Wzory

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI
WZORY
SPIS TREŚCI
1. Wartość bezwzględna liczby ............................................................................1
2. Potęgi i pierwiastki ...........................................................................................1
3. Silnia. Symbol Newtona ...................................................................................2
4. Dwumian Newtona ...........................................................................................3
5. Wzory skróconego mnożenia ...........................................................................3
6. Ciągi .................................................................................................................3
7. Funkcja kwadratowa.........................................................................................4
8. Logarytmy ........................................................................................................5
9. Pochodna funkcji ..............................................................................................5
10. Geometria analityczna ...................................................................................... 6
11. Planimetria........................................................................................................8
12. Stereometria....................................................................................................11
13. Trygonometria ................................................................................................13
14. Kombinatoryka ...............................................................................................16
15. Rachunek prawdopodobieństwa .....................................................................16
16. Parametry danych statystycznych...................................................................17
17. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych ...............................................19
1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
⎧ x, dla x ≥ 0
x =⎨
⎩− x dla x < 0
Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności:
x ≥0
−x = x
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
x+ y ≤ x + y
x− y ≤ x + y
x⋅ y = x ⋅ y
x
x
=
y
y
Dla dowolnych liczb a oraz r, gdzie r ≥ 0 , mamy warunki równoważne:
x−a ≤ r ⇔ a−r ≤ x ≤ a+r
Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to
x−a ≥ r
⇔
x ≤ a − r lub
x≥ a+r
2. POTĘGI I PIERWIASTKI
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą potęgę:
a n = a⋅
...
⋅a
n razy
Pierwiastkiem arytmetycznym
że b n = a .
n
a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką,
1
W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:
a2 = a .
Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
_____
*
_____
Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
1
− dla a ≠ 0 :
a−n = n
oraz a 0 = 1
a
m
n
dla a ≥ 0 :
a = n am
m
−
1
− dla a > 0 :
a n =
n m
a
Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą
równości:
s
ar
ar ⋅ as = ar +s
= ar −s
( a r ) = a r ⋅s
as
−
r
r
⎛a⎞ a
( a ⋅ b) = a ⋅ b
⎜ ⎟ = r
⎝b⎠ b
Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla
wszystkich liczb a ≠ 0 , b ≠ 0 .
r
r
r
3. SILNIA. SYMBOL NEWTONA
Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych:
n ! = 1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n
Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1 .
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:
( n + 1)! = n ! ⋅ ( n + 1)
_____
*
_____
Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy symbol Newtona:
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟=
⎝ k ⎠ k !( n − k ) !
Zachodzą równości:
⎛ n ⎞ n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
⎜ ⎟=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ k
⎝k ⎠
⎛n⎞
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎜ ⎟ =1
⎜ ⎟=⎜
⎟
⎝0⎠
⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠
Dla 0 ≤ k < n mamy:
⎛ n + 1⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎜
⎟ = ⎜ ⎟+⎜
⎟
⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠ ⎝ k + 1⎠
⎛n⎞
⎜ ⎟ =1
⎝n⎠
⎛ n ⎞ ⎛n⎞ n − k
⎜
⎟ = ⎜ ⎟⋅
⎝ k + 1⎠ ⎝ k ⎠ k + 1
2
4. DWUMIAN NEWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n
( a + b ) = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n−1b + ... + ⎜ ⎟ a n−k b k + ... + ⎜ ⎟ ab n−1 + ⎜ ⎟ b n
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝k⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
5. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy dla dowolnych liczb a, b:
2
3
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
( a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2
( a − b)
_____
*
3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
_____
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ... + a n − k b k −1 + ... + ab n − 2 + b n −1 )
W szczególności:
a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
6. CIĄGI
•
Ciąg arytmetyczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i różnicy r:
an = a1 + ( n − 1) r
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn =
2a + ( n − 1) r
a1 + an
⋅n = 1
⋅n
2
2
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a +a
an = n −1 n +1 dla n ≥ 2
2
•
Ciąg geometryczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego o danym pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:
an = a1 ⋅ q n −1
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:
⎧ 1 − qn
⎪a
Sn = ⎨ 1 1 − q
⎪n ⋅ a
⎩ 1
dla q ≠ 1
dla q = 1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
an2 = an −1 ⋅ an +1 dla n ≥ 2
3
•
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat
wynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem:
p ⎞
⎛
K n = K ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
•
n
Granica ciągu
Jeżeli lim an = g oraz lim bn = h , to
n →∞
n →∞
lim ( an + bn ) = g + h
n →∞
lim ( an − bn ) = g − h
n →∞
Jeżeli ponadto bn ≠ 0 dla n ≥ 1 oraz h ≠ 0 , to
a
g
lim n =
n →∞ b
h
n
_____
*
lim ( an ⋅ bn ) = g ⋅ h
n →∞
_____
Jeżeli ( an ) , n ≥ 1 , jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o ilorazie q < 1 , to ciąg sum
jego początkowych wyrazów S n = a1 + a2 + ... + an ma granicę:
a
lim Sn = 1
n →∞
1− q
7. FUNKCJA KWADRATOWA
Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 .
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:
2
Δ
b ⎞
⎛
, gdzie Δ = b 2 − 4ac
f ( x) = a ⋅⎜ x + ⎟ −
2a ⎠ 4 a
⎝
pomocnej przy sporządzaniu wykresu.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych
Δ ⎞
⎛ b
⎜ − , − ⎟ . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 .
⎝ 2a 4a ⎠
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli liczba pierwiastków równania
ax 2 + bx + c = 0
zależy od wyróżnika Δ = b 2 − 4ac :
− jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (równanie kwadratowe nie
ma pierwiastków rzeczywistych),
− jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe (równanie kwadratowe ma
jeden podwójny pierwiastek):
b
x1 = x2 = −
2a
− jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (równanie kwadratowe ma
dwa pierwiastki):
−b − Δ
−b + Δ
x1 =
x2 =
2a
2a
4
Jeśli Δ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:
f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )
Wzory Viéte’a:
x1 + x2 =
−b
a
x1 ⋅ x2 =
c
a
8. LOGARYTMY
Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy wykładnik
b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c:
b = log a c ⇔ a b = c
Równoważnie:
a loga c = c
Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:
x
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y
log a x r = r ⋅ log a x
log a = log a x − log a y
y
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to
log a c
log b c =
log a b
9. POCHODNA FUNKCJI
⎡⎣ c ⋅ f ( x ) ⎤⎦′ = c ⋅ f ′ ( x ) dla c ∈ R
⎡⎣ f ( x ) + g ( x ) ⎤⎦′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
⎡⎣ f ( x ) − g ( x ) ⎤⎦′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x )
⎡⎣ f ( x ) ⋅ g ( x ) ⎤⎦′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
⎡ f ( x ) ⎤′ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
, gdy g ( x ) ≠ 0
⎢
⎥ =
2
⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦
⎣ g ( x) ⎦
Pochodne niektórych funkcji:
f ( x) = c ⇒ f ′( x) = 0
f ( x ) = ax + b ⇒
f ′( x) = a
f ( x ) = ax 2 + bx + c ⇒
f ′ ( x ) = 2ax + b
a
−a
⇒ f ′( x) = 2
x
x
r
f ( x ) = x ⇒ f ′ ( x ) = rx r −1
f ( x) =
gdzie r ≠ 0 , zaś a, b, c – dowolne liczby rzeczywiste.
5
•
Równanie stycznej
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , to równanie stycznej do wykresu funkcji f
w punkcie ( x0 , f ( x0 ) ) dane jest wzorem:
y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ⋅ ( x − x0 )
10. GEOMETRIA ANALITYCZNA
•
Odcinek
Długość odcinka o końcach w punktach
A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) dana jest wzorem:
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A )
2
y
2
A = ( xA , yA )
Współrzędne środka odcinka AB:
⎛ x A + xB y A + y B ⎞
,
⎜
⎟
2 ⎠
⎝ 2
•
Wektory
•
Prosta
B = ( xB , yB )
O
x
JJJG
Współrzędne
wektora
AB , który przesuwa punkt A na punkt B:
JJJG
AB = [ xB − xA , yB − y A ]
G
G
Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to
G G
G
u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ]
a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ]
Równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0 ,
gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0).
Jeżeli A = 0 , prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , prosta jest równoległa do osi Oy;
jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.
y
y = ax + b
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona
równanie kierunkowe:
b
y = ax + b
Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:
a = tgα
α
Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym
dana prosta ją przecina.
O
x
Równanie prostej, przechodzącej przez dwa dane punkty A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) :
( y − y A )( xB − xA ) − ( yB − y A )( x − xA ) = 0
6
•
Prosta i punkt
Odległość punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 dana jest wzorem:
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
•
Para prostych
Dwie proste, o równaniach kierunkowych
y = a1 x + b1
y = a2 x + b2
spełniają jeden z następujących warunków:
− są równoległe, gdy a1 = a2 ,
− są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 ,
− tworzą kąt ϕ taki, że: 0D < ϕ < 90D i tgϕ =
a1 − a2
.
1 + a1a2
Jeżeli proste dane są równaniami w postaci ogólnej:
A1 x + B1 y + C1 = 0
A2 x + B2 y + C2 = 0
to odpowiednio:
− są równoległe, gdy A1 B2 − A2 B1 = 0 ,
− są prostopadłe, gdy A1 A2 + B1 B2 = 0 ,
− tworzą kąt ϕ taki, że: 0D < ϕ < 90D i tgϕ =
•
A1 B2 − A2 B1
.
A1 A2 + B1 B2
Trójkąt
Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( xC , yC ) , dane jest
wzorem:
1
( xB − xA )( yC − y A ) − ( yB − y A )( xC − xA )
2
Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:
⎛ x A + xB + xC y A + yB + yC ⎞
,
⎜
⎟
3
3
⎝
⎠
PΔABC =
•
Przekształcenia geometryczne
G
− przesunięcie o wektor u = [ a, b ] przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( x + a, y + b ) ;
− symetria względem osi Oy przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( − x, y ) ;
− symetria względem punktu ( a, b ) przekształca punkt ( x, y ) na punkt ( 2a − x, 2b − y ) ;
− jednokładność o środku w punkcie
( 0,0 )
na punkt ( sx, sy ) .
7
i skali s ≠ 0 przekształca punkt
( x, y )
•
Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku w punkcie ( a, b ) i promieniu r:
( x − a ) + ( y − b)
2
2
= r2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
lub
gdzie r 2 = a 2 + b 2 − c > 0
11. PLANIMETRIA
•
Oznaczenia
a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio
naprzeciwko wierzchołków A, B, C;
C
γ
b
α
A
2 p = a + b + c – obwód trójkąta;
a
α , β , γ – miary kątów przy
β
ha , hb , hc – wysokości, opuszczone
z wierzchołków A, B, C;
c
wierzchołkach A, B, C;
B
R, r – promienie okręgów opisanego
i wpisanego.
•
Wzory na pole trójkąta
1
1
1
PΔABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc
2
2
2
•
PΔABC =
1
1 sin β ⋅ sin γ
= 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ
a ⋅ b ⋅ sin γ = a 2
2
2
sin α
PΔABC =
abc
= rp =
4R
p ( p − a )( p − b )( p − c )
Twierdzenie sinusów
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
•
Twierdzenie cosinusów
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
•
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 + b 2 = c 2 .
8
•
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym
Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:
hc2 = AD ⋅ DB
C
γ
b
α
•
a
hc
A
c
ab
c
a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β
a = b ⋅ tgα = b ⋅ ctgβ
1
R= c
2
hc =
.
β
D
B
Twierdzenie Talesa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
C
Proste AA′ , BB′ , CC ′ są parami równoległe
wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi równość:
OA
OB
OC
=
=
OA′ OB′ OC ′
B
A
O
•
A′
B′
C′
Czworokąty
b
D
Trapez
Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę
boków równoległych.
Wzór na pole trapezu:
a+b
P=
⋅h
2
C
h
E
A
B
a
D
Równoległobok
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych.
Wzory na pole równoległoboku:
1
P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin ϕ
2
C
h
ϕ
b
α
A
B
a
D
Romb
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych jednakowej długości.
Wzory na pole rombu:
1
P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD
2
C
h
α
A
a
B
9
D
A
C
B
•
Koło
Wzór na pole koła o promieniu r:
P = π r2
Obwód koła o promieniu r:
Ob = 2π r
r
O
•
Deltoid
Czworokąt, który ma oś symetrii, zawierającą
jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu:
1
P = ⋅ AC ⋅ BD
2
Wycinek koła
r
Wzór na pole wycinka koła o promieniu r
i kącie środkowym α D :
A
P =πr ⋅
2
360D
Długość łuku wycinka koła o promieniu r
i kącie środkowym α D :
α
O
B
l = 2π r ⋅
•
αD
αD
360D
Kąty w okręgu
α
α
O
α
2α
Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa
połowie miary kąta środkowego, opartego na
tym samym łuku.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych
na tych samych łukach, są równe.
B
A
10
•
Okrąg opisany na czworokącie
C
γ
β
B
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy
i tylko wtedy, gdy sumy miar jego
przeciwległych kątów wewnętrznych
są równe 180°:
D δ
α + γ = β + δ = 180D
α
A
•
Okrąg wpisany w czworokąt
C
c
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego
przeciwległych boków są równe:
D
r
b
d
a+c =b+d
B
a
A
12. STEREOMETRIA
•
Oznaczenia
P – pole powierzchni całkowitej
Pp – pole powierzchni podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej
V – objętość
•
Prostopadłościan
H
G
E
F
P = 2 ( ab + bc + ac )
c
C
D
V = abc
gdzie a, b, c są długościami krawędzi
prostopadłościanu.
b
A
a
B
11
•
Graniastosłup prosty
I
J
H
F
Pb = 2 p ⋅ h
V = Pp ⋅ h
G
h
gdzie 2 p jest obwodem podstawy
graniastosłupa.
D
E
C
B
A
•
Ostrosłup
S
1
V = Pp ⋅ h
3
gdzie h jest wysokością ostrosłupa.
h
D
E
C
B
A
•
Walec
Pb = 2π rh
h
r
P = 2π r ( r + h )
V = π r 2h
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysokością walca.
O
12
•
Stożek
S
Pb = π rl
P = π r (r + l )
1
V = π r 2h
3
gdzie r jest promieniem podstawy,
h – wysokością, l –długością tworzącej
stożka.
h l
O
•
r
Kula
O
P = 4π r 2
4
V = π r3
3
gdzie r jest promieniem kuli.
r
13. TRYGONOMETRIA
•
Definicje funkcji trygonometrycznych
y
y
r
y
tgα =
x
x
ctgα =
y
M=(x, y)
r
sin α =
y
•
( x ≠ 0)
( y ≠0)
gdzie r = x 2 + y 2
α
O
cos α =
x
M’
x
Wykresy funkcji trygonometrycznych
y = cos x
y = sin x
13
x
r
y = tgx
•
Związki między funkcjami tego samego kąta
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tgα =
dla
cos α
cos α
ctgα =
dla
sin α
1
ctgα =
dla
tgα
•
•
y = ctgx
π
α≠
2
+ kπ
k – całkowite
α ≠ kπ
k – całkowite
kπ
2
k – całkowite
α≠
Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych
α
0 ( 0D )
sin α
0
cos α
1
tg α
0
ctg α
nie
istnieje
π
( 30 )
6
D
π
( 45 )
4
D
1
2
3
2
3
3
3
π
( 60 )
3
D
π
( 90 )
2
D
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
nie
istnieje
1
3
3
0
1
0
Wzory redukcyjne
– sin α
2
cos α
2
cos α
3π
−α
2
– cos α
− cos α
− cos α
sin α
– sin α
– sin α
sin α
cos α
tg α
– tg α
tg α
ctg α
– ctg α
ctg α
– ctg α
− tgα
ctg α
– ctg α
ctg α
tg α
– tg α
tg α
– tg α
− ctgα
ϕ=
−α
α
π −α
π +α
sinϕ
– sin α
sin α
sin α
cosϕ
cos α
cos α
tg ϕ
– tg α
ctg ϕ
– ctg α
π
14
−α
π
+α
3π
+α
2
− cos α
2π − α
− sin α
•
Funkcje sumy i różnicy kątów
Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości:
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
Ponadto mamy równości:
tgα + tgβ
tg (α + β ) =
1 − tgα ⋅ tgβ
tgα − tgβ
tg (α − β ) =
1 + tgα ⋅ tgβ
ctgα ⋅ ctgβ − 1
ctg (α + β ) =
ctgα + ctgβ
ctgα ⋅ ctgβ + 1
ctg (α − β ) =
ctgβ − ctgα
które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
•
Funkcje podwojonego kąta
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
Ponadto, dla tych kątów, dla których prawe strony są określone, mamy równości:
2tgα
sin 2α =
1 + tg 2α
1 − tg 2α
1 + tg 2α
2tgα
tg2α =
1 − tg 2α
cos 2α =
•
Funkcje potrojonego kąta
sin 3α = sin α ( 3cos 2 α − sin 2 α ) = sin α ( 3 − 4sin 2 α )
cos 3α = cos α ( cos 2 α − 3sin 2 α ) = cos α ( 4 cos 2 α − 3)
•
Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych
sin α + sin β = 2sin
sin α − sin β = 2sin
α+β
2
α −β
cos
α −β
2
α+β
cos
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
cos α − cos β = −2sin
sin
2
2
15
14. KOMBINATORYKA
•
Permutacje
Liczba sposobów, w jaki n ≥ 1 elementów można ustawić w ciąg, jest równa n !
•
Wariacje bez powtórzeń
Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się z k ( 1 ≤ k ≤ n )
różnych wyrazów, jest równa
n!
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) =
( n − k )!
•
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, w jaki z n elementów można utworzyć ciąg, składający się
z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk.
•
Kombinacje
Liczba sposobów, w jaki spośród n elementów można wybrać k ( 0 ≤ k ≤ n ) elementów,
⎛n⎞
jest równa ⎜ ⎟ .
⎝k ⎠
15. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
•
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli zajście
każdego zdarzenia elementarnego jest jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo
zajścia zdarzenia A ⊂ Ω jest równe
P ( A) =
A
Ω
gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω .
•
Własności prawdopodobieństwa
0 ≤ P ( A ) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω
P (Ω) = 1
Ω – zdarzenie pewne
P (∅) = 0
∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )
P ( A) ≤ P ( B )
gdy A ⊂ B ⊂ Ω
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω ,
zatem P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω .
•
Zdarzenia niezależne
Zdarzenia A ⊂ Ω i B ⊂ Ω są niezależne, gdy
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
16
•
Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech A, B ⊂ Ω będą zdarzeniami, przy czym P ( B ) > 0 .
Prawdopodobieństwem warunkowym P ( A | B ) zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło
zdarzenie B, nazywamy liczbę:
P ( A ∩ B)
P ( A | B) =
P ( B)
•
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli zdarzenia B1 , B2 , ..., Bn ⊂ Ω spełniają warunki:
1. Bi ∩ B j = ∅ dla 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j ,
2. B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bn = Ω ,
3. P ( Bi ) > 0 dla 1 ≤ i ≤ n
to dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω zachodzi równość:
P ( A ) = P ( A | B1 ) ⋅ P ( B1 ) + P ( A | B2 ) ⋅ P ( B2 ) + ... + P ( A | Bn ) ⋅ P ( Bn )
•
Schemat Bernoulliego
Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego
wyraża się wzorem:
⎛ n ⎞ k n−k
p + q =1
⎜ ⎟⋅ p ⋅q
⎝k ⎠
gdzie:
p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie,
q – prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie.
16. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
•
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
a1 + a2 + ... + an
n
•
Średnia ważona
Średnia ważona n liczb a1 , a2 ,..., an którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi
w1 , w2 ,..., wn jest równa:
w1 ⋅ a1 + w2 ⋅ a2 + ... + wn ⋅ an
w1 + w2 + ... + wn
•
Średnia geometryczna
Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
n
a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
17
•
Średnia harmoniczna
Średnia harmoniczna n dodatnich liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
n
1 1
1
+ + ... +
a1 a2
an
•
Mediana
Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej ciągu n danych liczbowych
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest:
− dla n nieparzystych: a n +1 (środkowy wyraz ciągu),
2
− dla n parzystych:
•
⎞
1⎛
⎜ a n + a n +1 ⎟ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów ciągu).
2⎝ 2
2 ⎠
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancją n danych liczbowych a1 , a2 ,..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba:
( a − a ) + ( a2 − a ) + ( a3 − a )
σ = 1
2
2
2
2
+ ... + ( an − a )
2
n
Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji: σ = σ 2 .
18
17. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
α [D ]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
cos β
tgα
ctgβ
β [D ]
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
sin α
α [D ]
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
19
cos β
tgα
ctgβ
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
–
sin α
β [D ]
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0