Ekonometria

Wnioskowanie statystyczne
dr Urszula Gierałtowska
Katedra Ubezpieczeń i Rynków Kapitałowych
e-mail: [email protected]
Tel. (91) 444 19 63
Konsultacje: wtorek/środa godz. 1200–1330, pok. 212
Wnioskowanie statystyczne
Literatura:
1.
Hozer J., Kolanko E., Korol M., Lasota B., Witek M., Statystyka. Część II. Wnioskowanie statystyczne,
Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 1994.
2.
3.
Jóźwiak J., Podgórski J., Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 2006,
Aczel A. D., Statystyka w zarządzaniu, PWN, Warszawa 2000 .
4.
5.
Greń J., Statystyka matematyczna, modele i zadania, PWN, Warszawa 1987
Balicki A., Makać W., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego,
6.
Gdańsk 2007.
Luszniewicz A., Statystyka nie jest trudna. Metody wnioskowania statystycznego, PWE, Warszawa 1999.
7.
8.
Domański C.,Testy statystyczne, PWE, Warszawa 1990.
Fisz M., Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1976.
9. Domański C., Pruska K., Nieklasyczne metody statystyczne, PWE, Warszawa 2000.
10. Bąk I., Markowicz I., Mojsiewicz M., Wawrzyniak K., Statystyka w zadaniach. Cz. II, Wydawnictwo
Naukowo-Techniczne, Warszawa 2001.
11. Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M., Rachunek prawdopodobieństwa i
statystyka matematyczna w zadaniach. Część 2. Statystyka matematyczna, Wydawnictwo Naukowe
PWN, Warszawa 2002.
12. Bąk I., Markowicz I., Mojsiewicz M., Wawrzyniak K., Wzory i tablice statystyczne, Katedra Ekonometrii
i Statystyki US, Stowarzyszenie Pomoc i Rozwój, Szczecin 1997.
Wnioskowanie statystyczne
Elementarne zagadnienia rachunku prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo – jest ilościową miarą niepewności, jest to liczba, która wyraża siłę przekonania o
tym, że zajdzie niepewne zdarzenie.
Twórcy: Blaise Pascal (1623-1662), Pierre de Fermat (1601-1665), Galileo Galileusz
(1564-1642), Abraham de Moivre’a (1667-1754)
Rachunek prawdopodobieństwa (probabilistyka, od łacińskiego słowa probabilitis oznaczającego
prawdopodobny) zajmuje się badaniem praw rządzących zdarzeniami losowymi.
Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenia elementarne w i przestrzeń zdarzeń elementarnych W związane z
doświadczeniem losowym D.
Zdarzenie (zdarzenie losowe) – wynik pewnej obserwacji lub doświadczenia (może być ilościowy
lub jakościowy). Zdarzenie, którego zajście leży całkowicie lub częściowo poza zasięgiem kontroli.
Zdarzenie elementarne – najprostszy wynik doświadczenia losowego, tzn. zdarzenie losowe,
którego nie da się rozłożyć na zdarzenia prostsze.
W - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lub obserwacji (przestrzeń
zdarzeń elementarnych).
Wnioskowanie statystyczne
Zdarzeniami losowymi są takie zdarzenia, które w danym układzie zupełnym zdarzeń:
– wzajemnie się wykluczają;
– jedno ze zdarzeń się realizuje;
– realizacja zdarzeń ma charakter losowy.
Oceny ilościowej zdarzeń i zjawisk losowych dokonuje się za pomocą pewnej charakterystyki, zwanej
prawdopodobieństwem. Istnieje szereg definicji prawdopodobieństwa, opartych na różnych teoriach:
częstościowej, mnogościowej, logicznej; szczególne miejsce zajmuje aksjomatyczna definicja
prawdopodobieństwa Kołmogorowa.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Jeżeli przestrzeń W składa się z n zdarzeń elementowych jednakowo prawdopodobnych, to
prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu
zdarzenia A przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, tzn.:
P(A) 
gdzie:
P(A) – prawdopodobieństwo zdarzenia A,
m – liczba zdarzeń sprzyjających,
n
– liczba wszystkich zdarzeń.
m
n
Wnioskowanie statystyczne
Właściwości prawdopodobieństwa:
(c)
(b)
(a)
A
A
AiB
A*B
B
A lub B
(A+B)
~A
A+(~A)=W
(d)
A
(e)
B
Zdarzenia rozłączne A, B
W
Zdarzenie pewne W
(suma wszystkich
zdarzeń możliwych)
Jeśli A, B, .. są zdarzeniami rozłącznymi (wykluczają się wzajemnie) to
P(A  B  …) = P(A) + P(B) + ...
(patrz rysunek d)
Jeśli W jest zdarzeniem pewnym to
P(W) = 1
(patrz rysunek e)
Stąd wynika, że dla dowolnego zdarzenia A
0  P(A)  1
P(A’) = 1 - P(A)
(patrz rysunek a)
Dla dowolnych zdarzeń A i B
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
(patrz rysunki b, c)
Wnioskowanie statystyczne
Definicja prawdopodobieństwa statystycznego (częstościowa):
Prawdopodobieństwem pojawienia się zdarzenia sprzyjającego zjawisku A nazywa się granicę, do której
dąży empiryczny stosunek liczności zrealizowanych zdarzeń losowych sprzyjających danemu zjawisku
m do liczności wszystkich zrealizowanych zdarzeń losowych z pewnego układu zupełnego zdarzeń (n),
gdy n dąży do nieskończoności.
P(A )  lim
n 
m m
 .
n
n
Przykład
1. W sklepie znajdują się magnetowidy trzech firm: I, II, III: 3 razy tyle magnetowidów firmy I co
magnetowidów firmy II, a 5 razy tyle magnetowidów firmy I co magnetowidów firmy III. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo magnetowid, trafimy na magnetowid firmy II?
2. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie parzysta liczba oczek?
Wnioskowanie statystyczne
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A, pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie B nazywamy liczbę:
gdzie A, B  W
i P(B) > 0
Prawdopodobieństwo całkowite
Jeżeli A  W jest dowolnym zdarzeniem, natomiast B1, B2, B3, ..., Bn  W spełniają warunki:
1. B1  B2  …  Bn = W
2. wykluczają się parami
3. mają dodatnie prawdopodobieństwa, to
P(A) = P(A|B1) · P(B1) + P(A|B2) · P(B2) + ... + P(A|Bn) · P(Bn)
Zdarzenia niezależne
Zdarzenia losowe A i B nazywamy niezależnymi jeżeli P(AB) = P(A)
Zdarzenia losowe A i B są niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy P(A) · P(B) = P(A  B)
Wnioskowanie statystyczne
Twierdzenie Bayesa
Jeżeli zdarzenia B1, B2, … tworzą podział przestrzeni W i P(Bi ) > 0, i = 1, 2, …, dla dowolnego to
dla zdarzenia A takiego, ze P(A)>0, to dla każdego i
PB i A  
PB i   PA B i 
 PB  PA B 

j1
j
j
Jest to wzór na prawdopodobieństwo á posteriori, gdyż dotyczy prawdopodobieństwa zajścia
zdarzenia Bi po zajściu zdarzenia A. Prawdopodobieństwa Bi noszą nazwę prawdopodobieństw á
priori lub prawdopodobieństw subiektywnych.
Przykład
Żarówki są produkowane w 3 fabrykach. Z fabryki pierwszej pochodzi 25% produkcji, z fabryki drugiej
35% produkcji a z trzeciej 40%. Produkcja wadliwa wynosi odpowiednio: dla fabryki I – 5%, dla fabryki
II – 4%, dla fabryki III – 2%. Wybrana żarówka okazała się wadliwa – jakie jest prawdopodobieństwo, że
pochodzi ona z fabryki pierwszej?
Wnioskowanie statystyczne
Zmienna losowa
zmienna, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartości z pewnego zbiory liczb rzeczywistych,
z określonym prawdopodobieństwem.
Zmienną losową nazywamy każdą funkcję X określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych W,
przyjmującą wartości rzeczywiste, taką, że dla każdej liczby rzeczywistej x zbiór zdarzeń elementarnych
w spełniających warunek X(w) < x jest zdarzeniem losowym, tzn. należy do rodziny F.
X:W 
nazywamy zmienną losową, jeżeli
 w  W : Xw  xF
x
Zmienne losowe dzielą się na skokowe i ciągłe.
– Zmienną nazywamy skokową (dyskretną), jeżeli jej zbiór wartości jest przeliczalny (lub
skończony). Zmienna tego rodzaju przyjmuje wartości z pewnego przedziału liczbowego.
Szczególnym przypadkiem zmiennej skokowej jest tzw. zmienna zero–jedynkowa, używana w
przypadku cech dychotomicznych, która może przyjmować tylko dwie wartości: 0 lub 1.
– Zmienną losową nazywamy ciągłą, jeżeli może ona przybierać każdą wartość z pewnego
przedziału liczbowego.
Wnioskowanie statystyczne
Dystrybuanta zmiennej losowej
Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X: W → R nazywamy funkcję Fx: R → R
określoną wzorem:
Fx(x)=P({w  W: X(w) < x})
zatem wartość dystrybuanty Fx(x) jest równa prawdopodobieństwu zdarzenia, że zmienna losowa przyjmuje
wartości należące do przedziału (-∞, x>. W szczególności dystrybuantę zmiennej losowej X będziemy
zapisywali w postaci
F(x) = P(X < x).
Własności dystrybuanty
– F jest funkcją niemalejącą, tzn. jeżeli x1 < x2, to F(x1) < F(x2)
– F jest funkcja lewostronnie ciągłą, tzn. dla każdego a  R lim- Fx   Fa 
x a
– lim Fx   0, lim Fx   1,
x  -
x  
– jeżeli a < b, to P (a ≤ X < b) = F(b) – F(a),
– jeżeli x jest liczbą skończoną, to P(X ≥ x) = 1 − F(x)
Zmienne losowe są opisywane za pomocą funkcji (rozkładów). W zależności od rodzaju zmiennej są to:
1. funkcja prawdopodobieństwa (zmienne losowe skokowe),
2. funkcja gęstości (zmienne losowe ciągłe).
Wnioskowanie statystyczne
Zmienna losowa typu skokowego (dyskretnego)
Zmienna losowa X jest typu skokowego (dyskretnego), jeśli przyjmuje skończoną lub nieskończoną, ale
przeliczalną liczbę wartości, tzn. XWx1, x2, …,xi,...].
Funkcję pi = P(X = xi) = P ({w: X(w) = xi}) przyporządkowującą wartościom x1, x2, . . . , xk, . . .
zmiennej losowej X odpowiednie prawdopodobieństwa p1, p2, . . . , pk, . . . nazywamy funkcją
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X typu skokowego.
Przy czym
n
pi > 0 oraz
p
i 1
i
1
Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest funkcja F określona wzorem
.
Fx   PX  x  
p
- x i  x
i
gdzie sumowanie odbywa się po tych xi, które spełniają nierówności -∞ < xi < x.
Wnioskowanie statystyczne
Przykład
1. W pudełku jest 10 losów ponumerowanych od 1 do 10. Na los z numerem 1 pada główna wygrana
10 zł, na losy z numerami 2 i 3 wygrana pocieszenia w wysokości 1 zł, a za wyciągnięcie
pozostałych płacimy 2 zł. Załóżmy, że wyciągnięcie każdego z losów jest jednakowo
prawdopodobne. Doświadczenie polega na wyciągnięciu jednego losu.
2. Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X
x
F(x)
(– ∞, 0]
(0, 1]
(1, 3]
(3, 6]
(6, +∞)
0
1/3
1/2
5/6
1
Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.
Wnioskowanie statystyczne
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej skokowej
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa bądź dystrybuanta zmiennej losowej w sposób dokładny
charakteryzują zmienną losową. Nie zawsze znajomość tych funkcji jest niezbędna. W większości
przypadków wystarczy znać pewne charakterystyki, które w wystarczający sposób opisują rozkłady
zmiennych losowych.
Podstawowymi charakterystykami zmiennej losowej jednowymiarowej są: wartość oczekiwana i
odchylenie standardowe (średni błąd).
Wartością oczekiwaną (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej
losowej skokowej X nazywamy liczbę
n
E(X)   x i p i  x1p1    x n p n
i 1
Wartość oczekiwana jest to więc pewna średnia ważona wartości zmiennej losowej.
Własności wartości oczekiwanej
.
1. Ec  c
2. EaX  aE(X)
4. EX  Y  E(X)  E(Y)
5. EX - E(X)  0
6. EaX  bY  aE(X)  bE(Y)
3. E(X  b)  E(X)  b
Wnioskowanie statystyczne
Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej
losowej X od jej wartości oczekiwanej – E(X), tzn.
D2(X) = E(X – E(X))2.
Inaczej
n
D ( X )    x i - E ( X )  p i  x 1 - E ( X )  p 1     x n - E ( X )  p n
2
2
2
2
i 1
D (X )  E (X ) - E X 
2
2
2
n
gdzie
E (X )   x i2 p i
2
i 1
Wariancja jest to miara rozrzutu zmiennej losowej X.
Własności wariancji:
1. D2 c  0
2. D2 aX   a 2 D2 (X)
3. D2 X  b  D2 (X)
4. D2 X  Y  D2 (X)  D2 (Y)
Przykład
W loterii wypuszczono 500 losów, w tym jeden los z wygraną 1000 zł, pięć losów z wygraną po 200 zł i
dwadzieścia losów – po 50 zł. Określić rozkład zmiennej losowej X, będącej wielkością możliwej
wygranej osoby, która kupiła jeden los. Obliczyć wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe tak
określonej zmiennej losowej.
Wnioskowanie statystyczne
Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej
Typ
rozkładu
zero –
jedynkowy
dwumianowy
Poissona
hipergeometryczny
Funkcja rozkładu
P( X  x i )
Dystrybuanta
Parametry
E(X), D(X)
p
p(1 - p)
P ( X  x)
P( X  1)  p
P( X  0)  q  1 - p
P( X  k ) 
 nk  p k q n - k
k -
P( X  k ) 
e
k!
 Mk  Nn -- kM 
P( X  k ) 
 Nn 
P( X  k ) 
k -1

r0
 p q
n
r
r
n-r
k -1
r - 
P( X  k )  
e
r
!
r0
P( X  k ) 
  
r0
 Nn 
k -1 M
r

np
npq


np
N-M
n-r
np
N-n
N -1
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład dwumianowy (Bernoulliego)
Schemat Bernoulliego polega na realizacji n niezależnych zdarzeń losowych, z których każde może
zakończyć się „sukcesem” z prawdopodobieństwem p lub „porażką” 1 – p = q. W wyniku realizacji n
zdarzeń losowych, zdarzenie A pojawić się może 0, 1, ..., n razy, stąd zmienna skokowa X może
przybierać wartości k = 0, 1, ..., n.
Rozkład dwumianowy można przybliżać innymi rozkładami:
– gdy np > 5 i n(1 − p) > 5, to przybliżamy rozkładem normalnym o μ = np i s = np(1 − p)
– gdy N jest duże, a p małe, to przybliżamy rozkładem Poissona  = np
Przykład
Pewna firma posiada pięć jednakowych komputerów pracujących niezależnie od siebie.
Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia roboczego komputer ulegnie awarii wynosi 0,1. Zakładamy,
że awarię usuwa się dopiero następnego dnia. Jaki jest rozkład liczby komputerów ulegających awarii w
ciągu dnia roboczego i jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ciągu dnia awarii ulegną więcej niż
dwa komputery?
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład Poissona
Rozkład Poissona jest rozkładem zmiennej losowej skokowej, który stosuje się w przypadku określania
prawdopodobieństwa zajścia zdarzeń stosunkowo rzadkich i niezależnych od siebie przy występowaniu
dużej ilości doświadczeń.
Rozkład Poissona jest przybliżeniem rozkładu Bernoulliego dla dużych prób i przy małym
prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia sprzyjającego.
k
 n  k n -k
- 
 p q  e
k!
k
gdzie   np . Przybliżenie to jest w miarę dokładne, gdy n  50 (czasem przyjmuje się, że n  100 ) i
p  0,1 ,   np  10 (czasem przyjmuje się, że   0.1 , 10 , czyli gdy liczba prób jest większa lub równa
50, zaś prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie nie przekracza
1
oraz np  10 .
10
Rozkład Poissona różni się od dwumianowego:
– na rozkład dwumianowym ma wpływ zarówno liczba prób N jak i prawdopodobieństwo p, a na
rozkład Poissona wpływa jedynie ,
– możliwe wartości zmiennej o rozkładzie dwumianowym to 0, 1, . . .N, a w rozkładzie Poissona
nie ma górnego ograniczenia tzn., zmienna przyjmuje wartości 1, 2, 3, . . .
Przykład
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej trzech osób leworęcznych w 200 losowaniach, jeśli
wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby leworęcznej w pewnej populacji ludzi wynosi 0,05.
Wnioskowanie statystyczne
Zmienna losowa typu ciągłego
Zmienna losowa X jest ciągła, tzn. przyjmuje nieprzeliczalną ilość wartości, to prawdopodobieństwo,
że przyjmuje ona konkretną wartość x jest równa zeru. Z tego względu określa się jedynie
prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa X jest zawarta w pewnym przedziale wartości.
Funkcją gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f : R → R określoną
Px  X  x  x 
x 0
x
f x   lim
b
P(aX  b) P(aX  b)P(aX  b) P(aX  b)   f ( x )dx
a
Graficzną interpretacją całki jest pole obszaru
ograniczonego wykresem funkcji f(x), osią odciętych
i prostymi x = a, x = b.
Wnioskowanie statystyczne
Jeżeli f : R → R jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu ciągłego, to:

 f (x)dx  P-   X     1
-
a
PX  a   PX  a    f ( x )dx
-

PX  a   PX  a    f ( x)dx
a
Dystrybuantę zmiennej losowej ciągłej X można przedstawić w postaci:
x
F( x )  f ( x )dx ,
-
gdzie f(x) jest nieujemną funkcją gęstości. Wykresem dystrybuanty zmiennej losowej typu ciągłego
jest linia ciągła.
Z definicji pochodnej, w punkcie ciągłości funkcji f(x) mamy
Px  X  x  x 
Fx  x  - Fx 
 lim
 Fx 
x 0
x 0
x
x
f x   lim
czyli funkcja gęstości f(x) zmiennej losowej jest pochodną dystrybuanty F(x).
Wnioskowanie statystyczne
Podstawowe charakterystyki liczbowe zmiennej losowej ciągłej
Wartość oczekiwana
b
E( X)   xf ( x)dx.
a
Odchylenie standardowe


D( X)    ( x - E( X)) 2 f ( x)dx
a

b

2
D( X)  E( X ) - ( E( X))
2

1
2
,
1
2
b
E( X )   x 2 f ( x)dx.
2
a
Wnioskowanie statystyczne
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Typ
rozkładu
równomierny
Funkcja gęstości f(x)
Dystrybuanta F(x)
 1

,a  x b
f ( x)   b - a
0, dla pozosta ł ych x
0,
xa
 x - a
F( x)  
,axb
b
a

1,
xb
-x
 1 -x



F( x)  1 - e  , x  0
f ( x)    e , x  0
wykładniczy
0 , poza tym
0 , dla pozosta ł ych x
-( x - )2
normalny
f ( x) 
1
s 2
e
2s2
-  x 
F( x) 
1
s 2
2
x - ( x- )
2
e 2s dx

-
Parametry
E(X), D(X)
ab
2
(b - a)2
12
,
 s
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład równomierny (prostokątny, jednostajny) jest najprostszym rozkładem zmiennej losowej typu
ciągłego. Rozkład ten bywa czasem stosowany w sytuacji, gdy można przypuszczać, że każda wartość
zmiennej w pewnym przedziale liczbowym jest jednakowo możliwa.
Rozkład wykładniczy jest jedynym rozkładem ciągłym, który ma własność zwaną brakiem pamięci.
Własność tę można interpretować następująco: jeżeli zmienna losowa X jest czasem bezawaryjnej pracy
pewnego elementu o rozkładzie wykładniczym, to niezależnie od dotychczasowego czasu pracy elementu,
dalszy czas pracy nie zależy od „przeszłości” i ma taki sam rozkład, co całkowity czas pracy elementu.
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład normalny (rozkład Gaussa) jest rozkładem, któremu podlega wiele zjawisk świata
fizycznego, np. waga oraz wzrost populacji ludzi. Rozkład normalny jest interpretowany, jako
wyraz równowagi dynamicznej trwałej układu względnie izolowanego, w którym zachodzące
zmiany są samoregulowane poprzez działanie sprzężenia zwrotnego ujemnego.
Rozkład normalny został po raz pierwszy przedstawiony przez de Moivre’a w artykule w 1773 w
kontekście aproksymacji niektórych rozkładów dwumianowych dla dużych n. Wyniki tych badań
zostały rozwinięte przez Laplace’a, a w statystyce funkcjonują jako twierdzenie de Moivre'aLaplace'a.
Wnioskowanie statystyczne
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach  oraz s, co w skrócie zapisuje się jako
X: N(, s), jeżeli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:
f unkcja gęstości
1
e
s 2
( x - )
2 s2
0,4
, gdzie -   x   i s  0
0,3
f(x)
f (x) 
-
2
0,2
0,1
0
-4
-3
-2
Dystrybuantą zmiennej losowej X mającej
rozkład normalny jest funkcją F(x) określona na
zbiorze liczb rzeczywistych o postaci:
-1
0
1
2
3
4
dystrybuanta rozkładu normalnego
1
0,8
x
1
F( x ) 
e

s 2  -
-
f(x)
0,6
( t - )2
2 s2
0,4
dt
0,2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Wnioskowanie statystyczne
Funkcja gęstości w rozkładzie normalnym:
– jest symetryczna względem prostej x =  (osią symetrii jest prosta pionowa przechodząca przez
punkt x = μ), jest rosnąca dla x < μ, a malejąca dla x > μ
– w punkcie x =  osiąga wartość maksymalną
– ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla x =  - σ oraz x =  + σ
– kształt funkcji gęstości zależy od wartości parametrów:  i σ. Parametr  decyduje o
przesunięciu krzywej, natomiast parametr σ decyduje o „smukłości” krzywej (im mniejsza jest
wariancja/odchylenie standardowe, tym wykres gęstości prawdopodobieństwa jest bardziej
wysmukły)
0,5
N(0,1)
N(3,1)
N(0,2)
N(3,2)
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Wnioskowanie statystyczne
Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu normalnego wyrażane są następującymi wzorami:

E(X)   x
-

1
e
s 2
D 2 ( X )   ( x - ) 2
-
-
( x - ) 2
2s2
dx  
1
e
s 2
-
( x - ) 2
2s2
dx  s 2
Wartość  jest to taka wartość zmiennej losowej X, wokół której skupiają się wyniki wielokrotnych
realizacji tej zmiennej. Innymi słowy, oczekuje się (ma się nadzieję), że wielokrotne realizacje zmiennej
losowej X będą skupiały się wokół liczby .
Wnioskowanie statystyczne
Reguła trzech sigm
Funkcja gęstości rozkładu normalnego ma zastosowanie do reguły „trzech sigma”, którą następnie
rozwinięto na regułę „sześć sigma” – stosowaną w kontroli jakości, przede wszystkim w USA (np. General
Electric, General Motors Company)
Reguła trzech sigma – jeżeli zmienna losowa ma
rozkład normalny to:
– 68,3 % populacji mieści się w przedziale
( - σ;  + σ)
– 95,5 % populacji mieści się w przedziale
( - 2σ;  + 2σ)
– 99,7 % populacji mieści się w przedziale
( - 3σ;  + 3σ)
Reguła ta ma duże znaczenie w teorii błędów
obserwacji, bowiem błędy przypadkowe pomiarów tej
samej wielkości fizycznej zwykle tak się rozkładają, że
wyniki tych pomiarów mają rozkład normalny. Rozkład
ten nie wystąpi, gdy popełniony zostanie tendencyjny
błąd systematyczny.
Wnioskowanie statystyczne
Standaryzacja
Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (, s), to zmienna losowa (X – )/s ma rozkład N(0, 1),
zwany standardowym rozkładem normalnym.
Standaryzacja polega na sprowadzeniu dowolnego rozkładu normalnego o danych parametrach  i σ
do rozkładu standaryzowanego o wartości oczekiwanej  = 0 i odchyleniu standardowym σ = 1.
Zmienną losową X zastępujemy zmienną standaryzowaną u, która ma rozkład N(0,1), jej funkcję gęstości
oznaczamy φ(u), natomiast dystrybuantę Φ(u):
u
Gęstość dla zmiennej standaryzowanej u określa wzór:
u
a dystrybuantę:
X -
s
 ( u) 
1
2
e
-
u2
2
,
t2
1
2
 (u )
e
dt

2 -
Wartości funkcji gęstości oraz dystrybuanty dla różnych wartości u są stabilicowane. Ze względu na
symetrię funkcji względem prostej u = 0 w tablicach są podane często wartości obu funkcji jedynie dla
dodatnich u. Przy wyznaczaniu wartości i korzysta się wtedy z własności tych funkcji ( - u)  ( u),
( - u)  1 - ( u).
Wnioskowanie statystyczne
Tablica dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1) → dla u =1,64  u = 1,64) = Fu = 1,64 = 0,949497
u
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
0
0,500000
0,539828
0,579260
0,617911
0,655422
0,691462
0,725747
0,758036
0,788145
0,815940
0,841345
0,864334
0,884930
0,903199
0,919243
0,933193
0,945201
0,955435
0,964070
0,971284
0,977250
0,982136
0,986097
0,989276
0,991802
0,993790
0,995339
0,996533
0,997445
0,998134
0,998650
0,01
0,503989
0,543795
0,583166
0,621719
0,659097
0,694974
0,729069
0,761148
0,791030
0,818589
0,843752
0,866500
0,886860
0,904902
0,920730
0,934478
0,946301
0,956367
0,964852
0,971933
0,977784
0,982571
0,986447
0,989556
0,992024
0,993963
0,995473
0,996636
0,997523
0,998193
0,998694
0,02
0,507978
0,547758
0,587064
0,625516
0,662757
0,698468
0,732371
0,764238
0,793892
0,821214
0,846136
0,868643
0,888767
0,906582
0,922196
0,935744
0,947384
0,957284
0,965621
0,972571
0,978308
0,982997
0,986791
0,989830
0,992240
0,994132
0,995603
0,996736
0,997599
0,998250
0,998736
0,03
0,511967
0,551717
0,590954
0,629300
0,666402
0,701944
0,735653
0,767305
0,796731
0,823814
0,848495
0,870762
0,890651
0,908241
0,923641
0,936992
0,948449
0,958185
0,966375
0,973197
0,978822
0,983414
0,987126
0,990097
0,992451
0,994297
0,995731
0,996833
0,997673
0,998305
0,998777
0,04
0,515953
0,555670
0,594835
0,633072
0,670031
0,705402
0,738914
0,770350
0,799546
0,826391
0,850830
0,872857
0,892512
0,909877
0,925066
0,938220
0,949497
0,959071
0,967116
0,973810
0,979325
0,983823
0,987455
0,990358
0,992656
0,994457
0,995855
0,996928
0,997744
0,998359
0,998817
0,05
0,519939
0,559618
0,598706
0,636831
0,673645
0,708840
0,742154
0,773373
0,802338
0,828944
0,853141
0,874928
0,894350
0,911492
0,926471
0,939429
0,950529
0,959941
0,967843
0,974412
0,979818
0,984222
0,987776
0,990613
0,992857
0,994614
0,995975
0,997020
0,997814
0,998411
0,998856
0,06
0,523922
0,563559
0,602568
0,640576
0,677242
0,712260
0,745373
0,776373
0,805106
0,831472
0,855428
0,876976
0,896165
0,913085
0,927855
0,940620
0,951543
0,960796
0,968557
0,975002
0,980301
0,984614
0,988089
0,990863
0,993053
0,994766
0,996093
0,997110
0,997882
0,998462
0,998893
0,07
0,527903
0,567495
0,606420
0,644309
0,680822
0,715661
0,748571
0,779350
0,807850
0,833977
0,857690
0,878999
0,897958
0,914656
0,929219
0,941792
0,952540
0,961636
0,969258
0,975581
0,980774
0,984997
0,988396
0,991106
0,993244
0,994915
0,996207
0,997197
0,997948
0,998511
0,998930
0,08
0,531881
0,571424
0,610261
0,648027
0,684386
0,719043
0,751748
0,782305
0,810570
0,836457
0,859929
0,881000
0,899727
0,916207
0,930563
0,942947
0,953521
0,962462
0,969946
0,976148
0,981237
0,985371
0,988696
0,991344
0,993431
0,995060
0,996319
0,997282
0,998012
0,998559
0,998965
0,09
0,535856
0,575345
0,614092
0,651732
0,687933
0,722405
0,754903
0,785236
0,813267
0,838913
0,862143
0,882977
0,901475
0,917736
0,931888
0,944083
0,954486
0,963273
0,970621
0,976705
0,981691
0,985738
0,988989
0,991576
0,993613
0,995201
0,996427
0,997365
0,998074
0,998605
0,998999
Wnioskowanie statystyczne
W celu obliczenia prawdopodobieństwa P(a < X  b) należy skorzystać ze standaryzacji. Jeśli zmienna
losowa X ma rozkład N( s) to zmienna standaryzowana u ma rozkład N(0,1), czyli:
 a -  X -  b - 
 b - 
 a - 
P ( a  x  b)  P


  
 - 
.
 s
 s 
 s 
s
s 
b - 
 a -   należy odczytać w tablicach dystrybuanty standaryzowanego
Wartości 
 oraz 

 s 
 s 
rozkładu normalnego.
Przykład
1. Dany jest rozkład zmiennej losowej X o parametrach N(15; 5). Obliczyć:
a) P(X<12)
b) P(X>14)
c) P{12 < X < 14}
2. Wzrost kobiet w pewnej populacji ma rozkład normalny N(165,15). Oznacza to, iż zmienna losowa jaką
jest wzrost kobiet ma rozkład normalny ze średnią równą 165 cm i odchyleniem standardowym równym
15 cm. Jaki jest udział w populacji kobiet o wzroście:
a) do 160 cm,
b) w przedziale 165-170 cm,
c) powyżej 175 cm.
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład chi – kwadrat (c2)
Danych jest k ciągłych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym z wartością oczekiwana 0 i
odchyleniem standardowym 1, tj. każda zmienna Xi: N(0; 1) (i = 1 ,2, ..., k).
Zdefiniujemy nowa zmienna losowa o nazwie chi-kwadrat (c2):
c 2  X12  X 22  ...  X 2k
Rozkład chi kwadrat to rozkład zmiennej losowej, która jest sumą k kwadratów niezależnych
zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym. Liczbę naturalną k nazywa się
liczbą stopni swobody rozkładu zmiennej losowej. Liczba stopni swobody jest liczbą
niezależnych wyników obserwacji pomniejszoną o liczbę związków, które łączą te wyniki ze
sobą.
Wykres funkcji gęstości (dla k>2)
Rozkład zmiennej losowej c2 o k stopniach
swobody ma następujące parametry:
– nadzieja matematyczna
– wariancja
 
D c   2k
E c2  k
2
2
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład zmiennej losowej c2 o k stopniach swobody jest rozkładem pomocniczym używanym we
wnioskowaniu statystycznym.
Tablice rozkładu zmiennej losowej c2 o k stopniach swobody zostały opracowane tak, że podają przy
założonym prawdopodobieństwie a taką wartość (oznaczmy ja c2ak) zmiennej losowej c2, dla której:


P c 2  c a2 ,k  a
Wnioskowanie statystyczne
poziom
istotności
l.ss
1
2
3
4
5
0,99
0,975
0,95
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,05
0,025
0,01
0,005
0,000
0,020
0,115
0,297
0,554
0,001
0,051
0,216
0,484
0,831
0,004
0,103
0,352
0,711
1,145
0,016
0,211
0,584
1,064
1,610
0,064
0,446
1,005
1,649
2,343
0,148
0,713
1,424
2,195
3,000
0,275
1,022
1,869
2,753
3,656
0,455
1,386
2,366
3,357
4,351
0,708
1,833
2,946
4,045
5,132
1,074
2,408
3,665
4,878
6,064
1,642
3,219
4,642
5,989
7,289
2,706
4,605
6,251
7,779
9,236
3,841
5,991
7,815
9,488
11,070
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
6,635
9,210
11,345
13,277
15,086
5,024
7,378
9,348
11,143
12,832
6
7
8
9
10
0,872
1,239
1,647
2,088
2,558
1,237
1,690
2,180
2,700
3,247
1,635
2,167
2,733
3,325
3,940
2,204
2,833
3,490
4,168
4,865
3,070
3,822
4,594
5,380
6,179
3,828
4,671
5,527
6,393
7,267
4,570
5,493
6,423
7,357
8,295
5,348
6,346
7,344
8,343
9,342
6,211
7,283
8,351
9,414
10,473
7,231
8,383
9,524
10,656
11,781
8,558
9,803
11,030
12,242
13,442
10,645
12,017
13,362
14,684
15,987
12,592
14,067
15,507
16,919
18,307
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
16,812
18,475
20,090
21,666
23,209
14,449
16,013
17,535
19,023
20,483
11
12
13
14
15
3,053
3,571
4,107
4,660
5,229
3,816
4,404
5,009
5,629
6,262
4,575
5,226
5,892
6,571
7,261
5,578
6,304
7,041
7,790
8,547
6,989
7,807
8,634
9,467
10,307
8,148
9,034
9,926
10,821
11,721
9,237
10,182
11,129
12,078
13,030
10,341
11,340
12,340
13,339
14,339
11,530
12,584
13,636
14,685
15,733
12,899
14,011
15,119
16,222
17,322
14,631
15,812
16,985
18,151
19,311
17,275
18,549
19,812
21,064
22,307
19,675
21,026
22,362
23,685
24,996
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
24,725
26,217
27,688
29,141
30,578
21,920
23,337
24,736
26,119
27,488
16
17
18
19
20
5,812
6,408
7,015
7,633
8,260
6,908
7,564
8,231
8,907
9,591
7,962
8,672
9,390
10,117
10,851
9,312
10,085
10,865
11,651
12,443
11,152
12,002
12,857
13,716
14,578
12,624
13,531
14,440
15,352
16,266
13,983
14,937
15,893
16,850
17,809
15,338
16,338
17,338
18,338
19,337
16,780
17,824
18,868
19,910
20,951
18,418
19,511
20,601
21,689
22,775
20,465
21,615
22,760
23,900
25,038
23,542
24,769
25,989
27,204
28,412
26,296
27,587
28,869
30,144
31,410
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
32,000
33,409
34,805
36,191
37,566
28,845
30,191
31,526
32,852
34,170
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład t – Studenta
Rozkład Studenta zwany rozkładem t lub rozkładem t-Studenta to ciągły rozkład prawdopodobieństwa
często stosowany w statystyce podczas testowania hipotez i przy ocenie błędów pomiaru. Rozkład t jest
symetryczny względem prostej x = 0 oraz bardzo zbliżony kształtem do rozkładu normalnego
standaryzowanego.
Rozkładem zmiennej losowej t-Studenta o k stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej t
zdefiniowanej jako:
t
u
c
2
 k
gdzie u zmienna losowa o rozkładzie normalnym N(0; 1) oraz c2 zmienna losowa o rozkładzie c2 o
k stopniach swobody.
Wykres funkcji gęstości
Rozkład zmiennej losowej c2 o k stopniach
swobody ma następujące parametry:
– nadzieja matematyczna
Et   0
– wariancja
D 2 t  
k
k-2
Wnioskowanie statystyczne
Rozkład zmiennej losowej t-Studenta o k stopniach swobody jest rozkładem pomocniczym używanym
we wnioskowaniu statystycznym.
Tablice zmiennej losowej t-Studenta o k stopniach swobody zostały opracowane tak, że podają przy
założonym prawdopodobieństwie a taka wartość (oznaczamy ją ta,k ) zmiennej losowej t , dla której:


P t ,k  t a,k  a
f (t)
1/2
a
P ( t   ta, n) = a
1/2
a
t
Wnioskowanie statystyczne
α
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,001
k
1
0
,
1
5
8
0
,
3
2
5
0
,
5
1
0
0
,
7
2
7
1
,
0
0
0
1
,
3
7
6
1
,
9
6
3
3
,
0
7
8
6
,
3
1
4
7
,
0
2
6
7
,
9
1
6
9
,
0
5
8
2
0
,
1
4
2
0
,
2
8
9
0
,
4
4
5
0
,
6
1
7
0
,
8
1
6
1
,
0
6
1
1
,
3
8
6
1
,
8
8
6
2
,
9
2
0
3
,
1
0
4
3
,
3
2
0
3
,
5
7
8
1
3
0
,
8
,
5
9
7
6
9
1
4
2
,
3
,
7
0
0
3
6
1
4
5
,
8
,
8
4
9
9
4
2
5
1
,
6
,
2
4
0
3
5
3
6
1
,
9
,
8
6
2
5
1
6
9
3
,
9
,
6
2
5
5
6
6
3
3
6
3
0
,
1
3
7
0
,
2
7
7
0
,
4
2
4
0
,
5
8
4
0
,
7
6
5
0
,
9
7
8
1
,
2
5
0
1
,
6
3
8
2
,
3
5
3
2
,
4
7
1
2
,
6
0
5
2
,
7
6
3
2
,
9
5
1
3
,
1
8
2
3
,
4
8
2
3
,
8
9
6
4
,
5
4
1
5
,
8
4
1
1
4
0
,
1
3
4
0
,
2
7
1
0
,
4
1
4
0
,
5
6
9
0
,
7
4
1
0
,
9
4
1
1
,
1
9
0
1
,
5
3
3
2
,
1
3
2
2
,
2
2
6
2
,
3
3
3
2
,
4
5
6
2
,
6
0
1
2
,
7
7
6
2
,
9
9
9
3
,
2
9
8
3
,
7
4
7
4
,
6
0
4
8
,
6
1
0
5
0
,
1
3
2
0
,
2
6
7
0
,
4
0
8
0
,
5
5
9
0
,
7
2
7
0
,
9
2
0
1
,
1
5
6
1
,
4
7
6
2
,
0
1
5
2
,
0
9
8
2
,
1
9
1
2
,
2
9
7
2
,
4
2
2
2
,
5
7
1
2
,
7
5
7
3
,
0
0
3
3
,
3
6
5
4
,
0
3
2
6
,
8
6
9
6
0
,
1
3
1
0
,
2
6
5
0
,
4
0
4
0
,
5
5
3
0
,
7
1
8
0
,
9
0
6
1
,
1
3
4
1
,
4
4
0
1
,
9
4
3
2
,
0
1
9
2
,
1
0
4
2
,
2
0
1
2
,
3
1
3
2
,
4
4
7
2
,
6
1
2
2
,
8
2
9
3
,
1
4
3
3
,
7
0
7
5
,
9
5
9
7
0
,
1
3
0
0
,
2
6
3
0
,
4
0
2
0
,
5
4
9
0
,
7
1
1
0
,
8
9
6
1
,
1
1
9
1
,
4
1
5
1
,
8
9
5
1
,
9
6
6
2
,
0
4
6
2
,
1
3
6
2
,
2
4
1
2
,
3
6
5
2
,
5
1
7
2
,
7
1
5
2
,
9
9
8
3
,
4
9
9
5
,
4
0
8
8
0
,
1
3
0
0
,
2
6
2
0
,
3
9
9
0
,
5
4
6
0
,
7
0
6
0
,
8
8
9
1
,
1
0
8
1
,
3
9
7
1
,
8
6
0
1
,
9
2
8
2
,
0
0
4
2
,
0
9
0
2
,
1
8
9
2
,
3
0
6
2
,
4
4
9
2
,
6
3
4
2
,
8
9
6
3
,
3
5
5
5
,
0
4
1
9
0
,
1
2
9
0
,
2
6
1
0
,
3
9
8
0
,
5
4
3
0
,
7
0
3
0
,
8
8
3
1
,
1
0
0
1
,
3
8
3
1
,
8
3
3
1
,
8
9
9
1
,
9
7
3
2
,
0
5
5
2
,
1
5
0
2
,
2
6
2
2
,
3
9
8
2
,
5
7
4
2
,
8
2
1
3
,
2
5
0
4
,
7
8
1
1
2
,
,
6
,
9
5
7
0
8
0
2
4
1
0
0
,
1
2
9
0
,
2
6
0
0
,
3
9
7
0
,
5
4
2
0
,
7
0
0
0
,
8
7
9
1
,
0
9
3
1
,
3
7
2
1
,
8
1
2
1
,
8
7
7
1
,
9
4
8
2
,
0
2
8
2
,
1
2
0
2
,
2
2
8
2
,
3
5
9
2
,
5
2
7
2
,
7
6
4
3
,
1
6
9
4
,
5
8
7
1
1
0
,
1
2
9
0
,
2
6
0
0
,
3
9
6
0
,
5
4
0
0
,
6
9
7
0
,
8
7
6
1
,
0
8
8
1
,
3
6
3
1
,
7
9
6
1
,
8
5
9
1
,
9
2
8
2
,
0
0
7
2
,
0
9
6
2
,
2
0
1
2
,
3
2
8
2
,
4
9
1
2
,
7
1
8
3
,
1
0
6
4
,
4
3
7
1
2
0
,
1
2
8
0
,
2
5
9
0
,
3
9
5
0
,
5
3
9
0
,
6
9
5
0
,
8
7
3
1
,
0
8
3
1
,
3
5
6
1
,
7
8
2
1
,
8
4
4
1
,
9
1
2
1
,
9
8
9
2
,
0
7
6
2
,
1
7
9
2
,
3
0
3
2
,
4
6
1
2
,
6
8
1
3
,
0
5
5
4
,
3
1
8
1
3
0
,
1
2
8
0
,
2
5
9
0
,
3
9
4
0
,
5
3
8
0
,
6
9
4
0
,
8
7
0
1
,
0
7
9
1
,
3
5
0
1
,
7
7
1
1
,
8
3
2
1
,
8
9
9
1
,
9
7
4
2
,
0
6
0
2
,
1
6
0
2
,
2
8
2
2
,
4
3
6
2
,
6
5
0
3
,
0
1
2
4
,
2
2
1
1
4
0
,
1
2
8
0
,
2
5
8
0
,
3
9
3
0
,
5
3
7
0
,
6
9
2
0
,
8
6
8
1
,
0
7
6
1
,
3
4
5
1
,
7
6
1
1
,
8
2
1
1
,
8
8
7
1
,
9
6
2
2
,
0
4
6
2
,
1
4
5
2
,
2
6
4
2
,
4
1
5
2
,
6
2
4
2
,
9
7
7
4
,
1
4
0
1
5
0
,
1
2
8
0
,
2
5
8
0
,
3
9
3
0
,
5
3
6
0
,
6
9
1
0
,
8
6
6
1
,
0
7
4
1
,
3
4
1
1
,
7
5
3
1
,
8
1
2
1
,
8
7
8
1
,
9
5
1
2
,
0
3
4
2
,
1
3
1
2
,
2
4
9
2
,
3
9
7
2
,
6
0
2
2
,
9
4
7
4
,
0
7
3
1
6
0
,
1
2
8
0
,
2
5
8
0
,
3
9
2
0
,
5
3
5
0
,
6
9
0
0
,
8
6
5
1
,
0
7
1
1
,
3
3
7
1
,
7
4
6
1
,
8
0
5
1
,
8
6
9
1
,
9
4
2
2
,
0
2
4
2
,
1
2
0
2
,
2
3
5
2
,
3
8
2
2
,
5
8
3
2
,
9
2
1
4
,
0
1
5
1
7
0
,
1
2
8
0
,
2
5
7
0
,
3
9
2
0
,
5
3
4
0
,
6
8
9
0
,
8
6
3
1
,
0
6
9
1
,
3
3
3
1
,
7
4
0
1
,
7
9
8
1
,
8
6
2
1
,
9
3
4
2
,
0
1
5
2
,
1
1
0
2
,
2
2
4
2
,
3
6
8
2
,
5
6
7
2
,
8
9
8
3
,
9
6
5
1
8
0
,
1
2
7
0
,
2
5
7
0
,
3
9
2
0
,
5
3
4
0
,
6
8
8
0
,
8
6
2
1
,
0
6
7
1
,
3
3
0
1
,
7
3
4
1
,
7
9
2
1
,
8
5
5
1
,
9
2
6
2
,
0
0
7
2
,
1
0
1
2
,
2
1
4
2
,
3
5
6
2
,
5
5
2
2
,
8
7
8
3
,
9
2
2
1
9
0
,
1
2
7
0
,
2
5
7
0
,
3
9
1
0
,
5
3
3
0
,
6
8
8
0
,
8
6
1
1
,
0
6
6
1
,
3
2
8
1
,
7
2
9
1
,
7
8
6
1
,
8
5
0
1
,
9
2
0
2
,
0
0
0
2
,
0
9
3
2
,
2
0
5
2
,
3
4
6
2
,
5
3
9
2
,
8
6
1
3
,
8
8
3
2
0
0
,
1
2
7
0
,
2
5
7
0
,
3
9
1
0
,
5
3
3
0
,
6
8
7
0
,
8
6
0
1
,
0
6
4
1
,
3
2
5
1
,
7
2
5
1
,
7
8
2
1
,
8
4
4
1
,
9
1
4
1
,
9
9
4
2
,
0
8
6
2
,
1
9
7
2
,
3
3
6
2
,
5
2
8
2
,
8
4
5
3
,
8
5
0
Wnioskowanie statystyczne
Twierdzenia graniczne a prawa wielkich liczb
W twierdzeniach granicznych rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {Xn}, których rozkłady przy
wzroście wskaźnika n do nieskończoności mogą być zbieżne do pewnego rozkładu. Jeżeli takie
zjawisko występuje, to taki rozkład nazywamy rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu
zmiennych losowych {Xn}. Mówi się wtedy również, że zmienna losowa Xn ma graniczny rozkład o
określonej postaci.
Twierdzenia graniczne formułują warunki, przy których dla ciągu zmiennych losowych istnieje
asymptotyczny rozkład oraz określają, jaka jest postać tego rozkładu.
Twierdzenia, które mówią o zbieżności ciągu funkcji prawdopodobieństwa (lub funkcji gęstości), są
nazywane lokalnymi twierdzeniami granicznymi, zaś te które rozpatrują zbieżność ciągu dystrybuant,
nazywane są integralnymi twierdzeniami granicznymi.
Osobną klasą twierdzeń granicznych stanowią prawa wielkich liczb, które dotyczą zbieżności ciągu
zmiennych losowych do rozkładu jednopunktowego.
Wnioskowanie statystyczne
Prawa wielkich liczb
seria twierdzeń matematycznych (jedne z tzw. twierdzeń granicznych), opisujących związek między
liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego
te doświadczenia dotyczą. Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to
prawo Bernoulliego. Prawo to orzeka, że:
z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie
prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.
Można to zapisać jako:
Jeżeli X oznacza zmienną losową o rozkładzie dwumianowym (np, npq ), to dla każdej dodatniej liczby e
X

lim P - p  e  1
n 
n

Wnioskowanie statystyczne
Wybrane prawa wielkich liczb
1. Nierówność Czebyszewa – jeżeli X jest dowolną zmienną losową o skończonej wariancji s2 , to dla
dowolnej liczby e > 0 zachodzi tzw. nierówność Czebyszewa
s2
PX - EX   e  2 .
e
Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość
nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby.
2. Twierdzenie Markowa – jeżeli ciąg zmiennych losowych {Xn}nN spełnia warunek
to dla każdej dodatniej liczby e
1 2 n

lim 2 D   X k   0
n  n
 k 1

 1 n

lim Pw :  X k w - EX k   e  1
n 
 n k 1

Wnioskowanie statystyczne
3. Twierdzenie Czebyszewa – jeżeli {Xn}nN jest ciągiem zmiennych losowych o wariancjach sn2
ograniczonych wspólną stałą C tzn.
s12  C, s 22  C, ..., s 2n  C,
to dla każdej dodatniej liczby e
 1 n

lim Pw :  X k w - EX k   e  1
n 
 n k 1

tzn. ciąg sum zmiennych losowych jest stochastycznie zbieżny do swojej wartości oczekiwanej.
4. Twierdzenie Poissona – jeżeli {Xn}nN jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
jednakowych wartościach oczekiwanych  i wariancjach s2 ograniczonych wspólną stałą C, to dla
każdej dodatniej liczby e
 1 n

lim Pw :  X k w -    e  1
n 
 n k 1

Wnioskowanie statystyczne
5. Twierdzenie Chinczyna (dotyczy własności sumy zmiennych losowych, które mają taki sam
rozkład, ale nie muszą mieć wariancji) – jeżeli ciąg losowy {Xn}nN jest ciągiem niezależnych
 
zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i skończonej wartości oczekiwanej  , to ciąg X n
jest stochastycznie zbieżny do  tzn.
 lim PX
e 0
n 
n

-  e 1
6. Pierwsze prawo Kołmogorowa – jeżeli {Xn}nN jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
wariancjach sn2 i spełniony jest warunek
s 2n
  to:

2
n 1 n


1 n

P w : lim  X k w - EX k   0   1

  n  n k 1
7. Drugie prawo Kołmogorowa – niech {Xn}nN będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
 
jednakowym rozkładzie i skończonej wartości oczekiwanej  , to ciąg X n
prawdopodobieństwem 1. tzn.


P lim X n    1
n 
nN
jest zbieżny do  z
nN
Wnioskowanie statystyczne
Centralne twierdzenie graniczne – twierdzenie Lindeberga – Lévy'ego
Niech X1, X2, …, Xn będzie prostą próbą losową z rozkładu o średniej  i wariancji s2. Wówczas
dla dużych liczności próby n rozkład prawdopodobieństwa standaryzowanej średniej
(standaryzowanej sumy X1 + X2 + … + Xn) jest bliski standardowemu rozkładowi normalnemu
N(0, 1), dokładniej dla dowolnych liczb a, b, -   a  b  
P (a 
X -
 b)  P(a  Z  b)  (b) - (a ),
s/ n
przy n → ∞. Równoważnie rozkład średniej jest bliski rozkładowi normalnemu N (, s / n ).
Możliwe jest również zdefiniowanie zmiennej losowej będącej sumą X1, X2, …, Xn, wówczas
rozkład sumy jest bliski rozkładowi normalnemu N(n  , s  n )
Szczególnym przypadkiem twierdzenia Lindeberga-Lévy'ego jest twierdzenie Moivre'a-Laplace'a
dotyczące zmiennych losowych X1, X2, …, Xn o rozkładzie zerojedynkowym. Wówczas można
wykazać, ze zmienna losowa Yn ma rozkład dwumianowy. Na podstawie tego twierdzenia dla dużych n,
w praktyce n ≥ 100 można rozkład dwumianowy zastąpić rozkładem normalny.
Wnioskowanie statystyczne
Centralne twierdzenie graniczne – twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a
Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a mówi o tym, ze liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
z prawdopodobieństwem sukcesu p po standaryzacji (tzn. unormowaniu do zmiennej
losowej o średniej  = 0 i wariancji s2 = 1) dąży według rozkładu do standardowego rozkładu
normalnego, gdy n → ∞.
Zatem dla dużych n liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p ma
asymptotycznie rozkład normalny N(n  p, npq )
Równoważnie, częstość występowania sukcesów Sn/n (średnia) ma asymptotycznie rozkład normalny

pq 
.
N p,

n


Wnioskowanie statystyczne
Przykłady
1. W grupie studentów przeprowadzono test ze statystyki , gdzie zmienna losowa Xk oznaczała liczbę
zdobytych punktów (od 0 do 100, gdzie k – jest liczbą studentów). Rozkład zmiennej Xk jest identyczny
dla wszystkich studentów – E(Xk) = 70; D(Xk) = 20. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że:
a) suma punktów uzyskanych przez 100 studentów będzie wyższa od 7500 punktów,
b) przeciętna liczba zdobytych punktów w 100–osobowej grupie studentów będzie w przedziale 65–70 pkt.
2. Pewien towar produkowany jest w 2 gatunkach. 40 % produkcji stanowi gatunek 1, natomiast 60 % –
drugi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w niezależnie pobranej partii towaru liczącej 50 sztuk, liczba
sztuk 1–go gatunku będzie większa od 24.
3. Prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu 1–go gatunku wynosi 0,25. Obliczyć prawdopodobieństwo
tego, że częstość wystąpienia sztuk I gatunku wśród 400 wylosowanych wyrobów wyniesie nie więcej
niż 30 %.