nanostruktury - Piotr Klejment
advertisement
NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NANOSTRUKTURY X – XII 2012 Wysłuchał, spisał i opracował Piotr Klejment UWAGA!!! NINIEJSZE OPRACOWANIE MOŻE ZAWIERAĆ BŁĘDY! 1 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- KOLOKWIUM 1 Zadania na kolokwium Wybrać dwa pytania i opisać 1) Gęstość stanów elektronowych. Porównać i przedyskutować dla stanów o różnej wymiarowości. 2) Omów zjawisko TMR i jego zastosowania 3) Skaningowy mikroskop tunelowy. Przedyskutować różne mody pracy mikroskopu. 2 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- NANOSTRUKTURY wykład I Struktury niskowymiarowe: struktury, w których co najmniej jeden kierunek jest rzedu h długości fali de Broglie’a dla elektronu λ = p Wyróżniamy struktury: 3D: materiały masywne – nie ma kwantowania w żadnym kierunku 2D: studnie kwantowe – kwantowanie w jednym kierunku 1D: druty kwantowe - kwantowanie w dwóch kierunkach 0D: kropki kwantowe – kwantowanie we wszystkich kierunkach Grafen: dwuwymiarowy kryształ złożony z atomów węgla tworzących sieć heksagonalną. Każdy kryształ charakteryzuje się dalekozasięgowym uporządkowaniem (takie uporządkowanie występuje tylko w 3D). Istnieje możliwość uporządkowania w 2D w nanokrytstalitach. Grafen wykazuje szczególne właściwowści elektronowe – elektrony jako bezmasowe cząstki. Pasmo przewodnictwa i walencyjne grafenu łączą się dokładnie w 6 punktach. W grafenie występuje liniowa relacja dyspersji, jak w fononach i innych bozonach. Pełna symetria między elektronami i dziurami. Tranzystor zbudowany na grafenie: nie wymaga szczególnych warunków (clean room). Zmieniając napięcie bramkowe zmieniamy położenie poziomu Fermiego. Mała rezystancja dla poziomu Fermiego w paśmie, po przejściu poziomu Fermiego przez punkt doracowski mocno rośnie. Drut kwantowy: w jednym kierunku elektron może poruszać się jako swobodny, w pozostałych mamy kwantowanie (można traktować jako studnie). Quasi – ciągłe wartości energii w kierunku swobodnego ruchu i podpasma nazywane modami w kierunku dyskretnym energii. W kierunku swobodnym fala płaska, w pozostałych stojąca. Otrzymuje się druty kwantowe ze studni kwantowych, poprzez litografię i trawienie brzegów studni, a następnie nakładamy na strukturę dwie elektrody i przykładamy silny ujemny potencjał. Elektrony zgromadzą się w kanale miedzy elektrodami dając drut kwantowy. Kropka kwantowa: odległości między poziomami energetycznymi >kT, żeby energia wzbudzeń termicznych nie niszczyła kwantowania. Układy kropek są ważne ze względu na właściwości optyczne. Antykropki kwantowe: wycięte w matryce grafenowej małe obszary. Inne nanoobiekty mogą odgrywać rolę kropek jak nanokrytality otrzymywane w zawiesinach koloidalnych, czy molekuły. Nanorurka węglowa: płaszczyzna grafenowa zwinięta w tubę z symetrią periodyczną na obwodzie rurki. Mają własności elastyczne i największy moduł Younga ze znanych materiałów. Występuje w nich transport balistyczny. 3 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Blokada kulombowska: efekt w tranzystorze, gdy na tranzystorze znajduje się wyspa i jeżeli jej pojemność będzie odpowiednio mała, to zaobserwujemy blokadę kulombowską, czyli oddanie lub zabranie jednego elektronu z wyspy. Zmieniając napięcie bramkowe można blokować blokadę kulombowską i otrzymać oscylacje przewodności. Jeżeli między źródłem, a drenem przyłożymy napięcie, to na charakterystyce pojawią się charakterystyczne stopnie zwane stopniami kulomba. Interferencja kwantowa: transport opisywany jest inaczej niż w układach masywnych, bo elektron jest falą, co ma duży wpływ na właściwości transportu. Fala elektronowa od źródła elektronów dociera do „pierścienia”, gdzie zostaje rozdzielona na dwie fale. Fale poruszają się górnym i dolnym kanałem. Na wyjściu fale nakładają się na siebie, czyli zachodzi interferencja. Nanoelektronika: oparta na nanorurkach. Gigantyczny magnetoopór: typowy efekt warstwowych struktur metalicznych, można opisywać go klasycznie. Kwantowy magnetopór: dwie warstwy metaliczne przedzielone niemagnetyczną przekładką. Jeżeli momenty magnetyczne są równoległe, to cały ten układ wykazuje mały opór. Przy zmianie kierunku namagnesowania warstwy wzrost rezystancji. W przypadku złącz tunelowych w niskich temperaturach zmiana rezystancji może być do 1000%. Własności elektronowe zdefiniowane są przez strukturę. Dla układów krystalicznych ważną rolę odgrywa symetria sieci. Przesuwając o dowolny wektor sieci prostej otrzymujemy to samo ze względu na periodyczność sieci. Gęstość stanów: liczba stanów energetycznych na jednostkę energii. WYTWARZANIE STRUKTUR NISKOWYMIAROWYCH wykład II Epitaksja: obsadzanie warstwy na podłożu krystalicznym. Metody epitaksjalne pozwalają na najdokładniejszą kontrolę rosnących warstw. Wytwarzanie struktur niskowymiarowych: Najprecyzyjniejszą metodą jest epitaksja z wiązek molekularnych MBE, która stosuje się do układów metalicznych i półprzewodnikowych. Taką epitaksję prowadzi się w komorach o wysokiej próżni, co jest jednocześnie wadą, gdyż potrzebne są clean roomy. Warstwy rosną wolno. Epitaksja ze związków metaloorganicznych MOCVD to metoda bardziej przemysłowa. Materiałem wejściowym jest gaz, który dysocjuje, a na podłożu osadza się arsenek galu. Słaba jakość warstw, ale warstwy rosną stosunkowo szybko. Epitaksja z wiązki chemicznej: połączenie dwóch poprzednich metod. Próbka rośnie na podłożu w wysokiej próżni. Materiałami wejściowymi są gazy, które po wprowadzeniu do komory ulegają dysocjacji. Pośrednia kontrola nad wzrostem. Epitaksja z fazy gazowej: transport cząsteczek przez fazę gazową, wbudowywanie się cząsteczek par do kryształu. 4 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Epitaksja z fazy ciekłej: płynny stop wylewa się na płytkę podłoża. Szybki wzrost, wysoka jakośc warstw. Homoepitaksja: podłoże ma taką samą strukturę krystaliczną jak hodowana warstwa. Heterostruktury półprzewodnikowe: struktury składające się z kilku warstw półprzewodnikowych. Tworzy się je w celu uzyskania pożądanych właściwości urządzenia. Heterostruktury – sposoby wzrostu warstw: warstwa po warstwie Franka – van der Merve’a wyspowy Vollmera – Webera mieszany Strańskiego – Krastanowa: najpierw wzrost warstwowy, a po przekroczeniu pewnej grubości, następuje przejście fazowe i wzrost wyspowy. Grubość warstwy, którą możemy nałożyć na podłoże, by układ był stabilny, nazywamy krytyczną. Jakość hodowanej struktury zależy od dopasowania sieciowego podłoża i warstwy, a także od energii powierzchniowej materiału, podłoża i interfejsu warstwa-podłoże. Supersieci: układy z półprzewodników wąsko i szeroko przerwowych. Są to periodyczne układy studni i barier, w których występuje przekrywanie się funkcji falowych, a w efekcie tunelowanie elektronów i powstawanie minipasm. Jest to struktura quasi 3D. Niebieski laser: GaN ma na tyle szeroką przerwę energetyczną, że istnieje możliwość wyhodowania niebieskiego lasera. Może się to stać w procesie homoepitaksji, gdy warstwa GaN-u będzie rosła na objętościowym GaN-ie. Problemem jest wytworzenie objętościowego GaN-u, gdyż wymaga wysokiej temperatury i wysokiego ciśnienia. Niebieska dioda: po odpowiednim dopasowaniu przerw energetycznych i stałych sieci GaN na szafirze daje niebieską diodę. Wytwarzanie drutów i kropek kwantowych LDS: potrzebne są metody pozwalające na ściśnięcie elektronów w odpowiedniej ilości kierunków. Punktem wyjściowym jest studnia kwantowa. popularną metodą jest litografia: wyhodowaną warstwę pokrywa się polimerem, a potem naświetla przez odpowiedni czas. W wyniku naświetlenia polimer można łatwo usunąć, a puste miejsce pokrywa się maską ze złota. Po usunięciu pozostałego polimeru wykonuje się trawienie chemiczne. selektywny wzrost ścinanie powierzchni elektrostatycznie: na strukturę nakładamy elektrody do których przykładamy ujemny potencjał. na powierzchnię hodowanej struktury nakładamy lokalne modulacje, a elektrony będą się gromadzić w miejscach najsłabszego potencjału tworząc matrycę kropek. kropki samorosnące: wykorzystuje się przejście fazowe Strańskiego – Krastanowa. kropki rosnące w zawiesinach koloidalnych, nanokryształki: powstają w wyniku wygrzewania szkła kwarcowego, odgrywają rolę kropek. w wyniku podgrzewania laserem ścianek studni w miejscach nagrzanych powstają kropki 5 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- BADANIE STRUKTUR wykład III Skaningowy Mikroskop Tunelowy STM: pozwala na pomiar prądu tunelowego pomiędzy badaną powierzchnią i igłą mikroskopu. Dzięki STM można uzyskać informacji o gęstości stanów, badać topografii powierzchni próbki lub przesuwać atomy na powierzchni przewodzącej. Do sterowania igłą stosuje się elementy piezoelektryczne. Jedną z elektrod jest igła, a drugą skanowana powierzchnia. Jako igły stosuje się nanorurki. Badanie zachodzi w niskiej temperaturze, aby zniwelować ruchy Browna. W celu uzyskania najwyższej, jednoatomowej rozdzielczości, większość prądu powinna płynąć przez jeden atom – ostrze skanujące powinno być zakończone jednym atomem. Mody pracy STM: stała wysokość ostrza – ostrze na stałej wysokości nad badaną powierzchnią, a informacja o badanej powierzchni jest dana przez rozkład natężenia prądu tunelowego stały prąd tunelowania – regulowana wysokość ostrza, aby utrzymać stały prąd w układzie spektroskopowy – charakterystyka prądu tunelowego I(V) przy stałej wysokości ostrza STM pozwala na określanie gęstości stanów, czemu zawdzięczamy efekt Kondo i miraż kwantowy. Efekt Kondo występuje na wskutek obecności domieszki magnetycznej, która prowadzi do podwyższenia gęstości stanów na poziomie Fermiego na, wskutek czego pojawia się wysoki pik w gęstości stanów prowadzący do silnego rozpraszania elektronów w materiałach masywnych. W materiałach kwantowych pik Kondo w pobliżu poziomu Fermiego ułatwia tunelowanie i prowadzi do wzrostu przewodności. Ponieważ elektrony ułożone są w elipsę, obserwuje się pik Kondo również w miejscu drugiego ogniska, chociaż nie ma tam atomu - wynika to z geometrii elipsy, a efekt taki nazywa się mirażem kwantowym. Dzięki STM można manipulować atomami – atomowy mogą być przesuwane przy wykorzystaniu sił van der Waalsa. Z kolei przy zastosowaniu silnego (impulsowego) pola elektrycznego możliwy jest przeskok atomu z powierzchni do igły i odwrotnie. Spektroskopia tunelowa: w układzie z dwiema barierami tunelowymi szerokość barier łatwo zmierzyć poprzez zmianę odległości igły i kropki kwantowej. Elektron tuneluje z igły na kropkę i do podłoża. Można dzięki temu uzyskać informacje o dyskretnych poziomach kwantowych. takie same wyniki pozwalają uzyskać pomiary optyczne. Mikroskop sił atomowych AFM: najbardziej podstawowe narzędzie do badania nanostruktur, w którym wykorzystano koncepcję sił harmonicznych. Pozwala na uzyskanie informacji o topologii powierzchni. Igła skanuje powierzchnię, przy czym mierzona jest siła oddziaływania pomiędzy powierzchnią, a igłą. Zmiany sił dają informację o topografii powierzchni. Dzięki AFM możemy zbadać dwa ważne zjawiska w półprzewodnikach: potencjał powierzchniowy oraz rekonstrukcje powierzchniowe (przegrupowanie atomów w celu uzyskania najniższej energii). 6 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tryby pracy AFM: tryb kontaktowy: o dużej rozdzielczości obrazów, duże siły adhezyjne spowodowane obecnością zanieczyszczeń powierzchni, możliwość uszkodzenia próbki lub ostrza tryb bezkontaktowy: mniejsza rozdzielczość obrazów tryb z przerwanym kontaktem: pozwala na badanie miękkich powierzchni, dobra zdolność rozdzielcza, rejestruje zmiany amplitudy drgającej igły Mikroskop sił magnetycznych MFM: wykorzystuje siły magnetyczne, wymaga struktury domenowej. Igła pokryta jest warstwą magnetyczną i reaguje na zmiany pola w czasie przemieszczania nad powierzchnią. Wadą takich pomiarów jest słaba zależność od odległości. ZJAWISKA TRANSPORTU TRANSPORT SPINOWO ZORIENTOWANYCH ELEKTRONÓW wykład IV ZJAWISKA TRANSPORTU Energia Fermiego: wartość energii, która oddziela stany obsadzone i nieobsadzone w T = 0K. Transport: ukierunkowany ruch elektronów pod wpływem czynników zewnętrznych np. pola elektrycznego E. Transport nośników ładunku w ciałach stałych zależy do procesów ich rozpraszania. Elektrony, zderzając się z innymi elektronami albo rozpraszając na drganiach sieci krystalicznej, defektach albo granicach zmieniają swój stan. Średnia droga, którą przechodzi elektron między dwoma kolejnymi aktami rozpraszania nosi nazwę średniej drogi swobodnej. Transport wygląda inaczej w obiektach niskowymiarowych niż masywnych. Quasi-klasyczna teoria transportu: transport w materiałach masywnych ma charakter dyfuzyjny w oparciu o klasyczne równanie Boltzmanna, w niskowymiarowych w oparciu o równanie Fermiego-Diraca. Główny wkład do transportu dają elektrony w pobliżu poziomu Fermiego. W układy niskowymiarowych występuje transport balistyczny: elektron emitowany jest przez układ, co najwyżej odbija się od granic próbki. W materiałach masywnych transport dyfuzyjny: elektron często się odbija. Efekty kwantowe ważne są dla układów o rozmiarach rzędu długości fali. Czas relaksacji fazy: czas, po którym elektron zapomina swoją fazę. Faza elektronu eikr gdzie kr to czynnik fazowy. Długość koherencji fazy: istotny czynnik charakteryzujący transport kwantowy. Jest to odległość, na której elektron zachowuje pamięć fazową. Gdy badamy transport w nanostrukturach, wprowadza się współczynnik proporcjonalności G – zależność między prądem i napięciem, odwrotność rezystancji, nazywany przewodnością (δ → → to przewodnictwo). Przewodność to I = GV , a przewodnictwo j = σ E 7 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Charakterystyka I-V: po przyłożeniu napięcia zmienia się kształt bariery. Transmisja zależy od napięcia i napięcie wchodzi w funkcję Fermiego – Diraca. Dla małych napięć można je w transmisji zaniedbać. Taki efekt najczęściej w diodzie tunelowej jest wykorzystywany. Pojawia się pojedyncza wąska bariera po przyłożeniu napięcia. TRANSPORT SPINOWO ZORIENTOWANYCH ELEKTRONÓW Półprzewodniki nie wykazują właściwości magnetycznych. Pole koercji: pole potrzebne do zmiany kierunku pola magnetycznego. Zawór spinowy: zawiera dwie warstwy, w tym jedną o ustalonym momencie magnetycznym. Używa się w nich syntetycznego ferromagnetyka – nałożonej w wysokich temperaturach warstwy ferromagnetycznej schłodzonej następnie w polu. Tunelowy magnetoopór TMR: zwany też zjawiskiem Gaussa, polega na zmianie oporu metali i półprzewodników pod wpływem pola magnetycznego. Praktyczne zastosowanie w magnetoopornikach. W polu magnetycznym tor cząstki naładowanej zakrzywia się, więc droga jaką pokonuje cząstka ulega wydłużeniu. Objawia się to zmniejszeniem natężenia prądu (wzrostem oporu). Zjawisko Gaussa wykorzystywane jest do pomiaru natężenia pola magnetycznego. TMR jest proporcjonalny do iloczynu polaryzacji obu ferromagnetyków, gdzie polaryzacja jest określona przez gęstość stanów na poziomie Fermiego. Z modelu Julliera wynika, że tym większe TMR im większa polaryzacja. TMR maleje dość silnie z temperaturą, a także napięciem. Efekt TMR wykorzystuje się w pamięciach dysków twardych. TMR dla złącz krystalicznych: tunelowy magnetopór zależy od iloczynu polaryzacji obydwu złącz. Im większa polaryzacja, tym większy magnetopór. Złącza tunelowe mają większe zalety niż złącza metaliczne: w złączach tunelowych prąd zawsze płynie prostopadle do granic, mniejsze rozmiary bardziej odporne na temperaturę, stabilniejsze możliwa jest w nich większa gęstość zapisu. duży efekt TMR. większy opór niż metaliczne. Zapis informacji (1,0) to ustalenie momentu magnetycznego. Mamy dwie linie, wzdłuż których możemy przepuszczać prąd. Prądy płynące przez obie linie się sumują, co daje dość duże pole magnetyczne, żeby obrócić moment magnetyczny jednej komórki. Spintronika półprzewodnikowa: elektronika spinowa, w której wykorzystuje się efekty spinowe. Złącze tunelowe: warstwy swobodna i referencyjna to warstwy metaliczne ze 8 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- względu na właściwości ferromagnetyczne, a przekładka to izolator. Problemem jest zapewnienie współpracy metalu z półprzewodnikami. Rozwiązania problemu to: wstrzykiwanie spinów do półprzewodnika lub wynalezienie magnetycznego półprzewodnika mającego wysoką temperaturę Curie (temperatura, powyżej której znikają właściwości magnetyczne). Spintronika molekularna: metaliczne elektrody i nanorurka, wysokie TMR, ale w niskich temperaturach. Inna linia poszukiwań to zwiększenie TMR przez zwiększenie polaryzacji. Ferromagnetyki półmetaliczne: nie istnieją samoistnie. Są odpowiedzią na próby uzyskania materiałów o wysokiej polaryzacji. Mają wyrafinowaną strukturę pasmową i szczególną strukturę krystaliczną np. spinele, stop Heuslera z przerwą energetyczną dającą zerową gęstość stanów dla zerowego jednego kierunku spinu. Spinowy moment obrotowy STT: istotny krok w spintronice, pozwala na manipulowanie momentem magnetycznym bez obecności pola magnetycznego. Mając prąd spinowy i spin kolinearny z momentem warstwy, do której płynie prąd, to następuje transfer spinów. Zostaje wymuszony kierunek pionowy momentu magnetycznego, a składowa pozioma jest absorbowana. Transfer momentu magnetycznego wiąże się z momentem obrotowym i wchodzące elektrony będą działały momentem obrotowym na kierunek warstwy, do której wnikają i w pewnych warunkach mogą obrócić moment magnetyczny. Jest to efekt transferu spinów, a nie pola magnetycznego. Po umieszczeniu momentu magnetycznego w polu magnetycznym o innym kierunku pojawia się precesja. W realnych układach pojawia się też tłumienie precesji, aż moment magnetyczny ustawi się w kierunku równoległych do pola magnetycznego. Jeżeli STT jest na tyle duży, że znacznie przeważa nad tłumieniem, to możemy obserwować przełączanie – zmianę momentu i rezystancji. Efekt ten wynika z transferu spinów. Zjawiska termoelektryczne w nanostrukturach: efekt Seebecka, czyli gradient temperatury generuje napięcie na krańcach przewodnika, efekt Peltiera, czyli różnica temperatur pojawiająca się w wyniku przepływu prądu. Przewodność cieplna grafenu: najwyższe przewodnictwo cieplne, znaczną siłę termoelektryczną można uzyskać, duże przewodnictwo elektryczne, brak wkładu od elektronów. Spinowa kalorymetria: efekty termoelektryczne w układach Magneto termo siła: siła termoelektryczna generowana przy równoległej konfiguracji obu elementów złącza minus siłą przy konfiguracji antyrównoległej. Gigantyczna magnetorezystancja GMR polega na znacznej zmianie rezystancji wielowarstwowego układu, składającego się z ferromagnetycznych metalicznych warstw, oddzielonych od siebie przewodzącymi, nieferromagnetycznymi warstwami Zewnętrzne pole magnetyczne wywołuje zmianę względnej orientacji momentów magnetycznych ferromagnetycznych warstw, co wywołuje znaczną zmianę magnetooporu. 9 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- KOLOKWIUM 2 10 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- REZYSTANCJA W UKŁADACH KLASYCZNYCH I KWANTOWYCH wykład VI VI Formuła Landauera: dwa kontakty połączone są za pomocą przewodnika balistycznego, a T(E) określa transmisję. Ppór przewodnika i jego przewodność są skwantowane. W idealnym przewodniku balistycznym T=1, czyli przewodność G = 2e 2 M . Rezystancja h h 1 . W idealnym przewodniku balistycznym opór 2e 2 M pojawia się na granicach z kontaktami, jest to opór kontaktowy. Opór kontaktowy jest odwrotnie proporcjonalny do liczby modów M. Dla przewodników rozciągłych liczba modów wzrasta, powodując, iż opór kontaktowy staje się zaniedbywanie mały. idealnego przewodnika R = Gc−1 = Rezystancja kontaktowa: gdy liczba modów jest duża (połączone dwa kontakty), to opór kontaktowy będzie dążył do zera. Przykład: gdyby przewodnik metaliczny miał przekrój 2000x2000 [atomów] to mamy 106 modów. Rezystancja 10kΩ/106 będzie oczywiście zerowa. Wynika z tego, że rezystancja kontaktowa jest istotna dla niewielkiej liczby modów. Formuła Landauera uogólniona dla transportu dwukanałowego: dwa kontakty i przewodnik, w którym następuje rozpraszanie. Transmisja jest skończona, gdyż mod wchodzący inny niż wychodzący. Całkowita transmisja to suma po wszystkich modach wchodzących. W przypadku, gdy mody ze sobą nie oddziałują, to mówimy o kanałach. Formuła Landauera G = 2e 2 MT h Rezystancja - podejście klasyczne: rozpatrujemy dwa centra rozpraszające znajdujące się w odległości większej niż długość koherencji fazy (nie ma korelacji faz). Elektron rozpraszany znajduje się na pierwszym centrum - zanim zdąży dotrzeć do drugiego centrum, zapomina T swoją fazę. Iloczyn 1 określa bezpośrednią rezystancję, ale trzeba uwzględnić jeszcze T2 odbicia. Całkowita transmisja to T1T2 R1 R2 plus akty wielokrotnego rozpraszania niezwiązane fazowo na wskutek dużej odległości między centrami. Po rozwinięciu w nieskończony szereg geometryczny i obliczeniu jego sumy, otrzymamy T1T2 . całkowitą transmisję dla dwóch centrów 1 − R1 R2 Transmisja przewodnika o długości L 1− T Wielkość wykazuje cechy addytywności. Jeżeli będziemy mieli drut z N identycznymi T centrami rozpraszającymi na długości L, wówczas całkowita transmisja wyniesie 11 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- T (N ) = T . Gdyby uzależnić te wyrażenie od długości drutu to otrzymamy N (1 − T ) + T L0 T (L ) = – wielkość odwrotnie proporcjonalną do długości drutu. L + L0 Prawo Ohma Wprowadzamy: υ – ilość centrów na jednostkę długości, gdzie υ = N L T υ (1 − T ) 1-T - prawdopodobieństwo rozproszenia przez centrum L0 - współczynnik rzędu drogi swobodnej L0 = h 1 1−T h h 1−T = 2 + 2 = Gc−1 + Gs−1 2 2e M T 2e M 2e M T Gc-1 to opór kontaktów, a Gs-1 to opór wynikający z rozpraszania. Opór przewodnika M-modowego G −1 = Prawdopodobieństwo rozproszenia na drodze Lm wynosi (1 − T )υLm , co w przybliżeniu równa się 1. Wniosek: rezystancja półprzewodnika N - modowego, będzie równa oporowi kontaktów i oporowi wynikającemu z rozpraszania. Rezystancja ta rośnie liniowo z długością, co jest zgodne z prawem Ohma. Przejście do szerokiego przewodnika. Wprowadzamy: liczba modów w przewodniku M = W λF 2 2Π λF = – z wyrażenia tego należy wziąć wielkość całkowitą. kF k F = mυ F T m g 2 D = 2 - gęstość stanów w 2D przewodniku h n W – szerokość przewodnika, L0 T= transmisja L + L0 σW G= przewodność L + L0 L L L Wówczas R = G −1 = 0 + = GC−1 + z czego ostatni człon to rezystancja właściwa. σW σW σW 12 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- W tych rozważaniach przekrój poprzeczny to tylko szerokość, gdyż trzeci wymiar jest infinitezymalnie mały. Wszystkie powyższe rozważania dotyczą przypadków klasycznych. Transmisja: w niskich temperaturach szczególnie półprzewodniki mają dużą długość koherencji fazy. Jeżeli mamy pełną koherencję fazy przy przejściu przez dwa centra ropraszające, wówczas dzielimy półprzewodnik na jednostki mające koherencję fazy (miedzy jednostkami koherencji już nie ma). W takiej sytuacji należy już uwzględnić efekty kwantowe. Przewodność obliczona kwantowo jest mniejsza. Wynika to z faktu, iż na ogół rozpraszane układy mają pewną liczbę centrów rozpraszających. Można przyjąć, że każdy mod rozpraszany jest z jednakowym prawdopodobieństwem. Tak sytuacja wygląda klasycznie. W przypadku kwantowym, gdy mod wchodzący i wychodzacy są takie same i = j , to przypadek jest klasyczny, gdy i ≠ j należy uwzględnić koherentne rozpraszanie wsteczne: amplituda fali rozproszonej posiada maksimum na kierunku fali padającej. Przykładamy ścieżki A(m → n ) . Kwadrat sumy amplitud fal odbitych dla wszystkich możliwych dróg da prawdopodobieństwo odbicia R ze stanu m do n. Ścieżki A są losowe, więc czynniki fazowe będą się ostatecznie znosić i przypadek będzie klasyczniy. Istnieje jedna jedyna ścieżka, dla której będzie inaczej, ponieważ zawsze istnieje dla niej ścieżka odwrotna ze względu na inwersję czasu. 2 R (m → n ) = ( A1 + A1r + ...) = 4 A , a nie 2|A|2 Jest to efekt koherentnego rozpraszania wstecznego. Dla każdej ścieżki innej niż ta wyjątkowa, wspomniana powyżej, R=2|A|2. Ścieżka, która zaczyna i kończy się tym samym modem jest wyróżniona, gdyż dodajemy dla niej amplitudy, a nie prawdopodobieństwa. 2e 2 h Ostatni człon w tym wyrażeniu oznacza obniżenie przewodności o tę jedną szczególną scieżkę, wkład ten jest nieistotny dla niewielkiej liczby modów. Średnia przewodność liczona kwantowo Gkw = K kl − 13 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- UKŁADY W POLU MAGNETYCZNYM. EFEKT HALLA. wykład VII VII Interferencje kwantowe: mamy falę elektronową, która dochodzi do punktu, w którym następuje rozdzielnie na dwie fale. Na wyjściu następuje nałożenie, wynik będzie zależał od faz. Otrzymamy współczynnik transmisji periodycznie zależny od k1 i k2. Układ z równoległym połączeniem dwóch rezystancji. Jeżeli będziemy sumować wszystkie mody to przewodność będzie oscylowała w zależności od różnicy faz. Interferencję można zauważyć w efekcie Aharonova – Bohma. Możemy sterować przewodnością zmieniając h pole. Iloczyn pola razy powierzchnia obejmowana przez pierścień to - kwant strumienia e h , to mamy oscylacje e przewodności. Rozmiary pierścienia musza być odpowiednio małe, aby istotne były efekty interferencji kwantowej. Interferencję kwantową niszczy temperatura. elektromagnetycznego. Jeżeli strumień będzie wielokrotnością Efekt Aharnova – Bohma: daje możliwość sterowania efektami interferencyjnymi fal elektronowych za pomocą pola magnetycznego. Przewodność pierścienia oscyluje w funkcji strumienia magnetycznego obejmowanego przez ten pierścień, Mamy falę elektronową i musimy rozważyć transmisję T1 i T2 wzdłuż górnego i dolnego półpierścienia. Transmisja w polu to transmisja bez pola razy zmiana fazy, φ – zmiana fazy. Faza w funkcji falowej może się zmieniać w wyniku zmian energii itd. W przypadku pierścienia liczymy fazę wzdłuż górnego i dolnego półpierścienia. Całkowita zmiana fazy pochodzi tylko z obecności pola magnetycznego eikr − ∆ϕ −ωt . Pierścień musi być cienki, żeby strumień przechodził całkowicie wewnątrz pierścienia. → Przy dużym pierścieniu czynnik fazowy będzie sie uśredniał do zera. Mod wchodzący m , → wychodzący n , musimy zsumować po wszystkich modach. Mody diagonalne będą się sumowały, bo dla niediagonalnych fazy będą się upraszczać. Temperatura niszczy efekty interferencyjne. Efekt Aharonova-Bohma to najbardziej podstawowy efekt, w którym można obserwować interferencję. 14 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Interferencja kwantowa w grafenie: elektrony wędrują po różnych ścieżkach, sumujemy po wszystkich ścieżkach. Zmiana fazy zależy od pola magnetycznego, konfiguracji domieszek i położenia poziomu Fermiego. W przypadku grafenu można otrzymać różne wyniki w zależności od położenia poziomu Fermiego. Przewodność mierzymy w funkcji napięcia bramkowego, a napięcie bramkowe pozwala na sterowanie poziomem Fermiego. Oscylacje są efektem interferencji kwantowych. UKŁADY NISKOWYMIAROWE W POLU MAGNETYCZNYM Równanie ruchu w polach E i B można przepisać w postaci macierzowej, a następnie wprowadzamy gęstość prądu zamiast prędkości unoszenia. Rezystancja podłużna nie ulega zmianie, rezystancja poprzeczna rośnie z polem, czyli V otrzymujemy klasyczny efekt Halla ρ yx = H I Poziomy Landaua: wprowadzamy silne pole magnetyczne. Gdy pole jest odpowiednio silne, tworzą się poziomy Landaua i elektrony będą się na nich gromadziły. Ma to miejsce w każdym wymiarze. → → → B = rot A pole wybieramy równolegle do osi z B || z Rozważamy 2D gaz elektronowy (np. wąska studnia kwantowa z arsenku galu), na granicy występuje gaz elektronowy, opisujemy hamiltonianem. Po wycechowaniu otrzymujemy modyfikację składowej x pędu. Funkcja opisująca ruch elektronu Ψ ( x, y ) . Otrzymujemy nową postać hamiltonianu, wprowadzamy oznaczenie ωc – częstość cyklotronową. Otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego centrowanego w punkcje y=k. Otrzymujemy równanie, z którego wynika, że mamy szereg równoodległych poziomów zwanych poziomami Landaua. Elektrony w 2D gazie poruszają się w po 2D okręgach i gromadzą na poziomach Landaua. 15 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Odległość między poziomami będzie rosła z polem. Poszczególne oscylatory centrowane są w punkach k. Stopień degeneracji określa wzór N = φ . Strumień obejmowany przez powierzchnię jest φ0 wielokrotnością strumienia. Jeżeli pole rośnie, to rośnie liczba elektronów, które mogą się znaleźć na poziomach Landaua. Filling Factor – określa zapełnienie poziomów Landaua. Poziomy Landaua w 1D: zmniejszamy W w stosunku do L i wprowadzamy potencjał wiążący. Pozostajemy w tej samej geometrii, ale pole jest prostopadłe do paska tym razem, a nie drutu. Mamy znowu oscylator harmoniczny, modyfikuje się punkt, wokół którego następują oscylacje. Energia zależy kwadratowo od k, czyli fala częściowo się propaguje wzdłuż osi x. Wzrost pola powoduje silny wzrost masy. Położenia będą zależały od prędkości, poszczególne stany rozmieszczone są wzdłuż krawędzi. W przypadku zmiany prędkości następuje przemieszczenie elektronów na przeciwną stronę. Elektron nie może ulec rozproszeniu. Przy w miarę szerokiej próbce potencjał boczny jest równy zeru, a stany krawędziowe opisane potencjałem. W ten sposób mamy energię zależną od yk. Zmienia się znak prędkości. Wpływ pola magnetycznego na poziomy Landaua: najpierw zwalniają się stany zlokalizowane. Kwantowy efekt Halla ma te same podstawy, co klasyczny efekt Halla ale występujący w niższych temperaturach i wyższych polach magnetycznych. Obniżanie temperatury i zwiększanie pola magnetycznego pozwala zaobserwować: efekt Shubnikova – de Haasa (oscylacje kwantowe) całkowity kwantowy efekt Halla ułamkowy kwantowy efekt Halla Kwantowy efekt Halla: obserwowany w niskich temperaturach wyłącznie w układach niskowymiarowych (dwuwymiarowy gaz elektronowy) w polu magnetycznym stany elektronowe odpowiadają poziomom Landaua oraz obecności stanów 16 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- tworzenie się poziomów Landaua oraz obecność stanów zlokalizowanych związanych z defektami determinują kwantowy efekt Halla kwantowy efekt Halla polega na przyjmowaniu przez opór elektryczny materiału h określonych dyskretnych wartości RH = 2 eM Elektrony gromadzą się na poziomach Landaua. Istotne jest to, ze mamy domieszki, które poszerzają poziomy Landauowskie. Ułamkowy efekt Halla: pik rezystancji jest podłużny, odpowiada on wzrostowi, pojawia się także plato, które odpowiada za minimum rezystancji. W przypadku silnych pól jeden kwant wystarczy, żeby na poziomie Landaua osadzić 1/3 elektronu. Układ zachowuje sie jakby elektron miał ładunek 1/3. Spinowy efekt Halla: efekt pojawia się w wyniku relatywistycznego sprzężenia spinu z orbitalnym momentem pędu, gdy elektron porusza się w zewnętrznym polu elektrycznym. KROPKI KWANTOWE Kropki kwantowe to układy quasi-zerowymiarowe o wymiarach rzędu długości fali de Broglie’a i dyskretnych poziomach energetycznych. Kropki istotne z punktu widzenia transportu to kropki wytwarzane elektrostatycznie. Kropki pionowe: transport odbywa się w kierunku pionowym, otrzymywane są głównie litograficznie. Wprowadza się wokół kropki bramkę ściskającą elektrony. W przypadku kropek istotną rolę odgrywa boczny potencjał. Aby układ działał jako kropka, odległości między poziomami musza być większe od kT. Typowe kropki półprzewodnikowe wytworzone są z GaAs w niskich temperaturach. Kropki o symetrii cylindrycznej: otrzymane w wyniku wprowadzenia pola magnetycznego skierowanego wzdłuż osi z. 17 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- KROPKI KWANTOWE. wykład VIII Kropki o symetrii cylindrycznej: energia E określona przez liczby kwantowe, podobnie jak dla atomu, l przyjmuje wartości niezależne od n, n zaczyna się od zera - inaczej niż w atomie, gdzie zaczyna się od 1. W polu będziemy rozszczepiać stany, przy l ujemnym energia w polu będzie rosłą i na odwrót. Wpływ pola magnetycznego: w efekcie pojawienia się pola magnetycznego następuje ściśnięcie elektronów. Pole prowadzi do silnej lokalizacji. Kropki pionowe. Mamy dyskretne poziomy energetyczne. Takie kropki nazywamy sztucznymi atomami ze względu na podobieństwo do budowy atomu, tylko, że występuje w nich symetria cylindryczna zamiast sferycznej. Pierwsza powłoka jak w helu. Liczby magiczne – liczba elektronów wynikająca z obecności potencjału wiążącego. Quasiatomy: atom charakteryzuje się: dyskretnymi poziomami energetycznymi, energią jonizacji (13,6 EV dla wodoru) i powinowactwem elektronowym. Kropki kwantowe spełniają te warunki i stanowią układy quasiatomowe. Odziaływania Culombowskie na kropkach – TRANSPORT Kropki pionowe to najdogodniejsze obiekty do badań transportu. Kropki planarne należą do mniej dogodnych ze względu na wyższy potencjał, który ogranicza transport. W kropkach pionowych łatwo obserwować ilość elektronów biorących udział w transporcie. Podłączamy elektrody, poziomy obsadzone od poziomów nieobsadzonych są oddzielone przerwą e2 kulombowską o energii c Układy, w których prąd zmienia się o rzędy wielkości w wyniku dodania lub odjęcia jednego elektronu to jednoelektrodowe tranzystory. Rozważmy układ w konfiguracji tranzystora: mamy dwie elektrody, źródło i dren. Przykładamy do bramki napięcie i rozważamy model blokady kulombowskiej. Jeżeli na bramce pojawia się napięcie Vg, to na kropce będzie QVg. Q2 2C gdzie Vg to napięcie między bramką i źródłem, QVg to przyciągające oddziaływanie między łądunkiem Q a potencjłąem Vg, Q2/2C to odpychające oddziaływanie między elektronami związanymi w kropce Energia elektrostatyczna kropki o ładunku Q: E = QVg + E w funkcji Q to parabola, minimum energii odpowiada -CVg, albo całkowitej wielokrotności ładunku e. Dodanie lub odejmowanie elektronów prowadzi do wzrostu energii. 18 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zmieniając napięcie bramkowe zmieniamy liczbę elektronów odpowiadającą minimum. e2 Dodanie lub zabranie elektronu wiąże się ze zmianą energii o - taka jest też wartość 2C przerwy. Warunkiem jest odpowiednio mała pojemność układu, taka, aby móc obserwować efekt blokady kulombowskiej. Przy pewnym napięciu bramkowym przerwa znika, mamy wówczas zdegenerowany stan i żadna energia nie jest wymagana, żeby dodać lub usunąć elektron. Następuje tunelowanie elektronu od źródła do drenu, przewodność jest równa zero. Po przetunelowaniu znowu pojawia się przerwa. Dopiero przy pewnym napięciu prąd zaczyna płynąc. W przypadku degeneracji blokada kulombowska zostaje zniesiona, i pojawia się wysoki pik w przewodności. Piki leżą w ściśle e określonym równo odległych miejscach. Zmiana napięcia bramkowego wynosi ∆Vg = , co c odpowiada odległości między pikami. e2 , aby obserwować efekty c blokady musimy mieć odpowiednio niską temperaturę, żeby nie zniszczyć efektu. Jednoelektronowy tranzystor: energia kulombowska to Idealna blokada kulombowska I = GVd Pompa jednoelektronowa: jedno z możliwych zastosowań. Mamy elektrody źródła i drenu, układ bramek. Jedne bramki kontrolują wysokość barier między źródłem, kropką i drenem. W sposób periodyczny możemy zmieniać wysokość barier, w efekcie otrzymamy cykl. W jednym cyklu przez kropkę przepływa jeden elektron. Sztuczne atomy: porównanie teorii i eksperymentu, elektrony tunelują na kropkę, pik to wejście elektronów, trzeci elektron to już druga powłoka (energia kulombowska i energia kwantowa). Wpływ pola magnetycznego B: dla kropek w polu magnetycznym następuje zmiana stanów orbitalnych elektronów, zmienia liczbę orbitalną l. Pole występuje jako kwant strumienia magnetycznego. Możemy przy pomocy pola magnetycznego zmieniać orbitalny stan elektronów w atomie. Dla kropek z dużą powierzchnią wystarczy małe pole. Rozszczepienie Zeemana w polu jest bardzo małe w wyniku małego czynnika żyromagnetycznego w arsenku galu. Każdy poziom rozszczepia się na dwa poziomy na wskutek oddziaływania kulombowskiego. Zafalowania odpowiadają punktom przecięcia, w których następuje zmiana stanu orbitalnego. Reguła Hunda: reguła mówiąca, że w atomie, w celu uzyskania najbardziej korzystnego energetycznie zapełnienia orbitali atomowych, powinno być jak najwięcej elektronów niesparowanych. Elektrony ulegają sparowaniu po pojedynczym zapełnieniu wszystkich form przestrzennych danych orbitali danej powłoki elektronowej. Potencjał elektrochemiczny jest równy różnicy energii układu dla N elektronów i N-1 elektronów. 19 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Kropki mają powłoki obsadzane zgodnie z regułą Hunda. Charakterystyka I-V. Schody Culomba. W charakterystyce wyraźnie widoczny jest efekt blokady kulombowskiej. Prąd zaczyna się po pokonaniu blokady przy pomocy zewnętrznego napięcia. Każdy schodek odpowiada przepływowi elektronu. Jako kropki mogą być traktowane różne układy, nie tylko kropki półprzewodnikowe, jak klastery, molekuły np. C60. Najłatwiej kropki otrzymać w zawiesinach koloidalnych. Efekty interferencyjne można łatwo obserwować dla układu dwóch kropek kwantowych połączone ze sobą elektrodami - źródłem i drenem. Możemy zmieniać sprzężenia między kropką i elektrodą. Fale elektronowa ma różne możliwości przejścia. W tego typu układach interferencje kwantowe prowadzą do efektu Fano. Zmieniając napięcie bramkowe możemy przechodzić od minimum do maksimum przewodności, co wynika z interferencji. 20 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- EFEKT KONDO. GRAFEN. wykład IX EFEKT KONDO W niskich temperaturach opór przewodnika jest niemierzalny. Dla metalu z domieszkami poniżej pewnej temperatury następuje silny wzrost logarytmiczny rezystancji. Wprowadzamy temperaturę T i dla wszystkich materiałów będziemy mieli taką samą Tk T R = f . R0 Tk Silny wzrost rezystancji nosi nazwę efektu Kondo. W celu wyjaśnienia efektu Kondo należy uwzględnić silne relacje w gazie elektronowym. zależność (uniwersalne skalowanie) Ważne, by spin na kropce był różny od zera – wówczas przewodność kropki wzrasta, by w 2e 2 (maksimum wartości) osiągnąć w temperaturze zera bezwzględnego – kropka staje się h wówczas całkowicie transparentna, transmisja równa jeden. Efekt Kondo prowadzi do wzrostu przewodności. Po określeniu temperatury Kondo dla kropek także obserwuje się T G uniwersalne skalowanie = f . G0 Tk Model Andersona: wyjaśnia efekt Kondo zarówno dla domieszki magnetycznej jak i kropki kwantowej. Energia układu musiałaby bardzo silnie wzrosnąć, żeby na kropkę o spinie do góry wprowadzić elektron o innym spinie. Efekt Kondo obserwuje się tylko, gdy poziom kropek leży znacznie poniżej poziomu Fermiego obu elektrod. W modelu Andersona można określić temperaturę Kondo TK = 1 Πε 1 (ΓU )2 e 0 2 ε 0 +U ΓU Istniej możliwość zajścia wirtualnego tunelowania – wówczas elektron o spinie do góry może przejść do elektrody, ale wirtualnie – w bardzo krótkim okresie czasu, niespełniona zasada zachowania energii ∆E ⋅ ∆t ∝ h Tunelowanie można opisać przez parametr Γ. W efekcie wirtualnego tunelowania końcowy stan jest taki, jakby elektron przetunelował przez układ. Następuje zmiana spinu na kropce. Pojawia się wysoki pik - pik Kondo - w gęstości stanów. Szerokość piku jest rzędu temperatury Kondo. W efekcie pojawienia się piku Kondo kropka staje się transparentna, duża konduktancja. Duża gęstość stanów powoduje zwiększenie prawdopodobieństwa tunelowania dla kropki. 21 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Silne rozpraszanie elektronu prowadzi do wzrostu rezystancji. Im więcej elektronów w pobliżu poziomu Fermiego, tym silniejsze rozpraszanie. Temperatura Kondo opisana jest charakterystycznymi parametrami, które można modulować dla kropek: wielkością sprzężenia między elektrodami a kropką, potencjałem charakteryzującym tunelowanie, energią kulombowską i przez napięcie bramkowe zmieniające ε0. Zmieniając napięcie bramkowe zmienia się liczbę elektronów na kropce. Gdy temperatura maleje, to przewodność kropki maleje. Gdy liczba elektronów jest nieparzysta (wypadkowy 2e 2 spin 1/2), to temperatura maleje i przewodność rośnie aż do maksimum i mamy wyraźne h plato odpowiadające efektowi Kondo. Dla niskich temperatur pik Kondo jest wysoki, ale ze wzrostem temperatury poszerza się i w końcu znika w temperaturach wyższych. Pik Kondo rozszczepia się po przyłożeniu napięcia źródło – dren na dwa piki stowarzyszone z prawą i lewą elektrodą. Im silniejsze sprzężenie, tym rozszczepienie piku Kondo będzie większe. Temperatura nie wpływa na gęstość stanów, tylko na pik Kondo. Po wprowadzeniu pola także nastąpi rozszczepianie na dwa piki, na wskutek rozszczepiania poziomu kropki. Duże pole całkiem niszczy efekt Kondo. Umieszczenie kropki z niezerowym momentem spinowym między dwiema elektrodami ferromagnetycznymi. Gdy momenty elektrod są antyrównoległe, od elektrod nie pochodzi żadne pole, gdy konfiguracja równoległa, nastąpi rozszczepienie poziomu kropki na dwa poziomy w efekcie działania pola pochodzącego od elektrod. W konfiguracji równoległej piki Kondo się rozszczepią, nie ma za to rozszczepienia w konfiguracji antyrównoległej, bo pola się znoszą. Dodanie napięcia spowoduje rozszczepienie każdego z pików na dwa. Eksperyment z molekułą C60 podłączoną do elektrod. Po naniesieniu na elektrody ze złota elektrod z niklu dużo mniejsze pole jest potrzebne do uzyskania rozszczepionego piku Kondo. Molekularny tranzystor: między dwiema elektrodami umieszczona zostaje molekuła z dwoma atomami wanadu. Na wykresie pojawiają się Diamenty Kulomba: linie, wzdłuż których następuje zwyczajny transport elektronowy. Po lewej stronie wystąpi pik Kondo, po prawej nie, z powodu blokady kulombowskiej. Efekt Kondo jest silnie sprzężony ze spinem. Bardzo silne pola są potrzebne, aby doprowadzić do rozszczepienia piku w niemagnetycznym materiale. 22 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GRAFEN Grafen: układ dwuwymiarowy, pierwszy dwuwymiarowy kryształ, który został otrzymany, o szczególnych właściwościach. Twierdzenie Mermina-Wagnera mówi, że w układach niskowymiarowych nie możemy mieć jakiegokolwiek uporządkowania dalekiego zasięgu. Jeżeli wytworzymy warstwę 2D, to taka warstwa ma zawsze skończone wymiary. Kryształ 2D najczęściej nakłada się na podłoże w postaci pojedynczej warstwy, więc w sumie jest to układ 3D. W rezultacie twierdzenie Mermina-Wagnera, ani inne twierdzenia nie będą miały w pełni zastosowania. Otrzymywanie grafenu: zaczynamy od idealnie czystego grafitu, wobec którego stosujemy eksfoliację - wyłuskiwanie pojedynczych warstw mechanicznie albo chemicznie. Uzyskane warstwy nakładanie najczęściej na podłoże swobodne. Charakterystyczne dla grafenu są: szczególna struktura pasmowa, w punktach k, w wierzchołku strefy Brillouina energia równa zeru, struktura pasmowa w pobliżu punktu Diraca liniowa, co jest konsekwencją liniowej relacji dyspepsji, dającej idealną symetrię elektron – dziura. Grafen zawiera w komórce elementarnej dwa atomy: jakby dwie identyczne podsieci, stąd funkcja falowa dla grafenu może być przedstawiona w postaci ΨA dwuwymiarowego spinora: Ψ = gdzie ΨA ,ΨB to funkcje falowe dla podsieci A i B. ΨB Spinor związany jest z amplitudą funkcji falowej, a nie ze spinem. Funkcja falowa dla spinu Ψ Ψ = 1 też ma znaczenie w grafenie. Ze względu na spinor mówimy o pseudospinie. Ψ2 Metody otrzymywania grafenu: - eksfoliacja: chemiczna – traktowanie grafitu kwasami, daje grafen wysokiej jakości o ile grafit był wysokiej jakości; mechaniczna – metoda Scotcha - epitaksjalna - CVD Metoda Scotcha: potrzebne podłoże, taśma klejąca, grafit nanosimy na taśmę, podłoże musi spełniać warunek adhezji, najlepsze podłoże SiO2. Epitaksjalne otrzymywanie grafenu: wzrost warstw na podłożu. Metoda chemiczna CVD: wykorzystuje dysocjujący CH4, może otrzymywać duże warstwy grafenu, ale o niższej jakości, problemem jest przeniesienie z metalu na izolująca folię. Inne dwuwymiarowe kryształy: azotek boru, selenek niobu, siarczek molibdenu. Najbardziej zbliżona do grafenu sieć (heksagonalną płaską) ma azotku boru - półprzewodnik o stosunkowo szerokiej przerwie w odróżnieniu od grafenu mającego zerową przerwę energetyczną. Graphane: grafen z wodorem, graFane – grafen z fluorem. W obydwu pojawia się przerwa energetyczna. Obecność wodoru prowadzi do dużych zmian przewodności. W czystym grafenie zmieniając napięcie bramkowe zmieniamy koncentrację elektronów i dziur, dla grafenu z wodorem inna zależność, wrażliwa na temperaturę rezystancja, podobnie dla fluoru. 23 NANOSTRUKTURY 2012 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Otrzymywanie pasków grafenowych: wprowadzenie wodoru w odpowiedni sposób albo trawienie – obydwie metody to złożone, trudne procesy. Paski grafenowe mają ciekawe właściwości, mogą być metaliczne, albo półprzewodnikowe. Moment magnetyczny w grafenie: w grafenie występuje topologiczny magnetyzm, charakterystyczny dla pasków grafenowych typu zig-zak. Moment magnetyczny lokalizuje się na brzegach paska. Sieć odwrotna Struktura pasmowa cA, cB – amplitudy, różnią się fazą eiθ , tu faza związana wyłącznie z topologią, położeniem atom A lub B. W punktach k i k’ mamy różną topologię, fazy są różne, co jest związane z pseudospinem, dodatkową symetrią w grafenie. Jeżeli znajdziemy się w pobliżu k, rozwijamy w pobliżu k energię w szereg. Hamiltonian → → można zapisać w postaci macierzowej, a hamiltonian w pobliżu punktu k vF σ ⋅ k - postać charakterystyczna dla bezmasowych, relatywistycznych cząstek. W pobliżu punktu k cząstki będą się zachowywały jak cząstki relatywistyczne. 1 1 En = hω0 N + ρ xy = 2 e 2 N h ∆ELL – odległość między poziomami landauowskimi, c* - efektywna prędkość światła 24
