dynamiczne wyznaczanie parametrów elektrycznego obwodu

advertisement
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej Nr 47
Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Gdańsk 2015
DYNAMICZNE WYZNACZANIE PARAMETRÓW
ELEKTRYCZNEGO OBWODU SZEREGOWEGO
Ryszard ARENDT
Politechnika Gdańska, Wydział Elektrotechniki i Automatyki
tel.: 58 347 2157
e-mail: [email protected]
Streszczenie: Po załączeniu napięcia na skutek istnienia inercji
prąd w obwodzie zaczyna narastać od wartości zerowej
do znamionowej. W tym czasie narastają spadki napięć
na rezystancjach (impedancjach obwodu) bo zaczynają
obowiązywać prawa Kirchhoffa. Można utworzyć układ
ze sprzężeniem zwrotnym (układ regulacji stałowartościowej bądź
nadążnej), który poszukuje parametrów obwodu spełniających
prawa Kirchhoffa – elementy nie muszą być liniowe.
W artykule przedstawiono omówienie teoretyczne metodyki
rozwiązywania obwodów z zastosowaniem programu MatlabSimulink oraz przykłady: nieliniowego obwodu prądu stałego,
nieliniowego obwodu dla wartości chwilowych prądu
przemiennego oraz liniowych obwodów prądu przemiennego,
obliczanych dla wartości wskazowych.
Słowa kluczowe: nieliniowe obwody elektryczne, obwód
szeregowy, wartości chwilowe w obwodzie nieliniowym, opis
wektorowy obwodu prądu przemiennego.
1. WYZNACZANIE PARAMETRÓW OBWODÓW
ELEKTRYCZNYCH
1.1. Klasyczne metody wyznaczania parametrów
obwodów elektrycznych
Zazwyczaj interesuje nas wyznaczenie wybranych
wartości prądów płynących w danym obwodzie lub
występujących spadków napięć. Stosuje się podstawowe
prawa: Ohma, Kirchhoffa I i II, metodę potencjałów
węzłowych, metodę prądów oczkowych, metodę Thevenina
i Nortona i inne [1]. W obwodach nieliniowych znalazły
zastosowanie prawa Kirchhoffa, zasada kompensacji
i twierdzenia Thevenina oraz Nortona [2]. Nie można
zastosować
prawa
Ohma,
zasady
superpozycji
i wzajemności.
W artykule skupiono się na wybranych obwodach
szeregowych prądu stałego i przemiennego, liniowych
i nieliniowych rozwiązywanych przez dynamiczne
przeszukiwanie
parametrów.
Pokazano
przykłady:
nieliniowego obwodu prądu stałego, nieliniowego obwodu
dla wartości chwilowych prądu przemiennego oraz
liniowych obwodów prądu przemiennego, obliczanych
dla wartości wskazowych.
1.2. Podstawy dynamicznego wyznaczania parametrów
obwodów elektrycznych
W świecie fizycznym obowiązuje zasada minimum
energii Hamiltona, którą można zastosować do równań
Maxwella, co przekłada się bezpośrednio na oba prawa
Kirchhoffa. Dodatkowo oddziaływania fizyczne opisywane
są inercyjnie (każdy element elektryczny ma właściwości
indukcyjne), co umożliwia płynne przekazywanie energii.
Przyjmując zasadę minimum energii Hamiltona jako
regułę sterowania i biorąc pod uwagę II prawo Kirchhoffa
można założyć, że natura wyposażona jest w regulator, który
ustawi prąd w obwodzie szeregowym w taki sposób,
aby suma spadków napięć w obwodzie była równa
wymuszeniu. Nie ma w tym przypadku znaczenia czy obwód
jest liniowy czy nieliniowy. Dla prądu stałego należy
rozważać działanie regulatora stałowartościowego, a dla
obliczania wartości chwilowych prądu przemiennego
działanie regulatora nadążnego. Przy stosowaniu opisu
obwodu w postaci liczb zespolonych pojawiają się dwa
parametry: moduł i argument liczby opisującej fizyczną
wielkość. Przy rozwiązywaniu obwodu należy zastosować
dwa regulatory i generować zmianę dwóch parametrów.
2. PRZYKŁADY DYNAMICZNEGO WYZNACZANIA
PARAMETRÓW ELEKTRYCZNYCH OBWODÓW
2.1. Wybrany obwód nieliniowy prądu stałego
Rozważmy obwód szeregowy, w którym rezystancje
mogą mieć nieliniowy charakter (rys. 1).
Rys. 1. Schemat ideowy rozważanego obwodu nieliniowego prądu
stałego
W obwodzie przyjęto następujące wartości: napięcie
zasilania Ez = 14 V, rezystancje obciążenia R1 = 1 Ω, R2 = 1
I2 Ω, R3 = 1 I3 Ω.
Należy obliczyć prąd obwodu I oraz spadki napięć U1,
U2 i U3 na rezystancjach. Równanie opisujące rozważany
obwód ma postać:
Ez = 1 I + 1 I2 + 1 I3.
(1)
Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania
równania (1), co może sprawiać trudności. Jeszcze gorsza
sytuacja wystąpi jak wprowadzimy inne funkcje nieliniowe
[3]. Przy zastosowaniu programu Simulink [4] można
zaproponować układ stabilizacji sumy spadków napięć
do wielkości zadanej Ez (rys. 2).
Step 14V
+
100
s+1
Sum1 Transfer Fcn
chwilowe wartości prądu i spadków napięć dla pobudzenia
harmonicznego o określonej amplitudzie i pulsacji.
Prad obwodu
1
Gain
Rys. 5. Schemat ideowy rozważanego obwodu nieliniowego prądu
przemiennego
1
f(u)
I^3
Gain1
f(u)
I^2
Gain2
1
Mux
Mux
Napiecia na elementach
Rys. 2. Struktura modelu w programie Simulink rozwiązująca
równanie (1)
W chwili t = 0,2 s napięcie zasilania narasta skokowo
do wartości 14 V. W obwodzie całkującym narasta wartość
prądu, która przemnożona przez wartości rezystancji daje
kolejne spadki napięć. Narastanie wartości prądu kończy się,
gdy zostanie spełnione II prawo Kirchhoffa. Spadki napięć
modelowane są przez człon proporcjonalny o wzmocnieniu 1
i blok funkcyjny z funkcją kwadratową i funkcją trzeciego
stopnia. Można zauważyć, że model stanowi układ
regulacji stałowartościowej z regulatorem całkującym
o wzmocnieniu 100.
Na rysunku 3 przedstawiono obliczony przebieg prądu
obwodu, a na rysunku 4 kolejne spadki napięć. Łatwo
zauważyć, że przyjęte napięcie zasilania 14 V wynika
z sumowania spadków napięć równych 2 V + 22 V + 23 V.
2
W rozważanym obwodzie przyjęto źródło napięcia
przemiennego ez(t) = 42 sin 2t V, oraz rezystancje
obciążenia: R1 = 1 Ω, R2 = 1 i2(t) Ω, R3 = 1 i4(t) Ω.
Należy obliczyć wartości chwilowe prądu obwodu i(t)
oraz chwilowe spadki napięć u1(t), u2(t) i u3(t)
na rezystancjach. Równanie opisujące rozważany obwód
ma postać:
ez(t) = 1 i(t) + 1 i3(t)+ 1 i5(t)).
Rozwiązanie równania (2) metodami analitycznymi
przysporzy dużych kłopotów. Przy zastosowaniu programu
Simulink można zaproponować układ stabilizacji nadążnej
sumy spadków napięć do wielkości zadanej ez(t) (rys. 6).
Sine Wave
+
100
s+1
Transfer
Fcn
Sum1
1
Gain
1
f(u)
I^5
Gain1
f(u)
I^3
Gain2
Mux
1
1
Napiecia na elementach
Rys. 6. Struktura modelu w programie Simulink rozwiązująca
równanie (2)
0.5
0
0.5
1
1.5
Time (second)
2
Rys. 3. Przebieg wartości symulowanego prądu w obwodzie
nieliniowym wyrażony w amperach
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
Time (second)
2
Rys. 4. Przebieg wartości symulowanych wartości spadków napięć
w obwodzie nieliniowym w woltach; 1) dla rezystancji R1 = 1 Ω,
2) R2 = 1 I2 Ω, 3) R3 = 1 I Ω
2.2. Nieliniowy obwód obliczany dla wartości chwilowych
prądu przemiennego
Rozważmy szeregowy obwód prądu przemiennego
z nieliniowymi rezystancjami (rys. 5). Interesują nas
16
Prad obwodu
Mux
1.5
0
(2)
W chwili t = 0 s pojawia się napięcie zasilania
w kształcie sinusoidy o amplitudzie 42 V i częstotliwości
2 Hz. W obwodzie całkującym generowana jest wartość
prądu, która przemnożona przez wartości rezystancji daje
kolejne spadki napięć – dla każdej wartości chwilowej
napięcia należy spełnić II prawo Kirchhoffa. Rezystancje
modelowane są podobnie jak w p. 2.1. Można zauważyć,
że model stanowi układ regulacji nadążnej z regulatorem
całkującym o wzmocnieniu 100.
Na rysunku 7 przedstawiono obliczony przebieg prądu
chwilowego obwodu, a na rysunku 8 kolejne spadki
chwilowych napięć. Można zauważyć, że suma amplitud
spadków napięć równych 2 V + 23 V + 25 V jest zgodna
z przyjętym napięciem zasilania 42 V.
2.3. Liniowe obwody prądu przemiennego obliczane
metodami wektorowymi
Zazwyczaj przy obliczaniu liniowych obwodów prądu
przemiennego stosujemy opis w postaci liczb zespolonych.
Rozważanymi elementami obwodu są: impedancje,
reaktancje indukcyjne i pojemnościowe, źródła napięciowe
i prądowe prądu przemiennego, a obliczane parametry
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 47/2015
I = 4 e-j53,1° A,
(12)
U1 = 5,64 e-j8,1° V,
(13)
2
U2 = 20,4 ej25,6° V,
(14)
1
U3 = 8,92 e-j116,6° V.
(15)
stanowią prądy i napięcia zespolone poszczególnych gałęzi
oraz impedancje zastępcze.
0
Dla wyszukanych rozwiązań sporządzono wykres
wektorowy (rys. 10) zachowując proporcje między
wektorami i obliczone przesunięcia fazowe.
-1
-2
0
0.5
1
1.5
Time (second)
2
U 2  20,4 e j 25,56
Rys. 7. Przebieg wartości chwilowych symulowanego prądu
w amperach obwodu nieliniowego
30
3
U z  20 e j 0
20
2
10
U 3  8,92 e  j116,56
U1  5,64 e  j 8,13
1
0
I  4 e  j 53,13
-10
-20
Rys. 10. Wykres wektorowy rozkładu napięć i prądów obwodu
z rys. 9
-30
0
0.5
1
1.5
Time (second)
2
Rys. 8. Przebieg wartości chwilowych symulowanych spadków
napięć w obwodzie nieliniowym w woltach; 1) dla rezystancji R1 =
1 Ω, 2) R2 = 1 I2 Ω, 3) R3 = 1 I4 Ω
Rozważmy szeregowy obwód dla prądu przemiennego
(rys. 9).
Rys. 9. Schemat ideowy rozważanego obwodu prądu przemiennego
Na schemacie przyjęto wartości zespolone prądu,
napięć i impedancji, określone następująco:
Uz = |Uz| ejφ0° = 20 ejφ0° V,
(3)
Z1 = R1 + X1 = 1 + 1j Ω,
(4)
Z2 = R2 + X2 = 1 + 5j Ω,
(5)
Z3 = R3 + X3 = 1 - 2j Ω,
(6)
I = |I| ejφi,
Na podstawie rysunku 10 możemy zauważyć, że suma
składowych wartości rzeczywistych spadków napięć
w obwodzie jest równa wartości rzeczywistej napięcia
zasilania. Natomiast suma składowych wartości urojonych
spadków napięć jest równa zero (równa wartości urojonej
napięcia zasilania). W rozważanym przypadku możemy
ułożyć następujące zależności:
|U1| cos φ1 + |U2| cos φ2 + |U3| cos φ3 = Uz,
(16)
|U1| sin φ1 + |U2| sin φ2 + |U3| sin φ3 = 0.
(17)
Rozważmy rozwiązanie równań (16 i 17) przez układy
automatycznej regulacji, które dobierają wartość prądu
i przesunięcia fazowego prądu. Są to dwa układy regulacji
stałowartościowej z wewnętrznym powiązaniem dwóch
zmiennych I i φi. Strukturę modelu rozwiązującego
omawiane równania w programie Simulink przedstawia
rysunek 11.
W chwili czasu 0,5 s załączone zostaje napięcie
zasilania. Przebieg ustalony (okno Graph) daje rozwiązanie.
Otrzymane przebiegi ilustruje rys. 12.
+
Sum
Uz
U2 = |U2| ejφ2,
(9)
U3 = |U3| ejφ3.
(10)
ReU1, ImU1
Mux
Graph2
(8)
s
Transfer Fcn
1
R
1
X
(7)
U1 = |U1| ejφ1,
10
Mux
1
R1
5
X1
Mux
Mux1
Graph3
ReU2, ImU2 1
R2
-2
X2
ReU3, ImU3
Dla porównania wyników obwód został rozwiązany
metodami tradycyjnymi, wyliczając impedancję zastępczą,
zespolony prąd oraz zespolone spadki napięć:
Zz = 3 + 4j = 5 ej53,1° Ω,
(11)
Mux
0
0
+
Sum1
Graph
10
Mux2
s
Transfer Fcn1
Rys. 11. Struktura modelu w programie Simulink rozwiązująca
równania (16 i 17)
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 47/2015
17
Wyświetlone przebiegi są zgodne z obliczoną wartością
prądu (12). Dla ilustracji równań (16 i 17) zarejestrowano
składowe rzeczywiste i urojone spadków napięć.
5
4
1
3
2
1
0
-1
2
0
0.2
0.4
0.6
Time (second)
0.8
1
Rys. 12. Zarejestrowane przebiegi: 1) moduł prądu w amperach,
2) przesunięcie fazowe prądu w radianach
Na rysunkach 13 i 14 można zauważyć przebiegi
spadków napięć w czasie.
20
15
10
5
3. WNIOSKI
Przy obliczeniach używana była procedura rk45 –
metoda Runge-Kutta piątego rzędu, z krokiem minimalnym
0,0001, maksymalnym 0,01 ÷ 0,001 i tolerancji 0,001 ÷
0,0001. Szybkość zbiegania się wyniku do zadanej wartości
zależy też od wzmocnienia członu całkującego. Ze względu
na własności astatyczne regulatora uchyb regulacji został
wyeliminowany.
Badania przeprowadzono dla regulatora typu I.
Interesujące możliwości kryją się przy zastosowaniu innych
typów
regulatorów
i
rozwiązywaniu
obwodów
przedstawionych w postaci układów równań.
Inną możliwością jest zastosowanie zaproponowanej
metody
do
rozwiązywania
nieliniowych
równań
matematycznych, w tym różniczkowych i całkowych.
Stosowane
metody
numeryczne
nie
przewidują
dynamicznego poszukiwania rozwiązania równania.
Przedstawiona metodyka zastosowana została przy
opisie połączeń szeregowych kabla zasilającego i odbiornika
energii elektrycznej w systemach statków [5]. Szczegółowe
rozważania zasilania silnika indukcyjnego i obliczania
spadków napięć na kablu zasilającym przedstawiono w [6].
Należy zauważyć, że praca silnika indukcyjnego może być
traktowana jako nieliniowa ewentualnie model należy uznać
za niestacjonarny.
0
-5
0
0.2
0.4
0.6
Time (second)
0.8
1
4. BIBLIOGRAFIA
1.
Rys. 13. Zarejestrowane przebiegi rzeczywistej części spadków
napięć w woltach: 1) na impedancji Z1, 2) na impedancji Z2,
3) na impedancji Z3
Można zauważyć, że suma spadków napięć części
rzeczywistych w stanie ustalonym wynosi 20 V, a suma
spadków napięć części urojonych wynosi 0 V.
10
2.
3.
4.
5.
5
6.
0
-5
-10
0
0.2
0.4
0.6
Time (second)
0.8
Chua L. O., Desoer C. A., Kuh E. S.: Linear and
Nonlinear Circuits, McGraw-Hill 1987, 839 p.
Mikołajuk K., Trzaska Z.: Analiza i synteza
elektrycznych obwodów nieliniowych, Warszawa, PWN
1987.
Kudrewicz J.: Nieliniowe obwody elektryczne,
Podręczniki akademickie, WNT, 1996, 258 s.
SIMULINK User’s Guide, The MathWorks, Inc. 1992
Arendt R. Hierarchiczne modele hybrydowe systemu
energetycznego statku o definiowalnej strukturze
Monografia, Wydawnictwa Politechniki Gdańskiej.
2006, 159 s.
Arendt R.: Modelowanie wpływu zasilania na pracę
odbiorników systemu elektroenergetycznego statku.
Przegląd Elektrotechniczny, 88 (2012), Nr04a, s. 141146.
1
Rys. 14. Zarejestrowane przebiegi urojonej części spadków napięć
w woltach: 1) na impedancji Z1, 2) na impedancji Z2,
3) na impedancji Z3
DYNAMIC EVALUATION OF SERIES ELECTRIC CIRCUIT PARAMETERS
After voltage switch on a current in circuit due to inertia existence start to grow from null to nominal value. Meanwhile
grows the resistance (impedance) voltage drops to achieve Kirchhoff’s rule. We can use a circuit with feedback (constant
value control system or follow-up control system), which search for circuit parameters fulfilling Kirchhoff’s rules – in such
case elements can be nonlinear.
In the paper theoretic bases of circuit solutions using Matlab-Simulink program are discussed. Examples of nonlinear
circuit of DC, nonlinear circuit for instantaneous values of AC supplied circuit and linear AC circuit evaluated for vector
values are presented.
Keywords: nonlinear electric circuits, series circuit, instantaneous values in nonlinear circuit, vector description of AC
circuit.
18
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki PG, ISSN 2353-1290, Nr 47/2015
Download
Random flashcards
Create flashcards