HISTORIA MATEMATYKI I INFORMATYKI

HISTORIA MATEMATYKI
I INFORMATYKI
❧Przedmiot historii matematyki
oraz informatyki
❧Czasy przedhistoryczne
❧StaroŜytność
Przedmiot historii matematyki oraz
informatyki
❧ Badane są systemy tekstowe (kulturowe) jako systemy
iteracyjne, tj. systemy powtarzalnych procedur realizowanych
w danej kulturze;
❧ Wiedza jako wyróŜniony przez człowieka zbiór obiektów o
wspólnych cechach oraz pozostających w pewnych relacjach „pojęcie o czymś”;
❧ Źródłem wiedzy matematycznej są operacyjne struktury
psychiczne i struktury działań człowieka będące wynikiem
adaptacji do działania w systemach iteracyjnych oraz
przyswojenia sobie powtarzalnych procedur aktywności
kulturotwórczej;
Wiedza matematyczna oraz wiedza
informatyczna
Wiedza matematyczna jest ogólną wiedzą o iteracjach i schematach operacji
na iteracjach oraz prawach ich dokonywania w systemach iteracyjnych,
natomiast wiedza informatyczna jest ogólną wiedzą o systemach
iteracyjnych, a w szczególności o algorytmach realizowanych w systemach
iteracyjnych.
Tak więc człowiek uczestnicząc w procesach wielokrotnego uaktywniania,
wykonywania i składania ze sobą operacji w systemach iteracyjnych, na
róŜnych poziomach abstrakcji dokonuje interioryzacji systemów
iteracyjnych, wynikiem czego jest powstanie w jego psychice
dynamicznych struktur logiczno-matematycznych, będących analogonami
(modelami) tych operacji, a poprzez wykorzystywanie środków
informatycznych, wynikiem uwewnętrznienia sytemu iteracyjnego jest
takŜe powstanie dynamicznych struktur logiczno-algorytmicznych,
będących analogonami (modelami) operacji przeprowadzających jedne
stany sytemu iteracyjnego w drugie stany tego sytemu.
Przedmiot historii matematyki oraz
informatyki
❧ Rozwój pojęć (wiedzy) i uwarunkowania, w których powstają te pojęcia,
oraz posługiwanie się pojęciami regulowany jest przez systemy myślenia
zrelatywizowane do skutecznej działalności człowieka na danym etapie
cywilizacyjnego rozwoju
MoŜna wyróŜnić następujące systemy myślenia:
a) sylogistyczny - obejmujący myślenie identyfikujące cechy przedmiotów,
b) logiczny - obejmujący myślenie zgodne (adekwatne) z ustalonym
porządkiem rzeczywistości (realnym i racjonalnym, formalno-językowym,
epistemicznym - dysponowania wiedzą, algorytmicznym, statycznym i
dynamicznym),
c) matematyczny - obejmujący myślenie prowadzące do wiedzy
matematycznej,
d) cybernetyczny - obejmujący myślenie algorytmiczne czy informatyczne.
Problemy
❧ Wyznaczenie epoki historycznej, w której powstało myślenie
matematyczne - błąd rzutowania pojęć z teraźniejszości na
zrozumienie wiedzy z przeszłości,
❧ Myślenie abstrakcyjne (myślenie symboliczne, pojęcie
zmiennej) a pojawienie się myślenia matematycznego rewolucja kopernikańska, uniwersalizm odrodzenia,
❧ Pierwsze teorie matematyczne: Newton, Liebniz, Euler, Kleine,
Peano, Frege, Hilbert, Brouwer
❧ RóŜne koncepcje ścisłości matematyki - platonizm,
nominalizm, formalizm i intuicjonizm (konstruktywizm),
matematyka jako nauka dedukcyjna a empiryczna wizja
matematyki u Lakatosa, czy matematyka ma przyszłość.
Prehistoryczne przesłanki wiedzy
matematycznej
❧ materialna kooperacja międzyludzka dokumentująca wyniki
zliczania dóbr i działań, występujących w gospodarce ludów
koczowniczych i rolniczych,
❧ powstanie ekwiwalentnej wymiany dóbr - wytwarzanie i
udostępnianie zasobów, usług, produktów, wartości,
❧ kształtowanie się przedpojęciowych systemów myślenia myślenie konkretne, magiczne, stereotypowe, dogmatyczne,
❧ algorytmizacja pozyskiwania wiedzy matematycznej
odzwierciedlana w wytworach cywilizacyjnych - w wynalazkach,
technologii, wytwarzaniu i udostępnianiu produktów
(technicznych, architektonicznych, dziełach sztuki, dokumentach
pisanych).
WIEDZA MATEMATYCZNA W
PALEOLICIE
Kość z Ishango, ok.. 25 000 lat p.n.e.
WIEDZA MATEMATYCZNA W
PALEOLICIE
Kreski w wierszach (a) i (b) dodają się do 60.
Wiersz (b) zawiera liczby pierwsze pomiędzy 10 a 20.
Wiersz (a) jest w miarę zgodny z systemem liczbowym
opartym na 10, poniewaŜ liczby kresek w grupach wynoszą
20 + 1, 20 - 1, 10 + 1, oraz 10 - 1.
Wreszcie wiersz (c) wydaje się ilustrować metodę
mnoŜenia przez 2, uŜywaną później w egipskiej
matematyce.
Mikroskopowe badania pokazują dodatkowe znaki, z
których wynika Ŝe ta kość jest równieŜ kalendarzem faz
księŜyca. (Niektórzy wyprowadzają z tego wniosek Ŝe
pierwszym matematykiem była kobieta).
WIEDZA MATEMATYCZNA W
PALEOLICIE
Kość z Ishango, ok.. 25 000 lat p.n.e.
WIEDZA MATEMATYCZNA W
PALEOLICIE - wykorzystanie bazy
5
Prymitywne techniki rachunków
Prymitywne techniki rachunków
• zliczany przedmiot zaznaczany nacięciem na kości,
kiju, itp.
•zliczany przedmiot zaznaczany odłoŜeniem jednej
muszelki,
•zliczany przedmiot zaznaczamy odłoŜeniem kamienia,
•zliczany przedmiot zaznaczany jednoznacznie przez
jedną z części ciała człowieka lub połoŜenie czy
ułoŜenie tej części ciała, np..liczenie palcami i kciukami
ręki,
•zliczany przedmiot przez przyporządkowanie mu
kolekcji przedmiotów wymienianych na niego.
Prymitywne techniki rachunków
Wódz jednego z plemion Papuasów z Nowej Gwinei w
XIX w. wydał kiedyś następujące polecenie „Za kaŜdego wojownika, którego straciliśmy w walce
mają nam zapłacić tyle naszyjników z paciorków, ile by
ich było od małego palca mojej prawej ręki do prawego
oka, następnie tyle futer zwierzęcych, ile by ich było od
małego palca mojej prawej ręki aŜ do ust i wreszcie tyle
koszy z Ŝywnością, ile by ich było od małego palca mojej
prawej ręki do lewego nadgarstka”
Wojownik stracony w walce = 10 naszyjników z
paciorków + 12 futer + 17 koszy Ŝywności.
Zliczanie palcami 10 jako baza zliczania
Kalendarz empiryczny
Rano czarownik plemienia Papuasów oznajmił
przybycie nowego KsięŜyca, czyniąc kilka obrzędowych
gestów:
„Wiele Słońc i wiele KsięŜyców musi pojawić się i
zniknąć zanim święto nadejdzie. KsięŜyc, który się
właśnie urodził, musi się wypełnić, a potem sczeznąć
całkiem. Potem powinien się odrodzić tyle razy, ile zdoła
od małego palca mojej prawej ręki aŜ do prawego łokcia.
Potem Słońce powinno wzejść i zajść tyle razy, ile zdoła
od małego palca mojej prawej ręki aŜ do ust. A gdy
potem wzejdzie ponownie, obchodzić będziemy razem
święto Wielkiego Totemu” - święto odbędzie się
dokładnie za 13 dni 8 i miesięcy od tego dnia.
Człowiek z plemienia wykonuje polecenie czarownika tatuując na
ciele kółka w nowy KsięŜyc, a kreskami dni ósmego miesiąca.
Wiedza matematyczna w czasach
staroŜytnych
W staroŜytnym Egipcie, Babilonii, Chinach, Indiach, Grecji,
pojawiają się pierwsze systemy rynkowe, które poprzez
działalność rynkową i gospodarczą umoŜliwiają po raz
pierwszy grupowanie przedmiotów o wspólnych cechach
im przysługujących, takie grupowanie odbywające się na
rynku w procesie ekwiwalentnej wymiany towarów
prowadzi do mierzenia wartości towarów przy pomocy
wzorcowych towarów o dokładnie wyróŜnionych cechach
(własnościach), podobnie w gospodarce mierzy się
działania ludzkie i wyniki tych działań ilością zuŜywanych
zasobów materialnych i zasobów pracy, dzięki temu
kształtuje się system iteracyjny procedur mierzenia.
Początkowo, w Babilonii, Egipcie, Chinach i Indiach, są to
systemy jednostek miar oraz systemy zliczania.
Wiedza matematyczna w czasach
staroŜytnych
Systemy iteracyjne zliczania i mierzenia słuŜą jedynie do
dokumentowania działalności gospodarczej, w tym sprawowania
władzy (na przykład słuŜą temu pomiary czasu i pomiary
astronomiczne). Nie znane są jeszcze wtedy Ŝadne procedury
poznawcze, podstawianie za zmienne - symbole abstrakcyjne (nie
ma matematycznych pojęć abstrakcyjnych), nie występują reguły
myślenia, wspomagające mierzenie lub zliczanie - brak znaków
operacji i relacji, liczby wiązane są tylko z liczonymi przedmiotami i
jednostkami miary, kaŜdy wywód rozumowania ma charakter
informatyczny, realizujący jakiś algorytm zliczania i mierzenia, i
posiada cechy programu zliczania lub mierzenia, figury
geometryczne są postrzegane jako pewne mierzone obszary,
rozwiązywane problemy sprowadzane są do odpowiedzi na pytanie
jakie własności (cechy) zliczania i mierzenia posiadają przedmioty.
(Procedury myślenia pojawiają się dopiero w kulturze greckiej, są to prawa
sylogistyki odkryte przez Arystotelesa (384-322 p.n.e). Prawa te uŜywane są do
grupowania przedmiotów według cech, które tym przedmiotom przysługują. Np.
zwrot "P jest S" oznacza, Ŝe to co przysługuje przedmiotom P przysługuje
przedmiotom S.)
Znaki liczbowe w czasach
staroŜytnych
Wiedza matematyczna w czasach
Babilonii
Wiedza matematyczna w czasach
Babilonii
Babiloński system numeracji o podstawie 60 stanowił bazę obszernej wiedzy
arytmetycznej i algebraicznej dla całej staroŜytnej Mezopotamii. To
arytmetyczno-algebraiczne nastawienie jest cechą szczególną odróŜniającą
wiedzę matematyczną Babilonii od wiedzy matematycznej Grecji, mającej
głównie charakter geometryczny. W Babilonii głównie zliczano a w Grecji
mierzono kodując liczby geometrycznie. Wiedzę matematyczną zdobywano
realizując stosowne algorytmy zliczania i mierzenia. Dale podamy kilka
przykładów.
Jak wiadomo, w systemie pozycyjnym zapisywania liczb wymiernych dla
podstawy n>1 kaŜdą liczbę wymierną a, dającą się w tym systemie wyrazić,
moŜemy jednoznacznie utoŜsamiać z ciągiem określonym przez wzór
a = (ak,...,a0 ; a-1,...,a-m)n = aknk + ... a 0 n0 + a-1n-1 + ... + a-mn-m .
Dla ustalonej podstawy n przyjmujemy zapis
a = (ak,...,a0 ; a-1,...,a-m)n
Gdzie ai , a-j są mniejsze od n i większe lub równe 0.
Np. Dla n=60, 4/3 = 1 + 1/3 = 1+ 20/60 = 1 + 20 *60-1 = 1;20.
Wiedza matematyczna w czasach
Babilonii
Matematyka obszaru staroŜytnej Mezopotamii jest zazwyczaj nazywana
babilońską, ze względu na to, Ŝe najliczniejsze źródła (około 400 glinianych
tabliczek) pochodzą z wykopalisk babilońskich. Tabliczki te były zapisywane
wówczas, gdy glina była jeszcze miękka, po czym były wypalane w piecu lub na
słońcu. Większość wykopanych tabliczek jest datowana na okres 1800-1600
p.n.e.5 i dotyczy między innymi takich zagadnień jak ułamki, równania
kwadratowe i sześcienne, oraz obliczanie liczb naturalnych spełniających
twierdzenie Pitagorasa. Jedna z tabliczek podaje przybliŜenie liczby √2 z
dokładnością do pięciu miejsc po przecinku. Babilończycy uŜywali systemu
liczbowego o podstawie 60 (system sześćdziesiątkowy). Podział okręgu na 360
(= 6*60) stopni, a w konsekwencji podział godziny na 60 minut i minuty na 60
sekund, wywodzi się właśnie z matematyki babilońskiej. Trudno odpowiedzieć na
pytanie dlaczego Babilończycy obrali za podstawę akurat 60. Być moŜe jest to
związane z sześćdziesiątkową podstawą miary ilości złota lub przybliŜoną liczbą
dni w roku (6*60 = 360), lecz nie jest to pewne. Pozycyjność systemu liczbowego
oznacza, Ŝe zapis liczb był prowadzony w kilku kolumnach, zaś kaŜda zawierała
mnoŜnik kolejne potęgi 60, np. 374 = 6*601 + 14*600 = (6,14)60 (współczesny
zapis matematyczny jest analogiczny, lecz jego podstawą jest 10).
Wiedza matematyczna w czasach
Babilonii
Babiloński system sześćdziesiątkowy zawierał 59 znaków tworzonych z
dwu znaków oznaczających liczbę 1 i 10. Niekiedy jako zero stosowano
puste miejsce albo inny wyróŜniony znak (zlepione trójkąciki). Dla
ułamków 1/2, 1/3 i 2/3 stosowano odrębne znaki.
Cyfry od 1 do 9 wyglądały następująco:
zaś cyfry 10, 20, 30, 40 i 50 wyglądały tak:
Brakujące cyfry pomiędzy 10 a 59 otrzymywano przez
kombinację powyŜszych. Na przykład 11 otrzymywano
przez połączenie jedynki z dziesiątką:
dziesiątką
Natomiast liczby większe od 59 były otrzymywane
przez układanie cyfr w kolejnych kolumnach.
Przykładowo, liczba 70 była zapisywana jako
Wiedza matematyczna w czasach
Babilonii
Na słynnej glinianej tabliczce nazwanej Plimpton 322 (rysunek na następnej
stronie), pochodzącej równieŜ z ok. 1800 p.n.e., czyli ponad tysiąc lat przed
Pitagorasem, zapisane zostały obliczenia długości boków trójkątów, zgodnie z
twierdzeniem Pitagorasa a2 + b2 = c2. Tabliczka ta jest zapisana z prawa na
lewo. W pierwszej kolumnie są podane kolejne numery porządkowe, kolumna
druga zawiera słowo „liczba”, zaś kolumna trzecia zaczyna się od słowa
„długość”, po czym wymienione są kolejne wartości a. Kolumna czwarta
zaczyna się od słowa „przekątna”, po czym zapisane są kolejne wartości c.
Ostatnia kolumna zawiera obliczone wartości b, z dokładnością co najmniej do
czwartego miejsca po przecinku. W odczytaniu liczb czytelnik ma pewne
trudności - w Mezopotamii nie oddzielano części ułamkowej liczby oraz nie
znano zera ani jako liczby (którą moŜna dodawać, mnoŜyć, itd.), ani jako cyfry.
Wskutek tego ten sam napis mógł oznaczać zarówno 361, 30601, 36001, jak i
36010. Niekiedy zaznaczano wolne miejsce. Zapisy liczb rozumiano na
podstawie kontekstu. Dopiero za panowania Seleucydów (około roku 400 p.n.e.)
na tabliczkach klinowych w zapisie liczb pojawia się symbol dwóch klinów, które
oznaczają nieobecność cyfry w danej pozycji.
Wiedza matematyczna w czasach
Babilonii
Babilońska tabliczka Plimpton 322 z ok. 1800 lat p.n.e., zawierająca obliczenia
zgodne z twierdzeniem Pitagorasa
Program obliczania odwrotności liczby
u Babilończyków
Zadanie dotyczące znalezienia odwrotności (igibum) c-1 danej liczby c (igum)
rozwiązywano na podstawie niejednoznacznego algorytmu opartego na
wzorach:
c:= a+b, a + b = b(ab-1 + 1) , d:=b, e:= ab-1 +1, c-1:=(de)-1, (de)-1 = d-1e-1. Na
muzealnej babilońskiej tabliczce klinowej o numerze VAT 6505 przytoczony
jest następujący program obliczeń:
2,13,20 jest igum. Jakie jest igigum?
Twoje postępowanie jest:
Utwórz odwrotność 3,20. Znajdujesz 18.
18 pomnóŜ przez 2,10. Znajdujesz39.
1 dodaj. Znajdujesz 40.
Utwórz odwrotność 40. Znajdujesz 1,30.
1,30 pomnóŜ przez 18.
Znajdujesz 27. Igibum jest 27.
Takie jest postępowanie.
Tablice mnoŜenia
u Babilończyków
Szkic oryginalnej tabliczki klinowej zawierającej tablicę
mnoŜenia: kol.I * 9 = klo.II.
Program obliczania odwrotności liczby
u Babilończyków
Przetłumaczona na współczesny zapis tablica odwrotności liczb:
(Kol. I)-1 = Kol. II lub (Kol. II)-1 = Kol. I.
Odwrotność liczby 40 równą 1,30 oraz liczby 3,20 równą 18 pobrano w
przytoczonym przykładzie z powyŜszej tablicy.
Program obliczania odwrotności liczby
u Babilończyków
Fotografia tabliczki z Nippur (pół. wsch. od
Babilonu). Gruba, pionowa rysa dzieli
tabliczkę na dwie części.Na lewej nauczyciel
lub, starszy uczeń napisał tabliczkę mnoŜenia
dla 45 (ostatnich 7 lub 8 linijek jest
odłamanych), na prawej początkujący uczeń
próbował ją skopiować. Widać, jak niepewna i
niewyrobiona była ręka ucznia, który nie
ukończył nawet swojej pracy. Lewa strona
tabliczki we współczesnej transkrypcji ma
postać („a-ra” oznacza „razy”, w nawiasach
kwadratowych jest odtworzony tekst):
Program obliczania odwrotności liczby
u Babilończyków
Fotografia drugiej strony tabliczki z
poprzedniej folii. Jest najprawdopodobniej
pracą bardziej zdolnego i zaawansowanego
ucznia niŜ tego, który wykonywał zadanie na
pierwszej stronie tabliczki. MoŜna rozpoznać
kilka fragmentów tablic mnoŜenia i
standardowej tablicy odwrotności. Zapisane
informacje mogły słuŜyć jako pomoc w
wykonywaniu zadań.
Algorytm graficzny obliczania długości
przekątnej kwadratu u Babilończyków
Bok kwadratu a=30, b = √2 = 1;24,51,10, przekątna c=a*b,
c=42;25,35. Po pomnoŜeniu wielkości a,b,c przez odpowiedni
współczynnik proporcjonalności, algorytm moŜna stosować
dla innych kwadratów.
Algorytmiczny charakter arytmetyki
babilońskiej - pierwiastkowanie
Przedstawiamy tłumaczenie szóstej i siódmej części tabliczki BM 13901 z British
Museum. Średniki zostały dodane przy transkrypcji rozwiązań zadań:
dodałem pole i dwie trzecie boku kwadratu i otrzymałem liczbę 0;35. Bierzesz 1,
„współczynnik”. Dwie trzecie z 1, współczynnika, stanowi 0;40. Połowę tego, 0;20,
mnoŜysz przez 0;20 (i otrzymujesz wynik) 0;6,40 dodajesz do 0;35 i (wynik końcowy)
0;41,40 ma 0;50 jako pierwiastek kwadratowy. 0;20, które pomnoŜyłeś przez siebie,
odejmiesz od 0;50 i 0;30 jest (bokiem) kwadratu.
0;40 2
0;40
) + 0;35 −
We współczesnej notacji szukany bok kwadratu x= (
= 0;30. Jest
2
2
to rozwiązanie równania x2 + 2/3 x = 0;35. Zastosowano prawdopodobnie algorytm
rozwiązania za pomocą równowaŜnych przekształceniach pól prostokątów i
kwadratów: pole 0;35 szukanego prostokąta jest iloczynem (x+2/3)x =0;35, 2/3 =
40/60=0;40.
x2
x2
0;35=
=
x*0;40
x*0;20
x*0;2
_
=
{(0;20)2 + 0;35} - (0;20)2
(0;20)2
x + 0;20
Z rysunku widać, Ŝe (x + 0;20)2 = (0;20)2 + 0;35, a więc
0;40 2
) + 0;35 .
x + 0;20 = (
2
Algorytmiczny charakter arytmetyki
babilońskiej - podsumowanie
1. Opracowano algorytm dodawania liczb w systemie sześćdziesiątkowym.
2.Tworzenie tablic mnoŜenia liczb {1, 2, 3, ...., 19, 20, 30, 40, 50} przez
wybraną liczbę główną p. Liczby te zestawiono parami z wynikami mnoŜenia,
otrzymując tablicę mnoŜenia. Dysponowano tablicami dla p równego niektórym
liczbom z pośród {1, 2, 3, ...., 59}. Znane są tablice dla tak duŜego p, jak liczba
44,26,40 zapisana w układzie sześćdziesiątkowym, ale nie znaleziono tablicy
dla p=17. Przypuszcza się, Ŝe dobór liczb p był dokonywany ze standardowej
tablicy odwrotności liczb. Konstrukcja tablicy mnoŜenia umoŜliwiała pamiętanie
mniejszej ilości danych w celu wykonywania mnoŜenia innych liczb z uŜyciem
dodawania, np. 47p = 40p + 7p.
3. Budując tabele mnoŜenia, zgodnie z algorytmem wyŜej opisanym,
natrafiano na iloczyny dające potęgi liczby 60 i zestawiano te iloczyny w
standardową tabelę odwrotności liczb.
4. Standardowe tabele mnoŜenia i odwrotności pozwalały zamieniać ułamki
zwykle na zapis sześćdziesiątkowy, wykonywać dzielenie oraz odczytywać i
szacować wartości pierwiastków kwadratowych.
5. W zadaniach geometrycznych stosowano metodę podobieństwa i analogii.
Wiedza matematyczna w
staroŜytnym Egipcie
Kształtowanie się gospodarczego systemu
iteracyjnego w staroŜytnym Egipcie
Kształtowanie się gospodarczego systemu
iteracyjnego w staroŜytnym Egipcie
Gra palców i gra słów słuŜąca zliczaniu i mierzeniu, według
ilustracji z czasów Starego Państwa Egipskiego (XXVII - XXIII
w. p.n.e.) .
Zliczanie na palcach w staroŜytnym
Egipcie
Algorytmiczny charakter egipskiej
wiedzy matematycznej
Porównując wiedzę matematyczną w Babilonii z wiedzą matematyczną
dokumentowaną w staroŜytnym Egipcie takŜe moŜna zauwaŜyć jej
algorytmiczny charakter, chociaŜ, jak się wydaje, wiedza amtematyczna jest
bardziej prymitywna. Egipcjanie nie posunęli się poza arytmetykę
wykorzystującą krotności i części ułamkowe znane z działań gospodarczych.
Posługiwali się takŜe algorytmami rachunków znajdujących niewiadome
opisywane współcześnie przez proste równania pierwszego i drugiego stopnia.
Częściej niŜ w Babilonii posługiwali się dość dobrymi w praktyce przybliŜeniami
obliczeń pola okręgu i objętości ostrosłupa, a takŜe metodą przybliŜonego
rozwiązywania równań. PrzybliŜone obliczenie zaczynano od wprowadzenia
dowolnej liczby jako wyniku (w średniowieczu tę metodę nazywano metodą
fałszywego połoŜenia), po czym poprawiano ten wynik tyle razy aby spełnione
były jak najlepiej warunki zadania. Np. dla równania x + 1/4x = 15 pisali: licz z 4;
od nich masz wziąć jedną czwartą, jest 1; razem 5; podziel 15 przez 5, jest 3 ,
pomnóŜ przez 4, krotność od której liczysz; szukany wynik jest 12.
Współczesne uzasadnienie moŜe być takie: x1=4, x1 + 1/4x1 = 4+1=5. Dzieląc
(x + 1/x) : (x1 + 1/4x1) otrzymujemy x:x1=x:4 lub 15:5=3, a więc x=4*3=12.
Zastosowania egipskiej wiedzy
matematycznej
Matematyczna wiedza egipskiego pisarza pozawalała mu dokonywać obliczeń
potrzebnych, do poboru podatków, rozdziału majątku, wymiany i rozdziału
produktów (w dawnym Egipcie pieniędzy nie było), mierzenia pól i objętości tam
i zbiorników zboŜa, zamiany miar wagi na inne jednostki itd. W egipskich
tekstach uwaga koncentrowała się przede wszystkim nie na metodach
rozwiązywania zadań, lecz na samej technice obliczeń. W słynnym zbiorze
zadań papirusie Rhinda zadania nie są sklasyfikowane według metod (np.
Zadania na proporcje, równania liniowe itp.), lecz według praktycznych tematów
(np. na wypiek chleba, objętość zbiorników zboŜa, objętość naczyń).
Dla celów ćwiczebnych układano zadania o treści rozrywkowej, nie mające bezpośredniego
zastosowania w praktyce. Do najciekawszy takich zadań (mających róŜne odmiany) było zadanie na
postęp geometryczny „drabina siedem”:
„drabina
dom
7
kot
49
1
2 801
mysz
343
2
5 602
jęczmień
2 401
4
11 204
-------------------miara
16 807
razem 19 607”
W zadaniu jest mowa najpierw o 7 kotach w kaŜdym z 7domów;kaŜdy kot zjadł po 7 myszy, z których
kaŜda zjadła po 7 kłosów jęczmienia; kaŜdy z kłosów mógł dać 7 miar ziarna. Sumę domów, kotów,
kłosów i miar ziarna oblicza mnoŜenie 2801*7 = 2801 * (1+2+4).
Schemat obliczeń w rozwiązaniu
zadania „drabina siedem”
Rachunki w cieniu piramid dodawanie
Rachunki w cieniu piramid mnoŜenie
1464 =
razy 10 da
14 640 =
Egipska wiedza matematyczna algorytm mnoŜenia
Algorytm mnoŜenie krotności
W staroŜytnym Egipcie dowolną krotność rozpisywano na sumę wyrazów ciągu 1,2 22,
23, ..., 2n,... Udowodnij, Ŝe dowolną liczbę naturalna moŜna tak zapisać. Czy ten rozkład
nie prowadzi współcześnie do binarnego zapisu liczby?
Niech liczba k = 2i1 + 2i2 +...+ 2ij, a i1<i2<...<ij, oraz dla liczby n dysponujemy tablicą
1
1*n
2
2*n
........
2i1
2i1*n √
........
2i2
2i2*n √
........
2ij
2ij*n √
kolejnego mnoŜenia przez 2 liczb otrzymanych z pierwszego mnoŜenia liczby n.
MnoŜenie przez 2 liczby a Egipcjanie sprowadzali do sumy a+a . Liczbę 2ij znajdowano
jako taką, Ŝe 2ij ≤ k <2* 2ij . Odejmując od k potęgę 2ij uzyskano liczbę dla której w te
sam sposób znajdowano potęgę 2 o mniejszym wykładniku. Rozumowanie to
powtarzano aŜ do uzyskania wszystkich potęg 2, z których składała się liczba k. Po
sporządzeniu powyŜszej tablicy sumowano odfajkowane wyniki mnoŜeń przez 2,
uzyskując w ten sposób iloczyn k*n .