i prądów wirowych, z którymi związane są straty energii,
którym przypisana jest rezystancja RFe . Straty w ferromagnetyku zależą nieliniowo od indukcji
magnetycznej i częstości przemagnesowywania rdzenia, ale przy stałej wartości skutecznej i częstotliwości napięcia traktuje się rezystancję RFe jako stałą. Dołącza się ją równolegle do indukcyjności
głównej (magnesującej) Lµ transformatora bezstratnego.
i1 R 1
Ls1
L’s2
R’2 i’2
Na rys. obok pokazany jest jednoobwodowy schemat zastępczy transiFe
iµ
formatora z rdzeniem ferromagneu’2
u1
RFe
ui
Lµ
tycznym, skonstruowany zgodnie z
powyższymi objaśnieniami.
109
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 6
Elementy obwodów prądu
sinusoidalnego
Wielkości i obrazujące je przebiegi czasowe można klasyfikować ze względu na określone cechy i
wskaźniki, używając nazw związanych z charakterem zmienności. Wielkości sinusoidalne zalicza
się do wielkości okresowych przemiennych.
Sinusoidalne przebiegi prądu i napięcia w dwójniku liniowym mogą mieć różne fazy początkowe,
tzn. być względem siebie przesunięte, co jest zależne od charakteru i sposobu połączenia elementów wchodzących w skład dwójnika. Związane są z tym pojęcia: przesunięcia fazowego, współczynnika mocy i mocy czynnej dwójnika. Inne ważne wielkości to: reaktancja, impedancja, susceptancja, admitancja, moc bierna i moc pozorna.
W liniowych obwodach elektrycznych mogą występować zjawiska rezonansowe, stwarzające niebezpieczeństwo przepięć lub przetężeń.
Związki czasowe i amplitudowe między przebiegami o tej samej pulsacji (synchronicznymi) przedstawiane są geometrycznie za pomocą wykresów wskazowych. Korzystając z metody symbolicznej
formułuje się te zależności w sposób analityczny.
Metody rozwiązywania obwodów rozgałęzionych prądu stałego oraz sinusoidalnego różnią się praktycznie tylko tym, że w wypadku pierwszych wykonuje się obliczenia na liczbach rzeczywistych, a
w wypadku drugich – na liczbach zespolonych. Bilans mocy obwodu sinusoidalnego dotyczy mocy
zespolonej, tj. mocy czynnej i mocy biernej.
110
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 6
B
BC
BC
cos ϕ
C
e
E
E
f
frez
G
i
i(t)
imax
ih %
kk
ksz
I
Ib
Icz
Im
Iśr
I0
I
I
I
Im
Imt
Iźr
Io
j
L
M
p
P
Pgen
Podb
PW
q
Q
Qgen
susceptancja
susceptancja pojemnościowa
susceptancja indukcyjna
współczynnik mocy
pojemność elektryczna
napięcie źródłowe
wartość skuteczna sinusoidalnego
napięcia źródłowego
wskaz napięcia źródłowego; wartość
symboliczna (skuteczna zespolona)
napięcia źródłowego
częstotliwość
częstotliwość rezonansowa
konduktancja
prąd
przebieg czasowy prądu
wartość szczytowa prądu
współczynnik odkształcenia prądu
współczynnik kształtu
współczynnik szczytu
wartość skuteczna prądu okresowego
składowa bierna prądu
składowa czynna prądu
amplituda prądu sinusoidalnego
wartość średnia półokresowa
wartość średnia prądu okresowego
wartość wyprostowana prądu
wskaz prądu; wartość symboliczna
(skuteczna zespolona) prądu
moduł I (długość wskazu równa I )
wskaz nieruchomy (początkowy)
amplitudy prądu
wskaz wirujący amplitudy prądu
wskaz prądu źródłowego; wartość
symboliczna (skuteczna zespolona)
prądu źródłowego
wartość symboliczna prądu oczkowego
liczba urojona; operator obrotu
wskazu
indukcyjność własna
indukcyjność wzajemna
moc chwilowa
moc średnia w obwodzie prądu
okresowego; moc czynna
moc czynna „generatorowa”
moc czynna „odbiornikowa”
wskazanie watomierza
ładunek elektryczny
moc bierna
moc bierna „generatorowa”
Literatura do rozdziału 6
[1], [2], [4], [7], [9]
Qodb
R
S
S
Sgen
Sodb
t
T
u
u(t)
umax
uh %
U
Ub
Ucz
Um
Um (k)
Uśr
U0
U
U
U
Um
Umt
U0
W
X
XC
XL
XM
Y
Y
Z
Z
Zw
ϕ
ψ
ρrez
ω
ωrez
ω0
moc bierna „odbiornikowa”
rezystancja
moc pozorna
moc zespolona
moc zespolona „generatorowa”
moc zespolona „odbiornikowa”
czas
okres (podstawowy) przebiegu
napięcie
przebieg czasowy wielkości U; przebieg
czasowy napięcia
wartość szczytowa napięcia
współczynnik odkształcenia napięcia
wielkość; wartość skuteczna napięcia
okresowego
składowa bierna napięcia
składowa czynna napięcia
amplituda napięcia sinusoidalnego
amplituda k-tej harmonicznej przebiegu
okresowego u(t)
wartość średnia półokresowa napięcia
okresowego
wartość średnia przebiegu okresowego
u(t); wartość średnia napięcia
wartość wyprostowana napięcia
wskaz napięcia; wartość symboliczna
(skuteczna zespolona) napięcia
moduł U (długość wskazu równa U )
wskaz nieruchomy (początkowy) amplitudy napięcia
wskaz wirujący amplitudy napięcia
wartość symboliczna napięcia źródła zastępczego
energia elektryczna
reaktancja
reaktancja pojemnościowa
reaktancja indukcyjna własna
reaktancja indukcyjna wzajemna
admitancja
admitancja zespolona
impedancja
impedancja zespolona
impedancja zespolona źródła
kąt przesunięcia fazowego
faza początkowa (początkowy kąt fazowy)
przebiegu sinusoidalnego
impedancja charakterystyczna (falowa)
obwodu rezonansowego
pulsacja przebiegu sinusoidalnego
pulsacja rezonansowa
„wzorcowa” pulsacja rezonansowa
111
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XIII. PRZEBIEGI WIELKOŚCI ZMIENNYCH W CZASIE.
ELEMENTY R, C, L i M PRZY PRĄDZIE SINUSOIDALNYM
Klasyfikacja przebiegów zmiennych w czasie
Wielkość U, określoną w przedziale czasu (t0, tn), charakteryzuje przebieg czasowy u(t) o wartościach chwilowych: u(t0), u(t1), ... , u(tn).
Przebieg u(t) spełnia warunek okresowości w przedziale czasu (0, ∞), jeśli:
u (t + kT ) = u (t ) dla t ≥ 0, k = 1, 2, ... , ∞ ,
(6.1)
przy czym najmniejsza liczba T spełniająca ten warunek nazywa się okresem (podstawowym) prze1
biegu, a jej odwrotność f =
– częstotliwością przebiegu.
T
Ze względu na spełnienie warunku okresowości wyróżnia się wielkości (przebiegi) zmienne okresowe (przykład na rys. a) i nieokresowe (przykład na rys. b):
u
a)
u
b)
t
t
0
0
2T
T
Wartość średnia za okres T przebiegu u(t) wielkości okresowej U, to jej wartość średnia:
1
U 0 = u (t ) =
T
t0 +T
∫ u (t ) dt
.
(6.2)
t0
Wielkość okresowa, której wartość średnia jest równa zeru, nosi nazwę przemiennej (przykład na
rys. c)., zaś której wartość średnia jest różna od zera – pulsującej lub tętniącej (przykład na rys. d):
u
c)
u
d)
t
0
2T
T
U0
0
t
T
2T
Wielkość okresowa U nazywa się sinusoidalną (harmoniczną), jeśli jej przebieg czasowy można
przedstawić jako funkcję sinusoidalną (rys. poniżej):
u
Um
ωt
-ψ u 0
π
2π
u (t ) = U m ⋅ sin(ω t + ψ u ) ,
(6.3a)
2π
przy czym
ω=
= 2πf ,
(6.3b)
T
gdzie: Um – amplituda,
ψu – faza początkowa (początkowy kąt fazowy),
ω – pulsacja,
(ω t + ψu) – faza (kąt fazowy) przebiegu w chwili t.
Przebiegi sinusoidalne o tej samej pulsacji (częstotliwości) – to przebiegi synchroniczne.
W ogólnym przypadku, fazy początkowe przebiegów synchronicznych są różne.
Prądy i napięcia o przebiegach okresowych niesinusoidalnych – to prądy i napięcia odkształcone.
Wykład XIII
112
Składniki przebiegu okresowego
Każdy przebieg okresowy, który nie jest sinusoidalny, można przedstawić w postaci szeregu
Fouriera jako sumę wartości średniej (składowej stałej) i przebiegów harmonicznych (składowej
przemiennej):
∞
u (t ) = U 0 + ∑ U m ( k ) ⋅ sin(kω t + ψ u ( k ) ) ,
(6.4)
k =1
gdzie: U0 – wartość średnia przebiegu,
Um (k) – amplituda k-tej harmonicznej przebiegu,
ψu (k) – faza początkowa (początkowy kąt fazowy) k-tej harmonicznej przebiegu.
Zachodzi przy tym następująca zależność (równość Parsevala):
u 2 (t ) = U 02 +
Przykład. Na rys. obok pokazano przebiegi przemienne niesinusoidalne I i II,
złożone z pierwszej i trzeciej harmonicznej – o amplitudach i fazach początkowych:
Um (1) = Um.I (1) = Um.II (1) ,
Um (3) = Um.I (3) = Um.II (3) ,
Um (3) = 0,2 Um (1) ;
ψu.I (1) = ψu.II (1) = 0°, ψu.I (3) = – 60°,
ψu.II (3) = 90°.
1 ∞ 2
∑U m ( k ) .
2 k =1
1,5
(6.5)
u
Um (1)
I
1
II
0,5
ωt
0
-0,5 0 0°
60°
120°
180°
240°
300°
360°
-1
-1,5
Wartości średnie prądu i napięcia okresowego
Zgodnie ze wzorem ogólnym, wartości średnie (całookresowe) prądu i napięcia okresowego wynoszą:
T
T
1
I 0 = ∫ i (t ) dt ,
T0
1
U 0 = ∫ u (t ) dt
T0
(6.6a, b)
(inne oznaczenia: i (t ) , Iśr.c ; u (t ) , Uśr.c ).
Jeśli wartość średnia I0 lub U0 jest równa 0, to prąd i(t) lub napięcie u(t) jest przemiennym.
Prądy i napięcia przemienne są często utożsamiane z sinusoidalnymi – głównie, gdy przedmiotem
zainteresowania są pierwsze harmoniczne przebiegów odkształconych. Ma to związek z określonymi dalej współczynnikami sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego. Warto zatem zwracać
uwagę na poprawne stosowanie terminów: przemienny i sinusoidalny.
Moc średnia i energia w obwodzie prądu okresowego
Moc średnia (wartość średnia mocy) w obwodzie prądu okresowego wynosi
T
T
1
1
P = ∫ p dt = ∫ u i dt ,
T0
T0
(6.7)
a więc energia elektryczna w czasie jednego okresu równa się
T
WT = ∫ p dt = P ⋅ T ,
(6.8a)
0
zaś w czasie t>>T (będącym wielokrotnością T) – wyraża się tak samo jak przy prądzie stałym:
W = P ⋅t .
(6.8b)
113
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wartości skuteczne prądu i napięcia okresowego
Zgodnie z prawem Joule’a, energia wydzielająca się w rezystancji R (konduktancji G = 1/R) w
przedziale czasu (t1, t2) wynosi
W =
t2
∫
t2
dt = ∫ G ⋅ u G2 dt ,
R ⋅ i R2
t1
(6.9)
t1
zatem – ze względu na ciepło wydzielane w tej samej rezystancji (konduktancji), w czasie jednego
okresu prądu lub napięcia – równoważnymi prądowi okresowemu i(t) i napięciu okresowemu u(t)
są prąd stały i napięcie stałe o takich wartościach I i U , że:
T
T
0
0
2
2
∫ R ⋅ I dt = ∫ R ⋅ i dt ,
T
T
2
2
∫ G ⋅ U dt = ∫ G ⋅ u dt ,
0
0
T
czyli
I=
1 2
i dt ,
T ∫0
T
U=
1 2
u dt .
T ∫0
(6.10a, b)
Określone wyżej wartości I i U (inne oznaczenia: Isk ; Usk ) noszą miano wartości skutecznych
przebiegów okresowych i(t) i u(t).
Wartości wyprostowane prądu i napięcia okresowego
Wartości średnie wyprostowanych całofalowo przebiegów prądu lub napięcia okresowego – to wartości wyprostowane I i U (inne oznaczenia: i (t ) , u (t ) ):
T
1
I = ∫ i dt ,
T0
T
1
U = ∫ u dt .
T0
(6.11a, b)
Gdy przebiegi: i(t), u(t), są funkcjami antysymetrycznymi (przemiennymi symetrycznymi), tj. spełniającymi warunki: i (t ) = 0 i i (t + T 2) = −i (t ) , u (t ) = 0 i u (t + T 2) = −u (t ) , to wartości wyprostowane I , U są równe wartościom średnim półokresowym Iśr , Uśr :
I śr
2
=
T
T 2
∫
0
i dt ,
U śr
2
=
T
T 2
∫
u dt .
(6.12a, b)
0
Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu i napięcia okresowego
Stosunki największych wartości bezwzględnych (szczytowych) prądu lub napięcia: imax , umax ,
do odpowiednich wartości skutecznych: I, U, nazywają się współczynnikami szczytu prądu lub napięcia okresowego:
i
u
k sz .i = max ,
k sz .u = max .
(6.13a, b)
I
U
Stosunki wartości skutecznych: I, U, do wartości wyprostowanych: I , U , noszą nazwy współczynników kształtu prądu lub napięcia okresowego:
I
U
.
(6.14a, b)
k k .i = ,
k k .u =
I
U
Współczynniki szczytu oraz kształtu prądu i napięcia sinusoidalnego
Przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia zapisuje się jako funkcje czasu t lub kąta ω t:
i (t ) ≡ i (ω t ) = I m ⋅ sin(ω t + ψ i ) ,
u (t ) ≡ u (ω t ) = U m ⋅ sin(ω t + ψ u ) .
Ich wartości skuteczne oraz wartości wyprostowane (średnie półokresowe) wynoszą:
I
U
2 Im
2Um
I = I śr =
,
U = U śr =
,
I= m ,
U= m ,
π
π
2
2
Wykład XIII
114
zatem współczynniki szczytu i kształtu mają wartości:
k sz (sin) = 2 ≅ 1,41 ,
π
≅ 1,11 .
(6.15a, b)
2 2
Uwzględniając wzór (6.15a), przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia zapisuje się zwykle w postaci:
i (t ) = I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i ) ,
k k (sin) =
u (t ) = U 2 ⋅ sin(ω t + ψ u ) .
(6.16a, b)
Współczynniki sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego
Za miary sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego można uważać procentowe wartości stosunków ich współczynników szczytu ksz oraz kształtu kk , do wartości – odpowiednio – współczynników szczytu lub kształtu przebiegu sinusoidalnego:
k
k
i sz % sin = sz.i ⋅ 100 ≅ 70,7 ⋅ k sz.i ,
u sz % sin = sz .u ⋅ 100 ≅ 70,7 ⋅ k sz .u ,
(6.17a, b)
2
2
ik % sin = 2 2
k k .i
π
⋅ 100 ≅ 90 ⋅ k k .i ,
u k % sin = 2 2
k k .u
π
⋅ 100 ≅ 90 ⋅ k k .u .
(6.18a, b)
Innymi miarami sinusoidalności prądu i napięcia przemiennego są stosunki wartości skutecznych
ich pierwszych harmonicznych ( I (1) , U (1) ) do ich wartości skutecznych ( I , U ), wyrażone w procentach:
I (1)
U (1)
i(1)% =
⋅ 100 ,
u (1)% =
⋅ 100 .
(6.19a, b)
I
U
Współczynniki udziału wyższych harmonicznych prądu i napięcia przemiennego
Procentowe wartości stosunków wartości skutecznej j-tej wyższej harmonicznej ( j > 1 ) prądu lub
napięcia przemiennego ( I (j) , U (j) ), do wartości skutecznej jego pierwszej harmonicznej ( I (1) , U (1) )
lub do jego wartości skutecznej ( I , U ), to dwa typy współczynników udziału j-tej harmonicznej:
I ( j)
U ( j)
i( j )%(1) =
⋅ 100 ,
u ( j )%(1) =
⋅ 100 ,
(6.20a, b)
I (1)
U (1)
i( j )% =
I ( j)
ih %(1) =
I (1)
⋅ 100 =
∞
∑ i( j )%(1)
j =2
,
u ( j )% =
U ( j)
⋅ 100 .
(6.21a, b)
I
U
Odstępstwo przebiegów przemiennych od idealnie sinusoidalnych wyrażane jest przez dwa typy
współczynników zawartości harmonicznych (w procentach), określanych umownie jako:
- współczynniki zniekształceń harmonicznych
I 2 − I (21)
⋅ 100 ,
u h %(1) =
U 2 − U (21)
U (1)
⋅ 100 =
∞
∑ u ( j )%(1)
,
(6.22a, b)
j =2
- współczynniki odkształcenia
ih % =
I 2 − I (21)
I
⋅ 100 =
∞
∑
j =2
i(2j )%
,
u h% =
U 2 − U (21)
U
⋅ 100 =
∞
∑ u (2j )%
.
(6.23a, b)
j =2
Występuje duża różnorodność stosowanych w praktyce miar odkształcenia przebiegów (różnice
dotyczą skończonej szerokości pasma harmonicznych oraz występowania we wskaźniku tylko niektórych składników, np. harmonicznych parzystych bądź nieparzystych). Podane wyżej symbole
współczynników: i(j) % (1) , u(j) % (1) , i(j) % , u(j) % , ih % (1) , uh % (1) , ih % , uh % , nie są powszechnie
obowiązujące. W literaturze oraz w normach podawane są różne wskaźniki i używane różne oznaczenia, np. ih % (1) i uh % (1) odpowiada w normach symbol THD (Total Harmonic Distortion), a ih %
i uh % – THF (Total Harmonic Factor).
115
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wielkości charakteryzujące dwójnik liniowy przy prądzie sinusoidalnym
i
Dwójnik liniowy (rys. obok) składa się z pasywnych elementów liniowych R, C, L, M, oraz aktywnych elementów idealnych e, iźr o pulsacji takiej samej jak źródła zewnętrzne. Struktura połączeń elemenu
Odb.
tów nie ma w tej chwili znaczenia. Przyjęto odbiornikowe strzałkowanie prądu i napięcia, tzn. z założenia dwójnik jest odbiornikiem.
Przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia dwójnika zapisuje się w „wygodniejszej” postaci (6.16a, b):
i (t ) = I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i ) ,
u (t ) = U 2 ⋅ sin(ω t + ψ u ) .
Różnicę faz początkowych przebiegów synchronicznych u(t) i i(t) dwójnika określa się jako kąt
przesunięcia fazowego, krótko: przesunięcie fazowe dwójnika (rys. poniżej):
ϕ = ψ u −ψ i .
(6.24)
u, i, p
p
UI
u
i
P
ωt
0
ϕ
ψi
ψu
Moc chwilowa dwójnika wynosi
p (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) = U 2 sin(ω t + ψ u ) ⋅ I 2 sin(ω t + ψ i ) = U I cos ϕ − U I cos(2ωt + ψ u + ψ i ) .
Składnik stały mocy chwilowej (moc średnia) nosi nazwę mocy czynnej
P = U I cos ϕ ,
(6.25)
a wielkość cos ϕ określa się jako współczynnik mocy dwójnika (odbiornika).
Składnik zmienny mocy chwilowej, równy − U I cos(2ωt + ψ u + ψ i ) , nazywa się mocą oscylacyjną. Moc chwilowa oscyluje z podwójną częstotliwością wokół wartości mocy czynnej.
Moc czynną dwójnika (odbiornika) mierzy się watomierzem, włączanym do obwodu w sposób pokazany obok na
rysunku. Początki cewek (prądowej i napięciowej) watomierza zaznacza się na schemacie kropkami. Jeśli początki
cewek znajdują się po tych stronach symbolu „W w kole”,
jak zaznaczono je na rysunku, to zwyczajowo kropki się
pomija. Moc zmierzona watomierzem w pokazanym układzie jest równa mocy czynnej dwójnika: PW = P .
W
Odb.
Elementy R, C, L, M w obwodzie prądu sinusoidalnego
1. Rezystancja R (konduktancja G)
u = R ⋅i ,
i = G ⋅u ,
p = u ⋅i = R ⋅i2 = G ⋅u2 ≥ 0 ;
i (t ) = I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i ) ,
i
R, G
u
u (t ) = U 2 ⋅ sin(ω t + ψ u ) ;
u = R ⋅ i = R ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i )
⇒
U = R⋅I ,
ψu =ψi
⇒
ϕ =0
⇒ cos ϕ = 1 ;
P = U ⋅ I = R ⋅ I 2 = G ⋅U 2 .
(6.26)
Wykład XIII
116
i
C
2. Pojemność C
dq
i=
,
q = C ⋅u ;
u
dt
i (t ) = I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i ) ,
u (t ) = U 2 ⋅ sin(ω t + ψ u ) ;
du
i =C⋅
= ω C ⋅ U 2 ⋅ cos(ω t + ψ u ) = ω C ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + ψ u + π 2)
dt
⇒ I = ω C ⋅U ,
ψi =ψu +π 2 ⇒ ϕ = −
π
2
⇒ cos ϕ = 0 ⇒ P = 0 ;
1
1
⋅ I = XC ⋅ I ,
(reaktancja pojemnościowa).
XC =
ωC
ωC
3. Indukcyjność własna L
i
L
dΨ
u=
, Ψ = L ⋅i ;
u
dt
i (t ) = I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i ) ,
u (t ) = U 2 ⋅ sin(ω t + ψ u ) ;
di
u = L ⋅ = ω L ⋅ I 2 ⋅ cos(ω t + ψ i ) = ω L ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + ψ i + π 2)
dt
U=
⇒ U =ω L⋅I ,
ψu =ψi +π 2 ⇒ ϕ =
U =ω L⋅I = XL ⋅I ,
(6.27)
(6.28a, b)
(6.29)
π
⇒ cos ϕ = 0 ⇒ P = 0 ;
2
X L = ω L (reaktancja indukcyjna własna).
4. Indukcyjność wzajemna L12 = L21 = M :
a) sprzężenie dodatnie
dΨ12
u1M =
, Ψ12 = L12 ⋅ i2 = M ⋅ i2 ;
dt
i2 = I 2 2 ⋅ sin(ω t + ψ i 2 ) ,
u1M = U 1M 2 ⋅ sin(ω t + ψ u1M ) ;
(6.30a, b)
u1 M
L12 = M
i2
di2
= ω M ⋅ I 2 2 ⋅ cos(ω t + ψ i 2 ) = ω M ⋅ I 2 2 ⋅ sin(ω t + ψ i 2 + π 2)
dt
i1
= ω M ⋅ I2 ,
ψ u1M = ψ i 2 + π 2 ;
u1M = M ⋅
⇒ U 1M
dΨ 21
, Ψ 21 = M ⋅ i1 ;
dt
i1 = I 1 2 ⋅ sin(ω t + ψ i1 ) ,
u 2 M = U 2 M 2 ⋅ sin(ω t + ψ u 2 M ) ;
L21 = M
u2M =
u2 M
di1
= ω M ⋅ I1 2 ⋅ cos(ω t + ψ i1 ) = ω M ⋅ I 1 2 ⋅ sin(ω t + ψ i1 + π 2)
dt
= ω M ⋅ I1 ,
ψ u 2 M = ψ i1 + π 2 ;
u2M = M ⋅
⇒ U 2M
U 1M = ω M ⋅ I 2 = X M ⋅ I 2 ,
U 2 M = ω M ⋅ I1 = X M ⋅ I1 ,
p 2 M = u 2 M ⋅ i2 = ... = X M ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ sin(ψ i 2 − ψ i1 )
⇒ warunki przenoszenia mocy czynnej:
ψ i1 ≠ ψ i 2 i ψ i1 ≠ ψ i 2 m π .
(6.31b)
(6.32a, b)
X M = ω M (reaktancja indukcyjna wzajemna).
Moce czynne przenoszone między cewkami
(p1M – z cewki 2. do 1.; p2M – z cewki 1. do 2.):
p1M = u1M ⋅ i1 = ... = X M ⋅ I 1 ⋅ I 2 ⋅ sin(ψ i `1 − ψ i 2 ) ;
(6.31a)
(6.33)
u1 L + u1 M
i1
i2
L1
M
L2
u2 L + u2 M
b) sprzężenie ujemne – we wzorach dla sprzężenia dodatniego: –M zamiast M (–XM zamiast XM ).
117
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XIV. UKŁADY DWÓJNIKÓW Z ELEMENTAMI R, L, C.
MOCE DWÓJNIKÓW. REZONANS ELEKTRYCZNY
Układ szeregowy R, L, C (gałąź R, X)
i
R
L
C
uR
uL
uC
uX
u
Przyjmuje się ψi = 0 ⇒ ψu = ϕ ⇒
u R = R ⋅ I 2 ⋅ sin ω t ,
i = I 2 ⋅ sin ω t ,
u = U 2 ⋅ sin(ω t + ϕ ) ;
u L = X L ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ,
u C = X C ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t − π 2) = − X C ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ;
u X = u L + u C = ( X L − X C ) ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2) = X ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ,
X = X L − XC
(reaktancja).
(6.34a)
(6.34b)
Gdy X L > X C (gałąź o charakterze indukcyjnym),
to X > 0 ⇒
u X = X ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ;
gdy X C > X L (gałąź o charakterze pojemnościowym),
to X < 0 ⇒
u X = − X ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2) = X ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t − π 2) .
Wartości skuteczne napięć: U R = R ⋅ I , U L = X L ⋅ I , U C = X C ⋅ I , U X = X ⋅ I .
Uwaga. Wielkość X⋅I, tj. UX ze znakiem reaktancji X, nazwana jest dalej składową bierną napięcia.
Prawo Ohma – na wartościach skutecznych prądu i napięcia (odmiana impedancyjna):
u = uR + u X ,
⇒
U = Z ⋅I ,
U
Z=
(impedancja) .
I
Z ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + ϕ ) ≡ R ⋅ I 2 ⋅ sin ω t + X ⋅ I 2 ⋅ sin(ω t + π 2)
tzn.
(6.35a)
(6.35b)
Z ⋅ sin(ω t + ϕ ) ≡ R ⋅ sin ω t + X ⋅ sin(ω t + π 2) ;
ωt=0 :
X = Z ⋅ sin ϕ ;
(6.35c)
ω t =π 2 :
R = Z ⋅ cos ϕ ;
(6.35d)
X
.
(6.35e, f)
R
Uwaga. Napięcia na elementach L i C są w przeciwfazie. Mogą osiągać duże wartości, jeśli wartości XL i XC są sobie bliskie oraz dużo większe od R . Szczególny przypadek stanowi rezonans napięć (rezonans szeregowy), kiedy to XL = XC ≠ 0 , tzn.
X rez = X L.rez − X C .rez = 0 ,
Z rez = R .
(6.36a, b)
⇒
Z = R2 + X 2 ,
ϕ = arc tg
Zasilając układ szeregowy R, L, C z generatora o regulowanej częstotliwości, osiąga się rezonans
przy pulsacji i częstotliwości:
1
1
ω rez =
,
f rez =
.
(6.36c, d)
LC
2π L C
118
Wykład XIV
Układ równoległy R, L, C (gałąź G, B)
i
u
iB
iR
iL
iC
R
L
C
Przyjmuje się ψu = 0 ⇒ ψi = –ϕ ⇒
u = U 2 ⋅ sin ω t ,
i = I 2 ⋅ sin(ω t − ϕ ) .
Używane są wielkości „przewodnościowe” (odwrotności „opornościowych”) – konduktancja G ,
susceptancja indukcyjna BL , susceptancja pojemnościowa BC :
1
1
1
,
.
(6.37a, b, c)
G= ,
BL =
BC =
R
XL
XC
Wartości skuteczne prądów gałęziowych: I R = G ⋅ U , I L = B L ⋅ U , I C = BC ⋅ U .
i R = G ⋅ U 2 ⋅ sin ω t ,
iC = BC ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ,
i L = BL ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t − π 2) = − BL ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ;
i B = iC + i L = ( BC − B L ) ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2) = B ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ,
B = BC − B L (susceptancja).
(6.38a)
(6.38b)
Gdy BC > B L (układ równoległy o charakterze pojemnościowym),
to B > 0 ⇒
gdy B L > BC
iB = B ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2) ;
(układ równoległy o charakterze indukcyjnym),
to B < 0 ⇒
i B = − B ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2) = B ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t − π 2) .
Wartość skuteczna prądu iB : I B = B ⋅ U .
Uwaga. Wielkość B⋅U, tj. IB ze znakiem susceptancji B, nazwana jest dalej składową bierną prądu.
Prawo Ohma – na wartościach skutecznych prądu i napięcia (odmiana admitancyjna):
i = iR + iB ,
⇒
tzn.
I = Y ⋅U ,
1
I
Y= =
(admitancja).
Z U
Y ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t − ϕ ) ≡ G ⋅ U 2 ⋅ sin ω t + B ⋅ U 2 ⋅ sin(ω t + π 2)
(6.39a)
(6.39b)
Y ⋅ sin(ω t − ϕ ) ≡ G ⋅ sin ω t + B ⋅ sin(ω t + π 2) ;
ωt=0 :
B = −Y ⋅ sin ϕ ;
(6.39c)
ω t =π 2 :
G = Y ⋅ cos ϕ ;
(6.39d)
B
.
(6.39e, f)
G
Uwagi. 1) Zależności dla gałęzi „czysto reaktancyjnej”: B = − 1 X , X = −1 B .
2) Prądy w elementach L i C są w przeciwfazie. Mogą osiągać duże wartości, jeśli wartości BL i BC są sobie bliskie oraz dużo większe od G . Szczególny przypadek stanowi
rezonans prądów (rezonans równoległy), kiedy to BL = BC ≠ 0 , tzn.
⇒
Y = G2 + B2 ,
ϕ = −arc tg
119
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Brez = BC .rez − B L.rez = 0 ,
Yrez = G .
(6.40a, b)
Zasilając układ równoległy R, L, C z generatora o regulowanej częstotliwości, osiąga się rezonans
przy pulsacji i częstotliwości:
1
1
ω rez =
,
f rez =
.
(6.40c, d)
LC
2π L C
Parametry dwójników równoważnych
Impedancja (admitancja) dwójnika wyznacza relację między jego sinusoidalnymi wielkościami
zaciskowymi, tj. napięciem i prądem na wejściu. Nie określa ona natomiast układu połączeń elementów dwójnika. Znanej impedancji czy admitancji można przypisać różne układy połączeń elementów R, L, C. Jeden układ można więc zastępować innym – równoważnym ze względu na wielkości zaciskowe przy określonej częstotliwości f (pulsacji ω).
Zostaną wyprowadzone wzory dotyczące zastępowania układu szeregowego Rs, Xs układem równoległym Gr, Br , lub na odwrót.
ir
is
us
Rs
(Gs)
Ls
Br = BC r – BL r
Cs
(Xr)
≡
Xs = XL s – XC s
(Bs)
ur
Gr
(Rr)
Lr
Cr
Warunki równoważności układów (rys.):
Is = Ir = I ,
ϕs = ϕr = ϕ ,
1
oraz
Zs = Zr = Z ,
Ys = Yr = Y =
.
Z
Przyjmuje się:
u = U 2 ⋅ sin ω t ,
i = I 2 ⋅ sin(ω t − ϕ ) .
R
X
U
W układzie szeregowym:
I=
,
cos ϕ = s ,
sin ϕ = s ,
Z
Z
Z
U
U
więc
i s = I 2 ⋅ sin(ω t − ϕ ) =
2 ⋅ sin ω t ⋅ cos ϕ −
2 ⋅ cos ω t ⋅ sin ϕ ,
Z
Z
R
X
i ≡ i s = s2 ⋅ U 2 ⋅ sin ω t − 2s ⋅ U 2 ⋅ cos ω t .
Z
Z
π
W układzie równoległym:
ir = Gr ⋅ U 2 ⋅ sin ω t + Br ⋅ U 2 ⋅ sin ω t + ,
2
i ≡ ir = Gr ⋅ U 2 ⋅ sin ω t + Br ⋅ U 2 ⋅ cos ω t .
us ≡ ur ≡ u ,
i s ≡ ir ≡ i ,
Us = Ur = U ,
Z tożsamościowej równości funkcji czasu i s (t ) ≡ ir (t ) ≡ i (t ) wynikają równości współczynników:
Gr =
Rs
Z
2
,
Br = −
,
Xs = −
Xs
Z2
(zamiana układu Rs, Xs na Gr, Br ) .
(6.41a, b)
Inne postaci tych zależności:
Rs =
Gr
Br
(zamiana układu Gr, Br na Rs, Xs ) .
(6.42a,b)
Y2
Y2
Powyższe wzory umożliwiają też zastępowanie dwójników o strukturze mieszanej (szeregoworównoległej) dwójnikami o strukturze szeregowej bądź równoległej.
120
Wykład XIV
Moce dwójnika pasywnego (czynna, bierna i pozorna)
Dwójnik o impedancji Z i przesunięciu fazowym ϕ można przedstawić jako szeregowe lub równoległe połączenie elementów: rezystancyjnego i reaktancyjnego (rys.).
i
u
i
Z, ϕ
i
uR
≡
R
u
uX
≡
u
iG
iB
G
B
X
U = Z ⋅I
U R = R ⋅ I = Z ⋅ cos ϕ ⋅ I
I G = G ⋅ U = Y ⋅ cos ϕ ⋅ U
U
I = = Y ⋅U
U X = X ⋅ I = Z ⋅ sin ϕ ⋅ I
I B = B ⋅ U = Y ⋅ sin ϕ ⋅ U
Z
Podstawiając ψu := ψi + ϕ lub ψi := ψu – ϕ do wzoru na moc chwilową:
p = U I cos ϕ − U I cos(2ωt + ψ u + ψ i ) = U I cos ϕ − U I cos [2(ωt + ψ i ) + ϕ ] ;
p = U I cos ϕ − U I cos(2ωt + ψ u + ψ i ) = U I cos ϕ − U I cos [2(ωt + ψ u ) − ϕ ] ;
można składnik zmienny tej mocy (nazywany mocą oscylacyjną) zapisać następująco:
− U I cos [2(ωt + ψ i ) + ϕ ] = − {U I cos ϕ ⋅ cos 2(ωt + ψ i ) − U I sin ϕ ⋅ sin 2(ωt + ψ i )} ;
− U I cos [2(ωt + ψ u ) − ϕ ] = − {U I cos ϕ ⋅ cos 2(ωt + ψ u ) + U I sin ϕ ⋅ sin 2(ωt + ψ u )} .
Widać, że amplituda mocy oscylacyjnej wynosi U I i że przebieg czasowy tej mocy (o podwojonej
pulsacji) jest sumą bądź różnicą przebiegów: kosinusoidalnego o amplitudzie U I cos ϕ i sinusoidalnego o amplitudzie U I sin ϕ .
Amplituda U I cos ϕ jest równa – określonej już wcześniej – mocy czynnej P, przedstawiającej
średnią moc rozpraszaną w elemencie rezystancyjnym (konduktancyjnym):
P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = Z ⋅ I 2 ⋅ cos ϕ = R ⋅ I 2 = U cz ⋅ I ,
(6.43a)
U cz = R ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ cos ϕ = U ⋅ cos ϕ
(składowa czynna napięcia),
P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ = Y ⋅ U ⋅ cos ϕ = G ⋅ U = U ⋅ I cz ,
2
I cz = G ⋅ U = Y ⋅ U ⋅ cos ϕ = I ⋅ cos ϕ
2
(składowa czynna prądu).
(6.43a’)
(6.43b)
(6.43b’)
Amplitudzie U I sin ϕ odpowiada moc bierna Q, przedstawiająca ekstremalną wartość chwilową
mocy akumulacyjnej elementu indukcyjnego lub pojemnościowego (w przypadku pierwszym –
dodatnią; w drugim – ujemną):
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ = Z ⋅ I 2 ⋅ sin ϕ = X ⋅ I 2 = U b ⋅ I ,
(6.44a)
U b = X ⋅ I = Z ⋅ I ⋅ sin ϕ = U ⋅ sin ϕ
(składowa bierna napięcia),
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ = Y ⋅ U ⋅ sin ϕ = − B ⋅ U = − U ⋅ I b ,
2
I b = B ⋅ U = − Y ⋅ U ⋅ sin ϕ = − I ⋅ sin ϕ
2
(składowa bierna prądu).
(6.44a’)
(6.44b)
(6.44b’)
Amplitudzie U I mocy oscylacyjnej odpowiada moc pozorna S – wielkość umowna, związana z
ekstremalnymi wartościami chwilowymi mocy w elemencie impedancyjnym (admitancyjnym):
S = U ⋅ I = Z ⋅ I 2 = Y ⋅ U 2 = P 2 + Q 2 , p max = P + S , p min = P − S . (6.45a, b, c)
P
Q
Q
Związki między P, Q, S i ϕ :
cos ϕ = ,
sin ϕ =
,
tg ϕ =
.
(6.46a, b, c)
S
S
P
Dla podkreślenia różnego charakteru poszczególnych rodzajów mocy, używa się jednostek:
[P] = 1 W (wat); [Q] = 1 var (war); [S] = 1 VA (wolt-amper).
121
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Rezonans elektryczny. Charakterystyki szeregowego obwodu rezonansowego
Istota i właściwości rezonansu elektrycznego nie były dotąd rozważane; podano jedynie warunki
jego występowania w podstawowych układach.
Pojęcie rezonansu występuje w wielu działach fizyki i techniki. Określa się tak zjawiska lub szczególne stany pracy makro- i mikroukładów nieodosobnionych różnego rodzaju, składające się na
cykliczne (falowe) procesy absorpcji, generacji lub wymiany energii. Rezonans w układzie mechanicznym jest odpowiedzią na działanie sił zewnętrznych z częstotliwością równą lub bliską częstotliwości drgań własnych (tego układu). Objawia się silnymi drganiami, których istotę stanowią procesy okresowych przemian energii zgromadzonej w układzie: z potencjalnej w kinetyczną i z kinetycznej w potencjalną.
Rezonans w układzie elektrycznym, krótko: rezonans elektryczny, polega na oscylacji energii między cewkami i kondensatorami, tzn. na okresowych przemianach energii gromadzonej w polu elektrycznym, na energię gromadzoną w polu magnetycznym, i na odwrót. Jeśli suma energii zgromadzonej w cewkach i kondensatorach układu jest w każdej chwili stała, to można mówić o rezonansie
w „czystej postaci”. Wymiana energii między cewkami i kondensatorami odbywa się wtedy bez
udziału źródła, które tylko dostarcza energii traconej w rezystorach. Jeśli natomiast (przy spełnionym warunku rezonansu) suma energii zgromadzonej w cewkach i kondensatorach układu nie jest
w każdej chwili stała, to źródło dostarcza i odbiera w różnych przedziałach czasowych każdego
okresu część energii gromadzonej na przemian w cewkach i kondensatorach.
Zainteresowanie rezonansem w energoelektryce związane jest w występowaniem przepięć rezonansowych (napięć na cewkach i kondensatorach, wielokrotnie większych od napięcia zasilającego
układ) i przetężeń rezonansowych (prądów w cewkach i kondensatorach, wielokrotnie większych
od prądu pobieranego przez układ).
Zainteresowanie zjawiskiem rezonansu w teleelektryce dotyczy przepustowych i zaporowych własności układów (filtrów) reaktancyjnych.
Kryterium rezonansu dwójnika jest, jak wcześniej podano, zerowa wartość reaktancji lub susceptancji, albo równoważna z tym – zerowa wartość mocy biernej. Rozróżnia się:
a) dwójniki reaktancyjne, tzn. takie, że Z(ωrez) = 0 – stanowiące w rezonansie zwarcie, albo takie,
że Y(ωrez) = 0 – stanowiące w rezonansie rozwarcie,
b) dwójniki zawierające rezystancje, tzn. takie, że Z(ωrez) = R(ωrez), albo takie, że Y(ωrez) = G(ωrez).
Przedmiotem rozważań jest obwód rezonansu szeregowego czyli układ szeregowy
R, L, C, zasilany z idealnego źródła napięciowego (rys. obok).
i
R
L
C
uR
uL
uC
e
Zostaną przedstawione charakterystyki rezonansowe, tzn. wykresy wartości skutecznych prądu I
oraz napięć UR , UL i UC , przy stałej wartości skutecznej E sinusoidalnego napięcia źródłowego o
zmiennej pulsacji ω , jako funkcje tej pulsacji. Podstawę sporządzenia wykresów stanowią poniższe
zależności analityczne:
E
R⋅E
,
,
I=
UR = R⋅ I =
2
2
1
1
R 2 + ω L −
R 2 + ω L −
ωC
ωC
UL = XL ⋅ I =
ω L⋅E
1
R 2 + ω L −
ωC
2
,
UC = XC ⋅ I =
E
ω C R 2 + ω L −
1
ωC
2
.
122
Wykład XIV
Wielkościami „wzorcowymi” obwodu rezonansowego, niezależnymi od R, są: pulsacja rezonansowa ω 0 i częstotliwość rezonansowa f 0 , oraz impedancja charakterystyczna (falowa) obwodu rezonansowego ρrez , wyznaczane z warunku równych reaktancji cewki i kondensatora w stanie rezonansu X L rez = X C rez = ρ rez :
1
ω0 =
LC
1
f0 =
,
2π L C
,
L
.
C
ρ rez =
(6.47a, b, c)
Na rysunku poniżej pokazano wykresy charakterystyki szeregowego obwodu rezonansowego dla
dwóch przypadków, różniących się tylko wartością rezystancji R. Z analizy podanych zależności
ogólnych wynika, że przepięcia występują (przypadek „a”) tylko wtedy, gdy jest ona odpowiednio
mała – mniejsza od 2 -krotnej wartości ρrez .
a)
b) rezonans „bezprzepięciowy” –
R > 2 ρ rez
i, uR., uL , uC
uC
uL
i, uR., uL , uC
uR.
uR.
uC
uL
i
i
ωC
ω
0
ωL
ωrez
ω
0
ω rez
Jeśli, jak powiedziano, napięcie źródłowe ma stałą wartość skuteczną E, to prąd w obwodzie i napięcie na rezystancji są największe przy pulsacji rezonansowej ωrez = ω 0 (niezależnie od wartości R). Przepięcia na pojemności i indukcyjności (przypadek „a”) są tym większe, im większa jest
wartość stosunku ρrez do R, zwanego dobrocią szeregowego obwodu rezonansowego Qs . Największe wartości tych przepięć występują – odpowiednio – przy wartościach pulsacji (bliskich ω 0):
ωC = ω0 1 −
1
,
2 Qs2
ω0
ωL =
1−
1
2 Qs2
,
gdzie Qs =
ρ rez
R
=
U L .rez U C .rez
=
.
U R.rez U R .rez
Rezonans w dwójniku o układzie mieszanym
W układach o strukturze szeregowo-równoległej rozważa się występowanie rezonansu typu szeregowego bądź równoległego i wyznacza pulsację rezonansową właściwego układu zastępczego.
Za przykład posłuży układ dwugałęziowy cewki i kondensatora, zamieniony na trójgałęziowy.
Rr
R
L
≡
C
czyli
ω rez C =
ω rez L
2
2
R + ω rez
L2
Warunek na rezonans w układzie zastępczym:
BC .rez − B Lr .rez = 0 ,
Lr
C
⇒
2
ω rez
L2 =
L
− R2
C
⇒
ω rez = ω 0 1 −
R2
2
ρ rez
.
123
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XV. WYKRESY WSKAZOWE PRĄDU I NAPIĘCIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWIĄZYWANIA OBWODÓW
Wskazy prądu i napięcia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu
Przebieg sinusoidalny może być reprezentowany przez:
a) wirujący wektor i nieruchomą oś przebiegu czasowego, krócej: nieruchomą „oś czasu” (rys. a),
b) nieruchomy wektor i wirującą oś przebiegu czasowego, krócej: wirującą „oś czasu” (rys. b),
przy czym rzut tego wektora na tę oś wyraża wartość chwilową przebiegu.
nieruchoma
„oś czasu”
a)
0
wirująca „oś czasu”
w chwili t > 0
Umt
u(t)
u(0)
wirująca „oś czasu”
w położeniu początkowym
b)
u(t)
ωt
ψu
Um
u(0)
ωt
0
oś zerowej fazy
początkowej
ψu
Um
oś zerowej fazy
początkowej
(ψu = 0)
(ψu = 0)
Wektory reprezentujące przebiegi czasowe prądu i(t) i napięcia u(t) nazywa się wskazami i oznacza
podkreślonymi wielkimi literami: wskazy wirujące – jako Imt , Umt ; wskazy nieruchome – Im , Um .
Wskaz nieruchomy danej wielkości, tożsamy – jak widać – ze wskazem ruchomym tej wielkości w
chwili początkowej, nazywa się wskazem początkowym tejże wielkości.
Wartość chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest określona jednoznacznie przez czas oraz długość i
położenie reprezentującego go wskazu początkowego. Algebraicznemu dodawaniu wartości chwilowych prądów lub napięć sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie
ich wskazów początkowych.
Wykres przedstawiający wskazy początkowe prądów i napięć obwodu prądu sinusoidalnego o określonej pulsacji nosi nazwę wykresu wskazowego tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym
nie rysuje się osi układu współrzędnych (nie zaznacza się też osi zerowej fazy początkowej).
W praktyce są używane wartości skuteczne prądów i napięć, a nie ich wartości maksymalne. Wskazy początkowe Im i Um – o długościach Im i Um , równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych
i(t) i u(t) – zastępuje się dlatego wskazami I i U , o długościach 2 razy krótszych od Im i Um , czyli
równych wartościom skutecznym I i U przebiegów i(t) i u(t). „Zredukowane” w taki sposób wskazy początkowe prądów i napięć przedstawia się na wykresach wskazowych, nazywając je po prostu
wskazami (bez dodatkowych określeń).
Przydatność wykresów wskazowych wynika z poglądowego przedstawienia związków czasowych
jako zależności geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwiązanie obwodu.
Wykresy wskazowe i wykresy trójkątowe dwójników pasywnych
Kąt przesunięcia fazowego (przesunięcie
fazowe) dwójnika jest różnicą faz początkowych jego napięcia i prądu: ϕ = ψ u − ψ i .
Gdy ϕ > 0 (X > 0; B < 0), to wskaz I opóźnia się o kąt ϕ względem wskazu U (rys. a);
gdy natomiast ϕ < 0 (X < 0; B > 0), to
wskaz U opóźnia się o kąt ϕ względem
wskazu I (rys. b).
a) ϕ > 0
U
b) ϕ < 0
ψu
ϕ
ψi
U
I
IB
IG
UX
IB
UX
I
IG
UR
ϕ
ψi
UR
(oś zerowej fazy
początkowej)
ψu
124
Wykład XV
Na przedstawionych wyżej wykresach wskac)
d)
IG G
zowych dwójnika – o charakterze: a) indukI
R
X >0
cyjnym, b) pojemnościowym – zaznaczono
I
składowe UR i UX wskazu napięcia U (dla
IB B<0
UR
UX
zastępczego dwójnika szeregowego R, X ), oraz
U
U
składowe IG i IB wskazu prądu I (dla zastępczego dwójnika równoległego G, B ).
Wykres z rys. a odnosi się do układów pokazanych na rys. c i d (dwójnik o charakterze indukcyjnym). Wykres z rys. b odnosi się do analogicznych układów z pojemnościami na miejscu indukcyjności, przy czym X < 0 i B > 0 .
Wskazy napięcia oraz prądu tworzą wraz ze swymi składowymi trójkąty napięcia i trójkąty prądu,
co lepiej widać, gdy te wykresy są narysowane oddzielnie, z założeniem zerowej wartości początkowej, odpowiednio: kąta fazowego ψi prądu I w układzie R, X (trójkąt napięcia); kąta fazowego ψu
napięcia U w układzie G, B (trójkąt prądu). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyjnym (ϕ > 0) – jak na rys. a, pokazano niżej na rysunkach a’ i a”.
Kątowi ϕ i wartościom skutecznym
a’)
a”)
I, IG i IB oraz U, UR i UX odpowiadaψu = 0
ją składowe czynne i bierne:
U
ψi = 0
U
IG
- prądu I cz = I G = I ⋅ cos ϕ
U
i I b = − I ⋅ sin ϕ ,
X
Ib = I B ;
ϕ
- napięcia U cz = U R = U ⋅ cos ϕ
ϕ
I
UR
i U b = U ⋅ sin ϕ , U b = U X .
IB
I
Dzieląc oraz mnożąc długości boG
ków trójkątów napięcia i prądu,
ϕ
odpowiednio, przez wartości skuS
Z
B<0
teczne prądu i napięcia, otrzymuje
X>0
Q>0
ϕ
ϕ
Y
się trójkąty: impedancji, admitancji
R
P
oraz mocy – pokazane obok na rysunku dla dwójnika o charakterze
indukcyjnym (ϕ > 0).
Przeliczenie długości boków z trójkątów impedancji lub admitancji, na trójkąt mocy, wyraża się
następująco: P = R ⋅ I 2 = G ⋅ U 2 ; Q = X ⋅ I 2 = − B ⋅ U 2 ; S = Z ⋅ I 2 = Y ⋅ U 2 .
UR3
Przykład. Wykres wskazowy prądów i napięć dwójnika R, L, C o strukturze szeregowo-równoległej,
wykonany przy założeniu i3 (t ) = I 3 2 sin ωt ,
UL
tj. ψ i 3 = 0 .
I = I1
ϕ3
I = I1
I2
I3
C
I2
U1
U
U2 = U3
U2 = U3
ϕ
I3
UR3
R3
UL
L
U
R2
U1
125
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Wykonany wykres odpowiada danym: XL = XC = R3 = 100 Ω, R2 = 200 Ω. Jak widać, układ o tych
danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemnościowym (ϕ < 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie
wartości reaktancji XC byłby to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (ϕ > 0).
Uwaga. Wykres wskazowy wykonuje się w skali, tzn. przyjmuje się skale długości wskazów prądu
i wskazów napięcia (skale prądu i napięcia). Długości i fazy wskazów napięcia oraz prądu, dotyczących poszczególnych elementów idealnych lub gałęzi z nich złożonych, są ze sobą związane wartościami impedancji i kąta przesunięcia fazowego.
Szkicując wykres wskazowy nie określa się dokładnie skal prądu i napięcia, trzeba jednak zachować przybliżone proporcje odpowiadające danym bądź spodziewanym wartościom parametrów
obwodu.
Procedura obliczenia wartości impedancji Z i kąta fazowego ϕ dwójnika (dla podanych wyżej parametrów układu):
a) impedancja, konduktancja i susceptancja gałęzi trzeciej R
X
Z 3 = R32 + X L2 = 100 2 Ω;
G3 = 32 = 0,005 S;
B3 = − 2L = −0,005 S;
Z3
Z3
b) konduktancja gałęzi drugiej 1
G2 =
= 0,005 S;
R2
c) konduktancja, susceptancja i admitancja gałęzi drugiej z trzecią -
G23 = G2 + G3 = 0,01 S;
B23 = B3 = −0,005 S;
2
2
Y23 = G23
+ B23
= 0,01 1,25 S;
d) rezystancja i reaktancja gałęzi drugiej z trzecią G
B23
R23 = 23
=
80
Ω;
X
=
−
= 40 Ω;
23
Y232
Y232
e) rezystancja, reaktancja, impedancja i kąt fazowy dwójnika R = R23 = 80 Ω;
X = − X C + X 23 = −60 Ω;
Z = R 2 + X 2 = 100 Ω;
ϕ = arc tg
X
≅ −37 o .
R
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych przy założonym przebiegu
i3 (t ) = 2 2 sin ωt , [i3] = A, [ω] = s-1, [t] = s, tzn. wartościach I3 = 2 A i ψi3 = 0 (na wykresie – poziome położenie wskazu I3 ):
a) impedancja i wartość skuteczna napięcia w gałęzi trzeciej Z 3 = R32 + X L2 = 100 2 Ω;
U 3 = Z 3 ⋅ I 3 = 200 2 ≅ 283 V;
b) przesunięcie fazowe i faza początkowa napięcia w gałęzi trzeciej X
ϕ 3 = arc tg L = 45 o ; ψ u 3 = ψ i 3 + ϕ 3 = 45o ;
R3
c) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia w gałęzi drugiej U 2 = U 3 ≅ 283 V;
ψ u 2 = ψ u 3 = 45o ;
d) impedancja, przesunięcie fazowe, wartość skuteczna i faza początkowa prądu w gałęzi drugiej U
Z 2 = R2 = 200 Ω;
ϕ 2 = 0 ; I 2 = 2 ≅ 1,41 A; ψ i 2 = ψ u 2 − ϕ 2 = 45o ;
Z2
e) wartość skuteczna i faza początkowa prądu dwójnika (i = i1) I 1x = I1 ⋅ cosψ i1 = I 2 ⋅ cosψ i 2 + I 3 ⋅ cosψ i 3 = 3 A;
I 1 y = I 1 ⋅ sin ψ i1 = I 2 ⋅ sin ψ i 2 + I 3 ⋅ sin ψ i 3 = 1 A;
I 1 = I 12x + I12y = 10 ≅ 3,16 A;
ψ i1 = arc tg
I1 y
I 1x
≅ 18,4 o ;
126
Wykład XV
I = I1 ≅ 3,16 A;
ψ 1 = ψ i1 ≅ 18,4 o ;
f) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia na pojemności U 1 = X C ⋅ I 1 = 100 10 ≅ 316 V;
ψ u1 = ψ i1 + ϕ1 ≅ −71,6 o ;
g) wartość skuteczna i faza początkowa napięcia dwójnika U x = U ⋅ cosψ u = U 1 ⋅ cosψ u1 + U 2 ⋅ cosψ u 2 = 300 V;
U y = U ⋅ sinψ u = U 1 ⋅ sin ψ u1 + U 2 ⋅ sin ψ u 2 = −100 V;
U = U x2 + U y2 = 100 10 ≅ 316 V;
ψ u = arc tg
Uy
Ux
≅ −18,4 o ;
h) impedancja i przesunięcie fazowe dwójnika U
Z = = 100 Ω;
ϕ = ψ u − ψ i ≅ −37 o .
I
Wartości symboliczne prądu i napięcia sinusoidalnego
Wskazy prądu i napięcia: I i U, umieszczone na płaszczyźnie
zespolonej, stają się liczbami zespolonymi (rys. obok – wskaz U
jako liczba zespolona U = U ⋅ e jψ u ). Noszą one nazwy wartości
skutecznych zespolonych lub wartości symbolicznych prądu i
napięcia. Używając symbolu liczby urojonej j = − 1 , zapisuje
się wartości symboliczne w postaci wykładniczej, trygonometrycznej lub algebraicznej (kartezjańskiej):
(oś urojona)
j Im U
U
ψ
0
(oś rzeczywista)
Re U
I = I ⋅ e jψ i = I ⋅ (cosψ i+ j sin ψ i ) = Re I + j Im I ,
(6.48a)
U = U ⋅ e jψ u = U ⋅ (cosψ u+ j sin ψ u ) = Re U + j ImU ,
(6.48b)
gdzie:
I = I , U = U – moduły (długości wskazów) I i U ;
ψi , ψu – argumenty I i U ;
Re I , Re U – części rzeczywiste I i U ;
Im I , Im U – części urojone I i U .
Przebiegi czasowe prądu i napięcia odpowiadają częściom urojonym wskazów zespolonych wirujących Imt i Umt (prądu i napięcia):
i (t ) = Im I mt = Im( I 2 ⋅ e jωt ) = I 2 sin(ωt + ψ i ) ,
(6.49a)
u (t ) = ImU mt = Im(U 2 ⋅ e jωt ) = U 2 sin(ωt + ψ u ) .
(6.49b)
Własności metody symbolicznej rozwiązywania obwodów prądu sinusoidalnego
1. Dodawaniu wartości chwilowych prądów (w węzłach) oraz napięć (na elementach obwodu)
odpowiada dodawanie ich wartości symbolicznych:
i (t ) = ∑ ik (t ) ↔ I = ∑ I k ;
k
k
u (t ) = ∑ u k (t ) ↔ U = ∑ U k .
k
k
2. Między wartościami symbolicznymi prądu i napięcia elementów idealnych zachodzą następujące zależności (wykresy ze wskazami „zespolonymi” są takie same jak ze „zwykłymi”):
a) rezystancja IR
R, G
UR
IR = G ⋅ UR
UR = R ⋅ IR
U R = R⋅IR ,
(6.50a)
I R = G ⋅U R ,
(6.50b)
127
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
b) pojemność IC
XC , BC
IC = jBC ⋅ UC
UC
U C = − jX C ⋅ I C ,
(6.51a)
UC = -jXC ⋅ IC
I C = jBC ⋅ U C ,
(6.51b)
UL = jXL ⋅ IL
U L = jX L ⋅ I L ,
(6.52a)
I L = − jB L ⋅ U L ,
(6.52b)
c) indukcyjność (własna) IL
XL , BL
UL
IL = -jBL ⋅ UL
d) indukcyjność wzajemna I1
U2M = jXM ⋅ I1
X21 = XM
I1
U2M
U 2 M = jX M ⋅ I 1 ,
(6.53a)
analogicznie
U 1M = jX M ⋅ I 2 .
(6.53b)
3. Układowi szeregowemu R, X przypisuje się impedancję zespoloną
Z = R + jX = Z ⋅ e jϕ
i postać zespoloną odmiany impedancyjnej prawa Ohma
U = Z ⋅I .
(6.54a)
(6.54b)
4. Układowi równoległemu G, B przypisuje się admitancję zespoloną
Y = G + jB = Y ⋅ e − jϕ
i postać zespoloną odmiany admitancyjnej prawa Ohma
I = Y ⋅U .
(6.55a)
(6.55b)
5. Dla określonego dwójnika zachodzi związek
1
Y=
,
(6.56)
Z
z czego wynikają następujące zależności między elementami układów zastępczych R, X i G, B :
G
B
R
X
(6.56a, b, c, d)
R= 2 , X =− 2 , G= 2 , B=− 2 .
Y
Y
Z
Z
6. Przy połączeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie rezystancje i reaktancje albo impedancje zespolone (nie wolno sumować modułów impedancji zespolonych!):
R = ∑ Rk ,
X = ∑ Xk ;
Z = ∑Zk .
k
k
k
(6.57a, b, c)
7. Przy połączeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje się oddzielnie konduktancje i susceptancje albo admitancje zespolone (nie wolno sumować modułów admitancji zespolonych!):
G = ∑ Gk ,
B = ∑ Bk ,
Y = ∑Y k .
k
k
k
(6.58a, b, c)
8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwiązywania obwodów, dotyczące teorii obwodów prądu
stałego (wielkości rzeczywiste stałe: U, I, E, Iźr , R, G), zachowują ważność w analizie stanów
ustalonych obwodów prądu sinusoidalnego przy użyciu liczb zespolonych (wielkości zespolone:
U, I, E, Iźr , Z, Y).
128
Wykład XV
I = I1
Przykład. Zostanie przeprowadzony rachunek
symboliczny, odpowiadający procedurom
przedstawionym w poprzednim przykładzie,
dotyczący tego samego dwójnika (rys. obok).
Dane są, jak poprzednio:
XL = XC = R3 = 100 Ω, R2 = 200 Ω,
i3 (t ) = 2 2 sin ωt , [i3] = A, [ω] = s-1, [t] = s .
C
I2
U1
U
U2 = U3
I3
UR3
R3
UL
L
R2
Procedura obliczenia impedancji Z i kąta fazowego ϕ dwójnika:
Z 1 = − j100 Ω;
Z 2 = 200 Ω;
Z 3 = (100 + j100) Ω;
o
Z ⋅Z
Z = Z 1 + 2 3 = 80 − j 60 ≅ 100 ⋅ e − j 37 Ω;
Z = 100 Ω; ϕ ≅37°.
Z2 + Z3
Procedura obliczenia wartości skutecznych prądów i napięć gałęziowych:
o
o
I 3 = 2 = 2 ⋅ e j 0 A;
Z 3 = 100 + j100 = 100 2 ⋅ e j 45 Ω;
o
U 3 = Z 3 ⋅ I 3 = 200 2 ⋅ e j 45 = (200 + j 200) V;
o
U2 =U3;
U 2 = U 3 ≅ 283 V;
o
Z 2 = 200 = 200 ⋅ e j 0 Ω;
Y 2 = 0,005 = 0,005 ⋅ e j 0 S;
o
I 2 = Y 2 ⋅ U 2 = 2 ⋅ e j 45 = (1 + j1) A;
o
I 1 = I 2 + I 3 = 3 + j1 ≅ 10 ⋅ e j18, 4 A;
I 2 ≅ 1,41 A;
I 1 ≅ 3,16 A;
o
Z 1 = − j100 = 100 ⋅ e − j 90 Ω;
o
U 1 = Z 1 ⋅ I 1 ≅ 100 10 ⋅ e − j 71,6 ≅ (100 − j 300) V;
U 1 ≅ 316 V;
o
U = U 1 + U 2 = 300 − j100 ≅ 100 10 ⋅ e − j18, 4 V;
U ≅ 316 V;
o
U
I = I1 ;
Z = = 80 − j 60 ≅ 100 ⋅ e − j 37 Ω;
Z = 100 Ω;
ϕ ≅37°.
I
Wniosek (wynikający z porównania procedur obliczeniowych przedstawionych w tym i w poprzednim przykładzie): korzyści obliczeniowe stosowania rachunku symbolicznego są oczywiste.
Moc zespolona
S
Trójkąt mocy umieszczony na płaszczyźnie zespolonej przedstawia trójkąt mocy zespolonej (rys. obok), którego bokami są:
moc czynna P, moc bierna Q pomnożona przez j, oraz moc zespolona S :
S = S ⋅ e jϕ = S ⋅ (cos ϕ + j sin ϕ ) = P + jQ ;
P = Re S ,
Q = Im S ,
ϕ
jQ
P
(6.59)
S = P2 + Q2 = U ⋅ I .
(6.60a, b, c)
Skoro ϕ = ψ u − ψ i , to
S = U ⋅ I ⋅ e jψ u ⋅ e − jψ i = (U ⋅ e jψ u ) ⋅ ( I ⋅ e − jψ i ) = U ⋅ I ,
∗
(6.61)
stąd moc zespolona układu szeregowego R, X oraz układu równoległego G, B wynosi:
S = Z ⋅ I 2 = R ⋅ I 2 + jX ⋅ I 2 ,
∗
S = Y ⋅ U 2 = G ⋅ U 2 − jB ⋅ U 2 .
(6.62a, b)
Sporządzając bilans mocy obwodu, sumuje się oddzielnie moce czynne i bierne albo moce zespolone (nie wolno sumować modułów mocy zespolonych, tj. mocy pozornych!):
P = ∑ Pk ,
Q = ∑ Qk ,
S = ∑Sk .
k
k
k
(6.63a, b, c)
129
6. Elementy obwodów prądu sinusoidalnego
Posługiwanie się rachunkiem symbolicznym w rozwiązywaniu obwodów
Przykład. Z użyciem rachunku symbolicznego, poprzez
stosowanie różnych metod, zostaną wyznaczone wartości
prądów i napięć, określone wskazania przyrządów pomiarowych (amperomierzy i woltomierza) oraz sporządzony
bilans mocy w układzie pokazanym na rysunku. Przyrządy
są idealne i mierzą wartości skuteczne.
Dane: R = X C = X L = 10 Ω;
R
A1
U
C
A2
Iźr
V
L
u = 40 2 sin ωt , i źr = 2 2 cos ωt ,
[u] = V, [iźr] = A, [ω] = s, [t] = s.
Danym przebiegom odpowiadają wartości symboliczne napięcia i prądu: U = 40 V; Iźr = j2 A.
Impedancje zespolone elementów wynoszą: ZR = 10 Ω; ZC = – j10 Ω; ZL = j10 Ω.
Ze schematu wynika, że wystarcza obliczenie I1 lub I2, bowiem:
I1
ZR
I2 = I1 + Iźr lub I1 = I2 – Iźr ;
UR
U
UV = UC + UL = ZC I2 +ZL Iźr .
ZC
I2
Oblicza się najpierw – na różne sposoby – prąd I1 , a następnie
I2 , UR , UC , UL i UV , określa wskazania przyrządów i sporządza
bilans mocy obwodu.
UC
Iźr
UV
1. Zasada superpozycji
I1
ZR
I2
ZC
UL
ZL
U
U
≡
I1a
ZR
I1b
ZR
I2a
ZC
I2b
ZC
+
Iźr
Iźr
ZL
ZL
I 1a =
U
= (2 + j 2) A;
ZR + ZC
I 1b =
ZL
− I źr ⋅ Z C
= (−1 − j1) A;
ZR + ZC
I 1 = I 1a + I 1b = (1 + j1) A.
2. Zamiana źródła prądowego na napięciowe i obliczenie prądu w oczku (z równania oczkowego
dla jednego oczka)
ZR
ZR
I1
I1
ZR
I1
U
I2
ZC
Iźr
U
≡
Iźr
ZL
I1 = I o =
U − Z C ⋅ I źr
= (1 + j1) A.
ZR + ZC
I2
ZC
≡
Io
U
ZC Iźr
ZC
130
Wykład XV
3. Zamiana źródła napięciowego na prądowe i obliczenie potencjału w węźle (z równania węzłowego dla jednego węzła niezależnego)
I1
ZR
YR U
U
YR
I2
ZC
V1
Vo=0
Iźr
≡
I1
I2
YC
V1
Vo=0
ZL
1
= j 0,1 S;
ZC
I + Y R ⋅U
(Y R + Y C ) ⋅ V 1 = I źr + Y R ⋅ U ;
V 1 = źr
= (30 − j10) V;
Y R +YC
I 1 = Y R ⋅ (U − V 1 ) = (1 + j1) A.
YR =
1
= 0,1 S;
ZR
Iźr
YC =
4. Twierdzenie Thevenina (gałąź U, R jako zewnętrzna)
U0
I1
ZR
Iźr
U
Zw
U0
ZC
UC 0
Iźr
ZL
U 0 = −U C 0 = − Z C ⋅ I źr = −20 V;
Zw = ZC;
I1 =
U +U 0
= (1 + j1) A.
ZR +Zw
5. Wartości symboliczne I2 , UR , UC , UL i UV , oraz wskazania przyrządów
I2 = I1 + Iźr = (1 + j3) A;
UR = ZR I1 = (10 + j10) V;
UC = ZC I2 = (30 – j10) V;
UL = ZL Iźr = (– 20) V;
UV = UC +UL = (10 – j10) V;
I A 1 = I 1 = 2 ≅ 1,41 A;
I A 2 = I 2 = 10 ≅ 3,16 A;
U V = U V = 10 2 ≅ 14,1 V.
6. Bilans mocy obwodu
S gen = U ⋅ I 1* + U V ⋅ I *źr = 40 ⋅ (1 − j1) + (10 − j10) ⋅ (− j 2) = (20 − j 60) VA;
Podb = R ⋅ I 12 = 10 ⋅ (12 + 12 ) = 20 W;
Qodb = − X C ⋅ I 22 + X L ⋅ I ź2r = −10 ⋅ (12 + 3 2 ) + 10 ⋅ 2 2 = − 60 var;
S odb = Podb + j Qodb ,
S odb = S gen .
131
Elektrotechnika podstawowa
ROZDZIAŁ 7
Rozwiązywanie obwodów prądu
sinusoidalnego
I23
U3 -I12
-I23
I3
I2
I3N
I1N
U13
IN
ϕ1N
U1
I1N
U23
I12
I1N
U12
ϕ I1
I12.b
I12.a
Podobnie jak przy prądzie stałym, istotnych informacji dostarcza analiza prostych układów, utworzonych z idealnych elementów. Układy z cewkami sprzężonymi magnetycznie można zastępować
równoważnymi układami bez tych sprzężeń.
Obwody związane ze sobą strukturalnie, zawierające po jednym sinusoidalnym źródle napięciowym
o tej samej częstotliwości, tworzą obwody wielofazowe. Zwykle rozważa się obwody trójfazowe ze
źródłami symetrycznymi (trzy obwody, napięcia źródłowe o tej samej amplitudzie i przesunięciu
fazowym równym ±120°). Stosownie do podanej definicji, autonomiczne obwody z jednym sinusoidalnym źródłem napięciowym określa się jako obwody jednofazowe.
Jest regułą, że rozwiązując obwód jednofazowy lub trójfazowy – najpierw szkicuje się wykres
wskazowy, a potem przystępuje do obliczeń. Rozwiązywanie takich obwodów trudno sobie wyobrazić bez wykresów wskazowych. Jeśli wykres wskazowy stanowi podstawę procesu obliczeniowego,
to musi być wykonany ze szczególną starannością.
132
Elektrotechnika podstawowa
Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 7
B
BC
BC
cos ϕ
C
e
E
Ef
E
f
G
i
I
IA
If
Im
I
I
IN
Io
Iźr
j
L
M
P
Pgen
Podb
PW
Q
Qgen
Qodb
R
S
S
Sgen
Sodb
susceptancja
susceptancja pojemnościowa
susceptancja indukcyjna
współczynnik mocy
pojemność elektryczna
napięcie źródłowe
wartość skuteczna napięcia źródłowego
napięcie fazowe źródła trójfazowego
(wartość skuteczna)
wskaz i wartość symboliczna (skuteczna zespolona) napięcia źródłowego
częstotliwość
konduktancja
prąd
wartość skuteczna prądu; prąd liniowy
(wartość skuteczna)
wskazanie amperomierza
prąd fazowy źródła trójfazowego; prąd
fazowy odbiornika trójfazowego (wartość skuteczna)
amplituda prądu sinusoidalnego
wskaz i wartość symboliczna (skuteczna zespolona) prądu
moduł I (długość wskazu równa I )
wskaz i wartość symboliczna prądu w
przewodzie neutralnym
wartość symboliczna prądu oczkowego
wskaz i wartość symboliczna prądu
źródłowego
liczba urojona; operator obrotu wskazu
indukcyjność własna
indukcyjność wzajemna
moc czynna
moc czynna „generatorowa”
moc czynna „odbiornikowa”
wskazanie watomierza
moc bierna
moc bierna „generatorowa”
moc bierna „odbiornikowa”
rezystancja
moc pozorna
moc zespolona
moc zespolona „generatorowa”
moc zespolona „odbiornikowa”
Literatura do rozdziału 7
[1], [2], [4], [7], [8]
t
u
U
Uf
UV
Um
U
U
UN’N
U0
V
V
VN
VN’
W
X
XC
XL
XM
Y
Y
Yw
Z
Z
Zw
ϑ
ϕ
ψ
ω
czas
napięcie
wartość skuteczna napięcia; napięcie
międzyfazowe linii trójfazowej; napięcie międzyfazowe odbiornika trójfazowego (wartość skuteczna)
napięcie fazowe linii trójfazowej; napięcie fazowe odbiornika trójfazowego
(wartość skuteczna)
wskazanie woltomierza
amplituda napięcia sinusoidalnego
wskaz i wartość symboliczna (skuteczna zespolona) napięcia
moduł U (długość wskazu równa U )
wskaz i wartość symboliczna napięcia
między punktami neutralnymi źródła i
odbiornika trójfazowego
wskaz i wartość symboliczna napięcia
źródła zastępczego
wartość skuteczna potencjału
wartość symboliczna (skuteczna zespolona) potencjału
wskaz i wartość symboliczna potencjału w punkcie neutralnym źródła trójfazowego (zwykle równe zeru)
wskaz i wartość symboliczna potencjału w punkcie neutralnym odbiornika
trójfazowego (zwykle równe UN’N )
wartość wyznacznika
reaktancja
reaktancja pojemnościowa
reaktancja indukcyjna własna
reaktancja indukcyjna wzajemna
admitancja
admitancja zespolona
admitancja zespolona źródła
impedancja
impedancja zespolona
impedancja zespolona źródła
przekładnia transformatora
kąt przesunięcia fazowego
początkowy kąt fazowy (faza początkowa) przebiegu sinusoidalnego
pulsacja przebiegu sinusoidalnego
133
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XVI. WYBRANE KONFIGURACJE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Przekształcenie trójkąt-gwiazda i odwrotne, przy prądzie sinusoidalnym
I1
I1
1
V1
U12
I2
Y12
2
U23
V2
I3
Y31
U31
U1
U12
I2
≡
I3
3
Y2
2
U23
Y23
Y1
1
U2
U31
Y3
3
V3 = 0
U3
Wymuszeniem są prądy zaciskowe (traktuje się je jak źródłowe), a odpowiedzią – napięcia międzyzaciskowe, przy czym 1. i 2. są niezależne, a 3. – zależne: I3 = – I1 – I2 ; U31 = – U12 – U23 .
Potencjały węzłów niezależnych (zacisków 1 i 2) trójkąta wyznacza się z równania:
− Y 12 V 1 I 1
Y 12 + Y 31
⋅ = .
− Y 12
Y 12 + Y 23 V 2 I 2
We wzorach Cramera przedstawiających rozwiązanie tego równania występują wyznaczniki:
W = Y 12 ⋅ Y 23 + Y 23 ⋅ Y 31 + Y 31 ⋅ Y 12 ,
W1 = (Y 12 + Y 23 ) ⋅ I 1 + Y 12 ⋅ I 2 = Y 23 ⋅ I 1 − Y 12 ⋅ I 3 ,
W2 = Y 12 ⋅ I 1 + (Y 12 + Y 31 ) ⋅ I 2 = Y 31 ⋅ I 2 − Y 12 ⋅ I 3 ,
więc napięcia międzyzaciskowe trójkąta jako funkcje odpowiednich prądów wyrażają się wzorami:
W − W2 Y 23 ⋅ I 1 − Y 31 ⋅ I 2
U 12 = V 1 − V 2 = 1
=
,
W
W
Y ⋅ I − Y 12 ⋅ I 3
W
− W1 Y 12 ⋅ I 3 − Y 23 ⋅ I 1
U 23 = V 2 = 2 = 31 2
,
U 31 = −V 1 =
=
.
W
W
W
W
Napięcia międzyzaciskowe gwiazdy jako funkcje tychże prądów mają postaci:
I
I
I
I
I
I
U 12 = U 1 − U 2 = 1 − 2 ,
U 23 = U 2 − U 3 = 2 − 3 ,
U 31 = U 3 − U 1 = 3 − 1 .
Y1 Y 2
Y2 Y3
Y 3 Y1
Porównując współczynniki przy tych samych prądach – w wyrażeniach na napięcia międzyzaciY
1 Y 23
1
1 Y 12
skowe gwiazdy i trójkąta – otrzymuje się
=
,
= 31 ,
=
; stąd formuły:
Y1
W
Y2
W
Y3
W
Y ⋅Y
Y ⋅Y
Y ⋅Y
Y 1 = Y 12 + Y 31 + 12 31 ,
Y 2 = Y 12 + Y 23 + 12 23 ,
Y 3 = Y 23 + Y 31 + 23 31 ; (7.1)
Y 23
Y 31
Y 12
Z1 =
Z 12 ⋅ Z 31
,
Z 12 + Z 23 + Z 31
Z 12 = Z 1 + Z 2 +
Y 12 =
Z2 =
Z1 ⋅ Z 2
,
Z3
Y 1 ⋅Y 2
,
Y1 +Y 2 +Y 3
Z 12 ⋅ Z 23
,
Z 12 + Z 23 + Z 31
Z3 =
Z 23 = Z 2 + Z 3 +
Z2 ⋅Z3
,
Z1
Y 2 ⋅Y 3
,
Y1 +Y 2 +Y 3
Y 31 =
Y 23 =
Z 23 ⋅ Z 31
;
Z 12 + Z 23 + Z 31
Z 31 = Z 3 + Z 1 +
Y 3 ⋅Y 1
.
Y1 +Y 2 +Y 3
Z 3 ⋅ Z1
;
Z2
(7.2)
(7.3)
(7.4)
134
Wykład XVI
Układy dzielników napięcia i prądu sinusoidalnego
Dzielniki napięcia i prądu sinusoidalnego różnią się tym od dzielników napięcia i prądu stałego, że
miejsce rezystorów, łączonych szeregowo bądź równolegle, zajmują dwójniki (gałęzie) R, L, C.
Oczywiście, mogą to być – w szczególności – same rezystory, jak w dzielnikach stałoprądowych.
Zachodzi wtedy podział napięcia bądź prądu w „czystej” postaci, bez przesunięć fazowych. Ogólnie
jednak, w układach dzielników napięcia sinusoidalnego występuje przesunięcie fazowe napięć, zaś
w układach dzielników prądu sinusoidalnego – przesunięcie fazowe prądów. Są więc te układy jednocześnie dzielnikami i przesuwnikami fazowymi (napięcia bądź prądu), co pokazano na przykładowych wykresach wskazowych dla kątów przesunięcia fazowego dwójników ϕA = 0 i ϕB > 0.
Dzielnik napięcia sinusoidalnego:
I
UB
U
ϕB
UA
ZA
I
U
UA
ZB
UB
U A = ZA ⋅I =
ZA
⋅U ,
ZA +ZB
(7.5a)
UB = ZB ⋅I =
ZB
⋅U ;
ZA +ZB
(7.5b)
UA =
ϕA = 0
ZA
⋅U ,
ZA +ZB
UB =
ZB
⋅U .
ZA +ZB
(7.6)
Dzielnik prądu sinusoidalnego:
IB
I
U
IA
IB
ZA
ZB
U
I A = Y A ⋅U =
I
ϕB
YA
ZB
⋅I =
⋅I ,
Y A +Y B
ZA +ZB
YB
ZA
⋅I =
⋅I ;
Y A +Y B
ZA +ZB
ZB
ZA
IA =
⋅I ,
IB =
⋅I .
ZA +ZB
ZA +ZB
I B = Y B ⋅U =
IA
ϕA = 0
(7.7a)
(7.7b)
(7.8)
Z powyższych wzorów korzysta się często przy rozwiązywaniu obwodów metodą przekształcania
sieci (na etapie „rozwijania” sieci zastępczej do sieci pierwotnej).
Charakterystyki zewnętrzne sinusoidalnych źródeł napięciowych
Charakterystyką zewnętrzną sinusoidalnego źródła napięciowego nazywa się wykres zależności
napięcia wyjściowego U od prądu obciążenia I, przy stałej wartości kąta ϕ (argumentu Z ).
a)
b)
I
jXw I
j(Xw+X) I
E
E
Z
Zw I
ϕ1
U
U
rez.
Rw I
ϕ
poj.
E
ϕw
Zw
U
c)
I
ind.
(Rw+R) I
I
0
E / Zw
Na rysunku „a” pokazano układ sinusoidalnego źródła napięciowego E, Zw z odbiornikiem pasywnym Z. Szeregowe połączenie impedancji Zw i Z tworzy dzielnik napięcia E. Napięcie U zależy w
tym układzie zarówno od Z , jak i od Zw , toteż obie te impedancje mają wpływ na kształt charakterystyki zewnętrznej źródła.
135
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Impedancja wewnętrzna źródła Zw = Rw + j Xw ma zwykle charakter indukcyjny (oprócz rezystancji
zawiera reaktancję indukcyjną, tzn. Xw > 0 ), natomiast impedancja odbiornika Z = R + j X jest dowolnego rodzaju. Na rysunku „b” pokazano wykres wskazowy prądu i napięć przy obciążeniu o
X +X
.
charakterze indukcyjnym, zaznaczając przesunięcie fazowe ϕ1 = arg( Z w + Z ) = arc tg w
Rw + R
Charakterystyki zewnętrzne źródła wyznacza się obliczając wartości skuteczne I i U – dla kolejnych
wartości Z: od bliskich ∞ do 0, przy ϕ = const. – wg wzorów:
E
R = Z ⋅ cos ϕ ,
X = Z ⋅ sin ϕ ,
,
U = Z ⋅I .
I=
( Rw + R ) 2 + ( X w + X ) 2
Otrzymane w ten sposób, przykładowe charakterystyki zewnętrzne źródła napięciowego z rezystancyjno-indukcyjną impedancją wewnętrzną, pracującego z obciążeniem różnego typu, przedstawiono
na rys. „c”. Wykresy dotyczą obciążeń o następujących (stałych) wartościach kąta ϕ : – 45° (poj.),
0° (rez.), + 45° (ind.).
Z różnego charakteru impedancji od Zw i Z przy obciążeniu typu pojemnościowego wynika występowanie – w pewnym zakresie – wartości napięcia U większych od E, oraz prądu I większych od
E / Zw (prądu zwarcia). Prąd I jest największy w stanie rezonansu (X = – Xw ). Warunku na maksimum napięcia U nie można wyrazić w prostej formie; zależy on od modułu i argumentu Zw oraz
argumentu Z (kąta ϕ).
Równoważność rzeczywistych sinusoidalnych źródeł napięciowych i prądowych
Równoważność źródeł dotyczy ich wielkości zaciskowych, tj. zgodności prądów i napięć co do
modułów i faz (jednakowych wartości symbolicznych).
Źródło napięciowe:
I
I
U = E −Zw ⋅I .
Źródło prądowe:
I w = I źr − I czyli Y w ⋅ U = I źr − I ,
więc
U=
I źr
1
−
⋅I .
Yw Yw
Zw
U
≡
Iw
Iź r
U
Yw
E
I źr
1
−
⋅ I , stąd warunki równoważności układów:
Yw Yw
1
1
Zw =
czyli Y w =
,
Yw
Zw
I
E = źr czyli E = Z w ⋅ I źr lub I źr = Y w ⋅ E .
Yw
Otrzymuje się E − Z w ⋅ I ≡
(7.9a)
(7.9b)
Dopasowanie odbiornika do źródła napięciowego ze względu na moc czynną
Dopasowanie odbiornika (pasywnego) do źródła ze względu na moc
czynną oznacza taki dobór obciążenia, że moc czynna odbiornika jest
największa z możliwych.
Moc czynna odbiornika o impedancji Z = R + jX = Z ⋅ e jϕ , zasilanego ze źródła o napięciu E = E ⋅ e
Z w = Rw + jX w = Z w ⋅ e
jϕ w
P = R⋅I2 =
jψ e
i impedancji wewnętrznej
I
Zw
U
E
, wyraża się następująco:
E2 ⋅ R
E 2 ⋅ cos ϕ
=
.
( Rw + R) 2 + ( X w + X ) 2 Z w2
+ Z + 2 Z w cos(ϕ w − ϕ )
Z
Z
136
Wykład XVI
Dopasowanie odbiornika do źródła odbywa się z założenia przy E = const. i ma związek ze zmianami wartości parametrów odbiornika: X i R, albo Z i ϕ (impedancja Z to moduł impedancji Z).
∂P
∂P
∂P
∂P
Z warunków na ekstrema:
=0 ,
=0 ,
=0 ,
= 0 , otrzymuje się wyrażenia:
∂X
∂R
∂Z
∂ϕ
− 2 R (X w + X ) = 0 ,
( Rw + R) 2 + ( X w + X ) 2 − 2 R ( Rw + R) = 0 ;
(7.10a, b)
Z
Z
sin ϕ ⋅ w +
+ 2 cos (ϕ w − ϕ ) − 2 cos ϕ ⋅ sin (ϕ w − ϕ ) = 0 . (7.10c, d)
Zw
Z
Z
W celu dopasowania odbiornika do źródła, można sterować jego mocą czynną na różne sposoby.
1. R = const.; dopasowanie X ⇒ wg (7.10a): X dop = − X w (rezonans) .
Z w2
2
−1 = 0 ,
2. X = const.; dopasowanie R ⇒ wg (7.10b): Rdop = Rw2 + ( X w + X ) 2 ;
gdy X = 0 (odbiornik rezystancyjny), to Rdop = Rw2 + X w2 = Z w .
3. ϕ = const.; dopasowanie Z ⇒ wg (7.10c): Z dop = Z w .
4. R i X – dowolne, różne od 0; dopasowanie Z ⇒ wg (7.10a, b): X = − X w i R = Rw ;
∗
wg (7.10c, d): Z = Z w i ϕ = −ϕ w ; stąd ogólnie Z dop = Z w (rezonans) .
W pierwszym wariancie stan rezonansu jest wynikiem doboru samej reaktancji X dop = − X w , w
czwartym – wynikiem doboru impedancji zespolonej Z dop = Rdop + jX dop = Rw − jX w .
E2
.
4 Rw
A zatem, jeśli nie ma narzuconych ograniczeń co do charakteru zmian obciążenia, to dopasowanie
odbiornika do źródła ze względu na moc czynną zachodzi przy warunku
Wartość mocy czynnej przy dopasowaniu Z dop = Z w jest największa i wynosi Pdop =
Z dop = Z ∗w .
(7.11)
Układ źródło-odbiornik pracuje w tym wypadku ze sprawnością równą 0,5 .
Dopasowanie odbiornika do źródła napięciowego ze względu na moc pozorną
Dopasowanie odbiornika (pasywnego) do źródła ze względu na moc
pozorną oznacza taki dobór obciążenia, że moc pozorna odbiornika
jest największa z możliwych.
Moc pozorna odbiornika o impedancji Z = R + jX = Z ⋅ e jϕ , zasilanego ze źródła o napięciu E = E ⋅ e
jψ e
i impedancji wewnętrznej
I
Zw
U
Z
E
Z w = Rw + jX w = Z w ⋅ e jϕ w , wyraża się następująco:
E 2 ⋅ R2 + X 2
E2
=
.
2
( Rw + R) 2 + ( X w + X ) 2 Z w2
Zw +Z
+ Z + 2 Z w cos(ϕ w − ϕ )
Z
Dopasowanie odbiornika do źródła odbywa się z założenia przy E = const. i ma związek ze zmianami wartości parametrów odbiornika: X i R, albo Z i ϕ (impedancja Z to moduł impedancji Z).
∂S
∂S
∂S
∂S
Z warunków na ekstrema:
=0 ,
=0 ,
=0 ,
= 0 , otrzymuje się wyrażenia:
∂X
∂R
∂Z
∂ϕ
S = Z ⋅I2 =
Z ⋅ E2
=
[
R [( R
]
] = 2 (R
X ( Rw + R) 2 + ( X w + X ) 2 = 2 ( R 2 + X 2 )( X w + X ) ,
w
+ R) 2 + ( X w + X ) 2
2
+ X 2 )( Rw + R) ;
(7.12a)
(7.12b)
137
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Z w2
−1 = 0 ,
sin (ϕ w − ϕ ) = 0 .
(7.12c, d)
Z2
W celu dopasowania odbiornika do źródła, można sterować jego mocą pozorną na różne sposoby .
2
1. Z = jX (czyli R = 0 , X ≠ 0 ) ⇒ wg (7.12a): X Rw + ( X w + X ) 2 = 2 X 2 ( X w + X ) 2 ,
[
stąd
]
X dop = Rw2 + X w2 = Z w , przy czym Xdop i Xw (ϕ i ϕw) są przeciwnych znaków;
w szczególności, gdy Rw = 0 , to Xdop = – Xw i źródło jest zwarte (bezrezystancyjny obwód
jest w stanie rezonansu; moc i prąd odbiornika są nieskończenie duże).
[
]
2. Z = R (czyli R ≠ 0 , X = 0 ) ⇒ wg (7.12b): R ( Rw + R ) 2 + X w = 2 R 2 ( Rw + R ) 2 ,
2
stąd Rdop = Rw2 + X w2 = Z w .
3. ϕ = const.; dopasowanie Z ⇒ wg (7.12c): Z dop = Z w .
R Rw
=
, spełniony przez ϕ = ϕ w
X Xw
i ϕ = ϕ w ; stąd ogólnie Z dop = Z w .
4. Z = R + jX ( R ≠ 0 , X ≠ 0 ) ⇒ wg (7.12a, b): warunek
i Z = Z w ; wg (7.12c, d): Z = Z w
Łatwo zauważyć, że dla każdego typu odbiornika (dopasowania) ważny jest warunek Z dop = Z w .
Przy dopasowaniu 1. rodzaju, kiedy to X dop ⋅ X w < 0 , otrzymuje się moc pozorną odbiornika
S dop (1) =
X dop ⋅ E 2
Rw + jX w + jX dop
2
=
X dop ⋅ E 2
Rw + ( X w + X dop ) 2
2
=
E2
2 ⋅ (Z w − X w
)
,
E2
.
4 Zw
Jeśli nie ma narzuconych ograniczeń co do charakteru obciążenia, to dopasowanie odbiornika do
źródła ze względu na moc pozorną zachodzi przy odbiorniku reaktancyjnym, spełniającym warunki
określone dla 1. wariantu, tj.: przeciwne znaki Xdop i Xw (ϕ i ϕw) i zależność wyrażona wzorem
która jest ona zdecydowanie większa niż przy dopasowaniu 4. rodzaju, kiedy to S dop ( 4) =
X dop = Rw2 + X w2 = Z w .
(7.13)
Uwaga. Należy zaznaczyć, że dopasowanie odbiornika do źródła ze względu na moc czynną bądź
pozorną jest stanem szczególnym, niekoniecznie pożądanym.
Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła poprzez dołączenie reaktancji
Zdarza się, że posiadany odbiornik pasywny trzeba dopasować do źródła nie ingerując w strukturę
tego obiektu, a tylko dołączając jakieś elementy. W praktyce dotyczy to dopasowania ze względu na
moc czynną. Elementami dołączanymi do odbiornika są w tym wypadku reaktancje. W efekcie,
mimo że wartość impedancji zmodyfikowanego odbiornika jest inna niż odbiornika właściwego, to
moc czynna wydawana przez źródło rzeczywiste wydziela się niezmiennie w rezystancji odbiornika
właściwego. Operację taką można nazwać dopasowaniem impedancji odbiornika do źródła, bowiem impedancja zespolona zmodyfikowanego odbiornika staje się równa impedancji dopasowania. Wyłączając szczególne przypadki, trzeba do odbiornika dołączyć dwie reaktancje – równolegle
oraz szeregowo, jak na rysunku obok.
Impedancja zespolona wewnętrzna źródła wynosi
jXs
Z w = Rw + jX w . Wobec tego impedancja zespoloRw
R
na zmodyfikowanego odbiornika, złożonego z
jXr
Z = R + jX , Z r = jX r i Z s = jX s (odbiornika
-jXw
jX
właściwego z dołączonymi doń reaktancjami), powinna być równa Z dop = Rw − jX w :
≡
138
Wykład XVI
( R + jX ) ⋅ jX r
+ jX s = Rw − jX w ,
R + j (X + X r )
czyli
R ⋅ X r2
R2 + ( X + X r )2
= Rw
R2 + (X + X r ) ⋅ X
i
R2 + ( X + X r )2
⋅ X r + X s = −X w .
Rozwiązaniem pierwszego równania są dwie wartości Xr :
X r I, II =
Rw ⋅ X m Rw ⋅ R ⋅ ( R 2 + X 2 − Rw ⋅ R )
R − Rw
;
(7.14a)
z drugiego równania, dla dwóch wartości Xr , oblicza się dwie wartości Xs :
R2 + (X + X r ) ⋅ X
X s = − X w + 2
X
⋅
.
r
R + ( X + X r )2
(7.14b)
Z postaci wzoru (7.14a) wynika, że dopasowanie przez dołączenie Xr i Xs jest możliwe, gdy
Rw ≤
R2 + X 2 Z 2
=
R
R
oraz
Rw ≠ R .
Przy odbiorniku rezystancyjnym (X = 0) otrzymuje się prostsze zależności:
X r I, II = m
R
;
R
−1
Rw
R
X s I, II = − X w m Rw ⋅
− 1 . (7.15a, b)
Rw
W tym wypadku dopasowanie przez dołączenie reaktancji jest możliwe, gdy Rw < R .
I
Przykład. Do odbiornika o impedancji Z = (20 + j 20) Ω,
zasilanego ze źródła napięciowego o parametrach:
jXs
Rw
E = 120 V, Zw = (10 + j 10) Ω, dobierane są takie reaktancje
R
jXw
Xr i Xs (rys. obok), aby wydzielała się w nim największa moc
czynna. Obliczana jest również wartość tej mocy.
jX
E
Korzystając ze wzorów (7.14a, b), otrzymuje się wartości
reaktancji:
X r I ≅ −14,64 Ω (pojemnościowa), X r II ≅ 54,64 Ω (indukcyjnościowa),
X s I ≅ 7,32 Ω (indukcyjnościowa),
W stanie dopasowania prąd źródła I =
Iodb
jXr
X s II ≅ −27,32 Ω (pojemnościowa).
E
120
=
= 6 A , a moc czynna odbiornika, równa mocy
2 Rw
20
wydzielanej w rezystancji dopasowania PR = Rw ⋅ I 2 = 10 ⋅ 6 2 = 360 W .
Poprawność obliczeń można sprawdzić obliczając (z dzielnika prądu) I odb =
Z + jX r I = 20 2 + (20 − 14,64) 2 ≅ 20,71 Ω ,
Xr
Z + jX r
⋅I ;
Z + jX r II = 20 2 + (20 + 54,64) 2 ≅ 77,27 Ω ;
dla obu wartości Xr wynikiem jest Iodb ≅ 4,24 A ;
2
stąd moc czynna odbiornika PR = R ⋅ I odb
= 20 ⋅ 4,24 2 ≅ 360 W .
139
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła za pomocą transformatora
ϑ:1
Dopasowanie impedancji odbiornika do źródła (ze
względu na moc czynną) poprzez dołączanie reaktancji jest kłopotliwe i nie zawsze możliwe. Prostszym sposobem dopasowania jest użycie transformatora dopasowującego i reaktancji szeregowej. Przy
takim dopasowaniu można posłużyć się modelem
transformatora idealnego (rys. obok).
jXs
Rw
≡
R
jX
-jXw
Impedancja zespolona wewnętrzna źródła wynosi Z w = Rw + jX w . „Przeniesienie” i „przetransformowanie” (z obwodu wtórnego do obwodu pierwotnego) impedancji zespolonych odbiornika
właściwego Z = R + jX i szeregowo dołączonego doń elementu reaktancyjnego Z s = jX s , powinno dać impedancję dopasowania Z dop = Rw − jX w :
ϑ 2 ⋅ R = Rw ,
ϑ 2 ⋅ (X + X s ) = −X w ,
R
.
(7.16a, b)
X s = − X + X w ⋅
Rw
Na ogół przekładnię transformatora definiuje się jako większą od jedności, jeśli więc z obliczenia
wg powyższego wzoru otrzyma się ϑ < 1 , to trzeba dobrać transformator o przekładni ϑ ’ = 1 /ϑ i
zamienić miejscami jego uzwojenia (przełożenie układowe 1 : ϑ ’).
Rw
,
R
ϑ=
zatem
Dwójnik z połączonymi szeregowo dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie
Układ zastępczy rzeczywistej cewki składa się z indukcyjności i rezystancji. Łącząc zaciski dwóch
cewek magnetycznie sprzężonych można utworzyć dwójnik lub trójnik. Dwójnik jest wynikiem
połączenia szeregowego lub równoległego.
Na podstawie równań wiążących wielkości, które występują w układzie szeregowym cewek sprzężonych magnetycznie, wyznaczone zostaną parametry dwójnika zastępczego.
Przy połączeniu szeregowym cewek, zależnie od wzajemnego położenia końców jednoimiennych,
napięcie pochodzące od prądu i indukcyjności wzajemnej sumuje się ze znakiem „+” lub „–” z napięciem pochodzącym od prądu i indukcyjności własnej.
a)
M
I
L1
UX 1
U1
R1
UR 1
L2
UX 2
U2
R2
UR 2
≡
I
L1+M
R1
UX 1
U1
UR 1
L2+M
UX 2
U2
R2
UR 2
≡
L
I
R
UX
UR
U
U
U
Przy szeregowym, zgodnym – ze względu na zwrot prądu względem położenia końców jednoimiennych – połączeniu cewek sprzężonych magnetycznie (rys. „a”), otrzymuje się zależności:
U R 1 = R1 ⋅ I ,
U R 2 = R2 ⋅ I ,
U R = U R 1 + U R 1 = ( R1 + R2 ) ⋅ I = R ⋅ I ,
U X 1 = jX 1 ⋅ I + jX M ⋅ I = j ( X 1 + X M ) ⋅ I = jω ( L1 + M ) ⋅ I ,
U X 2 = jX 2 ⋅ I + jX M ⋅ I = j ( X 2 + X M ) ⋅ I = jω ( L2 + M ) ⋅ I ,
U X = U X 1 + U X 2 = j ( X 1 + X 2 + 2 X M ) ⋅ I = jω ( L1 + L2 + 2 M ) ⋅ I = jX ⋅ I = jω L ⋅ I ,
gdzie:
X 1 = ω L1 ,
zatem
X 2 = ω L2 ,
R = R1 + R2 ,
XM =ω M ,
X =ω L ;
X = X1 + X 2 + 2 X M ,
L = L1 + L2 + 2 M .
(7.17a, b, c)
140
Wykład XVI
b)
M
I
L1
UX 1
U1
R1
UR 1
L2
UX 2
U2
≡
R2
UR 2
L1−M
R1
UX 1
U1
UR 1
I
L2−M
UX 2
U2
R2
UR 2
L
I
≡
R
UX
UR
U
U
U
Przy szeregowym, przeciwsobnym – ze względu na zwrot prądu względem położenia końców jednoimiennych – połączeniu cewek sprzężonych magnetycznie (rys. „b”), otrzymuje się zależności:
U R 1 = R1 ⋅ I ,
U R 2 = R2 ⋅ I ,
U R = U R 1 + U R 1 = ( R1 + R2 ) ⋅ I = R ⋅ I ,
U X 1 = jX 1 ⋅ I − jX M ⋅ I = j ( X 1 − X M ) ⋅ I = jω ( L1 − M ) ⋅ I ,
U X 2 = jX 2 ⋅ I − jX M ⋅ I = j ( X 2 − X M ) ⋅ I = jω ( L2 − M ) ⋅ I ,
U X = U X 1 + U X 2 = j ( X 1 + X 2 − 2 X M ) ⋅ I = jω ( L1 + L2 − 2 M ) ⋅ I = jX ⋅ I = jω L ⋅ I ,
gdzie, jak poprzednio:
R = R1 + R2 ,
zatem
c)
I
X 1 = ω L1 ,
j (XL + XM )
X 2 = ω L2 ,
XM =ω M ,
X = X1 + X 2 − 2 X M ,
I
≡
UX
j XL
X =ω L ;
L = L1 + L2 − 2 M .
(7.18a, b, c)
j XM
UL
UM
UX
d)
I
j (XL – XM )
I
≡
UX
j XL
– j XM
UL
UM
UX
Napięciu indukowanemu o znaku „+”, pochodzącemu od sprzężenia magnetycznego połączonych
szeregowo cewek, odpowiada element indukcyjny o impedancji + jXM (rys. „c”), napięciu ze znakiem „–” odpowiada element pojemnościowy o impedancji – jXM (rys. „d”). Użycie symbolu pojemności służy podkreśleniu przeciwnych zwrotów wskazów napięć związanych z L i M, czyniąc
schematy zastępcze układów bardziej czytelnymi.
Przy połączeniu przeciwsobnym cewek i odpowiednio silnym ich sprzężeniu może się zdarzyć, że
jedna z cewek przedstawia sobą element pojemnościowy (druga – indukcyjny).
Trójnik z dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie
Dwie cewki sprzężone magnetycznie, połączone ze sobą w jednym, wyprowadzonym na zewnątrz
„wspólnym końcu” (trzecim zacisku), tworzą trójnik.
a)
U1
R1
L1
I1
R1
I
M
I2
R2
U1
≡
jXL 1 – jXM
I1
jXM
R2
jXL 2 – jXM
I
I2
L2
U2
U2
Dla trójnika o cewkach sprzężonych magnetycznie z jednoimiennymi końcami usytuowanymi jednakowo względem wspólnego końca (rys. „a”) otrzymuje się zależności:
141
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
U 1 = R1 ⋅ I 1 + jX L 1 ⋅ I 1 + jX M ⋅ I 2 ,
które po podstawieniu: I 2 = I − I 1
oraz
U 2 = R2 ⋅ I 2 + jX L 2 ⋅ I 2 + jX M ⋅ I 1 ,
I 1 = I − I 2 , przyjmują następujące postaci:
U 1 = R1 ⋅ I 1 + j ( X L 1 − X M ) ⋅ I 1 + jX M ⋅ I ,
U 2 = R2 ⋅ I 2 + j ( X L 2 − X M ) ⋅ I 2 + jX M ⋅ I ,
pozwalające przedstawić układy równoważne bez sprzężeń magnetycznych – z kondensatorami
„przed” oraz indukcyjnościami „za” nowym wspólnym węzłem.
b)
U1
R1
L1
U1
I1
R1
I
M
R2
jXM
I1
– jXM
≡
I2
jXL 1
R2
jXL 2
jXM
I
I2
L2
U2
U2
Podobnie, dla trójnika o cewkach sprzężonych magnetycznie z jednoimiennymi końcami usytuowanymi odmiennie względem wspólnego końca (rys. „b”) otrzymuje się zależności:
U 1 = R1 ⋅ I 1 + jX L 1 ⋅ I 1 − jX M ⋅ I 2 ,
U 2 = R2 ⋅ I 2 + jX L 2 ⋅ I 2 − jX M ⋅ I 1 ,
które po podstawieniu: I 2 = I − I 1
oraz
I 1 = I − I 2 , przyjmują następujące postaci:
U 1 = R1 ⋅ I 1 + j ( X L 1 + X M ) ⋅ I 1 − jX M ⋅ I ,
U 2 = R2 ⋅ I 2 + j ( X L 2 + X M ) ⋅ I 2 − jX M ⋅ I ,
pozwalające przedstawić układy równoważne bez sprzężeń magnetycznych – z indukcyjnościami
„przed” oraz kondensatorami „za” nowym wspólnym węzłem.
Dwójnik z połączonymi równolegle dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie
Układy równoważne trójników z dwiema cewkami sprzężonymi magnetycznie można wykorzystać
do wyznaczenia impedancji dwójnika o dwóch gałęziach z takimi cewkami.
a)
R1
M
b)
R2
L2
R1
L1
M
R2
R1
L1
≡
jXM
R2
R1
≡
jXL 1 – jXM
jXL 2 – jXM
jXL 1
jXL 2
Z
≡
Z
jXM
– jXM
R2
≡
jXM
L2
Przy równoległym, zgodnym – ze względu na usytuowanie jednoimiennych końców cewek względem węzłów – połączeniu dwóch cewek sprzężonych magnetycznie (rys. „a”), impedancja zespolona dwójnika wynosi
[
R1 + j ( X L 1 − X M )] ⋅ [R2 + j ( X L 2 − X M )]
( R1 + jX L 1 ) ⋅ ( R2 + jX L 2 ) + X M2
Z=
+ jX M =
,
R1 + R2 + j ( X L 1 + X L 1 − 2 X M )
R1 + R2 + j ( X L 1 + X L 1 − 2 X M )
a przy równoległym, przeciwsobnym połączeniu cewek (rys. „b”) –
[R + j ( X L 1 + X M )] ⋅ [R2 + j ( X L 2 + X M )] − jX = ( R1 + jX L 1 ) ⋅ ( R2 + jX L 2 ) + X M2 ,
Z= 1
M
R1 + R2 + j ( X L 1 + X L 1 + 2 X M )
R1 + R2 + j ( X L 1 + X L 1 + 2 X M )
gdzie: X 1 = ω L1 , X 2 = ω L2 , X M = ω M .
142
Wykład XVI
Rozwiązywanie obwodów ze sprzężeniami magnetycznymi metodą oczkową
W metodzie oczkowej, w impedancjach zespolonych oczkowych (własnych i wzajemnych) występują dodatkowe wyrazy reaktancyjne, reprezentujące sprzężenia magnetyczne. Ważne, by nie pominąć tych wyrazów, ani nie pomylić ich znaków. Reaktancję indukcyjności wzajemnej cewek
oznaczono symbolem XM .
Impedancja własna oczka z cewkami sprzężonymi ze sobą w tym oczku zawiera wyraz j 2 XM ze
znakiem „+”, jeśli sprzężenie cewek względem prądu w oczku jest dodatnie, a ze znakiem „–”, jeśli
ujemne (rys.: odpowiedni znak przy j XM w Z11).
Impedancja wzajemna oczek z cewkami sprzężonymi ze sobą w tych oczkach zawiera wyraz j XM
ze znakiem „+”, jeśli prądy w oczkach są jednakowo zwrócone względem końców jednoimiennych
cewek, a ze znakiem „–”, jeśli odwrotnie (rys.: odpowiednie znaki przy j XM w Z12 , Z23 i Z31).
Z 11 = ..... + jX A + jX B + j 2 X M
Z 12 = − jX A − jX M
Io 1
j XA
j XB
j XM
Z 23 = jX M
Z 31 = − jX B − jX M
Io 3
Io 2
Z 11 = ..... + jX A + jX B − j 2 X M
Z 12 = − jX A + jX M
Io 1
j XA
j XB
j XM
Io 2
Z 23 = − jX M
Z 31 = − jX B + jX M
Io 3
Przykład. Dany obwód ze sprzężeniem magnetycznym został przedstawiony w równoważnej postaci bez tego sprzężenia.
I1
2Ω
j3Ω
j2Ω
3V
Io 1
I2
2Ω
–j4Ω
2Ω
j3Ω –j2Ω
2Ω
–j4Ω
–j2Ω
I3
j6V
j3Ω
2Ω
j2Ω
Io 2
≡
3V
Io 1
j6V
j3Ω
2Ω
Io 2
Impedancje własne i wzajemne, wyznaczone tak dla jednego, jak dla drugiego obwodu, wynoszą:
Z 11 = 4 + j 6 − j 4 = (4 + j 2) Ω,
Z 12 = −(2 + j 3) + j 2 = (−2 − j1) Ω,
Z 22 = (4 − j1) Ω.
− 2 − j1 I o 1 3
=
⋅
.
4 − j1 I o 2 − j 6
Rozwiązaniem tego równania są wartości symboliczne prądów oczkowych:
Io 1 = (1,2 – j 1,0) A,
Io 2 = (1,2 – j 1,4) A .
Rozwiązaniem obwodu są wartości symboliczne prądów gałęziowych:
I1 = Io 1 = (1,2 – j 1,0) A,
I2 = Io 2 = (1,2 – j 1,4) A,
I3 = Io 1 – Io 2 = j 0,4 A.
Równanie obwodu jest następujące:
4 + j2
− 2 − j1
143
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XVII. PODSTAWOWE STRUKTURY OBWODÓW TRÓJFAZOWYCH
Układ wielofazowy i układ trójfazowy
Terminem układ wielofazowy określa się zbiór – w liczbie dwa lub większej – takich, związanych
ze sobą strukturalnie obwodów elektrycznych, że w każdym z nich działa jedno źródło napięcia
sinusoidalnego o częstotliwości takiej samej jak w obwodach pozostałych, oraz początkowym kącie
fazowym różnym niż w obwodach pozostałych.
Obwody tworzące układ wielofazowy noszą nazwę faz tego układu. Jak wiadomo, termin „faza”
oznacza też bieżącą wartość argumentu przebiegu sinusoidalnego, tj. ω t + ψ , dlatego aby nie powodować nieporozumień, zaznacza się zwykle, czy chodzi o fazę układu, czy o fazę przebiegu
(unika się też używania skróconej nazwy początkowego kąta fazowego: „faza początkowa”).
Uporządkowanie początkowych kątów fazowych ψu napięć źródłowych w fazach układu – wg malejących wartości – wyznacza kolejność faz układu. Jeśli punkty o tych wartościach dzielą przedział o długości równej 2π = 360° (okres funkcji sinus) na równe odcinki, a przy tym wartości skuteczne napięć w fazach są jednakowe, to taki układ wielofazowy nazywa się symetrycznym.
Fazy układu oznacza się kolejnymi literami alfabetu (oznaczeniem pierwszej fazy może, ale nie
musi być litera A) lub cyframi (w takim wypadku oznaczeniem pierwszej fazy jest zawsze cyfra 1).
Warto zaznaczyć, że kolejność faz nie jest równoznaczna z ich numeracją (oznaczeniem faz). Za
pierwszą fazę można obrać dowolną fazę układu. Używa się też pojęć: zgodna i przeciwna kolejność faz, np. w związku ze sposobem przyłączenia zacisków odbiornika do zacisków źródła.
Układ trójfazowy to układ o trzech fazach (obwodach fazowych). Fazy układu trójfazowego oznacza się literami, np. A, B, C, albo cyframi 1, 2, 3. Fazom układu oznaczonym cyframi 1, 2, 3 odpowiadają kolejności faz zgodne: 1, 2, 3; 2, 3, 1 i 3, 1, 2, oraz przeciwne: 1, 3, 2; 2, 1, 3 i 3, 2, 1.
Różnice faz początkowych napięć źródłowych symetrycznego
układu trójfazowego są równe ± 120°, jak na rys. obok, gdzie dla
EC
wskazu w fazie A przyjęto początkowy kąt fazowy równy 0.
2π
Funkcje czasu wyrażające te napięcia są następujących postaci:
3
EA
e A (t ) = E m ⋅ sin ω t ,
(7.19a)
– 2π
3
EB
e B (t ) = E m ⋅ sin(ω t − 120 o ) ,
(7.19b)
eC (t ) = E m ⋅ sin(ω t + 120 o ) ,
(7.19c)
a wartości symboliczne EA = E,
EB = E ⋅e
− j⋅
2π
3
,
EC = E ⋅e
j⋅
2π
3
.
(7.20)
Gdy obwody fazowe nie są połączone ze sobą galwanicznie, to układ wielofazowy (trójfazowy)
określa się jako nieskojarzony, gdy natomiast występuje tego rodzaju połączenie – jako skojarzony.
Źródłowe napięcia fazowe są zwykle „pobierane” z trójfazowego uzwojenia generatora lub transformatora, toteż w praktyce spotyka się wyłącznie układy trójfazowe skojarzone o zasilaniu symetrycznym. Takie właśnie obwody są dalej omawiane.
Źródło, odbiornik i linia skojarzonego układu trójfazowego
W układach trójfazowych występują źródła trójfazowe, odbiorniki trójfazowe oraz – pomijane często w obliczeniach – linie trójfazowe (między źródłami i odbiornikami). W układach trójfazowych
skojarzonych, elementy fazowe źródła oraz odbiornika trójfazowego mogą być łączone w gwiazdę
lub w trójkąt.
Układy „gwiazdowe” i „trójkątowe” można rysować sytuując elementy fazowe: 1) pod kątami odpowiadającymi mniej więcej symetrycznemu przesunięciu wskazów, 2) równolegle do siebie.
Na poniższym rysunku pokazano obie wersje graficzne: a) źródła „gwiazdowego”, b) źródła „trójkątowego” (dla uproszczenia przyjęto źródła idealne), c) odbiornika „gwiazdowego”, d) odbiornika „trójkątowego”.
144
Wykład XVII
a)
EA
EB
EC
A
EA
A
B
EB
B
C
≡
EC
C
b)
A
EAB
B
ECA
EBC
N
A
EAB
≡
B
EBC
C
C
N
c)
ECA
d)
A
B
ZA
ZC
C
≡
ZB
A
ZA
B
ZB
C
ZC
A
B
C
N
A
ZCA
ZAB
≡
ZAB
B
ZBC
C
ZBC
N
ZCA
W układach gwiazdowych źródła i odbiornika występują punkty wspólne, nazywane neutralnymi
(oznaczenie: N, jak na rys.) lub zerowymi (oznaczenie: 0). Zależnie od tego, czy punkty te są połączone z resztą układu, czy też nie (linia przerywana), źródła oraz odbiorniki są czterozaciskowe lub
trójzaciskowe. Oczywiście, źródła i odbiorniki „trójkątowe” są zawsze trójzaciskowe.
W linii trójfazowej występują 3 przewody, nazywane fazowymi, i ewentualnie – przewód czwarty,
nazywany neutralnym lub zerowym, który łączy punkty neutralne (zerowe) układów gwiazdowych
źródła i odbiornika. Zależnie od tego, czy w linii jest przewód neutralny (zerowy), czy też nie, nazywa się ją czteroprzewodową lub trójprzewodową. Na poniższym rysunku pokazano: a’) układ z
linią czteroprzewodową – w jedynej możliwej konfiguracji ze źródłem i odbiornikiem (gwiazdagwiazda); a’’, a’’’, b’, b’’) układy z linią trójprzewodową – we wszystkich konfiguracjach ze źródłem i odbiornikiem (gwiazda-gwiazda, gwiazda-trójkąt, trójkąt-gwiazda, trójkąt-trójkąt).
a’)
EA
A
ZAA’
A’ ZA
EB
B
ZBB’
B’ ZB
EC
C
ZCC’
C’ ZC
EBC
N
ZN’N
N’
ECA
A
ZAA’
A’ ZA
b’)
EA
EB
EC
B
ZBB’
C
ZCC’
B’ ZB
A
ZAA’
A’
EB
B
ZBB’
B’
EC
C
ZCC’
C’
ZAB
ZBC
ZCA
ZA
B
ZBB’
B’
ZB
C
ZCC’
C’
ZC
A
ZAA’
A’
B
ZBB’
B’
C
ZCC’
C’
ZAB
EBC
C’ ZC
EA
A’
EAB
ECA
a’’’)
ZAA’
EAB
b’’)
a’’)
A
ZBC
ZCA
Uwaga. Terminy „neutralny” i „zerowy”
(punkt, przewód) są używane zamiennie, ale
preferuje się nazwę pierwszą. Pojęcie punktu
lub przewodu zerowego bywa bowiem zawężane do takiego, który jest uziemiony (połączony galwanicznie z ziemią, dokładniej – z
jej wierzchnią warstwą przewodzącą).
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
145
Obwód trójfazowy. Prąd trójfazowy i napięcie trójfazowe
Źródłowe napięcia występujące w układach trójfazowych tworzą trójfazowe układy napięć źródłowych; podobnie można mówić o trójfazowych układach napięć: w linii zasilającej i w odbiorniku,
oraz o trójfazowych układach prądów: w źródle, linii i odbiorniku. Aby uniknąć niejednoznaczności
terminu „układ”, określającego: 1) zbiór elementów tworzących pewną strukturę (powiązane ze
sobą obwody fazowe), 2) zbiór wielkości tego samego rodzaju, występujących w jakimś obiekcie
(powiązane ze sobą napięcia albo prądy), używa się, odpowiednio, terminów: 1) obwód trójfazowy,
2) napięcie trójfazowe i prąd trójfazowy.
Uwaga. Termin „obwód trójfazowy” jest powszechnie stosowany w elektroenergetyce, gdzie występują układy trójfazowe o rozbudowanej strukturze. Przyjęło się tu mówić o obwodach jedno- i
trójfazowych jako układach „widzianych” przez grupę odbiorów. Obwody takie to podsystemy
rozdzielczo-odbiorcze, związane z odbiornikami zasilanymi z jednej linii układu elektroenergetycznego. Część układu nazywana obwodem trójfazowym jest więc tu układem złożonym z zastępczego
źródła trójfazowego, linii trójfazowej i przyłączonych do niej odbiorników. Pełna analiza funkcjonowania systemu elektroenergetycznego prowadzona jest na różnych poziomach, odpowiadających
hierarchii podsystemów.
Napięcia, prądy i moce w obwodach trójfazowych
W obwodach trójfazowych można wyróżnić następujące napięcia oraz prądy:
a) napięcia fazowe źródła oraz odbiornika, tj. napięcia na ich elementach fazowych,
b) napięcia fazowe układu i linii zasilającej, tj. napięcia między przewodami fazowymi i przewodem neutralnym, a w układzie z uziemionym punktem neutralnym źródła, bez przewodu neutralnego (zerowego) – napięcia między przewodami fazowymi a wnętrzem ziemi (tzw. ziemią
odległą),
c) napięcia międzyfazowe źródła oraz odbiornika, tj. napięcia między punktami (zaciskami) źródła oraz odbiornika, przyłączonymi do przewodów fazowych,
d) napięcie międzyfazowe, inaczej: międzyprzewodowe lub liniowe, układu i linii zasilającej, tj.
napięcia między przewodami fazowymi,
e) prądy fazowe źródła oraz odbiornika, tj. prądy w ich elementach fazowych,
f) prądy liniowe, inaczej: przewodowe, oraz prąd powrotny (neutralny, zerowy) układu i linii zasilającej, tj. prądy w przewodach fazowych oraz prąd w przewodzie neutralnym, a w układzie z
uziemionym punktem neutralnym źródła – w ziemi.
Symbole napięć i prądów fazowych (źródła, linii, odbiornika) opatruje się czasami indeksem „f”.
Wartości skuteczne fazowego i międzyfazowego (międzyprzewodowego) symetrycznego napięcia
trójfazowego linii zapisuje się w związku z tym jako: Uf i U, a np. fazowe napięcia źródłowe układu „trójkątowego”, które są jednocześnie w tym wypadku napięciami międzyfazowymi źródła oraz
linii (EAB , EBC , ECA ), mogą być zapisane jako EfA , EfB , EfC .
Moce: czynna P, bierna Q oraz zespolona S, wydawane przez źródło trójfazowe lub pobierane przez
odbiornik trójfazowy, są równe odpowiednio:
P = PfA + PfB + PfC ,
Q = Q fA + Q fB + Q fC ,
S = S fA + S fB + S fC . (7.21a, b, c)
Omawiane będą obwody trójfazowe z idealnym (zwykle też symetrycznym) źródłem i bezimpedancyjną linią zasilającą odbiornik.
Jeśli w tzw. gałęzi powrotnej układu gwiazda-gwiazda (między punktami neutralnymi źródła i odbiornika) występuje impedancja ZN’N , to będzie ona traktowana jako element odbiornika ZN . W
takim wypadku, całkowite moce pobierane w odbiorniku są obliczane z zależności:
P = PfA + PfB + PfC + PN , Q = Q fA + Q fB + Q fC + Q N , S = S fA + S fB + S fC + S N . (7.22a, b, c)
gdzie: PN , QN , SN – moce tracone w gałęzi powrotnej, w impedancji ZN = ZN’N odbiornika.
146
Wykład XVII
Odbiornik zasilany czteroprzewodowo
EA
IA
Na rys. obok pokazano obwód trójfazowy z odbiornikiem
o układzie gwiazdowym, zasilanym czteroprzewodowo.
ZA
W ogólnym przypadku: ZN ≠ 0 , ZA ≠ ZB ≠ ZC .
UA
EB
IB
ZB
N
EC
VN = 0
UB
N’
ZC
VN’
IC
U N 'N = V N ' =
UC
ZN
IN
Aby obliczyć prądy: IA , IB , IC , trzeba najpierw wyznaczyć
napięcie UN’N . Stosując metodę węzłową, przy założeniu
VN = 0 , otrzymuje się:
Y A ⋅ E A + Y B ⋅ E B + Y C ⋅ EC
,
Y A +Y B +YC +Y N
(7.23a)
gdzie:
UN’N
YA =
1
1
1
1
, YB =
, YC =
, YN =
. (7.23b)
ZA
ZB
ZC
ZN
Następnie korzysta się z zależności:
U A = E A − U N 'N ,
U B = E B − U N 'N ,
I A = Y A ⋅U A ,
I N = Y N ⋅ U N 'N
I B = Y B ⋅U B ,
albo
U C = E C − U N 'N ,
(7.23c)
I C = Y C ⋅U C ,
(7.23d)
I N = I A + IB + IC .
(7.23e)
Moc wydawana przez źródło idealne, a pobierana przez odbiornik wraz z gałęzią powrotną, wynosi:
S = P + jQ = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + E C ⋅ I C = U A ⋅ I A + U B ⋅ I B + U C ⋅ I C + U N ' N ⋅ I N .
*
*
*
*
*
*
*
(7.24)
Szczególnym przypadkiem jest czteroprzewodowy układ gwiazda-gwiazda z bezimpedancyjnym
przewodem neutralnym, tzn. Z N = 0 , wobec czego:
U N 'N = 0 ,
U A = EA ,
U B = EB ,
U C = EC .
Przykład 1. Odbiornik gwiazdowy o impedancjach faz i gałęzi powrotnej (przyłączonej do punktu
neutralnego odbiornika): Z A = Z N = (100 − j 100) Ω, Z B = Z C = (100 + j 100) Ω, jest zasilany
czteroprzewodowo napięciem symetrycznym 3×230/400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom
oraz sporządzić bilans mocy obwodu.
a)
EA
IA
b)
ZA
UC
UA
EB
IB
N
IC
ϕC
EC
IC
IA
ϕA
ZB
UB
EC
IN
IB
N’
IN
ϕB
ZC
ϕN
UN‘N
UA
EA
UC
IN
UB
ZN
EB
UN’N
Schemat obwodu z zaznaczeniem charakteru gałęzi – rys. a.
Wartości admitancji fazowych i admitancji gałęzi powrotnej, obliczone wg wzorów (7.23b):
o
Y A = Y N = (0,5 + j 0,5) ⋅ 10 − 2 = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e j 45 S,
o
Y B = Y C = (0,5 − j 0,5) ⋅ 10 −2 = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e − j 45 S.
147
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Napięcie zasilające 3×230/400 V, określające znamionowe napięcia: fazowe U f = 230 V i międzyfazowego U = 400 V, odpowiada w przybliżeniu warunkowi U = 3 Uf . Bliższe spełnienia tego
związku są np. wartości: U f = 231 V i U = 400 V (230 3 ≅ 398,37 ; 231 3 ≅ 400,10). Dla ograniczenia niepotrzebnych błędów – w tym i następnych przykładach – używać się będzie w obliczeniach tych drugich wartości.
Przyjęte wartości początkowych kątów fazowych napięć źródła:
ψ e. A = 0 o , ψ e.B = −120 o , ψ e.C = 120 o .
o
Wartości symboliczne napięć źródła: E A = 231 ⋅ e j 0 = 231 V,
o
E B = 231 ⋅ e − j120 = (−115,5 − j 200) V,
o
E C = 231 ⋅ e j120 = (−115,5 + j 200) V.
Wartość symboliczna napięcia na impedancji w gałęzi powrotnej, obliczona wg wzoru (7.23a):
o
Y ⋅ E + Y B ⋅ E B + Y C ⋅ EC
U N 'N = V N ' = A A
= j 115,5 = 115,5 ⋅ e j 90 V.
Y A +Y B +YC +Y N
Wartości symboliczne napięć fazowych odbiornika, obliczone wg wzorów (7.23c):
o
U A = E A − U N ' N = 231 − j 115,5 ≅ 258,3 ⋅ e − j 26,6 V,
o
U B = E B − U N ' N = −115,5 − j 315,5 ≅ 336,0 ⋅ e − j110,1 V,
o
U C = E C − U N ' N = −115,5 + j 84,5 ≅ 143,1 ⋅ e j143,8 V.
Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.23d, e):
o
I A = Y A ⋅ U A ≅ 1,826 ⋅ e j18, 4 A,
o
I B = Y B ⋅ U B ≅ 2,376 ⋅ e − j155,1 A,
o
I C = Y C ⋅ U C ≅ 1,012 ⋅ e j 98,8 A,
o
I N = Y N ⋅ U N ' N ≅ 0,817 ⋅ e j135 A.
Wykres wskazowy odpowiadający wartościom napięć i prądów – rys. b (obok schematu obwodu).
Bilans mocy:
- moc zespolona obwodu, wydawana przez źródło i pobierana przez odbiornik, wg wzoru (7.24)
*
*
*
S gen = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + E C ⋅ I C =
o
o
o
= 231 ⋅ 1,826 ⋅ e − j18, 4 + 231 ⋅ 2,376 ⋅ e j 35,1 + 231 ⋅ 1,012 ⋅ e j 21, 2 ≅ 1067 + j 267 (VA),
S odb = U A ⋅ I A + U B ⋅ I B + U C ⋅ I C + U N ' N ⋅ I N =
*
=UA ⋅ IA ⋅e
*
jϕA
*
+UB ⋅ IB ⋅e
j ϕB
o
*
+ UC ⋅ IC ⋅ e
o
j ϕC
+ U N 'N ⋅ I N ⋅ e
j ϕN
=
o
o
= 258,3 ⋅ 1,826 ⋅ e − j 45 + 336,0 ⋅ 2,376 ⋅ e j 45 + 143,1 ⋅ 1,012 ⋅ e j 45 + 115,5 ⋅ 0,817 ⋅ e − j 45 =
≅ 1067 + j 267 (VA),
- moc elementów rezystancyjnych
P = ∑ Rk ⋅ I k2 =100 ⋅ 1,826 2 + 100 ⋅ 2,376 2 + 100 ⋅ 1,012 2 + 100 ⋅ 0,817 2 ≅ 1067 W,
k
- moc elementów reaktancyjnych
Q = ∑ X k ⋅ I k2 = − 100 ⋅ 1,826 2 + 100 ⋅ 2,376 2 + 100 ⋅ 1,012 2 − 100 ⋅ 0,817 2 ≅ 267 var.
k
Równanie S gen = S odb = P + j Q jest spełnione, tzn. moce się bilansują.
148
Wykład XVII
Przykład 2. Odbiornik gwiazdowy o wartościach impedancji faz – jak poprzednio, i bezimpedancyjnej gałęzi powrotnej (bezpośrednio połączone punkty neutralne źródła i odbiornika):
Z A = (100 − j 100) Ω, Z B = Z C = (100 + j 100) Ω, Z N = 0 = (0 + j 0) Ω, jest zasilany czteroprzewodowo napięciem symetrycznym 3×230/400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów
występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz
sporządzić bilans mocy obwodu.
a)
EA
IA
b)
ZA
IN = IA + IB + I C
UA
EB
IB
UC = EC
ZB
N
IB
ZC
IC
IC
IA
ϕA
N’
UB
EC
ϕC
UA = EA
ϕB
UC
IN
UB = EB
Schemat obwodu z zaznaczeniem charakteru gałęzi – rys. a.
o
Wartości admitancji fazowych: Y A = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e j 45 S,
o
Y B = Y C = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e − j 45 S.
Napięcia fazowe – w zadanych warunkach i przy założonych jak poprzednio napięciach źródła:
o
U A = E A = 231 ⋅ e j 0 V,
o
U B = E B = 231 ⋅ e − j120 V,
o
U C = E C = 231 ⋅ e j120 V.
Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.23d, e):
o
I A = Y A ⋅ U A ≅ 1,633 ⋅ e j 45 A,
o
I B = Y B ⋅ U B ≅ 1,633 ⋅ e − j165 A,
o
I C = Y C ⋅ U C ≅ 1,633 ⋅ e j 75 A,
o
I N = I A + I B + I C ≅ 2,309 ⋅ e j 90 A.
Wykres wskazowy odpowiadający wartościom napięć i prądów – rys. b (obok schematu obwodu).
Bilans mocy:
- moc zespolona obwodu, wydawana przez źródło i pobierana przez odbiornik, wg wzoru (7.24)
S = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + EC ⋅ I C = U A ⋅ I A +U B ⋅ I B +U C ⋅ I C =
*
=UA ⋅ IA ⋅e
*
jϕA
*
+UB ⋅ IB ⋅e
j ϕB
*
+ UC ⋅ IC ⋅ e
o
o
*
j ϕC
*
=
o
= 231 ⋅ 1,633 ⋅ e − j 45 + 231 ⋅ 1,633 ⋅ e j 45 + 231 ⋅ 1,633 ⋅ e j 45 ≅ 800 + j 267 (VA),
- moc elementów rezystancyjnych
P = ∑ Rk ⋅ I k2 = 100 ⋅ 1,633 2 + 100 ⋅ 1,633 2 + 100 ⋅ 1,633 2 ≅ 800 W,
k
- moc elementów reaktancyjnych
Q = ∑ X k ⋅ I k2 = − 100 ⋅ 1,633 2 + 100 ⋅ 1,633 2 + 100 ⋅ 1,633 2 ≅ 267 var.
k
Równanie S = P + j Q jest spełnione, tzn. moce się bilansują.
149
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Odbiornik o układzie gwiazdowym zasilany trójprzewodowo
Na rysunku pokazano obwód trójfazowy z odbiornikiem źródła o układzie gwiazdowym, zasilanym
trójprzewodowo ze źródła o układzie gwiazdowym.
Z punktu widzenia pracy odbiornika, sposób połączenia eleEA
IA
ZA
mentów źródła nie ma znaczenia. Gwiazdowy układ źródła,
istniejący rzeczywiście lub zastępczy, pozwala traktować zaUA
silanie trójprzewodowe jako przypadek zasilania czteroprzeEB
IB
ZB
wodowego z gałęzią powrotną o zerowej admitancji YN = 0 .
N’
N
Wtedy to wzory (7.23a), (7.23b) i (7.24) przyjmują formy:
UB
EC
ZC
IC
U N 'N =
UC
Y A ⋅ E A + Y B ⋅ E B + Y C ⋅ EC
,
Y A +Y B +YC
1
,
ZC
(7.25b)
S = P + jQ = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + E C ⋅ I C = U A ⋅ I A + U B ⋅ I B + U C ⋅ I C .
(7.26)
UN’N
YA =
*
*
1
,
ZA
YB =
*
1
,
ZB
(7.25a)
*
YC =
*
*
Zależności (7.23c, d) stosuje się w niezmienionej postaci, a miejsce (7.23e) zajmuje: IN = 0 .
Przykład. Odbiornik gwiazdowy: Z A = (100 − j 100) Ω, Z B = Z C = (100 + j 100) Ω, jest zasilany
trójprzewodowo napięciem symetrycznym 3×400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów
występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz
sporządzić bilans mocy obwodu.
a)
EA
IA
b)
ZA
UC
ϕC
EC
UA
EB
IB
N
IC
ϕA
ZB
UB
EC
IA
IC
N’
ϕB
IB
UN‘N
UA
ZC
EA
UC
UN’N
UB
EB
Schemat obwodu z zaznaczeniem charakteru gałęzi – rys. a.
o
Wartości admitancji fazowych: Y A = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e j 45 S,
o
Y B = Y C = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e − j 45 S.
o
Wartości symboliczne napięć źródła (umownie – gwiazdowego): E A = 231 ⋅ e j 0 = 231 V,
o
E B = 231 ⋅ e − j120 = (−115,5 − j 200) V,
o
E C = 231 ⋅ e j120 = (−115,5 + j 200) V.
Wartość symboliczna napięcia między punktami N’ i N, obliczona wg wzoru (7.25a):
o
Y ⋅ E + Y B ⋅ E B + Y C ⋅ EC
U N 'N = V N ' = A A
= −46,2 + j 138,6 = 146,1 ⋅ e j108, 4 V.
Y A +Y B +YC
Wartości symboliczne napięć fazowych odbiornika, obliczone wg wzorów (7.23c):
o
U A = E A − U N ' N = 277,2 − j 138,6 ≅ 309,9 ⋅ e − j 26,6 V,
o
U B = E B − U N ' N = −69,3 − j 338,6 ≅ 345,6 ⋅ e − j101,6 V,
150
Wykład XVII
o
U C = E C − U N ' N = −69,3 + j 61,4 ≅ 92,6 ⋅ e j138,5 V.
Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.23d):
o
I A = Y A ⋅ U A ≅ 2,191 ⋅ e j18, 4 A,
o
I B = Y B ⋅ U B ≅ 2,444 ⋅ e − j146,6 A,
o
I C = Y C ⋅ U C ≅ 0,655 ⋅ e j 93,5 A.
Wykres wskazowy odpowiadający wartościom napięć i prądów – rys. b (obok schematu obwodu).
Bilans mocy:
- moc zespolona obwodu, wydawana przez źródło i pobierana przez odbiornik, wg wzoru (7.26)
*
*
*
S gen = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + E C ⋅ I C =
o
o
o
= 231 ⋅ 2,191 ⋅ e − j18, 4 + 231 ⋅ 2,444 ⋅ e j 26,6 + 231 ⋅ 0,655 ⋅ e j 26,5 ≅ 1120 + j 160 (VA),
S odb = U A ⋅ I A + U B ⋅ I B + U C ⋅ I C = U A ⋅ I A ⋅ e
*
*
*
o
jϕA
+UB ⋅ IB ⋅e
o
j ϕB
+ UC ⋅ IC ⋅ e
j ϕC
=
o
= 309,9 ⋅ 2,191 ⋅ e − j 45 + 345,6 ⋅ 2,444 ⋅ e j 45 + 92,6 ⋅ 0,655 ⋅ e j 45 =
≅ 1120 + j 160 (VA),
- moc elementów rezystancyjnych
P = ∑ Rk ⋅ I k2 =100 ⋅ 2,1912 + 100 ⋅ 2,444 2 + 100 ⋅ 0,655 2 ≅ 1120 W,
k
- moc elementów reaktancyjnych
Q = ∑ X k ⋅ I k2 = − 100 ⋅ 2,1912 + 100 ⋅ 2,444 2 + 100 ⋅ 0,655 2 ≅ 160 var.
k
Równanie S gen = S odb = P + j Q jest spełnione, tzn. moce się bilansują.
Odbiornik o układzie trójkątowym
EA
A (L1) IA
EB
B (L2) IB
UAB
UCA
EC
C (L3) IC
UBC
IAB
ZAB
IBC
ZBC
ICA
ZCA
Na rys. obok pokazano obwód trójfazowy z
odbiornikiem o układzie trójkątowym, zasilanym trójprzewodowo ze źródła o układzie
gwiazdowym.
Z punktu widzenia pracy odbiornika, sposób
połączenia elementów źródła nie ma znaczenia, dlatego zaznaczono je liniami przerywanymi. Fazy linii zasilającej opatrzono symbolami L1, L2, L3 – alternatywnymi do A, B, C.
Napięcia fazowe odbiornika są jednocześnie jego napięciami międzyfazowymi. Między nimi a fazowymi napięciami źródła o układzie gwiazdowym zachodzą następujące związki:
U AB = E A − E B ,
U BC = E B − E C ,
U CA = E C − E A .
W ogólnym przypadku ( ZAB ≠ ZBC ≠ ZCA ) korzysta się z zależności:
1
1
1
Y AB =
,
Y BC =
,
Y CA =
,
Z AB
Z BC
Z CA
I AB = Y AB ⋅ U AB ,
I A = I AB − I CA ,
I BC = Y BC ⋅ U BC ,
I B = I BC − I AB ,
I CA = Y CA ⋅ U CA ,
I C = I CA − I BC .
(7.27)
(7.28a)
(7.28b)
(7.28c)
151
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Moc wydawana przez źródło idealne o układzie gwiazdowym, a pobierana przez odbiornik o układzie trójkątowym, wynosi:
S = P + jQ = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + E C ⋅ I C = U AB ⋅ I AB + U BC ⋅ I BC + U CA ⋅ I CA .
*
*
*
*
*
*
(7.29)
Przykład. Odbiornik o układzie trójkątowym: Z AB = (100 − j 100) Ω, Z BC = Z CA = (100 + j 100) Ω,
jest zasilany napięciem symetrycznym 3×400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz sporządzić bilans mocy obwodu.
a)
b)
EA
A (L1) IA
IAB
ϕBC
ZAB
-IAB
EB
UAB
B (L2) IB
IBC
EC
UBC
C (L3) IC
ICA
IC
ICA
ϕCA
EC
IB
EA
ZBC
IAB
UCA
-IBC
UCA
IBC
UAB
ϕAB
UBC
ZCA
EB
-ICA
IA
Schemat obwodu z zaznaczeniem charakteru gałęzi – rys. a.
o
o
Wartości admitancji: Y AB = 0,5 2 ⋅ 10 − 2 ⋅ e j 45 S,
Y BC = Y CA = 0,5 2 ⋅ 10 −2 ⋅ e − j 45 S.
o
Wartości symboliczne napięć źródła (umownie – gwiazdowego): E A = 231 ⋅ e j 0 = 231 V,
o
o
E B = 231 ⋅ e − j120 = (−115,5 − j 200) V,
E C = 231 ⋅ e j120 = (−115,5 + j 200) V.
Wartości symboliczne napięć fazowych (międzyfazowych) odbiornika, wg wzorów (7.27):
o
U AB = E A − E B = 346,5 + j 200 ≅ 400 ⋅ e j 30 V,
o
U BC = E B − E C = − j 400 ≅ 400 ⋅ e − j 90 V,
o
U CA = E C − E A = −346,5 + j 200 ≅ 400 ⋅ e j150 V.
Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.28b, c):
o
I AB = Y AB ⋅ U AB ≅ 2,828 ⋅ e j 75 ≅ (0,732 + j 2,732) A,
o
I BC = Y BC ⋅ U BC ≅ 2,828 ⋅ e − j135 ≅ (– 2 – j 2) A,
o
I CA = Y CA ⋅ U CA ≅ 2,828 ⋅ e j105 ≅ (– 0,732 + j 2,732) A.
o
I A = I AB − I CA = 1,464 + j 0 ≅ 1,464 ⋅ e j 0 A,
o
I B = I BC − I AB = −2,732 − j 4,732 ≅ 5,464 ⋅ e − j120 A,
o
I C = I CA − I BC = 1,268 + j 4,732 ≅ 4,899 ⋅ e j 75 A.
Wykres wskazowy odpowiadający wartościom napięć i prądów – rys. b (obok schematu obwodu).
Bilans mocy:
- moc zespolona obwodu, wydawana przez źródło i pobierana przez odbiornik, wg wzoru (7.29)
*
*
*
S gen = E A ⋅ I A + E B ⋅ I B + E C ⋅ I C =
o
o
o
= 231 ⋅ 1,464 ⋅ e − j 0 + 231 ⋅ 5,464 ⋅ e j 0 + 231 ⋅ 4,899 ⋅ e j 45 ≅ 2400 + j 800 (VA),
152
Wykład XVII
S odb = U AB ⋅ I AB + U BC ⋅ I BC + U CA ⋅ I CA =
*
= U AB ⋅ I AB ⋅ e
*
j ϕ AB
*
+ U BC ⋅ I BC ⋅ e
j ϕ BC
o
+ U CA ⋅ I CA ⋅ e
j ϕ CA
o
=
o
= 400 ⋅ 2,828 ⋅ e − j 45 + 400 ⋅ 2,828 ⋅ e j 45 + 400 ⋅ 2,828 ⋅ e j 45 =
≅ 2400 + j 800 (VA),
- moc elementów rezystancyjnych
P = ∑ Rk ⋅ I k2 =100 ⋅ 2,828 2 + 100 ⋅ 2,828 2 + 100 ⋅ 2,828 2 ≅ 2400 W,
k
- moc elementów reaktancyjnych
Q = ∑ X k ⋅ I k2 = − 100 ⋅ 2,828 2 + 100 ⋅ 2,828 2 + 100 ⋅ 2,828 2 ≅ 800 var.
k
Równanie S gen = S odb = P + j Q jest spełnione, tzn. moce się bilansują.
Uwaga. Zadanie powyższe można rozwiązać z powodzeniem na podstawie starannie narysowanego wykresu wskazowego. Procedura postępowania jest następująca:
1. Oblicza się wartości kątów fazowych impedancji gałęzi, wartości impedancji gałęzi i wartości
skuteczne prądów w gałęziach:
ϕ AB = −45o , ϕ BC = ϕ CA = 45 o ;
Z = Z AB = Z BC = Z CA = 100 2 ≅ 141,4 Ω ,
U
400
I AB = I BC = I CA = =
= 2 2 ≅ 2,828 A .
Z 100 2
2. Przyjmuje się skale napięcia i prądu.
3. Rysuje się trójkąt napięć: UAB , UBC , UCA .
4. Przy właściwych napięciach i pod odpowiednimi kątami nanosi się wskazy prądów: IAB o 45°
przed UAB , IBC o 45° za UBC , ICA o 45° za UCA . Następnie dodaje się graficznie wskazy: -ICA do
IAB , -IAB do IBC , -IBC do ICA , otrzymując prądy w linii (przewodach zasilających): IA , IB , IC .
5. Z zależności geometrycznych na wykresie wskazowym, określa się początkowe kąty fazowe i
wartości skuteczne prądów (wartościom skutecznym odpowiadają długości wskazów). Można
tak wyznaczyć np. : ψ i.B = −135 o + 15 o = −120 o , I B = 2,828 ⋅ 2 ⋅ cos15o ≅ 5,46 A.
6. Moce wydawane lub pobierane w poszczególnych fazach oblicza się jako iloczyny długości
wskazów napięcia i prądu oraz cosinusa (dla mocy czynnej) lub sinusa (dla mocy biernej) kąta
między tymi wskazami. Trzeba przy tym określić znak tego kąta (jest on dodatni, gdy prąd
„opóźnia się” względem napięcia).
Wniosek. Szkic wykresu wskazowego jest zawsze potrzebny do kontroli wyników obliczeń. Jeśli
związki geometryczne między wskazami są w miarę proste, to można uzyskać rozwiązanie obwodu
bez stosowania rachunku symbolicznego. Widać to dobrze np. dla innego obwodu (rys. poniżej), w
którym szuka się wartości I2 i I3 , przy danych: wartości I1 = 3 A i związku liczbowym X C = R 3 .
L1
I1
I12
ϕ
R
L3
I3
U23
C
R
C
Z 23 = Z 31 = 2 R ,
I31
U23
stąd I 23 = I 31 = 0,5 ⋅ I12 .
I3
I23
U31
U31
-I12
R
I2
ϕ
I2
U12
L2
Oblicza się (z danych):
ϕ 23 = ϕ 31 = −60 o ;
I23
-I23
-I31
I12
ϕ
I1
I31
U12
ϕ
Wyznacza się (z wykresu):
I12 = 2 A, I 31 = 1 A,
I 2 = 3 ≅ 1,73 A,
I 3 = 3 ≅ 1,73 A.
153
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
Wykład XVIII. SZCZEGÓLNE KONFIGURACJE OBWODÓW TRÓJFAZOWYCH.
POMIARY MOCY W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH
Symetryczny odbiornik o układzie gwiazdowym
W symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym napięciem symetrycznym (na rys. – układ
oraz wykres dla ϕ > 0 ):
L1
Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z = Z ⋅ e jϕ ;
wartości skuteczne napięć i prądów U 12 = U 23 = U 31 = U ,
U1 = U 2 = U 3 = U f =
U
3
U12
L2
;
Uf
Z
moce -
U
=
3Z
I2
U31
I1 = I 2 = I 3 = I ,
I=
Z
I1
L3
Z
U3
U2
I2
U23
U23
Z
I3
ϕ
ϕ
I3
U1
ϕ
I1
U12
U2
ϕ
U3
;
P = 3 U f ⋅ I cos ϕ =
P = 3 U I cos ϕ ,
U31
U1
U2
⋅ cos ϕ ,
Z
Q = 3 U I sinϕ ;
U2
⋅ sinϕ ;
Z
U2
S = P 2 + Q 2 = 3U f ⋅ I =
= 3U I .
Z
Q = 3 U f ⋅ I sinϕ =
Symetryczny odbiornik o układzie trójkątowym
W symetrycznym odbiorniku „trójkątowym”, zasilanym napięciem symetrycznym (na rys. – układ
oraz wykres dla ϕ > 0 ):
Z 12 = Z 23 = Z 31 = Z = Z ⋅ e jϕ ;
wartości skuteczne napięć
i prądów -
L1
I 12 = I 23 = I 31
Z
I2
U31
L3
I3
U2
P = 3 U ⋅ I f cos ϕ = 3 ⋅
⋅ cos ϕ ,
Z
Q = 3 U I sinϕ ;
U23
Z
I23
I31
ϕ
I3
ϕ
ϕ
U23
Z
I23
3U
I=
;
Z
P = 3 U I cos ϕ ,
ϕ
U12
I1 = I 2 = I 3 = I = 3 I f ,
moce -
-I12
I12
L2
U31
I1
U 12 = U 23 = U 31 = U ;
U
= If =
,
Z
-I23
I2
U12
ϕ
I31
I12
ϕ
ϕ
I1
-I31
U2
Q = 3 U ⋅ I f sinϕ = 3 ⋅
⋅ sinϕ ;
Z
U2
S = P 2 + Q 2 = 3U ⋅ I f = 3 ⋅
= 3U I .
Z
Przełączenie symetrycznego odbiornika z gwiazdy na trójkąt, lub odwrotne
W celu zmiany prądu i mocy symetrycznego odbiornika trójfazowego, można przełączać jego elementy fazowe z gwiazdy na trójkąt, albo na odwrót. Z zapisanych wyżej wzorów dla gwiazdy
3U
U
U2
U2
(indeks Υ): IΥ =
, SΥ =
, i dla trójkąta (indeks ∆): I ∆ =
, S∆ = 3 ⋅
,
Z
Z
Z
3Z
wynikają związki: I ∆ = 3 IΥ , S ∆ = 3 SΥ ( oraz P∆ = 3 PΥ ; Q∆ = 3 QΥ ).
154
Wykład XVIII
Przerwa w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego czteroprzewodowo
Przy przerwanej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym czteroprzewodowo napięciem symetrycznym (rys. – przerwa w fazie 1.; wykres dla ϕ > 0 ) :
Z 2 = Z 3 = Z = Z ⋅ e jϕ ;
Z1 = ∞ ,
L1
Z
I1
wartości skuteczne napięć i prądów -
U12
U 12 = U 23 = U 31 = U ,
U1 = U 2 = U 3 = U f =
I1 = 0 ,
I=
Uf
Z
L2
U
3
;
U31
L3
I2 = I3 = I N = I ,
=
U
I2
U1
U31
Z
U3 ϕ
U2
IN
U23
U1
I2
ϕ
U23
Z
I3
I3
U12
U2
ϕ
U3
.
IN
N
3Z
Po przerwaniu jednej fazy: napięcia wszystkich faz oraz prądy faz „zdrowych” nie ulegają zmianie,
zaś prąd w przewodzie neutralnym ma wartość skuteczną taką samą, jak prądy faz „zdrowych”.
Przerwa w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo
Przy przerwanej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym trójprzewodowo napięciem symetrycznym (rys. – przerwa w fazie 1.; wykres dla ϕ > 0 ) :
Z1 = ∞ ,
Z 2 = Z 3 = Z = Z ⋅ e jϕ ;
L1
wartości skuteczne napięć i prądów -
U12
U 12 = U 23 = U 31 = U ,
3
U1 =
⋅U ,
2
U
U2 = U3 =
;
2
Z
I1
L2
I1 = 0 ;
L3
U
I2 = I3 =
.
2Z
ϕ
I3
U1
U2
I2
U23
Z
I3
U31
U3
Z
I2
U31
U1
U12
ϕ
ϕ
U2
U23
U3
Przed przerwaniem fazy 1. było: U 1 = U 2 = U 3 =
U
I1 = I 2 = I 3 =
U
, a więc po prze3
3Z
rwaniu jednej fazy: napięcie skuteczne fazy „chorej” wzrasta 1,5-krotnie, a napięcie oraz prąd faz
3
„zdrowych” maleją do
≅ 0,866 wartości wcześniejszych.
2
,
Zwarcie w fazie odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo
Przy zwartej jednej fazie
w symetrycznym odbiorniku „gwiazdowym”, zasilanym trójprzewodowo
napięciem symetrycznym
(rys. – zwarcie w fazie 1.;
wykres dla ϕ > 0 ) :
Z1 = 0 ,
Z 2 = Z 3 = Z = Z ⋅ e jϕ ;
L1
I1
Z
U12
L2
L3
I3
U1
U2
U23
Z
U3
-I1
ϕ I3
U31 = U3
Z
I2
U31
U31
I2
U23
U21 = U2
ϕ
U12
ϕ
I1
155
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
wartości skuteczne napięć i prądów -
U
U
, I1 = 3
.
Z
Z
Po zwarciu jednej fazy symetrycznego odbiornika „gwiazdowego”, zasilanego trójprzewodowo:
napięcia oraz prądy faz „zdrowych” mają takie same wartości, jak napięcia i prądy fazowe w symetrycznym układzie „trójkątowym”, a prąd w fazie „chorej” – jak prąd liniowy w tym układzie.
U 12 = U 23 = U 31 = U ,
U1 = 0 ,
I2 = I3 =
U2 = U3 = U ;
Przerwa w fazie odbiornika „trójkątowego”
Przy przerwanej jednej fazie w symetrycznym odbiorniku „trójkątowym”, zasilanym napięciem
symetrycznym (rys. – przerwa w gałęzi L1-L2 ; wykres dla ϕ > 0 ) :
-I23
Z 12 = 0 ,
L1
Z 23 = Z 31 = Z = Z ⋅ e jϕ ;
U31
I2 = I23
I1
ϕ
wartości skuteczne napięć
i prądów -
I31
I3
ϕ
U12
L2
U 12 = U 23 = U 31 = U ;
Z
I2
U23
Z
U12
ϕ
I23
U
I12 = 0 , I 23 = I 31 = I f =
,
Z
I1 = I 2 = I f , I 3 = 3 I f .
U31
L3
U23
I3
Z
I31
I1 = -I31
Po przerwaniu gałęzi L1-L2 symetrycznego odbiornika „trójkątowego”: napięcia wszystkich faz
oraz prądy faz „zdrowych” i prąd w przewodzie L3 nie ulegają zmianie, natomiast prądy w przewodach L1 i L2 (zasilających „chorą” gałąź) maleją do wartości równej wartości prądów fazowych.
Pomiar mocy czynnej odbiorników trójfazowych
Do pomiaru mocy czynnej, przesyłanej lub odbieranej w obwodach trójfazowych, używa się watomierzy. Poniżej podano schematy układów pomiarowych i wzory na moce odbiorników.
Pomiar mocy czynnej odbiorników niesymetrycznych:
a)
b1)
L1
L1
W1
L2
W2
L3
W3
N
odbiornik
niesymetryczny
czterozaciskowy
W1
L2
W2
L3
W3
odbiornik
niesymetryczny
trzyzaciskowy
N
P = PW1 + PW2 + PW3
P = PW1 + PW2 + PW3
b2)
c)
L1
W1
L2
W2
L3
W3
odbiornik
niesymetryczny
trzyzaciskowy
L1
W1
L2
W2
L3
(układ Arona)
P = PW1 + PW2 + PW3
P = PW1 + PW2
odbiornik
niesymetryczny
trzyzaciskowy
156
Wykład XVIII
Uwaga. Ze wzorów dla odbiornika „gwiazdowego” zasilanego trójprzewodowo (trzyzaciskowego):
S = U 1 ⋅ I 1 + U 2 ⋅ I 2 + U 3 ⋅ I 3 oraz I 3 = − I 1 − I 2 , U 13 = U 1 − U 3 , U 23 = U 2 − U 3 ,
*
*
*
otrzymuje się zależność
S = U 1 ⋅ I 1 + U 2 ⋅ I 2 + U 3 ⋅ (− I 1 − I 2 ) = (U 1 − U 3 ) ⋅ I 1 + (U 2 − U 3 ) ⋅ I 2 = U 13 ⋅ I 1 + U 23 ⋅ I 2 ,
*
*
*
*
*
*
*
*
a więc P = Re S = Re(U 13 ⋅ I 1 ) + Re(U 23 ⋅ I 2 ) , co odpowiada sumie wskazań watomierzy w ukła*
*
dzie Arona (rys. c): P = PW1 + PW2 . Nie jest przy tym ważne, jak w rzeczywistości połączone są ze
sobą elementy odbiornika, albowiem trójfazowy odbiornik o dowolnym układzie można zastąpić
równoważnym odbiornikiem „gwiazdowym”.
Pomiar mocy czynnej odbiorników symetrycznych:
d)
e1)
L1
e2)
L1
W1
odbiornik
symetryczny
czterozaciskowy
L2
L3
N
L1
odbiornik
symetryczny
trzyzaciskowy
W1
L2
L3
L2
L3
RWn
N
P = 3 PW
odbiornik
symetryczny
trzyzaciskowy
W1
RWn
P = 3 PW
P = 3 PW
Uwagi. 1. W układzie „e2” dołącza się dwie rezystancje RWn o wartościach równych rezystancji
cewki napięciowej watomierza W, aby stworzyć sztuczny punkt neutralny.
2. Oczywiście, podane wcześniej układy do pomiaru mocy odbiorników niesymetrycznych mogą
być stosowane w przypadku odbiorników symetrycznych, ale wtedy używa się więcej przyrządów i
dokonuje więcej odczytów.
Pomiar mocy biernej odbiorników trójfazowych
Do pomiaru mocy biernej, przesyłanej lub odbieranej w obwodach trójfazowych, używa się również
watomierzy. W tym celu, na cewki napięciowe watomierzy podaje się napięcia przesunięte w fazie
o kąt -π/2, względem napięć podawanych na nie w analogicznym układzie do pomiaru mocy czynnej, co wynika ze wzorów: sin ϕ = cos(ϕ − 90 o ) ; ϕ = ψ u − ψ i ; (ϕ − 90 o ) = (ψ u − 90 o ) − ψ i .
Niżej podano schematy przykładowych układów pomiarowych, wykresy wskazowe objaśniające
wybór napięć podawanych na watomierze (z przesunięciem w fazie o kąt -π/2 i 3 -krotnym
zwiększeniem bądź zmniejszenie wartości skutecznej), oraz wzory na moce bierne odbiorników.
Pomiar mocy biernej odbiorników niesymetrycznych:
a)
b)
L1
L1
W1
L2
W2
L3
N
w obu układach
W3
odbiornik
niesymetryczny
czterozaciskowy
Q = ( PW1 + PW2 + PW3 ) ⋅
W1
L2
W2
L3
W3
U1
1
3
(na cewkach napięciowych – napięcia międzyfazowe)
U23
odbiornik
niesymetryczny
trzyzaciskowy
157
7. Rozwiązywanie obwodów prądu sinusoidalnego
c1)
c2)
L1
W1
L2
W2
L3
L1
odbiornik
niesymetryczny
trzyzaciskowy
odbiornik
niesymetryczny
trzyzaciskowy
W1
L2
W2
L3
RWn
N
U13
(z układu Arona)
w obu układach
Q = 3 ⋅ ( PW1 + PW2 )
–U1
U23
U2
(na cewkach napięciowych – napięcia fazowe)
Uwaga. Cewki napięciowe watomierzy W1 i W2 oraz rezystancja dołączona do układu „c2” muszą
mieć jednakową rezystancję, równą RWn (tworzą sztuczny punkt neutralny).
Pomiar mocy biernej odbiorników symetrycznych:
d)
L1
W1
L2
L3
N
e)
L1
odbiornik
symetryczny
czterozaciskowy
W1
L2
L3
odbiornik
symetryczny
trzyzaciskowy
f)
L1
W1
L2
W2
L3
(układ Arona)
I3
U3
w obu układach
Q = 3 PW
(na cewkach – napięcia fazowe;
w każdej fazie – ta sama moc;
zatem mnożnik: 3 3 = 3 )
odbiornik
symetryczny
trzyzaciskowy
U1
U23
ϕ
I2
U23
U13
ϕ
U2
ϕ U1
I1
Q = 3 ⋅ ( PW1 − PW2 )
Uwaga. W układzie „f” (układ Arona z odbiornikiem symetrycznym) można mierzyć jednocześnie
moc czynną i bierną. Możliwość pomiaru mocy biernej wynika z następujących zależności:
PW1 = U 13 ⋅ I 1 ⋅ cos(ϕ − 30 o ) = U I cos(ϕ − 30 o ) , PW2 = U 23 ⋅ I 2 ⋅ cos(ϕ + 30 o ) = U I cos(ϕ + 30 o ) ,
PW1 − PW2 = −2 U I sin ϕ ⋅ sin(−30 o ) = U I sin ϕ ,
Q = 3 U I sin ϕ .
Oczywiście, otrzymuje się również: PW1 + PW2 = 2 U I cosϕ ⋅ cos(−30 o ) = 3 U I cosϕ = P .
Określanie wskazań przyrządów na podstawie wykresu wskazowego
Wcześniej pokazano, że obwody trójfazowe, których gałęzie są przyłączone bezpośrednio do przewodów zasilających (tzn. są zasilane napięciami liniowymi – fazowymi lub międzyfazowymi),
można rozwiązywać z powodzeniem na podstawie starannie narysowanego wykresu wskazowego,
bez stosowania rachunku symbolicznego.
Poniżej podano przykłady rozwiązań obwodów trójfazowych na podstawie wykresów wskazowych.
Chodzi o określenie wskazań idealnych przyrządów pomiarowych, włączonych do obwodu. Amperomierze i woltomierze wskazują wartości skuteczne. Wskazania watomierzy są iloczynami wartości skutecznych napięcia i prądu cewek, i wartości kosinusa kąta równego różnicy początkowych
kątów fazowych napięcia i prądu cewek.
158
Wykład XVIII
Przykłady. Zostaną określone wskazania przyrządów w dwóch obwodach zasilanych napięciem
symetrycznym 3×230/400 V (obliczenia dla: U f = 231 V i U = 400 V ). Wartości elementów obwodu: R = 115,5 Ω, X L = X C = 200 Ω.
Do wykresu wskazowego:
a)
UR1
I1
L1
W1
U1
UC1
115,5 2 + 200 2 ≅ 231 ,
− 200
arc tg
≅ −60 o ,
115,5
200
arc tg
≅ 60 o ;
115,5
Z1 = Z 2 = Z 3 = 231 Ω,
A1
R
U13
I2
L2
W2
C
UV
V
C
R
A2
UC2
UR2
I3
L3
A3
R
N
L
ϕ1 = ϕ 2 = −60 o , ϕ 3 = 60 o ;
IN
AN
U R1 = U R 2
U C1 = U C 2 = 200 ⋅ 1 = 200 V.
U3
ϕ3 I3
I1
ϕ2
I N = I 1 + I 2 + I 3 = 3 ≅ 1,73 A,
U1
I1+I2
I2
Z wykresu wskazowego:
U13
IN
ϕ1
U2
231
= 1 A;
231
= 115,5 ⋅ 1 = 115,5 V,
I1 = I 2 = I 3 =
URϕ2
UC1
1
= 115,5 W,
2
3
PW 2 = 400 ⋅ 1 ⋅
≅ 346,4 W,
2
U V = U R 2 = 115,5 V
(z trójkąta równoramiennego).
PW 1 = 231 ⋅ 1 ⋅
UR1
UV
UC2
Wyniki: I A1 = I A2 = I A3 = 1 A; I N = 1,73 A; U V = 115,5 V; PW 1 = 115,5 W; PW 2 = 346,4 W.
b)
W1
U1
L2
I23
I1
L1
A1
I12.a
U13
R
I2
W2
C
A2
I23
L3
N
-I23
I3
I2
I1 N
R
I3N
I1 N
U13
IN
ϕ1N
C
I3
A3
AN
U3 -I12
I12.b
IN
I12.a
L
I3 N
R
U23
I12
U1
I1N
I1 N
U12
ϕ I1
I12.b
Oznaczenie prądu na wykresie: I 12 = I 12.a + I 12.b .
I12.a
Do wykresu wskazowego: I12.a = 2 3 A; I 12.b = I 23 = 2 A; I12 = 4 A; I1N = 1 A; I 3 N = 2 A.
Wyniki (z wykresu): IA1 = I 1 = (2 3 ) 2 + (2 − 1) 2 ≅ 3,61 A;
IA3 = I 3 = 2 3 ≅ 3,46 A;
IAN = I N = 2 − 1 = 1 A;
PW 2 = 400 ⋅ 2 3 ⋅ 0,5 ≅ 692,8 W.
IA2 = I 2 = 4 2 − 2 2 = 2 3 ≅ 3,46 A;
PW 1 = 231 ⋅ (4 ⋅ 0,5 + 1 ⋅ 0,5) = 577,5 W;
159
Elektrotechnika podstawowa
ZADANIA
Materiał ćwiczeniowy
160
Elektrotechnika podstawowa
Ważniejsze wzory wykorzystywane w zadaniach
Pojęcia i zależności
Numery wzorów
Strony
REZYSTANCJE. POJEMNOŚCI. OBWODY PRĄDU I STRUMIENIA STAŁEGO
Prawo Ohma, rezystancja i konduktancja
(1.10c, d, e)
19
Moc prądu elektrycznego
(1.16a)
20
Układy rezystancyjne równoważne
(1.18a, b), (1.19a,b), (1.20c, d)
21, 22
Pojemność elektryczna
(2.8a)
31
Układy pojemnościowe równoważne
(2.11a), (2.13a), (2.18), (2.19)
33, 34
Energia pola elektrostatycznego
(2.20c)
34
Prawa Kirchhoffa dla prądu stałego
(3.6), (3.7a, b)
47
Bilans mocy obwodu prądu stałego
(3.8a)
49
Źródła rzeczywiste prądu stałego równoważne
(3.15a, b), (3.16a, b)
52
Dzielnik napięcia i dzielnik prądu stałego
(3.26a, b), (3.28a, b)
56
Współczynniki i macierze incydencji
(4.3a, b), (4.4a, b, c), (4.8a)
64, 66, 67, 68
Równanie równowagi względem prądów
(4.12a, b, c, d, e)
69, 70
Równanie oczkowe
(4.21b, c, d, e, f), (4.22)
77
Równanie węzłowe
(4.25b, c, d ,e), (4.26)
79
Twierdzenie Thevenina
(4.33a, b), (4.34a, b)
85
Twierdzenie Nortona
(4.40a, b), (4.41a, b)
87
Prawa obwodów magnetycznych
(5.12), (5.13a, b, c, d, e)
98
WIELKOŚCI ZMIENNE W CZASIE. OBWODY PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Wartości średnie, skuteczne i wyprostowane
(6.6a, b), (6.10a, b), (6.11a, b)
112, 113
Współczynniki szczytu i kształtu
(6.13a, b), (6.14a, b)
113
Przebiegi sinusoidalne prądu i napięcia
(6.16a, b), (6.49a, b)
114, 126
Kąt przesunięcia fazowego
(6.24), (6.35f), (6.39f)
115, 117, 118
Moc czynna i współczynnik mocy
(6.25), (6.46a)
115, 120
Reaktancje
(6.28b), (6.30b), (6.33), (6.34b)
116, 117
Susceptancje
(6.37b, c), (6.38b)
118
Impedancja
(6.35b, e)
117
Admitancja
(6.39b, e)
118
Prawo Ohma na wartościach skutecznych
(6.35a), (6.39a)
117, 118
Moc czynna, bierna i pozorna
(6.43a, b), (6. 44a, b), (6.45a)
120
Składowe czynne i bierne napięcia lub prądu
(6.43a’, b’), (6.44a’, b’)
120
Wartości symboliczne prądu i napięcia
(6.48a, b)
126
Impedancja i admitancja zespolona
(6.54a), (6.55a), (6.56)
127
Prawo Ohma na wartościach symbolicznych
(6.54b), (6.55b)
127
Parametry dwójników równoważnych
(6.56a, b, c, d)
127
Impedancyjne i admitancje zastępcze
(6.57a, b, c), (6.58a, b, c)
127
Moc zespolona i jej składowe
(6.59), (6.60c), (6.61), (6.62a, b)
128
Zasady sporządzania bilansu mocy obwodu
(6.61a, b, c)
128
Układy równoważne „gwiazda” – „trójkąt”
(7.2), (7.3)
133
Dzielniki napięcia i prądu sinusoidalnego
(7.5a, b), (7.6), (7.7a, b), (7.8)
134
Reaktancja wypadkowa cewek sprzężonych
(7.17b), (7.18b)
139, 140
Literatura do zadań
[Z1], [Z2]
161
Zadania
1. UKŁADY REZYSTANCJI LINIOWYCH
Zad. 1-1. Wyznacz wartość rezystancji zastępczej między zaciskami A i B danego układu.
Rozwiązania:
a)
b)
A
A
3Ω
3Ω
6Ω
6Ω
9Ω
B
B
c)
A
3S
B
6S
3 + 6 = 9 (Ω)
≡
3 + 6 + 9 = 18 (Ω)
≡
1 1 1
+ = (Ω)
3 6 2
≡
A
9Ω
B
A
18 Ω
B
A
0,5 Ω
B
A
1Ω
B
A
2Ω
B
1 1 1
+ + = 1 (Ω)
2 3 6
d)
A
2S
3S
6S
B
3Ω
e)
A
B
6Ω
≡
3⋅6
= 2 (Ω)
9
≡
(0,5 S)
1 1 1
+ = (S)
3 6 2
2Ω
f)
A
3Ω
B
6Ω
≡
A
1Ω
B
(1 S)
1 1 1
+ + = 1 (S)
2 3 6
1S
g)
A
3S
6S
B
≡
1 + 3 + 6 = 10 (S)
A
0,1 Ω
(10 S)
B
162
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 1-2. Wyznacz wartości rezystancji układu trójkątowego, równoważnego (ze względu na wielkości zaciskowe) danemu układowi gwiazdowemu.
Uwaga. Przy zamianie gwiazda-trójkąt mają zastosowanie następujące wzory „rezystancyjne”:
R ⋅R
R ⋅R
R ⋅R
R12 = R1 + R2 + 1 2 ,
R23 = R2 + R3 + 2 3 ,
R31 = R3 + R1 + 3 1 .
R3
R1
R2
2+3+
Rozwiązanie:
a)
1
2⋅3
= 6 (Ω),
6
3⋅6
= 18 (Ω),
2
6⋅2
6+2+
= 12 (Ω).
3
1
3+6+
2Ω
6Ω
3Ω
3
≡
2
b)
1
6Ω
18 Ω
3
2
1
2⋅2
2+2+
= 6 (Ω)
2
2Ω
2Ω
12 Ω
2Ω
3
6Ω
≡
6Ω
6Ω
2
3
2
Zad. 1-3. Wyznacz wartości rezystancji układu gwiazdowego, równoważnego (ze względu na
wielkości zaciskowe) danemu układowi trójkątowemu.
Uwaga. Przy zamianie trójkąt-gwiazda mają zastosowanie następujące wzory „rezystancyjne”:
R12 ⋅ R31
R12 ⋅ R23
R23 ⋅ R31
R1 =
,
R2 =
,
R3 =
.
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
R12 + R23 + R31
a)
3⋅9
= 1,5 (Ω),
18
3⋅6
6⋅9
= 1 (Ω),
= 3 (Ω).
18
18
Rozwiązanie:
1
9Ω
3Ω
1,5 Ω
≡
6Ω
3
1
3Ω
2
b)
3
3⋅3
= 1 (Ω)
9
1Ω
≡
3Ω
1Ω
3Ω
3
2
1
1
3Ω
1Ω
2
3
1Ω
2
163
Zadania
Zad. 1-4. Wyznacz wartość rezystancji zastępczej między zaciskami A i B danego układu.
Rozwiązania:
a)
3Ω
3Ω
A
3Ω
3Ω
C
A
3Ω
≡
B
C
A
3Ω
3Ω
1Ω
c)
2Ω
3Ω
B
2Ω
6Ω
3Ω
4Ω
B
B
≡
A
2Ω
B
B
≡
A
3Ω
B
2Ω
A 4Ω
B
≡
A 6,5 Ω B
B
≡
B
≡
1Ω
18 Ω
4Ω
3Ω
6Ω
6Ω
5Ω
≡
A
4Ω
≡
6Ω
4Ω
B
2Ω
36 Ω
A
18 Ω
9Ω
≡
B
2Ω
36 Ω
4Ω
B
1Ω
18 Ω
4Ω
B
A
2Ω
A 4Ω
A
12 Ω
2Ω
A 1Ω
1Ω
5Ω
A
6Ω
2Ω
3Ω
3Ω
3Ω
C
3Ω
4Ω
d)
A 1Ω
≡
B
C
A 1Ω
f)
A
2Ω
C
e)
≡
C
3Ω
b)
A
B
A
6Ω
≡
9Ω
4Ω
B
B
164
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 1-5. Wyznacz wartość rezystancji zastępczej między zaciskami A i B danego układu.
Rozwiązania:
I sposób: zamiana ∇CDE → ΥCDE
a)
A
3Ω
3Ω
E
A
B
3Ω
C
3Ω
A
1Ω
≡
D
3Ω
B
D
E
1Ω
≡
3Ω
3Ω
3Ω
1Ω
4Ω
A
4Ω
B
≡
B
4Ω
C
3Ω
6Ω
II sposób: zamiana ΥBDE → ∇BDE
A
3Ω
3Ω
E
B
3Ω
3Ω
A
9Ω
A
≡
9Ω
B
D
C
3Ω
3Ω
E
9Ω
≡
3Ω
3Ω
3Ω
A
9Ω
4,5 Ω
≡
B
D
6Ω
B
3Ω
III sposób: zamiana ∇BCD → ΥBCD
A
3Ω
3Ω
E
A
3Ω
3Ω
3Ω
A
≡
3Ω
B
D
C
3Ω
E
≡
3Ω
B
3Ω
D
C
1Ω
1Ω
3Ω
A
2Ω
B
1Ω
≡
6Ω
B
1Ω
I sposób: zamiana ∇CDE → ΥCDE
b)
A
4Ω
6Ω
E
A
12 Ω
6Ω
B
C
9Ω
D
E
2Ω
≡
18 Ω
4Ω
B
6Ω
A
3Ω
D
6Ω
≡
6Ω
A
12 Ω
B
C
9Ω
(II i III sposób – do samodzielnego obliczenia)
12 Ω
≡
12 Ω
B
165
Zadania
2. ŁĄCZENIE POJEMNOŚCI LINIOWYCH
Zad. 2-1. Wyznacz wartość pojemności zastępczej między zaciskami A i B danego układu.
Rozwiązania:
a)
3 µF
A
b)
A
2 µF
6 µF
3 µF
6 µF
B
1 1 1
+ = (1 ⁄ µF)
3 6 2
A
2 µF
B
B
1 1 1
+ + = 1 (1 ⁄ µF)
2 3 6
A
1 µF
B
B
3 + 6 = 9 (µF)
A
9 µF
B
B
1 + 2 + 3 = 6 (µF)
A
6 µF
B
≡
≡
3 µF
c)
A
≡
6 µF
1 µF
d)
2 µF
A
≡
3 µF
Zad. 2-2. Wyznacz wartości pojemności układu trójkątowego, równoważnego (ze względu na
wielkości zaciskowe) danemu układowi gwiazdowemu.
Uwaga. Przy zamianie gwiazda-trójkąt mają zastosowanie następujące wzory:
C 2 ⋅ C3
C3 ⋅ C1
C1 ⋅ C 2
C12 =
,
C 23 =
,
C31 =
.
C1 + C 2 + C3
C1 + C 2 + C3
C1 + C 2 + C3
3⋅6
= 1 (µF),
18
9⋅3
6⋅9
= 3 (µF),
= 1,5 (µF).
18
18
Rozwiązanie:
a)
1
3 µF
9 µF
≡
6 µF
3
2
b)
1
3
1,5 µF
≡
6 µF
1 µF
3 µF
3
2
1
6⋅6
= 2 (µF),
18
6 µF
6 µF
1
2 µF
2 µF
2 µF
2
3
2
166
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 2-3. Wyznacz wartości pojemności układu gwiazdowego, równoważnego (ze względu na
wielkości zaciskowe) danemu układowi trójkątowemu.
Uwaga. Przy zamianie trójkąt-gwiazda mają zastosowanie następujące wzory:
C ⋅C
C ⋅C
C ⋅ C 31
,
C 2 = C12 + C 23 + 12 23 ,
C3 = C 23 + C31 + 23 31 .
C1 = C12 + C 31 + 12
C31
C12
C 23
6+2+
Rozwiązanie:
a)
1
6⋅2
= 12 (µF),
3
6⋅3
= 18 (µF),
2
3⋅ 2
3+ 2+
= 6 (µF).
6
1
6+3+
6 µF
2 µF
6 µF
≡
3 µF
3
12 µF
2
18 µF
3
2
1
1
b)
5+5+
5 µF
5 µF
5⋅5
= 15 (µF)
5
≡
5 µF
3
15 µF
15 µF
2
15 µF
3
2
Zad. 2-4. Wyznacz wartość pojemności zastępczej między zaciskami A i B danego układu.
Rozwiązania:
2 µF
a)
A
2 µF
4 µF
C
3 µF
b)
A
6 µF
A
12 µF B
C
3 µF 2 µF
4 µF
A
D
24 µF
B
C
6 µF E
3 µF
9 µF
B
B
≡
A
2 µF
B
B
≡
A
4 µF
B
C
A 4 µF
≡
3 µF
3 µF
D
B
6 µF
1,5 µF 3 µF
2 µF
2 µF
≡
A
12 µF B
6 µF
2 µF
3 µF
c)
≡
4 µF
A
≡
A 24 µF
C
12µF
3 µF
6 µF
18 µF
E
9 µF
167
Zadania
Zad. 2-5. Żaden z kondensatorów w podanym układzie nie był naładowany w chwili przyłączenia
źródła napięciowego. Oblicz wartości napięć na kondensatorach i ładunków kondensatorów.
Uwaga. Formalnie, ładunek kondensatora jest dodatni, a znaki ładunków zgromadzonych na jego
okładzinach są związane z biegunowością napięcia. Napięcia stałe strzałkuje się na ogół tak, by ich
wartości były dodatnie (występowały ze znakiem plus). Znaki ładunków na okładzinach są więc
określone przez zwroty strzałek napięcia i znak napięcia. Gdy napięcie zmienia znak, to samo staje
się z ładunkami na jego okładzinach. Gdy napięcie jest ujemne, to znaki ładunków na okładzinach
są odwrotne, niżby to wynikało z jego zwrotu.
Symbole pojemności oraz ładunków, występujące we wzorach, nie zawsze są opisane na rysunkach.
Z zasady mają one takie same indeksy, jak napięcia, więc nie powoduje to niejasności.
a)
1 µF
2 µF
Rozwiązanie:
Przy równoległym połączeniu kondensatorów, na
każdym z nich jest to samo napięcie, a zatem:
+Q1 1 µF –Q1
U 1 = U 2 = U 3 = U = 12 V;
+Q2 2 µF –Q2
Q1 = C1 ⋅ U = 1 ⋅ 12 = 12 µC,
+Q3
3 µF
3 µF
–Q3
Q2 = C 2 ⋅ U = 2 ⋅ 12 = 24 µC,
12 V
b)
2 µF
U1
Q3 = C 3 ⋅ U = 3 ⋅ 12 = 36 µC.
3 µF
6 µF
U2
U3
12 V
Rozwiązanie składa się z dwóch etapów: „zwinięcia” i „rozwinięcia” układu. W I etapie oblicza się wartość pojemności zastępczej układu; w II etapie poszukuje się wartości napięć i ładunków.
Obliczenia I etapu zostały już wykonane w zadaniu 2-1b.
Pojemność zastępcza układu ma wartość C = 1 µF.
12 V
Przy szeregowym połączeniu kondensatorów, ładunki każdego z nich są takie same, równe całkowitemu ładunkowi układu (tzn. ładunkowi kondensatora o pojemności zastępczej), a zatem obliczenia
II etapu, stanowiące powrót od układu zastępczego do układu zadanego ( ), przebiegają następująco:
2 µF
3 µF
6 µF
Q = C ⋅ U = 1 ⋅ 12 = 12 µC;
+Q
Q1 = Q2 = Q3 = Q ;
U1 =
Q 12
=
= 6 V,
C1
2
U2 =
Q 12
=
= 4 V,
C2
3
1 µF
+Q –Q +Q –Q +Q –Q
U1
U2
12 V
U3 =
Q 12
=
= 2 V.
C3
6
c)
12 V
(I etap: wyznaczenie pojemności zastępczej)
4 µF
12 V
8 µF
–Q
U3
4 µF
2 µF
6 µF
12 V
8 µF
8 µF
2 µF
12 V
168
Elektrotechnika podstawowa
(II etap: obliczenie wartości ładunków i napięć)
4 µF
+Q –Q
4 µF
+Q –Q
U1 +Q3
12 V
2 µF
U3
U2 –Q3 6 µF
+Q4
U1
U3
12 V
U2
U4
–Q4
–Q
–Q
+Q
8 µF
2 µF
+Q –Q
(+Q34)
8 µF
(–Q34)
12 V
+Q
8 µF
Obliczenia II etapu przebiegają następująco: Q = C ⋅ U = 2 ⋅ 12 = 24 µC,
U1 =
Q1 = Q2 = (Q34 ) = Q = 24 µC,
Q1 24
=
= 6 V,
C1
4
U 3 = U 4 = U − U 1 − U 2 = 12 − 6 − 3 = 3 V
Q3 = C 3 ⋅ U 3 = 6 ⋅ 3 = 18 µC,
Q2 24
=
= 3 V,
C2
8
Q
24
U 3 = U 4 = 34 =
= 3 V,
C 34
8
albo
U2 =
Q4 = C 4 ⋅ U 4 = 2 ⋅ 3 = 6 µC
(sprawdzenie: Q3 + Q4 = Q ).
d)
12 µF
12 V
12 µF
2 µF
12 µF
6 µF
12 V
12 µF
4 µF
2 µF
12 µF
12 µF
+Q –Q +Q3 –Q3
12 µF
+Q –Q
U3 +Q
4
2 µF
6 µF
U2
U4
12 V –Q2
–Q4
U1 +Q2
U1 +Q2 (+Q34)
4 µF
U2
2 µF
12 V –Q2 (–Q34)
12 V
Q1 48
=
= 4 V,
C1 12
U 2 = U − U 1 = 12 − 4 = 8 V,
(Q34 ) = Q3 = Q4 = Q − Q2 = 48 − 16 = 32 µC,
U3 =
Q3 32
=
≅ 2,67 V,
C 3 12
U4 =
(sprawdzenie: U 1 + U 3 + U 4 = U ).
Q4 32
=
≅ 5,33 V
C4
6
12 V
6 µF
12 µF
+Q –Q
U1 +Q
U2
4 µF
+Q –Q
6 µF
12 V
12 V –Q
Obliczenia II etapu przebiegają następująco: Q = C ⋅ U = 4 ⋅ 12 = 48 µC,
U1 =
4 µF
Q1 = Q = 48 µC,
Q2 = C 2 ⋅ U 2 = 2 ⋅ 8 = 16 µC,
169
Zadania
e)
3 µF
3 µF 2 µF
4 µF
2 µF
(I etap)
Pojemność zastępcza układu została obliczona
w zadaniu 2-4b. Ma ona wartość C = 2 µF.
2 µF
3 µF
12 V
3 µF
3 µF 2 µF
U3
U4
(II etap)
2 µF
(C34) (C567)
1,5 µF 3 µF
U5
U6
2 µF
4 µF
+Q
–Q
(+Q)
U1
3 µF
2 µF
4 µF
3 µF
U1
U7
+Q
(– Q)
–Q
12 V
12 V
U2
12 V
U2
Na schemacie układu nie umieszczono – dla przejrzystości – symboli ładunków kondensatorów.
Związek ich z zaznaczonymi napięciami jest oczywisty, więc nie jest to konieczne.
Obliczenia II etapu przebiegają następująco: Q = C ⋅ U = 2 ⋅ 12 = 24 µC,
Q1 = Q = 24 µC,
Q
24
U1 = 1 =
= 6 V,
U 2 = U − U 1 = 12 − 6 = 6 V,
Q2 = C 2 ⋅ U 2 = 3 ⋅ 6 = 18 µC,
C1
4
(Q3..7 ) = (Q34 ) = (Q567 ) = Q3 = Q4 = Q − Q2 = 24 − 18 = 6 µC,
U3 =
Q3 6
= = 2 V,
C3 3
U4 =
Q4 6
= = 2 V,
C4 3
(Q567 ) 6
= = 2 V,
(C 567 ) 3
(Q56 ) = Q5 = Q6 = (Q34 ) − Q7 = 6 − 4 = 2 µC,
U7 = U2 −U3 −U4 = 6 − 2 − 2 = 2 V
Q7 = C 7 ⋅ U 7 = 2 ⋅ 2 = 4 µC,
albo
U7 =
Q5 2
Q
2
= = 1 V,
U 6 = 6 = = 1V
C5 2
C6 2
(sprawdzenie: U 1 + U 3 + U 4 + U 5 + U 6 = U ).
U5 =
f)
C1
C3
Dane: C1 = 1 µF,
C4
Odpowiedzi: Q1 = 6 µC, Q2 = 12 µC,
Q3 = 18 µC, Q4 = Q5 = Q6 = 6 µC,
C2
U
C6
C5
C 3 = C 4 = 3 µF,
C 2 = C 5 = C 7 = 2 µF,
C 6 = 6 µF,
U = 18 V.
Q7 = 12 µC;
C7
U 1 = U 2 = U 3 = U 7 = 6 V,
U 4 = 2 V,
(do samodzielnego rozwiązania)
U 5 = 3 V,
U 6 = 1 V.
170
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 2-6. Kondensator o pojemności C1 = 1 µF został naładowany do napięcia U = 60 V, a następnie odłączony od źródła i połączony – jak na rysunku – z nienaładowanym kondensatorem o pojemności C2 = 2 µF. Oblicz wartość napięcia na tak połączonych kondensatorach oraz wartość
energii wytraconej w przewodach podczas ładowania C2 z C1 .
Układ w stanie I
C1
Układ w stanie II
C1
C1
–Q’1
+Q’1
C2
II
C2
I
+Q’2
U
–Q”1
+Q”1
(+Q ”12 )
U12 = U1 = U2
(–Q ”12 )
–Q’2
C2
U
+Q”2
Q'1 = C1 ⋅ U ,
Q' 2 = 0
–Q”2
Q"1 +Q"2 = Q'1 +Q' 2
A. Rozwiązanie metodą układu zastępczego (połączenie równoległe)
C12
+Q”12
C12 = C1 + C 2 = 3 µF ,
–Q”12
U 12 =
U12
Q"12 = Q"1 +Q"2 = C1 ⋅ U = 60 µC ,
Q"12
= 20 V,
C12
U 1 = U 2 = U 12 = 20 V.
B. Rozwiązanie metodą równań układu (opis „formalny”)
C1
+Q”1
–Q”1
C2
–Q”2 +Q”2
U1 = U 2
Q"1 +Q"2 = Q'1 +Q' 2
U ”1 = U1
U ”2 = U2
czyli
(Q’1 + Q’2)
U1 − U 2 = 0
C1 ⋅ U 1 + C 2 ⋅ U 2 = C1 ⋅ U
1 -1 U 1 0
Otrzymane równanie liczbowe
⋅ = rozwiązuje się metodą Cramera:
1 2 U 2 60
W =
1 -1
1
2
= 3 , W1 =
0
-1
60
2
= 60 , W2 =
1
0
1 60
= 60 ; U 1 =
W1
W
= 20 V, U 2 = 2 = 20 V.
W
W
Energia zgromadzona w polu kondensatora C1 = 1 µF przy napięciu U = 60 V wynosi
1
WI = ⋅ C1 ⋅ U 2 = 1,8 ⋅ 10 −3 J = 1,8 mJ ,
2
zaś w polu kondensatorów C1 = 1 µF i C2 = 2 µF przy napięciu U12 = 20 V 1
WII = ⋅ (C1 + C 2 ) ⋅ U 122 = 0,6 ⋅ 10 −3 J = 0,6 mJ ,
2
stąd energia wytracona w przewodach podczas ładowania C2 z C1 ∆WI→II = WI − WII = 1,2 mJ .
Uwaga. Widać, że sprawność energetyczna ostatniego procesu wynosi 1 ⁄ 3 . Wiadomo też, że
sprawność pełnego naładowania kondensatora, np. C1 , ma wartość 1 ⁄ 2 . Podczas obu przedstawionych operacji łączeniowych tracone jest więc 5 ⁄ 6 energii (sprawność procesu wynosi 1 ⁄ 6 ).
171
Zadania
Zad. 2-7. Dwa kondensatory o znanych pojemnościach zostały dołączone do różnych źródeł i naładowane: C1 = 1 µF – do napięcia U = 10 V, oraz C2 = 3 µF – do napięcia U = 30 V. Następnie kondensatory te odłączono od źródeł i połączono ze sobą. Oblicz wartość napięcia na tak połączonych
kondensatorach, w obu możliwych przypadkach zetknięcia okładzin – z ładunkami o znakach:
a) zgodnych, b) przeciwnych.
+Q1
C1
–Q1
+Q2
U1
C2
–Q2
U2
A. Rozwiązania metodą układu zastępczego (połączenie równoległe)
a)
C1
C = C1 + C 2 = 4 µF ,
–Q1a
+Q1a
Qa = Q1a + Q2 a = Q1 + Q2 = C1 ⋅ U 1 + C 2 ⋅ U 2 = 100 µC ,
(+Qa) Ua = U1a = U2a
Ua =
C2
–Q2a
+Q2a
b)
Qa
= 25 V.
C
C1
C = C1 + C 2 = 4 µF,
–Q1b
+Q1b
Qb = Q1b + Q2b = Q1 − Q2 = C1 ⋅ U 1 − C 2 ⋅ U 2 = −80 µC ,
(+Qb) Ub = U1b = U2b
Ub =
C2
Qb
= −20 V.
C
–Q2b
+Q2b
B. Rozwiązania metodą równań układu (opis „formalny”)
a)
C1
+Q1a
–Q1a
U1a = Ua
C2
–Q2a +Q2a
U 1a = U 2 a
Q1a + Q2 a = Q1 + Q2 = Qa
U2a = Ua
czyli
(Q1 + Q2)
1 -1 U 1a 0
1 3 ⋅ U = 100 ,
2a
b)
C1
+Q1b
–Q1b
U1b = Ub
C1 ⋅ U 1a + C 2 ⋅ U 2 a = Qa
W = 4,
C2
–Q2b +Q2b
W1 = 100 , W2 = 100 ;
U 1a = 25 V, U 2 a = 25 V.
U 1b = U 2b
Q1b + Q2b = Q1 − Q2 = Qb
U2b = Ub
czyli
(Q1 – Q2)
1 -1 U 1b 0
1 3 ⋅ U = − 80 ,
2b
U 1a − U 2 a = 0
U 1b − U 2b = 0
C1 ⋅ U 1b + C 2 ⋅ U 2b = Qb
W = 4,
W1 = −80 , W2 = −80 ;
U 1b = −20 V, U 2b = −20 V.
172
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 2-8. Trzy kondensatory o tej samej wartości pojemności C1 = C2 = C3 = 1 µF, naładowane do
różnych wartości napięcia U1 = 10 V, U2 = 15 V, U3 = 20 V, połączono w sposób pokazany na rysunku liniami przerywanymi, gdzie są oznaczone napięcia i ładunki, jakie występują przed zespoleniem elementów. Oblicz wartości napięcia na kondensatorach połączonych we wskazany sposób
(szukane wielkości są oznaczone na rysunku z liniami ciągłymi).
+Q1
C1
–Q1
–Q2
U1
+Q’1
C1
C2
+Q2
+Q3
U2
+Q’2
–Q’1
U ’1
C2
–Q3
U3
–Q’2
+Q’3
U ’2
Q1 = C1 ⋅ U 1 = 10 µC,
C3
C3
–Q’3
U ’3
Q2 = C 2 ⋅ U 2 = 15 µC,
Q3 = C 3 ⋅ U 3 = 20 µC.
A. Rozwiązanie metodą superpozycji i układów zastępczych
Każdy z ładunków zgromadzonych na kondensatorach traktuje się jako oddzielne wymuszenie.
Wyznacza się więc i dodaje napięcia na kondensatorach, wywołane z osobna istnieniem ładunków
na każdym z kondensatorów.
(1)
+Q1
C1
C2
–Q1
C3
U1
+Q’1(1)
C1
C23
–Q’2(1)
–Q’1(1)
U ’1(1)
C2
+Q’2(1)
–Q’3(1)
U ’2(1)
C3
+Q’3(1)
U ’3(1)
C 23 = 0,5 µF (połączenie szeregowe C2 i C3),
C z (1) = 1,5 µF (połączenie równoległe C1 i C23 ; odpowiednie znaki ładunków),
U '1(1) =
Q1
20
=
V,
C z (1)
3
Q'1(1) = C1 ⋅ U '1(1) =
Q' 2 (1) = Q'3(1) = Q1 − Q'1(1) =
U ' 2(1) =
− Q' 2 (1)
C2
=−
10
V,
3
10
µC
3
U ' 3(1) =
albo
− Q' 3(1)
C3
20
µC,
3
Q' 2 (1) = Q'3(1) = C 23 ⋅ U '1(1) =
=−
10
V.
3
10
µC,
3
173
Zadania
(2)
C1
C2
–Q2
C3
+Q2
U2
+Q’1(2)
C1
C2
–Q’2(2)
–Q’1(2)
U ’1(2)
+Q’2(2)
+Q’3(2)
U ’2(2)
C3
–Q’3(2)
U ’3(2)
C13 = 0,5 µF (połączenie szeregowe C1 i C3),
C z ( 2) = 1,5 µF (połączenie równoległe C2 i C13 ; odpowiednie znaki ładunków),
U ' 2( 2) =
− Q2
= −10 V,
C z ( 2)
Q' 2 ( 2 ) = C 2 ⋅ U ' 2 ( 2 ) = 10 µC,
Q'1( 2 ) = Q'3( 2 ) = Q2 − Q' 2 ( 2 ) = 5 µC
U '1( 2) =
Q'1( 2)
= 5 V,
C1
(3)
U ' 3( 2 ) =
albo
Q ' 3( 2 )
C3
C1
Q'1( 2 ) = Q'3( 2 ) = C13 ⋅ U ' 2 ( 2 ) = 5 µC,
= 5 V.
C2
+Q3
C1
–Q’2(3)
+Q’1(3)
–Q3
U3
C12
–Q’1(3)
C3
U ’1(3)
C2
+Q’2(3)
+Q’3(3)
U ’2(3)
C3
–Q’3(3)
U ’3(3)
C12 = 0,5 µF (połączenie szeregowe C1 i C2),
C z ( 3) = 1,5 µF (połączenie równoległe C3 i C12 ; odpowiednie znaki ładunków),
U ' 3( 3) =
Q3
40
=
V,
C z ( 3)
3
Q ' 3 ( 3 ) = C 3 ⋅ U ' 3 ( 3) =
Q'1( 3) = Q' 2( 3) = Q3 − Q'3( 3) =
U '1( 3) =
− Q'1(3)
C1
Napięcia wypadkowe:
=−
20
V,
3
20
µC
3
U ' 2 ( 3) =
albo
− Q ' 2 ( 3)
C2
40
µC,
3
Q'1( 3) = Q' 2 (3) = C12 ⋅ U '3( 3) =
=−
20
µC,
3
20
V.
3
U '1 = U '1(1) +U '1( 2 ) +U '1( 3) = 5 V,
U '3 = U '3(1) +U '3( 2) +U '3( 3) = 15 V.
U ' 2 = U ' 2(1) +U ' 2( 2) +U ' 2( 3) = −20 V,
174
Elektrotechnika podstawowa
B. Rozwiązanie metodą równań układu
+Q1
C1
–Q1
C2
–Q2
+Q2
+Q’1
C1
U2
(Q1 – Q3)
+Q’2
–Q’1
(–Q1 – Q2)
U ’1
Równanie napięciowe:
C2
U3
–Q’2
C3
+Q’3
–Q’3
(Q2 + Q3)
U ’2
(Q1 – Q3)
Q1 = C1 ⋅ U 1 = 10 µC,
–Q3
(Q2 + Q3)
(–Q1 – Q2)
U1
C3
+Q3
U ’3
Q2 = C 2 ⋅ U 2 = 15 µC,
Q3 = C 3 ⋅ U 3 = 20 µC.
U '1 +U ' 2 +U ' 3 = 0 .
Równania stałości ładunków:
− Q'1 +Q' 2 = −Q1 − Q2 ;
− Q' 2 +Q'3 = Q2 + Q3 ;
Q'1 −Q'3 = Q1 − Q3 (jedno równanie jest liniowo zależne od pozostałych).
Równania układu (pominięto trzecie równanie stałości ładunków jako zależne od pozostałych):
U '1 +U ' 2 +U ' 3 = 0
Q'1 −Q' 2 = Q1 + Q2
U '1 +U ' 2 +U ' 3 = 0
C1 ⋅ U '1 −C 2 ⋅ U ' 2 = Q1 + Q2
⇒
− Q' 2 +Q'3 = Q2 + Q3
− C 2 ⋅ U ' 2 +C 3 ⋅ U ' 3 = Q2 + Q3
Równanie układu w postaci liczbowej i jego rozwiązanie metodą Cramera:
1
1
0
1
-1
-1
1 U '1 0
0 ⋅ U ' 2 = 25 ,
1 U ' 3 35
W = −3 ,
W1 = −15 ,
U '1 = 5 V,
W2 = 60 ,
U ' 2 = −20 V,
W3 = −45 ;
U ' 3 = 15 V.
Zad. 2-9. Dwa kondensatory o pojemnościach: C1 = 1 µF i C2 = 2 µF, naładowano do napięcia
U = 12 V ze źródła, które zostało następnie przyłączone między ujemnie naładowane okładziny w
sposób pokazany na rysunku. Oblicz wartości napięcia na kondensatorach w tym układzie.
a)
+Q1
+Q2
C1
C2
–Q1
+Q’1
C1
A. Rozwiązanie metodą równań układu:
− U1 + U 2 = U ,
–Q’1
U1
–Q2
U
U2
U
+Q’2
C2
–Q’2
Q'1 +Q' 2 = Q1 + Q2
oraz Q1 = C1 ⋅ U , Q2 = C 2 ⋅ U ,
więc
− U1 + U 2 = U ,
C1 ⋅ U 1 + C 2 ⋅ U 2 = (C1 + C 2 ) ⋅ U .
- 1 1 U 1 12
1 2 ⋅ U = 36 ,
2
W = −3 ,
W1 = −12 , W2 = −48 ;
U 1 = 4 V, U 2 = 16 V.
175
Zadania
B. Inny sposób rozwiązania – z zasady superpozycji:
1 µF
1 µF
12 V
8V
12 V
+
+Q2
C1
C2
12 V
=
4V
16 V
2 µF
(wstępne naładowanie)
+Q1
4V
12 V
2 µF
b)
1 µF
2 µF
(bez wstępnego naładowania)
–Q1
C1
+Q’1
A. Rozwiązanie metodą równań układu:
U1 − U 2 = U ,
–Q’1
Q'1 +Q' 2 = Q1 + Q2
U1
–Q2
U
oraz Q1 = C1 ⋅ U , Q2 = C 2 ⋅ U ,
więc
U1 − U 2 = U ,
U2
U
+Q’2
1 − 1 U 1 12
1 2 ⋅ U = 36 ,
2
C2
–Q’2
W = 3,
(wynik końcowy)
C1 ⋅ U 1 + C 2 ⋅ U 2 = (C1 + C 2 ) ⋅ U .
W1 = 60 , W2 = 24 ;
U 1 = 20 V, U 2 = 8 V.
B. Inny sposób rozwiązania – z zasady superpozycji:
1 µF
1 µF
12 V
8V
12 V
1 µF
20 V
12 V
+
4V
2 µF
2 µF
(wstępne naładowanie)
(bez wstępnego naładowania)
12 V
=
8V
2 µF
(wynik końcowy)
Zad. 2-10. Po naładowaniu kondensatorów C1 i C2 w układzie szeregowym ze źródłem U, odłączono C1 i dołączono z powrotem przeciwnymi okładzinami. Oblicz wartości napięcia na kondensatorach przed tą operacją i po niej. Dane: C1 = 1 µF, C 2 = 2 µF, U = 9 V.
A. Rozwiązanie metodą równań układu:
a) stan przed przełączeniem C1
U
C1
C2
+Q – Q +Q – Q
(0)
U ’1
U ’2
C1 ⋅ C 2
2
= µF,
Q = C ⋅ U = 6 µC,
C1 + C 2 3
Q
Q
U '1 =
= 6 V,
U '2 =
= 3 V;
C1
C2
C=
inaczej: U '1 +U ' 2 = U ,
1
− 1
1 U '1 9
,
⋅
=
2 U ' 2 0
W = 3,
W1 = 18 , W2 = 9 ;
− C1 ⋅ U '1 +C 2 ⋅ U ' 2 = 0 ,
U '1 = 6 V, U ' 2 = 3 V.
176
Elektrotechnika podstawowa
b) stan po przełączeniu C1
C1
U
(2Q)
U ”1
C2
U "1 +U "2 = U ,
U ”2
1
− 1
− C1 ⋅ U "1 +C1 ⋅ U "1 = 2Q ,
1 U "1 9
,
⋅
=
2 U "2 12
W = 3,
W1 = 6 ,
U "1 = 2 V,
W2 = 21 ;
U "2 = 7 V.
B. Inny sposób rozwiązania (z zasady superpozycji):
C1
9V
(0)
6V
C2
C1
3V
4V
+
(wstępne naładowanie – jw.)
(2Q)
C2
C1
4V
=
(2Q)
C2
2V
9V
(zmiana ładunku równa 2Q układ równoległy C = 3 µF,
2Q 2 ⋅ 6
U"=
=
= 4V )
C
3
7V
(wynik końcowy)
Zad. 2-11. Po naładowaniu kondensatorów C1 , C2 i C3 w układzie szeregowym ze źródłem U,
odłączono C1 i dołączono z powrotem przeciwnymi okładzinami. Oblicz wartości napięcia na kondensatorach przed tą operacją i po niej. Dane: C1 = 4 µF, C 2 = 6 µF, C 3 = 12 µF, U = 12 V.
Rozwiązanie:
a) stan przed przełączeniem C1
U
C1
C2
C3
+Q – Q +Q – Q +Q – Q
(0)
(0)
U ’1
U ’2
U ’3
C = 2 µF,
Q = C ⋅ U = 24 µC,
U '1 = 6 V,
U ' 2 = 4 V,
inaczej: U '1 +U ' 2 +U ' 3 = U ,
− C1 ⋅ U '1 +C 2 ⋅ U ' 2 = 0 ,
W = 144 ,
1 U '1 12
1 1
− 4 6 0 ⋅ U ' = 0 ,
2
0 − 6 12 U ' 3 0
C1
U
(2Q)
U ”1
W1 = 0 ,
C2
(0)
U ”2
W2 = 8 ⋅ 144 ,
W1 = 6 ⋅ 144 ,
U '1 = 6 V ,
b) stan po przełączeniu C1
U ' 3 = 2 V;
− C 2 ⋅ U ' 2 +C 3 ⋅ U ' 3 = 0 ,
W2 = 4 ⋅ 144 ,
U '2 = 4 V ,
W3 = 2 ⋅ 144 ;
U '3 = 2 V .
U "1 +U "2 +U "3 = U ,
C3
− C1 ⋅ U "1 +C 2 ⋅ U "2 = 2Q ,
U ”3
− C 2 ⋅ U " 2 + C 3 ⋅ U "3 = 0 ,
1 U "1 12
1 1
− 4 6 0 ⋅ U " = 48 ,
2
0 − 6 12 U "3 0
W3 = 4 ⋅ 144 ;
U "1 = 0 V,
U "2 = 8 V,
W = 144 ,
U "3 = 4 V.
177
Zadania
3. NAPIĘCIOWE I PRĄDOWE ŹRÓDŁA PRĄDU STAŁEGO
Zad. 3-1. Dane jest źródło napięciowe prądu stałego o parametrach: E = 20 V i Rw = 2 Ω. Wyznacz
wartości parametrów: Iźr i Gw , równoważnego mu (ze względu na wielkości zaciskowe) źródła prądowego. Oblicz wartości strat mocy w źródłach oraz ich sprawności w stanie jałowym i w stanie
zwarcia (wartości graniczne).
I
I
Rw
≡
R
U
Gw
Iźr
G
U
E
Rozwiązanie:
I źr =
∆PE = Rw ⋅ I 2 =
E
= 10 A ,
Rw
Rw ⋅ E 2
ηE =
;
( R + R w )2
G w ⋅ I ź2r
∆PI źr = G w ⋅ U =
2
Gw =
Gw
U ⋅I
R⋅I2
R
=
=
=
;
2
E ⋅ I (R + Rw ) ⋅ I
R + Rw G + G w
η I źr
;
(G + Gw )2
1
= 0,5 S ;
Rw
Rw
U ⋅I
G ⋅U 2
G
=
=
=
=
;
2
U ⋅ I źr (G + G w ) ⋅ U
G + G w R + Rw
2
stąd
∆PI źr
R
⋅ ∆PE ⋅η E2 ,
= 1 +
Rw
- w stanie jałowym G = 0 ,
∆PI źr
I =0,
I ź2r
=
= 200 W,
Gw
- w stanie zwarcia R = 0 , U = 0 ,
η I źr = 1 − η E ,
więc
η I źr =
więc
η E = 1 − η I źr ;
∆PE = Rw ⋅ I 2 = 0 , η E =
G
=0
G + Gw
Gw
=1,
G + Gw
(inaczej: η I źr = 1 − η E = 0 );
∆PI źr = G w ⋅ U 2 = 0 , η I źr =
Rw
= 1,
R + Rw
E2
R
= 200 W, η E =
= 0 (inaczej: η E = 1 − η I źr = 0 ).
Rw
R + Rw
Uwaga. Jak widać, sprawności równoważnych źródeł – napięciowego i prądowego – osiągają w
stanie jałowym oraz w stanie zwarcia przeciwstawne sobie wartości graniczne (1 i 0 oraz 0 i 1).
Straty źródła prądowego w stanie jałowym są równe stratom równoważnego źródła napięciowego w
stanie zwarcia (co zresztą wynika z zależności na zamianę tych źródeł).
∆PE =
Zad. 3-2. Źródła z poprzedniego zadania są obciążane rezystancją R o różnych wartościach. Oblicz
wartości mocy wydawanej przez źródła idealne: PE i PI źr , mocy P wydawanej przez źródła rzeczywiste (pobieranej przez odbiornik R ), strat mocy: ∆PE i ∆PI źr , oraz sprawności: ηE i ηI źr – przy
rezystancji obciążenia R równej: 8 Ω; 4 Ω; 2 Ω; 1 Ω; 0,5 Ω.
Rozwiązanie.
Wzory: PE =
E2
,
R + Rw
P=
R
⋅ PE ,
R + Rw
∆PE =
Rw
⋅ PE ,
R + Rw
ηE =
R
,
R + Rw
178
Elektrotechnika podstawowa
PI źr =
I źr2
,
G + Gw
P=
Rw
⋅ PI źr ,
R + Rw
∆PI źr =
R
⋅ PI źr ,
R + Rw
η I źr =
Rw
.
R + Rw
Wyniki:
R (Ω)
PE (W)
P (W)
∆PE (W)
ηE
PI źr (W)
P (W)
∆PI źr (W)
ηI źr
8
40
32
8
0,8
160
32
128
0,2
4
66,7
44,4
22,2
0,67
133,3
44,4
88,9
0,33
2
100
50
50
0,5
100
50
50
0,5
1
133,3
44,4
88,9
0,33
66,7
44,4
22,2
0,67
0,5
160
32
128
0,2
40
32
8
0,8
Zad. 3-3. Oblicz moc wydawaną przez idealne źródło napięciowe E = 3 V oraz moc wydawaną
przez gałąź z tym źródłem i rezystancją R = 1 Ω, jeśli – przy założonym „generatorowym” strzałkowaniu wielkości – prąd I ma wartość: a) 2 A, b) 4 A.
I
R
E
Zależności właściwe występującym zwrotom prądu i napięć:
UR
U = U gen = E − U R = E − R ⋅ I ;
U = Ugen
PE = PE gen = E ⋅ I ;
P = Pgen = U gen ⋅ I = U ⋅ I .
Rozwiązanie:
a) PE = E ⋅ I = 6 W ,
b) PE = E ⋅ I = 12 W ,
U = E − R⋅I =1 V ,
U = E − R ⋅ I = −1 V ,
P =U ⋅I = 2 W ;
P = U ⋅ I = −4 W .
Uwaga. Gdy gałąź generuje ujemną moc (przypadek „b”), to jest jako całość odbiornikiem. Moc
generowana przez źródło idealne (odpowiadająca strzałkowaniu generatorowemu prądu i napięcia
w źródle) nie pokrywa w pełni mocy wydzielającej się w rezystancji gałęzi.
Zad. 3-4. Oblicz moc pobieraną przez idealne źródło napięciowe E = 3 V oraz moc pobieraną przez
gałąź z tym źródłem i rezystancją R = 1 Ω, jeśli – przy założonym „odbiornikowym” strzałkowaniu
wielkości – prąd I ma wartość: a) 2 A, b) 4 A.
I
R
E
Zależności właściwe występującym zwrotom prądu i napięć:
UR
U = U odb = E + U R = E + R ⋅ I ;
U = Uodb
PE = PE odb = E ⋅ I ;
P = Podb = U odb ⋅ I = U ⋅ I .
Rozwiązanie:
a) PE = E ⋅ I = 6 W ,
b) PE = E ⋅ I = 12 W ,
U = E + R⋅I = 5 V ,
U = E + R⋅I = 7 V ,
P = U ⋅ I = 10 W ;
P = U ⋅ I = 28 W .
Uwaga. Gdy E > 0 i I > 0, to źródło idealne jest odbiornikiem aktywnym (strzałkowanie odbiornikowe prądu i napięcia w źródle). Moc pobierana przez gałąź jest sumą mocy odbiornikowej źródła i mocy wydzielającej się w rezystancji gałęzi.
179
Zadania
Zad. 3-5. Oblicz moc wydawaną przez idealne źródło prądowe Iźr = 3 A oraz moc wydawaną przez
gałąź z tym źródłem i konduktancją G = 0,5 S, jeśli – przy założonym „generatorowym” strzałkowaniu wielkości – napięcie U ma wartość: a) 2 V, b) 10 V.
Iźr
I = Igen
Zależności właściwe występującym zwrotom prądów i napięcia:
I = I gen = I źr − I G = I źr − G ⋅ U ;
IG
G
PI źr = PI źr gen = U ⋅ I źr ;
U
P = Pgen = U ⋅ I gen = U ⋅ I .
Rozwiązanie:
a) PI źr = U ⋅ I źr = 6 W ,
I = I źr − G ⋅ U = 2 A ,
b) PI źr = U ⋅ I źr = 30 W ,
P =U ⋅I = 4 W ;
I = I źr − G ⋅ U = −2 A ,
P = U ⋅ I = −20 W .
Uwaga. Gdy gałąź generuje ujemną moc (przypadek „b”), to jest jako całość odbiornikiem. Moc
generowana przez źródło idealne (odpowiadająca strzałkowaniu generatorowemu prądu i napięcia
w źródle) nie pokrywa w pełni mocy wydzielającej się w konduktancji gałęzi.
Zad. 3-6. Oblicz moc pobieraną przez idealne źródło prądowe Iźr = 3 A oraz moc pobieraną przez
gałąź z tym źródłem i konduktancją G = 0,5 S, jeśli – przy założonym „odbiornikowym” strzałkowaniu wielkości – napięcie U ma wartość: a) 2 V, b) 10 V.
Iźr
I = Iodb
Zależności właściwe występującym zwrotom prądów i napięcia:
G
I = I odb = I źr + I G = I źr + G ⋅ U ;
IG
PI źr = PI źr odb = U ⋅ I źr ;
U
P = Podb = U ⋅ I odb = U ⋅ I .
Rozwiązanie:
a) PI źr = U ⋅ I źr = 6 W ,
I = I źr + G ⋅ U = 4 A ,
b) PI źr = U ⋅ I źr = 30 W ,
P =U ⋅I =8 W ;
I = I źr + G ⋅ U = 8 A ,
P = U ⋅ I = 80 W .
Uwaga. Gdy Iźr > 0 i U > 0, to źródło idealne jest odbiornikiem aktywnym (strzałkowanie odbiornikowe prądu i napięcia w źródle). Moc pobierana przez gałąź jest sumą mocy odbiornikowej
źródła i mocy wydzielającej się w konduktancji gałęzi.
Zad. 3-7. Dwa źródła prądu stałego o znanych parametrach są połączone jak na rysunku i obciążone łącznie prądem I (nie są jednak znane: napięcie na odbiorniku U ani jego rezystancja R ). Oblicz
moc pobieraną przez odbiornik (P) oraz moce wydawane przez każde ze źródeł rzeczywistych
(Pgen 1, Pgen 2) i idealnych (PE1, PE2). Dane: E1 = 13 V, E2 = 12 V, Rw1 = 1 Ω, Rw2 = 2 Ω, I = 4 A.
Rozwiązanie:
U = E1 − Rw1 ⋅ I 1 = E 2 − Rw2 ⋅ I 2 ,
I
I1
I2
Rw1
Rw2
E1
E2
U
R
więc E1 − Rw1 ⋅ I 1 = E 2 − Rw 2 ⋅ ( I − I 1 ) ;
I1 =
E1 − E 2 + Rw 2 ⋅ I
=3 A;
Rw1 + Rw 2
U = E1 − Rw1 ⋅ I 1 = 10 V ;
Pgen 1 = U ⋅ I 1 = 30 W ,
I 2 = I − I1 ,
Pgen 2 = U ⋅ I 2 = 10 W ,
I 2 = I − I1 = 1 A ;
P = U ⋅ I = 40 W ,
PE1 = E1 ⋅ I 1 = 39 W ,
PE 2 = E 2 ⋅ I 2 = 12 W .
180
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 3-8. Dwa źródła prądu stałego o znanych parametrach, połączone jak na rysunku, obciążone
są łącznie rezystancją R . Oblicz moc pobieraną przez odbiornik (P) oraz moce wydawane przez
każde ze źródeł rzeczywistych (Pgen 1, Pgen 2) i idealnych (PE1, PE2 albo PI źr1, PI źr2).
Dane: E1 = 12 V, E2 = 12 V, Rw1 = 6 Ω, Rw2 = 3 Ω, R = 2 Ω.
I
a)
I1
I2
Rw1
Rw2
E1
E2
Rozwiązanie (metoda układu zastępczego):
I
R
U
I1
2A
I2
4A
6Ω
3Ω
2Ω
6A
6Ω 3Ω
3A
1A
2A
3Ω
6V
6Ω
12 V
I
6V
6V
I1
12 V
I =3 A,
I1 = 1 A ,
P = U ⋅ I = 18 W ,
Pgen 1 = U ⋅ I 1 = 6 W ,
I1
I2
Rw1
Rw2
E1
E2
6V
6V
2Ω
12 V
6A
1Ω
(1 S)
U
I2 = 2 A ;
Pgen 2 = U ⋅ I 2 = 12 W ,
PE1 = E1 ⋅ I 1 = 12 W ,
PE 2 = E 2 ⋅ I 2 = 24 W .
Dane: E1 = 14 V, E2 = 10 V, Rw1 = 4 Ω, Rw2 = 4 Ω, R = 2 Ω.
I
b)
I2
3Ω
6V
6Ω
2Ω
12 V
U =6 V;
2Ω
Odpowiedź:
P = U ⋅ I = 18 W ,
R
U
Pgen 1 = U ⋅ I 1 = 12 W ,
Pgen 2 = U ⋅ I 2 = 6 W ,
PE1 = E1 ⋅ I 1 = 28 W ,
PE 2 = E 2 ⋅ I 2 = 10 W .
(do samodzielnego rozwiązania)
c)
Dane: Iźr1 = 2,5 A, Iźr2 = 3,5 A, Rw1 = 6 Ω,
Rw2 = 3 Ω, R = 2 Ω.
I
I1
I2
Rozwiązanie (metoda układu zastępczego):
Iźr1
Rw1
Iźr2
U
R
U = 6 V ; I = 3 A , I 1 = 1,5 A , I 2 = 1,5 A ;
Rw2
P = U ⋅ I = 18 W ,
3A
1,5 A
6A
1Ω
(1 S)
1A
1,5 A
6V
6Ω
3,5 A
Pgen 2 = U ⋅ I 2 = 9 W ,
2A
2,5 A
3Ω
Pgen 1 = U ⋅ I 1 = 9 W ,
6V 2Ω
PI źr 1 = U ⋅ I źr1 = 15 W ,
PI źr 2 = U ⋅ I źr 2 = 21 W .
181
Zadania
d)
Dane: Iźr1 = 2,5 A, Iźr2 = 3,5 A, Rw1 = 4 Ω, Rw2 = 4 Ω, R = 2 Ω.
I
Rozwiązanie (metoda układu zastępczego):
Iźr1
2,4 A
U1
Rw1
U
Iźr2
4Ω
R
9,6 V
U2
4Ω
2,5 A
4,8 V
10 V
Rw2
2,4 A
0,4 V
4Ω
2Ω
9,6 V
3,5 A
14 V
4Ω
4,8 V
2Ω
4,4 V
I = 2,4 A ; U = 4,8 V , U 1 = 0,4 V , U 2 = 4,4 V ;
P = U ⋅ I = 11,52 W ,
Pgen 1 = U 1 ⋅ I = 0,96 W ,
PI źr 1 = U 1 ⋅ I źr1 = 1 W ,
Pgen 2 = U 2 ⋅ I = 10,56 W ,
PI źr 2 = U 2 ⋅ I źr 2 = 15,4 W .
Zad. 3-9. Oblicz wartości mocy wydawanych przez każde z dwu źródeł idealnych (PE1 albo PI źr1 i
PE2 albo PI źr2), występujących w obwodzie pokazanym na rysunku.
a)
I1
I
10V
5A
3A
I2
2Ω
2Ω
16 V
10
=5A,
2
16 − 10 6
I1 =
= =3A,
2
2
PE1 = 16 ⋅ 3 = 48 W ,
I=
Rozwiązanie:
2Ω
2A
6V
2Ω
10V
I2 = 5 − 3 = 2 A ,
16 V
PE 2 = 10 ⋅ 2 = 20 W .
b)
Rozwiązanie:
I1
I
I2
2Ω
12V
2Ω
2Ω
3A
6V
3A
2Ω
12 V
3A
12
=6 A,
2
I 1 = 3 A (źródło),
I=
6A
3A
PI źr 1 = 18 ⋅ 3 = 54 W ,
I2 = 6 − 3 = 3 A ,
18 V
PE 2 = 12 ⋅ 3 = 36 W .
c)
Rozwiązanie:
I1
2Ω
3A
I
I2
4A
2Ω
2Ω
3A
6V
I 2 = 4 A (źródło),
4A
14 V
4A
20 V
I 1 = 3 A (źródło),
7A
3A
2Ω
I = 3+ 4 = 7 A ,
PI źr 1 = 20 ⋅ 3 = 60 W ,
PI źr 2 = 14 ⋅ 4 = 56 W.
182
Elektrotechnika podstawowa
d)
Rozwiązanie:
I
I = 2,5 A (źródło),
2,5 A
2,5 A
I W 2 = 3,5 − 2,5 = 1 A ,
U1
2,5 A
U
2Ω
Iw2
U = 2 ⋅ 2,5 = 5 V ,
1V
5V
1A
3,5 A
U2
4Ω
e)
I1
3,5 A
PI źr 1 = 1 ⋅ 2,5 = 2,5 W ,
4V
PI źr 2 = 4 ⋅ 3,5 = 14 W.
–1 A
I2
Iw2
U
U = 12 V (źródło),
12
I=
= 6 A,
2
12
I w2 =
=3A,
4
I 2 = 10 − 3 = 7 A ,
2Ω
6A
7A
12 V
3A
4Ω
10 A
U1 = 5 − 4 = 1 V ,
Rozwiązanie:
I
12 V
4Ω
U 2 = 4 ⋅1 = 4 V ,
2Ω
10 A
12 V 2 Ω
4Ω
I 1 = 6 − 7 = −1 A ,
PE1 = 12 ⋅ (−1) = −12 W ,
PI źr 2 = 12 ⋅ 10 = 120 W.
Uwaga. Źródło napięciowe występujące w ostatnim układzie jest odbiornikiem aktywnym (PE1 < 0).
Zad. 3-10. Wyznacz taką wartość rezystancji R, aby wydzielała się w niej największa moc. Oblicz
prąd i moc dopasowania oraz sprawność zasilania R w danym układzie.
Rozwiązanie: Rdop = Rw = 3 Ω (układ po zamianie źródła)
I
3A
3A
6V
Iw2
4A
I = I dop =
6V
U
6V
9V
R
1A
3Ω
12 V
3Ω
U2
18
=3 A,
6
3Ω
4A
3V
2
PR = Pdop = Rdop ⋅ I dop
= 3 ⋅ 3 2 = 27 W ,
η=
3Ω
9V
3Ω
3V
PR
27
=
= 0,9 .
PE + PI źr 6 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4
Uwaga. Sprawność zasilania odbioru przy dopasowaniu do źródła zastępczego wynosi zawsze 0,5.
Sprawność zasilania w układzie rzeczywistym różni się jednak na ogół od sprawności źródła zastępczego, do którego „dopasowuje się” rezystancję odbiorczą, ponieważ równoważność źródeł nie
dotyczy strat mocy, tylko – wielkości zaciskowych.
Gdyby w powyższym układzie przyjąć prąd źródłowy równy 2 A (zamiast 4 A), to zasilanie odbioru w układzie rzeczywistym odbywałoby się bez strat (sprawność byłaby równa 1). A to dlatego, że
prąd odbioru miałby wartość 2 A, tj. taką samą jak prąd źródłowy, stąd Iw2 = 0 i U2 = 0, co wyklucza straty. Przy tym, dodatkowo, występujące w układzie źródło napięciowe jest źródłem idealnym.
183
Zadania
4. OBWODY PRĄDU STAŁEGO Z JEDNYM ŹRÓDŁEM
Zad. 4-1. Oblicz wartości prądów i napięć w danych obwodach nierozgałęzionych, z jednym źródłem rzeczywistym.
a)
1Ω
Rozwiązanie:
12
12
I=
=
= 2 A,
1+ 2 + 3 6
2Ω
I
U2
U1
12 V
albo
b)
I1
4A
4Ω
4Ω
I1
4A
4Ω
4A
4Ω
12 Ω
U1
U 1 = 4 ⋅ 3 = 12 V
2Ω
3A
12
⋅ 4 = 3 A,
4 + 12
4
I2 =
⋅4 =1 A
4 + 12
(dzielnik prądu);
I1 =
I2
6Ω
1A
3
⋅ 10 = 6 V
2+3
(dzielnik napięcia).
U3 =
Rozwiązanie:
U2
U4 U3
U1
2
⋅ 10 = 4 V,
2+3
U2 =
2Ω
I2
U 3 = 3 ⋅ 2 = 6 V;
U 2 = 2 ⋅ 2 = 4 V,
3Ω
U3
U 1 = 12 − 1 ⋅ 2 = 10 V,
I2
2V
4Ω
12 V 6 V 4 V
4Ω
albo
{inaczej -
12 Ω
U1
16 V
I2 =
6Ω
U 1 = 12 ⋅ 1 = 12 V
I 1 = 4 − 1 = 3 A};
albo
U2 =
U 2 = 2 ⋅ 1 = 2 V,
2
⋅ 12 = 2 V,
2+4+6
U3 =
U 1 = 12 ⋅ 1 = 12 V
U 3 = 4 ⋅ 1 = 4 V,
albo
16
= 1 A;
4 + 12
U 1 = 16 − 4 ⋅ 1 = 12 V;
U 4 = 6 ⋅ 1 = 6 V,
4
⋅ 12 = 4 V,
2+4+6
U4 =
6
⋅ 12 = 6 V
2+4+6
(dzielnik napięcia).
Zad. 4-2. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danych obwodach z idealnym źródłem napięciowym.
2Ω
a)
Rozwiązanie:
6Ω
24 V
6Ω
3Ω
7A
4Ω
4A
24 V
7A
3A 2Ω
4A
24 V
1A
6Ω
3A 4Ω
3A 2Ω
6Ω
4Ω
4 + 3 = 7 A;
2A
6Ω
2Ω
24
= 4 A,
6
24
= 3 A,
2+2+4
3Ω
3
⋅ 3 = 1 A,
6+3
6
⋅ 3 = 2 A.
6+3
184
Elektrotechnika podstawowa
1Ω
b)
Rozwiązanie:
3Ω
24 V
6Ω
6A 1Ω
2Ω
24
= 6 A,
1+1+ 2
2Ω
24 V
1 ⋅ 6 = 6 V;
2Ω
2A
24 V
1A
3A
6Ω
3Ω
6A 2Ω
c)
1Ω
6V
6A 1Ω
2Ω
6
= 2 A,
3
12 Ω
Rozwiązanie:
4Ω
12 A
6
= 1 A,
6
6
=3 A.
2
3 A 12 Ω
3Ω
9A 4Ω
12 A
3Ω
60 V
60
= 12 A;
3+ 2
d)
1Ω
6Ω
2Ω
60 V
4
⋅ 12 = 3 A,
4 + 12
6
⋅ 12 = 8 A,
3+6
12 − 3 = 9 A,
2Ω
12 Ω
6Ω
16 V
e)
1A
1Ω
3Ω
2Ω
2Ω
3A 2Ω
Odpowiedź:
1Ω
2Ω
1Ω
4A 1Ω
4A
16 V
(do samodzielnego rozwiązania)
2Ω
12 Ω
16 V
8A 1Ω
16 V
3Ω
16 V
1A
2A
6Ω
1Ω
4A 1Ω
2Ω
4A 1Ω
12 Ω
1Ω
6Ω
12 − 8 = 4 A.
2Ω
12 Ω
3A 2Ω
1A
3Ω
3Ω
16 V
4A 1Ω
4A
Rozwiązanie:
1Ω
16 V
60 V
8A
2A 1Ω 1A 1Ω
2A
2Ω
1A
2Ω
1A
2Ω
1Ω
185
Zadania
f)
2 Ω I2
Rozwiązanie:
I3 3 Ω
I1
6Ω
1,2 Ω
(R23)
6Ω
36 V
f ’)
R23 =
I1
I2 =
36 V
2 Ω I1
f ”)
I2 3 Ω
I1 3 Ω
6Ω
I 2 = 6 A,
Odpowiedź:
I 1 = 8 A,
36 V
I 2 = 6 A,
I 3 = 3 A.
I 3 = 2 A.
(do samodzielnego rozwiązania)
3Ω
g)
(do samodzielnego rozwiązania)
A 3Ω
24 V
3Ω
2A 3Ω
2A
4Ω
6V
2A
C
3Ω
24 V
1Ω
1Ω
2A 3Ω
B
C 0
3Ω
4A 4Ω
A
6V 1Ω
24 V
3Ω
6Ω
1Ω
4A 3Ω
2A
24 V
4Ω
C
3Ω
4A 3Ω A 2A 3Ω
4A
24 V
B
3Ω
B
3Ω
1Ω
1Ω
3Ω
C
3Ω
24 V
4Ω
A
24 V
3Ω
3Ω
36
= 5 A,
6 + 1,2
I 3 = 5 − 3 = 2 A.
I3
I 1 = 9 A,
6Ω
36 V
I1 =
3
⋅ 5 = 3 A,
2+3
2 Ω I2
Odpowiedź:
I3
2⋅3
= 1,2 Ω;
2+3
2A 4Ω
B
2A 4Ω
0
Zad. 4-3. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danych obwodach z idealnym źródłem prądowym oraz napięcia na tym źródle.
2Ω
a)
Rozwiązanie:
6Ω
6Ω
10 A
6A 2Ω
3Ω
4A
6Ω
6A 2Ω
4A
6Ω
2A
24 V
10 A
10 A
6 ⋅ 4 = 24 V;
4A
6Ω
2Ω
4
⋅ 10 = 4 A,
6+4
6
⋅ 10 = 6 A;
6+4
3Ω
3
⋅ 6 = 2 A,
6+3
6
⋅ 6 = 4 A.
6+3
186
Elektrotechnika podstawowa
12 Ω
b)
9A 4Ω
3Ω
4Ω
3Ω
12 A
6Ω
2Ω
72 V
12 A
1Ω
1Ω
4
⋅ 12 = 3 A,
4 + 12
1Ω
1Ω
1Ω
6
⋅ 12 = 8 A,
3+6
12 − 3 = 9 A,
2Ω
2Ω
2Ω
8A
4A
3Ω
6Ω
12 − 8 = 4 A.
Odpowiedź:
1Ω
1Ω
16 A
72 V
12 A
1Ω
(3 + 2 + 1) ⋅ 12 = 72 V;
c)
3 A 12 Ω
Rozwiązanie:
1Ω
8A 1Ω
8A
16 A
4A 1Ω 2A 1Ω
4A
2A
2Ω
2Ω
32 V
2A
2Ω
1Ω
(do samodzielnego rozwiązania)
Zad. 4-4. Wyznacz wartości prądów w przewodach zaznaczonych na schemacie obwodu.
Rozwiązania:
I2
a)
1Ω
A
2Ω
3Ω
B1
6Ω
C1
B2
A
1Ω
C2
B1 3 A 2 Ω
I1
2A 3Ω
C1
B2
I1
6A
I2
1A 6Ω
C2
6A
A1
1Ω
2Ω
B1
3Ω
C
I1
6Ω
B2
I1
A2
A2
1A 6Ω
I2
I2
1Ω
2Ω
B
3Ω
A3
C
7A
I 1 = 7 − 1 = 6 A,
A1
2,8 A 3 Ω
B2
I2
c)
I 2 = 3 + 2 = 5 A,
inaczej I 2 = 6 − 1 = 5 A.
1 Ω B1 4,2 A 2 Ω
A1 6 A
7A
b)
I 1 = 6 − 3 = 3 A,
inaczej I 1 = 2 + 1 = 3 A;
A1
6Ω
C
6A
I1
A2
I1
A2
I2
1Ω
4A
6Ω 2A
C
3Ω
A3
2Ω
I 2 = 6 − 4,2 = 1,8 A.
6A
4A
2A
B
I 1 = 4 A,
I 2 = 4 − 2 = 2 A.
187
Zadania
5. OBWODY ROZGAŁĘZIONE PRĄDU STAŁEGO
Zad. 5-1. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, posługując się metodą przekształcania sieci (z zamianą źródeł).
a)
3Ω
Rozwiązanie:
3Ω
2A
4A
12 V
6V
3Ω
3Ω
3Ω
3Ω
II =
9 − 4,5 2
= A;
3 ⋅ 2,25 3
9V
2,25 Ω
I
2,25 Ω
10
A,
3
8
= 2+ II = A ;
3
4A
I II
2A
I III
4A
II
2,25 Ω
2,25 Ω
I
3Ω
Ic
3Ω
Id 9 Ω
2A
3
5
⋅ I II = A ,
3+9
6
3
2
Id =
⋅ I III = A ,
3+9
3
3
1
If =
⋅II = A ;
3+9
6
2−2 = 0 .
3Ω
2A
3Ω 3Ω
2,5 A 1,5 A
1 A 3 Ω 3 Ω 0,5 A
3 Ω 0,5 A
1,5 A 3 Ω
1,5 A
12 V
3Ω
Ib + I f = 1 A ;
0 3Ω
1A
3Ω
3Ω
3Ω
0,5 A
0,5 A
Rozwiązanie:
2Ω
5Ω
2A
Ib =
4 − 2,5 = 1,5 A ,
4Ω
9Ω
2A
3 Ω 9 Ω Ie If
I d − I f = 0,5 A ,
7,5 A
9Ω
2,25 Ω
Ia
3Ω
9Ω I
I b + I d = 1,5 A ,
20 V
I
3Ω
3Ω
4A
b
9
⋅ I II = 2,5 A ,
3+9
9
Ic =
⋅ I III = 2 A ,
3+9
9
Ie =
⋅ I I = 0,5 A ,
3+9
1Ω
3Ω
4A
Ia =
b)
3Ω
(powrót do obwodu danego)
2,25 Ω
2,25 Ω
2,25 Ω
9Ω
II
I II = 4 − I I =
I III
3Ω
4,5 V
2,25 Ω
I
3Ω
3Ω
3Ω
3Ω
2A
4A
4A
10 V
7,5 A
5Ω
5Ω
5Ω
2A
6V
188
Elektrotechnika podstawowa
1,5 A
5Ω
5Ω
5Ω
0,5 A
0,5 A
0,5 A
7,5 − 4 − 2 = 1,5 A ;
4A
7,5 A
5Ω
5Ω
5Ω
2A
0,5 A
0,5 A
0,5 A
(powrót do obwodu danego)
1Ω
4 + 0,5 = 4,5 A ;
4,5 A
2 + 0,5 = 2,5 A .
2Ω
0,5 A
5Ω
3Ω
7,5 A
20 V
4Ω
2,5 A
10 V
Zad. 5-2. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, stosując zasadę superpozycji.
a)
1Ω
I1
Rozwiązanie:
2Ω
I2
7,5 A
5Ω
3Ω
20 V
4Ω
I 1 = I 1 '+ I 1 "+ I 1 ' " = 4,5 A
I3
I 2 = I 2 '+ I 2 "+ I 2 ' " = 0,5 A
10 V
I 3 = I 3 '+ I 3 "+ I 3 ' " = 2,5 A
(wyniki cząstkowe - rozwiązania układów ze źródłami przyłączonymi osobno)
1Ω
2Ω
I1’
I2’
I3’
I1 ”
5Ω
3Ω
20 V
4Ω
I1 ' =
1Ω
I2’” I3’”
7,5 A
5Ω
3Ω
10 V
4Ω
10 4
2
= A, I 1 " = I 2 " = − A;
7,5 3
3
I 1 ' " = I 2 ' " = I 3 ' " = 2,5 A.
3Ω
2 Ω I2
I4
I5
5Ω
5Ω
3Ω
I1’”
I3
12 A
I1 1 Ω
18 V
I3 ”
2Ω
Rozwiązanie:
3Ω
I7
I3"=
1Ω
I2”
4Ω
20 8
4
= A, I 2 ' = I 3 ' = − A;
7,5 3
3
b)
2Ω
6Ω
4Ω
6 Ω I6 ”
2 Ω I2’
I7’
5Ω
6Ω
3Ω
I4 ”
4Ω
36 V
I7’”
I8’
4Ω
I6’
12 A
I1’” 1 Ω
I8 ”
I4’
I5’
18 V
2 Ω I2 ”
I5 ”
5Ω
36 V
I3 ”
I1 ” 1 Ω
I7 ”
I1’ 1 Ω
I8
I6
3Ω
I3’
I5’”
I3’”
2 Ω I2’”
I4’”
4Ω
5Ω
6 Ω I6’”
I8’”
189
Zadania
18
18
= 3 A , − I 3 ' = −I8 ' = I 6 ' =
= 2 A , I 2 ' = − I 4 ' = 0 A , I 7 ' = I 1 '− I 3 ' = 5 A
6
9
– kolejno: I 1 ' = 3 A, I 2 ' = 0 , I 3 ' = −2 A, I 4 ' = 0 , I 5 ' = 3 A, I 6 ' = 2 A, I 7 ' = 5 A, I 8 ' = −2 A.
I1 ' = I 5 ' =
36
36
= 4 A , − I 2"= I 4"=
= 6 A , I 8 " = I 3 "− I 2 " = 10 A
9
6
– kolejno: I 1 " = 0 , I 2 " = −6 A, I 3 " = 4 A, I 4 " = 6 A, I 5 " = 0 , I 6 " = −4 A, I 7 " = −4 A, I 8 " = 10 A.
I 3"= −I 7 "= −I 6 "=
I1" = I 5 " = 0 ,
5
1
4
2
⋅ 12 = 10 A , I 5 ' " = −
⋅ 12 = −2 A , I 2 ' " =
⋅ 12 = 8 A , I 4 ' " =
⋅ 12 = 4 A ,
1+ 5
1+ 5
2+4
2+4
6
3
I 3 '" =
⋅ 12 = 8 A , I 6 ' " =
⋅ 12 = 4 A (dzielniki prądu);
3+6
3+6
I 7 ' " = I 1 ' "− I 3 ' " = 2 A , I 8 ' " = I 3 ' "− I 2 ' " = 0
I1 '" =
– kolejno: I 1 ' " = 10 A, I 2 ' " = 8 A, I 3 ' " = 8 A, I 4 ' " = 4 A, I 5 ' " = −2 A, I 6 ' " = 4 A, I 7 ' " = 2 A, I 8 ' " = 0 .
Wyniki: I 1 = 13 A, I 2 = 2 A, I 3 = 10 A, I 4 = 10 A, I 5 = 1 A, I 6 = 2 A, I 7 = 3 A, I 8 = 8 A
(sumy wartości prądów gałęziowych w układach ze źródłami przyłączonymi osobno).
Zad. 5-3. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, korzystając z równań równowagi (metoda klasyczna).
3Ω
a)
I1 1 Ω
I7
18 V
I
III
Rozwiązanie:
I3
12 A
2Ω
I4
I5
5Ω
4Ω
II
Graf obwodu z przyjętym dendrytem (konary
narysowane grubymi liniami) oraz oznaczonymi węzłami i oczkami -
I2
I8
3
36 V
0
6Ω
I6
7
III
1
I
5
2
1
2
5
4
3
II
8
4
6
Liczba gałęzi g = 8 ; liczba pseudogałęzi h = 1 .
Liczba węzłów w = 6 . Liczba węzłów niezależnych m = w – 1 = 5 .
Liczba oczek niezależnych n = g – m = 3 .
Obrane węzły niezależne: 1, 2, 3, 4, 5 (węzeł zależny: 0); oczka niezależne: I, II, III (wrysowano
je też na schemacie obwodu, aby odczytać wartości rezystancji oraz napięć w oczkach).
I
λ
mw×1
m× g
.
.
.
.
.
Równanie równowagi względem prądów w postaci skróconej: ⋅ I = . . . . . .
g×1
R
E
l
o
n×1
n× g
Górne człony macierzy i wektora dotyczą węzłów (równań prądowych wg I prawa Kirchhoffa), zaś
dolne – oczek (równań napięciowych wg II prawa Kirchhoffa).
Równanie macierzowe można zapisać od razu albo zapisać wcześniej prawa Kirchhoffa dla kolejnych węzłów i oczek niezależnych.
190
Elektrotechnika podstawowa
Otrzymany wzór liczbowy (jednostki odpowiednio: [R..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [E..] = 1 V):
−1
0
0
0
0
1
0
0
1
2
3
4
5
I
II
III
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
0
0
−1
0
1
0
0
0
0
−1
−1
1
0
0
0
5
0
0
2
0
−4
0
0
0
0
3
0
0
−6
0
0 I 1 − 12
0 I 2 12
− 1 I 3 0
1 I 4 0
.
⋅
=
0 I 5 0
0 I 6 18
0 I 7 − 36
0 I 8 18
Jest to zapis układu równań liniowych z g niewiadomymi (którymi są wartości prądów gałęziowych). Rozwiązanie uzyskuje się ze wzorów Cramera (oczywiście można też użyć programu komputerowego do rozwiązywania układów równań liniowych). Przy 8 niewiadomych obliczenia są
bardzo pracochłonne, dlatego zostały wyznaczone wartości tylko dwóch prądów.
Wyznacznik podstawowy:
−1
0
0
0
1
0
0
0
W =
0
1
0
1
0
0
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
−1
1
0
1
0
0
0
5
0
0
0
0
2
0
−4
0
0
0
0
0
0
3
0
0
−6
0
0
= −18 2 .
Wyznaczenie wartości prądów I1 i I2 :
W1 =
W2 =
− 12
0
0
0
1
0
0
0
12
1
0
1
0
0
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
−1
1
0
18
0
0
0
5
0
0
0
− 36
2
0
−4
0
0
0
0
18
0
3
0
0
−6
0
0
−1
− 12
0
0
1
0
0
0
0
12
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−1
0
0
0
−1
0
1
0
1
0
0
0
0
−1
−1
1
0
1
18
0
0
5
0
0
0
0
− 36
0
−4
0
0
0
0
0
18
3
0
0
−6
0
0
= −18 2 ⋅ 13 ;
= −18 2 ⋅ 2 ;
I1 =
I2 =
W1
= 13 A ;
W
W2
=2 A.
W
191
Zadania
b)
3Ω
I3
12 V
I
−1
0
0
3
0
0
1
2
3
I
II
III
II
1
g = 6, h = 0,
6V
3Ω
I4 3 Ω
3 Ω I5
3Ω
Rozwiązanie:
3 Ω I2
I1
I
w = 4;
0
2
III
n = g – m = 3.
III
3
5
m = w – 1 = 3,
2
1
II
3
4
6
I6
1
1
0
0
0
−1
−1
1
−1
0
1
0
0
3
0
3
3
−3
3
0
0
0
−3
−3
0 I1 0
0 I 2 0
1 I 3 0
⋅ =
;
0 I 4 12
0 I 5 − 6
3 I 6 0
W = −27 ⋅ 16 ;
W1 = −27 ⋅ 24 ,
I 1 = 1,5 A ; . . .
Uwaga. Dla przypomnienia reguł postępowania i ocenienia nakładu pracy oraz ryzyka popełnienia
błędów (związanych silnie z liczbą zmiennych, tj. ze stopniem wyznacznika), wartości wyznaczników (zapisanych wyżej oraz innych – potrzebnych do wyznaczenia wartości pozostałych prądów)
należy obliczyć samodzielnie.
Zad. 5-4. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, posługując się metodą oczkową.
a)
3Ω
3 Ω I2
I1
I3
12 V
Io 1
3Ω
I4 3 Ω
3 Ω I5
3Ω
Io 2
(obwód z zad. 5-3b; graf i oczka – jak poprzednio)
2
1
6V
1
3
5
Io 3
4
3
I6
2
6
Rozwiązanie:
- równanie oczkowe i wyniki obliczeń dla zaznaczonych prądów oczkowych
9
−3
− 3
−3
9
−3
− 3 I o1 12
− 3 ⋅ I o 2 = − 6 ;
9 I o 3 0
W = 27 ⋅ 16 ;
W1 = 27 ⋅ 24 ,
I o1 = 1,5 A ,
W2 = 0 ,
I o2 = 0 ,
W3 = 27 ⋅ 8 ;
I o 3 = 0,5 A ;
- wartości prądów gałęziowych
I 1 = I o1 = 1,5 A ,
I 2 = I o2 = 0 ,
I 4 = I o 2 − I o 3 = −0,5 A ,
I 3 = I o1 − I o 2 = 1,5 A ,
I 5 = I o1 − I o 3 = 1 A ,
I 6 = I o 3 = 0,5 A .
192
Elektrotechnika podstawowa
b)
I1 2 Ω
1Ω
I2
I4
I5
Io1
Io2
2Ω
12 V
I3 2 Ω
24 V
(graf obwodu)
1
Io3
2Ω
30 V
2
48 V
1
2
6
5
36 V
3
4
3
I6
Rozwiązanie:
- równanie oczkowe i wyniki obliczeń dla zaznaczonych prądów oczkowych
−2
4
−2
0
W = 48 ;
0 I o1 36
− 2 ⋅ I o 2 = − 90 ;
4 I o 3 84
5
−2
W1 = 48 ⋅ 4 ,
I o1 = 4 A ,
W2 = −48 ⋅ 10 ,
I o 2 = −10 A ,
W3 = 48 ⋅ 16 ;
I o 3 = 16 A ;
- wartości prądów gałęziowych
I 1 = I o1 = 4 A ,
I 2 = I o 2 = −10 A ,
I 4 = I o 2 − I o 3 = −26 A ,
I 3 = I o 3 = 16 A ,
I 5 = I o1 − I o 2 = 14 A ,
I 6 = − I o 2 = 10 A .
Zad. 5-5. Oblicz wartość prądu I w danym obwodzie, posługując się metodą oczkową.
Uwaga. W celu ograniczenia liczby działań rachunkowych należy obrać takie oczka, aby szukany
prąd był prądem oczkowym, tzn. gałęzi z tym prądem powinna odpowiadać w grafie cięciwa.
a)
(obwód z zadania 5-4b, z inaczej obranymi oczkami niezależnymi)
1Ω
2Ω
I
2Ω
Io1
12 V
2Ω
2Ω
Io3
48 V
3
1
2
36 V
Io2
24 V
30 V
Rozwiązanie:
4
2
0
b’)
2Ω
0 I o1 36
2 ⋅ I o 2 = 30 ;
4 I o 3 84
2
5
2
W = 48 ;
W1 = 48 ⋅ 14 ;
I = I o1 = 14 A .
b”)
I
2Ω
Io1
Io2
12 V
6V
2Ω
2Ω
2Ω
I
Io1
18 V
Io2
2Ω
24 V
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
4 − 2 I o1 18 W = 12 ; W1 = 60 ;
;
⋅
=
− 2
4 I o 2 − 6 I = I o1 = 5 A .
4 2 I o1 − 18 W = 12 ; W1 = 12 ;
2 4 ⋅ I = − 42 ; I = I = 1 A .
o2
o1
193
Zadania
Zad. 5-6. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, posługując się metodą węzłową. Sporządź bilans mocy obwodu.
a)
Rozwiązanie:
2A
Liczba węzłów w = 3 .
Liczba węzłów niezależnych m = w – 1 = 2 .
2S
I2
V1
V2
1S
1S
2A
Potencjał w obranym węźle odniesienia V0 = 0 .
I3
Macierzowe równanie węzłowe – wzór liczbowy
(jednostki: [G..] = 1 S, [Iźr..] = 1 A, [V..] = 1 V):
3A
I1
W = 5;
− 2 V1 4
⋅ = ;
V0 = 0
W1 = 2 ; W2 = −7 .
3 V2 − 5
W
W
Wartości potencjałów: V1 = 1 = 0,4 V ,
V2 = 2 = −1,4 V .
W
W
Wartości napięć gałęziowych (odbiornikowych – względem prądów w konduktancjach gałęzi):
U 1 = V0 − V1 = −0,4 V ,
U 2 = V2 − V1 = −1,8 V ,
U 3 = V2 − V0 = −1,4 V .
3
− 2
I 1 = G1 ⋅ U 1 = −0,4 A ,
Wartości prądów:
I 2 = G2 ⋅ U 2 = −3,6 A ,
I 3 = G3 ⋅ U 3 = −1,4 A .
Bilans mocy:
Pgen = ∑ U źr .k ⋅ I źr .k = −U 1 ⋅ I źr .1 − U 2 ⋅ I źr .2 − U 3 ⋅ I źr .3 = 0,4 ⋅ 2 + 1,8 ⋅ 2 + 1,4 ⋅ 3 = 8,6 W ,
k
Podb = ∑ Gk ⋅ U k2 = 1 ⋅ 0,4 2 + 2 ⋅ 1,8 2 + 1 ⋅ 1,4 2 = 8,6 W ;
Pgen = Podb .
k
b)
3Ω
(12 V)
I1 V 1 3 Ω I2
I3
12 V
3Ω
I4 3 Ω
3 Ω I5
V0 = 0
3Ω
V2
(6 V+V3)
6V
V3
I6
Uwaga. Obwód rozwiązano już w zad. 5-3b i 5-4a.
Teraz zamienia się „w myśli” rzeczywiste źródła
napięciowe na źródła prądowe. Jeden z węzłów
przyjmuje się za węzeł odniesienia (V0 = 0).
W równaniu węzłowym wystąpią konduktancje
własne i wzajemne układu, związane z konduktancjami gałęzi (odwrotnościami rezystancji gałęzi),
oraz wydajności źródeł do węzłów, związane z
prądami źródeł zastępczych.
Rozwiązanie:
1
− 1
3
− 1
3
−
1
3
1
−
1
3
V1 6
⋅ V = 0 ;
2
V3 − 2
1
1
3
1
−
3
−
W =
16
;
27
V1 = 7,5 V ;
W1 =
40
;
9
W2 =
V2 = 3 V ;
16
;
9
W3 =
8
;
9
V3 = 1,5 V .
12 − 7,5
7,5 − (1,5 + 6)
7,5 − 3
1,5 − 3
= 1,5 A , I 2 =
= 0 , I3 =
= 1,5 A , I 4 =
= −0,5 A ,
3
3
3
3
3−0
1,5
I5 =
=1 A,
I6 =
= 0,5 A ;
Pgen = ∑ U źr .k ⋅ I źr .k = 12 ⋅ 1,5 − 6 ⋅ 0 = 18 W ,
3
3
k
I1 =
Podb = ∑ Rk ⋅ I k2 = 3 ⋅ (1,5 2 + 0 2 + 1,5 2 + 0,5 2 + 12 + 0,5 2 ) = 18 W ;
k
Pgen = Podb .
194
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 5-7. Oblicz wartość prądu I w danym obwodzie, stosując metodę węzłową.
a’)
2Ω
a”)
V1
I
1Ω
(0,5 S)
I
(1 S)
1Ω
(1 S)
6V
V1
3A
2Ω
(0,5 S)
12 V
3A
V0 = 0
V0 = 0
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
(0,5 + 1) ⋅ V1 = 0,5 ⋅ 6 + 3 ;
(1 + 0,5) ⋅ V1 = 1 ⋅ 12 − 3 ;
I=
V1 = 4 V ;
b’)
6−4
= 1A .
2
2Ω
6−0
= 3A .
2
V1
I
2Ω
2Ω
2Ω
2Ω
6V
12 V
I=
b”)
V1
I
2Ω
V1 = 6 V ;
24 V
18 V
V0 = 0
V0 = 0
Rozwiązanie:
Rozwiązanie:
(0,5 + 0,5 + 0,5) ⋅ V1 = 0,5 ⋅ 12 − 0,5 ⋅ 6 ;
(0,5 + 0,5 + 0,5) ⋅ V1 = 0,5 ⋅ 24 − 0,5 ⋅ 18 ;
I=
V1 = 2 V ;
c)
6Ω
12 − 2
= 5A .
2
V1 = 2 V ;
3Ω
V1
2Ω
6V
6Ω
V2
V3
9A
2
= 1A .
2
Rozwiązanie:
I
3Ω
I=
V0 = 0
1
− 1
6
− 1
3
−
1
6
1
2
0
−
1
3 V 3
1
0 ⋅ V2 = 9 ;
V − 9
1 3
2
d)
I
1Ω
7A
2Ω
4Ω
7V
14 V
(do samodzielnego rozwiązania)
Odpowiedź: I = 5 A .
13
;
72
W1 = 0 ;
W =
V1 = 0 ;
I=
6−0
= 3A.
2
195
Zadania
Zad. 5-8. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, stosując metodę oczkową.
Uwaga. Trzeba „przenieść” występujące w obwodzie „samotne” źródła prądowe (tworzące pseudogałęzie), a następnie sprowadzić wszystkie gałęzie do postaci napięciowej, rozwiązać przekształcony obwód i obliczyć brakujące prądy w obwodzie danym. Gdy w obwodzie są połączenia nieistotne, to warto je zlikwidować przed napisaniem równania (prostszy obwód – prostsze równanie).
6Ω
a)
3Ω
Rozwiązanie:
6Ω
I2
I1
2Ω
3Ω
3Ω
I2
2Ω
I1
3Ω
I5
9A
6Ω
I2
I3
6V
6Ω
I4
3Ω
I4
9A
I3
2Ω
I1
Io1
6V
6Ω
9A
6V
3Ω
I5
I3
Io2
6Ω
I4’
I5’
27 V 54 V
(obwód z zadania 5-7c)
11 − 2 I o1 21
− 2 11 ⋅ I = 60 ;
o2
3Ω
b)
I1 = 3 A ;
I2 = 3 A ;
I3 = 6 A ;
Rozwiązanie:
I8
6Ω
I7
36 V
3Ω
18 V
5Ω
I7
I5’
12 A
I4’
Io1
5Ω
I8
36 V
60 V
72 V
6
0
− 6
Io2
48 V
18 V
4Ω
I o1 = 3 A,
I3
I7’
18 V
72 V
6Ω
36 V
I6’
W1 = 108 ⋅ 9 ,
W3 = −108 ⋅ 30 ;
I o 2 = −8 A,
I 1 = 13 A,
I 2 = 2 A,
I 5 ' = 13 A,
I 6 ' = −10 A,
I o 3 = −10 A;
I 3 = 10 A,
I 7 = 3 A,
I 4 ' = −2 A,
I 8 = 8 A;
I 4 = I 4 '+12 = 10 A; I 5 = I 5 '−12 = 1 A; I 6 = I 6 '+12 = 2 A.
I8’
Io
6
−6
− 6 I o1 78
− 6 ⋅ I o 2 = 12 ;
21 I o 3 − 18 0
W2 = −108 ⋅ 24 ,
likwidacja elementów nieistotnych („czyszczenie” obwodu)
(**)
0
W = 108 ⋅ 3 ,
6 Ω I6’
3Ω
I8
36 V
6 Ω I6
2 Ω I2
Io3
I4
4Ω
12 A
I3
I1 1 Ω
I3
12 A
I5
I6
3Ω
I 5 ' = −6 A ;
2 Ω I2
(obwód z zadań 5-2b i 5-3a)
(*)
I o2 = 6 A ;
I 4 ' = −3 A ;
I1 1 Ω
I4
4Ω
I o1 = 3 A ;
I5 = 9 − 6 = 3 A .
2 Ω I2
I5
5Ω
W2 = 702 ;
I3
I1 1 Ω
18 V
W1 = 351 ;
I4 = 9 − 3 = 6 A ;
12 A
I7
W = 117 ;
18 + 60
36 − 48
= 13 A, − I 2 = I 4 ' =
= −2 A,
6
6
**) I o = −10 A, I 3 = 10 A, I 6 ' = I 7 ' = − I 8 ' = −10 A, . . .
*) I 1 = I 5 ' =
196
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 5-9. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, stosując metodę węzłową.
Uwaga. Trzeba „przenieść” źródła napięciowe występujące w gałęziach bezrezystancyjnych, a
następnie sprowadzić (można tylko „w myśli”) wszystkie gałęzie do postaci prądowej, rozwiązać
przekształcony obwód i obliczyć prądy w obwodzie danym. Gdy w obwodzie występują połączenia
nieistotne, to likwiduje się je przed napisaniem równania.
a)
Rozwiązanie:
3Ω
12 A
I1 1 Ω
I7
2 Ω I2
I5
18 V
5Ω
36 V
6
5
0
0
0
0
3
4
3
−
4
−
3
4
5
4
I5 =
b)
5Ω
I6
4A
3Ω
−
1
2
5
6
I8
9
9
9 ⋅ 13
9⋅3
; W1 = ; W2 =
; W3 =
;
5⋅4
4
5
5
V1 = 5 V , V2 = 52 V , V3 = 12 V ;
I1 =
Rozwiązanie:
2Ω
I4
I3
3A
2Ω
4A
I1
V1 3
⋅ = ,
V2 1
4Ω
6 Ω I6
V2
12 V
I2
3Ω
1Ω
W = 1,
W1 = 3 ,
3−0
= 3A,
1
I4 = 4 −1 = 3 A .
I1 =
V1
W2 = 3 ;
I2 =
3A
2Ω
I1
V0 = 0
3
2
−1
2
36 V
W =
I2
1Ω
V3
I4
18 − 5
52 − 36 − 12
= 13 A , I 2 =
= 2A,
1
2
12 + 36 − 18
52 − 12
= 10 A , I 4 =
= 10 A ,
I3 =
3
4
12 − 0
I6 =
= 2 A , I 7 = 13 − 10 = 3 A , I 8 = 10 − 2 = 8 A .
6
5−0
= 1A ,
5
I3
36 V
V0 = 0
V1 6
⋅ V = 30 ,
2
V3 − 24
I4 12 V
3Ω
V2 2 Ω I2
I5
18 V
I7
(obwód z zadań 5-2b, 5-3a i 5-8b)
12 A
I1 1 Ω V 1
I8
4Ω
I3
18 V
I4
6Ω
3Ω
I3
V1 = 3 V ,
V2 = 3 V ;
3 + 12 − 3
= 6A,
2
I3 =
3−0
= 1A ,
3
Zad. 5-10. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie, stosując zasadę superpozycji
wraz z metodami: oczkową i węzłową.
a)
Rozwiązanie:
3Ω
I4 12 V
I3
4A
3Ω
1Ω
2Ω
I2
2Ω
I1
(obwód z zadania 5-9b)
I4 ”
I4’ 12 V
3A
I3’
3Ω
I2’
Io
1Ω
2Ω
4A
I3 ”
3Ω
I1’
V0 = 0
1 Ω I1 ”
V2
I2 ”
2Ω
V1
3A
197
Zadania
I1 ' = I 2 ' = − I 3 ' = I 4 ' = I o = 2 A ,
3
2
−1
2
−
I1 = 2 + 1 = 3 A ,
b)
W2 = 9 ;
1− 0
= 1A ,
1
I 4 "= 4 − 3 = 1 A .
I 2"=
I 3 = −2 + 3 = 1 A ,
12 A
2 Ω I2
5Ω
4Ω
6 Ω I6
I8
36 V
I5’
Io1
18 V
W = 108 ⋅ 3 ,
W2 = −108 ⋅ 24 ,
I o1 = 1 A,
5Ω
I o 3 = −2 A;
Io2
36 V
I6’
I3 ”
12 A
V 2 2 Ω I2 ”
I5 ”
W3 = −108 ⋅ 6 ;
I o 2 = −8 A,
4Ω
6Ω
I1 ” 1 Ω V 1
W1 = 108 ⋅ 3 ,
I8’
I4’
5Ω
3Ω
I7 ”
2 Ω I2’
Io3
I7’
− 6 I o1 18
− 6 ⋅ I o 2 = − 36 ,
21 I o 3 0
6
−6
I3’
I1’ 1 Ω
I4
9−0
= 3A,
3
I3"=
3Ω
I3
I5
0
9 −1
= 4A,
2
V2 = 9 V ;
I4 = 2 +1 = 3 A .
(obwód z zadań 5-2b, 5-3a, 5-8b i 5-9a)
6
0
− 6
V1 = 1 V ,
Rozwiązanie:
I1 1 Ω
I7
W1 = 1 ,
I1" =
I2 = 2 + 4 = 6 A ,
3Ω
18 V
W = 1,
V1 − 3
⋅ = ,
V2 7
1
2
5
6
I4 ”
6 Ω I6 ”
4Ω
V3
I8 ”
V0 = 0
I 1 ' = 3 A, I 2 ' = −6 A, I 3 ' = 2 A, I 4 ' = 6 A, I 5 ' = 3 A, I 6 ' = −2 A, I 7 ' = 1 A, I 8 ' = 8 A
(można uprościć obliczenia usuwając połączenia nieistotne – jak w zad. 5-8b, wersja druga).
9
9
9⋅6
W =
; W1 = − ; W2 = 18 ; W3 =
;
6
0
0
5
⋅
4
2
5
5
V1 − 12
V1 = −10 V , V2 = 40 V , V3 = 24 V ;
3
3
0
−
⋅ V 2 = 12 ,
0 − (−10)
40 − 24
4
4
I1" =
= 10 A , I 2 " =
=8A,
V3 0
1
2
3
5
0
−
24 − 0
40 − 24
4
4
= 8 A , I 4"=
= 4A,
I3"=
3
4
− 10 − 0
24 − 0
I5"=
= −2 A , I 6 " =
= 4 A , I 7 " = 10 − 8 = 2 A , I 8 " = 8 − 8 = 0 ;
5
6
I 1 = 13 A, I 2 = 2 A, I 3 = 10 A, I 4 = 10 A, I 5 = 1 A, I 6 = 2 A, I 7 = 3 A, I 8 = 8 A.
c)
6Ω
3Ω
Odpowiedź:
I2
I1
2Ω
6V
6Ω
3Ω
I4
I3
9A
I5
I1 = 3 A ,
I2 = 3 A ,
I4 = 6 A ,
I5 = 3 A .
I3 = 6 A ,
(obwód z zadań 5-7c i 5-8a
– do samodzielnego rozwiązania)
198
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 5-11. Oblicz wartość prądu I w danym obwodzie, stosując twierdzenie Thevenina i metodę
węzłową.
1Ω
2Ω
a)
2Ω
I
24 V
I
48 V
36 V
30 V
Rw
V1
U0
48 V
12 V
24 V
36 V
30 V
V0 = 0
(obwód z zadania 5-5a)
12 − 30 36 48
1 1 1
+
−
;
+ + ⋅ V1 =
3
2
2
3 2 2
V1 = −9 V ;
− 9 − 12 + 30
= 3A ;
U 0 = 12 + 2 ⋅ 3 = 18 V ;
3
18 + 24
Rw = 1 Ω ;
I=
= 14 A.
1+ 2
3Ω
3Ω
3Ω
3Ω
Rw
3Ω
3Ω
6V
3Ω
3Ω
2Ω
3Ω
U0
12 V
2Ω
Rw
Rozwiązanie:
3Ω
1Ω
2Ω
Ix =
b)
2Ω
2Ω
Ux
2Ω
U0
1Ω
Ix 2 Ω
2Ω
2Ω
12 V
Rozwiązanie:
3Ω
I
I
3Ω
Rw
3Ω
V1
(obwód z zadania 5-6b)
12 V
12 6
1 1 1
+ ; V1 = 4,5 V ;
+ + ⋅ V1 =
6 6
6 3 6
3Ω 6V
Iy 3 Ω
Ix 3 Ω
3Ω
9Ω
V0 = 0
Ix =
− 4,5 + 12
= 1,25 A ;
6
Iy =
4,5 − 6
= −0,25 A ; U 0 = 3 ⋅ 1,25 − 3 ⋅ 0,25 = 3 V,
6
3Ω
9Ω
9Ω
Rw
U0
Rw =
3Ω
3
9 ⋅ (2 ⋅ 2,25)
= 3 Ω, I =
= 0,5 A.
9 + 2 ⋅ 2,25
3+3
Zad. 5-12. Oblicz wartość prądu I w danym obwodzie, stosując twierdzenie Thevenina (układy z
zad. 5-7 i 5.10a).
a’)
2Ω
Rozwiązanie:
I
2Ω
6V
1Ω
3A
I
U0
3A
3A
1Ω
U0
6V
U 0 = −1 ⋅ 3 = −3 V ;
Rw = 1 Ω ;
−3+6
I=
= 1 A.
1+ 2
Rw
Rw
1Ω
199
Zadania
a”)
b’)
1Ω
I
12 V
2Ω
b”)
I
2Ω
3A
2Ω
6V
12 V
2Ω
2Ω
24 V
18 V
10,5 A
2Ω
U0
2Ω
2Ω
U0
3A
6V
1,5 A
2Ω
U0
24 V
18 V
U 0 = 12 − 1 ⋅ 3 = 9 V ;
U 0 = 2 ⋅ 1,5 = 3 V ;
U 0 = 2 ⋅ 10,5 − 18 = 3 V ;
Rw = 1 Ω ;
9
I=
= 3A .
1+ 2
Rw = 1 Ω ;
3 + 12
= 5A.
I=
1+ 2
Rw = 1 Ω ;
3
I=
= 1A .
1+ 2
6Ω
c)
I
Rozwiązania:
3A 1Ω
12 V
2Ω
2Ω
3Ω
Rozwiązanie:
6Ω
I
2Ω
U 0 = 6 ⋅ 4,5 − 3 ⋅ 4,5 = 13,5 V ;
4,5 A
6V
3Ω
3Ω
U0
3Ω
6Ω
Rw = 4,5 Ω ;
6Ω
4,5 A
9A
I=
9A
d)
13,5 + 6
= 3A .
4,5 + 2
Rozwiązanie:
I
1Ω
7A
4Ω
2Ω
7V
14 V
U0 =
e’)
Odpowiedź:
1Ω
7A
2Ω
U0
Rw =
2
Ω;
3
I
12 V
28
+ 14
3
I=
= 5A .
2
+4
3
e”)
12 V
1Ω
3A
2Ω
2Ω
14 V
7V
2
28
⋅ 14 =
V (dzielnik napięcia);
3
3
I
4A
3Ω
1Ω
4A
3Ω
I = 3 A.
1Ω
3A
2Ω
Odpowiedź:
(do samodzielnego rozwiązania)
I = 1 A.
U0
200
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 5-13. Oblicz wartość prądu I w danym obwodzie, stosując twierdzenie Nortona (układ z
zad. 5.11b).
Rozwiązanie:
3Ω
3Ω
3Ω
3Ω
12 V
3Ω
6V
Io 1
12 V
3Ω
Rw ; Gw
Ia
3Ω
3Ω
Iz
3Ω
I
6V
Io 2
3Ω
3Ω
Ib 3 Ω
I
U0
Uwaga. Wartość rezystancji wewnętrznej Rw źródła zastępczego można obliczyć ze stosunku napięcia jałowego U0 i
prądu zwarcia Iz – inaczej niż w zadaniu 5.11b. Wartość U0
można też obliczyć inaczej, np. stosując metodę oczkową.
W = 72 ;
W1 = 90 ;
9 − 3 I o1 12
− 3 9 ⋅ I = − 6 ;
o2
I a = I o1 = 1,25 A ;
1
−2
3
−
I b = I o 2 = −0,25 A ;
V1 6
⋅ = ;
V2 − 6
2
3
4
3
I z = 1,75 − 0,75 = 1 A .
W2 = −18 .
3 Ω V1 3 Ω
Ic
12 V
V2
U0 = 3 V .
Id
3Ω
3Ω
3Ω
Iz
V0 = 0
6V
(V2)
8
; W1 = 4 ; W2 = −2 ; V1 = 4,5 V ; V2 = −2,25 V ;
9
− 2,25 + 12 − 4,5
− 2,25
Ic =
= 1,75 A ; I d =
= −0,75 A ;
3
3
U
Rw = 0 = 3 Ω ;
I = 0,5 A .
Iz
W =
Zad. 5-14. Dobierz taką wartość rezystancji R, aby wydzielała się w niej największa moc. Oblicz
wartości prądu i mocy dopasowania.
Uwaga. Część zewnętrzną obwodu względem R należy – korzystając z twierdzenia Thevenina –
przedstawić jako zastępcze źródło napięciowe i wyznaczyć jego parametry.
a)
Rozwiązanie:
2Ω
4Ω
10 V
I
I
2Ω
4Ω
2A
U0
R
U 0 = 20 − 3 ⋅ 2 = 14 V ,
R = Rdop = Rw = 2 Ω ;
U0
= 3,5 A ;
R + Rw
20 V
3Ω
20 V
20 − 10 + 8
I0 =
= 2A,
3+ 2+ 4
I=
U0
10 V
R
3Ω
2A
Rw
Rw = 2 Ω
6Ω
Rw
3Ω
I0
2Ω
4Ω
10 V
8V
U0
P = R ⋅ I 2 = 24,5 W .
3Ω
20 V
201
Zadania
6. OBWODY PRĄDU STAŁEGO Z GAŁĘZIĄ NIELINIOWĄ
Zad. 6-1. Dana jest – w postaci tablicy i wykresu – zależność I = fR (E), wyznaczona doświadczalnie dla źródła napięciowego o stałej rezystancji wewnętrznej Rw = 2 Ω i regulowanym napięciu E,
zasilającego rezystor nieliniowy. Wyznacz charakterystykę rezystora nieliniowego I = f (U) .
I
Rw
U
(R)
E
0,6
Obliczenia:
U = E − Rw ⋅ I
(wyniki obliczeń
- w tablicy)
I
A
0,4
0,2
Dane
E (V)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Obliczone
U (V)
0,000
1,988
3,924
5,802
7,638
9,455
11,274
13,111
14,977
16,876
18,812
I (A)
0,000
0,006
0,038
0,099
0,181
0,273
0,363
0,445
0,512
0,562
0,594
E
0,0
0
5
10
15
V
20
0,6
I
A
0,4
0,2
U
0,0
0
5
10
15
V
20
Zad. 6-2. Rezystancja nieliniowa z poprzedniego zadania jest połączona: a) szeregowo, b) równolegle, z rezystancją liniową R1 = 20 Ω (G1 = 0,05 S). Wyznacz charakterystyki wypadkowych rezystancji tych układów .
a)
Ia = I2
Ua
R1
U1
b)
U2
(R2)
Obliczenia:
U a = U 2 + R1 ⋅ I 2
(wyniki obliczeń
- w tablicy)
Ib
I1
Ub = U2
R1
Obliczenia:
I b = I 2 + G1 ⋅ U 2
(R2) (wyniki obliczeń
- w tablicy)
I2
Uwaga. Procedurom obliczeniowym odpowiada dodawanie: a) odciętych, b) rzędnych, wykresów
funkcji I = I (U) dla R1 i R2 .
Dane
U2 (V) I2 (A)
0,00
0,000
1,99
0,006
3,92
0,038
5,80
0,099
7,64
0,181
9,45
0,273
11,27
0,363
13,11
0,445
14,98
0,512
16,88
0,562
18,81
0,594
Obliczone
Ua (V) Ib (A)
0,00
0,000
2,11
0,106
4,68
0,234
7,78
0,389
11,26
0,563
14,91
0,745
18,54
0,927
22,00
1,100
25,21
1,261
28,11
1,406
30,70
1,535
1,6
A
1,4
I
b
1,2
1
1
0,8
0,6
2
0,4
a
0,2
U
0
0
5
10
15
V
20
202
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 6-3. Rezystancja nieliniowa o danej charakterystyce I2 = f (U2) jest połączona szeregowo z
rezystancją liniową R1 = 10 Ω i źródłem napięciowym o parametrach Rw i E . Wyznacz:
a) wartość E, jeśli znane są Rw = 1 Ω i I = 0,5 A;
2,5
A I
b) wartość Rw , jeśli znane są I = 0,6 A i E = 24 V;
2,0
c) wartość I, jeśli znane są Rw = 1 Ω i E = 24 V.
I1
R1
I2
1,5
I = I1 = I2
1,0
Rw
U = U2
I
(R2)
E
0,5
U
0,0
0
Rozwiązania:
a) z wykresu I2 = f (U) – jeśli I =I2 = 0,5 A , to U = U2 = 15,9 V ,
więc E = U + ( Rw + R1 ) ⋅ I = 21,4 V ;
5
10
20 V
15
25
b) z wykresu I2 = f (U) – jeśli I =I2 = 0,6 A , to U = U2 = 16,9 V ,
E −U
− R1 = 1,83 Ω ;
więc Rw =
I
E −U
c) w punkcie przecięcia charakterystyk I2 = f (U) i I 1 =
otrzymuje się I ≅ 0,63 A ;
Rw + R1
inaczej (analitycznie) – korzystając z charakterystyki wypadkowej E ( I ) = U + ( Rw + R1 ) ⋅ I
i stosując interpolację liniową dla E = 24 V (przedziały interpolacji oznaczone w tablicy):
U (V)
16
17
18
I (A)
0,51
0,61
0,73
I = 0,61 + (0,73 − 0,61) ⋅
E (V)
21,61
23,71
26,03
24 − 23,71
≅ 0,63 A .
26,03 − 23,71
Zad. 6-4. W celu stabilizacji prądu w rezystancji Ro = 24,5 Ω zasilanej ze źródła napięciowego o
rezystancji wewnętrznej Rw = 0,5 Ω i napięciu E , włączono szeregowo do obwodu bareter o znanej
charakterystyce I = f (U). Wyznacz graniczne wartości prądu przy możliwych zmianach wartości
napięcia E w przedziale między 21 i 27 V.
(R)
Rw
1,2
A
1,0
I
U
Ro
E
I
0,8
0,6
f (U )
0,4
I. Rozwiązanie metodą przecięcia
charakterystyk, wynikające z warunku
E −U
I = f (U ) =
.
Rw + Ro
0,2
U
0,0
0
5
10
15
20
25
V
30
203
Zadania
Określenie granicznych wartości prądu w obwodzie wprost z wykresów jest mało dokładne. Lepiej
odczytać wartości graniczne napięcia na bareterze, równe mniej więcej 10,1 i 15,1 V. Następnie,
korzystając z tablicy wartości funkcji I = f (U), wyznaczyć szukane wartości przez interpolację:
U (V)
I (A)
10
0,432
11
0,445
I ' = 0,432 + (0,445 − 0,432) ⋅
12
0,455
13
0,463
14
0,470
15
0,475
16
0,480
10,1 − 10
15,1 − 15
≅ 0,433 A ; I " = 0,475 + (0,480 − 0,475) ⋅
≅ 0,476 A .
11 − 10
16 − 15
II. Rozwiązanie „czysto” numeryczne (bez rysowania wykresów), z wykorzystaniem charakterystyki wypadkowej E = U + ( Rw + Ro ) ⋅ I . Obliczane są wartość E dla kolejnych wartości U i I baretera, a wynik obliczenia – konfrontowany z zadaną wartością E .
U (V)
9
10
11
14
15
16
I (A)
0,417
0,432
0,445
0,470
0,475
0,480
E (V)
19,43
20,81
22,11
25,74
26,88
27,99
21 − 20,81
≅ 0,434 A ;
22,11 − 20,81
27 − 26,88
I " = 0,475 + (0,480 − 0,475) ⋅
≅ 0,476 A .
27,99 − 26,88
I ' = 0,432 + (0,445 − 0,432) ⋅
Uwaga. Przy obecnych możliwościach obliczeniowych, postępowanie numeryczne jest wyraźnie
efektywniejsze niż stosowanie metody wykreślnej, tym bardziej że zależności nieliniowe są zazwyczaj dane w postaci tablic oraz w jednym i drugim wypadku do ostatecznego wyniku dochodzi się
przez interpolację.
Zad. 6-5. W celu stabilizacji napięcia na rezystancji Ro = 100 Ω zasilanej ze źródła napięciowego o
rezystancji wewnętrznej Rw = 1 Ω i napięciu E , dołączono do obwodu szeregowo rezystancję
Rs = 4 Ω i równolegle do Ro warystor o znanej charakterystyce U = f (I). Wyznacz graniczne wartości napięcia na Ro przy możliwych zmianach wartości napięcia E w przedziale między 21 i 27 V.
Rs
IE
I
Rw
U
Ro
(R)
E
Rozwiązanie. Najpierw jest wyznaczana, w sposób numeryczny, charakterystyka zastępcza IE (U) układu równoległego warystora i rezystancji Ro , a następnie – charakterystyka wypadkowa E (IE) . Do wyniku dochodzi się przez interpolację.
U
Zależności: I E = I +
; E = U + ( Rw + Rs ) ⋅ I E .
Ro
25
U
V
20
15
10
5
I
0
0,0
0,5
1,0
A
1,5
I (A)
U (V)
IE (A)
E (V)
0,40
0,45
0,50
1,15
1,20
1,25
17,29
17,89
18,36
19,94
19,95
19,96
0,573
0,629
0,684
1,349
1,400
1,450
20,16
21,04
21,78
26,68
26,95
27,21
204
Elektrotechnika podstawowa
21 − 20,16
≅ 17,86 V ;
21,04 − 20,16
27 − 26,95
U " = 19,95 + (19,96 − 19,95) ⋅
≅ 19,95 V .
27,21 − 26,95
U ' = 17,29 + (17,89 − 17,29) ⋅
Zad. 6-6. Rezystancja nieliniowa o danej charakterystyce I = f (U) jest włączona szeregowo do obwodu złożonego z rezystancji R1 = 40 Ω i napięcia źródłowego E1 = 24 V. Wyznacz wartość prądu
w obwodzie linearyzując charakterystykę w przedziale spodziewanego rozwiązania.
R1
I
0,8
I
A
0,6
U
E
(R)
0,4
Rozwiązanie:
0,2
R1
I
U
0,0
0
R2
U
E1
V
15
20
U − 3,9
; [I] = 1A , [U] = 1V ;
20,4
przedział linearyzacji 0,1 ÷ 0,45 A ;
I=
E2 = 3,9 V ;
10
Równanie prostej: I =
E2
R2 = 20,4 Ω ;
5
E1 − E 2
24 − 3,9
=
≅ 0,33 A (leży w przedziale linearyzacji).
R1 + R2 40 + 20,4
Zad. 6-7. Oblicz wartości prądów gałęziowych w danym obwodzie z rezystorem nieliniowym o
znanym wykresie charakterystyki I2 (U2) , symetrycznym względem początku układu U-I .
3Ω
6V
Rozwiązanie: Korzysta się z twierdzenia Thevenina, by przestawić
część liniową obwodu jako zastępcze źródło napięciowe. Wyznaczenie wartości parametrów tego źródła
nie sprawia kłopotu: I 0 = 1 A , więc
6⋅3
U 0 = 6 V ; zaś Rw =
= 2 Ω.
6+3
I2
I1
I3
U2
6Ω
3V
I5
3,5
A
3,0
I4
3A
I
I2 (U2)
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
U
0,0
0
2
4
6
V
8
3Ω
I0
6V
U0
6Ω
3V
3A
Współrzędne punktu przecięcia
I2
Rw
na płaszczyźnie U-I , prostej
U2
przedstawiającej zależność
U0
U0 −U
f (U ) =
,
Rw
z charakterystyką I2 (U2) , to: I 2 = 1,4 A ; U 2 = 3,2 V
(oczywiście, można też uzyskać ten wynik numerycznie).
3,2 − 3
3,2 + 6
Inne prądy: I 1 =
≅ 0,07 A; I 4 =
≅ 1,53 A;
3
6
I 3 = 1,53 − 3 = −1,47 A; I 5 = 1,53 + 1,4 = 2,93 A.
205
Zadania
7. OBWODY MAGNETOSTATYCZNE (NIELINIOWE)
Zad. 7-1. Dana jest charakterystyka magnesowania Hst = f (B) stali transformatorowej (blach transformatorowych). Wyznacz zastępcze charakterystyki magnesowania rdzeni wykonanych z tej stali,
przy istnieniu szczelin montażowych między blachami na drodze strumienia głównego. Długość
szczelin, odniesiona do średniej drogi strumienia w rdzeniu, wynosi: a) 0,25 mm/m, b) 0,5 mm/m.
Rozwiązanie:
l
l
∆l
Φ
B
Hst
Φ
≡
S
S
B
H
Hp
Uµ
Uµ
U µ = ∑ H k ⋅ l k = H st ⋅ (l − ∆l ) + H p ⋅ ∆l =H st ⋅ (l − ∆l ) +
k
B
∆l
wzór „przeliczeniowy”: H = H st +
;
− H st ⋅
µ0
l
B
µ0
⋅ ∆l ≡ H ⋅ l , gdzie µ 0 = 4π ⋅ 10 −7 H/m ;
∆l
a)
l
= 0,25 ⋅ 10 −3 , b)
∆l
l
= 0,5 ⋅ 10 −3 ;
poniżej – w tablicy i na wykresach – zależność dana Hst = f (B) i zależności „przeliczone” H = f (B).
B
(T)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
stal
0
30
50
60
80
100
120
145
170
210
270
375
525
800
1250
2250
4500
8000
13100
22500
H (A/m)
rdzeń 0,25
0
50
90
120
160
199
239
284
329
389
469
594
764
1058
1528
2548
4817
8336
13455
22872
1,4
rdzeń 0,5
0
70
130
179
239
299
359
423
488
568
668
812
1002
1317
1806
2846
5134
8672
13810
23245
B
T
1,2
1,0
stal
0,8
rdzeń 0,25
rdzeń 0,5
0,6
0,4
0,2
H
0,0
0
200
400
Zad. 7-2. Oblicz przepływ Θ = z ⋅ i potrzebny do wytworzenia indukcji B = 1 T w rdzeniu ferromagnetycznym o przekroju poprzecznym S (jednakowym w jarzmach i kolumnach). Średnia droga strumienia w rdzeniu l = 1 m. Charakterystyka magnesowania – z poprzedniego zadania, opatrzona symbolem „rdzeń 0,25”.
Rozwiązanie: B = 1 T → H = 469 A/m ;
Θ = U µ = H ⋅ l = 469 A .
600
800 1000 1200 1400 A/m
B, H
i
Φ
S
z
l
206
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 7-3. Oblicz przepływ Θ potrzebny do wytworzenia indukcji
B = 1 T w rdzeniu ferromagnetycznym ze szczeliną powietrzną. Średnia droga strumienia: w rdzeniu l = 100 cm, w szczelinie lp = 4 mm.
Przekrój szczeliny jest równy przekrojowi rdzenia. Charakterystyka
magnesowania – z zadania 7-1, opatrzona symbolem „rdzeń 0,25”.
B
Rozwiązanie: Θ = H ⋅ l +
µ0
⋅ l p = 469⋅1+
B, H
S
Φ
Θ
lp
z
1
⋅ 4 ⋅10−3 ≅ 3652A .
4π ⋅10−7
l
Zad. 7-4. Przepływ Θ w magnetowodzie z poprzedniego zadania wynosi 5000 A. Przekroje szczeliny oraz rdzenia mają wartość S = 16 cm2. Oblicz wartość strumienia Φ .
B, H
Rozwiązanie:
S = Sż = S p ;
Bp = B ;
Φ
Φ = B⋅S ;
Θ
Θ = U µ .ż + U µ . p = H ⋅ l +
Φ
S
B
µ0
Rµ .p
lp
z
⋅lp .
U µ. p = Θ − U µ .ż ,
1,6
µ0
lp
B
1,4
1,2
⋅lp = Θ − H ⋅l ,
Bp =
1
Bp
0,8
⋅ (Θ − H ⋅ l ) = π ⋅ 10 − 4 ⋅ (5000 − H ) ,
rozwiązanie graficzne: B p = B ≅ 1,27 T ;
Φ = B ⋅ S ≅ 2,03 ⋅ 10 Wb .
−3
0,6
0,4
0,2
H
0
0
II. Metoda charakterystyki wypadkowej B (Uµ )
B
Uµ = H ⋅l +
⋅ l ; rozwiązanie numeryczne: Θ = U µ
µ0
B, T
H , A/m
Uµ , A
0,9
389
3254
B = 1,2 + (1,3 − 1,2) ⋅
1
469
3652
1,1
594
4095
5000 − 4584
≅ 1,268 T ;
5196 − 4584
1000
2000
3000
4000
5000 A/m
6000
→ B.
1,2
764
4584
1,3
1058
5196
Φ = B ⋅ S ≅ 2,03 ⋅ 10 −3 Wb .
III. Metoda „zera funkcji” (iteracyjna)
B
f ( B) = Θ − H ⋅ l −
⋅l ;
rozwiązanie numeryczne: f ( B) = 0 → B .
µ0
B, T
H , A/m
f ( B) , A
(Rµ .ż)
l
1,8
T
µ0
Uµ .ż
Θ
I. Metoda przecięcia charakterystyk
Bp
Uµ .p
0,9
389
1746,2
B = 1,2 + (1,3 − 1,2) ⋅
1
469
1347,9
1,1
594
904,6
416,3
≅ 1,268 T ;
416,3 + 196,0
1,2
764
416,3
1,3
1058
-196,0
Φ = B ⋅ S ≅ 2,03 ⋅ 10 −3 Wb .
207
Zadania
Zad. 7-5. Oblicz przepływ potrzebny do wytworzenia indukcji Bp = 0,5 T w szczelinie powietrznej
trzykolumnowego rdzenia ferromagnetycznego. Drogi strumienia magnetycznego: l1 = l2 = 100 cm,
l3 = 50 cm, lp = 4 mm. Przekroje rdzenia i szczeliny na drodze strumienia: S1 = S2 = Sp = 16 cm2,
S3 = 10 cm2. Charakterystyka magnesowania – z zadania 7-1, opatrzona symbolem „rdzeń 0,25”.
Φ2
Φ1
l1
Φ2
Φ3
Φ1
Θ1
l3
l2 /2
(Rµ .1)
lp
Θ1
l2 /2
Uµ 1
(Rµ .2)
Φ3 U
µ2
Uµ 3
(Rµ .3)
Uµ .p
Rµ .p
B, T
H, A/m
B, T
H, A/m
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
160
199
239
284
329
389
469
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
594
764
1058
1528
2548
4817
8336
Rozwiązanie:
Φ p =Φ 2= B p ⋅ S p = 0,5 ⋅ 16 ⋅ 10 −4 = 0,8 ⋅ 10 −3 Wb ;
U µ 3 = U µ 2 + U µ. p = H 2 ⋅ l2 +
H3 =
U µ3
=
l3
Bp
⋅ l p = 199 ⋅ 1 +
µ0
1790,5
= 3581 A/m →
0,5
B p = B2 = 0,5 T →
H 2 = 199 A/m ;
0,5
⋅ 4 ⋅ 10 −3 ≅ 1790,5 A ;
−7
4π ⋅ 10
B3 = 1,5 + (1,6 − 1,5) ⋅
3581 − 2548
≅ 1,5455 T ;
4817 − 2548
Φ 3 = B3 ⋅ S 3 = 1,5455 ⋅ 10 ⋅ 10 −4 = 1,5455 ⋅ 10 −3 Wb ; Φ 1 = Φ 2 + Φ 3 = 2,346 ⋅ 10 −3 Wb ;
B1 =
Φ1
S1
=
2,346 ⋅ 10 −3
≅ 1,466 T
16 ⋅ 10 − 4
→
U µ1 = H 1 ⋅ l1 = 2200,8 ⋅ 1 = 2200,8 A ;
H 1 = 1528 + (2548 − 1528) ⋅
1,466 − 1,4
≅ 2200,8 A/m ;
1,5 − 1,4
Θ1 = U µ1 + U µ 3 = 2200,8 + 1790,5 ≅ 3991 A .
Zad. 7-6. Przepływ Θ1 w układzie z poprzedniego zadania wynosi 5000 A. Oblicz wartość indukcji
w szczelinie Bp .
Rozwiązanie metodą charakterystyki wypadkowej Bp(Θ1 ):
- procedura obliczeniowa (jak w poprzednim zadaniu)
Φ p =Φ 2= B p ⋅ S p ;
H3 =
B1 =
U µ3
Φ1
S1
H3 → B3 ;
;
l3
;
Bp → H2 ;
B1 → H1 ;
U µ 3 = U µ 2 + U µ. p = H 2 ⋅ l2 +
Bp
µ0
⋅lp ;
Φ 1 = Φ 2 + Φ 3 = Φ 2 + B3 ⋅ S 3 ;
Θ1 = U µ1 + U µ 3 = H 1 ⋅ l1 + U µ 3 ;
- obliczenie Bp przez interpolację dla Θ = 5000 A .
Bp (T)
0,5
0,6
Φp (mWb) H2 (A/m) Uµ3 (A) H3 (A/m)
0,80
0,96
199
239
1790,5
2148,9
3581
4298
B p = 0,5 + (0,6 − 0,5) ⋅
B3 (T)
1,5455
1,5771
Φ1 (mWb)
2,346
2,537
B1 (T)
1,466
1,586
5000 − 3991
≅ 0,538 T .
6641 − 3991
H1 (A/m)
2200,8
4492,4
Θ1 (A)
3991
6641
208
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 7-7. Na środkowej kolumnie rdzenia z poprzedniego zadania (l1 = l2 = 100 cm, l3 = 50 cm,
lp = 4 mm, S1 = S2 = Sp = 16 cm2, S3 = 10 cm2, „rdzeń 0,25”) umieszczono uzwojenie wytwarzające
przepływ Θ3 . Jaka powinna być jego wartość, aby indukcja w szczelinie Bp była równa 1 T?
Φ2
Φ1
l1
Φ2
Φ3
Φ1
Θ1
Φ3
l2 /2
Uµ 1
lp
Θ3
l2 /2
l3
Θ3 U µ
Θ1
Uµ 2
Uµ .p
Uµ 3
B, T
H, A/m
B, T
H, A/m
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
160
199
239
284
329
389
469
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
594
764
1058
1528
2548
4817
8336
Rozwiązanie:
Φ p =Φ 2= B p ⋅ S p = 1 ⋅ 16 ⋅ 10 −4 = 1,6 ⋅ 10 −3 Wb ;
U µ = U µ 2 + U µ. p = H 2 ⋅ l2 +
Bp
µ0
1
⋅ 4 ⋅ 10 −3 ≅ 3652 A ;
4π ⋅ 10 −7
U µ1 1348
H1 =
=
= 1348 A/m ;
l1
1
1348 − 1058
≅ 1,362 T ;
1528 − 1058
Φ 1= B1 ⋅ S1 = 1,362 ⋅ 16 ⋅ 10 −4 = 2,179 ⋅ 10 −3 Wb ;
Φ 3 = Φ 1 − Φ 2 = (2,179 − 1,6) ⋅ 10 = 0,579 ⋅ 10 Wb ;
−3
H 3 = 199 + (239 − 199) ⋅
H 2 = 469 A/m ;
⋅ l p = 469 ⋅ 1 +
U µ1 = Θ1 − U µ = 5000 − 3652 = 1348 A ;
B1 = 1,3 + (1,4 − 1,3) ⋅
B p = B2 = 1 T →
−3
Φ3
0,579 ⋅ 10 −3
B3 =
=
= 0,579 T ;
S3
10 ⋅ 10 − 4
0,579 − 0,5
≅ 230 A/m ;
0,6 − 0,5
Θ 3 = U µ − U µ 3 = U µ − H 3 ⋅ l 3 = 3652 − 230 ⋅ 0,5 = 3537 A .
Zad. 7-8. Oblicz wartości przepływów Θ1 i Θ3 układzie jw., przy których: Bp = 1 T i Φ3 = 0 .
Rozwiązanie:
Φ3 = 0 → H3 = 0 → Uµ 3 = 0 → Θ 3 = U µ = H 2 ⋅ l 2 +
Bp
µ0
⋅ l p = 3652 A ;
Φ1 = Φ2 , S1 = S2 → B1 = B2 = 1 T → H1 = 469 A/m
Θ1 = U µ + H 1 ⋅ l1 = 3652 + 469 ⋅ 1 = 4121 A .
Zad. 7-9. Oblicz wartości przepływów Θ1 i Θ3 układzie jw., przy których: Bp = 1 T i Φ1 = –Φ3 .
Rozwiązanie:
U µ = H 2 ⋅ l2 +
B1 =
B3 =
Φ1
S1
Φ3
S3
Bp
µ0
⋅ l p = 3652 A ;
Φ 2 = Φ p = 1,6 ⋅ 10 −3 Wb ; Φ 1 = −Φ 3 =
Φ2
2
= 0,8 ⋅ 10 −3 Wb ;
=
0,8 ⋅ 10 −3
= 0,5 T → H1 = 199 A/m ; Θ1 = U µ + H 1 ⋅ l1 = 3652 + 199 ⋅ 1 = 3851 A ;
16 ⋅ 10 − 4
=
− 0,8 ⋅ 10 −3
= −0,8 T → H3 = –329 A/m ; Θ 3 = U µ − H 3 ⋅ l 3 = 3652 + 329 ⋅ 0,5 ≅ 3817 A .
10 ⋅ 10 − 4
209
Zadania
8. PARAMETRY OKRESOWYCH PRZEBIEGÓW PRĄDU I NAPIĘCIA
Zad. 8-1. Dane są wykresy funkcji okresowych, przedstawiających przebiegi czasowe prądu lub
napięcia. Oblicz wartości średnie, wartości skuteczne i wartości wyprostowane oraz wartości
współczynników szczytu i kształtu tych przebiegów.
a)
Rozwiązanie:
i
A
i ( x) = 8 x dla 0 < x <
2
1
i (t ) = ∫ i ( x) dx = 1 ⋅
x=t/T
0
1/4
1/2
0
1
1
∫i
I=
-2
I = ∫ i dx = 1 ⋅
0
b)
A
1
1
+ 2 ⋅ = 1,5 A ;
2
2
k sz .i =
i max
I
i max = 2 A ;
1
1
− 2 ⋅ = −0,5 A ;
2
2
1/ 4
2
dx = 2 ∫ 8 2 x 2 dx + 2 2 ⋅
0
1
1
;
4
0
= 1,5 ≅ 1,225 ;
1
8
=
≅ 1,633 A ;
2
3
k k .i =
I
4
=
≅ 1,089 .
I 3 1,5
i
Odpowiedź:
4
i (t ) = I = 1,5 A ;
2
k sz .i ≅ 1,85 ;
I=
14
≅ 2,160 A ;
3
k k .i ≅ 1,44 .
x=t/T
0
c)
V
1/4
1/2
1
u
Odpowiedź:
200
u (t ) = 50 V ;
x=t/T
0
-100
k sz .u ≅ 1,265 ;
1
1/2
U ≅ 158,1 V ;
U = 150 V ;
k k .u ≅ 1,054 .
d)
V
100
Rozwiązanie:
u
π
1
100
u (t ) = U =
100 sin x dx =
≅ 31,8 V ;
∫
2π 0
π
100⋅sin x
x =ω t
0
π
2π
U=
π
1
1 π
100 2 ⋅ sin 2 x ⋅ dx = 100
⋅ = 50 V ;
∫
2π 0
2π 2
k sz .u = 2 ;
k k .u =
π
2
≅ 1,571 .
210
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 8-2. Dane są wykresy funkcji okresowych przemiennych, przedstawiających przebiegi czasowe prądu lub napięcia. Oblicz wartości skuteczne i wartości wyprostowane oraz wartości współczynników szczytu i kształtu tych przebiegów.
a)
A
i
Rozwiązanie:
0,5-xm
0
x’
(1) 0 < x < x m : i ( x) =
1
x=t/T
0
xm
0,5
(2) x m < x < 0,5 : 0 < x' < 0,5 − x m , i ( x' ) =
1
I = 0,5 A ;
-1
I=
x
;
xm
x'
;
0,5 − x m
i max = 1 A ;
0 , 5 − xm
xm 1 2
1
1
2
2 ⋅ ∫ 2 x dx + ∫
(
x
'
)
dx
'
≅ 0,577 A ;
=
2
3
(0,5 − xm )
0
0 x m
k sz .i = 3 ≅ 1,732 ;
k k .i =
2
3
≅ 1,155 .
Uwaga. Jak widać, parametr x m ∈ [0, 0,5] nie ma wpływu na wartości I , I oraz ksz.i i kk.i .
b)
i
A
Rozwiązanie:
1
i ( x) = 3x dla 0 < x <
x=t/T
0
1/3
2/3
1/ 3
I = 2 ∫ 3 2 x 2 dx + 12 ⋅
1
0
-1
I=
k sz .i =
c)
V
3
5
1
5
=
≅ 0,745 A ;
3
3
1 2
1 2
⋅ + 1 ⋅ = = 0,667 A ;
2 3
3 3
≅ 1,342 ;
k k .i =
5
≅ 1,118 .
2
u
Odpowiedź:
200
x=t/T
0
-100
1
;
3
1/4
1/2
U ≅ 122,5 V ;
U = 100 V ;
k sz .u ≅ 1,633 ;
k k .u ≅ 1,225 .
1
Zad. 8-3. Dane są wykresy funkcji okresowych antysymetrycznych (przemiennych symetrycznych), przedstawiających przebiegi czasowe prądu lub napięcia. Oblicz wartości skuteczne i wartości średnie półokresowe (identyczne z wyprostowanymi) oraz wartości współczynników szczytu i kształtu tych przebiegów.
211
Zadania
a)
A
i
Rozwiązanie:
1
x=t/T
0
1
1/4 1/2
1/ 4
I = 4 ∫ 4 2 x 2 dx =
I śr = 0,5 A ;
A
1
0
-1
b)
1
;
4
i ( x) = 4 x dla 0 < x <
i
≅ 0,577 A ;
3
k sz .i = 3 ≅ 1,732 ;
Odpowiedź:
1
I ≅ 0,577 A ;
I śr = 0,5 A ;
k sz .i ≅ 1,732 ;
k k .i ≅ 1,155 .
x=t/T
0
k k .i =
1
1/2
-1
c)
A
i
Odpowiedź:
1
x=t/T
0
1/6 1/3
1/2
1
I ≅ 0,745 A ;
I śr = 0,667 A ;
k sz .i ≅ 1,342 ;
k k .i ≅ 1,118 .
-1
d)
V
u
Odpowiedź:
100
x=t/T
1/2
0
1
U = 100 V ;
k sz .u = 1 ;
U śr = 100 V ;
k k .u = 1 .
-100
e)
V
100
u
Odpowiedź:
50
0 1/6 1/3 1/2
-50
-100
x=t/T
1
U ≅ 70,7 V ;
k sz .u = 1,414 ;
U śr ≅ 66,7 V ;
k k .u = 1,061 .
2
3
≅ 1,155 .
212
Elektrotechnika podstawowa
f)
V
u
Rozwiązanie:
α < π/2
100
100⋅sin x
U=
α
2
π
2
2
2
2
∫ 100 sin x ⋅ dx + 100 sin α ⋅ − α =
π 0
2
x =ω t
0
α π /2 π
U śr
π +α
2π
= 100
α
2 1 − cos 2 x
π
dx + sin 2 α ⋅ − α =
∫
2
π 0
2
= 100
1
sin 2α
α−
+ (π − 2α ) ⋅ sin 2 α ;
2
π
α
2
2
π
= ∫ 100 sin x ⋅ dx + 100 sin α ⋅ − α = 100 ⋅
π 0
π
2
k sz .u =
100 sin α
;
U
k k .u =
Wyniki dla α = 60° = π /3 :
π
1 − cos α + 2 − α ⋅ sin α ;
U
.
U śr
U ≅ 66,7 V ;
U śr ≅ 60,7 V ;
k sz .u = 1,30 ;
k k .u = 1,10 .
g)
V
100
Rozwiązanie:
α<π
u
100⋅sin x
x =ω t
0
α π /2 π
π +α
π
π
1 1 − cos 2 x
U=
100 sin x ⋅ dx = 100
dx =
∫
πα
π α∫
2
1
2
= 100
2π
U śr =
2
1 α sin 2α
−
+
;
2 2π
4π
π
100 sin x ⋅ dx = 100 ⋅ (1 + cos α )
π ∫
π
1
1
;
α
k sz .u =
Wyniki dla α = 60° = π /3 :
h)
V
U śr ≅ 47,7 V ;
x =ω t
α π /2
π
π +α
U
.
U śr
k sz .u = 1,58 ;
k k .u = 1,33 .
Wzory ogólne:
100⋅sin x
U = 100
0
k k .u =
Odpowiedź.
α < π/2
u
100
U ≅ 63,4 V ;
100
;
U
2π
k sz .u =
1 α sin 2α
− +
;
2 π
2π
100
;
U
k k .u =
200
π
cos α ;
U
.
U śr
Wyniki dla α = 60° = π /3 :
U śr ≅ 31,8 V ;
U śr =
k sz .u = 1,81 ;
U ≅ 55,2 V ;
k k .u = 1,73 .
213
Zadania
Zad. 8-4. W indukcyjności L lub pojemności C wywołany jest przepływ prądu o znanym przebiegu
w przedziale czasu t ≥ 0. Oblicz wartości skuteczne prądu i napięcia danego dwójnika.
a)
A
i
i
1
u
L
t
0
L = 10 mH,
-
i (0) = 0
1
2
3
4 ms
-1
przebieg prądu w postaci wzoru liczbowego
0 ≤ t ≤1
t
i (t ) = − (t − 2)
t − 4
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤4
[t] = 1 ms, [i] = 1 A .
Rozwiązanie:
-
wartość skuteczna prądu (obliczona dla ¼ okresu, uwzględniwszy symetrię wykresu)
1
I=
∫t
2
dt =
0
-
przebieg napięcia wg zależności u = L
di
, w postaci wzoru liczbowego
dt
0 ≤ t ≤1
10
u (t ) = − 10
10
-
1 3
⋅ 1 ≅ 0,577 A ;
3
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤ 4
[t] = 1 ms, [u] = 1 V ;
przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
V
u
10
t
0
1
2
mA
1
i
3
U = 10 V .
4 ms
-10
b)
i
u
C
0
C = 10 µF ,
-1
u (0) = 0
1
2
3
t
4 ms
1
i (t ) = − 1
1
0 ≤ t ≤1
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤4
[t] = 1 ms, [i] = 1 mA .
214
Elektrotechnika podstawowa
Rozwiązanie:
-
wartość skuteczna prądu I = 1 mA ;
-
1
przebieg napięcia wg zależności u (t ) = u (t 0 ) + ∫ i (t ) dt , w postaci wzoru liczbowego
Ct
t
0
0,1 ⋅ t
u (t ) = 0,1 ⋅ [1 − (t − 1)]
0,1 ⋅ [−1 + (t − 3)]
-
0 ≤ t ≤1
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤4
[t] = 1 ms, [u] = 1 V ;
przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
V
u
0,1
1
t
0
1
2
3
0,12 ∫ t 2 dt = 0,1
U=
0
4 ms
1 3
⋅ 1 ≅ 0,0577 V =
3
= 57,7 mV .
-0,1
i
c)
i
mA
1
u
C
0
C = 10 µF ,
1
2
3
4
1
i (t ) =
− 1
t
ms
0≤t ≤2
2≤t ≤4
,
[t] = 1 ms, [i] = 1 mA .
-1
u (0) = 0
Rozwiązanie:
-
wartość skuteczna prądu I = 1 mA ;
-
przebieg napięcia wg zależności u (t ) = u (t 0 ) +
t
1
i (t ) dt , w postaci wzoru liczbowego
C t∫
0
0,1 ⋅ t
u (t ) =
0,1 ⋅ [2 − (t − 2)]
-
0≤t≤2
2≤t≤4
,
[t] = 1 ms, [u] = 1 V ;
przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
V
0,2
u
2
U=
0,1
inaczej (za pomocą składowych: stałej i zmiennej) –
t
0
1
1 3
⋅ 0,12 ∫ t 2 dt = 0,1
⋅ 2 ≅ 0,115 V ,
2
6
0
1
2
3
4
ms
1
U=
0,1 + 0,1
2
2
∫t
0
2
1
dt = 0,1 1 + ⋅ 13 ≅ 0,115 V.
3
Uwaga. Dwa ostatnie przykłady ilustrują wpływ początkowej chwili zadania prądu na wystąpienie
składowej stałej napięcia i na jego wartość skuteczną. Obliczanie wartości skutecznej przebiegu
można uprościć wyznaczając wartość średnią oraz wartość skuteczną składowej zmiennej.
215
Zadania
d)
i
mA
10
u
i
C
0
C = 1 µF ,
u (0) = 0
1
2
t
4 ms
3
10 t
i (t ) = − 10 (t − 2)
10 (t − 4)
0 ≤ t ≤1
[t] = 1 ms,
[i] = 1 mA .
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤4
-10
Rozwiązanie:
1
-
I=
wartość skuteczna prądu
∫ 10
1 3
⋅ 1 ≅ 5,77 mA ;
3
t dt = 10
2 2
0
t
-
przebieg napięcia wg zależności u (t ) = u (t 0 ) +
1
i (t ) dt , w postaci wzoru liczbowego
C t∫
0
t
(
1
∫ (t − t x )dt = 2 ⋅ [(t − t x )
2
− (t0 − t x ) 2 ] , stąd u (t ) = u (t 0 ) ± 5 ⋅ [(t − t x ) 2 − (t 0 − t x ) 2 ] ,
t0
gdzie tx – punkt zerowy aktualnego fragmentu przebiegu prądowego )
5⋅t2
u (t ) = 10 − 5 ⋅ (t − 2) 2
2
5 ⋅ (t − 4)
V
0 ≤ t ≤1
1≤ t ≤ 3 ,
[t] = 1 ms, [u] = 1 V ,
3≤t ≤ 4
przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
4
u
U=
1
⋅ u 2 dt =
4 ∫0
5
=
2
1
10
5
t
0
1
2
3
4
i
u
mA
10
dt + ∫ [2 − (t − 2) ] dt + ∫ (t − 4) 2 dt ≅ 6,19 V,
1
3
inaczej (za pomocą składowych: stałej i zmiennej) –
1
1
0
0
5 2 + ∫ (5 − 5 t 2 ) 2 dt = 5 1 + ∫ (1 − 2t 2 + t 4 )dt ≅ 6,19 V.
i
Odpowiedź:
C
0
C = 1 µF ,
0
4
2 2
ms
U=
e)
∫t
3
4
u (0) = 0
-10
1
2
3
t
4 ms
I ≅ 5,77 mA ,
U ≅ 3,65 V .
216
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 8-5. Na indukcyjność L lub pojemność C podane jest napięcie o znanym przebiegu w przedziale czasu t ≥ 0. Oblicz wartości skuteczne napięcia i prądu danego dwójnika.
a)
V u
20
i
u
C
0
C = 100 µF, u (0) = 0
1
2
t
4 ms
3
20 t
u (t ) = − 20 (t − 2)
20 (t − 4)
0 ≤ t ≤1
[t] = 1 ms,
[u] = 1 V .
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤4
-20
Rozwiązanie:
1
-
U=
wartość skuteczna napięcia
∫ 20
t dt = 20
2 2
0
-
przebieg prądu wg zależności i = C
du
, w postaci wzoru liczbowego oraz wykresu
dt
1≤ t ≤ 3 ,
3≤t ≤ 4
t
0
[t] = 1 ms, [i] = 1 A ;
b)
i
A
2
0 ≤ t ≤1
2
i (t ) = − 2
2
1 3
⋅ 1 ≅ 11,5 V ;
3
1
2
3
4 ms
-2
wartość skuteczna prądu I = 2 A .
i
u
V
10
u
Odpowiedź:
L
0
1
2
3
4
-10
L = 100 mH ,
t
ms
U = 10 V ,
I ≅ 0,115 A .
t
1
Uwaga: i (t ) = i (t 0 ) + ∫ u (t ) dt .
Lt
i (0) = 0
0
c)
i
u
V
10
u
Odpowiedź:
L
0
1
2
3
4
t
ms
-10
L = 10 mH ,
d)
u
V
10
L
-10
L = 1 mH ,
i (0) = 0
u
Odpowiedź:
t
0
I ≅ 0,577 A
(uwaga - jw.).
i (0) = 0
i
U = 10 V ,
1
2
3
4 ms
U ≅ 5,77 V ,
I ≅ 6,19 mA
(uwaga - jw.).
217
Zadania
9. DWÓJNIKI PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Zad. 9-1. Dane są: wartość elementu R, L lub C i przebieg czasowy (wzór liczbowy) występującego na nim napięcia sinusoidalnego
u (t ) = 100 2 ⋅ sin(ω t − 30°) , [u] = 1 V,
f = 50 Hz
-1
( ω = 2 π f ≅ 314 s ). Wyznacz przebieg czasowy prądu. Narysuj wykres wskazowy dwójnika.
a)
R = 50 Ω
i
u
Wykres wskazowy:
-30°
U
I
Obliczenia:
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° , Z = 50 Ω,
U
I = = 2 A, ψ i = ψ u − ϕ = −30° ;
Z
- rachunek symboliczny
ϕ = 0,
U = 100 ⋅ e − j 30° (V), Z = 50 = 50 ⋅ e j 0° (Ω),
U
I = = 2 ⋅ e − j 30° (A);
Z
i (t ) = 2 2 ⋅ sin(ω t − 30°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
b)
i
L = 92 mH
U = 100 V,
u
Wykres wskazowy:
-30°
I
-120°
Obliczenia:
- metoda klasyczna
U
ψ u = −30° ,
ω = 2πf = 100π (s-1),
X L = ω L ≅ 28,9 Ω, Z ≅ 28,9 Ω, ϕ = 90° ,
U
I = ≅ 3,46 A, ψ i = ψ u − ϕ = −120° ;
Z
- rachunek symboliczny
U = 100 ⋅ e − j 30° (V), Z ≅ j 28,9 = 28,9 ⋅ e j 90° (Ω),
U
I = ≅ 3,46 ⋅ e − j120° (A);
Z
i (t ) ≅ 3,46 2 ⋅ sin(ω t − 120°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
c)
i
C = 36,8 µF
u
Obliczenia:
- metoda klasyczna
U = 100 V,
XC =
ψ u = −30° ,
1
≅ 86,5 Ω,
ωC
ω = 2πf = 100π (s-1),
Z ≅ 86,5 Ω,
ϕ = −90° ,
U
≅ 1,16 A, ψ i = ψ u − ϕ = 60° ;
Z
- rachunek symboliczny
I=
Wykres wskazowy:
I
60°
-30°
U
U = 100 ⋅ e − j 30° (V), Z ≅ − j86,5 = 86,5 ⋅ e − j 90° (Ω),
U
I = ≅ 1,16 ⋅ e j 60° (A);
Z
i (t ) ≅ 1,16 2 ⋅ sin(ω t + 60°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
218
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 9-2. Dane są wartości elementów: R = 50 Ω, L = 92 mH, C = 36,8 µF, tworzących różne
warianty dwójnika R, X (układu szeregowego wybranych elementów), oraz przebieg czasowy
(wzór liczbowy) występującego na nim napięcia
u (t ) = 100 2 ⋅ sin(ω t − 30°) , [u] = 1 V,
f = 50 Hz . Wyznacz przebiegi czasowe prądu dwójników. Narysuj wykresy wskazowe.
a)
Rozwiązanie:
i
R
L
uR
uL
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° ,
R = 50 Ω,
u
X L = ω L ≅ 28,9 Ω,
Z = R 2 + X 2 ≅ 57,8 Ω,
I=
UL
U
≅ 1,73 A,
Z
X = XL,
ϕ = arc tg
X
≅ 30° ,
R
ψ i = ψ u − ϕ ≅ −60° ;
- rachunek symboliczny
-30°
-60°
ω = 2πf = 100π (s-1),
UR
30°
I
U
U = 100 ⋅ e − j 30° (V),
Z, ϕ - jw.,
I=
Z = Z e jϕ ≅ 57,8 ⋅ e j 30° (Ω),
U
≅ 1,73 ⋅ e − j 60° (A);
Z
i (t ) ≅ 1,73 2 ⋅ sin(ω t − 60°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
b)
Rozwiązanie:
i
R
C
uR
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° ,
uC
R = 50 Ω,
u
XC =
1
≅ 86,5 Ω,
ωC
Z = R 2 + X 2 ≅ 100 Ω,
I
I=
30°
-60°
-30°
U
≅ 1 A,
Z
ω = 2πf = 100π (s-1),
X = −XC ,
ϕ = arc tg
X
≅ −60° ,
R
ψ i = ψ u − ϕ ≅ 30° ;
- rachunek symboliczny
U
UC
UR
U = 100 ⋅ e − j 30° (V),
Z, ϕ - jw.,
I=
Z = Z e jϕ ≅ 100 ⋅ e − j 60° (Ω),
U
≅ 1 ⋅ e j 30° (A);
Z
i (t ) ≅ 2 ⋅ sin(ω t + 30°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
219
Zadania
c)
Rozwiązanie:
i
R
L
C
uR
uL
uC
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° ,
R = 50 Ω,
u
ω = 2πf = 100π (s-1),
X L ≅ 28,9 Ω,
X C ≅ 86,5 Ω,
X = X L − X C ≅ −57,6 Ω,
I
-49°
X
≅ − 49,0° ,
R
ψ i = ψ u − ϕ ≅ 19° ;
ϕ = arc tg
19°
-30°
U
Z = R 2 + X 2 ≅ 76,3 Ω,
I=
U
≅ 1,31 A,
Z
- rachunek symboliczny
U = 100 ⋅ e − j 30° (V),
Z, ϕ - jw.,
UR
UC
UL
I=
Z = Z e jϕ ≅ 76,3 ⋅ e − j 49° (Ω),
U
≅ 1,31 ⋅ e j19° (A);
Z
i (t ) ≅ 1,31 2 ⋅ sin(ω t + 19°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
d)
R=0
Rozwiązanie:
i
L
C
uL
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° ,
uC
X L ≅ 28,9 Ω,
u
ω = 2πf = 100π (s-1),
X C ≅ 86,5 Ω,
X = X L − X C ≅ −57,6 Ω,
Z = X ≅ 57,6 Ω,
U
≅ 1,74 A,
Z
ψ i = ψ u − ϕ = 60° ;
ϕ = −90° ,
I
60°
-30°
I=
- rachunek symboliczny
U = 100 ⋅ e − j 30° (V),
U
UL
UC
Z, ϕ - jw.,
I=
Z = Z e jϕ ≅ 57,6 ⋅ e − j 90° (Ω),
U
≅ 1,74 ⋅ e j 60° (A);
Z
i (t ) ≅ 1,74 2 ⋅ sin(ω t + 60°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
Zad. 9-3. Dane są wartości elementów: R = 50 Ω, L = 92 mH, C = 36,8 µF, tworzących różne
warianty dwójnika G, B (układu gałęzi równoległych), oraz przebieg czasowy (wzór liczbowy) występującego na nim napięcia u (t ) = 100 2 ⋅ sin(ω t − 30°) , [u] = 1 V, f = 50 Hz . Wyznacz przebiegi czasowe prądu dwójników. Narysuj wykresy wskazowe.
220
Elektrotechnika podstawowa
a)
Rozwiązanie:
i
iR
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° ,
iC
u
R
G=
C
1
= 0,02 S,
R
ω = 2πf = 100π (s-1),
BC = ω C ≅ 0,0116 S,
B = BC ,
ϕ = −arc tg
B
≅ −30° ,
G
Y = G 2 + B 2 ≅ 0,0231 S,
I = Y ⋅ U ≅ 2,31 A,
IC
I
ψ i = ψ u − ϕ ≅ 0° ;
- rachunek symboliczny
-30°
U = 100 ⋅ e − j 30° (V),
IR
Y, ϕ - jw.,
U
Y = Y e − jϕ ≅ 0,0231 ⋅ e j 30° (S),
I = Y ⋅ U ≅ 2,31 ⋅ e j 0° = 2,31 (A);
i (t ) ≅ 2,31 2 ⋅ sin ω t , [i] = 1 A, f = 50 Hz ;
i
b)
Rozwiązanie:
i1
i2
- metoda klasyczna
U = 100 V, ψ u = −30° ,
R
u
C
ω = 2πf = 100π (s-1),
X 1 = X L = ω L ≅ 28,9 Ω,
X
Z1 = R12 + X 12 ≅ 57,8 Ω, ϕ1 = arc tg 1 ≅ 30° ,
R1
R
X
G1 = 12 ≅ 0,015 S, B1 = − 21 ≅ 0,0087 S;
Z1
Z1
1
inaczej: Y1 =
≅ 0,0173 S, G1 = Y1 ⋅ cos ϕ1 ≅ 0,015 S,
Z1
B1 = −Y1 ⋅ sin ϕ1 ≅ −0,0087 (S); B2 = BC = ω C ≅ 0,0116 S,
R1 = R = 50 Ω,
L
I2
-10,9°
I
U
I1
Y = G 2 + B 2 ≅ 0,0153 S,
G = G1 ≅ 0,015 S, B = B1 + B2 ≅ 0,0029 S,
B
ϕ = −arc tg ≅ −10,9° , I = Y ⋅ U ≅ 1,53 A, ψ i = ψ u − ϕ ≅ −19,1° ;
G
- rachunek symboliczny
U = 100 ⋅ e − j 30° (V);
Z1, ϕ1, B2 - jw.;
Y 2 = jB2 ≅ 0,0116 ⋅ e j 90° = j 0,0116 S,
I = Y ⋅ U ≅ 1,53 ⋅ e − j19,1° (A);
Y1 =
1 − jϕ1
⋅e
≅ 0,0173 ⋅ e − j 30° ≅ 0,015 − j 0,0087 (S),
Z1
Y = Y 1 + Y 2 ≅ 0,015 + j 0,0029 ≅ 0,0153 ⋅ e j10,9° (S),
I 1 = Y 1 ⋅ U ≅ 1,73 ⋅ e − j 60° (A),
I 2 = Y 2 ⋅ U ≅ 1,16 ⋅ e j 60° (A);
i (t ) ≅ 1,53 2 ⋅ sin(ω t − 19,1°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
Uwaga. Ze względu na prostsze procedury obliczeniowe korzystniej jest posługiwać się rachunkiem symbolicznym. Trudno w zasadzie obyć się bez niego w wypadku struktur bardziej złożonych. Kolejne układy będą rozwiązywane już tylko tą metodą.
221
Zadania
c)
Rozwiązanie:
i
i1
R
u
L
X 1 = X L = ω L ≅ 28,9 Ω,
1
X2 = X L − XC = ω L −
≅ −57,6 Ω,
ωC
X
Z1 = R12 + X 12 ≅ 57,8 Ω, ϕ1 = arc tg 1 ≅ 30° ,
R1
X
Z 2 = R22 + X 22 ≅ 76,3 Ω, ϕ 2 = arc tg 2 ≅ −49,0° ,
R2
1 − jϕ1
Y1 =
⋅e
≅ 0,0173 ⋅ e − j 30° ≅ 0,015 − j 0,0087 (S),
Z1
1 − jϕ 2
Y2 =
⋅e
≅ 0,0131 ⋅ e j 49,0° ≅ 0,0086 + j 0,0099 (S),
Z2
R1 = R2 = R = 50 Ω,
i2
R
L
C
I2
I
Y = Y 1 + Y 2 ≅ 0,0236 + j 0,0012 ≅ 0,0236 ⋅ e j 2,9° (S),
U
I1
I = Y ⋅ U ≅ 2,36 ⋅ e − j 27,1° (A);
do wykresu:
I 1 = Y 1 ⋅ U ≅ 1,73 ⋅ e − j 60° (A),
I 2 = Y 2 ⋅ U ≅ 1,31 ⋅ e j19° (A);
i (t ) ≅ 2,36 2 ⋅ sin(ω t − 27,1°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
d)
Odpowiedź:
i
u
i1
i2
R
R
L
C
i (t ) = 2 2 ⋅ sin(ω t − 30°) , [i] = 1 A, f = 50 Hz .
I2
I
U
I1
e)
Odpowiedź:
i
i1
u
L
I2
i2
i (t ) ≅ 2,61 2 ⋅ sin(ω t − 109,1°) ,
[i] = 1 A, f = 50 Hz .
R
U
C
I1
I
222
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 9-4. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz przebieg czasowy występującego na nim napięcia u. Oblicz wartości skuteczne i fazy początkowe oraz zapisz przebiegi czasowe napięć u1 i u2 .
R1
XL
R2
u1
XC
R1 = 1 Ω,
u2
X L = 2 Ω,
R 2 = 3 Ω,
XC = 5Ω
u (t ) = 20 2 ⋅ sin(ω t − 45°) , [u] = 1 V
u
Rozwiązanie - na postawie wzorów dla dzielnika napięcia:
U1 =
Z1
⋅U ,
Z
U2 =
Z2
⋅U .
Z
Obliczenia: U = 20 ⋅ e − j 45° (V);
Z 1 = 1 + j 2 ≅ 2,24 ⋅ e j 63° (Ω), Z 2 = 3 − j 5 ≅ 5,83 ⋅ e − j 59° (Ω), Z = 4 − j 3 ≅ 5 ⋅ e − j 37° (Ω);
2,24
5,83
U1 ≅
⋅ 20 ⋅ e j ( 63+37 −45)° ≅ 9,0 ⋅ e j 55° (V), U 2 ≅
⋅ 20 ⋅ e j ( −59+37−45)° ≅ 23,3 ⋅ e − j 67° (V).
5
5
Wyniki: U 1 ≅ 9,0 V; ψ u1 ≅ 55° ; u1 (t ) ≅ 9,0 2 sin(ω t + 55°) , [u1] = 1 V;
U 2 ≅ 23,3 V;
ψ u 2 ≅ −67° ; u 2 (t ) ≅ 23,3 2 sin(ω t − 67°) , [u1] = 1 V.
Zad. 9-5. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz przebieg czasowy napięcia u1 występującego na parze elementów. Oblicz wartość skuteczną i
fazę początkową oraz zapisz przebieg czasowy napięcia u (na dwójniku).
R1
XL
R2
u1
XC
R1 = R2 = 10 3 Ω,
u2
X L = 10 Ω,
X C = 30 Ω
u1 (t ) = 100 2 ⋅ cos ω t , [u1] = 1 V
u
Rozwiązanie - na postawie wzoru dla dzielnika napięcia U 1 =
Obliczenia: u1 (t ) = 100 2 ⋅ cos ω t = 100 2 ⋅ sin(ω t + 90°) ,
Z1
⋅ U , stąd
Z
U=
Z
⋅U 1 .
Z1
U 1 = 100 ⋅ e j 90° (V);
Z 1 = 10 3 + j10 = 20 ⋅ e j 30° (Ω), Z = 20 3 − j 20 = 40 ⋅ e − j 30° (Ω);
40
U=
⋅ 100 ⋅ e j ( −30−30+90)° = 200 ⋅ e j 30° (V).
20
Wyniki: U = 200 V; ψ u ≅ 30° ; u (t ) = 200 2 sin(ω t + 30°) , [u] = 1 V.
Zad. 9-6. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz wskazanie woltomierza V1 : R1 = 20 Ω,
R2 = X C = 10 Ω, U 1 = 10 V. Określ wskazanie
woltomierza V (woltomierze nie pobierają mocy i wskazują wartości skuteczne napięć).
R1
R2
V1
u1
V
u
XC
Rozwiązanie - na postawie wzoru dla dzielnika
Z
napięcia U 1 = 1 ⋅ U ,
Z
Z
Z
stąd U =
⋅U 1 i U =
⋅ U1 .
Z1
Z1
223
Zadania
Obliczenia:
Z = 30 2 + 10 2 ≅ 31,6 Ω,
Z1 = R1 = 20 Ω;
U≅
U ≅ 15,8 V.
Wynik:
Zad. 9-7. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika R, X (układ szeregowy)
oraz wskazanie woltomierza V2 :
R1 = X L = 20 Ω, X C = 10 Ω, U 1 = 10 V.
Określ wskazanie woltomierza V.
Odpowiedź:
31,6
⋅ 10 = 15,8 V.
20
R1
XL
XC
V2
V
U ≅ 22,4 V.
Zad. 9-8. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów dwójnika G, B (układ równoległy)
oraz przebieg czasowy prądu całkowitego i. Oblicz wartości skuteczne i fazy początkowe oraz zapisz przebiegi czasowe prądów i1 i i2 .
i
i1
i2
R1
R2
XL
XC
R1 = 30 Ω,
X L = 40 Ω,
R2 = 40 Ω,
X C = 30 Ω
i (t ) = 3 2 ⋅ sin(ω t + 30°) , [i] = 1 A
Rozwiązanie - na postawie wzorów dla dzielnika prądu:
Y
Z2
Y
Z1
I1 = 1 ⋅ I =
⋅I ,
I2 = 2 ⋅I =
⋅I .
Y
Z1 + Z 2
Y
Z1 + Z 2
Obliczenia: I = 3 ⋅ e j 30° (A);
Z 1 = 30 + j 40 ≅ 50 ⋅ e j 53° (Ω), Z 2 = 40 − j 30 ≅ 50 ⋅ e − j 37° (Ω), Z 1 + Z 2 = 70 + j10 ≅ 70,7 ⋅ e j 8° (Ω);
50
50
I1 ≅
⋅ 3 ⋅ e j ( −37−8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e − j15° (A), I 2 ≅
⋅ 3 ⋅ e j (53−8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e j 75° (A);
70,7
70,7
1
1
albo Y 1 =
≅ 0,02 ⋅ e − j 53° ≅ 0,012 − j 0,016 (S), Y 2 =
≅ 0,02 ⋅ e j 37° ≅ 0,016 + j 0,012 (S),
Z1
Z2
Y = Y 1 + Y 2 ≅ 0,028 − j 0,004 ≅ 0,0283 ⋅ e − j 8° (S);
0,02
0,02
I1 ≅
⋅ 3 ⋅ e j ( −53+8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e − j15° (A), I 2 ≅
⋅ 3 ⋅ e j (37 +8+30)° ≅ 2,12 ⋅ e j 75° (A).
0,0283
0,0283
Wyniki:
I1 ≅ 2,12 A;
ψ u1 ≅ −15° ; i1 (t ) ≅ 2,12 2 sin(ω t − 15°) , [i1] = 1 A;
I 2 ≅ 2,12 A;
ψ u 2 ≅ 75° ; i2 (t ) ≅ 2,12 2 sin(ω t + 75°) , [i2] = 1 A.
Zad. 9-9. Dane są wartości rezystancji i reaktancji elementów
dwójnika G, B (układ równoległy) oraz wskazanie amperomierza A1 : R1 = 20 Ω, R2 = X C = 10 Ω, I 1 = 2 A.
Określ wskazanie amperomierza A.
A
i
i1
A1
R2
Rozwiązanie - na postawie wzoru dla dzielnika prądu:
Z1 + Z 2
Z2
Z +Z2
I1 =
⋅ I , stąd I = 1
⋅ I1 i I =
⋅ I1 .
Z1 + Z 2
Z2
Z2
Odpowiedź:
I ≅ 4,5 A.
R1
XC
224
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 9-9. W danym układzie wskazania wszystkich trzech woltomierzy są takie same. Określ wartość kąta przesunięcia fazowego dwójnika.
Rozwiązanie na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ i = 0 , tj. I = I – rzeczywisty):
I
R
L
C
ϕ
ϕ2 = − 90°
U
V2
V1
U1
U
U2
U1
U2
V
I
ϕ1 > 0
ϕ = −30°
(wskazy napięć tworzą trójkąt równoboczny).
Rozwiązanie na podstawie zależności analitycznych:
U 1 = U 2 = U , I 1 = I 2 = I , więc Z1 = Z 2 = Z czyli
R 2 + X L2 = X C = R 2 + ( X L − X C ) 2 ,
R 2 + X L2 = X C2
tzn.
, stąd R = 3 X L , X C = 2 X L ,
R 2 + X L2 = R 2 + X L2 − 2 X L X C + X C2
X − XC
1
ϕ = arc tg L
= arc tg −
= −30° .
R
3
Zad. 9-10. W danym układzie wskazania wszystkich trzech amperomierzy są takie same. Określ
wartość kąta przesunięcia fazowego dwójnika.
Rozwiązanie na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ u = 0 ,
I
A
I1
I2
tj. U = U – rzeczywisty):
ϕ1 > 0
A2
A1
I2
I1
U
R
C
L
I
ϕ
ϕ2 = − 90°
U
ϕ = −30°
(wskazy prądów tworzą trójkąt równoboczny).
Zad. 9-11. W danym układzie zachodzą następujące zależności między wskazaniami amperomierzy: I 1 = I 2 , I = 3 I1 . Określ wartość kąta przesunięcia fazowego dwójnika.
Rozwiązanie na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ u = 0 ,
I
A
I1
I2
A1
tj. U = U – rzeczywisty):
U
A2
ϕ
U
ϕ1 > 0
I2
R1
I1
R2
L
ϕ = 30°
I
(wskazy prądów tworzą trójkąt równoramienny o równym
stosunku długości podstawy i ramion).
3
225
Zadania
10. OBWODY JEDNOFAZOWE
Zad. 10-1. Cewkę R, L zasilono napięciem sinusoidalnym u(t). Oblicz wartość skuteczną prądu w
cewce oraz wartości pobieranych przez nią mocy: czynnej, biernej i pozornej. Narysuj wykres
wskazowy prądu i napięć oraz wykresy trójkątowe: impedancji i mocy.
Dane: R = 50 Ω, L = 0,1 H; u (t ) = 100 2 ⋅ sin ω t , [u] = 1 V, f = 50 Hz .
I
R
UL
UR
U
Obliczenia:
U = U = 100 V,
L
ω = 2πf = 100π (s-1),
X L = ω L ≅ 31,4 Ω,
Z = R 2 + X L2 ≅ 59,0 Ω,
I=
U
≅ 1,69 A;
Z
S = U ⋅ I ≅ 169 VA,
Z = Z e jϕ ≅ 59 ⋅ e j 32,1° (Ω),
inaczej:
ϕ = arc tg
P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ ≅ 143 W,
I=
XL
≅ 32,1° ;
R
Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ ≅ 90 var;
U
≅ 1,69 ⋅ e − j 32,1° (A);
Z
S = U ⋅ I ≅ 100 ⋅ 1,69 ⋅ e j ( 0+32,1)° = 169 ⋅ (cos 32,1° + j sin 32,1°) ≅ 143 + j 90 (VA),
*
S ≅ 169 VA,
P ≅ 143 W,
S = Z ⋅ I 2 ≅ 169 VA,
jeszcze inaczej:
Q ≅ 90 var;
P = R ⋅ I 2 ≅ 143 W,
Q = X ⋅ I 2 ≅ 90 var
(sprawdzenie: S = P 2 + Q 2 ≅ 169 VA).
Wykresy:
UL
UR
ϕ
U
I
S
Z
jXL
ϕ
jQ
ϕ
R
P
Zad. 10-2. Cewkę R, L z poprzedniego zadania połączono szeregowo z kondensatorem C. Obwód
zasilono tym samym napięciem sinusoidalnym u(t). Oblicz wartość skuteczną prądu w obwodzie,
wartości skuteczne napięć na cewce i kondensatorze oraz wartości mocy: czynnej, biernej i pozornej, pobieranych przez dwójnik i przez jego elementy. Narysuj wykres wskazowy prądu i napięć
oraz wykresy trójkątowe: impedancji i mocy.
Dane: R = 50 Ω, L = 0,1 H, C = 40 µF; u (t ) = 100 2 ⋅ sin ω t , [u] = 1 V, f = 50 Hz .
I
R
UR
U
L
Obliczenia:
U = U = 100 V,
C
UL
U1
U2
ω = 2πf = 100π (s-1),
X L = ω L ≅ 31,4 Ω,
XC =
1
≅ 79,6 Ω,
ωC
Z 1 = 50 + j 31,4 ≅ 59,0 ⋅ e j 32,1° (Ω),
Z 2 = − j 79,6 = 79,6 ⋅ e − j 90° (Ω),
X = X L − X C ≅ − 48,2 Ω,
I ≅ 1,44 A;
Z = 50 − j 48,2 ≅ 69,4 ⋅ e − j 43,9° (Ω);
U 1 = Z1 ⋅ I ≅ 85,0 V,
U 2 = Z 2 ⋅ I ≅ 114,6 V;
I=
U
≅ 1,44 ⋅ e j 43,9° (A);
Z
226
Elektrotechnika podstawowa
S = Z ⋅ I 2 ≅ 144 VA,
Q = X ⋅ I 2 ≅ −100 var;
P = R ⋅ I 2 ≅ 104 W,
S1 = Z1 ⋅ I 2 ≅ 122 VA,
P1 = R ⋅ I 2 ≅ 104 W,
Q1 = X L ⋅ I 2 ≅ 65 var;
S 2 = Z 2 ⋅ I 2 ≅ 165 VA, P2 = 0 , Q2 = − X C ⋅ I 2 ≅ −165 var
(sprawdzenie: P = P1 + P2 ≅ 104 W, Q = Q1 + Q2 ≅ −100 var).
Wykresy:
I
ϕ
Z1
U
S1
jX1
UR
U1
ϕ
jQ1
ϕ
R
UL
jX
Z2 =jX2
S2=jQ2
S
Z
U2
P
jQ
Zad. 10-3. W obwodzie z poprzedniego zadania pojemność C ma taką wartość, że występuje rezonans napięć. Oblicz wartość C, wartość skuteczną prądu w obwodzie, wartości skuteczne napięć na
cewce i kondensatorze oraz wartości mocy: czynnej, biernej i pozornej, pobieranych przez dwójnik
i przez jego elementy. Narysuj wykres wskazowy prądu i napięć oraz wykresy trójkątowe: impedancji i mocy.
Dane: R = 50 Ω, L = 0,1 H, u (t ) = 100 2 ⋅ sin ω t , [u] = 1 V, f = 50 Hz .
I
R
UR
U
L
Obliczenia:
U = U = 100 V,
C
X = X L − X C = 0 czyli X C = X L ,
1
XC =
, X L = ω L ≅ 31,4 Ω,
ωC
1
C=
≅ 101,4 ⋅ 10 −6 F = 101,4 µF;
ω XL
UL
U1
ω = 2πf = 100π (s-1);
U2
Z 1 = 50 + j 31,4 ≅ 59,0 ⋅ e j 32,1° (Ω), Z 2 = − j 31,4 = 31,4 ⋅ e − j 90° (Ω), Z = R = 50 = 50 ⋅ e j 0° (Ω);
U
I = = 2 ⋅ e j 0° (A), I = 2 A; U 1 = Z1 ⋅ I ≅ 118,0 V, U 2 = Z 2 ⋅ I ≅ 62,8 V;
Z
S = P = R ⋅ I 2 = 200 W,
Q = 0;
S1 = Z1 ⋅ I 2 ≅ 236 VA,
P1 = R ⋅ I 2 = 200 W,
S 2 = Z 2 ⋅ I 2 ≅ 126 VA,
P2 = 0 ,
Q1 = X L ⋅ I 2 ≅ 126 var;
Q2 = − X C ⋅ I 2 ≅ −126 var.
Wykresy:
I
UR
U
UL
U1
U2
S1
Z1
jQ1
jX1
Z=R
S2=jQ2
Z2 = jX2
S=P
227
Zadania
Zad. 10-4. Cewkę R, L i kondensator C z poprzedniego zadania połączono równolegle i zasilono
tym samym napięciem U. Oblicz wartości symboliczne prądów I1, I2 i I oraz wartości mocy zespolonych S1, S2 i S . Narysuj wykres wskazowy napięcia i prądów oraz wykresy trójkątowe: admitancji i mocy.
Dane:
I
U = U = 100 V,
I1
Z 1 = 50 + j 31,4 ≅ 59,0 ⋅ e j 32,1° (Ω),
I2
Z 2 = − j 31,4 = 31,4 ⋅ e − j 90° (Ω).
R
U
C
Obliczenia:
1
1 − j 32,1°
Y1 =
≅
⋅e
≅ 16,9 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 32,1° ≅ (14,3 − j 9,0) ⋅ 10 −3 S,
Z 1 59
1
1
Y2 =
=
⋅ e j 90° ≅ 31,8 ⋅ 10 −3 ⋅ e j 90° = j 31,8 ⋅ 10 −3 S,
Z 2 31,4
L
Y = Y 1 + Y 2 ≅ (14,3 + j 22,8) ⋅ 10 −3 ≅ 26,9 ⋅ 10 −3 ⋅ e j 57,9° S;
I 1 = Y 1 ⋅ U ≅ 1,69 ⋅ e − j 32,1° ≅ (1,43 − j 0,9) A,
I 2 = Y 2 ⋅ U ≅ 3,18 ⋅ e j 90° = j 3,18 A,
I = Y ⋅ U ≅ 2,69 ⋅ e j 57,9° ≅ (1,43 + j 2,28) A (sprawdzenie: I = I 1 + I 2 ≅ (1,43 + j 2,28) A );
S 1 = U ⋅ I 1 ≅ 169 ⋅ e j 32,1° ≅ (143 + j 90) VA,
S 2 = U ⋅ I 2 ≅ 318 ⋅ e − j 90° = − j 318 VA,
S = U ⋅ I ≅ 269 ⋅ e − j 57,9° ≅ (143 − j 228) VA
(sprawdzenie: S = S 1 + S 2 ≅ (143 − j 228) VA ).
*
*
*
Wykresy:
S1
Y
I
ϕ1 jQ1
Y2=jB2
I2
ϕ
jB
ϕ
ϕ
U
P=P1
jQ
G=G1
ϕ1
ϕ1
I1
S2=jQ2
jB1
S
Y1
Zad. 10-5. W obwodzie z poprzedniego zadania pojemność C ma taką wartość, że występuje rezonans prądów. Oblicz wartość C, wartości skuteczne prądów w obwodzie: I1, I2 i I , oraz wartości
mocy: P, Q1 i Q2 . Narysuj wykres wskazowy napięcia i prądów oraz wykresy trójkątowe: admitancji i mocy.
I1
U
I
I
I
I2
I1
R
C
≡
U
G1
I2
B1
B2
L
B2 = − B1 ,
B2 = ω C ,
stąd
C=−
B1
ω
≡
U
(B = B1 +B2 = 0)
, gdzie ω = 2πf = 100π (s-1).
G1
228
Elektrotechnika podstawowa
Y 1 ≅ 16,9 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 32,1° ≅ (14,3 − j 9,0) ⋅ 10 −3 S .
U = U = 100 V,
Dane:
B1 ≅ −9,0 ⋅ 10 −3 S,
Obliczenia:
B2 ≅ 9,0 ⋅ 10
−3
C=−
B1
≅ 28,7 ⋅ 10 −6 F = 28,7 µF;
ω
Y 2 = jB2 ≅ j 9,0 ⋅ 10 −3 = 9,0 ⋅ 10 −3 ⋅ e j 90° (S);
S,
B = 0 , Y = G = G1 ≅ 14,3 ⋅ 10 −3 S, Y ≅ 14,3 ⋅ 10 −3 S;
I = Y ⋅ U ≅ 1,43 A, I 1 = Y1 ⋅ U ≅ 1,69 A, I 2 = Y2 ⋅ U ≅ 0,9 A;
P = G ⋅ U 2 ≅ 143 W,
Q1 = − B1 ⋅ U 2 ≅ 90 var,
I 1 = Y 1 ⋅ U ≅ 1,69 ⋅ e − j 32,1° A,
do wykresu:
Q2 = − B2 ⋅ U 2 ≅ −90 var;
I 2 = Y 2 ⋅ U ≅ 0,9 ⋅ e j 90° (A),
S 1 = U ⋅ I 1 ≅ 169 ⋅ e j 32,1° ≅ (143 + j 90) VA,
*
I = Y ⋅ U ≅ 1,43 A,
S 2 = U ⋅ I 2 ≅ 90 ⋅ e − j 90° = − j 90 VA,
*
S = U ⋅ I ≅ 143 VA.
*
Wykresy:
U
I
ϕ1
S1
Y=G
ϕ1
I2
Y2
Y1
I1
ϕ1
jQ1
S2 = jQ2
S=P
Zad. 10-6. Odbiornik jednofazowy zasilany napięciem o wartości skutecznej U, pobiera moc czynną P i moc bierną Q . Oblicz wartość skuteczną prądu I oraz wartości: współczynnika mocy cosϕ ,
impedancji Z i admitancji Y , tego odbiornika. Wyznacz wartości parametrów odbiornika R, X
(przedstawionego jako dwójnik szeregowy) oraz składowych napięcia: czynnej Ucz i biernej Ub.
Podobnie – wartości parametrów G, B (przedstawionego jako układ gałęzi równoległych) oraz składowych prądu: czynnej Icz i biernej Ib.
I
U
Dane: U = 50 V,
P, Q ⇒
Z, ϕ
(Y, ϕ)
P = 400 W,
Q = 300 var.
Rozwiązanie:
P 2 + Q 2 500
S
I= =
=
= 10 A,
50
U
U
U
I
Z = = 5 Ω, Y = = 0,2 S ;
I
U
cos ϕ =
I
UR
R
UX
X
P
Q
= 4 Ω, X = 2 = 3 Ω,
2
I
I
P
U cz = R ⋅ I = = 40 V,
I
Q
U b = X ⋅ I = = 30 V;
I
R=
U
I
U
IG
IB
G
B
P
Q
= 0,16 S, B = − 2 = −0,12 S,
2
U
U
P
I cz = G ⋅ U = = 8 A,
U
Q
I b = B ⋅ U = − = −6 A.
U
G=
P
= 0,8 ;
S
229
Zadania
Zad. 10-7. Do odbiornika jednofazowego z poprzedniego zadania dołączono równolegle kondensator, skutkiem czego wypadkowa moc bierna pobierana z sieci wyniosła: a) 50 var, b) – 200 var. Oblicz wartości susceptancji i pojemności kondensatora (częstotliwość sieci równa 50 Hz) oraz wartości skuteczne prądów: I1, I2 i I . Narysuj wykres wskazowy (przy założeniu U = U ) oraz wykres mocy.
Dane: U = 50 V, f = 50 Hz,
I
P = 400 W, Q1 = 300 var,
I1
I2
a) Q = 50 var.
P ⇒
U
Q2 ⇒
C
Q2 = Q − Q1 = −250 var,
Q
Q2 = − B2 ⋅ U 2 , stąd B2 = − 22 = 0,1 S,
U
B2
B2 = ω C stąd C =
≅ 318 ⋅ 10 −6 F = 318 µF;
2π f
Rozwiązanie:
Q1 ⇒
I
S1 = P 2 + Q12 = 500 VA, S = P 2 + Q 2 ≅ 403 VA,
U
I2
S1
I1
I1 =
jQ1
jQ2
I2 =
ϕ = arc tg
jQ
b) Q = −200 var.
U
= 5 A,
I=
Q1
≅ 36,9° ,
P
S
≅ 8,06 A;
U
ϕ 2 = −90° ,
Q
≅ 7,1° .
P
I
S1
I2
jQ1
Odpowiedź:
B2 = 0,2 S, C = 636 µF;
I1 = 10 A,
Q2
do wykresów: ϕ1 = arc tg
S
P
S1
= 10 A,
U
U
I 2 = 10 A,
P
I1
I ≅ 8,94 A.
jQ
jQ2
S
Zad. 10-8. Moc czynna pobierana z sieci przez odbiornik o układzie pokazanym na rysunku wynosi
400 W, a wskazania wszystkich amperomierzy są jednakowe i równe 2 A. Oblicz: a) wartość skuteczną U napięcia zasilającego, którego częstotliwość wynosi 50 Hz, oraz wartości parametrów R,
L, C ; b) wartości mocy biernej, pobieranej z sieci przez odbiornik i przez jego gałęzie; c) wartość
pojemności C, przy której wystąpiłby rezonans prądów i wartość skuteczną prądu I w tym stanie.
I
A
I1
I2
Wyznaczenie kąta przesunięcia fazowego ϕ – jak w zad. 9.10 –
na podstawie wykresu wskazowego (zał. ψ u = 0 , tj. U = U ):
ϕ1 > 0
A2
A1
U
I2
R
P = 400 W, I1 = I2 = I = 2 A;
I1
ϕ = −30°, ϕ1 = 30°
C
L
ϕ2 = − 90°
ϕ
I
U
(wskazy prądów tworzą
trójkąt równoboczny).
230
Elektrotechnika podstawowa
Obliczenia:
P
≅ 231 V;
I ⋅ cos ϕ
X
P
P = R ⋅ I12 , stąd R = 2 = 100 Ω; X L = R ⋅ tg ϕ1 ≅ 57,7 Ω , L = L ≅ 0,184 H;
2πf
I1
U
1
XC =
≅ 115,5 Ω, C =
≅ 27,6 ⋅ 10 −6 F = 27,6 µF;
I2
2πfX C
a) P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ , stąd U =
b) Q = P ⋅ tg ϕ ≅ −231 var,
c)
Q1 = X L ⋅ I12 ≅ 231 var,
Q2 = − X C ⋅ I 22 ≅ −462 var;
Q = 0, ϕ = 0
Q = 0 , tzn. Q2 = −Q1 ; Q2 = − BC ⋅ U 2 , BC = ω C ,
S1
ϕ1 = 30°
jQ1
stąd C =
jQ2
Q1
2πfU
2
≅ 13,8 ⋅ 10 −6 F = 13,8 µF;
S=P
I=
U
I
ϕ1 = 30°
S P
= ≅ 1,73 A,
U U
inaczej: I = I1 ⋅ cos ϕ1 ≅ 1,73 A.
I2
I1
Zad. 10-9. Określ wskazania przyrządów w przedstawionym układzie odbiornika jednofazowego.
Przyrządy są idealne, tzn. nie pobierają mocy. Amperomierz i woltomierze wskazują wartości skuteczne. Dane: U = 120 V, R1 = XL1 = XC = 10 Ω, R2 = XL2 = 20 Ω.
U1
V1
P
W
I
I
R1
L1
A
U1
U2
L2
U2
V2
U3
U3
R2
U
V3
UC
UC
Rozwiązanie:
Z 1 = (10 + j10) Ω,
Z 3 = Z 2 + Z C = (20 + j10) Ω,
Z 2 = (20 + j 20) Ω,
C
Z C = − j10 Ω,
Z = Z 1 + Z 3 = (30 + j 20) Ω,
Z1 ≅ 14,14 Ω, Z 2 ≅ 28,28 Ω, Z C = 10 Ω,
U
I = ≅ 3,33 A; P = R ⋅ I 2 ≅ 333 W;
Z
U 1 = Z1 ⋅ I ≅ 47,1 V , U 2 = Z 2 ⋅ I ≅ 94,2 V ,
VC
Z 3 ≅ 22,36 Ω,
R = Re Z = 30 Ω;
Z ≅ 36,06 Ω;
U C = Z C ⋅ I ≅ 33,3 V ,
U 3 = Z 3 ⋅ I ≅ 74,5 V .
231
Zadania
Zad. 10-10. Określ wskazania przyrządów w przedstawionym układzie odbiornika jednofazowego.
Oblicz wartości mocy zespolonych odbiornika oraz poszczególnych gałęzi. Sporządź bilans mocy.
Narysuj wykres wskazowy (przyjmując I1 = I1 ) oraz wykres mocy.
Dane: U = 120 V, R1 = XL1 = XC = 10 Ω, R2 = XL2 = 20 Ω.
U1
V1
P
I1
A1
W
R1
I1
L1
I2
U1
A2
U
I3
I2
A3
I3
L2
U2
V2
U2
C
R2
Obliczenia:
Z 1 = 10 + j10 ≅ 14,14 ⋅ e j 45° (Ω),
Z 2 = 20 + j 20 ≅ 28,28 ⋅ e j 45° (Ω),
Z 3 = − j10 = 10 ⋅ e − j 90° (Ω),
Uwaga. Impedancję zastępczą gałęzi równoległych można obliczać ze wzoru „impedancyjnego”
lub „admitancyjnego” (do pierwszego wstawia się impedancje, do drugiego – admitancje, które
trzeba wcześniej obliczyć). Przy Z3 o postaci jw. lepiej posłużyć się wzorem „impedancyjnym”.
Z ⋅Z
(20 + j 20) ⋅ (− j10)
Z 23 = 2 3 =
= 4(1 − j1)(2 − j1) = 4 − j12 ≅ 12,649 ⋅ e − j 71,57° (Ω),
Z2 + Z3
20 + j10
Z = Z 1 + Z 23 = 14 − j 2 ≅ 14,14 ⋅ e − j 8,1° (Ω),
R = Re Z = 14 Ω;
Z1 ≅ 14,14 Ω, Z 2 ≅ 28,28 Ω, Z 3 = 10 Ω, Z 23 ≅ 12,649 Ω, Z ≅ 14,14 Ω;
U
I 1 = ≅ 8,49 A; P = R ⋅ I 12 ≅ 1009 W;
Z
Z 3 ⋅ I1
Z 2 ⋅ I1
10 ⋅ 8,49
28,28 ⋅ 8,49
I2 =
≅
≅ 3,797 A, I 3 =
≅
≅ 10,737 A,
Z2 + Z3
Z2 + Z3
20 2 + 10 2
20 2 + 10 2
U 1 = Z1 ⋅ I 1 ≅ 120 ,0 V , U 2 = Z 2 ⋅ I 2 ≅ 107,4 V ,
albo U 2 = Z 3 ⋅ I 3 ≅ 107, 4 V , albo U 2 = Z 23 ⋅ I1 ≅ 107,4 V ;
S = Z ⋅ I12 ≅ 1009,1 − j144,2 ≅ 1019 ⋅ e − j 8,1° (VA),
S 1 = Z 1 ⋅ I 12 ≅ 720,8 + j 720,8 ≅ 1019 ⋅ e j 45° (VA),
S 2 = Z 2 ⋅ I 22 ≅ 288,3 + j 288,3 ≅ 408 ⋅ e j 45° (VA),
S 3 = Z 3 ⋅ I 32 ≅ − j1152,8 = 1153 ⋅ e − j 90° (VA),
S = S 1 + S 2 + S 3 ≅ (1009,1 − j143,7) VA (niedokładność wynika z zaokrągleń wyników obliczeń).
I3
Wykresy:
S2
I1
45°
-90°
I2
U2
U
S1
S3
U1
S
232
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 10-11. W przedstawionym układzie odbiornika jednofazowego dane są: R1 = XL = 5 2 Ω,
R2 = XC = 10 2 Ω, I2 = 1 A. Narysuj wykres wskazowy (przyjmij I2 = I2 ). Wyznacz wartości skuteczne: U2 , I3 , I1 , U1 , U .
Obliczenia (do wykresu) i wyniki (wg wykresu):
R1
L
I1
U 2 = R2 ⋅ I 2 = 10 2 V, ψ u 2 = ψ i 2 = 0 ,
U1
U
U2
U2
= 1 A, ψ i 3 = ψ u 2 − ϕ 3 = 90° ;
XC
= 0 i ψ i 3 = 90° , stąd
I2
I3
I3 =
R2
C
ψ i2
I 1 = I 22 + I 32 = 2 A,
U1
U
I3
I1
Z1 = R12 + X L2 = 10 Ω,
U 1 = Z1 ⋅ I1 = 10 2 V, ψ u1 = ψ i1 + ϕ1 = 90° ;
ψ u 2 = 0 i ψ u1 = 90° , stąd
U2
I2
I3
= 45° ;
I2
X
ϕ1 = arc tg L = 45° ,
R1
ψ i1 = arc tg
U1
= 45° .
U2
Dodatkowe ćwiczenie. Samodzielnie rozwiąż zadanie z użyciem rachunku symbolicznego.
U = U 12 + U 22 = 20 V,
ψ u = arc tg
Zad. 10-12. Oblicz rozpływ prądów (wartości symboliczne) w przedstawionym układzie odbiornika jednofazowego, w którym: R = XL = XC = 10 Ω, U = 230 V.
R
Rozwiązanie: Z R = 10 Ω, Z L = j10 Ω, Z C = − j10 Ω;
I13
Z 12 ⋅ Z 31
j10 ⋅ 10
C 3
L
I 1
Z1 =
=
= j10 Ω,
2 I23
Z 12 + Z 23 + Z 31
10
I12
I24
U
I34
L
C
Z2 =
Z 12 ⋅ Z 23
j10 ⋅ (− j10)
=
= 10 Ω,
Z 12 + Z 23 + Z 31
10
Z3 =
Z 23 ⋅ Z 31
(− j10) ⋅ 10
=
= − j10 Ω,
Z 12 + Z 23 + Z 31
10
4
(∇123 → Υ123) :
(Z 2 + Z L ) ⋅ (Z 3 + Z C )
=
Z
+
Z
+
Z
+
Z
I 1
2
L
3
C
U12
2
3
(10 + j10) ⋅ (− j 20)
I24
= j10 +
= 20 + j10 ≅ 22,36 ⋅ e j 26,57° (Ω),
I34
10 − j10
U
ZL
U
230 − j 26,57°
ZC
I= ≅
⋅e
≅ 10,3 ⋅ e − j 26,57° ≅ (9,2 − j 4,6) A;
4
Z 22,36
Z3 + ZC
− j 20
20 ⋅ 10,3 j ( −90+ 45−26,6)°
dla dzielnika prądu: I 24 =
⋅I =
⋅I ≅
⋅e
=
Z2 + ZL + Z3 + ZC
10 − j10
10 2
Z1
Z2
Z3
Z = Z1 +
≅ 14,6 ⋅ e − j 71,6° ≅ (4,6 − j13,8) A;
I 34 = I − I 24 ≅ 4,6 + j 9,2 ≅ 10,3 ⋅ e j 63, 4° (A); U 12 = Z 1 ⋅ I + Z 2 ⋅ I 24 ≅ j10 ⋅ (−4,6 − j 9,2) V,
U
I 12 = 12 ≅ −4,6 − j 9,2 ≅ 10,3 ⋅ e j ( 63, 4−180)° = 10,3 ⋅ e − j116,6° (A),
ZL
I 13 = I − I 12 ≅ 13,8 + j 4,6 ≅ 14,6 ⋅ e j18, 4° (A),
I 23 = I 12 − I 24 ≅ −9,2 + j 4,6 ≅ 10,3 ⋅ e j (180−26,6)° = 10,3 ⋅ e j153, 4° (A).
233
Zadania
11. OBWODY ROZGAŁĘZIONE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Zad. 11-1. Oblicz rozpływ prądów (wartości symboliczne) w przedstawionym obwodzie prądu
sinusoidalnego (układ z zadania 10-12), stosując metodę: a) klasyczną (równań Kirchhoffa),
b) oczkową. Sporządź bilans mocy obwodu. Dane: U = 230 V; R = XL = XC = 10 Ω, tzn.
Z R = 10 Ω, Z L = j10 Ω, Z C = − j10 Ω.
R
I13
I
U
I12
Liczba gałęzi g = 6 .
Liczba węzłów w = 4 .
1
3
Liczba węzłów niezależnych
2
1
m = w – 1 = 3.
2
Liczba oczek niezależnych
4
n = g – m = 3.
Obrane węzły niezależne: 1, 2, 3; oczka niezależne: 1, 2, 3.
3
C 3
2 I23
L
1
Graf obwodu z wybranymi konarami (grube linie):
I24
I34
L
1
3
2
C
4
A. Macierzowe równanie równowagi względem prądów – wzór wielkościowy:
1
1
0
0
0 I 0
-1
0 -1 0
1
1
0 I 12 0
0
0 -1 -1
0
1 I 13 0
⋅ =
Z L 0 I 23 U
0 ZL 0 0
0
0
0 Z C - Z L Z C I 24 0
0 I 34 0
0 - Z L Z R - Z C 0
Pierwsze 3 wiersze macierzy dotyczą węzłów (równań prądowych wg I prawa Kirchhoffa), zaś
3 kolejne – oczek (równań napięciowych wg II prawa Kirchhoffa).
Wzór liczbowy (jednostki odpowiednio: [Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [U..] = 1 V):
1
−1
0
−1
0
0
j10
0
0
0
0 − j10
1
0
0
0
1
1
−1
−1
0
0
0
j10
0
− j10
10
j10
− j10
0
0 I 0
0 I 12 0
1 I 13 0
⋅ =
.
0 I 23 230
− j10 I 24 0
0 I 34 0
Jest to zapis układu równań liniowych z g niewiadomymi (którymi są wartości symboliczne prądów). Rozwiązanie uzyskuje się ze wzorów Cramera (oczywiście można też użyć programu komputerowego do rozwiązywania układów równań liniowych na liczbach zespolonych). Przy 6 niewiadomych obliczenia są pracochłonne, dlatego została wyznaczona wartość tylko jednego prądu.
Wyznaczniki potrzebne do wyznaczenia wartości I (dwie formy zapisu):
1
−1
0
−1
0
0
W = det
j10
0
0
0
0 − j10
1
0
0
0
1
1
−1
−1
0
0
0
j10
0
− j10
10
j10
− j10
0
0
0
1
=
0
− j10
0
−1
1
1
0
0
0
0
−1
0
1
1
0
0
0
−1
−1
0
1
0
j10
0
0
j10
0
0
0
0
− j10
− j10
− j10
10
j10
0
0
0
− j10
234
Elektrotechnika podstawowa
1
0
0
−1
0
0
W I = det
230 j10
0
0
0 − j10
1
0
0
0
1
1
−1
−1
0
0
0
j10
0
− j10
10
j10
− j10
0
0
0
1
=
0
− j10
0
0
1
1
0
0
0
0
−1
0
1
1
0
0
0
−1
−1
0
1
230
j10
0
0
j10
0
0
0
0
− j10
− j10
− j10
10
j10
0
0
0
− j10
Obliczenia podanych wyznaczników. Postaraj się obliczyć samodzielnie powyższe wyznaczniki, aby
przypomnieć sobie reguły postępowania oraz ocenić nakład pracy i ryzyko popełnienia błędów
(związane silnie z liczbą zmiennych, tj. ze stopniem wyznacznika).
W = 1000 ⋅ (3 − j1) ,
Wyniki obliczeń:
I=
WI
= 23 ⋅
W
W I = 23000 ⋅ (1 − j1) ,
1 − j1
= 2,3 ⋅ (1 − j1) ⋅ (3 + j1) = (9,2 − j 4,6) A.
3 − j1
Obliczenie wartości innego prądu. Celem doskonalenia umiejętności w obliczaniu wyznaczników,
wyznacz samodzielnie wartość symboliczną prądu którejś z pozostałych gałęzi obwodu.
B. Macierzowe równanie oczkowe – wzór wielkościowy (dla zaznaczonych prądów oczkowych):
2⋅Z L
-ZL
- Z L
R
I13
Io3
L
1
I
U
I12
C 3
2 I23
I24
Io1
Io2
I o1 U
-ZC
⋅ I o2 = 0
Z R + Z L + Z C I o3 0
-ZL
Z L + 2⋅ZC
-ZC
;
wzór liczbowy (jednostki: [Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [U..] = 1 V):
I34
L
-ZL
− j10
j 20
− j10
− j10
C
4
− j10
j10
− j10 I o1 230
j10 ⋅ I o 2 = 0 ;
10 I o3 0
230
− j10
− j10
0
0
− j10
j10
j10
10
wyznaczniki:
j 20
W = − j10
− j10
j 20
− j10
− j10
− j10
j10
230
W2 = − j10
− j10
W1 =
j10 ,
10
− j10
j 20
W3 = − j10
− j10
j10 ,
10
0
0
− j10
230
− j10
j10
0
0
,
.
Wyniki obliczeń: W = 1000 ⋅ (3 − j1) , W1 = 23000 ⋅ (1 − j1) , W2 = 23000 ⋅ (1 + j1) , W3 = 46000 ;
I o1 =
W1
= (9,2 − j 4,6) A,
W
I o2 =
W2
= (4,6 + j 9,2) A,
W
I = I o1 = (9,2 − j 4,6) A,
I 13 = I o3 = (13,8 + j 4,6) A,
I o3 =
W3
= (13,8 + j 4,6) A;
W
I 12 = I o1 − I o3 = (−4,6 − j 9,2) A,
I 23 = I o 2 − I o3 = (−9,2 + j 4,6) A,
I 24 = I o1 − I o 2 = (4,6 − j13,8) A,
I 34 = I o 2 = (4,6 + j 9,2) A.
235
Zadania
Bilans mocy obwodu:
- moc wydawana przez idealne źródło napięciowe
S gen = U ⋅ I * = 230 ⋅ (9,2 + j 4,6) = (2116 + j1058) VA;
- moce pobierane przez elementy pasywne gałęzi
Podb = ∑ Rk ⋅ I k2 = 10 ⋅ (13,8 2 + 4,6 2 ) = 2116 W,
k
Qodb = ∑ X k ⋅ I k2 = 10 ⋅ (4,6 2 + 9,2 2 ) − 10 ⋅ (9,2 2 + 4,6 2 ) +
k
+ 10 ⋅ (4,6 2 + 13,8 2 ) − 10 ⋅ (4,6 2 + 9,2 2 ) = 1058 var;
- sprawdzenie równości mocy wydawanej i odbieranej
S odb = Podb + jQodb = (2116 + j1058) VA, zatem S gen = S odb .
Zad. 11-2. Stosując metodę oczkową oblicz rozpływ prądów (wartości symboliczne) w przedstawionym obwodzie prądu sinusoidalnego. Sporządź bilans mocy obwodu.
1Ω
a)
I1
1Ω
I2
Graf obwodu z wybranymi konarami:
6V
j1 Ω
–j1 Ω
Liczba węzłów w = 3 .
Liczba węzłów niezależnych m = w – 1 = 2 .
Liczba oczek niezależnych n = g – m = 3 .
Obrane oczka niezależne: 1, 2, 3.
I5
1Ω
I3
Liczba gałęzi g = 5 .
3
j6 V
Io3
I4
2
1
Io2
Io1
Macierzowe równanie oczkowe – wzór liczbowy (jednostki: [Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [E..] = 1 V):
1 − j1
0
j1
0
1 + j1
− j1
j1 I o1 6
− j1 ⋅ I o 2 = − j 6 ;
1 I o3 0
wyznaczniki:
1 − j1
W =
0
j1
Wartości prądów:
j1
1 + j1
− j1
0
j1
1 − j1
W2 =
0
6
− j6
0
6
− j1 = 4 ,
1
Podb = ∑
W1 = − j 6
0
1 + j1
− j1
1 − j1
j1
− j1 = − j12 ,
1
W3 =
0
j1
0
1 + j1
− j1
j1
− j1 = 12 ,
1
6
− j 6 = 12 − j12 .
0
W
W1
W
= 3 A,
I o 2 = 2 = (− j 3) A,
I o3 = 3 = (3 − j 3) A;
W
W
W
I 1 = I o1 = 3 A,
I 2 = I o 2 = (− j 3) A,
I 3 = I o3 = (3 − j 3) A,
I o1 =
I 4 = I o1 − I o3 = ( j 3) A,
Bilans mocy:
0
I 5 = I o3 − I o 2 = 3 A.
S gen = ∑ E k ⋅ I k = 6 ⋅ 3 − j 6 ⋅ (+ j 3) = (36 + j 0) VA;
Rk ⋅ I k2
*
k
2
= 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ (3 2 + 3 2 ) = 36 W,
k
S odb = Podb + jQodb = (36 + j 0) VA;
Qodb = ∑ X k ⋅ I k2 = −1 ⋅ 3 2 + 1 ⋅ 3 2 = 0 var;
k
S gen = S odb .
236
Elektrotechnika podstawowa
j2 Ω
1Ω
b)
I2 1 Ω
I1
I6
Io1
6V
Liczba węzłów w = 4 .
3
1Ω
Io3
Liczba węzłów niezależnych m = w – 1 = 3 .
Liczba oczek niezależnych n = g – m = 3 .
Obrane oczka niezależne: 1, 2, 3.
1Ω
j12 V
Liczba gałęzi g = 6 .
2
j9 V
I4
1Ω
I5
1
2Ω
Io2
I3
Graf obwodu z wybranymi konarami (wybór
wg zasady innej niż poprzedno):
–j2 Ω
Macierzowe równanie oczkowe – wzór liczbowy (jednostki: [Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [E..] = 1 V):
4 + j2
2 + j2
− 1
2 + j2
− 1 I o1 6
− 2 ⋅ I o 2 = 6 − j 9 ;
3 I o3 j12
4
−2
wyznaczniki:
4 + j2
W = 2 + j2
−1
4 + j2
2 + j2
−1
4
−2
− 2 = 36 ,
3
W1 = 6 − j 9
j12
−1
6
W2 = 2 + j 2
−1
6
6 − j9
j12
4 + j2
− 2 = 72 − j 27 ,
3
W3 = 2 + j 2
−1
2 + j2
−1
4
−2
− 2 = 18 ,
3
2 + j2
4
−2
6
6 − j 9 = 54 + j126 .
j12
W
W1
W
= 0,5 A,
I o 2 = 2 = (2 − j 0,75) A,
I o3 = 3 = (1,5 + j 3,5) A;
W
W
W
I 1 = I o1 + I o 2 = (2,5 − j 0,75) A,
I 2 = I o 2 = (2 − j 0,75) A,
I o1 =
Wartości prądów:
I 3 = I o1 + I o 2 − I o3 = (1 − j 4,25) A,
I 5 = I o3 = (1,5 + j 3,5) A,
I 4 = I o3 − I o 2 = (−0,5 + j 4,25) A,
I 6 = I o1 = 0,5 A.
Bilans mocy:
S gen = ∑ E k ⋅ I k = 6 ⋅ (2,5 + j 0,75) − j 9 ⋅ (2 + j 0,75) + j12 ⋅ (1,5 − j 3,5) = (63,75 + j 4,5) VA;
*
k
Podb = ∑ Rk ⋅ I k2 = 1 ⋅ (2,5 2 + 0,75 2 ) + 1 ⋅ (2 2 + 0,75 2 ) + 1 ⋅ (12 + 4,25 2 ) + 1 ⋅ (0,5 2 + 4,25 2 ) +
k
+ 1 ⋅ (1,5 2 − 3,5 2 ) + 2 ⋅ 0,5 2 = 63,75 W,
Qodb = ∑ X k ⋅ I k2 = 2 ⋅ (2,5 2 + 0,75 2 ) − 2 ⋅ (1,5 2 + 0,75 2 ) = 4,5 var;
k
S odb = Podb + jQodb = (63,75 + j 4,5) VA;
c)
10 Ω
100 V
j35 Ω
I1
I2
j20 Ω
I3
–j20 Ω
40 Ω
S gen = S odb .
Odpowiedź:
I 1 = (1,6 − j1,2) A, I 2 = (0,6 + j 3,3) A,
j100 V
I 3 = (2,2 + j 2,1) A;
S gen = S odb = (490 + j180) VA.
237
Zadania
Zad. 11-3. Stosując metodę węzłową oblicz rozpływ prądów (wartości symboliczne) w przedstawionym obwodzie prądu sinusoidalnego. Sporządź bilans mocy obwodu.
5A
a)
Liczba węzłów w = 3 .
V1
Liczba węzłów niezależnych m = w – 1 = 2 .
j1 S
I2
Potencjał w obranym węźle odniesienia V0 = 0 .
V2
I3
1S
j5 A
Macierzowe równanie węzłowe – wzór liczbowy
(jednostki: [Y..] = 1 S, [Iźr..] = 1 A, [V..] = 1 V):
1S
1 + j1
− j1
j5 A
I1
V0 = 0
W =
wyznaczniki:
W1 =
1 + j1
− j1 V 1 − 5 + j 5
;
⋅ =
1 + j1 V 2 5 − j 5
− j1
= 1 + j2 ,
1 + j1
− j1
− 5 + j5
− j1
5 − j5
1 + j1
= −(5 − j 5) ,
W2 =
1 + j1
− 5 + j5
− j1
5 − j5
= 5 − j5 .
W1
W
= (1 + j 3) V,
V 2 = 2 = −(1 + j 3) V.
W
W
Wartości napięć gałęziowych (odbiornikowych): U 1 = V 0 − V 1 = (−1 − j 3) V,
V1 =
Wartości potencjałów:
U 2 = V 1 − V 2 = (2 + j 6) V,
I 1 = Y 1 ⋅ U 1 = (−1 − j 3) A,
Wartości prądów:
U 3 = V 2 − V 0 = (−1 − j 3) V.
I 2 = Y 2 ⋅ U 2 = (−6 + j 2) A,
I 3 = Y 3 ⋅ U 3 = (−1 − j 3) A.
Bilans mocy:
S gen = ∑ U źr .k ⋅ I źr .k = −U 1 ⋅ I źr .1 − U 2 ⋅ I źr .2 − U 3 ⋅ I źr .3 =
*
k
*
*
*
= (1 + j 3) ⋅ (− j 5) + (−2 − j 6) ⋅ 5 + (1 + j 3) ⋅ (− j 5) = (20 − j 40) VA,
S odb = ∑ Y k ⋅ U k2 = 1 ⋅ (12 + 3 2 ) + (− j1) ⋅ (2 2 + 6 2 ) + 1 ⋅ (12 + 3 2 ) = (20 − j 40) VA.
*
k
b)
1S
6V
I1
I2
V0 = 0
E1
I4
j1 S
Iźr
E2
j6 V
–j1 S
(2–j2) A
V1
b’)
1S
I1
1S
≡
V0 = 0
6A
I4
I2
j1 S
V2
V1
j6 A
–j1 S
(2–j2) A
I3
1S
I3
V2
Uwaga. Metodę węzłową stosuje się, jak wiadomo, do obwodów zawierających wyłącznie źródła
prądowe, stąd zaszła konieczność zamiany rzeczywistych źródeł napięciowych na prądowe
(wartości prądów źródłowych: 1 S ⋅ 6 V = 6 A , 1 S ⋅ j6 V = j6 A ;
wypadkowe wydajności
prądowe źródeł do węzłów, wyrażone w amperach: 2 – j2 – 6 = – 4 – j2 ; – 2 + j2 – j6 = – 2 – j4 ).
Liczba węzłów w = 3 ; liczba węzłów niezależnych m = w – 1 = 2 .
Potencjał w obranym węźle odniesienia V0 = 0 .
238
Elektrotechnika podstawowa
Macierzowe równanie węzłowe – wzór liczbowy (jednostki: [Y..] = 1 S, [Iźr..] = 1 A, [V..] = 1 V):
1 + j1
W =
wyznaczniki:
W1 =
1 + j1
0
0
1 − j1
0
− 4 − j2
0
− 2 − j4
1 − j1
V 1 − 4 − j 2
;
⋅ =
1 − j1 V 2 − 2 − j 4
0
= 2,
= 2(−3 + j1) ,
W2 =
1 + j1
− 4 − j2
0
− 2 − j4
= 2(1 − j 3) .
W1
W
= (−3 + j1) V,
V 2 = 2 = (1 − j 3) V.
W
W
Wartości napięć gałęziowych (odbiornikowych):
U 1 = V 1 = (−3 + j1) V, U 2 = V 2 = (1 − j 3) V, U 3 = −V 2 = (−1 + j 3) V, U 4 = −V 1 = (3 − j1) V.
Wartości potencjałów:
V1 =
Wartość napięcia na danym źródle prądowym (generatorowego): U źr = V 1 − V 2 = (−4 + j 4) V.
I 1 = Y 1 ⋅ (U 1 + E 1 ) = (3 + j1) A,
Wartości prądów:
I 3 = Y 3 ⋅ U 3 = (3 + j1) A,
I 2 = Y 2 ⋅ (U 2 + E 2 ) = (1 + j 3) A,
I 4 = Y 4 ⋅ U 4 = (1 + j 3) A.
Bilans mocy:
S gen = ∑ E k ⋅ I k + U źr .k ⋅ I źr .k = E 1 ⋅ I 1 + E 2 ⋅ I 2 + U źr ⋅ I źr =
*
k
*
*
*
*
= 6 ⋅ (3 − j1) + j 6 ⋅ (1 − j 3) + (−4 + j 4) ⋅ (2 + j 2) = (20 + j 0) VA,
Podb = ∑ Rk ⋅ I k2 = 1 ⋅ (3 2 + 12 ) + 1 ⋅ (12 + 3 2 ) = 20 W,
k
Qodb = ∑ X k ⋅ I k2 = 1 ⋅ (3 2 + 12 ) − 1 ⋅ (12 + 3 2 ) = 0 var;
k
S odb = Podb + jQodb = (20 + j 0) VA;
S gen = S odb .
j5 Ω
5Ω
Zad. 11-4. Oblicz wartość prądu I w przedstawionym obwodzie prądu sinusoidalnego, stosując:
a) metodę oczkową, b) metodę węzłową c) zasadę
superpozycji, d) twierdzenie Thevenina, e) twierdzenie Nortona.
Uwaga. Aby uzyskać możliwość zastosowania metod oczkowej oraz węzłowej, trzeba przekształcić
obwód do odpowiednich postaci poprzez „przeniesienie” i zamianę źródeł.
j20 V
I
10 V
5Ω
–j5 Ω
5Ω
4A
a) Metoda oczkowa – przekształcenie obwodu i dobór oczek (ze względu na szukany prąd I ):
5Ω
j5 Ω
j20 V
5Ω
j5 Ω
I
10 V
4A
j20 V
I
5Ω
5Ω
–j5 Ω
4A
≡
Io1
5Ω
Io2
5Ω
10 V
–j5 Ω
(20 – j 20) V
239
Zadania
Macierzowe równanie oczkowe przekształconego obwodu – wzór liczbowy (jednostki: [Z..] = 1 Ω,
[I..] = 1 A, [E..] = 1 V):
5 + j 5 I o1 − 10
10 + j 5
;
⋅ =
5 + j5
10 I o 2 − 30 + j 40
wyznaczniki:
10 + j 5
5 + j5
− 10
5 + j5
W =
= 100 ,
W1 =
= 250 − j 50 ;
5 + j5
10
− 30 + j 40
10
W1
= (2,5 − j 0,5) A.
W
b) Metoda węzłowa – admitancje gałęzi i przekształcony obwód:
1
1
1
Y1 =
= (0,1 − j 0,1) S; Y 2 =
= (0,1 + j 0,1) S; Y = = 0,2 S.
5
5 + j5
5 − j5
I = I o1 =
szukana wartość :
(5+j5) Ω
V
I
5Ω
10 V
(5–j5) Ω
I
≡
j20 V
Y1
Y
4A
Y2
(–2+j2) A
(1–j1) A
4A
V0 = 0
Równanie węzłowe – wzór liczbowy (jednostki: [Y..] = 1 S, [Iźr..] = 1 A, [V..] = 1 V):
(0,1 − j 0,1 + 0,1 + j 0,1 + 0,2) ⋅ V = −(1 − j1) − (−2 + j 2) + 4 ;
szukane wartości potencjału i prądu: V = (12,5 − j 2,5) V,
I = Y ⋅ V = (2,5 − j 0,5) A.
c’) Zasada superpozycji, wersja podstawowa (pojedyncze źródła napięciowe oraz prądowe):
(5+j5) Ω
j20 V
(5+j5) Ω
(5+j5) Ω
(5+j5) Ω
j20 V
I
I ’’’
5Ω
(5–j5) Ω
10 V
≡
4A
I’
I ’’
5Ω
5Ω
(5–j5) Ω
+
10 V
(5–j5) Ω
5Ω
+
4A
(5–j5) Ω
5 ⋅ (5 + j 5)
5 + j5
j 20
+ 5 − j 5 = (8 − j 4) Ω; I ' = −
⋅
= (1 − j1) A
10 + j 5
10 + j 5 8 − j 4
5 ⋅ (5 − j 5)
5 − j5
10
+ 5 + j 5 = (8 + j 4) Ω; I ' ' = −
⋅
= (−0,5 + j 0,5) A
10 − j 5
10 − j 5 8 + j 4
1
1
1
0,2
= (0,1 − j 0,1) S;
= (0,1 + j 0,1) S;
= 0,2 S; I ' ' ' =
⋅4 = 2A
5 + j5
5 − j5
0,1 − j 0,1 + 0,1 + j 0,1 + 0,2
5
I = I ' + I ' ' + I ' ' ' = (2,5 − j 0,5) A
240
Elektrotechnika podstawowa
c”) Zasada superpozycji, wersja grupowa (zgrupowane źródła napięciowe oraz prądowe):
(5+j5) Ω
j20 V
(5+j5) Ω
(5+j5) Ω
j20 V
V
I
I ’’
5Ω
(5–j5) Ω
10 V
≡
I’
Io1
5Ω
5Ω
+
Io2
4A
(5–j5) Ω
10 V
V0 = 0
4A
(5–j5) Ω
Macierzowe równanie oczkowe obwodu ze źródłami napięciowymi – wzór liczbowy (jednostki:
[Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [E..] = 1 V):
5 + j 5 I o1 − 10
10 + j 5
;
⋅ =
5 + j5
10 I o 2 − 10 + j 20
wyznaczniki:
10 + j 5
5 + j5
− 10
5 + j5
W =
= 100 ,
W1 =
= 50 − j 50 ;
5 + j5
10
− 10 + j 20
10
W1
= (0,5 − j 0,5) A.
W
Równanie węzłowe obwodu ze źródłem prądowym – wzór liczbowy (jednostki: [Y..] = 1 S,
[Iźr..] = 1 A, [V..] = 1 V; admitancje gałęzi – obliczone wyżej):
(0,1 − j 0,1 + 0,1 + j 0,1 + 0,2) ⋅ V = 4 ;
szukana wartość prądu w pierwszym obwodzie:
I ' = I o1 =
szukane wartości potencjału i prądu w drugim obwodzie: V = 10 V,
Wartość prądu w danym obwodzie:
I ' ' = 0,2 ⋅ 10 = 2 A.
I = I ' + I ' ' = (2,5 − j 0,5) A.
d) Twierdzenie Thevenina i zasada superpozycji – wyznaczenie wartości napięcia jałowego:
(5+j5) Ω
j20 V
U0
(5–j5) Ω
10 V
(5+j5) Ω
≡
4A
U0’
10 V
(5+j5) Ω
j20 V
I0”
U0’’
I0’
+
(5–j5) Ω
4A
10 − j 20
= (1 − j 2) A,
U 0 ' = (5 + j 5) ⋅ (1 − j 2) − 10 = (5 − j 5) V;
10
5 − j5
I 0 '' =
⋅ 4 = (2 − j 2) A,
U 0 ' ' = (5 + j 5) ⋅ (2 − j 2) = 20 V;
10
U 0 = U 0 ' + U 0 ' ' = (25 − j 5) V.
(5+j5) Ω
(5–j5) Ω
I 0'=
Impedancja wewnętrzna i szukana wartość
prądu (wg schematów obok):
Z w = 5 Ω,
I = (2,5 − j 0,5) A.
Zw
I
Zw
(5–j5) Ω
U0
5Ω
241
Zadania
e) Twierdzenie Nortona i zasada superpozycji – wyznaczenie wartości prądu zwarcia:
(5+j5) Ω
j20 V
(5+j5) Ω
Iz
≡
(5–j5) Ω
10 V
Iz ’
I z'= −
j 20
= (2 − j 2) A,
5 − j5
I z '' = −
+
+
10 V
(5–j5) Ω
10
= (−1 + j1) A,
5 + j5
I z = I z ' + I z ' ' + I z ' ' ' = (5 − j1) A.
4A
(5–j5) Ω
I z ' ' ' = 4 A,
(0,1–j0,1) S
I
Admitancja wewnętrzna i szukana wartość
prądu (wg schematów obok):
Y w = 0,2 S,
Iz’’’
Iz’’
(5–j5) Ω
4A
(5+j5) Ω
(5+j5) Ω
j20 V
Yw
I = (2,5 − j 0,5) A.
Yw
Iz
0,2 S
(0,1+j0,1) S
Zad. 11-5. Oblicz wartości symboliczne prądów gałęziowych w przedstawionym obwodzie prądu
sinusoidalnego. Sporządź bilans mocy obwodu.
1A
I1
I2
(2–j2) A
1A
j2 V 4 Ω
I1
↔
–j4 Ω
I4
j4 Ω
I3
j2 V 4 Ω
↔
I2
(2–j2) A
I1’ (4+j2) V 4 Ω
I4’
j4 Ω
j6 V
I2’
I4’
(8+j8) V
j4 Ω
j6 V
j6 V
Uwaga. Gałąź 4. (z prądem I4 ) jest utworzona przez idealne źródło napięciowe. Wobec tego prąd I3
można obliczyć od razu i wyłączyć z analizy, sprowadzając obwód do prostszej postaci (dołączenie
równoległe gałęzi 3. do gałęzi 4. stanowi dla pozostałej części obwodu tzw. połączenie nieistotne).
Następnie, można zamienić rzeczywiste źródła prądowe na napięciowe, otrzymując w efekcie
obwód nierozgałęziony. Obliczenie prądu w tym obwodzie nie kończy jednak zadania, trzeba
bowiem wyznaczyć wartości prądów w obwodzie zadanym.
j6
I3 =
= −1,5 A,
− j4
I 1' =
8 + j8 + 4 + j 2 − j 6
= (2 − j1) A,
4 + j4
I 1 = I 1 ' − 1 = (1 − j1) A,
I 2 ' = I 4 ' = (−2 + j1) A,
I 2 = I 2 ' + (2 − j 2) = − j1 A,
I 4 = I 4 ' + I 3 = (−3,5 + j1) A.
Bilans mocy:
S gen = j 4 ⋅ (− j1) ⋅ (2 + j 2) + [ j 2 − 4 ⋅ (1 − j1)] ⋅ 1 + j 2 ⋅ (1 + j1) + j 6 ⋅ (−3,5 − j1) = (8 − j 5) VA,
Podb = 4 ⋅ (12 + 12 ) = 8 W,
S odb = (8 − j 5) VA,
Qodb = 4 ⋅ 12 − 4 ⋅ 1,5 2 = −5 var,
S gen = S odb .
242
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 11-6. Stosując różne metody oblicz wartości symboliczne prądów gałęziowych w przedstawionym obwodzie prądu sinusoidalnego. Sporządź bilans mocy obwodu.
j3 Ω
–j3 Ω
Odpowiedź:
I1
I2
j3 A
1Ω
I 1 = (−7 − j 2) A,
2Ω
12 V
I 2 = (7 − j1) A,
S gen = S odb = (153 + j 9) VA.
Zad. 11-7. Dobierz taką wartość impedancji Z, aby wydzielała się w niej największa moc czynna.
Oblicz prąd dopasowania (wartość skuteczną) i moc dopasowania (czynną).
Uwaga. Część zewnętrzną obwodu względem Z należy – korzystając z twierdzenia Thevenina –
przedstawić jako zastępcze źródło napięciowe i wyznaczyć jego parametry.
2 Ω –j2 Ω
a)
2 Ω –j4 Ω
(2–j2) Ω
Zw
2Ω
I
j6 Ω
Z
10 V
≡
I
U0
(2+j6) Ω
10 V
Z
(2–j4) Ω
(2–j2) Ω
U0
(2–j4) Ω
(2+j6) Ω
Zw
Obliczenia (wg rysunków pomocniczych – obok):
2 + j6
( 2 − j 2) ⋅ ( 2 + j 6)
U0 =
⋅ 10 = 5 ⋅ (2 + j1) V;
Zw =
+ (2 − j 4) = (5 − j 5) Ω;
4 + j4
4 + j4
Z = Z dop = Z *w = (5 + j 5) Ω,
U 0 = 5 5 ≅ 11,18 V;
I dop =
U0
,
Z w + Z dop
U0
Z w + Z dop
3Ω
1Ω
b)
I dop =
=
Rdop = Rw = Re Z w = 5 Ω;
U0
= 0,5 5 ≅ 1,118 A,
2 Rw
Rysunki pomocnicze:
–j7 Ω
Z
j12 V
8V
j4 Ω
I
–j7 Ω
j12 V
Obliczenia:
− j7
j4
U0 =
⋅8 −
⋅ j12 = (13,6 − j8,8) V;
1 − j7
3 + j4
I dop =
Z = Z dop = Z *w = (2,9 − j1,3) Ω,
U0
≅ 2,79 A,
2 Rw
j2 Ω
c)
1 ⋅ ( − j 7) 3 ⋅ j 4
+
= (2,9 + j1,3) Ω;
1 − j7
3 + j4
Rdop = Rw = Re Z w = 2,9 Ω;
2
Pdop = Rdop ⋅ I dop
≅ 22,6 W.
–j4 Ω
Odpowiedź:
Z dop = (1 + j 2) Ω,
I
1Ω
Zw =
6A
j12 V
Z
–j7 Ω
j4 Ω
Zw
j4 Ω
U0
U 0 ≅ 16,20 V;
3Ω
1Ω
3Ω
1Ω
8V
2
Pdop = Rdop ⋅ I dop
= 6,25 W.
I dop = 3 A,
Pdop = 9 W.
243
Zadania
12. OBWODY PRĄDU SINUSOIDALNEGO ZE SPRZĘŻENIAMI MAGNETYCZNYMI
Zad. 12-1. Określ wskazanie woltomierza w danym układzie prądu sinusoidalnego (woltomierz,
jak zwykle, traktuje się jako idealny, tzn. niepobierający prądu).
a)
j10 Ω
I j20 Ω
100 V
Rozwiązanie:
- w gałęzi z woltomierzem nie płynie prąd, więc
100
= 2 A;
Z = 40 2 + (20 − 50) 2 = 50 Ω, I =
50
- przyjmując I = I = 2 A otrzymuje się:
j30 Ω
UV
–j50 Ω
40 Ω
60 Ω
UV
V
U V = − j 50 ⋅ 2 + j10 ⋅ 2 = − j80 V,
b)
j10 Ω
I j20 Ω
100 V
c)
I
100 V
j30 Ω
UV
–j50 Ω
60 Ω
40 Ω
UV
–j50 Ω
j30 Ω
j20 Ω
UV
40 Ω
j10 Ω
I
100 V
UV
V
j30 Ω
j20 Ω
UV
40 Ω
Rozwiązanie:
Z = 50 Ω, I = 2 A;
zał. I = I = 2 A,
U V = j 20 ⋅ 2 + j10 ⋅ 2 = j 60 V,
U V = 60 V.
–j50 Ω
j10 Ω
Odpowiedź: U V = 120 V.
V
60 Ω
d)
U V = 80 V.
UV
V
Odpowiedź: U V = 20 V.
60 Ω
e)
I
j20 Ω
j10 Ω
100 V
40 Ω
f)
I
100 V
j30 Ω
j10 Ω
40 Ω
–j50 Ω
j30 Ω
UV
UV
V
Rozwiązanie:
X = 20 + 30 − 2 ⋅ 10 = 30 Ω,
Z = 50 Ω,
I = 2 A; zał. I = I = 2 A,
U V = j 30 ⋅ 2 − j10 ⋅ 2 = j 40 V,
60 Ω
U V = 40 V.
–j50 Ω
j20 Ω
UV
60 Ω
UV
V
Odpowiedź: U V = 20 V.
244
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 12-2. Określ wskazania przyrządów w przedstawionym układzie odbiornika jednofazowego.
Narysuj wykres wskazowy przyjmując I = I . Sporządź bilans mocy.
Dane: U = 120 V, R1 = XL1 = XM = XC = 10 Ω, R2 = XL2 = 20 Ω.
U1
a)
V1
U1
P
I
R1
I
L1
A
W
M
(sprzężenie dodatnie)
L2
U2
U2
U3
V2
V3
R2
U
C
U3
UC
UC VC
Schemat zastępczy obwodu po eliminacji sprzężenia magnetycznego (i odłączeniu mierników):
Z1
I
Z C = − jX C ,
U1
U
Obliczenia:
U2
Z2
UC
ZC
Z C = − j10 = 10 ⋅ e − j 90° (Ω),
Z 2 = Z L 2 + Z M = R2 + j ( X L 2 + X M )
Z 2 = 20 + j 30 ≅ 36,06 ⋅ e j 56,3° (Ω),
Z 3 = Z 2 + Z C = 20 + j 20 ≅ 28,28 ⋅ e j 45° (Ω),
Z = Z 1 + Z 3 = 30 + j 40 ≅ 50 ⋅ e j 53,1° (Ω),
Z = 50 Ω,
Z1 ≅ 22,36 Ω, Z 2 ≅ 36,06 Ω, Z 3 ≅ 28,28 Ω,
U
I = = 2,4 A; P = R ⋅ I 2 ≅ 173 W;
Z
U 1 = Z1 ⋅ I ≅ 53,7 V , U 2 = Z 2 ⋅ I ≅ 86,5 V ,
U C = Z C ⋅ I = 24 V ,
Z 1 = Z L1 + Z M = R1 + j ( X L1 + X M )
U3
Z 1 = 10 + j 20 ≅ 22,36 ⋅ e j 63, 4° (Ω),
Z M = jX M ,
R = Re Z = 30 Ω;
Z C = 10 Ω,
R1 I
jXL1 I
U 3 = Z 3 ⋅ I ≅ 67,9 V ;
UM12
do wykresu wskazowego i bilansu mocy –
I = I = 2,4 = 2,4 ⋅ e j 0° (A),
jXL2 I
U2
U 1 = Z 1 ⋅ I ≅ 53,7 ⋅ e j 63, 4° (V),
U 2 = Z 2 ⋅ I ≅ 86,5 ⋅ e j 56,3° (V),
U C = Z C ⋅ I = 24 ⋅ e − j 90° (V),
U M 12 = U M 21 = Z M ⋅ I = 24 ⋅ e j 90° (V).
U
U3
U = Z ⋅ I ≅ 120 ⋅ e j 53,1° (V),
U 3 = Z 3 ⋅ I ≅ 67,9 ⋅ e j 45° (V),
U1
I
UM21
UC
R2 I
(wykres wskazowy)
245
Zadania
Bilans mocy: S gen = U ⋅ I ≅ 288 ⋅ e j 53,1° ≅ (173 + j 230) VA,
*
S odb = U 1 ⋅ I + U 2 ⋅ I + U C ⋅ I =
*
*
*
≅ 128,9 ⋅ e j 63, 4° + 207,6 ⋅ e j 56,3° + 57,6 ⋅ e − j 90° =
≅ (57,7 + j115,3) + (115,2 + j172,7) − j 57,6 ≅ (173 + j 230) VA;
inaczej: S odb = R1 ⋅ I 2 + jX L1 ⋅ I 2 + U M 12 ⋅ I + R2 ⋅ I 2 + jX L 2 ⋅ I 2 + U M 21 ⋅ I − jX C ⋅ I 2 =
*
*
= 10 ⋅ 2,4 2 + j10 ⋅ 2,4 2 + 24 ⋅ 2,4 ⋅ e j 90° + 20 ⋅ 2,4 2 + j 20 ⋅ 2,4 2 + 24 ⋅ 2,4 ⋅ e j 90° − j10 ⋅ 2,4 2 =
= 57,6 + j 57,6 + j 57,6 + 115,2 + j115,2 + j 57,6 − j 57,6 ≅ (173 + j 230) VA;
jeszcze inaczej: S odb = Z ⋅ I 2 ≅ (173 + j 230) VA,
a więc zachodzi równość S gen = S odb .
b)
V1
U1
U1
P
I
R1
I
L1
A
W
M
(sprzężenie ujemne)
L2
U2
V2
U2
U3
R2
U
U3
V3
UC
UC VC
C
Schemat zastępczy obwodu po eliminacji sprzężenia magnetycznego:
Z1
I
Z C = − jX C ,
U1
U
U2
Z2
UC
ZC
U3
Wyniki obliczeń i wykres wskazowy:
I = 4 A;
Z 1 = Z L1 − Z M = R1 + j ( X L1 − X M )
Z 2 = Z L 2 − Z M = R2 + j ( X L 2 − X M )
U1
I
U
P = 480 W;
U3
U 1 = 40 V ,
U C = 40 V ,
U 2 ≅ 89,4 V ,
U 3 = 80 V ;
S gen = S odb = (480 + j 0) VA.
R1 I
U2
UC
Z M = jX M ,
R2 I
jXL1 I
UM12
jXL2 I
UM21
246
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 12-3. Określ wskazania przyrządów w przedstawionym układzie odbiornika jednofazowego.
Narysuj wykres wskazowy przyjmując U = U . Sporządź bilans mocy obwodu.
Dane: U = 120 V, R1 = XL1 = XM = XC = 10 Ω, R2 = XL2 = 20 Ω.
a)
U1
V1
U1
P
I1
R1
I1
A1
W
L1
I2
M
I3
A2 I2
I3
U2
A3
U
U2
V2
L2
C
R2
A. Rozwiązanie metodą przekształcania obwodu
Uwaga. Zasada eliminacji sprzężenia magnetycznego między gałęziami o wspólnym węźle,
odnosząca się do odmiennego usytuowania zacisków jednoimiennych cewek względem tego węzła:
R1
L1
R1
R2
jXM
– jXM
≡
M
jXL 1
R2
jXL 2
jXM
L2
Schemat zastępczy obwodu po eliminacji sprzężenia magnetycznego (i odłączeniu mierników):
U1
I1
Z 3 = Z C = − jX C ,
Z M = jX M ,
–ZM
Z ’1
Z '1 = Z L1 + Z M = R1 + j ( X L1 + X M )
U ’1
I2
I3
U
U ’2
Z ’2
Z3
U2
Z ' 2 = Z L 2 + Z M = R2 + j ( X L 2 + X M )
Z '3 = Z 3 − Z M = − j ( X C + X M )
Obliczenia:
Z '1 = 10 + j 20 ≅ 22,36 ⋅ e j 63, 4° (Ω),
Z 3 = − j10 = 10 ⋅ e − j 90° (Ω),
Z ' 23 =
Z ' 2 = 20 + j 30 ≅ 36,06 ⋅ e j 56,3° (Ω),
Z '3 = − j 20 = 20 ⋅ e − j 90° (Ω),
Z ' 2 ⋅Z ' 3
≅ 32,25 ⋅ e − j 60,3° = (16 − j 28) Ω,
Z ' 2 + Z '3
Z = Z '1 + Z ' 23 = 26 − j8 ≅ 27,203 ⋅ e − j17,1° (Ω),
U
U = U = 120 V, I 1 = ≅ 4,412 ⋅ e j17,1° (A),
Z
U '1 = Z '1 ⋅I 1 ≅ 98,63 ⋅ e j 80,5° ≅ (16,3 + j 97,3) V ,
U ' 2 = U − U '1 ≅ 103,8 − j 97,3 ≅ 142,3 ⋅ e − j 43,1° V ,
Z ≅ 27,20 3 Ω,
R = Re Z = 26 Ω;
P = R ⋅ I 12 ≅ 506 W;
247
Zadania
I2 =
U '2
≅ 3,946 ⋅ e − j 99, 4° (A),
Z '2
I3 =
U '2
≅ 7,115 ⋅ e j 46,9° (A)
Z '3
(sprawdzenie: P = R1 ⋅ I 12 + R2 ⋅ I 22 ≅ 506 W),
Z3
− jX C
−ZM
− jX M
U2 =
⋅ U '2 =
⋅ U ' 2 , U 1 = U '1 +
⋅ U ' 2 = U '1 +
⋅ U '2
Z3 − ZM
− jX C − jX M
Z3 − ZM
− jX C − jX M
U'
X C = X M → U 2 = 2 ≅ 71,2 ⋅ e − j 43,1° ≅ (51,9 − j 48,7) V,
2
U'
U 1 = U '1 + 2 ≅ 68,2 + j 48,6 ≅ 83,7 ⋅ e j 35,5° (V).
2
B. Rozwiązanie metodą oczkową
Impedancje własne i wzajemne, związane
z prądami oczkowymi – zapis wielkościowy:
Z 11 = R1 + jX L1 + R2 + jX L 2 + 2 jX M ,
U1
I1
R1
L1
I2
U
Io1
M
L2
Z 12 = Z 21 = −( R2 + jX L 2 ) − jX M ,
I3
Io2
C
U2
R2
Z 22 = R2 + jX L 2 − jX C ;
wartości tych impedancji:
Z 11 = (30 + j 50) Ω,
Z 12 = (−20 − j 30) Ω,
Z 22 = (20 + j10) Ω,
Uwaga. Sprzężenie dotyczy prądów oczkowych – w oczku lub między oczkami, przy czym trzeba
zwracać uwagę na zgodność lub niezgodność zwrotów prądów oczkowych względem zacisków
jednoimiennych cewek sprzężonych. Prąd Io1 dopływa z zewnątrz do zacisków jednoimienych
cewki 1. i 2., wobec czego pojawia się dodatkowy wyraz impedancji własnej 1. oczka, równy
+ 2 ⋅ jX M = j 20 (Ω) . Prąd Io1 dopływa z zewnątrz do zacisku jednoimiennego cewki 1., a prąd Io2
dopływa od wewnątrz do (odpływa na zewnątrz od) zacisku jednoimiennego cewki 2., wobec czego
pojawia się dodatkowy wyraz impedancji wzajemnej oczek 1. i 2., równy − jX M = − j10 (Ω) .
Równanie oczkowe liczbowe (jednostki: [Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A, [E..] = 1 V) i jego rozwiązanie:
30 + j 50
− 20 - j30
− 20 − j 30 I o1 120
,
⋅ =
20 + j10 I o 2 0
W = 100 ⋅ (6 + j1) ,
W1
2 + j1
= 12 ⋅
≅ 4,411 ⋅ e j17,1° ≅ (4,216 + j1,297) A,
W
6 + j1
W
2 + j3
W2 = 1200 ⋅ (2 + j 3) ,
I 3 = I o 2 = 2 = 12 ⋅
≅ 7,113 ⋅ e j 46,85° ≅ (4,865 + j 5,189) A.
W
6 + j1
Dalsze obliczenia: I 1 = I o1 , I 3 = I o 2 ,
W1 = 1200 ⋅ (2 + j1) ,
I 1 = I o1 =
I 2 = I o1 − I o 2 ≅ −0,649 − j 3,892 ≅ 3,946 ⋅ e j ( −180+80,5)° = 3,946 ⋅ e − j 99,5° (A).
P = R1 ⋅ I 12 + R2 ⋅ I 22 ≅ 10 ⋅ 4,4112 + 20 ⋅ 3,946 2 ≅ 506 W,
inaczej - P = Re(U ⋅ I 1 ) ≅ 120 ⋅ 4,216 ≅ 506 W;
*
U 1 = ( R1 + jX L1 ) ⋅ I 1 + jX M ⋅I 2 ≅ 14,14 ⋅ 4,411 ⋅ e j ( 45+17,1)° + 10 ⋅ 3,946 ⋅ e j (90−99,5)° =
≅ 68,1 + j 48,6 ≅ 83,7 ⋅ e j 35,5° (V),
U 2 = − jX C ⋅ I 3 ≅ 10 ⋅ 7,11 ⋅ e j ( −90+ 46,9)° = 71,1 ⋅ e − j 43,1° (V).
Wskazania przyrządów: I1 ≅ 4,41 A, I 2 ≅ 3,95 A, I 3 ≅ 7,11 A, U 1 ≅ 83,7 V, U 2 ≅ 71,1 V,
P ≅ 506 W.
248
Elektrotechnika podstawowa
Wykres wskazowy:
I3
I2
I1
R 1 I1
U
U1
jX1 I1
U2
U M 12 = jX M ⋅ I 2
UM12
R 2 I2
U M 21 = jX M ⋅ I 1
UM21
jX2 I2
Bilans mocy: S gen = U ⋅ I ≅ 529,3 ⋅ e − j17,1° ≅ (506 − j156) VA,
*
S odb = U 1 ⋅ I 1 + U 2 ⋅ I 2 + U 2 ⋅ I 3 =
*
*
*
≅ 369,2 ⋅ e j18, 4° + 281,0 ⋅ e j 56, 4° + 506,4 ⋅ e − j 90° =
≅ (350,3 + j116,5) + (155,5 + j 234,1) − j 506,4 ≅ (506 − j156) VA;
inaczej: S odb = R1 ⋅ I 12 + jX L1 ⋅ I 12 + U M 12 ⋅ I 1 + R2 ⋅ I 22 + jX L 2 ⋅ I 22 + U M 21 ⋅ I 2 − jX C ⋅ I 22 =
*
*
= 10 ⋅ 4,4112 + j10 ⋅ 4,4112 + 10 ⋅ 3,946 ⋅ 4,411 ⋅ e j (90−99,5−17,1)° + 20 ⋅ 3,946 2 +
+ j 20 ⋅ 3,946 2 + 10 ⋅ 4,411 ⋅ 3,946 ⋅ e j (90+17,1+99,5)° − j10 ⋅ 7,113 2 ≅ 194,6 + j194,6 +
+ 155,6 − j 77,9 + 311,4 + j 311,4 − 155,6 − j 77,9 − j 505,9 ≅ (506 − j156) VA,
a więc zachodzi równość S gen = S odb .
Uwaga. W analizowanym wyżej układzie przekazywana jest na drodze magnetycznej (z cewki 2.
do cewki 1.) moc czynna o wartości 155,6 W. W związku ze sprzężeniem magnetycznym, każda z
cewek pobiera przy tym moc bierną o wartości –77,9 var (pojemnościową).
b)
U1
V1
Odpowiedź:
U1
P
W
I1
A1
I1
R1
I 3 = 12 A;
I2
I2
M
U
I1 = 12 A; I 2 = 0 ;
L1
I3
I3
A2
3
L2
R2
A3
U 1 ≅ 169,7 V;
U2
U2
V2
U 2 = 120 V;
P = 1440 W;
S gen = S odb =
C
= (1440 + j 0) VA.
Wskazówka do rozwiązania metodą przekształcania obwodu. W porównaniu z porzednim układem
zmieniło się usytuowanie (względem węzła) zacisku jednoimiennego jednej z cewek, co pociąga za
sobą zmianę charakteru elementów schematu zastępczego: jXM (reaktancja indukcyjna) zamienia się
na –jXM (reaktancja pojemnościowa), i na odwrót.
249
Zadania
c)
U1
V1
Odpowiedź:
U1
P
I
I
I1
A1
A
W
I ≅ 16,97 A;
R1
I1
L1
I1 = 12 A;
I 2 ≅ 5,37 A;
M
U 1 ≅ 221,3 V;
R2
I2
I2
A2
L2
U
UC
C
U C ≅ 169,7 V;
UC
VC
P = 2016 W;
S gen = S odb =
= (2016 + j 288) VA.
Zad. 12-4. Stosując metodę oczkową oblicz wartości symboliczne prądów gałęziowych w przedstawionym obwodzie prądu sinusoidalnego.
Obwód zastępczy:
j20 Ω
– j20 Ω – j20 Ω
10 Ω
20 Ω
10 Ω
20 Ω
j20 Ω
I1
j40 Ω
I3
Io2
Io1
–j40 Ω
100 V
I1
I2
j20 Ω
I3
j20 Ω
Io1
I2
Io2
–j40 Ω
100 V
j100 V
j40 Ω
j100 V
Impedancje własne oraz wzajemne, wyznaczone tak dla jednego, jak dla drugiego obwodu, są
oczywiście identyczne. Równanie obwodu w postaci liczbowej (jednostki: [Z..] = 1 Ω, [I..] = 1 A,
[E..] = 1 V) i jego rozwiązanie są następujące:
10 − j 20
− j 20
− j 20 I o 1 100
,
Io 1 = 0, Io 2 = j5 A .
⋅
=
20 I o 2 j100
Wartości symboliczne prądów gałęziowych: I1 = 0,
I2 = I3 = j5 A.
Poprawność wyniku łatwo potwierdzić porównując wartości napięcia generatorowego gałęzi 1. z
napięciem odbiornikowym gałęzi 3.: U 1. gen = 100 − j 20 ⋅ j 5 = 200 V ; U 3.odb = − j 40 ⋅ j 5 = 200 V .
Zad. 12-5. Dobierz taką wartość impedancji Z, aby wydzielała się w niej największa moc czynna.
Oblicz prąd dopasowania (wartość skuteczną) i moc dopasowania (czynną).
j20 Ω
a)
10 Ω
Obwód zastępczy:
– j20 Ω
10 Ω
20 Ω
j20 Ω
j40 Ω
j20 Ω
I
–j40 Ω
100 V
Z
– j20 Ω
100 V
j40 Ω
j20 Ω
–j40 Ω
I
Zw
U
U0
Z
Zw
U0
Iz
20 Ω
I
Z
Aby rozwiązać zadanie, trzeba – korzystając z twierdzenia Thevenina – wyznaczyć parametry źródła zastępczego ( U0 , Zw = U0 / Iz ), którym jest część obwodu
widziana z zacisków odłączonej gałęzi o impedancji Z .
250
Elektrotechnika podstawowa
10 Ω
10 Ω
(20 + j20) Ω
–j20 Ω
100 V
U0 =
Obliczenia:
inaczej: I z =
–j20 Ω
U0
− j 20
⋅ 100 = (80 − j 40) V;
10 − j 20
Zw
(20 + j20) Ω
–j20 Ω
100 V
Z w = 20 + j 20 +
Iz
− j 20 ⋅ 10
= (28 + j16) Ω,
10 − j 20
U
100
− j 20
− j10
⋅
=
(A), Z w = 0 = (28 + j16) Ω;
− j 20 ⋅ (20 + j 20) − j 20 + (20 + j 20) 3 − j 2
Iz
10 +
− j 20 + (20 + j 20)
Z = Z dop = Z *w = (28 − j16) Ω,
U 0 = 40 5 V;
U0
40 5
=
≅ 1,597 A,
2 Rw
56
I dop =
10 Ω
(20 + j20) Ω
b)
Rdop = Rw = Re Z w = 28 Ω;
2
Pdop = Rdop ⋅ I dop
≅ 71,4 W.
j10 Ω
10 Ω
20 Ω
j10 Ω
–j10 Ω
120 V
c)
10 Ω
j20 Ω
j10 Ω
–j10 Ω
Odpowiedź:
I
Z dop = (60 − j10) Ω,
Z
I dop = 2 A,
15 Ω
Pdop = 240 W.
Obwód zastępczy:
(10+j15) Ω
j5 Ω
100 V
j8 Ω
j13 Ω
j100 V
I
I
100 V
Z
(10+j15) Ω
I0
U10
100 − j100
= (4 − j 4) A,
25
= (10 + j15) ⋅ (4 − j 4) = (100 + j 20) V,
Obliczenia:
j13 Ω
j100 V
U 10
Z w = j13 +
I dop =
Z = Z dop = Z *w = (15 − j16) Ω,
U0
20
=
≅ 0,667 A,
2 Rw 30
I0 =
U 0 = 100 − (100 + j 20) = − j 20 V,
U0
U 0 = 20 V;
j100 V
Z
(15–j15) Ω
100 V
(15–j15) Ω
(10 + j15) ⋅ (15 − j15)
= (15 + j16) Ω;
25
Rdop = Rw = Re Z w = 15 Ω;
2
Pdop = Rdop ⋅ I dop
≅ 6,67 W.
251
Zadania
d)
j10 Ω
10 Ω
15 Ω
–j10 Ω
Odpowiedź:
j8 Ω
j5 Ω
100 V
Z dop = (7 − j 4) Ω,
j100 V
I
I dop ≅ 3,194 A,
Pdop ≅ 71,4 W.
Z
e)
1Ω
1Ω
j2 Ω
j2 Ω
j1 Ω
6V
j1 Ω
6V
j6 V
j6 V
j1 Ω
j1 Ω
I
Z
1Ω
1Ω
Obwód zastępczy:
I
Z
Wyznaczenie napięcia jałowego (sem) źródła zastępczego metodą oczkową:
1Ω
1Ω
6V
j1 Ω
Io1
j1 Ω
j2 Ω
j2 Ω
1Ω
1Ω
j6 V
Io2
6V
≡
j1 Ω
U0
j6 V
Io1
Io2
j1 Ω
U0
(równanie oczkowe jest identyczne
dla układu podstawowego i zastępczego)
1 + j 2
j1
j1 I o 1 6
,
⋅
=
1 + j 2 I o 2 j 6
Io 1 = (1,2 – j3,6) A,
Io 2 = (1,2 +j2,4) A ;
U 0 = 6 − 1 ⋅ (1,2 − j 3,6) + 1 ⋅ (1,2 + j 2,4) − j 6 = 6 V
albo
U 0 = j1 ⋅ (1,2 − j 3,6) − j1 ⋅ (1,2 + j 2,4) = 6 V;
Wyznaczenie impedancji wewnętrznej źródła zastępczego:
- poprzez przekształcenie układu zastępczego dwójnika pasywnego (I sposób)
1Ω
1Ω
j1 Ω
j1 Ω
j1 Ω
≡
j3 Ω
Zw
2⋅
1 ⋅ j3
= 1,8 + j 0,6 ,
1 + j3
1Ω
1Ω
j3 Ω
j3 Ω
Zw
Zw =
(1,8 + j 0,6) ⋅ j 3
= (1 + j1) Ω
(1,8 + j 0,6) + j 3
252
Elektrotechnika podstawowa
- poprzez wyznaczenie prądu zwarcia metodą oczkową (II sposób)
1Ω
1Ω
6V
j1 Ω
Io1
j1 Ω
j2 Ω
j2 Ω
Io2
j6 V
≡
6V
Io1
Io2
j1 Ω
Io3
Iz
1Ω
1Ω
Iz
j1 Ω
Io3
(równanie oczkowe jest identyczne dla układu podstawowego i zastępczego)
1 + j 2
j1
− j1
− j1 I o 1 6
Iz = Io 3 = (3 – j3) A;
1 + j2
j1 ⋅ I o 2 = j 6 ,
j1
j 2 I o 3 0
U
6
U 0 = 6 V (obliczone wcześniej),
Zw = 0 =
= (1 + j1) Ω;
Iz
3 − j3
Wartości szukane:
U
6
2
Z = Z dop = Z *w = (1 − j1) Ω; I dop = 0 = = 3 A, Pdop = Rdop ⋅ I dop
= 9 W.
2 Rw 2
j1
1Ω
1Ω
f)
Odpowiedź:
j2 Ω
j2 Ω
j1 Ω
6V
j1 Ω
j2 Ω
2Ω
j3 Ω
3A
h)
j6 V
I
Z
j1 Ω
j2 Ω
2Ω
3A
Z dop = (1,8 − j 0,6) Ω,
I dop ≅ 2,236 A,
Pdop = 9 W.
I
Z
g)
j6 V
j3 Ω
j6 V
Odpowiedź:
Z dop = (2 − j 3) Ω,
I dop ≅ 1,677 A,
I
Odpowiedź:
Z dop = (2 − j 7) Ω,
Z
I dop ≅ 1,677 A,
Pdop = 5,625 W.
Pdop = 5,625 W.
j6 V
253
Zadania
13. OBWODY TRÓJFAZOWE
Zad. 13-1. Określ wskazania przyrządów przyłączonych do danego symetrycznego odbiornika trójfazowego, zasilanego napięciem 3×230/400 V (do obliczeń przyjmij: U f = 231 V i U = 400 V ).
Wyznacz moc czynną i moc bierną odbiornika.
a)
Dane: R = 115,5 Ω, X L = 200 Ω.
I1
R
L
L1
W1
U1
A1
Obliczenia do wykresu wskazowego:
U13
I2
L2
W2
R
L
Z = R 2 + X L2 ≅ 231 Ω,
A2
I3
L3
R
XL
≅ 60 o ;
R
Z1 = Z 2 = Z 3 = Z = 231 Ω,
ϕ = arc tg
L
A3
N
AN
ϕ1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ = 60 o ,
IN
I1 = I 2 = I 3 =
Uf
Z
=
231
= 1 A.
231
I A1 = I A2 = I A3 = 1 A;
1
P = 3 U I cos ϕ = 3 ⋅ 400 ⋅ 1 ⋅ ≅ 346,4 W;
2
3
Q = 3 U I sinϕ = 3 ⋅ 400 ⋅ 1 ⋅
= 600 var;
2
wg wykresu wskazowego I N = I 1 + I 2 + I 3 = 0 , I AN = 0 ;
Wyniki:
U3
ϕ3
I3
U13
I2
ϕ1
ϕ2
U1
I1
U2
1
= 115,5 W,
2
3
= −400 ⋅ 1 ⋅
≅ −346,4 W.
2
PW 1 = 231 ⋅ 1 ⋅
PW 2
Rozwiązanie analityczne: Z = R + jX L = 115,5 + j 200 ≅ 231 ⋅ e j 60° (Ω); Z = 231 Ω,
1
Y = ≅ 4,33 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 60° (S), Y 1 = Y 2 = Y 3 = Y ≅ 4,33 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 60° (S);
Z
o
o
U 2 = 231 ⋅ e − j120 (V),
U 1 = 231 ⋅ e j 0 (V),
o
U 3 = 231 ⋅ e j120 (V),
o
I 2 = Y 2 ⋅ U 2 ≅ 1 ⋅ e − j180 = 1 ⋅ e j180 (A),
o
I N = I 1 + I 2 + I 3 = 0 A;
I 1 = Y 1 ⋅ U 1 ≅ 1 ⋅ e − j 60 (A),
I 3 = Y 3 ⋅ U 3 ≅ 1 ⋅ e j 60 (A),
o
ϕ = 60° ;
o
U 13 = 400 ⋅ e − j 30 (V);
o
I 1 = I 2 = I 3 = I = 1 A,
IN = 0;
S = U 1 ⋅ I 1 ⋅ e j ϕ1 + U 2 ⋅ I 2 ⋅ e j ϕ 2 + U 3 ⋅ I 3 ⋅ e j ϕ3 = 3 U f I ⋅ e jϕ = 3 U I ⋅ e jϕ =
o
≅ 692,8 ⋅ e j 60 ≅ 346,4 + j 600,0 (VA),
czyli
P = 346,4 W,
Q = 600 var ;
*
PW 1 = Re(U 1 ⋅ I 1 ) = 231 ⋅ 1 ⋅ cos(0° + 60°) = 115,5 W,
*
PW 2 = Re(U 13 ⋅ I 2 ) = 400 ⋅ 1 ⋅ cos(−30° ± 180°) = −346,4
W.
Uwaga. Przy PW2 < 0 wskazówka przyrządu analogowego W2 wychyla się w lewo. Aby odczytać
PW 2 , należy cewkę napięciową podłączyć odwrotnie, tzn. początek i koniec zamienić miejscami.
254
Elektrotechnika podstawowa
b)
I1
L1
W1
U1
R
C
Dane: R = 200 Ω, X C = 115,5 Ω.
C
Odpowiedź:
I A1 = I A2 = I A3 = 1 A,
A1
U13
R
I2
L2
W2
I AN = 0 ,
A2
R
I3
L3
P = 600 W,
Q = −346,4 var,
C
A3
N
PW 1 = 200 W,
IN
AN
PW 2 = 200 W.
c)
I1
L1
W1
U1
A1
Dane: R = 115,5 Ω, X L = 200 Ω.
I12
R
U13
R
L
I2
L2
W2
A2
L
I23
R
I31
L
I3
L3
Obliczenia do wykresu wskazowego:
Z = R 2 + X L2 ≅ 231 Ω,
XL
≅ 60 o ;
R
= Z 23 = Z 31 = Z = 231 Ω,
ϕ = arc tg
Z12
ϕ 21 = ϕ 23 = ϕ 31 = ϕ = 60 o ,
A3
I 12 = I 23 = I 31 =
N
Wyniki:
- wg wykresu wskazowego
-I23
I2
-I12
I23
ϕ23
U13
I31
ϕ31
U31
U1
U 400
=
≅ 1,732 A.
Z 231
I3
I 1 = I 12 − I 31 = 3 I 12 ≅ 3,0 A,
I 2 = I 23 − I 12 = 3 I 23 ≅ 3,0 A,
I 3 = I 31 − I 23 = 3 I 31 ≅ 3,0 A,
I A1 = I A2 = I A3 = 3 A;
U23
U12
ϕ12
I12
I1
-I31
1
= 346,5 W,
2
3
PW 2 = −400 ⋅ 3 ⋅
≅ −1039,2 W;
2
- ze wzorów ogólnych
PW 1 = 231 ⋅ 3 ⋅
P = 3 U I cos ϕ ≅ 1039,2 W,
Q = 3 U I sinϕ = 1800 var.
Rozwiązanie analityczne: Z = R + jX L = 115,5 + j 200 ≅ 231 ⋅ e j 60° (Ω); Z = 231 Ω,
1
Y = ≅ 4,33 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 60° (S), Y 12 = Y 23 = Y 31 = Y ≅ 4,33 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 60° (S);
Z
ϕ = 60° ;
255
Zadania
o
o
o
U 1 = 231 ⋅ e j 0 (V),
o
U 23 = 400 ⋅ e − j 90 (V),
U 12 = 400 ⋅ e j 30 (V),
U 31 = 400 ⋅ e j150 (V),
o
U 13 = 400 ⋅ e − j 30 (V);
o
I 12 = Y 12 ⋅ U 12 ≅ 1,732 ⋅ e − j 30 ≅ 1,500 − j 0,866 (A),
o
I 23 = Y 23 ⋅ U 23 ≅ 1,732 ⋅ e − j150 ≅ −1,500 − j 0,866 (A),
o
I 31 = Y 31 ⋅ U 31 ≅ 1,732 ⋅ e j 90 = j1,732 (A);
I 12 = I 23 = I 31 = I f ≅ 1,732 A;
I 1 = I 12 − I 31 ≅ 1,500 − j 2,598 ≅ 3,0 ⋅ e − j 60° A,
I 2 = I 23 − I 12 ≅ −3,0 = 3,0 ⋅ e j180° = 3,0 ⋅ e − j180° A,
I 3 = I 31 − I 23 ≅ 1,500 + j 2,598 ≅ 3,0 ⋅ e j 60° A;
I 1 = I 2 = I 3 = 3,0 A;
I A1 = I A2 = I A3 = 3 A;
S = U 12 ⋅ I12 ⋅ e j ϕ12 + U 23 ⋅ I 23 ⋅ e j ϕ 23 + U 31 ⋅ I 31 ⋅ e j ϕ31 = 3 U I f ⋅ e jϕ =
o
≅ 2078,4 ⋅ e j 60 ≅ 1039,2 + j 1800 (VA),
czyli
P = 1039,2 W,
Q = 1800 var ;
PW 1 = Re(U 1 ⋅ I 1 ) = 231 ⋅ 3 ⋅ cos(0° + 60°) = 346,5 W,
*
PW 2 = Re(U 13 ⋅ I 2 ) = 400 ⋅ 3 ⋅ cos(−30° ± 180°) = −1039,2 W.
*
d)
I1
L1
W1
U1
A1
R
U13
R
C
I2
L2
Dane: R = 200 Ω, X C = 115,5 Ω.
I12
W2
A2
C
I23
R
P = 1800 W,
Q = −1039,2 var,
PW 1 = 600 W,
C
I3
L3
I31
Odpowiedź:
I A1 = I A2 = I A3 = 3 A,
PW 2 = 600 W.
A3
N
e)
I1
L1
W1
U1
L2
A1
Dane: R = 200 Ω.
I12
U13
R
I2
W2
R
A2
I23
I31
R
L3
N
I3
A3
Odpowiedź:
I A1 = I A2 = I A3 = 3,46 A,
P = 2400 W,
Q = 0,
PW 1 = 800 W,
PW 2 = 0 .
256
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 13-2. Określ wskazania przyrządów przyłączonych do danego odbiornika trójfazowego, zasilanego napięciem 3×230/400 V (do obliczeń przyjmij: U f = 231 V i U = 400 V ). Wyznacz moc
czynną i moc bierną odbiornika.
a)
L1
W1
U1
I1
C
I2
R
Dane: R = 115,5 Ω; X L = X C = 200 Ω.
A1
Obliczenia do wykresu wskazowego:
Z1 = 200 Ω, Z 2 = 115,5 Ω,
U13
L2
W2
A2
Z 3 = R 2 + X L2 ≅ 231 Ω,
I3
L3
R
L
ϕ1 = −90 o , ϕ 2 = 0 o ,
A3
N
AN
XL
≅ 60 o ;
R
231
231
231
I1 =
= 1,155 A, I 2 =
= 2 A, I 3 =
= 1 A.
200
115,5
231
IN
ϕ 3 = arc tg
I A1 ≅ 1,16 A; I A2 = 2 A; I A3 = 1 A;
Wyniki:
U3
I1
ϕ3
I3
IN
U13
Q = − X C I12 + X L I 32 = 200 ⋅ (−1,155 2 + 12 ) ≅ −66,8 var;
ϕ1= –90°
I1
wg wykresu wskazowego -
U1
ϕ2=0°
I3
P = R I 22 + R I 32 = 115,5 ⋅ (2 2 + 12 ) ≅ 577,5 W;
I N = I 2 + I 3 + I1 ,
I2
I 2 + I 3 = 1 A,
I N z I 2 + I 3 i I 1 tworzą trójkąt prostokątny, więc
U2
2
IN =
2
I1 − I 2 + I 3
= 1,155 2 − 12 ≅ 0,578 A,
I AN ≅ 0,578 A;
PW 1 = 0 (U1 i I1 – wskazy prostopadłe),
PW 2 = 0 (U13 i I2 – wskazy prostopadłe).
Rozwiązanie analityczne: Z 1 = − jX C = − j 200 = 200 ⋅ e − j 90° (Ω);
Z 2 = R = 115,5 = 115,5 ⋅ e j 0° (Ω);
Z 2 = 115,5 Ω,
Z1 = 200 Ω,
ϕ1 = −90° ;
ϕ 2 = 0° ;
Z 3 = R + jX L = 115,5 + j 200 ≅ 231 ⋅ e j 60° (Ω); Z 3 = 231 Ω, ϕ 3 = 60° ;
1
1
1
Y1 =
= 5 ⋅ 10 −3 ⋅ e j 90° (S), Y 2 =
= 8,658 ⋅ 10 −3 ⋅ e j 0° (S), Y 3 =
= 4,329 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 60° (S);
Z1
Z2
Z3
o
o
U 2 = 231 ⋅ e − j120 (V),
U 1 = 231 ⋅ e j 0 (V),
o
o
o
I 3 = Y 3 ⋅ U 3 = 1 ⋅ e j 60 ≅ 0,5 + j 0,866 (A),
I 2 = 2 A,
I 3 = 1 A,
o
U 13 = 400 ⋅ e − j 30 (V);
I 2 = Y 2 ⋅ U 2 = 2 ⋅ e − j120 ≅ −1 − j1,732 (A),
I 1 = Y 1 ⋅ U 1 = 1,155 ⋅ e j 90 = j1,155 (A),
I 1 ≅ 1,115 A,
o
U 3 = 231 ⋅ e j120 (V),
I N = I 1 + I 2 + I 3 = −0,5 + j 0,289 ≅ 0,578 ⋅ e j150° A;
I N ≅ 0,578 A;
S = U 1 ⋅ I 1 ⋅ e j ϕ1 + U 2 ⋅ I 2 ⋅ e j ϕ 2 + U 3 ⋅ I 3 ⋅ e j ϕ3 = 231 ⋅ (− j1,155 + 2 + 0,5 + j 0,866) =
= 231 ⋅ (2,5 − j 0,289) ≅ 577,5 − j 66,8 (VA),
czyli
P = 577,5 W,
Q = −66,8 var ;
PW 1 = Re(U 1 ⋅ I 1 ) = 231 ⋅ 1,155 ⋅ cos(−90°) = 0 , PW 2 = Re(U 13 ⋅ I 2 ) = 400 ⋅ 2 ⋅ cos(−30° + 120°) = 0 .
*
*
257
Zadania
b)
I1
L1
W1
U1
A1
Dane:
R = 115,5 Ω,
I12
R
U13
Obliczenia do wykresu wskazowego:
R
C
I2
L2
W2
A2
115,5 2 + 200 2 ≅ 231 ,
200
arc tg
≅ 60 o ;
115,5
Z12 = Z 23 = Z 31 = 231 Ω,
L
I23
R
I31
C
I3
L3
X L = X C = 200 Ω.
ϕ 21 = ϕ 23 = −60 o ,
A3
I 12 = I 23 = I 31 =
N
I23
I1 = I 12 − I 31 = 0 ,
-I23
I3
I2
I 2 = I 23 − I 12 = 3 I 23 ≅ 3,0 A,
U13
ϕ31
-I12
I31
I 3 = I 31 − I 23 = 3 I 31 ≅ 3,0 A,
U1
I A1 = 0 ,
I A2 = I A3 = 3 A;
PW 1 = 231 ⋅ 0 = 0 ,
U23
I12
U12
PW 2 = 400 ⋅ 3 ⋅
ϕ12
I1 = 0
400
≅ 1,732 A.
231
Wyniki wg wykresu wskazowego:
U31
ϕ23
ϕ 31 = 60 o ,
3
≅ 1039,2 W;
2
2
2
2
P = R I12
+ R I 23
+ R I 31
= 115,5 ⋅ 3 ⋅ 1,723 2 ≅ 1039 W;
-I31
2
2
2
Q = − X C I12
− X C I 23
+ X L I 31
= 200 ⋅ 1,732 2 ⋅ (−2 + 1) ≅ −600 var.
Rozwiązanie analityczne: Z 12 = Z 23 = R − jX C = 115,5 − j 200 ≅ 231 ⋅ e − j 60° (Ω);
Z 31 = R + jX L = 115,5 + j 200 ≅ 231 ⋅ e j 60° (Ω);
Y 12 = Y 23 ≅ 4,33 ⋅ 10 −3 ⋅ e j 60° (S),
o
U 12 = 400 ⋅ e j 30 (V),
o
U 1 = 231 ⋅ e j 0 (V),
Y 31 = Y ≅ 4,33 ⋅ 10 −3 ⋅ e − j 60° (S);
o
U 23 = 400 ⋅ e − j 90 (V),
o
U 31 = 400 ⋅ e j150 (V),
o
U 13 = 400 ⋅ e − j 30 (V);
o
I 12 = Y 12 ⋅ U 12 ≅ 1,732 ⋅ e j 90 = j1,732 (A),
o
I 23 = Y 23 ⋅ U 23 ≅ 1,732 ⋅ e − j 30 ≅ 1,500 − j 0,866 (A),
o
I 31 = Y 31 ⋅ U 31 ≅ 1,732 ⋅ e j 90 = j1,732 (A);
I 1 = I 12 − I 31 = 0 ,
I 2 = I 23 − I 12 ≅ 1,500 − j 2,598 = 3,0 ⋅ e − j 60° A,
I 3 = I 31 − I 23 ≅ −1,500 + j 2,598 ≅ 3,0 ⋅ e j (180°−60°) = 3,0 ⋅ e j120° A;
I1 = 0 ,
I 2 = I 3 = 3,0 A;
I A1 = 0 ,
I A2 = I A3 = 3 A;
S = U 12 ⋅ I12 ⋅ e j ϕ12 + U 23 ⋅ I 23 ⋅ e j ϕ 23 + U 31 ⋅ I 31 ⋅ e j ϕ31 ≅ 1039 − j 600 (VA),
czyli
P = 1039 W,
Q = −600 var ;
PW 1 = Re(U 1 ⋅ I 1 ) = 231 ⋅ 0 = 0 ,
*
PW 2 = Re(U 13 ⋅ I 2 ) = 400 ⋅ 3 ⋅ cos(−30° + 60°) = 1039,2 W.
*
258
c)
Elektrotechnika podstawowa
I1
L1
W1
U1
A1
Dane:
R = 115,5 Ω,
I12
U13
R
R
I2
L2
W2
A2
L
I23
C
Odpowiedź:
I A1 = 3 A,
I A2 = 2 A,
I A3 = 2,65 A,
I31
P = 1732 W,
Q = −200 var,
I3
L3
X L = X C = 200 Ω.
A3
PW 1 = 693 W,
N
PW 2 = 0 .
Zad. 13-3. Korzystając z wykresu wskazowego, określ wskazania przyrządów przyłączonych do
danego odbiornika trójfazowego, zasilanego napięciem 3×230/400 V (do obliczeń przyjmij:
U f = 231 V i U = 400 V ).
a)
I1
L1
W1
U1
A1
I12.a
U13
R
I12.b
C
R
I2
L2
W2
A2
I23
C
I3
L3
A3
N
I23
U31
U13
I2
ϕ31
Obliczenia do wykresu wskazowego:
Z 31 = 115,5 2 + 200 2 ≅ 231 Ω,
200
L
ϕ 31 = arc tg
≅ 60 o ;
115,5
400
I31
I 12.a =
≅ 3,463 A,
115,5
400
I 12.b = I 23 =
= 2 A,
200
400
I 31 =
≅ 1,732 A.
231
Pomocniczy wskaz: I 12.a + I 12.b = I 12 .
I 12 = I 12.a + I 12.b = 3,463 2 + 2 2 ≅ 4 A,
I31
I 1 = I 12 − I 31 = (4 ⋅ 0,866 − 1,732) 2 + 2 2 =
≅ 2,65 A,
U1
I12
U12
-I31
I12.b
X L = X C = 200 Ω.
Wyniki wg wykresu wskazowego:
-I12
I3 -I23
U23
Dane:
R = 115,5 Ω,
I 2 = I 23 − I 12 = 4 2 − 2 2 ≅ 3,46 A,
I 3 = I 31 − I 23 = 1,732 2 + 2 2 ≅ 2,65 A;
I12.a
I A1 = 2,65 A,
I1
I A3 = 2,65 A;
1
= 462 W (rzuty I1 i I12 na U1 są tej samej długości),
2
1
= 400 ⋅ 3,46 ⋅ = 692 W.
2
PW 1 = 231 ⋅ 4 ⋅
PW 2
I A2 = 3,46 A;
259
Zadania
b)
I1
L1
W1
U1
A1
Dane:
R = 115,5 Ω,
I12
U13
R
R
I2
L2
W2
A2
I23.a
R
I23.b
L
I31
C
Odpowiedź:
I A1 = 3 A,
I A2 = 5,29 A,
I A3 = 5,57 A,
I3
L3
X L = X C = 200 Ω.
A3
PW 1 = 693 W,
PW 2 = 693 W.
N
c)
I1
L1
W1
U1
A1
Dane:
R = 115,5 Ω,
I12
U13
R
R
X C = 200 Ω.
C
Odpowiedź:
I A1 = 5,20 A,
I2
L2
W2
A2
I23.a
R
I23.b
I31
C
I3
L3
A3
I A2 = 5,29 A,
I A3 = 4,36 A,
PW 1 = 1039 W,
PW 2 = 693 W.
N
d)
I1
L1
W1
U1
L2
A1
U13
I12.a
R
N
I12.b
C
R
I2
W2
A2
I23
R
L3
Dane:
R = 200 Ω,
I3
A3
C
I31
X C = 115,5 Ω.
Odpowiedź:
I A1 = 4,36 A,
I A2 = 6 A,
I A3 = 2,65 A,
PW 1 = 400 W,
PW 2 = 1200 W.
260
Elektrotechnika podstawowa
e)
Dane: R = 115,5 Ω, X C = 200 Ω.
I1
L1
W1
U1
A1
I12
Obliczenia do wykresu wskazowego:
U13
I2
L2
W2
A2
3R
Z12 = Z 23 = 346,5 2 + 200 2 ≅ 400 Ω,
C
Z1N = 115,5 2 + 200 2 ≅ 231 Ω,
R
I23
ϕ12 = ϕ 23 = arc tg
3R C
− XC
≅ −60 o ;
R
400
I 12 = I 23 =
= 1 A,
400
231
I 1N =
= 1 A.
231
ϕ1N = arc tg
C
I3
L3
A3
I1N
N
− XC
≅ −30 o ,
3R
AN
Wyniki: I A3 = I 23 = 1 A,
I23
I2
I AN = I 1N = 1 A;
-I12
U13
wg wykresu wskazowego -
I1N
I A1 = I1 = I 12 + I 1N = 2 A,
U1
U23
I12
I A2 = I 2 = I 23 − I 12 ≅ 1,73 A;
U12
I1N
PW 2
f)
L1
A1
W1
I1
Dane:
R = 200 Ω,
X L = 115,5 Ω.
I12
U1
L2
U13
2R
W2
A2
I2
R
I23
2R
L3
N
1
= 231 W,
2
1
= 400 ⋅ 1,73 ⋅ = 346 W.
2
PW 1 = 231 ⋅ 2 ⋅
I1
I3
I A2 = 1,73 A,
I A3 = 1 A,
I AN = 1 A,
A3
AN
L
Odpowiedź:
I A1 = 1,73 A,
I1N
PW 1 = 400 W,
PW 2 = 0 .
261
Zadania
Zad. 13-4. Korzystając z wykresu wskazowego, określ wskazania przyrządów przyłączonych do
danego odbiornika trójfazowego, zasilanego napięciem 3×230/400 V (do obliczeń przyjmij:
U f = 231 V i U = 400 V ).
a)
I1
L1
W
A1
U13
I12.a
R
I12.b
C
A2
I23
R
L
I3
L3
A3
I23
ϕ23
-I12
U13
I2
U23
Z 23 = 115,5 2 + 200 2 ≅ 231 Ω,
200
≅ 60 o ;
ϕ 23 = arc tg
115,5
400
I 12.a =
≅ 3,463 A,
115,5
400
I 12.b =
= 2 A,
200
400
I 23 =
≅ 1,732 A.
231
Pomocniczy wskaz: I 12.a + I 12.b = I 12 .
Wyniki:
I 3 = I 23 ≅ 1,73 A;
wg wykresu wskazowego -
I1 = I12
I12.b
X L = X C = 200 Ω.
Obliczenia do wykresu wskazowego:
I2
L2
Dane:
R = 115,5 Ω,
U12
I12 = I 12.a + I 12.b = 3,463 2 + 2 2 ≅ 4 A,
I 1 = I 12 = 4A,
I12.a
I 2 = I 23 − I 12 = (1,732 + 3,463) 2 + 2 2 ≅ 5,57 A;
I A1 = 4 A;
I A2 = 5,57 A;
b)
W
A1
U1
N
PW = 0 W ( I1 i U13 – wskazy prostopadłe).
I1
L1
L2
I A3 = 1,73 A;
I12.a
R
I12.b
C
I2
A2
I2N
IN
AN
Dane:
R = 115,5 Ω,
Odpowiedź:
I A1 = 4 A,
R
I A2 = 4,58 A,
I AN = 1 A,
C
PW = 462 W.
X C = 200 Ω.
262
c)
Elektrotechnika podstawowa
I1
L1
W
A1
I12
R
U13
I2
L2
I23
C
A3
d)
I1
L1
W
A1
I12
U1
I2
L2
C
A2
I2N
IN
N
X L = X C = 200 Ω.
Odpowiedź:
I A1 = 2 A,
R
I A2 = 1,73 A,
I AN = 1 A
L
PW = −231 W.
I1
L1
W
A1
I13
R
U1
I2
L3
L
A3
I3N
X L = X C = 115,5 Ω.
I A3 = 2,65 A,
I AN = 2 A
PW = 200 W.
IN
N
Dane:
R = 200 Ω,
Odpowiedź:
I A1 = 1,73 A,
C
AN
f)
I1
L1
W
A1
I13
R
U1
I2
A3
I3N.a
IN
AN
C
Dane:
R = 200 Ω,
Odpowiedź:
I A1 = 1,73 A,
L
R
N
Dane:
R = 115,5 Ω,
AN
e)
L3
I A2 = 1,73 A,
I A3 = 3,46 A
PW = 1200 W.
I3
L3
X L = X C = 115,5 Ω.
Odpowiedź:
I A1 = 1,73 A,
L
A2
Dane:
R = 200 Ω,
I3N.b
I A3 = 3,51 A,
I AN = 2,31 A
PW = 200 W.
X L = X C = 115,5 Ω.
263
Zadania
Zad. 13-5. Dany jest obwód, w którym reaktancje cewki i kondensatora (elementy idealne) mają
taką samą wartość XL = XC . Przy zasilaniu obwodu symetrycznym napięciem trójfazowym, wskazania amperomierzy A1 i AN są jednakowe, równe 1 A. Korzystając z wykresu wskazowego, określ
wskazania amperomierzy A2 i A3 .
a)
I1
L1
Rozwiązanie:
A1
I12
I2
L2
- wartości skuteczne napięcia międzyfazowego
C
I2N
A2
R
I23
- wskazanie amperomierza A1 i wartość I12
L
L3
A3
N
U 12 = U 23 = U ,
I A1 = I1 = I 12 = 1 A,
IN
- wartość I23 i wskazanie amperomierza A3
AN
I 23 =
I23
I3 = -I23
XC = X L ,
IN = I2N
U23
I 2 = I 23 − I 12 + I 2 N ,
U12
I 2 = I 23 − I 12 + I 2 N = 2 A,
U2
I A2 = I 2 = 2 A.
b)
L1
L2
I1
A1
I12
I2
L
A2
A3
I23
I3
I3N
N
IN
AN
R
Odpowiedź:
I A2 = 1 A,
C
L3
I 23 = I 12 = 1 A ,
- wartość I2 i wskazanie amperomierza A2
(wg wykresu wskazowego)
I2
I1 = I12
U
,
XC
I 12 =
I A3 = I 23 = 1 A,
-I12
I2N
U
,
XL
I3
I A3 = 1,73 A.
264
Elektrotechnika podstawowa
c)
L1
d)
I1
A1
L1
I1
A1
I12
I12
C
L
L2
I2
L2
I2N
A2
R
I2
A2
I23
I23
L
C
L3
N
L3
I3
A3
A3
I3
I3N
IN
AN
N
Odpowiedź: I A2 = 0 A,
I A3 = 1 A.
IN
R
AN
Odpowiedź: I A2 = 1 A,
I A3 = 1 A.
Zad. 13-6. Korzystając z wykresu wskazowego, określ wskazania przyrządów przyłączonych do
danego odbiornika trójfazowego, zasilanego napięciem 3×230/400 V (do obliczeń przyjmij:
U f = 231 V i U = 400 V ).
a)
I1
L1
I ’1
A1
W
I12
U1
L2
I2
A2
L3
L
I ’2
IN
AN
Dane:
R = X C = 231 Ω,
X L = 400 Ω.
R
C
I3
A3
N
R
Obliczenia do wykresu wskazowego:
231
I '1 = I ' 2 = I 3 =
= 1 A,
231
400
I12 =
= 1 A.
400
Wyniki:
I 3 = 1 A;
wg wykresu wskazowego -
U3
I 1 = 3 ≅ 1,73 A,
I2
I 2 = 1 A,
I ’1
U1
-I12
I12
I3
U2
I A1 = 1,73 A,
I1
IN
I ’2
I N = 2 ≅ 1,41 A;
U12
I A2 = 1 A,
I A3 = 1 A,
I AN = 1,41 A,
I12
PW = 231 ⋅ 3 ⋅
3
= 346,5 W.
2
269
Elektrotechnika podstawowa
LITERATURA
[1] Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa 2001.
[2] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, t. I, WNT, Warszawa 1973.
[3] Herman M., Kalestyński A., Widomski L.: Podstawy fizyki dla kandydatów na wyższe uczelnie
i studentów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.
[4] Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki, WNT, Warszawa 1973.
[5] Osiowski J.: Teoria obwodów, t. II, WNT, Warszawa 1971.
[6] Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów, t. I, WNT, Warszawa 2000.
[7] Osiowski J., Szabatin J.: Podstawy teorii obwodów, t. II, WNT, Warszawa 1998.
[8] Rajski C., Teoria obwodów, t. I, WNT, Warszawa 1971.
[9] Norma międzynarodowa IEC 60050-551: 1998 (second edition). Power electronics.
[Z1] Bolkowski S., Brociek W., Rawa H.: Teoria obwodów elektrycznych. Zadania. WNT, Warszawa 2004.
[Z2] Majerowska Z., Majerowski A.: Elektrotechnika ogólna w zadaniach. PWN, Warszawa 1999.
270
Elektrotechnika podstawowa
SKOROWIDZ
admitancja 118
admitancja wewnętrzna źródła 135
admitancja zespolona 127
amplituda
- harmonicznej przebiegu okresowego 112
- przebiegu sinusoidalnego 111
atom 12, 27
bilans mocy (zasada Tellegena) 45
bilans mocy w obwodzie
- prądu sinusoidalnego 128
- prądu stałego 49
cewka indukcyjna 101
cewki sprzężone magnetycznie 103
charakterystyka zewnętrzna źródła 51, 134
charakterystyki rezonansowe 122
cięciwa (gałąź domykająca) 63
ciśnienie elektrostatyczne 40
cząsteczka dielektryka 27
częstotliwość 111
częstotliwość rezonansowa 117, 119, 112
dendryt (największe drzewo grafu) 63
diamagnetyki 96
dielektryki 11, 27
dipol elektryczny 28
dipol magnetyczny 93
dipolowy moment magnetyczny 93
dobroć obwodu rezonansowego 122
domeny magnetyczne 97
dopasowanie odbiornika do źródła
- poprzez dołączenie reaktancji 137
- przy prądzie stałym 51, 52
- za pomocą transformatora 139
- ze względu na moc czynną 135
- ze względu na moc pozorną 136
dwójnik 43, 115
dwójnik R L C 119, 124, 128
dwójnik zastępczy 134, 141
dwójniki równoważne 119
dzielniki napięcia i prądu sinusoidalnego 134
dzielniki napięcia i prądu stałego 56
elastancja (odwrotność pojemności) 31
elementy
- aktywne i pasywne 14, 43
- gałęzi prądu sinusoidalnego 115
- gałęzi prądu stałego 46
- liniowe i nieliniowe 21, 32, 46, 102
- prądowe 93
energia
- pola elektrostatycznego 34
- pola magnetycznego cewek 105
- prądu elektrycznego 20
- tracona w czasie ładowania i rozładowania
kondensatorów 35
- w obwodzie prądu okresowego 112
faza (kąt fazowy) 111
faza początkowa 111
faza układu (obwodu) 143
ferromagnetyki 97
gałąź 44, 62
gałąź powrotna 145
gałęzie normalne 65
generator mocy 44
gęstość
- energii pola elektrostatycznego 35
- energii pola magnetycznego 106
- ładunków polaryzacji 28
- ładunku elektrycznego 12, 26
- mocy pola przepływowego 20
- prądu elektrycznego 17
graf obwodu 62
histereza 97, 108
impedancja 117
impedancja charakterystyczna (falowa) obwodu rezonansowego 122
impedancja wewnętrzna źródła 135
impedancja zespolona 127
incydencja 62
indukcja
- elektrostatyczna 26
- elektryczna 13, 27
- elektryczna w dielektryku 29
- magnetyczna 13, 93
- nasycenia 97
indukcyjność 14, 43
indukcyjność
- główna 103
- rozproszenia 103
- w obwodzie prądu stałego 46
- własna 102, 116, 127
- wzajemna 103, 116, 127
jednostka
- konduktywności 19
Elektrotechnika podstawowa
- ładunku elektrycznego 12
- prądu elektrycznego 17, 96
- przenikalności elektrycznej 32
- rezystywności 19
jednostki mocy 120
klasa SLS (układu, obwodu) 47
koercja (natężenie powściągające) 97
kolejność faz 143
„komórka” dielektryczna 30, 32
„komórka” prądowa 30
konar (drzewa grafu) 63
konduktancja 19, 115
konduktancja
- międzygałęziowa 85
- wejściowa 85
- źródła (wewnętrzna) 51, 53
- źródła zastępczego 87
krzywa magnesowania 97
liczba niezależnych oczek obwodu 64
liczba niezależnych węzłów obwodu 63
liczba urojona (operator obrotu wskazu) 126
linia zasilająca prądu stałego 55
linie pola elektrycznego 14
linie pola magnetycznego 94
linie trój- i czteroprzewodowe 144
ładunek
- elektryczny 11
- elementarny 12
- elementu prądowego 93
- punktowy 12
łączenie źródeł 53
macierz incydencji
- gałęzi i oczek 68
- gałęzi i węzłów 66
- pseudogałęzi i węzłów 67
- węzłów „całkowita” 67
macierz konduktancji
- gałęziowych 73
- gałęziowych w węzłach 74
- węzłowych 79
macierz rezystancji
- gałęziowych 69
- gałęziowych w oczkach 69
- oczkowych 77
magnes trwały 97
metoda
- oczkowa 76, 142
- przecięcia charakterystyk 60, 61, 99
- symboliczna 126
- węzłowa 78
271
moc
- bierna 120
- chwilowa 115, 120
- czynna 115, 120
- „generatorowa” 44, 130
- „odbiornikowa” 44, 130
- oscylacyjna 115, 120
- pozorna 120
- prądu elektrycznego 20
- średnia 112
- zespolona 128
moce w obwodzie trójfazowym 145
moce wydawane i pobierane przez gałęzie 48
moment dipola elektrycznego 28
moment działający na dipol magnetyczny 93
napięcie elektryczne (definicja) 15
napięcie
- „generatorowe” 44, 45
- fazowe 145
- indukowane 101
- magnetyczne 98
- między punktami neutralnymi źródła i odbiornika trójfazowego 146
- międzyfazowe 145
- „odbiornikowe” 44, 45
- odkształcone 111
- przemienne 112
- stałe 45
- stanu jałowego 51, 53
- trójfazowe 145
- źródła zastępczego 54, 85
natężenie
- pola elektrycznego 13, 14
- pola magnetycznego 13, 95
- prądu elektrycznego 17
obwody liniowe i nieliniowe 47
obwód elektryczny (definicja) 14, 43
obwód
- elektryczny nierozgałęziony 45, 59
- elektryczny rozgałęziony 45
- jednofazowy 145
- magnetostatyczny nierozgałęziony 99
- magnetostatyczny rozgałęziony 100
- trójfazowy (definicja) 145
- z rezystorem nieliniowym 60
oczko 44, 63
odbiornik aktywny 44
odbiornik mocy 44
odbiornik trójfazowy
- „gwiazdowy” zasilany trójprzewodowo 149
272
- symetryczny 153
- „trójkątowy” 150
- zasilany czteroprzewodowo 146
oddziaływanie elektrodynamiczne 96
okres przebiegu 111
opór ujemny 47
opór właściwy (rezystywność) 18
paramagnetyki 96
permeancja (przewodność magnetyczna) 99
pętla (gałąź grafu) 62
pętla histerezy 97
pętla prądu 93
podatność elektryczna 28
podatność magnetyczna 98
pojemność
- ciała odosobnionego 32
- elektryczna 14, 31, 43, 116, 127
- kondensatora 31
- kondensatora cylindrycznego 32
- kondensatora płaskiego 31
- w obwodzie prądu stałego 46
polaryzacja dielektryków 28
polaryzacja elektryczna (wektor) 28
polaryzacja magnetyczna, magnetyzacja 98
pole
- bezwirowe 25
- bezźródłowe (solenoidalne) 94
- elektromagnetyczne 13
- elektrostatyczne w dielektrykach 27
- elektrostatyczne w próżni 25
- elektryczne 13, 30, 39
- magnetyczne 13, 93
- przepływowe 17, 30
- wirowe 95
- źródłowe 27
połączenia dozwolone i zakazane 53
połączenia nieistotne 53
połączenie cewek sprzężonych 139, 141
połączenie gałęzi 44
połączenie pojemności 33
połączenie rezystancji 21, 22
pomiar mocy biernej odbiorników trójfazowych 156
pomiar mocy czynnej odbiorników trójfazowych 155
potencjał elektryczny (definicja) 15
potencjały węzłowe 79
powierzchnia ekwipotencjalna 16
półprzewodniki 11, 14
praca prądu elektrycznego 105
praca w polu elektrycznym 15
Elektrotechnika podstawowa
prawa obwodów strumienia stałego 98
prawo Ampere’a 95
prawo Biota-Savarta-Laplace’a 95
prawo Coulomba 25
prawo Faradaya 101
prawo Joule’a 20
prawo Kirchhoffa napięciowe 45, 47, 68
prawo Kirchhoffa prądowe 44, 47, 68
prawo Ohma 19, 117, 118, 127
prąd elektryczny (definicja) 13
prąd
- fazowy odbiornika trójfazowego 145
- fazowy źródła trójfazowego 145
- „generatorowy” 44
- hipotetyczny Lenza 101
- liniowy 145
- „odbiornikowy”
- powrotny 145
- przemienny 112
- przesunięcia 14, 29
- sinusoidalny 113
- stały 17, 45
- trójfazowy 145
- unoszenia 14
- upływnościowy 29
- wejściowy gałęzi (pseudogałęzi) 65, 67
- zwarcia 51, 53
- źródła zastępczego 54, 87
prądy molekularne 13
prądy oczkowe 76
prądy odkształcone 111
prądy wirowe 108
prędkość ruchu „nośników” prądu 14
przebicie dielektryka 39
przebieg czasowy 111
przebiegi sinusoidalne 111, 113, 115, 126
przebiegi synchroniczne 111
przekładnia transformatora 107
przekształcenie gwiazda-trójkąt 22, 33, 133
przełączenie gwiazda-trójkąt 153
przenikalność elektryczna 29
przenikalność magnetyczna 95
„przenoszenie” źródeł do innych gałęzi 82
przepięcie rezonansowe 122
przepływ prądu 98
przerwa w fazie 154, 155
przesunięcie fazowe 115
przewodnik 11
przewodnik w polu elektrostatycznym 27
przewodność właściwa (konduktywność) 18
przewody fazowe 144
273
Elektrotechnika podstawowa
przewód neutralny (zerowy) 144
pseudogałęzie 62, 64, 67
pulsacja przebiegu sinusoidalnego 111
pulsacja rezonansowa 117, 119, 120
punkt neutralny (zerowy) 144
rachunek symboliczny 129
rdzeń (magnetowód) 98
reaktancja 117
reaktancja indukcyjna własna 116
reaktancja indukcyjna wzajemna 116
reaktancja pojemnościowa 116
reguła Lenza 101
reluktancja (opór magnetyczny) 99
remanencja (pozostałość magnetyczna) 97
rezonans elektryczny (definicja) 121
rezonans
- „bezprzepięciowy” 122
- napięć (szeregowy) 117, 121
- prądów (równoległy) 118
- w układzie mieszanym 122
rezystancja 19, 43, 115, 126
rezystancja
- dynamiczna (różniczkowa) 47
- linii 55
- liniowa 21
- międzygałęziowa 87
- nieliniowa 21
- odcinka przewodu 19
- przejścia 20
- skrośna kabla 20
- statyczna 47
- wejściowa 87
- źródła (wewnętrzna) 51, 53
- źródła zastępczego 85
rezystywność (opór właściwy) 18
rozkład pól w dielektrykach 30
rozszerzanie zakresu amperomierza i woltomierza 56
równania napięć w oczkach 68
równania prądów w węzłach 66
równania równowagi
- obwodu 66
- względem napięć 73, 74
- względem prądów 68, 72
równość Parsevala 112
równoważność źródeł 52, 53, 135
ruch ładunków w ciele 16
rurka prądu 18, 30
schemat elektryczny 43
schemat obwodu magnetycznego 99
schemat zastępczy transformatora 107, 108
siła działająca na element prądowy 93
siła działająca na ładunek elektryczny 13
siła elektromotoryczna indukowana 101
siła magnetomotoryczna 98
siła przyciągania elektrod 40
składniki przebiegu okresowego 112
składowe czynne i bierne 120, 124
spadek napięcia w linii prądu stałego 55
sprawność przy dopasowaniu 51, 52, 136
stała czasowa obwodu 35, 36
stała elektryczna (przenikalność elektryczna
próżni) 25
stała magnetyczna (przenikalność magnetyczna próżni) 95
strata mocy w linii prądu stałego 55
strata mocy w źródle 52, 53
strumienie magnetyczne cewek 103, 104
strumień
- elektryczny 27
- indukcji elektrostatycznej 26
- magnetyczny 94
- skojarzony 101
strzałkowanie
- generatorowe 44, 46
- napięcia i potencjału 16
- odbiornikowe 44, 46
- prądu elektrycznego 18
susceptancja 118
susceptancja indukcyjna 118
susceptancja pojemnościowa 118
szereg Fouriera 112
tor elektroenergetyczny 55
transformator bezstratny 106
transformator idealny 108
transformator rzeczywisty 108
trójnik 43, 140
twierdzenie Gaussa 27
twierdzenie Nortona 87
twierdzenie o kompensacji 90
twierdzenie o wzajemności 90
twierdzenie Thevenina 85, 130
ujęcia sieciowe i zaciskowe 43
układ
- równoległy R, L, C (gałąź G, B) 118
- szeregowy R, L, C (gałąź R, X) 117
- trójfazowy skojarzony 143
- wielofazowy 143
układy (klasa układów) SLS 43
układy „gwiazdowe” i „trójkątowe” 144
274
układy równoważne bez sprzężeń 141
wartość
- chwilowa 111
- skuteczna 113
- symboliczna 126
- szczytowa 113
- średnia 111, 112
- średnia półokresowa 113
- wyprostowana 113
wektor
- napięć gałęziowych 68
- normalny do elementu powierzchni 26
- potencjałów węzłowych 79
wektor prądów
- gałęziowych 67
- oczkowych 76
- wejściowych „całkowity” 67
- wejściowych gałęzi 67
- wejściowych pseudogałęzi 67
- źródłowych „całkowity” 67
- źródłowych gałęzi 67
- źródłowych pseudogałęzi 67
wektor wydajności
- pseudogałęzi do węzłów 72
- źródeł prądowych do węzłów 69
wektor zastępczych
- prądów gałęziowych 72
- wydajności źródeł do węzłów 74
- źródłowych napięć gałęziowych 72
- źródłowych napięć oczkowych 72
- źródłowych prądów gałęzi i pseudogałęzi 74
- źródłowych prądów gałęziowych 74
wektor źródłowych napięć gałęziowych 69
wektor źródłowych napięć oczkowych 70
węzeł 44, 62
węzeł odniesienia 15, 79
wielkości okresowe i nieokresowe 111
wielkości przemienne i pulsujące 111
wielkości zaciskowe 43
wielkość sinusoidalna 111
wskaz początkowy 123
Elektrotechnika podstawowa
wskaz zespolony wirujący 126
wskazania amperomierzy i woltomierzy 157
wskazania watomierzya 115, 155-158
wskazy nieruchome i wirujące 123
wskazy prądu i napięcia 123
współczynnik
- kształtu 113
- mocy 115
- odkształcenia 114
- sprzężenia magnetycznego 104
- szczytu 113
- temperaturowy rezystywności 21
współczynniki incydencji 64
współczynniki udziału wyższych harmonicznych 114
wykres wskazowy 123
wykresy trójkątowe 124
wyładowania zupełne i niezupełne 39
wytrzymałość elektryczna dielektryków 39
zaciski jednoimienne (jednakoimienne) 104
zagęszczenie linii pola elektrycznego 39
zasada
- ciągłości linii pola magnetycznego 94
- superpozycji 81, 129
- zachowania ładunku 12
zjawisko indukcji
- elektromagnetycznej 14, 101
- elektrostatycznej 11, 26
zwarcie w fazie 154
źródła
- energii elektrycznej 43
- idealne 46, 53
- napięciowe 43, 46, 51-54, 135
- pola magnetycznego 93
- prądowe 46, 51-54, 135
- rzeczywiste 51-52, 135
źródło zastępcze napięciowe 85, 135
źródło zastępcze prądowe 87, 135
Cezary Łucyk
ELEKTROTECHNIKA
PODSTAWOWA
Warszawa 2006
Treść podręcznika „Elektrotechnika podstawowa” odpowiada potrzebom dydaktycznym przedmiotu „Elektrotechnika” na Wydziale Transportu
PW w ok. 60% (pozostałą część zaspokaja skrypt „Zasady energoelektryki”,
tego samego autora, wydany przez Oficynę Wydawniczą PW).
W „Elektrotechnice podstawowej” skoncentrowano się na zagadnieniach „najbardziej podstawowych”, które w dostępnych podręcznikach z
elektrotechniki teoretycznej i teorii obwodów są przedstawiane dość pobieżnie. Zamieszczono przy tym dużo oryginalnych zadań, pozwalających na
pełniejsze zrozumienie problemów. Na rynku wydawniczym brak podręcznika o podobnym profilu, chociaż istnieje nań zapotrzebowanie ze strony
wielu wydziałów politechnik i szkół inżynierskich.
Podręcznik został przygotowany w tradycyjnej formie, z myślą wydania go drukiem. Okazało się to jednak niewykonalne z powodów marketingowych. Autor zadecydował więc o umieszczeniu podręcznika w internecie.
Przyczyny obecnych trudności z wydawaniem podręczników akademickich są znane i oczywiste. Wydawnictwa muszą wypracowywać zysk, a
ten pochodzi ze sprzedanych książek. Studenci wolą jednak kserować i fotografować niż kupować, co czyni wydanie każdego nowego podręcznika
przedsięwzięciem mocno ryzykownym. W efekcie skryptów i podręczników
brakuje, bo nie ma wydawców oraz kupujących, chociaż chętni do czytania
oczywiście są.
Studenci nie mają często świadomości, że to oni są współsprawcami
powstałej sytuacji. Domagają się podręczników, lecz nie zamierzają ich kupować. Kserują fragmenty książek oraz ściągają materiały z internetu, co
jest czasochłonne i nie w pełni legalne. Autor nie chce oceniać tego od strony moralnej, pragnie jednak zauważyć, że koszt wydania książki jest – przy
odpowiednim nakładzie – zdecydowanie niższy niż koszt jej powielenia lub
„wydrukowania z internetu”.
http://www.it.pw.edu.pl/~clucyk
