Rozdział 1 Wektory losowe

Rozdział 1
Wektory losowe
1.1
Wektor losowy i jego rozkład
Definicja 1 Wektor X = (X1 , . . . , Xn ), którego każda współrzędna jest zmienną losową,
nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko – wektorem losowym).
Definicja 2 Wartość x = (x1 , . . . , xn ) wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn ) dla ustalonego
ω, tzn. xi = Xi (ω), dla każdego i ∈ {1, . . . , n}, nazywamy realizacją wektora losowego X.
Przykład 1 Rozpatrzmy n-krotny rzut kostką. Niech Xi , i = 1, . . . , n, będzie zmienną losową przyjmującą wartość xi równą liczbie oczek w i-tym rzucie. Wówczas X = (X1 , . . . ,
Xn ) jest wektorem losowym oraz x = (x1 , . . . , xn ) taki, że xi = 6 dla każdego i ∈
{1, . . . , n}, jest jego przykładową realizacją.
Rozkład wektora losowego (in. rozkład łączny wektora losowego), podobnie jak rozkład zmiennej losowej, może być określony przez jego dystrybuantę.
Definicja 3 Funkcję F : Rn → [0, 1] określoną wzorem
F (x1 , . . . , xn ) = P ({ω : X1 (ω) ≤ x1 , . . . , Xn (ω) ≤ xn })
nazywamy dystrybuantą rozkładu łącznego wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn ) lub krótko
dystrybuantą wektora losowego X.
Definicja 4 Jeżeli wektor losowy X = (X1 , . . . , Xn ) przyjmuje wartości x = (x1 , . . . , xn )
z przeliczalnego zbioru WX = {x1 , x2 , . . .}, to mówimy, że jest on typu dyskretnego oraz
funkcję p : Rn → [0, 1], określoną wzorem
p(x1 , . . . , xn ) = P ({ω : X1 (ω) = x1 , . . . , Xn (ω) = xn }),
1
(1.1)
Tablica 1.1: Ilustracja funkcji prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego
x
x21
...
x2l
x11
p11
...
p1l
···
...
...
...
x1k
pk1
...
pkl
Tablica 1.2: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 2
(x, y)
1
2
3
4
5
6
1
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
2
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
3
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
4
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
5
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
6
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
dla każdego x = (x1 , . . . , xn ) ∈ WX , nazywamy funkcją prawdopodobieństwa wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn ).
Uwaga 1 W dalszej części wykładu P ({ω : X1 (ω) ≤ x1 , . . . , Xn (ω) ≤ xn }) i P ({ω :
X1 (ω) = x1 , . . . , Xn (ω) = xn }) będziemy w skrócie zapisywać odpowiednio P (X1 ≤ x1 , . . . ,
Xn ≤ xn ) i P (X1 = x1 , . . . , Xn = xn ).
W przypadku, gdy wektor losowy X = (X1 , X2 ) jest dwuwymiarowym wektorem losowym typu dyskretnego i zbiór WX = {x = (x1 , x2 ) : x1 ∈ WX1 = {x11 , . . . , x1k }, x2 ∈
WX2 = {x21 , . . . , x2l }} jest skończony, to funkcję prawdopodobieństwa rozkładu takiego
wektora najcześciej przedstawia się w postaci tabeli (zobacz tablica 1.1), gdzie
pij = P (X1 = x1i , X2 = x2j ),
x1i ∈ WX1 , x2j ∈ WX2 , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , l.
Przykład 2 Jeżeli w przykładzie 1 założymy, że wykonujemy dwa niezależne rzuty “słuszną”
kostką, to funkcja prawdopodobieństwa wektora losowego X = (X1 , X2 ) =: (X, Y ) określona jest w tablicy 1.2.
2
Definicja 5 Jeżeli istnieje funkcja f : Rn → [0, 1], taka, że dla każdego x = (x1 , . . . , xn ),
dystrybuantę F wektora losowego X możemy wyrazić następująco
∫ x1
∫ xn
F (x) =
...
f (t1 , . . . , tn )dt1 . . . dtn ,
−∞
(1.2)
−∞
to mówimy, że wektor losowy X jest typu ciągłego oraz funkcję f nazywamy gęstością
rozkładu tego wektora.
Fakt 1 Funkcja f jest gęstością rozkładu pewnego wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn )
wtedy i tylko wtedy, gdy
(i) f (x) ≥ 0, dla każdego x ∈ Rn ,
(ii)
∫
∫
∞
∞
...
−∞
−∞
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . xn = 1.
Przykład 3 Niech f będzie funkcją postaci
{
exp(−x − y), gdy x > 0 i y > 0,
f (x, y) =
0,
w przeciwnym wypadku.
Mamy, że f (x, y) ≥ 0, dla każdego x ∈ R i y ∈ R oraz
∫ ∞∫ ∞
∫ ∞∫ ∞
f (x, y)dxdy =
exp(−x − y)dxdy = 1.
−∞
−∞
0
0
Zatem funkcja f spełnia warunek (i) oraz warunek (ii) faktu 1, czyli jest gęstością rozkładu
pewnego dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ).
1.2
Rozkłady brzegowe wektora losowego
Z rozkładem wektora losowego związane jest pojęcie rozkładu brzegowego. Pojęcie to
zdefiniujemy w szczególnym przypadku – dwuwymiarowego wektora losowego. Dwuwymiarowy wektor losowy będziemy oznaczać, dla wygody, (X, Y ) zamiast jak poprzednio
(X1 , X2 ).
Definicja 6 Rozkładami brzegowymi wektora losowego (X, Y ) nazywamy rozkłady jego
współrzędnych, tzn. zmiennych losowych X i Y.
3
Fakt 2 Niech F będzie dystrybuantą wektora losowego (X, Y ). Oznaczmy
FX (x) = P (X ≤ x) = P (X ≤ x, Y < ∞) = lim F (x, y) =: F (x, ∞)
(1.3)
FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X < ∞, Y ≤ y) = lim F (x, y) =: F (∞, y).
(1.4)
y→∞
oraz
x→∞
Funkcje FX i FY określone wzorami odpowiednio (1.3) i (1.4) są dystrybuantami zmiennych losowych odpowiednio X i Y oraz nazywamy je dystrybuantami rozkładów brzegowych
wektora losowego (X, Y ).
Fakt 3 Jeżeli wektor losowy (X, Y ) przyjmuje wartości (x, y) z przeliczalnego zbioru
W(X,Y ) = {(x, y) : x ∈ WX = {x1 , x2 , . . .}; y ∈ WY = {y1 , y2 , . . .}}, z prawdopodobieństwem p(x, y), czyli jest typu dyskretnego, to rozkłady współrzędnych X, Y tego wektora
są dyskretne i są określone przez funkcje prawdopodobieństwa pX , pY odpowiednio postaci
pX (xi ) =
pY (yj ) =
∑
p(xi , yj ) =
∞
∑
yj ∈WY
j=1
∑
∞
∑
p(xi , yj ) =
xi ∈WX
pij =: pi+ ,
(1.5)
pij =: p+j .
(1.6)
i=1
Zatem funkcje prawdopodobieństwa pX i pY określają rozkłady brzegowe wektora losowego
(X, Y ).
Przykład 4 Jeżeli rozkład łączny wektora losowego (X, Y ) określony jest przez funkcję
prawdopodobieństwa daną w tablicy 1.2, to rozkłady brzegowe tego wektora możemy podać
w dodatkowym (ostatnim) wierszu i dodatkowej (ostatniej) kolumnie jak w tablicy 1.3.
Fakt 4 Jeżeli wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego i f oznacza gęstość rozkładu wektora (X, Y ), to zmienne losowe X i Y też są typu ciągłego i gęstość fX rozkładu zmiennej
losowej X jest postaci
∫
∞
f (x, y)dy
(1.7)
oraz gęstość rozkładu zmiennej losowej Y jest postaci
∫ ∞
fY (y) =
f (x, y)dx.
(1.8)
fX (x) =
−∞
−∞
4
Tablica 1.3: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 4 wraz z rozkładami brzegowymi
(x, y)
1
2
3
4
5
6
pX
1
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/6
2
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/6
3
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/6
4
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/6
5
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/6
6
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/36
1/6
pY
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1
Uwaga 2 Jeżeli zmienne losowe X i Y są typu ciągłego, to nie pociąga za sobą, że wektor
losowy (X, Y ) jest typu ciągłego.
Fakt 5 Jeżeli wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego i f oznacza gęstość rozkładu wektora (X, Y ), to dystrybuanta FX zmiennej losowej X jest postaci
∫ x ∫ ∞
∫ x
FX (x) = F (x, ∞) =
f (u, y)dydu =
fX (u)du
−∞
−∞
−∞
oraz dystrybuanta FY zmiennej losowej Y jest postaci
∫ y ∫ ∞
∫
FY (y) = F (∞, y) =
f (x, v)dxdv =
−∞
−∞
y
−∞
fY (v)dv.
Przykład 5 W przykładzie 3 pokazaliśmy, że funkcja
{
exp(−x − y), gdy x > 0 i y > 0,
f (x, y) =
0,
w przeciwnym wypadku,
jest gęstością rozkładu pewnego dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y ). Korzystając
ze wzoru (1.7), gęstość fX rozkładu zmiennej losowej X jest postaci
{ ∫∞
exp(−x − y)dy = exp(−x), gdy x > 0,
0
fX (x) =
0,
gdy x ≤ 0.
Korzystając ze wzoru (1.8), gęstość fY rozkładu zmiennej losowej Y jest postaci
{ ∫∞
exp(−x − y)dx = exp(−y), gdy y > 0,
0
fY (y) =
0,
gdy y ≤ 0.
Z postaci gęstości rozkładów zmiennych losowych X i Y, wnioskujemy, że rozkłady brzegowe wektora losowego (X, Y ) są wykładnicze E(1).
5
1.3
Rozkłady warunkowe
Pojęcie rozkładu warunkowego, podobnie jak pojęcie rozkładu brzegowego, wprowadzimy
na przykładzie dwuwymiarowego wektora losowego. Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym. Np. niech X = 1, jeżeli losowo wybrana osoba posiada samochód i X = 0, jeżeli nie posiada samochodu oraz Y = 1, jeżeli jest kobietą i Y = 0,
jeżeli jest mężczyzną. Może interesować nas prawdopodobieństwo, że osoba posiada samochód, jeżeli wiemy, że jest kobietą. Symbolicznie możemy to prawdopodobieństwo zapisać
w postaci
P (X = 1|Y = 1).
Zauważmy, że jeżeli wiemy, że losowo wybrana osoba jest kobietą, to może ona posiadać
samochód lub nie, zatem
P (X = 1|Y = 1) + P (X = 0|Y = 1) = 1.
Powyższe dwa prawdopodobieństwa warunkowe P (X = 1|Y = 1), P (X = 0|Y = 1)
określają nam tzw. rozkład warunkowy zmiennej losowej X, pod warunkiem, że zmienna
losowa Y przyjęła wartość 1.
Ogólnie rozkład warunkowy w przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu dyskretnego, definiujemy następująco.
Definicja 7 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu dyskretnego o rozkładzie określonym przez funkcję prawdopodobieństwa p. Wówczas rozkład warunkowy zmiennej losowej X pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjęła wartość y, określony jest
przez następującą funkcję prawdopodobieństwa warunkowego
pX|Y =y (x) =
p(x, y)
,
pY (y)
(1.9)
gdzie pY oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y. Analogicznie, rozkład
warunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem, że zmienna losowa X przyjęła wartość x,
określony jest przez następującą funkcję prawdopodobieństwa warunkowego
pY |X=x (y) =
p(x, y)
,
pX (x)
gdzie pX oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
6
(1.10)
Tablica 1.4: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 6
(x, y)
1
2
3
1
0, 1
0
0, 1
2
0
0, 6
0
3
0, 1
0
0, 1
Przykład 6 Niech rozkład wektora losowego (X, Y ) będzie dany w tablicy 1.4. Wówczas, korzystając ze wzoru (1.9), rozkład warunkowy zmiennej losowej X, pod warunkiem,
że Y = 1, określony jest przez następującą funkcję prawdopodobieństwa warunkowego:
pX|Y =1 (1) = 0.5, pX|Y =1 (2) = 0, pX|Y =1 (3) = 0.5.
W przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego, pojęcie rozkładu warunkowego nie jest już takie intuicyjne jak w powyższym przypadku wektora losowego typu
dyskretnego. Rozkłady warunkowe są wówczas określone przez tzw. gęstości warunkowe,
które definiujemy następująco.
Definicja 8 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu ciągłego o gęstości f.
Wówczas warunkowa gęstość zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y jest postaci
fX|Y =y (x) =
f (x, y)
,
fY (y)
(1.11)
gdzie fY oznacza gęstość zmiennej losowej Y. Analogicznie, warunkowa gęstość zmiennej
losowej Y, pod warunkiem, że X = x jest postaci
fY |X=x (y) =
f (x, y)
,
fX (x)
(1.12)
gdzie fX oznacza gęstość zmiennej losowej X.
Przykład 7 Niech rozkład wektora losowego (X, Y ) będzie określony przez następującą
gęstość
f (x, y) =
1
exp[−(x2 − 2xy + 2y 2 )]
π
dla każdego x, y ∈ R. Korzystając ze wzoru (1.8), gęstość fY zmiennej losowej Y jest
postaci
fY (y) =
exp(−y 2 )
√
,
π
7
a następnie, korzystając ze wzoru (1.11), rozkład warunkowy zmiennej losowej X, pod
warunkiem, że Y = y, określony jest przez następującą gęstość warunkową
fX|Y =y =
exp[−(x − y)2 ]
√
,
π
z czego wynika, że rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y = y jest rozkładem normalnym N (y, 1/2). Na przykład, gdy y = 0 mamy
exp(−x2 )
√
,
π
fX|Y =0 =
i rozkład warunkowy zmiennej X, pod warunkiem, że Y = 0 jest rozkładem normalnym
N (0, 1/2).
Definicja 9 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu dyskretnego o rozkładzie określonym przez funkcję prawdopodobieństwa p. Warunkową wartością oczekiwaną
zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y nazywamy wartość
∑
E(X|Y = y) =
xi pX|Y =y (xi ),
(1.13)
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich xi ze zbioru wartości WX zmiennej losowej X.
Analogicznie, warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y, pod warunkiem, że
X = x nazywamy wartość
E(Y |X = x) =
∑
yj pY |X=x (yj ),
(1.14)
gdzie sumowanie przebiega po wszystkich yj ze zbioru wartości WY zmiennej losowej Y.
Przykład 8 W przypadku wektora losowego (X, Y ) z przykładu 6, warunkowa wartość
oczekiwana E(X|Y = 1) zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = 1 wynosi
E(X|Y = 1) = 1 ∗ 0.5 + 2 ∗ 0 + 3 ∗ 0.5 = 2.
Definicja 10 Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) będzie typu ciągłego o gęstości f. Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = y
nazywamy wartość
∫
∞
E(X|Y = y) =
−∞
xfX|Y =y (x)dx.
(1.15)
Analogicznie, warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej Y, pod warunkiem, że
X = x nazywamy wartość
E(Y |X = x) =
∫
∞
−∞
8
yfY |X=x (y)dy.
(1.16)
Przykład 9 W przypadku wektora losowego (X, Y ) z przykładu 7, warunkowa wartość
oczekiwana E(X|Y = 0) zmiennej losowej X, pod warunkiem, że Y = 0 wynosi
∫ ∞
exp(−x2 )
E(X|Y = 1) =
x √
dx = 0.
π
−∞
1.4
Niezależność zmiennych losowych
Definicja 11 Współrzędne X1 , . . . , Xn wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn ) są niezależnymi zmiennymi losowymi, jeżeli dla każdego wektora (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , zdarzenia
{ω : X1 (ω) ≤ x1 }, . . . , {ω : Xn (ω) ≤ xn } są wzajemnie niezależne.
Fakt 6 Jeżeli F jest dystrybuantą wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn ), którego współrzędne X1 , . . . , Xn są niezależne, to
F (x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) . . . Fn (xn ),
gdzie Fi jest dystrybuantą zmiennej losowej Xi , i = 1, . . . , n.
Fakt 7 Niech pX będzie funkcją prawdopodobieństwa wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn )
oraz pXi oznacza funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej Xi , i = 1, . . . , n. Wówczas
zmienne losowe X1 , . . . , Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
pX (x) =
n
∏
pXi (xi ),
i=1
dla każdego x = (x1 . . . , xn ) ∈ Rn .
Wniosek 1 W przypadku dwywymiarowego wektora losowego (X, Y ) typu dyskretnego
o funkcji prawdopodobieństwa określonej przez pij , i = 1, 2 . . . , j = 1, 2, . . . , zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego i = 1, 2 . . . oraz j = 1, 2, . . . ,
pij = pi+ p+j ,
(1.17)
gdzie pi+ i p+j określone są odpowiednio wzorami (1.5) i (1.6).
Przykład 10 Niech funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego (X, Y )
będzie dana w tablicy 1.5. Dla i = 1, j = 1 mamy, że p11 = 0, 1, p1+ = 0, 3, p+1 = 0, 2,
p11 = 0, 1 ̸= p1+ p+1 = 0, 06. Zatem istnieje takie i oraz j, dla których nie jest spełniony
warunek (1.17), czyli zmienne losowe X i Y nie są niezależne.
9
Tablica 1.5: Funkcja prawdopodobieństwa dwuwymiarowego wektora losowego z przykładu 10
(x, y)
1
2
3
1
0, 1
0, 1
0, 1
2
0
0, 4
0
3
0, 1
0, 1
0, 1
Przykład 11 Łatwo można pokazać, że zmienne losowe X i Y z przykładu 2 są niezależne.
Fakt 8 Niech fX będzie gęstością rozkładu wektora losowego X = (X1 , . . . , Xn ) oraz fXi
oznacza gęstość rozkładu zmiennej losowej Xi , i = 1, . . . , n. Wówczas zmienne losowe
X1 , . . . , Xn są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
fX (x) =
n
∏
fXi (xi ),
i=1
dla każdego x = (x1 . . . , xn ) ∈ Rn .
Wniosek 2 W przypadku dwywymiarowego wektora losowego (X, Y ) typu ciągłego o funkcji gęstości rozkładu f, zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego x ∈ R oraz y ∈ R,
f (x, y) = fX (x)fY (y),
(1.18)
gdzie fX i fY określone są odpowiednio wzorami (1.7) i (1.8).
Przykład 12 W przykładzie 3 mamy, że dla każdego x ∈ R oraz y ∈ R, f (x, y) =
fX (x)fY (y). Zatem spełniony jest warunek (1.18) i zmienne losowe X i Y z tego przykładu
są niezależne.
Definicja 12 Próbą losową lub krótko próbą, nazywamy wektor losowy X = (X1 , . . . , Xn ),
którego współrzędne są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Jeżeli p jest funkcją prawdopodobieństwa lub f jest gęstością rozkładu zmiennych losowych
X1 , . . . , Xn , to mówimy, że X jest próbą z rozkładu odpowiednio p lub f.
10
Przykład 13 Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ), λ > 0,
czyli zmienne losowe X1 , . . . , Xn są niezależne i rozkład zmiennej Xi , i = 1, . . . , n, ma
gęstość postaci
{
f (x) =
1
λ
( )
exp − λx , gdy x > 0,
gdy x ≤ 0.
0,
Wówczas, korzystając z faktu 8, mamy, że rozkład wektora losowego X ma gęstość
postaci

 ∏n
fX (x1 , . . . , xn ) =
1.5
1
i=1 λ
(
)
exp − xλi =
1
λn
( ∑n
)
xi
exp − i=1
, gdy xi > 0, i ∈ {1, . . . , n},
λ
 0,
w przeciwnym przypadku.
Charakterystyki liczbowe dwuwymiarowego wektora
losowego
Niech (X, Y ) będzie dwuwymiarowym wektorem losowym o funkcji prawdopodobieństwa
p lub gęstości rozkładu f. Wówczas wartość oczekiwaną zmiennej losowej Z = g(X, Y ),
gdzie g : R2 → R jest dowolną (mierzalną) funkcją, możemy obliczyć z następującego
wzoru
E(Z) =
∑
g(xi , yj )p(xi , yj ),
(1.19)
(xi ,yj )
w przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu dyskretnego lub
∫ ∞∫ ∞
E(Z) =
g(x, y)f (x, y)dxdy,
−∞
(1.20)
−∞
w przypadku, gdy wektor losowy (X, Y ) jest typu ciągłego.
1.5.1
Kowariancja zmiennych losowych
Definicja 13 Kowariancją zmiennych losowych X i Y nazywamy
Cov(X, Y ) = E[(X − E(X))(Y − E(Y ))] = E(XY ) − E(X)E(Y ).
Definicja 14 Jeżeli Cov(X, Y ) = 0, to zmienne losowe X i Y nazywamy nieskorelowanymi.
Fakt 9 Jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne, to są nieskorelowane.
11
Uwaga 3 Implikacja odwrotna w fakcie 9 nie jest prawdziwa, tzn. z faktu, że Cov(X, Y ) =
0 nie wynika, że zmienne losowe X i Y są niezależne.
Przykład 14 Niech funkcja prawdopodobieństwa wektora losowego (X, Y ) będzie dana
w talicy 1.4. Wówczas E(X) = 2, E(Y ) = 2, E(XY ) = 4, czyli Cov(X, Y ) = 0, ale
zmienne losowe X i Y nie są niezależne, bo np.
P (X = 1, Y = 1) = 0, 1 ̸= P (X = 1)P (Y = 1) = 0.04.
Fakt 10 Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y zachodzi następująca nierówność
[Cov(X, Y )]2 ≤ Var(X)Var(Y ).
1.5.2
(1.21)
Współczynnik korelacji zmiennych losowych
Definicja 15 Współczynniikem korelacji zmiennych losowych X i Y, takich, że Var(X) >
0 i Var(Y ) > 0, nazywamy
Cov(X, Y )
.
ρ(X, Y ) = √
Var(X)Var(Y )
(1.22)
Z nierówności (1.21) wynika, że dla dowolnych zmiennych losowych X i Y, takich, że
Var(X) > 0 i Var(Y ) > 0, [ρ(X, Y )]2 ≤ 1, a więc |ρ(X, Y )| ≤ 1. Można pokazać, że
współczynnik korelacji |ρ(X, Y )| = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy z prawdopodobieństwem 1,
zmienne losowe X i Y związane są zależnością liniową, tzn. P (Y = aX + b) = 1. Współczynnik korelacji można zatem traktować jako miarę liniowej współzależności zmiennych
losowych.
12