zadania na ćwiczenia.

1 czerwca 2015
Elementy fizyki dla studentów Matematyki z Informatyką: zadania na ćwiczenia.
Zestaw zadań planowanych do przeliczenia w trakcie ćwiczeń z fizyki. Poniższe sformułowania stanowią nieznaczne zmienione wersje zadań z kursu fizyki R. Feynmana, Landaua i Lifszyca oraz niektórych innych popularnych
podręczników. Rozwiązując każde zadanie należy dokonać stosownej idealizacji okoliczności o których mówi jego
treść. Zwykle polega to na pominięciu oporów, nieineracjalności układów odniesienia, mniej istotnych oddziaływań itp. - chyba, że treść zadania wyraźnie wskazuje na konieczność wzięcia pod uwagę tych szczególnych
efektów.
1. Punkt materialny wyrzucono z niewielką prędkością pod kątem α do poziomu blisko powierzchni Ziemi.
Zakładamy, że przyśpieszenie jakiemu podlega jest w przybliżeniu stałe i równe: ~a = −gẑ (gdzie: g
=9.81 m/s2 , a x̂, ẑ są wersorami osi X, Z). W chwili początkowej jego prędkość wynosiła ~v (0) =
x̂v0 cos α + ẑv0 sin α, a położenie: ~r(0) = ~0. Znaleźć tor ruchu punktu, określić jego zasięg i czas lotu do
momentu upadku na powierzchnię Ziemi.
2. Punkt materialny o masie jednostkowej porusza się po okręgu o promieniu R w płaszczyźnie XY ruchem
jednostajnym z prędkością o wartości v. W chwili t = 0 jego położenie jest równe ~r(0) = x̂R. Znaleźć
związki między przyśpieszeniem, wektorem położenia i prędkością oraz obliczyć wartość przyśpieszenia.
Rozwiązać analogiczne zadanie dla ruchu z prędkością, której wartość rośnie liniowo z czasem.
3. Dwa statki (traktowane dalej jako punkty materialne) poruszają się po płaszczyźnie ze stałymi prędkościami,
odpowiednio: ~v1 , ~v2 . Zakładając, że w chwili t = 0 ich położenia wynoszą: ~r1 (0) oraz ~r2 (0) znaleźć
możliwie proste wyrażenia określające ich najmniejszą odległość w trakcie ruchu oraz moment w którym
znajdą się najbliżej siebie. Opisać geometryczną metodę (za pomocą cyrkla i linijki) rozwiązania tego
zadania. Wykonać obliczenia dla wybranych wartości liczbowych położeń i prędkości.
4. Koło o promieniu R toczy się bez poślizgu ze stałą prędkością o wartości v w płaszczyźnie XY w kierunku
zgodnym z osią X. Położenie środka koła w chwili początkowej wynosiło S(0) = ŷR. Obliczyć położenie,
prędkość i przyśpieszenie punktu P na obwodzie koła, jeśli w chwili t = 0 stykał się on ze środkiem układu
współrzędnych. Zbadać tor ruchu punktu P . Wykonać analogiczne obliczenia dla wybranego punktu
wewnątrz koła. Rozpatrzyć przypadek prędkości rosnącej liniowo z czasem.
5. Ratownik na plaży biegnie ratować tonącego. Przyjmując, że maksymalna wartość prędkości jaką ratownik
osiąga na piasku wynosi vp a maksymalna prędkość w wodzie wynosi vw określić taką strategię poruszania
się ratownika, która pozwoli mu najszybciej dotrzeć do tonącego.
6. Mucha porusza się po obracającej się z częstością kątową o wartości ω płycie gramofonowej, ze stałą
prędkością ~vm mierzoną względem płyty. Początkowo (dla t = 0) mucha znajduje się na środku płyty a jej
prędkość jest skierowana wzdłuż związanej z gramofonem osi X. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie muchy
(oraz ich wartości) w układzie związanym z gramofonem. Naszkicować tor muchy w układzie gramofonu.
7. Punkt materialny o masie jednostkowej należy przerzucić przez mur o wysokości H w taki sposób, by
kinetyczna energia początkowa punktu była jak najmniejsza. Znaleźć wartość prędkości oraz jej nachylenie
do poziomu w chwili rzutu. Przyjmujemy, że punkt wyrzucamy z poziomu ziemi, z odległości D od muru.
Pominąć szerokość muru, opór powietrza, nieineracjalność układu odniesienia związanego z Ziemią oraz
założyć, że pole grawitacyjne jest jednorodne.
8. Cząstka punktowa poruszająca się ze stałą prędkością ~vA na płaszczyźnie, w układzie inercjalnym i nie
poddana wpływom sił zewnętrznych, uderza w taką samą cząstkę spoczywającą. Po zderzeniu doskonale
sprężystym obie cząstki poruszają się. Wyznaczyć kąt między kierunkami ruchu cząstek po zderzeniu.
Zakładamy, że cząstki oddziaływają ze sobą tylko podczas zderzenia.
1
9. Dwa klocki, z których jeden jest początkowo nieruchomy, zderzają się sprężyście w poziomej rynnie powietrznej. Po zderzeniu klocki odskakują od siebie z prędkościami równymi co do wartości. Wyznaczyć iloraz
ich mas. Zakładamy inercjalność opisywanego układu odniesienia.
10. Rakieta zaczyna się poruszać w przestrzeni kosmicznej (w układzie inercjalnym) wskutek wyrzutu gazów z
poruszających się z prędkością o wartości vg względem dyszy jej silnika. Napisać równianie ruchu uwzględniając ubytek jej masy w trakcie lotu. Zakładając, że szybkość spalania paliwa jest równa r0 i że paliwo
stanowi q-tą część masy rakiety wyznaczyć jej prędkość końcową i drogę jaką do chwili spalenia paliwa
przebędzie.
11. Szybkość kuli karabinowej można zmierzyć za pomocą wahadła, jeśli zderzenie jest niesprężyste i kula
grzęźnie w wahadle. Obliczyć prędkość kuli, jeśli M - masa wahadła, m - masa kuli, L - długość wahadła
oraz α - kąt wychylenia wahadła po zderzeniu. Wykonać (przybliżone) obliczenia dla L = 10 m, M = 10 kg,
m = 10 g oraz α = 0.08.
12. Kajak o masie m = 50 kg ciągnięto po wodzie z prędkością o wartości vp = 1 m/s, działając siłą o
wartości F = 20 N. Zakładając, że siła oporu jest proporcjonalna do szyybkości ruchu kajaka, obliczyć jaką
maksymalną drogę przepłynie ten sam kajak rozpędzony do prędkości o wartości v0 = 3 m/s, po ustaniu
działania siły. Rozpatrzyć analogiczne zadanie, jeśli wartość siły oporu wyraża się wzorem: F = bv + cv 2 .
P
13. Zbiór N punktów materialnych ma pęd P~ = i mi ~r˙i . Znajdź układ współrzędnych w którym ten zbiór
punktów ma znikający pęd (układ środka masy).
14. Energia kinetyczna układu N punktów materialnych wynosi
T =
1X
2
mi ~r˙i
2 i
Znajdź energię kinetyczną układu tych punktów w układzie środka masy (zob. zadanie 13).
15. Rozpatrzyć dwa punkty materialne oddziałujące ze sobą siłą centralną o energii potencjalnej U (r), gdzie
~r = ~r1 − ~r2 . Przedstawić energię mechaniczną (sumę energii potencjalnej i kinetycznej) tego układu za
~ gdzie R
~ jest środkiem masy (zob. zadanie 13). Znaleźć równiania ruchu dla
pomocą zmiennych: ~r, R,
~
zmiennych ~r, R korzystając z II zasady dynamiki Newtona.
16. Rozpatrzyć ruch oscylatora jednowymiarowego (tj. poruszającego się po osi X) o masie m, poddanego
działaniu siły liniowej względem wychylenia x: −f x oraz siły tłumiącej ruch, liniowo zależnej od prędkości:
−b ẋ. Parametry b, f są stałymi liczbowymi o odpowiednich wymiarach. Przyjąć odpowiednie warunki
początkowe i zbadać jak zależy od nich rozwiązanie problemu ruchu masy m.
17. Posługując się równaniami Eulera-Lagrange’a (lub równaniami Beltramiego) znaleźć trajektorię o najmniejszej długości łączącą dwa punkty na płaszczyźnie: P = (p1 , p2 ) oraz Q = (q1 , q2 ).
18. Posługując się równaniami Eulera-Lagrange’a (lub równaniami Beltramiego) znaleźć kontur o najmniejszej
długości jaki ogranicza jednospójny obszar o powierzchni S na płaszczyźnie. Wskazówka: obliczenia można
przeprowadzić używając współrzędnych radialnych.
19. Punkt materialny opada bez tarcia po spirali (tj. linii śrubowej o rzucie w postaci okręgu na płaszczyznę
XY ) o promieniu R i skoku H, pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego. Przyjąć odpowiednie
warunki poczatkowe i znaleźć położenie punktu w zależności od czasu, oraz prędkość i przyśpieszenie tego
punktu. Ponadto określić składowe pionowe (tj. w kierunku osi Z) tych wielkości. Wskazówka: posłużyć
się równaniem Lagrange’a-Eulera do rozwiązania problemu ruchu.
2
20. Posługując się równaniami Hamiltona zbadać ruch punktu materialnego wyrzuconego z wysokości H nad
poziomem morza z prędkością skierowaną poziomo o wartości vo . Przyjąć jednorodne pole grawitacyjne,
zaniedbać opory powietrza oraz efekty ruchu obrotowego Ziemi.
21. Zbadać ruch punktu materialnego zsuwającego się bez tarcia po równi pochyłej o nachyleniu α do poziomu,
pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego. Posłużyć się formalizmem Lagrange’a i Hamiltona.
22. Dwie masy m1 oraz m2 połączono nieważką sprężynką o stałej siłowej f i ustawiono na osi X w położeniu
równowagi względem siebie. Następnie uderzono masę m1 nadając jej prędkość o wartości vo w kierunku +
osi X. Zbadać ruch tego układu zakładając, że siła o stałej f jest zawsze liniowa względem odkształcenia
sprężyny (tj. spełnia prawo Hooke’a). Posłużyć się formalizmem Lagrange’a.
23. Dwie masy m1 i m2 połączono nieważką sprężyną o stałej siłowej f i długości równowagowej `. Następnie
każdą z mas połączono z osobnym punktem zaczepienia takimi samymi sprężynami, rozciągając układ w
kierunku osi X o 10% w porównaniu z jego długością równowagową. Wprowadzono w ruch masę m1
nadając jej prędkość v0 w kierunku + osi X. Rozwiązać problem ruchu tego układu stosując formalizm
Lagrange’a.
24. Wahadło nierozciągliwe o masie m1 i długości idealnej nici `1 przyczepiono do nieruchomej belki. Do
masy m1 doczepiono podobne wahadło o parametrach: m2 , `2 . Rozwiązać zagadnienie ruchu tego układu
w przybliżeniu małych wychyleń z położenia równowagi i przeanalizować je szczegółowo w przypadkach
granicznych i szczególnych (tj. m1 m2 , m1 m2 , m1 = m2 itp.). Posłużyć się formalizmem
Lagrange’a. Przyjąć, że ruch odbywa się w pionowej płaszczyźnie XZ.
25. Wahadło o długości ` i masie m przyczepione jest do punktu materialnego o masie M , mogącego się
poruszać po poziomej linii L prostej bez tarcia pod wpływem jednorodnego pola grawitacyjnego. Rozwiązać
problem ruchu tego układu w granicy małych wahań za pomocą formalizmu Lagrange’a. Zbadać przypadki
graniczne i zależność od warunków początkowych. Przemyśleć analogiczny problem w sytuacji, gdy linia L
jest nachylona pod kątem α do poziomu.
26. Wyznaczyć średnią energię kinetyczną i potencjalną oscylatora harmonicznego opisanego funkcją Hamiltona:
H(p, q) =
1 2 mω 2 2
p +
x
2m
2
gdzie m, ω są stałymi liczbowymi o odpowiednich wymiarach, p, q oznaczają pęd i współrzędną uogólnioną.
Obliczyć energię całkowitą tego układu dla różnych warunków początkowych.
3